高等代数第八章 7第七节 矩阵的有理标准形
高等代数第8章入矩阵1
引理 对于任何不为零的nn数字矩阵A
和-矩阵U()与V(), 一定存在－矩阵Q()
与R()以及 数字矩阵U0与V0使
U() =(E-A)Q()+U0 ,
<1>
V() =R()(E-A)+V0 .
<2>
证 把U()改写成
U()=D0m+D1m-1+…+Dm-1+Dm .
U()=D0m+D1m-1+…+Dm-1+Dm .
这里D0,D1,…,Dm都是nn数字矩阵,而且
D00. 如m=0,则令Q()=0及U0=D0,它们
P(i(c))-1=P(i(c-1)),
P(i,j())-1=P(i,j(-)).
对一个sn的-矩阵A()作一次初等行变换 就相当于在A()的左边乘上相应的ss初等 -矩阵;
对A()作一次初等列变换就相当于在A() 的右边乘上相应的nn的初等 -矩阵.
定义 -矩阵A()称为与B()等价, 如果可以经过一系列初等变换将A()化 为B().
行列式因子的意义就在于, 它在 初等变换下是不变的.
定理 等价的-矩阵具有相同的秩
与相同的各阶行列式因子。
证 只需要证明, -矩阵经过一次初
等变换, 其秩与行列式因子是不变的.
设-矩阵A()经一次初等行变换 变成B(), f( )与g( )分别是A()与
B()的k阶子式的一个最大公因式. 现证f=g.下面分三种情况讨论：
-矩阵之间的等价满足如下三条; (1) 自反性: 每个-矩阵与自己等价. (2) 对称性:若A()与B()等价,则B()与 A()等价. (由于初等变换具有可逆 性). (3) 传递性:若A()与B()等价,
高等代数第八章 7第七节 矩阵的有理标准形
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定义8 对数域 上的一个多项式 对数域P上的一个 上的一个多项式 定义 d(λ)=λn+a1λn-1+…+an 称矩阵 0 0 L 0 − an 1 0 L 0 − a n −1 (1) A = 0 1 L 0 − an− 2 M M M M 0 0 L 1 − a1 多项式d(λ)的伴侣阵 为多项式 的伴侣阵. 容易证明， 的不变因子(即 - 的不变因子)是 容易证明，A的不变因子 即λE-A的不变因子 是 1 , 1 ,L , 1 , d ( λ ) (见习题 见习题3
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引理 (2)中矩阵的不变因子为 中矩阵的不变因子为 中矩阵的不变因子 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ， 其中 1 的个数等于 d1(λ), d2(λ), …, ds(λ) 的次数之和 n减去 减去s. 减去 证明 因为
λE1 − A1 λE − A =
第七节*
矩阵的有理标准形
前一节中证明了复数域上任一矩阵 都可 都可相似 前一节中证明了复数域上任一矩阵A都可相似 复数域 一个若当形矩阵 这一节将对任意数域P来 若当形矩阵. 于一个若当形矩阵 这一节将对任意数域 来讨论 类似的问题. 我们证明P上任一矩阵必相似于 必相似于一个 类似的问题 我们证明 上任一矩阵必相似于一个 有理标准形矩阵. 有理标准形矩阵.
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矩阵A的初等因子为 例 设3×3矩阵 的初等因子为(λ-1)2, (λ-1) ，则它 × 矩阵 不变因子是 它的有理标准形 有理标准形为 的不变因子是1, (λ-1), (λ-1)2 ，它的有理标准形为 A1
1 0 0 0 0 − 1 0 1 2
高等代数(北大版)第8章习题参考答案
第八章 —矩阵1. 化下列矩阵成标准形1） 2）3） 4）5）6）解 1）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
2）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
3）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ，从而A= B，B即为所求。
4）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = , 4 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ，从而A= B，B即为所求。
5）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3=1, 4 =, 5 = ，所以1 =2 =3 =1,4 = =,5 = =。
故所求标准形为B= 。
2.求下列矩阵的不变因子:1） 2）3） 4）5）解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 = ，故该矩阵的不变因子为1 =2 =1,3 =。
2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为3 =2 =1=1,4 =，故矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 =。
3）当时,有4 = = ，且在矩阵中有一个三阶子式= ，于是由,3 = 1，可得3 = 1，故该矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
当时,由1=1, 2 =1, 3 = , 4 = ，从而1 =2 =1,3 = ,4 = = 。
4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 =1, 4 = ，从而所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为3 =1,4 = ，故所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
3.证明:的不变因子是，其中= 。
证因为n = ，按最后一列展开此行列式，得n == ，= ，因为矩阵左下角的阶子式= ,所以= 1,从而1=2 = … = = 1，故所给矩阵的不变因子为1 =2 = … = = 1，= = ，即证。
矩阵的有理标准型及其应用
矩阵的有理标准型及其应用作者：韩海清来源：《商情》2013年第26期【摘要】本文主要介绍矩阵中的特殊一类——矩阵的有理标准型。
围绕矩阵的有理标准的几个主要性质展开研究，包括详细介绍矩阵有理标准型的定义组成原理，总结各种构造方法，拓宽矩阵有理标准型应用等领域。
【关键词】矩阵；有理标准型；线性方程1、引论矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
Jordan矩阵、Frobenius矩阵等是常用的特殊矩阵。
本文重点探讨Frobenius矩阵，也就是矩阵的有理标准型。
关于矩阵的标准型有几种：有理标准型，等价标准型，合同标准型，相似标准型，Jordan标准型等。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯（G.Frobenius，1849-1917）的贡献是不可磨灭的。
他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。
1892年，梅茨勒（H.Metzler）引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。
2、矩阵的标准形3、矩阵的有理标准型介绍的矩阵的几个标准型都有一个共同点，都是根据矩阵的核心概念而得来的，都存在一定的规律。
在这里，只是简单的介绍它的基本定义，相关性质，及其性质。
当然为了达到对矩阵有理标准型的理解的效果，我们采用比较法，先去研究矩阵的其他几种标准型，目的正式为此。
最后去介绍它的基本应用，是为了进一步对它的了解，拓宽一下矩阵的视野，可能更多的是提供一种有效地解决方法，达到了矩阵作为一个工具的目的。
参考文献：[1]北京大学数学系.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[2]张贤科，许蒲华.高等代数学[M].北京：清华大学出版社，1998[3]张远达.线性代数原理[M].上海：上海教育出版社，1980[4]Avanzi R，Sica F.Scalar multiplication on Koblitz curves using double bases[OL].[2007-03-15].http：///2006/067.ps.gz[5]孟道骥.高等代数与解析几何[M].北京：科学出版社，1998[6]屠伯埙，徐诚浩，王芬.高等代数[M].上海：上海科技出版社，1987[7]威尔金森著JH.代数特征值问题[M].石钟慈，邓健新，译.北京：科学技术出版社，2001[8]曹重光.高等代数方法选讲[M].哈尔滨：哈尔滨出版社 2001[9]孔莉芳，廖大庆，刘金波. 实域中矩阵的几种标准形式及应用[J]，大学数学.。
高等代数 矩阵的标准型 行列式因子和不变因子
在上一节，我们讨论了 - 矩阵的标准形，其 主要结论是：任何 - 矩阵都能化成标准形. 但是
矩阵的标准形是否唯一呢？答案是肯定的. 为了证 明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念.
1. 定义 定义 1 设 - 矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整
数 k，1 k r ， A() 中必有非零的 k 级子式. A()
) d1之(间)d，1 (有 )关系d k ( ) (k 1,2, , r ). (2)
Dk () | Dk+1 () ( k = 1, 2, … , r-1 ) . (4)
注d 1 意( ) D 1 ( ),
算d 2最(在高)计级算的DD行12 (-(列矩))式阵, 因的子行.列这式样因，子由时(，4(3)常)我常们是就先大计致
但由于初等变换是可逆的， B() 也可以经一次初 等变换变成 A() . 由上面的讨论，同样应有
g() | f() . 于是 f() = g() .
当 A() 的全部 k 级子式为零时，B() 的全部
k 级子式也就为零； 反之亦然.
因此， A() 与 B() 既有相同的各级行列式因
子，又有相同的秩.
中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式
Dk() 称为 A() 的 k 级行列式因子.
由定义可知，对于秩为 r 的 - 矩阵，行列式 因子一共有 r 个. D1() ,D2() ,…,Dr() .
例1 求A()的行列式因子：
1 0 A() 3 .
