时域离散信号和系统的频域分析Z变换与DTFT
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
e - j ( N -1) sinN / 2 sin / 2
设N=5，幅度与相位随ω变化曲线
图 2.1 RN(n)的幅度与相位曲线
3.实指数序列
x(n) a n u(n) (a为实数 , 0 a 1)
其傅里叶变换为
|X(e j)|
X ( e ) a n e - j n
2. 1 序列的傅立叶变换的定义及性质
一、序列的傅里叶变换的定义
续时间信号x(t)的傅里叶变换（CTFT）定义为：
X ( j ) FT [ x( t )] x( t )e - jt dt
-
反变换定义为
1 x(t ) FT [ X ( j )] 2
-1
-
X ( j )e jt d
第2章 时域离散信号和系统的 频域分析
x(n) 1 012 3 4 |X(e j)| n
-2
-
0
2
对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析信号和系统的频域特性。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2 序列的Z变换 2.3 系统函数与频率响应
X1 ( z ) a z
n 0
n -
x ( n) z - n
-1
显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换叠加。 如果Rx-<Rx+，则存在一个如下的公共收敛区域
Rx - z Rx
所以，双边序列的收敛域通常是环状区域。
例2-8 x( n) a ，a为实数，求其Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
一、序列x(n)的Z变换定义及收敛域
X (z)
n -
x ( n )z - n
其中，Z是复变量。 也可将x(n)的Z变换表示为 Z[x(n)]=X(z)
对于任意给定的序列，使Z变换收敛的z值集合称作收敛 区域。级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件即：
n -
| x ( n )z - n |
n
n2 0
0 z
例2-4 x ( n) ( n) ，求此序列的Z变换及收敛域。
Z [ ( n)]
n -
( n) z - n 1
jIm[z]
0 | z |
0
Baidu Nhomakorabea
Re[z]
收敛域是整个z的闭平面。
2.右边序列 这类序列是有始无终的序列。即 当n≥n1时，x(n)有值，当n<n1时， x(n)=0。 x(n) 其Z变换为 X ( z ) x ( n )z - n 其收敛域为
二、序列的傅里叶变换的性质
1.线性
设 FT [ x1 (n)] X 1 (e j )， FT [ x2 (n)] X 2 (e j )
j j 则 FT [ax1 (n) bx 2 (n)] aX1 (e ) bX 2 (e )
式中a，b为常数。
2.时移与频移
j 设 FT [ x(n)] X (e ) ，则
序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
4.对称性质
* xe ( n) xe ( - n) 设一复序列，如果满足
则称序列为共轭对称序列。
* xo ( n) - xo ( - n) ，则称序列为共轭反对称序列。 如果满足
比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。
x e ( n ) x e ( - n)
说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。
只有当序列x(n)绝对可和式中的级数才是绝对收敛的， 或x(n)的傅里叶变换存在。
| x( n)e - jn |
n -
n -
| x ( n) |
二、常用序列的傅里叶变换
1.单位脉冲序列 其傅里叶变换为
X ( e j )
离散时间信号x(n)的傅里叶变换（DTFT）定义为
X (e
反变换定义为
j
)
n -
x ( n)e - jn
1 x ( n) 2
-
X (e j )e jnd
DTFT
X (e )
j n -
x ( n )e
- j n
在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字 域频率。 X(ejω)一般为复数。 值得注意的是，式中右边的级数并不总是收敛的，或者
一般来说，Z变换将在z平面上的一个环形区域中收敛， 收敛域为
Rx - z Rx
式中，Rx-和Rx+称为收敛半径。Rx-和Rx+的大小和序列有密切
的关系。
n n 例2-3 求序列 x1 (n) a u(n) x2 (n) -a u(- n - 1) 的Z 和 变换。 1 n -n za 解： X 1 ( z ) a z -1 1 - az n 0
x o ( n) - x o ( - n)
1）任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列 之和（如是实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和）
x(n) xe (n) xo (n)
1 xe (n) [ x(n) x * (- n)] 2 1 xo (n) [ x(n) - x* (- n)] 2
n -
0 n N -1 n为其它
N -1 n0
RN ( n)e - jn e - jn
1 - e - j N 1 - e - j
e - j N / 2 ( e j N / 2 - e - j N / 2 ) e - j / 2 ( e j / 2 - e - j / 2 )
X (e j ) 对 是周期的，但不是共轭对称的。
例2-2 x(n) (-0.9)n - 5 n 5 X j 解： (e ) 不仅对 对称，而且是共轭对称的。因此， 对实序列，我们只需画出它们从（0）间的傅里叶变换的 模和相角响应。
2.2 序列的Z变换
序列的傅里叶变换——频域分析； 推广：序列的Z变换——复频域分析。
n -
( n)e - jn 1
含义是什么？
单位脉冲信 号包含了所有频 率分量，而且这 些分量的幅度和 相位都相同。
这就是用单 位脉冲响应能够 表征线性时不变 系统的原因。
T [ ( n)] h( n)
2.矩形序列
1 RN ( n ) 0
其傅里叶变换为
X ( e j )
推论 对于实序列的 DTFT，要画出 X(ejω)的幅频特性，只需 要 X(ejω)半个周期即可，通常在实际中是选择ω∈[0,π ] 的 部分。 5.时域卷积定理 若 FT [ x(n)] X (e j ) ，FT [ y(n)] Y (e j ) w ( n) x ( n) y ( n) 则
n n1
......
