时域离散信号和系统的频域分析Z变换与DTFT
第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
信号与系统的分析方法有时域,变换域两种
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
z
Re[ z ]
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
[例2-3]求序列 x(n) b u(n 1) 变换及收敛域。
n
x ( n)
n
b nu (n 1) z n
b 1 z (b 1 z ) 2 (b 1 z ) n
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
§2-2 Z变换的定义及收敛域
一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x ( n) z
n
*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
ze ze
jT ST
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , 的z反变换。 解：
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
当 a −1 z < 1时
j Im[ z ] a 0
−n n
− a −1 z 1 = = −1 1 − a z 1 − az −1
Roc :
z<a
Re[ z ]
零点：z = 0
极点：z = a
例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域
解：X(z)= ∑ x(n)z = ∑ a z = ∑ a z + ∑a z
0
Re[z]
Roc : 0 < z ≤ ∞
例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域
解：X(z)= ∑ x ( n ) z = ∑ a u( n ) z =∑ a z
−n n −n n =−∞ n =−∞
−1
∞
∞
∞
n −n
n =0
1 = 1 − az −1
当 az
< 1时
j Im[ z ]
Roc :
• 实质：求X(z)幂级数展开式 • z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法
n = −∞
∑
∞
x(n ) z − n
1、围数积分法求解（留数 法）
若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K 个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：
j Im[ z ]
C
1 n −1 x( n) = ∫c X ( z ) z dz 2πj
阶次高于分子多项式阶次两次以上
x ( n ) = − Re s[ F ( z )]z =4
⎡ ⎤ z n +1 = − ⎢( z − 4 ) ⎥ ( 4 − z )( z − 1/ 4 ) ⎦ z =4 ⎣ 4n+ 2 = 15
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
dtftdft和z变换的关系公式
dtftdft和z变换的关系公式离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和Z变换都是信号处理领域中常用的数学工具，用于描述和分析离散时间信号和系统。
它们之间存在密切的关系，可以通过一系列数学公式进行转换和相关性描述。
1.离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是用于离散时间信号的频域分析的工具。
对于一个离散时间序列x[n]，其DTFT定义为：X(e^jω)=Σx[n]e^(-jωn)，其中-π≤ω≤π这个公式表示了信号x[n]在频率ω上的分量，ω是一个连续变量，表示角频率。
DTFT将离散时间序列转换到了连续频域上，得到了连续的频域函数X(e^jω)。
2.离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是对离散时间序列进行有限点数的傅里叶变换，可以看作是DTFT的一种离散形式。
对于一个N点的离散时间序列x[n]，其DFT定义为：X[k] = Σx[n]e^(-j(2π/N)kn)，其中0 ≤ k ≤ N-1这个公式表示了信号x[n]对应于离散频域上的k点的分量，k是一个离散的变量，表示频域中的点数。
DFT可以看作是DTFT在频域上采样得到的结果。
不同于DTFT的连续频域函数，DFT得到的频域函数X[k]是离散的、有限个点的函数。
在时域上，DFT可以通过插值的方法从N点的离散时间序列x[n]还原得到。
3.Z变换Z变换是离散时间信号和系统理论中的重要工具，用于处理离散时间系统的频域表示。
对于一个离散时间序列x[n]，其Z变换定义为：X(z)=Σx[n]z^(-n)，其中z是一个复数变量这个公式表示了信号x[n]在复平面上的分布。
Z变换将离散时间序列转换到了连续频域上，得到了连续的频域函数X(z)。
Z变换与DTFT的关系可以通过将公式中的z替换为e^jω得到：X(z)，z=e^jω=X(e^jω)这个关系表明，在单位圆上的Z变换与DTFT是相等的。
这也意味着，通过Z变换可以直接计算DTFT，或者通过反过来计算DTFT可以得到Z变换。
dtft与z变换的关系
dtft与z变换的关系
DTFT与Z变换是两种经常使用的频域分析方法，它们在数字信号处理领域中有广泛的应用。
DTFT是一种连续的频域分析方法，Z变换则是一种离散的频域分析方法。
虽然它们的应用场景不同，但它们之间却有着密切的联系。
事实上，Z变换可以看作是DTFT的离散形式。
在进行离散信号的频域分析时，我们通常使用Z变换。
Z变换可以将离散信号转换为Z域中的复数函数，并且可以用于求解离散信号的频域特性。
在Z域中，离散信号中的每一个采样值都对应了一个复数值，从而形成了一个Z变换序列。