0 0 0
2. 行列式因子的性质 定理 1 等价的 - 矩阵具有相同的各级
2
0
021,
00 12 ,2Fra bibliotek00 12
高等代数_若当标准形
第八章 若当标准形一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点矩阵的相似问题一直是高等代数中的重点研究对象，除了前面所谈到的化矩阵为对角形的方法外我们还可以从其他渠道探讨这个问题.比如，周知~存在可逆矩阵使得.但是A ⇔B P 1B P AP -=寻找可逆矩阵往往是件比较困难的工作，因此我们可论证等价性成立：（或论P E A E B λλ-≅-证它们有相同的标准形），那么就相当于~ ；此外，对不能对角化的矩阵我们也可以研究将其A B 化成上（下）三角形或准对角形──若当（Jordan ）标准形.作为理论准备，矩阵的标准形理论是本章的重点之一. 通过矩阵的初等变换求其标准-λ-λ形是最基本的要求；了解矩阵的不变因子、行列式因子以及初等因子这三个重要概念并掌握它-λ们的性质、相互之间的关系和求法等技术方面的工作，是本章的关键.讨论矩阵的相似标准形是本章的主要目的. 本章的难点有如下几个方面：掌握矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子这三个重要概念以及它们的性质、关系-λ和求法；●理解并掌握两个数字矩阵与相似的充分必要条件，以及数字矩阵与对角矩阵相似A B A 的充分必要条件；●充分发挥最小多项式的性质在讨论矩阵的相似标准形中的作用；●掌握矩阵的Jordan 标准形的求法、性质及其应用.三、本章的基本知识要点 （一）矩阵的概念和性质λ-1.设是一个数域，是一个文字，如果矩阵的每个元素都是的多项式，即 F λn m ⨯()A λλ=，那么，就是一个关于的多项式矩阵，简称为矩阵.如果 ，()A λ(())ij m n a λ⨯()A λλ-λn m =则称为阶矩阵.()A λn -λ2. 如果在矩阵中，有一个阶子式不为零，一切阶子式（如果存在）全-λ()A λ(1)r r ≥1r +为零，则称的秩为，记为.()A λr (())r A r λ=注意：① ；(())0r A λ=⇔()0A λ=② 若是一个数字阶矩阵，则必有.A n ()r E A n λ-=3. 设是阶矩阵，若存在阶矩阵使得()A λn -λn -λ()B λ ()()()()A B B A E λλλλ==则称是可逆的，并称是的逆矩阵，记为.()A λ()B λ()A λ1()()B A λλ-=4．注意：（1）一个阶矩阵是可逆的充要条件为行列式：.n -λ()A λ()0A c λ=≠（2）若是可逆时，则有，其中是伴随矩阵.()A λ)(|)(|1)(*1λλλA A A =-()A λ*()A λ（3）在数字矩阵中，阶矩阵是可逆的充分必要条件是行列式（即是满秩矩阵），但n A ||0A ≠A 对于矩阵来说，当矩阵的行列式时，矩阵未必是可逆的，即满秩的矩阵未-λ|()|0A λ≠()A λ-λ必是可逆的. （二）初等矩阵λ-1、由阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换得到的阶矩阵称为初等矩阵.其n E -λn -λ-λ有三种不同的类型，分别是、与，而且都是可逆矩阵，且逆矩阵仍是(,)P i j (())P i k (,(()))P i j ϕλ同类的初等矩阵.-λ2、对的矩阵进行一次初等行变换，相当于在的左边乘上相应的阶初等m n ⨯()A λ()A λm 矩阵；而对进行一次初等列变换，就相当于在的右边乘上相应的阶初等矩阵.-λ()A λ()A λn -λ3．矩阵可逆的充分必要条件是可表成一系列初等矩阵的乘积. -λ()A λ()A λ-λ4．注意：(1) 由于在矩阵的第二类型的初等变换中，不允许用一个非常数的多项式去乘或除矩-λ()ϕλ阵的某一行（列），这导致了矩阵的初等变换与数字矩阵的初等变换在性质上有些区别，这请读λ-者充分注意.(2) 等价的矩阵具有相同的秩、行列式因子、不变因子和初等因子.-λ（三）矩阵的标准形λ-1．矩阵不变因子λ-设的矩阵的秩为，那么可经过一系列的初等变换化成对角矩阵m n ⨯-λ()A λr ()A λ, ()11()()(),,(),0,,000r r d d diag d d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()*即存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使m ()P λn ()Q λ，()()()P A Q λλλ=()1(),,(),0,,0r diag d d λλ= 其中是首一多项式，且()i d λ(1,2,,)i r = .1()(),(1,2,,1)j j d d j r λλ+=- 并称※式为矩阵的标准形.其中称为的不变因子.-λ()A λ12(),(),,()r d d d λλλ ()A λ注意：若是一个阶数字矩阵，则的特征多项式必有A n A （1）；12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= （2）所有不变因子的次数之和.1(())n i i d n λ=∂==∑2、矩阵的行列式因子λ-（1）设的矩阵的秩为，那么对于正整数的全部阶子式m n ⨯-λ()A λr ,1,k k r ≤≤()A λk 的首项系数为1的最大公因式，称为的阶行列式因子，记为.()A λk ()k D λ（2）不变因子与行列式因子之间的关系是：12(),(),,()r d d d λλλ 12(),(),,()r D D D λλλ ，，……， （I ）11()()D d λλ=212()()()D d d λλλ=12()()()()r r D d d d λλλλ= （3）两个矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的不变因子或相同的各阶行列式因子.-λ（4）阶可逆矩阵的各阶行列式因子是，进一步，n -λ()A λ12()()()1n D D D λλλ====的不变因子是()A λ，12()()()1n d d d λλλ==== 从而知道矩阵的标准形是单位矩阵.即可逆的矩阵的标准形是单位矩阵，反过来，如果()A λE -λ矩阵与单位矩阵等价，那么一定是一个可逆矩阵.-λ()A λ()A λ3. 矩阵的初等因子与阶数字矩阵的初等因子λ-n （1）把矩阵的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，-λ()A λ所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算），称为的初等因子.()A λ特别地，如果为阶数字矩阵，的特征矩阵的初等因子习惯上称为的初等因子.A n A E A λ-A （2）设为阶数字矩阵，若特征矩阵等价于下列的对角形矩阵（不一定是标准形）A n E A λ-，1()()()n h B h λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 其中都是首一多项式. 那么将分解成互不相同的一次因式的方幂（相同的必须按出现的()i h λ()i h λ次数计算）就是的全部初等因子.A 4. 不变因子、行列式因子与初等因子之间的关系矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子之间存在有密切关系，它们之间可以互相-λ()A λ导出.（1）如果已知不变因子，直接使用定义可得到初等因子，利用上面的12(),(),,()r d d d λλλ 关系式（I ）可导出行列式因子.12(),(),,()r D D D λλλ （2）如果已知行列式因子，同样可以利用关系式（I ）导出不变因子12(),(),,()r D D D λλλ ，从而得出初等因子.12(),(),,()r d d d λλλ （3）如果已知矩阵的秩及其初等因子，这时可以将全部初等因子按不可约因子的方幂()A λr 降幂排列，同一个不可约因子的方幂排成一行.如果不可约因子的方幂的个数不足个，则在后面r 用1补足，这时全体不可约因子的方幂排成下列的形式：11121212221211122212(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),r r s s sr t t t t t t i i ir t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥= 那么，矩阵的不变因子是()A λ，12112()()()()sr r r t t t s d P P P λλλλ= ，11121212()()()()s r r r tt t s d P P P λλλλ---= ……………… 1112112()()()()s t t t r s d P P P λλλλ= 依此就可以得到矩阵的行列式因子.12(),(),,()r D D D λλλ 下图列出了矩阵及其标准形，不变因子，行列式因子以及秩与初等因子之间的关系.在计算过程中，读者可以根据具体情况采用适当的步骤进行.（四）矩阵的等价、数字方阵相似和对角化的条件λ-1．设与都是的矩阵，那么有下列等价条件：()A λ()B λm n ⨯-λ（1）与等价与有相同的标准形； ()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（2）与等价与有相同的不变因子；()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（3）与等价与有相同的行列式因子；()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（4）与等价与有相同的秩和初等因子；()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（5）与等价存在一系列初等矩阵和使得()A λ()B λ⇔-λ12,,,s P P P 12,,,t Q Q Q ；1212()()s t PP P A Q Q Q B λλ= （6）与等价存在可逆矩阵和使得.()A λ()B λ⇔-λ()P λ()Q λ()()()()P A Q B λλλλ=注意：两个阶数一样的矩阵仅是初等因子相同时，不能保证它们等价.例如矩阵-λ如的初等因子相同，但它们不等价.10()01A λλλ-=+⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)(1)0()00B λλλ-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭2．设都是阶数字矩阵，那么有下列关于矩阵相似的等价条件：,A B n （1）~与等价；A ⇔B E A λ-E B λ-（2）~与有相同的标准形；A ⇔B E A λ-E B λ-（3）~与有相同的不变因子；A ⇔B E A λ-E B λ-（4）~与有相同的行列式因子；A ⇔B E A λ-E B λ-（5）~与有相同的初等因子（或者与有相同的初等因子）；A ⇔B E A λ-E B λ-A B （6）~与有相同的若当标准形.A ⇔B A B 3．设是阶数字复矩阵，那么有下列等价条件：A n （1）与对角矩阵相似的充分必要条件是的不变因子没有重根；A E A λ-（2）与对角矩阵相似的充分必要条件是的初等因子都是一次的；A A （3）与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式没有重根；A A （4）与对角矩阵相似的充分必要条件是每个特征根的代数重数等于几何重数.A A （五）数字矩阵的若当标准形与有理标准形 从前面所谈论的化矩阵为对角形矩阵可知，并不是所有的阶数字矩阵都能相似对角化，虽然n 如此，但对于实数域上的阶对称矩阵，即实对称矩阵是一定与一个实对角矩阵相似的.于R n A A 是，我们自然会提出这样一个有待解决的重要问题：当一个矩阵不与对角矩阵相似时，能否退而求其次，使相似于一个比对角矩阵稍为复杂，但仍能给计算和研究带来便利的某种标准形呢？这就A 是我们下面要介绍的矩阵的若当标准形与有理标准形.1．矩阵的若当标准形（1）设是一个复数，形式为0λ0000000001000(,)00100001t tJ t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若当（Jordan ）块. 而由若干个若当块组成的准对角矩阵（分块对角矩阵）(,)i i J t λ1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称为若当形矩阵，其中参数可以是相等，也可以是不相等.12,,,s λλλ （2）由于若当块的特征矩阵的各阶行列式因子是0(,)J t λ0(,)E J t λλ-，1210()()()1,()()t t t D D D D λλλλλλ-=====- 因此，它的不变因子是.1210()()()1,()()t t t d d d d λλλλλλ-=====- 由此即得，的初等因子是，也就是若当块的初等因子.由于若当块0(,)E J t λλ-0()t λλ-0(,)J t λ完全被它的级数与主对角线上的元素所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子0(,)J t λt 0λ中.因此，若当块是由它的初等因子唯一决定的.0()t λλ-（3）类似地，我们可以求得若当形矩阵1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的初等因子是.1212(),(),,()s t t t s λλλλλλ--- 也就是说，每个若当形矩阵的全部初等因子是由它的全部若当块的初等因子构成的.而每个若当块是由其初等因子来决定的，由此可见，若当形矩阵除去其中的若当块排列的次序外，是被它的初等因子唯一决定的.