n1 0 Rx - z n 注意：如果n1≥0，即序列是因果序列，Z变换在z=∞处
收敛。
R x - z ——最重要的一种右边序列
图2-7 右边序列及其收敛域（n1<0， |z|=∞除外）
3.左边序列 这类序列是有终无始的序列。即 当n≤n2时，x(n)有值，当n>n2时，x(n)=0。 其z变换为 n2 X ( z ) x ( n )z - n x ( - n )z n 其收敛域为
W (e j ) FT [ x(n) y(n)] X (e j )Y (e j )
6.频域卷积定理（复卷积定理） 若 FT [ x(n)] X (e j ) ，FT [ y(n)] Y (e j )
则
1 FT [ x( n) y( n)] X (e j ) * Y (e j ) 2
其Z变换为
X (z)
n n1
x ( n) z - n
n2
因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有 界，则级数就收敛，即要求 x(n) |x(n)z-n|<∞ 由于x(n)有界，故要求 |z-n|<∞ n1 n2 0 显然，在 0<|z|<∞上都满足此条件。 在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大： 0 z n1 0
n - n - n2
0 z Rx
注意：如果n2≤0，则收敛域包括z=0， 0 z Rx
左边序列及其收敛域（n2>0， |z|=0除外）
4.双边序列 双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列。 其Z变换为：
X (z)
n -
x ( n) z - n x ( n) z - n
时移特性
FT [ x ( n - n0 )] e - jn0 X (e j )
频移特性 FT [e j0 n x( n)] X (e j ( -0 ) )
3.周期性
j ( 2M )
X (e
)
n -
x(n)e
- j ( 2M ) n
n -
x( n)e - jn e - j 2Mn X (e j )
j n 0
(a e
n 0
- j n
1 ) 1 - ae - j
0
(a) arg[X(e j)]
2
设a=0.6，幅度与相位随ω 变化曲线如图。
0
(b)
2
离散时间傅里叶变换的两个特点： （1）X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。 （2）当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值| X(ejω) |在0≤ω≤2π 区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。
7.帕斯瓦尔（Parseval）定理
1 x(n) 2 n 2
-
X (e
j
) d
2
信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。
三、MATLAB实现
0 例2-1 x(n) (0.9)n e jn / 3 ， n 10 ，求离散时间傅里叶 变换并探讨其周期性。 解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一地定 义在一个2 周期上。以下程序是在[-2，2]之间的两个周期 中的401个频点上作计算以观察周期性。
类似地，序列的傅里叶变换 X (e j ) 可以被分解成共轭对 称与共轭反对称两部分之和。
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )
2）DTFT的对称特性（同学们自己证明）
DTFT[Re[x( n)]] X e (e j ) DTFT[ j Im[ x( n)]] X o (e j ) DTFT[ xe ( n)] Re[X (e j )] DTFT[ xo ( n)] j Im[ X (e j )]
X 2 (z)
n -1
a
-
n -n
z
1 1 - az -1
za
结论
收敛域不同对应于不同的序列。当给出Z变换函数表达 式的同时，必须说明它的收敛域后，才能单值的确定它所对 应的序列。
二、序列的形式与其Z变换收敛域的关系
序列x(n)的形式决定了X(z)的不同的收敛区域 1．有限长序列 这类序列只在有限的区间（n1≤n≤n2）具有非零的有 限值。
n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n; k = -200:200; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k); %用矩阵-向量乘法求DTFT magX = abs(X); angX =angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);
若x(n)为实序列，则 X (e j ) X * (e - j )
Re[X (e j )] Re[X (e - j )] Im[ X (e j )] - Im[ X (e - j )]
X (e j ) X (e - j ) arg[ X (e j )] - arg[ X (e - j )]
设N=5，幅度与相位随ω变化曲线
图 2.1 RN(n)的幅度与相位曲线
3.实指数序列
x(n) a n u(n) (a为实数 , 0 a 1)
其傅里叶变换为
|X(e j)|
X ( e ) a n e - j n
2. 1 序列的傅立叶变换的定义及性质
一、序列的傅里叶变换的定义
续时间信号x(t)的傅里叶变换（CTFT）定义为：
X ( j ) FT [ x( t )] x( t )e - jt dt
-
反变换定义为
1 x(t ) FT [ X ( j )] 2
-1
-
X ( j )e jt d
第2章 时域离散信号和系统的 频域分析
x(n) 1 012 3 4 |X(e j)| n