而DTFT则是将离散信号转换为连续的频域函数，可以用于分析离散信号的频域特性。
在DTFT中，离散信号中的每一个采样值都对应了一个复数值，从而形成了一个连续的频谱。
尽管DTFT和Z变换有着不同的数学定义，但它们之间有着非常紧密的联系。
实际上，我们可以通过取Z变换在单位圆上的点值，来得到DTFT的数值解。
也就是说，我们可以通过在Z变换的极坐标图中画出单位圆，并在单位圆上取等间距的点来逼近DTFT，从而得到DTFT的数值解。
这种方法通常被称为“Z变换采样”。
总之，DTFT和Z变换是数字信号处理领域中两种常用的频域分析方法。
虽然它们在应用场景上有所不同，但它们之间具有非常紧密的联系。
我们可以通过Z变换采样的方法来逼近DTFT，从而得到离散信号的频域特性。
数字信号处理课件第3章 时域离散信号和系统的频域分析2-DTFT的定义
例3、已知 f (n) anu(n) a 1 ,计算其DTFT。 解：
由此可以得到DTFT的幅频特性和相频特性
F (e j )
1
(1 a cos)2 (a sin )2
【随堂练习】
1.设X (e j )是 x(n)的DTFT，试求下面序列的DTFT。
(1) x(n - n0)
(2) x(n) (3) x(n)
X_abs=abs(X)
X_angle=angle(X)
subplot(211)
plot(w/pi,X_abs,'k','lineWidth',2) title('离散时间傅里叶变换幅度')
subplot(212)
plot(w/pi,X_angle,'k','lineWidth',2) title('离散时间傅里叶变换相位')
0, n q
解:
q
X(e j ) x(n)e jn a ne jn
q
(ae j )n
n
n0
n0
1
(ae j ) 1 ae j
q1
等比数列求和公式：
an a1 qn1
Sn
a1
(1 qn ) , 1 q
n 1,2,3,
q 1
X(e j ) x(n)e jn
n
1
(ae j )q 1 ae j
可引入冲激函数，一些绝对不可和的 序列的傅里叶变换可用冲激函数的形式表 示出来。在后面的章节予以介绍。
例1、计算矩形序列 x(n) R N (n) 的DTFT。
解：
X(e j ) RN (n)e jnnFra bibliotekN 1
dtft,dft和z变换的关系
dtft,dft和z变换的关系
DTFT、DFT和Z变换都是信号处理领域中常见的变换方法。
它们可以将时域信号转换为频域信号，或将离散时间域信号转换为复平面上的Z域信号。
虽然它们之间有些区别，但它们的本质都是通过数学方法来描述信号的频域特性。
DTFT是离散时间傅里叶变换的一种形式，可以将一个离散时间域信号转化为连续频域信号。
通过DTFT可以得到一个信号的频谱，从而分析信号的频域特性。
DTFT的公式是一个无限长的求和式，需要对信号进行无限次的积分，因此需要消耗大量的计算资源。
DFT是离散傅里叶变换的一种形式，它可以将一个N点离散时间域信号转化为N点频域信号。
相比于DTFT，DFT的计算量更小，因为它只需要对N个采样点进行有限次的计算。
因此，DFT常常用于实际信号处理中，比如在数字音频中进行频谱分析。
Z变换是一种复变函数的变换，可以将一个离散时间域信号转换为复平面上的Z域信号。
Z变换的主要应用是在数字控制系统和数字滤波器中。
通过Z变换，可以将差分方程转换为代数方程，从而进行系统分析和设计。
Z变换的公式类似于DTFT的无限长求和式，需要进行无限次的积分或求和。
综上所述，DTFT、DFT和Z变换都是信号处理中常用的变换方法，它们可以将时域信号转换为频域信号或复平面上的Z域信号。
虽然它们的应用场景和计算方法略有不同，但它们的本质都是描述信号的频域特性。
dtft与z变换的关系
dtft与z变换的关系一、什么是dtft和z变换1.1 DTFT（Discrete-Time Fourier Transform，离散时间傅里叶变换）离散时间傅里叶变换（DTFT）是一种重要的信号分析工具，用于将离散时间域中的信号转换到连续频率域中。
DTFT将离散信号看作一个周期为N的连续信号进行处理。
其定义如下：$ X(e^{j}) = _{n=-}^{} x[n]e^{-jn} $其中，$ X(e^{j}) 表示信号X在频率处的变换值，x[n]$表示离散时间域信号。
1.2 Z变换Z变换是一种用于进行离散信号分析的工具，可以将差分方程的离散信号转换到复频率域中。
其定义如下：∞[n]z−nX(z)=∑xn=−∞其中，X(z)表示信号X在z处的变换值，x[n]表示离散时间域信号。
二、dtft与z变换的关系DTFT和Z变换之间存在一种关系，这种关系可以帮助我们在DTFT和Z变换之间进行转换。
2.1 Z变换的定义与DTFT的关系将Z变换的定义进行变换：∞[n]z−nX(z)=∑xn=−∞用替代变量z=e jω替换，可以得到：∞[n]e−jωnX(e jω)=∑xn=−∞可以发现，这与DTFT的定义是相同的，即Z变换是DTFT的一个特殊形式。
因此，可以将Z变换看作是DTFT的一个离散版本。
2.2 DTFT与Z变换的区别尽管DTFT和Z变换有着类似的定义和形式，但它们还是存在一些区别的。
2.2.1 定义域DTFT的定义域是整个实轴，即−∞<ω<∞。
而Z变换的定义域是单位圆内部的点，即|z|<1。
2.2.2 周期性DTFT是以周期2π重复的，而Z变换没有周期性。
2.2.3 连续性DTFT是连续的函数，而Z变换是离散的函数。
三、DTFT与Z变换的应用DTFT和Z变换都具有广泛的应用领域，在信号处理和控制系统等方面发挥着重要作用。
3.1 DTFT的应用3.1.1 频谱分析DTFT可以将离散时间域信号转换到连续频率域中，用于频谱分析。
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号和系统的频域分析信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分析方法。
在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。
在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z变换和序列傅立叶变换法。