（4）若当形矩阵的主要结论是：复数域上任一个阶矩阵都相似于一个若当形矩阵C n A ，1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 这个若当形矩阵称为的若当标准形.A （5）设是一个阶矩阵，是的若当标准形，那么A n J A ●存在可逆矩阵，使得；T 1T AT J -=●与有相同的秩与行列式；A J ●与有相同的特征多项式与最小多项式；A J ●特征矩阵与有相同的行列式因子；E A λ-E J λ-●与（或者与）有相同的不变因子与初等因子.E A λ-E J λ-A J （6）对于复数域上的维线性空间的任一个线性变换，在中必存在有一组基C n V σV ，使得在此基下的矩阵是一个若当形的.12,,,n ααα σ（7）每个阶的复数矩阵都与一个下（或上）三角形矩阵相似，其主对角线上的元素刚好n A 是矩阵的全部特征值. 即存在可逆矩阵，使A T （下三角形矩阵），110*n T AT λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 其中是矩阵的全部特征值.如果是一个多项式，则的全部特征值是1,,n λλ A ()g λ()g A，即1(),,()n g g λλ .11()0()*()n g T g A T g λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2．矩阵的有理标准形在上面我们讨论了复数域上任何一个阶矩阵可相似于一个若当形矩阵，下面我们将在任意C n 一个数域上来讨论类似的问题，而且证明了上任意一个阶矩阵必相似于一个有理标准形矩F F n 阵.（1）对于数域上的一个多项式F ，12121(),1n n n n n f a a a a n λλλλλ---=+++++≥ 称矩阵122100001000010000100001n n n a a a A a a ---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 是多项式的伴侣阵.()f λ多项式的伴侣阵的不变因子（即是的不变因子）是()f λA E A λ-，.121()()()1n d d d λλλ-==== ()()n d f λλ=（2）设阶矩阵的不变因子是n A 121,,1,(),(),,()k k n d d d λλλ++ 其中的次数大于等于1，并且假设分别是的()k i d λ+12,,,n k N N N - 12(),(),,()k k n d d d λλλ++ 伴侣阵，这时我们称分块对角矩阵12n k N N F N -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵的有理标准形.A （3）数域上的任意一个阶矩阵必相似于它的有理标准形（因为它们具有相同的初等因F n A 子）.注意：若当标准形在复数域上是一定存在的，而有理标准形在任何数域上都是存在的.（六）最小多项式及其性质 1．零化多项式与最小多项式设是一个数域，是上的阶数字矩阵，如果数域上的多项式使得，F A F n F ()f x ()0f A =则称以为根或为的零化多项式.()f x A ()f x A 在以为根的多项式中，次数最低且首一的多项式称为的最小多项式，记为.A A ()A m λ2、哈密顿─凯莱定理设是一个数域，是上的阶数字矩阵，记的特征多项式为F A F n A12121()n n n A n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 那么 12121()0n n n A n n f A A a A a A a A a E ---=+++++= 即的特征多项式是的零化多项式.同时，还有A A *12231211211()()()()n n n n n n E A A a A a a A a a E λλλλλλ-------=++++++++++ 3、最小多项式的性质设是数域上的阶数字矩阵，为的最小多项式.A F n ()A m λA （1）最小多项式是唯一的；（2）设，则的充分必要条件是；特别地，矩阵的最小()[]g F λλ∈()0g A =()()A m g λλA 多项式是的特征多项式的一个因式.()A m λA ()A f E A λλ=-（3）若是一个阶数字矩阵，且的特征多项式为A n A 12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= 那么；()()A n m d λλ=1()()A n f D λλ-=（4）的特征根都是根.A ()A m λ（5）设都是阶数字矩阵，如果相似，即~；,AB n ,A B A ⇔B ()()A B m m λλ=（6）设是准对角形，且分别是的最小多项式，那么1s A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ()i m λi A ；()A m λ12[(),(),,()]s m m m λλλ= （7）阶若当块t0000000001000(,)00100001t t J t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的最小多项式.0()()t J m λλλ=-（六）主要定理与结论定理1 假设都是阶数字矩阵，如果存在阶数字矩阵满足,A B n n 00,P Q 00()E A P E B Q λλ-=-则矩阵与相似.A B 作为矩阵多项式，矩阵也有下列的带余除法定理.-λ定理2 设是数域上的两个阶矩阵，其中(),()A B λλF n -λ1011(),(),0,1,,.m m m m i n B B B B B B M F i m λλλλ--=++++∈= 如果可逆，则存在矩阵及，满足0B -λ(),()L L Q R λλ(),()R R Q R λλ，，()()()()L L A B Q R λλλλ=+()()()()R R A Q B R λλλλ=+其中分别是零或者，且满足上述条件的(),()L R R R λλ(())(()),(())(())L R R B R B λλλλ∂<∂∂<∂及是唯一的.表示矩阵中所有元素的最高次数.(),()L L Q R λλ(),()R R Q R λλ(())A λ∂()A λ如果把定理2的矩阵分别改成数字矩阵的特征矩阵，那么定理2变成下列的()B λA E A λ-定理.定理3 对于任何不是零的阶数字矩阵，以及矩阵与，一定存在矩阵n A -λ()U λ()V λ-λ与以及数字矩阵与使得()Q λ()R λ0U 0V ，.0()()()U E A Q U λλλ=-+0()()()V R E A V λλλ=-+定理3的一个常用推论是下面的定理4 设，则存在唯一的矩阵使得()[],()n f F A M F λλ∈∈-λ()Q λ.()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+证明：存在性的验证. 假设多项式1011()m m m m f c c c c λλλλ--=++++ 那么，1011()m m m m f E c E c E c E c E λλλλ--=++++ 1011()m m m m f A c A c A c A c E--=++++ 取120121()m m m m Q D D D D λλλλ----=++++ 其中10110,0,1,, 1.kk i k k k i k k i D c A c A c A c A c k m ---===++++=-∑ 代入定理中，可以验证等式成立.唯一性的证明. 假设还存在有另一个矩阵使得-λ1()Q λ11()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+只要把两个等式相减，可以得到11(()())(()())Q Q A Q Q λλλλλ-=-再通过比较等式两边的次数，即可得到.■λ1()()Q Q λλ=定理5 阶数字矩阵的最大不变因子等于的所有初等因子的最小公倍式.n A ()n d λA 证明： 因为，将矩阵全部初等因子按不可约因子的方幂降幂排列，同一()r E A n λ-=A 个不可约因子的方幂排成一行，不足个的在后面用1补足. 排列的形式如下：n 11112221221*********(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),n n s s sn t t t t t t i i in t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥=那么，不变因子 ，也就是等于所有初等因子的最小公倍式. ■1112112()()()()s tt t n s d P P P λλλλ= 定理6设阶矩阵的最小多项式为，证明：，其中是n A ()m λ()()n m d λλ=()n d λ的最后一个不变因子.E A λ-证明：设的全部初等因子是A 1111211121111112112(),(),,(),(),(),,(),r sr s s s sn n n rn n n s s s s s sr n n n n n n λλλλλλλλλλλλ⎧---≤≤≤⎪⎪⎨⎪---≤≤≤⎪⎩其中两两不同.这时 .12,,,s λλλ 121212()()()()sr r r sn n n n s d λλλλλλλ=--- 其次，由于相似于若当标准形A ，1112srs n n n J J J J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1,1,2,,.1,2,,.1ij i i n s i J i s j r λλλ⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ 由于对角分块矩阵的最小多项式等于各分块矩阵最小多项式的最小公倍式，而且相似矩阵有相同的最小多项式，所以1111111()(),,(),,(),,()sr r s s n nn n s s m λλλλλλλλλ⎡⎤=----⎣⎦.■111()()()sr r s n ns n d λλλλλ=--= 定理7设是准对角形，且分别是的最小多项式，证明：1s A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()i m λi A ，其中表示的最小公倍式.()A m λ1[(),,()]s m m λλ= 1[(),,()]s m m λλ 1(),,()s m m λλ 证明：因为 ，所以，，1()()0()A A A s m A m A m A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭1()()0A A s m A m A === 即是矩阵零化多项式，因此，故是()A m λ1,,s A A )(|)(,,)(|)(1λλλλA s A m m m m ()A m λ的一个公倍式.1(),,()s m m λλ 另一方面，任取的一个公倍式，则有，1(),,()s m m λλ )(λh 1()()0()s h A h A h A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭可见是矩阵的一个零化多项式，所以，. 再因为的首项系数为1，因)(λh A ()|()A m h λλ()A m λ此. ■()A m λ1[(),,()]s m m λλ= 定理8 相似矩阵具有相同的最小多项式.证明：设阶矩阵与相似，即存在可逆矩阵，使得.又设分n A B T 1B T AT -=12(),()m m λλ别是矩阵，的最小多项式，且设A B 12110()s s s m b b b λλλλ--=++++ 那么，我们有121100()s s s m B B b B b B b E--==++++ 1111102()().s s s T A b A b A b E T T m A T ----=++++= 所以，，是的零化多项式，而是的最小多项式，因此，2()0m A =2()m λA 1()m λA .12()|()m m λλ类似可以证明，.再从的首项系数为1，即可得到.■21()|()m m λλ12(),()m m λλ12()()m m λλ=四、基本例题解题点击1．矩阵的基本概念与计算λ-【例1】设有矩阵，-λ2222123(),()1253A B λλλλλλλλλλλ⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭计算：（1）；（2）.()2()A B λλ-()()A B λλ⋅【提示及点评】矩阵的运算法则与数字矩阵的运算法则相同.-λ【例2】设，求.21()12A λλλλλ⎛⎫=⎪+++⎝⎭1()A λ-【提示及点评】可以按数字矩阵求逆的方法进行计算.【例3】设，求.00()1001A λλλλ=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()nA λ【解】因为00100000()1001010001001010A EB λλλλλλ==+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而，所以可以应用牛顿二项式定理来进行计算.EB BE B ==0111222()()n nnk n k k n n n n n n n k A E B C E B C E C B C B λλλλλλ---==+=⋅=++∑. ■1(1)21200nn nn n n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭【知识扩展提示】题目可以扩充为对任意阶数的若当块,0000000001000(,)00100001t tJ t λλλλλ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭求.0(,)nJ t λ【例4】设有矩阵-λ2221211111()2211,()2131221023A B λλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+-+--+=-+++=---+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭试求矩阵使得(),()L L Q R λλ，()()()()L L A B Q R λλλλ=+其中或者.