-2
-
0
2
对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析信号和系统的频域特性。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2 序列的Z变换 2.3 系统函数与频率响应
X1 ( z ) a z
n 0
n -
x ( n) z - n
-1
显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换叠加。 如果Rx-<Rx+，则存在一个如下的公共收敛区域
Rx - z Rx
所以，双边序列的收敛域通常是环状区域。
例2-8 x( n) a ，a为实数，求其Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
一、序列x(n)的Z变换定义及收敛域
X (z)
n -
x ( n )z - n
其中，Z是复变量。 也可将x(n)的Z变换表示为 Z[x(n)]=X(z)
对于任意给定的序列，使Z变换收敛的z值集合称作收敛 区域。级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件即：
n -
| x ( n )z - n |
n
n2 0
0 z
例2-4 x ( n) ( n) ，求此序列的Z变换及收敛域。
Z [ ( n)]
n -
( n) z - n 1
jIm[z]
0 | z |
0
Baidu Nhomakorabea
Re[z]
收敛域是整个z的闭平面。
2.右边序列 这类序列是有始无终的序列。即 当n≥n1时，x(n)有值，当n<n1时， x(n)=0。 x(n) 其Z变换为 X ( z ) x ( n )z - n 其收敛域为
二、序列的傅里叶变换的性质
1.线性
设 FT [ x1 (n)] X 1 (e j )， FT [ x2 (n)] X 2 (e j )
j j 则 FT [ax1 (n) bx 2 (n)] aX1 (e ) bX 2 (e )
式中a，b为常数。
2.时移与频移
j 设 FT [ x(n)] X (e ) ，则
序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
4.对称性质
* xe ( n) xe ( - n) 设一复序列，如果满足
则称序列为共轭对称序列。
* xo ( n) - xo ( - n) ，则称序列为共轭反对称序列。 如果满足
比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。
x e ( n ) x e ( - n)
说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。
只有当序列x(n)绝对可和式中的级数才是绝对收敛的， 或x(n)的傅里叶变换存在。
| x( n)e - jn |
n -
n -
| x ( n) |
二、常用序列的傅里叶变换
1.单位脉冲序列 其傅里叶变换为
X ( e j )
离散时间信号x(n)的傅里叶变换（DTFT）定义为
X (e
反变换定义为
j
)
n -
x ( n)e - jn
1 x ( n) 2
-
X (e j )e jnd
DTFT
X (e )
j n -
x ( n )e
- j n
在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字 域频率。 X(ejω)一般为复数。 值得注意的是，式中右边的级数并不总是收敛的，或者
一般来说，Z变换将在z平面上的一个环形区域中收敛， 收敛域为
Rx - z Rx
式中，Rx-和Rx+称为收敛半径。Rx-和Rx+的大小和序列有密切
的关系。
n n 例2-3 求序列 x1 (n) a u(n) x2 (n) -a u(- n - 1) 的Z 和 变换。 1 n -n za 解： X 1 ( z ) a z -1 1 - az n 0
x o ( n) - x o ( - n)
1）任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列 之和（如是实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和）
x(n) xe (n) xo (n)
1 xe (n) [ x(n) x * (- n)] 2 1 xo (n) [ x(n) - x* (- n)] 2
n -
0 n N -1 n为其它
N -1 n0
RN ( n)e - jn e - jn
1 - e - j N 1 - e - j
e - j N / 2 ( e j N / 2 - e - j N / 2 ) e - j / 2 ( e j / 2 - e - j / 2 )
X (e j ) 对 是周期的，但不是共轭对称的。
例2-2 x(n) (-0.9)n - 5 n 5 X j 解： (e ) 不仅对 对称，而且是共轭对称的。因此， 对实序列，我们只需画出它们从（0）间的傅里叶变换的 模和相角响应。
2.2 序列的Z变换
序列的傅里叶变换——频域分析； 推广：序列的Z变换——复频域分析。
n -
( n)e - jn 1
含义是什么？
单位脉冲信 号包含了所有频 率分量，而且这 些分量的幅度和 相位都相同。
这就是用单 位脉冲响应能够 表征线性时不变 系统的原因。
T [ ( n)] h( n)
2.矩形序列
1 RN ( n ) 0
其傅里叶变换为
X ( e j )
推论 对于实序列的 DTFT，要画出 X(ejω)的幅频特性，只需 要 X(ejω)半个周期即可，通常在实际中是选择ω∈[0,π ] 的 部分。 5.时域卷积定理 若 FT [ x(n)] X (e j ) ，FT [ y(n)] Y (e j ) w ( n) x ( n) y ( n) 则
n n1
......