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
因此，对求解离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。
2．2序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换）一、序列傅立叶变换：正变换：DTFT[x(n)]=（2.2.1）反变换：DTFT-1式（2.2.1）级数收敛条件为||= (2.2.2)上式称为x(n)绝对可和。
这也是DTFT存在的充分必要条件。
当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用冲激函数的形式表示出来。
二、序列傅立叶变换的基本性质：1、DTFT的周期性，是频率ω的周期函数，周期为2π。
∵ = 。
问题1：设x(n)=R N(n)，求x(n)的DTFT。
====设N为4，画出幅度与相位曲线。
2、线性设=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，则：DTFT[a x1(n)+b x2(n)]= = a+b3、序列的移位和频移设 = DTFT[x(n)]，则：DTFT[x(n-n0)] ==DTFT[x(n)] == =4、DTFT的对称性共轭对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭对称序列。
共轭对称序列的性质：共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=-j∴=（偶函数）∴=－（奇函数）一般情况下，共轭对称序列用表示：共轭反对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭反对称序列。
共轭反对称序列的性质：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=+j∴=（奇函数）∴=（偶函数）一般情况下，用来表示一个序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。
第2章 z变换与DTFT
∞
∞
−1
∞
=∑ z +∑ z a a
n n n= 1 n=0
∞
n −n
az Q∑ z = a 1−az n= 1
n n
∞
az <1⇒ z <1/ a
az−1 <1⇒ z > a
1 Q∑ z = a 1−az−1 n=0
n −n
∞
∴ a ≥1 ， 公 收 域 X z)不 在 当 时 无 共 敛 ， ( 存
j Im z] [
C
Rx −
Rx +
0
R z] e[
变换与DTFT 第2章 z变换与 章 变换与
1 x(n) = X(z)zn−1dz c∈(Rx− , Rx+ ) 2 j ∫c π
利用留数定理求围线积分，令
F(z) = X(z)zn−1
若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：
x(n) = ∑ es[F(z)]z=zk R
例： x(n) = RN (n)的 变 及 收 域 1 求 z 换 其 敛
解 X ： (z)= ∑x(n)z−n = ∑RN (n)z−n
n=−∞ n=−∞ ∞ ∞
1− z−N =∑ −n = z 1− z−1 n= n=0 N z −1 = N−1 ) z (z −1
N− 1
q n1 − q n2 +1 qn = ∑ 1− q n = n1
0 ≤ n ≤ n2 1
Q 0−n →∞ ∞−n →0 ∴ R : 0< z ≤∞ oc
n ≤ n2 ≤ 0 1
Q 0−n →0 ∞−n →∞ ∴ R : 0 ≤ z <∞ oc
实验三z变换及分析、DTFT实验
实验三 z 变换及分析、DTFT 实验一、 实验目的（1） 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； （2） 学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点；（3） 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； （4） 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。
二、实验原理及实例分析2.1 z 正反变换序列()n x 的z 变换定义为()()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x z X Z （1）其中，符号Z 表示取z 变换，z 是复变量。
相应地，单边z 变换定义为()()[]()∑∞=-==0n n z n x n x z X Z （2）MATLAB 符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z 变换的函数ztrans 和z 反变换函数iztrans ，其语句格式分别为Z=ztrans(x) x=iztrans(z)上式中的x 和Z 分别为时域表达式和z 域表达式的符号表示，可通过sym ：函数来定义。
【实例1】 试用ztrans 函数求下列函数的z 变换。
（1）)()cos()(n u n a n x nπ=； （2）)(])2(2[)(11n u n x n n ----=。
解：（1）z 变换MATLAB 源程序为 >>x=sym('a^n*cos(pi*n)'); >>Z=ztrans(x);>>simplify(Z) ans=z/(z+a)（2）z 变换MATLAB 源程序为 >>x=sym('2^(n-1)-(-2)^(n-1)'); >>Z=ztrans(x); >>simplify(Z) ans=z^2/(z-2)/(z+2)【实例2】 试用iztrans 函数求下列函数的z 反变换。