()0L R λ=(())(())L R B λλ∂<∂【提示及点评】此例子主要介绍矩阵的带余除法定理.-λ【解】首先把矩阵表示成矩阵多项式的形式：(),()A B λλ22012100120111()010121211002101012A A A A λλλλλ---=++-=++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭01101111()010*********B B B λλλ--=+--=+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后借助于多项式除以多项式的运算，我们有01B B λ+2012A A A λλ++100()L Q B A λλ-=210100A B B A λλ-+1101100()B A B B A --+-111002()A B B A A λ--+1111100101100()()A B B A B B A B B A λ----+-112101100()()L R A B B A B B A λ--=--所以，，1110001100211()()134002L Q B A B A B B A λλλλλ-----⎛⎫ ⎪=+-=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭.■112101100250()()169205L R A B B A B B A λ--⎛⎫ ⎪=--= ⎪ ⎪-⎝⎭【知识扩展提示】题目如果是求矩阵使得，则在-λ(),()R R Q R λλ()()()()R R A Q B R λλλλ=+做多项式除法的时候，注意矩阵与相乘时的左右方向即可.01B B λ+()R Q λ2．求矩阵的标准形、行列式因子、不变因子与初等因子λ-（1）行列式因子的计算方法一：直接使用行列式因子的定义进行计算.【例5】设有矩阵-λ，2221211()2211122A λλλλλλλλλλλ⎛⎫-+-+- ⎪=-+++ ⎪ ⎪-+-⎝⎭试求其行列式因子.【解】由于矩阵的元素中含有非零常数1，所以一阶行列式因子.或者是由于下列()A λ1()1D λ=所有多项式{}2221,21,1,2,21,1,,1,22λλλλλλλλλλ-+-+--+++-+-的最大公因式是1，所以.1()1D λ=对于二阶行列式因子. 由于的2阶子式一共有9个，一一计算比较麻烦，我们只2()D λ()A λ要找出特别的几个出来，看它们是否互素即行. 由于2阶子式与22211λλλλ-++-2211211λλλλ-+-+++是互素的，即最大公因式是1，所以二阶行列式因子.2()1D λ=最后计算三阶行列式因子，由于矩阵的3阶子式只有1个，所以3()D λ()A λ. ■65432311()|()|(2338385)2D A a λλλλλλλλ==++--+-【注意】由于使用定义的方法求行列式因子的计算过程比较麻烦，因此一般很少用，除非是矩阵比较简单.()A λ方法二：先用初等变换化简矩阵，一般情况是化简成为标准形或者对角形，再对简化后的-λ矩阵求行列式因子.-λ【例6】设有矩阵-λ111()2131023B λλλλλ+--+=----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭试求其行列式因子.【解】由于(1)(3)1111023()2132131023111B λλλλλλλλλ↔+--+--=------+--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32100010002447λλλ-→→--+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此，所求的行列式因子是，. ■12()()1D D λλ==3237()222D λλλλ=-+-方法三：对于特殊类型的矩阵（如对角形、上下三角形等等），可以先求出阶数大的行列-λ式因子，再利用的关系，求出阶数低的行列式因子.1()|()k k D D λλ-【例7】设有下列矩阵-λ①；②1221000100010()0000001n n n a a a A a a λλλλλλ--⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭31104101()0021001A λλλλλ--⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+- ⎪⎝⎭试求它们的行列式因子.【解】① 由于矩阵的行列式()A λ12121|()|n n n n nA a a a a λλλλλ---=+++++ 所以，,12121()n n n n n n D a a a a λλλλλ---=+++++ 又由于在中有一个阶的子式，故，于是，()A λ1n -110001(1)0000001n λλλ---=--1()1n D λ-=.231()()()1n n D D D λλλ--==== ② 显然，2243121()(1)(1)411D λλλλλλλ--+-==-++又其中的一个3阶子式，11010123021λλλ-+=++-由于三阶行列式因子并且还有，因此可见，于是3()|(23)D λλ+34()|()D D λλ3()1D λ=. ■21()()1D D λλ==（2）矩阵的标准形、不变因子与初等因子的计算-λ方法一：直接使用矩阵的初等变换，求矩阵的标准形，进而可以得到不变因子.-λ【例8】用初等变换求下列矩阵的标准形、不变因子与初等因子.-λ.222223222213()2322A λλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪=--+-- ⎪ ⎪+++⎝⎭【提示及点评】在使用初等变换来求矩阵的标准形时，第一步应将矩阵左上角的元素变成-λ能够整除矩阵的所有元素，第二步才能消去矩阵的第一行与第一列的其余元素，重复这个过程即可把矩阵化其标准形. 关键的一步是在矩阵的所有元素中直接找出一个或者经过加减运算后找出-λ一个元素，使其能够整除矩阵的所有元素.【解】2222222322232(1)(2)(1)2222212112()23222322022A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+⋅-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪=--+--−−−−→--+-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭1000(1)000(1)(1)λλλλλ⎛⎫⎪→→+ ⎪⎪+-⎝⎭于是，的不变因子，从而得出矩阵的初()A λ123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-等因子是.■,,1,1, 1.λλλλλ++-方法二：对于一些形如上（下）三角形、对角形等特殊的矩阵，可以先求其行列式因子-λ（或者初等因子），再利用不变因子与行列式因子的关系，求出不变因子，进而得到矩阵的标准形.【例9】求下列矩阵的标准形与不变因子.-λ①；②21000210()00210002A λλλλλ+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭22220(1)00(1)000()000100(1)0A λλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭【解】① 显然，行列式因子，而且矩阵有一个3阶子式44()|()|(2)D A λλλ==+)(λA ，所以有，故的不变因子是 1002101021λλ+=+321()()()1D D D λλλ===)(λA ，，即的标准形是. 123()()()1d d d λλλ===44()(2)d λλ=+)(λA 410000100001000(2)λ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭② 虽然矩阵不是对角形，但可用初等变换化成对角形：)(λA 220(1)00(1)000λλλλ⎛⎫⎛⎫+-由此可得矩阵的初等因子是，而矩阵的)(λA 222,,,(1),(1),1,1,1λλλλλλλλ+++--秩=4，据此可知不变因子是，2123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-，故矩阵的标准形是224()(1)(1)d λλλλ=+- . ■22210000(1)0000(1)(1)0000(1)(1)λλλλλλλλ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+- ⎪+-⎝⎭（3）有关数字矩阵的初等因子的计算【例10】求下列数字矩阵的初等因子（以及不变因子，相应特征矩阵的行列式因子）...308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭【提示及点评】对于计算数字矩阵的初等因子，其实其过程与求矩阵的若当标准形一样. 计算方法与求一般矩阵的初等因子是一样的.-λ【解】因为(2)(3)1308308316111205205E A λλλλλλλλ+⋅----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-−−−−→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭210002(1)000(1)/2λλ-⎛⎫⎪→→+ ⎪⎪-+⎝⎭因此，所求的初等因子是，不变因子是，2(1),1λλ++2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+行列式因子是. ■3123()1,()1,()(1)D D D λλλλλ==+=+3．有关矩阵等价的判断与证明λ-【例11】判断下列两个矩阵是否等价？，010001()000000A λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭010100()000000B λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭【提示及点评】利用矩阵等价的6个方法之一进行判断.-λ【解】易见，矩阵与的行列式因子都是)(λA )(λB 241234()()1,()(),()()D D D D λλλλαλλα===+=+因此，矩阵与是等价的. ■)(λA )(λB 【例12】对于任意的阶矩阵，证明与等价.n -λ)(λA )(λA )(/λA 【提示及点评】可以证明它们有相同的行列式因子或者有相同的标准形.【解】假设矩阵的标准形是)(λA ()1()(),,(),0,,0r D diag d d λλλ= 因此，存在可逆矩阵使得，两边取转置得到)(,)(λλQ P )()()()(λλλλD Q A P =，从而知道与有相同的标准形，所以与)()()()()(////λλλλλD D P A Q ==)(λA )(/λA )(λA 等价.■)(/λA 4．有关数字矩阵的特征矩阵（特征多项式、凯莱定理）的应用A E A λ-【例13】设有矩阵，求，其中是正整数.130240121A -=---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭nA n 【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算.【解】设是矩阵的特征多项式，那么计算可得()||f E A λλ=-A 322()452(2)(1)f λλλλλλ=-+-=--再根据计算的要求，取多项式，并令（带余除法）nA ()ng λλ=2()()()n g f q a b cλλλλλλ==+++分别把代入，得到 .又因为是特征多项式2,1λλ==422,1na b c a b c ++=++=1λ=的2重根，所以，对上式两边求导后有()f λ///1()()()()()2n g f q f q a b n λλλλλλλ-=+++=再代入得到，.求解上面关于的联立方程组，我们可以得到1λ=2a b n +=,,a b c 121,223,22n n n a n b n c n+=--=-+=-因此，.■12323(12)02(12)23206(12)799271n n n n n n n A aA bA cE n n +⎛⎫--+ ⎪=++=--+-+⋅ ⎪ ⎪-+--⋅+⎝⎭【注意】关键是如何利用矩阵A 的特征值，找到关于的联立方程组.,,a b c 【例14】设有矩阵，及多项式，求130240121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭119653()461f λλλλλλλ=-+--+-.1()f A -【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算.【解】因为特征多项式，再由带余除法得到32()||452g E A λλλλλ=-=-+-2()()()(759933)f g q λλλλλ=+-+-因此，由哈密顿—凯莱定理得到,22433780()75993325238703997779f A A A E -⎛⎫ ⎪=-+-=- ⎪ ⎪--⎝⎭再求其逆，得到. ■43141354512811355511469113513590()0f A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭【注意】此题型的计算量比较大，关键是掌握其计算的方法与技巧.