n1 0 Rx - z n 注意：如果n1≥0，即序列是因果序列，Z变换在z=∞处
收敛。
R x - z ——最重要的一种右边序列
图2-7 右边序列及其收敛域（n1<0， |z|=∞除外）
3.左边序列 这类序列是有终无始的序列。即 当n≤n2时，x(n)有值，当n>n2时，x(n)=0。 其z变换为 n2 X ( z ) x ( n )z - n x ( - n )z n 其收敛域为
W (e j ) FT [ x(n) y(n)] X (e j )Y (e j )
6.频域卷积定理（复卷积定理） 若 FT [ x(n)] X (e j ) ，FT [ y(n)] Y (e j )
则
1 FT [ x( n) y( n)] X (e j ) * Y (e j ) 2
其Z变换为
X (z)
n n1
x ( n) z - n
n2
因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有 界，则级数就收敛，即要求 x(n) |x(n)z-n|<∞ 由于x(n)有界，故要求 |z-n|<∞ n1 n2 0 显然，在 0<|z|<∞上都满足此条件。 在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大： 0 z n1 0
n - n - n2
0 z Rx
注意：如果n2≤0，则收敛域包括z=0， 0 z Rx
左边序列及其收敛域（n2>0， |z|=0除外）
4.双边序列 双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列。 其Z变换为：
X (z)
n -
x ( n) z - n x ( n) z - n
时移特性
FT [ x ( n - n0 )] e - jn0 X (e j )
频移特性 FT [e j0 n x( n)] X (e j ( -0 ) )
3.周期性
j ( 2M )
X (e
)
n -
x(n)e
- j ( 2M ) n
n -
x( n)e - jn e - j 2Mn X (e j )
j n 0
(a e
n 0
- j n
1 ) 1 - ae - j
0
(a) arg[X(e j)]
2
设a=0.6，幅度与相位随ω 变化曲线如图。
0
(b)
2
离散时间傅里叶变换的两个特点： （1）X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。 （2）当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值| X(ejω) |在0≤ω≤2π 区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。
7.帕斯瓦尔（Parseval）定理
1 x(n) 2 n 2
-
X (e
j
) d
2
信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。
三、MATLAB实现
0 例2-1 x(n) (0.9)n e jn / 3 ， n 10 ，求离散时间傅里叶 变换并探讨其周期性。 解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一地定 义在一个2 周期上。以下程序是在[-2，2]之间的两个周期 中的401个频点上作计算以观察周期性。
类似地，序列的傅里叶变换 X (e j ) 可以被分解成共轭对 称与共轭反对称两部分之和。
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )
2）DTFT的对称特性（同学们自己证明）
DTFT[Re[x( n)]] X e (e j ) DTFT[ j Im[ x( n)]] X o (e j ) DTFT[ xe ( n)] Re[X (e j )] DTFT[ xo ( n)] j Im[ X (e j )]
X 2 (z)
n -1
a
-
n -n
z
1 1 - az -1
za
结论
收敛域不同对应于不同的序列。当给出Z变换函数表达 式的同时，必须说明它的收敛域后，才能单值的确定它所对 应的序列。
二、序列的形式与其Z变换收敛域的关系
序列x(n)的形式决定了X(z)的不同的收敛区域 1．有限长序列 这类序列只在有限的区间（n1≤n≤n2）具有非零的有 限值。
n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n; k = -200:200; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k); %用矩阵-向量乘法求DTFT magX = abs(X); angX =angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);
若x(n)为实序列，则 X (e j ) X * (e - j )
Re[X (e j )] Re[X (e - j )] Im[ X (e j )] - Im[ X (e - j )]
X (e j ) X (e - j ) arg[ X (e j )] - arg[ X (e - j )]