（1）65198)(2+--=z z z z X （2）32)2)(1()12112()(--+-=z z z z z z X解：（1）z 反变换MATLAB 源程序为 >>Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)'); >>x=iztrans(Z); >>simplify(x) ans=-19/6*charfcn[0](n)+5*3^(n-1)+3*2^(n-1)其中，charfcn[0](n)是)(n δ函数在MATLAB 符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为)()2335()(619)(11n u n n x n n --⨯+⨯+-=δ。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析Z变换与DTFT
其Z变换为
X (z)
n n1
x ( n) z - n
n2
因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有 界，则级数就收敛，即要求 x(n) |x(n)z-n|<∞ 由于x(n)有界，故要求 |z-n|<∞ n1 n2 0 显然，在 0<|z|<∞上都满足此条件。 在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大： 0 z n1 0
二、序列的傅里叶变换的性质
1.线性
设 FT [ x1 (n)] X 1 (e j )， FT [ x2 (n)] X 2 (e j )
j j 则 FT [ax1 (n) bx 2 (n)] aX1 (e ) bX 2 (e )
式中a，b为常数。
2.时移与频移
j 设 FT [ x(n)] X (e ) ，则
时域离散信号和系统的频域分析z变换与dtft时域和频域时域频域matlab时域转频域时域到频域的转换时域相乘频域卷积时域分析与频域分析时域频域转换时域和频域的关系时域信号和频域信号
第2章 时域离散信号和系统的 频域分析
x(n) 1 012 3 4 |X(e j)| n
-2
-
0
2
对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析信号和系统的频域特性。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2 序列的Z变换 2.3 系统函数与频率响应
n
n2 0
0 z
例2-4 x ( n) ( n) ，求此序列的Z变换及收敛域。
离散时间信号和系统的频域分析
离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。
频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。
对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。
在频域上，其频谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。
频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。
离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。
DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。
DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振幅和相位。
频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表示信号在该频率上的相对位置。
除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。
DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。
DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，并进行频域变换得到的。
DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。
DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。
离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。
频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。
对于线性时不变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。
频率响应函数拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。
频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。
首先，频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况，有助于对信号进行合理的处理和分析。
其次，频域分析可以快速计算离散时间系统的响应，能够有效地评估系统的性能和稳定性。
此外，频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。
数字信号处理课后答案+第2章(高西全丁美玉第三版)
X (e j ) 1 cos 2
当π≤ω≤2π时， X(ejω)=0， 故
1 cos 2 X (e ) 0
j
0≤ω≤π π≤ω≤2π
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
因此
Re［X(ejω)］=X(ejω) Im［X(ejω)］=0 ［例2.4.3］ 已知 0≤n≤N N+1≤n≤2N n<0, 2N<n
0≤|a|<1, 0≤|b|<1
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶
变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信