【例15】如果是一个阶可逆矩阵，导出使用哈密顿—凯莱定理求逆矩阵的公式.A n 1-A 【解】假定矩阵的特征多项式是A 12121()||n n n n nf E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 则由凯莱定理知道，121210n n n n n A a A a A a A a E ---+++++= 而，因此，(1)||0n na A =-≠1231211()n n n n nA A a A a A a E E a -----⋅++++= 即矩阵的逆矩阵A . ■11231211()n n n n nA A a A a A a E a ------=++++ 【知识扩展提示】题目可以改成：证明存在一个实系数多项式，使得.)(x g )(1A g A=-【例16】设是任意一个阶矩阵，且A n 12121()||n n n n nf E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 证明：的伴随矩阵是的多项式，并且A *A A .*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ 【证明】由上例知道，123121(1)()n n n n n A A a A a A a E a E----⋅-++++= 而，代入上述，可以得到||(1)||nn a A A =-=-1123121(1)()||n n n n n A A a A a A a E A E-----⋅-++++=所以，.■*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ 5．相似矩阵的判断与证明【例16】判断下列矩阵3253212610,222123365A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭是否相似.【提示及点评】要判断两个矩阵是否相似，通常的方法是先求出它们的不变因子（或行列式因子、或初等因子），如果它们相同，则相似，否则不相似.当然，如果两个矩阵的秩，行列式，特征多项式或最小多项式有一个不相等，则它们一定不相似.要注意的是，即使它们的秩，行列式，特征多项式或最小多项式都相等，仍然不能确定它们是否相似.许多学生往往根据两个矩阵的特征多项式相同，就断定这两个矩阵相似，这是初学者常犯的一个错误，请读者给予充分的注意.【解】由于2325100261002012300(2)E A λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭ 232110022202036500(2)E B λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-→→- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 从而，与有相同的不变因子，故与相似.■A B A B 【例17】假设多项式有个不同的根12121()n n n n n f a a a a λλλλλ---=+++++ n ，证明矩阵12,,,n λλλ 与 相似.1210000100001000001n n n a a A a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭12n B λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 【提示及点评】验证两个矩阵的不变因子相同即行.■【例18】下列形式的矩阵1100a b ⎛⎫⎪（其中称为上对角元素）称为海森伯格矩阵.试证明：两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵相j b 似的充分必要条件是它们有相同的特征多项式.【提示及点评】计算特征矩阵的行列式因子，再依此进行证明.H E -λ【证明】由于特征矩阵112231000*n n a b a b E H a b a λλλλλ---⎛⎫⎪--⎪⎪-=- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭如果，由于有一个阶的子式0(1,2,,1)jb j n ≠=- H E -λ1-n 1221121100(1)0n n n b a b b b b b λ------=-≠- 所以的行列式因子.由此得，的行列式因子是H E -λ1()1n D λ-=H E -λ.121()()()1,()()||n n H D D D D f E H λλλλλλ-======- 于是，两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵相似于与有相同的1H 2H ⇔1H E -λ2H E -λ行列式因子. ■⇔)()(21λλH H f f =6．求矩阵的Jordan 标准形和有理标准形【例19】求下列数字矩阵的若当（Jordan ）标准形和有理标准形.（1）； （2）.308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭230002000042013A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭【提示及点评】可以先求出矩阵的初等因子，然后由初等因子写出矩阵的若当标准形及有理标准形.【解】（1）由于2308308100316112401020520500(1)E A λλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+-→++→+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，初等因子是，因此矩阵的若当标准形与有理标准形分别是21,(1)λλ++A J F，.100010011J -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭100001012F -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（2）容易算得，矩阵的初等因子是，所以，若当标准形与有理标A 25,2,(2)λλλ---J 准形分别是F ，. ■52212J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭520414F ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭【知识扩展提示】从上面的例子可以看出，矩阵的若当标准形 = 有理标准形的充分必要A J F 条件是：矩阵的初等因子都是一次的.A 【例20】设. 求可逆矩阵，使得成为若当标准形.308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭T 1T AT -【提示及点评】这是求相似变换矩阵的问题. 可先求出若当标准形，然后通过求解线性方程组来求可逆矩阵.T 【解】由例19知道，矩阵的若当标准形是A .100010011J -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭设有可逆矩阵，使得，则.令，其中是列T 1T AT J -=AT TJ =()123,,T ααα=123,,ααα向量组，那么1122333,,,A A A ααααααα=-=-+=-所以，是的属于特征值的特征向量，且满足.13,ααA 1λ=-23,αα23()A E αα+=下面先求向量，因，所以是齐次线性方程组2α223()()0A E A E αα+=+=2α2()0A E X +=的非零解，并且满足()0A E X +≠又因为，所以每一个非零向量都是的非零解. 取2()0A E +=2()0A E X +=，则()/21,1,1α=/32()(12,9,6)0.A E αα=+=-≠再从齐次线性方程组()0A E X +=求出一个属于特征值的特征向量，此时取矩阵1λ=-/1(2,0,1)α=-()1232112,,019116T ααα-==-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则可逆，且T ■1100010011.T AT J --==--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7．矩阵最小多项式的计算及在证明中的应用求阶方阵的最小多项式，通常采用如下三种方法：n A ()A m λ方法一试探法：首先求出的特征多项式，然后写出中包含的所A ()||f E A λλ=-()f λA 有互异特征值的因式，最后验证这些因子是否是的零化多项式，其中次数最低的首一多项式即是A .()A m λ方法二 求出的若当标准形，再利用A 1212()()()()tr r r A t m λλλλλλλ=--- 其中是的若当标准形中以为对角元的若当块的最高阶数.i r A J i λ方法三 当的阶行列式因子易于求得，利用求最小多项式.A 1-n 1()n D λ-1()()()A n f m D λλλ-=【例21】求下列矩阵的最小多项式.(1)； (2)；(3)2300020000420013A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭2123021200210002A ⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎝⎭308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭【解】(1)因为，其包含的所有互异的特征值的因式有：3()||(2)(5)f E A λλλλ=-=--A ，直接计算有23(2)(5),(2)(5),(2)(5)λλλλλλ------，(2)(5)0A E A E --≠2(2)(5)0A E A E --=从而的最小多项式.A 2()(2)(5)A m λλλ=--(2) 显然可以求得的三阶行列式因子，而特征多项式，所E A λ-3()1D λ=4()(2)f λλ=-以最小多项式.443()()()(2)()A f m d D λλλλλ===-(3) 由例19知道，矩阵的不变因子是，所以最小A 2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+多项式是.■2()(1)A m λλ=+【例22】求指定的数字矩阵的最小多项式A (1) 4阶矩阵的元素均是1；A (2) ；123331313;3;31333J J J ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) 已知3阶矩阵的特征值分别是1，-1，2，B 325A B B =-(4) 的充分必要条件是什么？()()A A f m λλ=(5) 若的特征值都是单根，那么对吗？A ()()A A f m λλ=【解】(1)由于，而计算知道，所以最小多项式是3()||(4)A f E A λλλλ=-=-(4)0A E A -=.()(4)A m λλλ=-【知识扩展提示】题目可扩充为如果阶矩阵的所有元素都是且不为零，求其最小多项式.n A a (2) 可以把矩阵看作若当标准形矩阵，其最小多项式由各个若当块的最小多项式的最小公倍式组成. 因此，3个矩阵的最小多项式分别是；；1()[3,3,3]3J m λλλλλ=---=-222()[(3),3](3)J m λλλλ=--=-333()[(3)](3)J m λλλ=-=-(3) 由于，而且矩阵的特征值分别是1，-1，2，由此，可以求得矩阵的特325A B B =-B A 征值分别是-4，-6，-12.故的特征多项式，由此得到的最小多A ()(4)(6)(12)A f λλλλ=+++A 项式是.()(4)(6)(12)A m λλλλ=+++(4)对于阶数字矩阵，的充分必要条件是的行列式因子n A ()()A A f m λλ=E A λ-. 这可从计算公式得到.1()1n D λ-=1()()()A n f m D λλλ-=(5) 若的特征值都是单根，那么矩阵与一对角矩阵相似，从而知道最小多项式没A A ()A m λ有重根，再根据特征多项式与含有相同的的特征值，因此有. ■()A f λ()A m λA ()()A A f m λλ=【例23】求矩阵的全体零化多项式集.2300020000420013A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭【提示及点评】求一个矩阵的零化多项式集，其实是求矩阵的最小多项式，再转化成一种零化。
高等代数第八章 λ-矩阵
A−1 (λ ).
§8.1 λ─矩阵 λ─矩阵
判定：
（定理1） 一个 n × n 的 λ ―矩阵 A(λ )可逆 定理 ） 矩阵
⇔ A(λ ) 是一个非零常数 是一个非零常数.
证: “ ⇒ ” 可逆， 若 A(λ ) 可逆，则有 B(λ )，使
A(λ ) B( λ ) = E
两边取行列式，得 两边取行列式，
§8.1 λ─矩阵 λ─矩阵
一、λ－矩阵的概念
定义：
是多项式环， 设P是一个数域， λ 是一个文字， P[λ ]是多项式环， 是一个数域， 是一个文字， 若矩阵A的元素是 的多项式， 的元素， 若矩阵 的元素是 λ 的多项式，即 P[λ ] 的元素，则 矩阵，并把A写成 称A为 λ ―矩阵，并把 写成 A(λ ). 为
注：
数域P上的矩阵 上的矩阵—数字矩阵也 ① Q P ⊂ P[λ ], ∴ 数域 上的矩阵 数字矩阵也 矩阵. 是 λ ―矩阵 矩阵
§8.1 λ─矩阵 λ─矩阵
矩阵也有加法、 ② λ ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 矩阵也有加法 减法、乘法、数量乘法运算， 其定义与运算规律与数字矩阵相同. 其定义与运算规律与数字矩阵相同 矩阵， ③ 对于 n × n 的 λ ―矩阵，同样有行列式 | A(λ ) |, 矩阵 的多项式， 它是一个λ 的多项式，且有
A(λ ) B(λ ) = A(λ ) B(λ ) = E = 1
∴ A( λ ) , B(λ ) 都是零次多项式，即为非零常数. 都是零次多项式，即为非零常数
§8.1 λ─矩阵 λ─矩阵
“ ⇐ ” 设 A(λ ) = d 是一个非零常数 是一个非零常数.
A∗ ( λ ) 为 A(λ )的伴随矩阵，则 的伴随矩阵，
高等代数教学大纲
高等代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质：高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。
对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。
高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。
高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。
2、课程教学目的要求（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。
(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。
(6) 根据教学的实际内容的需要，对大纲所列各章内容，分别提出了具体的目的要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。
本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。
线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。
本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。
多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式的一些必要的知识，为后继课提供准备；线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组，线性空间与线性变换理论。
8.7高代课件
所以
mA()E (E A)h(E, A)
左乘B()得
mA()B() B()(E A)h(E, A) Dn ()h(E, A)
即
mA()C() dn ()h(E, A)
因为C()的元素互素，所以 dn()|mA(). 故
mA()=dn() ‖
推论 设A 是数域K 上的n 阶方阵，则A的特征
多项式与最小多项式相等 Dn-1()=1
定理8.24 复数域C 上的n 阶方阵A 与对角矩阵相 似的充分必要条件是，A 的最小多项式没有重根.
例8.17 设A 是 n阶方阵，若有正整数k 使得 Ak=E, 证明A 相似于对角矩阵.
习题 设A 满足 A2-5A+6E=O, 证明A 相似于对角 矩阵.
例8.15 求矩阵A 的最小多项式.其中
7 4 1 A 4 7 1
4 4 4
解 因为A 的特征多项式
7 4 1 f () det(E A) 4 7 1 ( 3)2( 12)
4 4 4
由于
4 4 1 5 4 1 (A 3E)(A 12E) 4 4 1 4 5 1 O
因为 f (2)=f (1) =f '(1)=0, 所以
2100 4b2 2b1 b0 1 b2 b1 b0 100 2b2 b1
解之得 b2=2100-101, b1=-2101+302, b0=2100-200, 故
A100
b2 A2
b1A b0E
199 400
201
100 201 2100 101
0 0 2100
8.8.2 最小多项式 定义8.9 设A 是数域K 上的n 阶方阵， f (t) 是K 上多项式，如果 f (A)=O ，则称 f (t) 是 A 的零化 多项式. 在A 的零化多项式中，次数最低且首项系数 为1的多项式称为A 的最小多项式. 定理8.18 设A 是数域K 上的n 阶方阵，则A 的最 小多项式存在且唯一. 证 存在性由Hamilton-Cayley定理保证.
高等代数第八章 Lamda-矩阵(小结)
6.
是数域P上两个 矩阵. 相似的 设A,B是数域 上两个 ×n矩阵.A与B相似的 , 是数域 上两个n× 矩阵 与 相似
<＝>是它们的特征矩阵 -A和λE-B等价 ＝ 是它们的特征矩阵λE- 和 - 等价 是它们的特征矩阵 等价. 7. 两个同级复数矩阵相似的 ＝ 是 两个同级复数矩阵相似的<＝>是它们有相同 同级复数矩阵相似
的初等因子. 的初等因子 8. 首先用初等变换化特征矩阵 -A为对角形式， 首先用初等变换化特征矩阵λE- 为对角形式， 特征矩阵
然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次 然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次 因式方幂的乘积， 所有这些一次因式的方幂( 因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相 的全部初等因子 同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子. 同的按出现的次数计算)就是 的全部初等因子
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每个n级的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似， 级的复数矩阵 若当形矩阵相似 9. 每个 级的复数矩阵 都与一个若当形矩阵相似， 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是 若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外 被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形. 被矩阵 唯一决定的，它称为 的若当标准形. 唯一决定的 10. 是复数域上n维线性空间V的线性变换， 10 设A是复数域上 维线性空间 的线性变换， 是复数域上 在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是 中必定存在一组基， 在这组基下的矩阵是 若当形，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的 若当形，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的 排列次序外是被A唯一决定的 唯一决定的. 排列次序外是被 唯一决定的. 11. 复数矩阵A与对角矩阵相似 相似的 ＝ 是 的 11 复数矩阵 与对角矩阵相似的<＝>是A的初等 因子全为一次的( 因子全为一次的(或A的不变因子都没有重根). 全为一次的 的不变因子都没有重根).
高代选讲第八章
第八章 λ-矩阵一、λ-矩阵及其性质： 1. λ-矩阵的概念：设P 是一个数域，()()1,2,,;1,2,,ij a i m j n λ== 为数域P 上的多项式，称形如()()()()()()()()()()()()111212122212n n ij m nn n nn a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλ⨯⎛⎫⎪⎪A == ⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵为数域P 上的一个m n ⨯多项式矩阵，简称λ-矩阵.当m n =时，称()A λ为n 阶λ-矩阵. 2. λ-矩阵的秩：如果λ-矩阵中有一个r 阶子式不为零，而所有1r +阶子式（如果有的话）全为零，则称λ-矩阵的秩为r .如果s n ⨯的λ-矩阵的秩为s ，则称它是行满秩的；如果秩为n ，则称它为列满秩的；如果n 阶λ-矩阵的秩为n ，则称它为满秩的.3. λ-矩阵的逆矩阵：设()A λ为n 阶λ-矩阵，如果存在n 阶λ-矩阵()B λ，使得()()()()A B B A E λλλλ==则称()A λ是可逆的，又称()B λ是()A λ的逆矩阵.可逆λ-矩阵()A λ的逆矩阵是唯一的，记为()1A λ-.4. n 阶λ-矩阵()A λ可逆的充分必要条件是()A λ是一个非零的数.当()A λ可逆时，其逆矩阵为()()()1*1AAA λλλ-=其中()*Aλ是()A λ的伴随矩阵.二、λ-矩阵在初等变换下的标准型 1. λ-矩阵的初等变换对λ-矩阵进行的以下三种变换分别称为λ-矩阵的初等行（列）变换： （1） 交换两行（列）；（2） 以非零常数k 乘某一行（列），其中k P ∈； （3）某一行（列）加另一行（列）的()ϕλ倍，其中()ϕλ是λ的多项式. 2.初等λ-矩阵由n 阶单位矩阵E 经过一次λ-矩阵的初等变换得到的矩阵称为初等λ-矩阵，共三类：（1）(),P i j ——交换E 的,i j 两行（列）所得的初等λ-矩阵；（2）()()P i k ——用0k ≠乘E 的第i 行（列）所得的初等λ-矩阵；（3）()()(),P i j ϕλ——将E 的第i 行加上第j 行的()ϕλ倍（或第j 列加上第i 列的()ϕλ倍）所得的初等λ-矩阵； 3. λ-矩阵的等价如果λ-矩阵()A λ可以经过有限次的λ-矩阵的初等变换化成()B λ，则称()A λ与()B λ等价.等价是λ-矩阵之间的一种关系.这个关系具有下列三个性质： （1） 反身性：每个λ-矩阵与自己等价；（2） 对称性：若()A λ与()B λ，则()B λ与()A λ等价； （3）传递性：若()A λ与()B λ等价，()B λ与()C λ等价，则()A λ与()C λ等价.4.任何一个秩为()1r ≥的m n ⨯的λ-矩阵()A λ都等价于（通过λ-矩阵的初等变换）下列形式的矩阵()()()12r d O d d OO λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中()(1,2,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式，且1()|()(1,2,,1)i i d d i r λλ+=-称这个矩阵为()A λ的Smith 标准型，又称()(1,2,,)i d i r λ= 为()A λ的不变因子.三、不变因子 1.行列式因子：设λ-矩阵()A λ的秩为r ，对于正整数k ，1k r ≤≤，()A λ中必有非零的k 级子式. ()A λ中全部k 级子式的首项系数为1的最大公因式()k D λ称为()A λ的k 级行列式因子.2.不变因子：()A λ的标准形中主对角线上的非零元素12(),(),,()r d d d λλλ称为λ-矩阵()A λ的不变因子. 3. 行列式因子与不变因子的关系设是秩为r 的m n ⨯的λ-矩阵，()(1,2,,)i D i r λ= 是()A λ的行列式因子，而()(1,2,,)i d i r λ= 是()A λ的不变因子，则 ()()()12()i i D d d d λλλλ=(1,2,,)i r = ()()()()()111,i i i D d D d D λλλλλ-==(1,2,,)i r =即它们是互相确定的.4.两个等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.四、矩阵相似的条件 1.矩阵的不变因子：矩阵A 的特征矩阵A λE -的不变因子简称为A 的不变因子.2.矩阵的初等因子：把矩阵A 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A 的初等因子. 3.求初等因子的方法：λ-矩阵()A λ的初等因子可以不必通过不变因子求出： 方法1.设()A λ经过初等变换化为对角形式（不必是标准形）12()()()r g g O g OO λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将()(1,2,,)i g i r λ= 在数域P 上分解为标准分解式，则在标准分解式中出现的全体不可约因式的方幂就是()A λ的全部初等因子。
高等代数§矩阵的有理标准形
由 唯一决定的，称为 的有理标准形.
整理ppt
7
Example 求
0 1 1
A
1 1
0 1
1 0
的有理标准形。
Ans.
整理ppt
8
Solution 容易看出
1 1
EA11
1
1
D1A() 1,D2A() 1,D3A() (1)2(2) d1() 1,d2() 1,d3() 2 2
整理ppt
3
Method
设 A (aij ) 是 n 阶方阵,其特征矩阵 (E A)中非常数
的不变因子有 s 个: d1(),d2(), ,ds(), 因而有
d i()|d i 1 () ,( i 1 ,2 , ,s 1 )
于是
1
1
E A
d1( )
,
d
s
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令d i ( ) n i a i 1 n i 1 整a 理i p2 pt n i 2 a i , n i 1 a 4i n i
Corollary 矩阵 A 是数量矩阵的充分必要条件 是它的特征矩阵的不变因子都是非 常数。
整理ppt
6
Theorem
数域 P 上nn方阵 A 在上相似于唯一 的一个有理标准形，称为 A 的有理标 准形.