号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快 速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。
但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号
（1） FT的逆变换为
1 x(n) 2π
π
－π
X (e j )e jn d
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取
单位圆。
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
1 xe (n) [ x(n) x (n)] 2
1 xo (n) [ x(n) x (n)] 2
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序
列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （7）
X ( z)
n
这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以 表现周期序列的频谱特性。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
1第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性22.1 引言信号和系统的分析方法:时域分析方法和变换域分析方法。
频域变换（傅里叶变换->复频域拉氏变换）连续时间信号(系统微分方程)频域变换（傅里叶变换->复频域Z 变换）时域离散信号(系统差分方程)本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。
3第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质5例2.2.1 设x(n)=R 4(n)，求x(n)的DTFT 图2.2.1 R (n)的幅度与相位曲线sin /2ω常用序列的傅立叶变换7(2)()j M nn x n eωπ∞−+=−∞=∑二、序列离散时间傅里叶变换（DTFT）的性质1. DTFT 的周期性()()j j nn X e x n eωω∞−=−∞=∑(2)()j M X eωπ+=时域离散，频域周期函数。
周期是2π。
由于DTFT 的周期，一般只分析0-2π之间的DTFT 。
2. 线性1122:()[()],()[()]j j X e DTFT x n X e DTFT x n ωω==若1212:[()()]()()j j DTFT ax n bx n aX e bX e ωω+=+则3. 时移与频移00(0:[()](),[()]()j n j nj j DTFT x n n eX e DTFT ex n X eωωωωω−−−==则:()[()]j X e DTFT x n ω=若4. 反转7. 帕斯维尔(Parseval)定理8. 频域微分序列的Fourier变换的对称性质*()x n−)n也可分解成：e−*(e对称性质•序列Fourier 变换()()j x n X e ωRe[()]()j e x n X e ωIm[()]()j o j x n X e ω()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω实数序列的对称性质•序列Fourier 变换Re[()]()()j j e x n X e X e ωω=Im[()]0()0j o j x n X e ω==()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω)j eω−变换满足共轭对称性()]j X eω−Im[()]j X e ω−)arg[结论：z序列分成实部与虚部两部分，实部对应的DTFT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的DTFT具有共轭反对称性。
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
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一、序列x(n)的Z变换定义及收敛域
X (z)
n -
x ( n )z - n
其中，Z是复变量。 也可将x(n)的Z变换表示为 Z[x(n)]=X(z)
对于任意给定的序列，使Z变换收敛的z值集合称作收敛 区域。级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件即：
n -
| x ( n )z - n |
若x(n)为实序列，则 X (e j ) X * (e - j )
Re[X (e j )] Re[X (e - j )] Im[ X (e j )] - Im[ X (e - j )]
X (e j ) X (e - j ) arg[ X (e j )] - arg[ X (e - j )]
说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。
只有当序列x(n)绝对可和式中的级数才是绝对收敛的， 或x(n)的傅里叶变换存在。
| x( n)e - jn |
n -
n -
| x ( n) |
二、常用序列的傅里叶变换
1.单位脉冲序列 其傅里叶变换为
X ( e j )
n
n2 0
0 z
例2-4 x ( n) ( n) ，求此序列的Z变换及收敛域。
Z [ ( n)]
n -
( n) z - n 1
jIm[z]
0 | z |
0
Re[z]
收敛域是整个z的闭平面。
2.右边序列 这类序列是有始无终的序列。即 当n≥n1时，x(n)有值，当n<n1时， x(n)=0。 x(n) 其Z变换为 X ( z ) x ( n )z - n 其收敛域为
j n 0
(a e
n 0
- j n
1 ) 1 - ae - j
0
(a) arg[X(e j)]
2