Theorem
设 是数域 P 上 n 维线性空间V 的线性变换， 则在V 中存在一组基，使 在该基下的矩
2
Proposition d ( ) 的伴侣阵 A 的不变因子为
1 ,1 , ,1 ,d ( ).
Remark 以上命题表明，给定一个 n 次多项式
f ( ) ,一定有一个 n 阶矩阵,它的特征
【精品】高等代数北大版教案第8章矩阵
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 【关键字】精品第八章 -矩阵本章主要介绍-矩阵及其性质，并用这些性质证明若当标准形的主要定理。
§1 -矩阵如果一个矩阵的元素是的多项式，即的元素，这个矩阵就称为-矩阵。
为了与-矩阵相区别，我们把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。
由于数域中的数也是中的元素，所以在-矩阵中包括以数为元素的矩阵，即数字矩阵为-矩阵的一个特殊情形。
同样可以定义一个-矩阵的行列式，既然有行列式，也就有-矩阵的子式的概念。
利用这个概念。
我们有定义1 如果-矩阵中有一个级子狮不为零。
而所有级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为，零矩阵的秩规定为零。
定义2 一个的-矩阵称为可逆的，如果有一个的-矩阵使== （1）这里是级单位矩阵。
适合（1）的矩阵（它是唯一的）称为的逆矩阵，记为关于-矩阵可逆的条件有定理1 一个的-矩阵是可逆的充分必要条件为行列式是一个非零的数。
§2 -矩阵在初等变换下的标准形-矩阵也有初等变换。
定义3 下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式。
初等变换都是可逆的，并且有。
为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：代表行（列）互换位置；代表用非零的数去乘行（列）；代表把行（列）的倍加到行（列）。
定义4 -矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为。
等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：（1）反身性：每一个-矩阵与自己等价。
（2）对称性：若与等价，则与等价。
这是由于初等变换具有可逆性的缘故。
（3）传递性：若与等价，与等价，则与等价，引理设-矩阵的左上角，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低。
定理2 任意一个非零的的-矩阵都等价与下列形式的矩阵最后化成的这个矩阵称为的标准形。
高等代数教案第八章λ-矩阵
第八章 -λ矩阵§1 -λ矩阵设P 是数域，λ是一个文字，作多项式环][λP ，一个矩阵如果它的元素是λ的多项式，即][λP 的元素，就称为-λ矩阵.在这一章讨论-λ矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.因为数域P 中的数也是][λP 的元素，所以在-λ矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与-λ矩阵相区别，把以数域P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用Λ),(),(λλB A 等表示-λ矩阵.我们知道，][λP 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义-λ矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个n n ⨯的-λ矩阵的行列式.一般地，-λ矩阵的行列式是λ的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.定义1 如果-λ矩阵)(λA 中有一个)1(≥r r 级子式不为零，而所有1+r 级子式（如果有的话）全为零，则称)(λA 的秩为r .零矩阵的秩规定为零.定义 2 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 称为可逆的，如果有一个n n ⨯的-λ矩阵)(λB 使E A B B A ==)()()()(λλλλ, (1)这里E 是n 级单位矩阵.适合(1)的矩阵)(λB (它是唯一的)称为)(λA 的逆矩阵，记为)(1λ-A ..定理1 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 是可逆的充要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数.§2 -λ矩阵在初等变换下的标准形-λ矩阵也可以有初等变换定义3 下面的三种变换叫做-λ矩阵的初等变换：(1) 矩阵的两行（列）互换位置；(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c ；(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的)(λϕ倍，)(λϕ是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第j 行的)(λϕ倍加到第i 行上得行行列列j i j i P j i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11)(11))(.(O M O ΛO λϕϕ 仍用),(j i P 表示由单位矩阵经过第i 行第j 行互换位置所得的初等矩阵，用))((c i P 表示用非零常数c 乘单位矩阵第i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 作一次初等变换就相当于在)(λA 的左边乘上相应s s ⨯的初等矩阵；对)(λA 作一次初等列变换就相当于)(λA 在的右边乘上相应的n n ⨯的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有))(,())(,(,))(())((,),(),(1111ϕϕ-===----j i P j i P c i P c i P j i P j i P .由此得出初等变换具有可逆性：设-λ矩阵)(λA 用初等变换变成)(λB ，这相当于对)(λA 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘)(λB 就变回)(λA ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由)(λB 可用初等变换变回)(λA .定义4 -λ矩阵)(λA 称为与)(λB 等价，如果可以经过一系列初等变换将)(λA 化为)(λB .等价是-λ矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (!) 反身性：每一个-λ矩阵与它自身等价.(2) 对称性：若)(λA 与)(λB 等价，则)(λB 与)(λA 等价.(3) 传递性：若)(λA 与)(λB 等价，)(λB 与)(λC 等价，则)(λA 与)(λC 等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为有一系列初等矩阵t l Q Q Q P P P ,,,,,,,2121ΛΛ，使t l Q Q Q B P P P A ΛΛ2121)()(λλ=. (2)这一节主要是证明任意一个-λ矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵. 引理 设-λ矩阵)(λA 的左上角元素0)(11≠λa ，并且)(λA 中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与)(λA 等价的矩阵)(λB ，它的左上角元素也不为零，但是次数比)(11λa 的次数低.定理2 任意一个非零的n s ⨯的-λ矩阵)(λA 都等价于下列形式的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00)()()(21O O λλλr d d d , 其中),,2,1)((,1r i d r i Λ=≥λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i Λλλ.这个矩阵称为)(λA 的标准形.例 用初等变换化-λ矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++---=232211121)(λλλλλλλλλλλA 为标准形.§3 不 变 因 子现在来证明，-λ矩阵的标准形是唯一的.定义5 设-λ矩阵)(λA 的秩为r ，对于正整数,1,r k k ≤≤，)(λA 中必有非零的k 级子式. )(λA 中全部k 级子式的首项系数为1的最大公因式)(λk D 称为)(λA 的k 级行列式因子.由定义可知，对于秩为r 的-λ矩阵，行列式因子一共有r 个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.定理3 等价的-λ矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00)()()(21O O λλλr d d d (1) 其中)(,),(),(21λλλr d d d Λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i Λλλ.不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k 级子式一定为零.因此，为了计算k 级行列式因子，只要看由k i i i ,,,21Λ行与k i i i ,,,21Λ列组成的k 级子式就行了，而这个k 级子式等于)(,),(),(21λλλk i i i d d d Λ显然，这种k 级子式的最大公因式就是)()()(21λλλk d d d Λ定理4 -λ矩阵的标准形是唯一的.证明 设(1)是)(λA 的标准形.由于)(λA 与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，)(λA 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r ;)(λA的k 级行列式因子就是),,2,1()()()()(21r k d d d D k k ΛΛ==λλλλ. (2)于是)()()(,,)()()(,)()(112211λλλλλλλλ-===r r r D D d D D d D d Λ. (3) 这就是)(λA 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被)(λA 的行列式因子所唯一决定的，所以)(λA 的标准形是唯一的.定义6 标准形的主对角线上非零元素)(,),(),(21λλλr d d d Λ称为-λ矩阵)(λA 的不变因子.定理5 两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.由(3)可以看出，在-λ矩阵的行列式因子之间，有关系式)1,,2,1()(|)(1-=+r k D D k k Λλλ. (4)在计算-λ矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.例如，可逆矩阵的标准形.设)(λA 为一个n n ⨯可逆矩阵，由定理1知d A =|)(|λ,其中d 是一非零常数，这就是说1)(=λn D于是由(4)可知，),,2,1(1)(n k D k Λ==λ从而),,2,1(1)(n k d k Λ==λ因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵E .反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件是有一系列初等矩阵t l Q Q Q P P P ,,,,,,,2121ΛΛ，使t l Q Q Q B P P P A ΛΛ2121)()(λλ=特别是，当时E B =)(λ，就得到定理6 矩阵)(λA 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积. 推论 两个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为，有一个s s ⨯可逆矩阵与一个n n ⨯可逆矩阵)(λQ ，使)()()()(λλλλQ A P B =.§4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵A 的特征值和特征向量时曾出现过-λ矩阵A E -λ,我们称它A 为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个n n ⨯数字矩阵A 和B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.引理1 如果有n n ⨯数字矩阵00,Q P 使00)(Q B E P A E -=-λλ, (1)则A 和B 相似.引理2 对于任何不为零的n n ⨯数字矩阵A 和-λ矩阵)(λU 与)(λV ，一定存在-λ矩阵)(λQ 与)(λR 以及数字矩阵0U 和0V 使0)()()(U Q A E U +-=λλλ, (2)0))(()(V A E R V +-=λλλ. (3)定理7 设A ，B 是数域P 上两个n n ⨯矩阵. A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.矩阵A 的特征矩阵A E -λ的不变因子以后简称为A 的不变因子.因为两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论 矩阵A 与B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子.应该指出，n n ⨯矩阵的特征矩阵的秩一定是n .因此，n n ⨯矩阵的不变因子总是有n 个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.§5 初等因子一、初等因子的概念定义7 把矩阵A （或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A (或线性变换A )的初等因子.例 设12级矩阵的不变因子是222229)1)(1()1(,)1()1(,)1(,1,,1,1++-+--λλλλλλ43421Λ个. 按定义，它的初等因子有7个，即22222)(,)(,)1(,)1(,)1(,)1(,)1(i i +-++---λλλλλλλ.其中2)1(-λ出现三次，1+λ出现二次.现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设n 级矩阵A 的不变因子)(,,)(,)(21λλλn d d d Λ为已知.将),,2,1)((n i d i Λ=λ分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：r k r k k d 11211)()()()(211λλλλλλλ---=Λ,r k r k k d 22221)()()()(212λλλλλλλ---=Λ,nr n n k r k k n d )()()()(2121λλλλλλλ---=ΛΛΛΛΛΛΛ,则其中对应于1≥ij k 的那些方幂)1()(≥-ij k j k ij λλ就是A 的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即)1,,2,1()(|)(1-=+n i d d i i Λλλ,从而),,2,1;1,,2,1()(|)(,1r j n i j i ij k j k j ΛΛ=-=--+λλλλ.因此在)(,,)(,)(21λλλn d d d Λ的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即),,2,1(21r j k k k nj j j ΛΛ=≤≤≤.这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在)(λn d 的分解中，方次次高的必定出现在)(1λ-n d 的分解中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.二、初等因子与不变因子的求法上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个n 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式),,2,1)((r j j Λ=-λλ的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足n 时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成n 个.设所得排列为),,2,1(,)(,,)(,)(1,1r j j j n nj kj k j k j ΛΛ=----λλλλλλ. 于是令 ),,2,1()()()()(2121n i d ir i i k r k k i ΛΛ=---=λλλλλλλ,则)(,,)(,)(21λλλn d d d Λ就是A 的不变因子.这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.综上所述，即得定理8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.如果多项式)(,)(21λλf f 都与)(,)(21λλg g 互素，则.))(,)(())(,)(())()(),()((21212211λλλλλλλλg g f f g f g f ⋅=.引理 设)()(00)()()(2211λλλλλg f g f A =,)()(00)()()(2112λλλλλg f g f B =,如果多项式)(,)(21λλf f 都与)(,)(21λλg g 互素，则)(λA 和)(λB 等价.定理9 首先用初等变换化特征矩阵A E -λ为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A 的全部初等因子.§6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.不难算出若尔当块nn J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001000010001000λλλΛM M M M ΛΛΛ 的初等因子是n )(0λλ-.事实上，考虑它的特征矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-00001000010001000λλλλλλλΛM M M M ΛΛΛJ E显然n J E )(00λλλ-=-，这就是0J E -λ的n 级行列式因子.由于0J E -λ有一个1-n 级子式是100)1(100100001001--=------n ΛΛM MM M ΛΛλλλλ,所以它的1-n 级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1.因此它的不变因子n n n d d d )()(,1)()(011λλλλλ-====-Λ.由此即得，0J E -λ的初等因子是n )(0λλ-.再利用§5的定理9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s J J J J O21 是一个若尔当形矩阵，其中),,2,1(100010001000s i J ii k k i i ii ΛΛM M M M ΛΛΛ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯λλλ. 既然i J 的初等因子是),,2,1()(s i i k i Λ=-λλ，所以i J E -λ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-i k i )(11λλO 等价.于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-s k k k J E J E J E J E s λλλλO2121 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---s k s k k )(11)(11)(112121λλλλλλOOO 等价.因此，J 的全部初等因子是：s k s k k )(,,)(,)(2121λλλλλλ---Λ.这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数n 与主对角线上元素0λ所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子n )(0λλ-中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.定理10 每个n 级的复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.例1 §5的例中，12级矩阵的若尔当标准形就是1212101011110111011101⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----i i i i 例2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A的若尔当标准形.定理10换成线性变换的语言来说就是：定理11 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A 唯一决定的.应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得定理12 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的初等因子全为一次的.根据若尔当形的作法，可以看出矩阵A 的最小多项式就是A 的最后一个不变因子.因此有定理13 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的不变因子都没有重根.虽然我们证明了每个复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵A 的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵T ，使AT T 1-成若尔当标准形的问题. T 的确定牵涉到比较复杂的计算问题.最后指出，如果规定上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000100000100001λλλλΛΛM M M M M ΛΛ为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理10，定理11的结论也成立.§7 矩阵的有理标准形前一节中证明了复数域上任一矩阵A 可相似于一个若尔当形矩阵.这一节将对任意数域P 来讨论类似的问题.我们证明了P 上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.定义8 对数域P 上的一个多项式n n n a a d +++=-Λ11)(λλλ称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--12110010001000a a a a A n n n ΛM M M M ΛΛΛ (1)为多项式)(λd 的伴侣阵.容易证明，A 的不变因子(即A E -λ的不变因子)是)(,1,,1,11λd n 43421Λ个-.（见习题3）定义9 下列准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A O21, (2) 其中i A 分别是数域P 上某些多项式),,2,1()(s i d i Λ=λ的伴侣阵，且满足)(||)(|)(21λλλs d d d Λ，A 就称为P 上的一个有理标准形矩阵.引理 (2)中矩阵A 的不变因子为)(,,)(,)(,1,,1,121λλλs d d d ΛΛ，其中1的个数等于)(,,)(,)(21λλλs d d d Λ的次数之和n 减去s .定理14 数域P 上n n ⨯方阵A 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A 的有理标准形.把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为定理15 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中存在一组基，使A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A 唯一决定的，称为A 的有理标准形.例 设33⨯矩阵A 的初等因子为)1(,)1(2--λλ，则它的不变因子是1，2)1(,)1(--λλ，它的有理标准形为.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210100001.第八章 -λ矩阵(小结)一、基本概念-λ矩阵，可逆的-λ矩阵，秩；-λ矩阵的初等变换及标准形，-λ矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形.二、主要结论1. 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 是可逆的充要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数.2. 任意一个非零的n s ⨯的-λ矩阵)(λA 都等价于其唯一的标准形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00)()()(21O O λλλr d d d , 其中),,2,1)((,1r i d r i Λ=≥λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i Λλλ.3. 两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.4. 矩阵)(λA 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.5. 两个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为，有一个s s ⨯可逆矩阵与一个n n ⨯可逆矩阵)(λQ ，使)()()()(λλλλQ A P B =.6. 设A ，B 是数域P 上两个n n ⨯矩阵. A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.7. 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.8. 首先用初等变换化特征矩阵A E -λ为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.9. 每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.10. 设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.11. 复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的(或A的不变因子都没有重根).12. 数域P上nn 方阵A在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理标准形.13. 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A 的有理标准形.。
高等代数.第八章.λ-矩阵(介绍).课堂笔记
课堂笔记
第九章
第八章 λ-矩阵（介绍）
本章主要介绍如何求给定的复数矩阵的若尔当标准形. 已学知识回顾： 第七章第五节 ∀������ ∈ P ������×������ ，������与对角矩阵相似当且仅当������有������个线性无关的特征向量. 事实上������ ′ ������������ = ������������������������(������1 , ������2 , … , ������������ ), ������ ∈ P ������×������ ，������可逆， ⟺ ������������ = ������ ∙ ������������������������(������1 , ������2 , … , ������������ ) ⟺ ������������������ = ������������ ������������ , ������ = 1,2, … , ������， 其中，������������ 为������的第������ 个列向量，即������ = (������1, ������2 , … , ������������ ). 第九章第六节 ∀������ ∈ P ������×������ 且������ = ������′，������正交相似于对角阵，即存在正交阵������， 使得������ ′ ������������ = ������������������������(������1 , ������2 , … , ������������ ). ∀������ ∈ ℂ������×������ ，������与若尔当形矩阵������相似，且出去若尔当块排列次序外，������是唯一的（称为 ������的若尔当标准形）. ——定理 14 这里，������级若尔当块是指如下形式的复数矩阵： ������0 1 ������0 ，记作������(������0 , ������), ������0 ∈ ℂ， 1 ⋱ ⋱ ������0 [ 1 ������0 ] 而由若干个若尔当块合成的分块对角矩阵 ������1 ������ = [ ������2 ，称为若尔当形矩阵，其中������������ = ������(������������ , ������������ ),
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引理 (2)中矩阵的不变因子为 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ，
其中 1 的个数等于 d1(λ), d2(λ), …, ds(λ) 的次数之和 n减去s.
证明 因为
E1 A1
E
A
E2 A2
Es As
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由于每个λEi-Ai的不变因子为1,1, …,1, di(λ) ，故可 用初等变换把它变成
而1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)是它的不变因子.
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定理14 数域P上n×n方阵A在P上相似于唯 一的一个有理标准形矩阵，称为A的有理标准形.
证明 设A的(λE-A的)不变因子为 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ，其中d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) 的次数 ≥1，且1的个数＝d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)的次数之和减去 s，设di(λ)的伴侣阵是Bi ，则作
1
1
di ( )
进而用初等变换将λE-A变成
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1
1
d1( )
1
1
d2( )
(3)
1
1
ds ( )
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在λ－矩阵(3)上再进行一些行或列互换，则可变成
1
1
d1( )
d 2( )
d
s
(
)
由于 d1(λ) | d2(λ) |… |ds(λ) ，故它是λE-A的标准形，
第七节* 矩阵的有理标准形
前一节中证明了复数域上A一个若当形矩阵. 这 一节将对P来讨论类似的问题. 我们证明P上必相似 于一个有理标准形矩阵.
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定义8 对数域P上的一个多项式
d(λ)=λn+a1λn-1+…+an
称矩阵
0 1
0 0
0 0
an an1
A
0
1
0
an2
(1)
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B1
B
B2
Bs
如引理所述，B的不变因子与A的不变因子完全相
同，故B相似于A ，即B是A的有理标准形矩阵.
又B是由A的不变因子唯一决定，故B由A唯一
决定.
证毕.
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把定理14的结论变成线性变换形式的结论就 成为
定理15 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换， 则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理 标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称 为线性变换A的有理标准形.
0
0
1
a1
为多项式d(λ)的伴侣阵.
容易证明，A的不变因子(即λE-A的不变因子)是
1,1,, 1 , d()
n1个
(见习题3)
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定义9 下列准对角矩阵
A1
A
A2
(2)
As
其中Ai分别是数域P上某些多项式 di(λ) (i=1,2, …,s) 的伴侣阵，且满足d1(λ)| d2(λ)|…|ds(λ) ， A就称为P 上的一个有理标准形矩阵.
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1303:1 1:4103: 11:41D ecembe r 13, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 3时11 分41秒0 3:11:41 20.12.1 3
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/13/
2020 3:11:42 AM03:11:422020/12/13
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/13/
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。03:1 1:4103: 11:4103 :1112/ 13/2020 3:11:41 AM
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 03:11:4 103:11: 4103:1 1Sunda y, December 13, 2020
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 3时11 分20.12. 1303:1 1December 13, 2020
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• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
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例 设3×3矩阵A的初等因子为(λ-1)2, (λ-1) ，则它 的不变因子是1, (λ-1), (λ-1)2 ，它的有理标准形为
A1 1 0 0
0 0 1 0 1 2
A2
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020