设a=0.6，幅度与相位随ω 变化曲线如图。
0
(b)
2
离散时间傅里叶变换的两个特点： （1）X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。 （2）当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值| X(ejω) |在0≤ω≤2π 区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。
一般来说，Z变换将在z平面上的一个环形区域中收敛， 收敛域为
Rx - z Rx
式中，Rx-和Rx+称为收敛半径。Rx-和Rx+的大小和序列有密切
的关系。
n n 例2-3 求序列 x1 (n) a u(n) x2 (n) -a u(- n - 1) 的Z 和 变换。 1 n -n za 解： X 1 ( z ) a z -1 1 - az n 0
W (e j ) FT [ x(n) y(n)] X (e j )Y (e j )
6.频域卷积定理（复卷积定理） 若 FT [ x(n)] X (e j ) ，FT [ y(n)] Y (e j )
则
1 FT [ x( n) y( n)] X (e j ) * Y (e j ) 2
n -
( n)e - jn 1
含义是什么？
单位脉冲信 号包含了所有频 率分量，而且这 些分量的幅度和 相位都相同。
这就是用单 位脉冲响应能够 表征线性时不变 系统的原因。
T [ ( n)] h( n)
2.矩形序列
1 RN ( n ) 0
其傅里叶变换为
X ( e j )
n - n - n2
0 z Rx
注意：如果n2≤0，则收敛域包括z=0， 0 z Rx
左边序列及其收敛域（n2>0， |z|=0除外）
4.双边序列 双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列。 其Z变换为：
X (z)
n -
x ( n) z - n x ( n) z - n
其Z变换为
X (z)
n n1
x ( n) z - n
n2
因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有 界，则级数就收敛，即要求 x(n) |x(n)z-n|<∞ 由于x(n)有界，故要求 |z-n|<∞ n1 n2 0 显然，在 0<|z|<∞上都满足此条件。 在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大： 0 z n1 0
n n1
......
n1 0 Rx - z n 注意：如果n1≥0，即序列是因果序列，Z变换在z=∞处
收敛。
R x - z ——最重要的一种右边序列
图2-7 右边序列及其收敛域（n1<0， |z|=∞除外）
3.左边序列 这类序列是有终无始的序列。即 当n≤n2时，x(n)有值，当n>n2时，x(n)=0。 其z变换为 n2 X ( z ) x ( n )z - n x ( - n )z n 其收敛域为
X 2 (z)
n -1
a
-
n -n
ห้องสมุดไป่ตู้
z
1 1 - az -1
za
结论
收敛域不同对应于不同的序列。当给出Z变换函数表达 式的同时，必须说明它的收敛域后，才能单值的确定它所对 应的序列。
二、序列的形式与其Z变换收敛域的关系
序列x(n)的形式决定了X(z)的不同的收敛区域 1．有限长序列 这类序列只在有限的区间（n1≤n≤n2）具有非零的有 限值。
时移特性
FT [ x ( n - n0 )] e - jn0 X (e j )
频移特性 FT [e j0 n x( n)] X (e j ( -0 ) )
3.周期性
j ( 2M )
X (e
)
n -
x(n)e
- j ( 2M ) n
n -
x( n)e - jn e - j 2Mn X (e j )
序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
4.对称性质
* xe ( n) xe ( - n) 设一复序列，如果满足
则称序列为共轭对称序列。
* xo ( n) - xo ( - n) ，则称序列为共轭反对称序列。 如果满足
比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。
x e ( n ) x e ( - n)
n -
0 n N -1 n为其它
N -1 n0
RN ( n)e - jn e - jn
1 - e - j N 1 - e - j
e - j N / 2 ( e j N / 2 - e - j N / 2 ) e - j / 2 ( e j / 2 - e - j / 2 )
二、序列的傅里叶变换的性质
1.线性
设 FT [ x1 (n)] X 1 (e j )， FT [ x2 (n)] X 2 (e j )
j j 则 FT [ax1 (n) bx 2 (n)] aX1 (e ) bX 2 (e )
式中a，b为常数。
2.时移与频移
j 设 FT [ x(n)] X (e ) ，则
7.帕斯瓦尔（Parseval）定理
1 x(n) 2 n 2
-
X (e
j
) d
2
信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。
三、MATLAB实现
0 例2-1 x(n) (0.9)n e jn / 3 ， n 10 ，求离散时间傅里叶 变换并探讨其周期性。 解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一地定 义在一个2 周期上。以下程序是在[-2，2]之间的两个周期 中的401个频点上作计算以观察周期性。
X1 ( z ) a z
第2章 时域离散信号和系统的 频域分析
x(n) 1 012 3 4 |X(e j)| n
-2
-
0
2
对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析信号和系统的频域特性。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2 序列的Z变换 2.3 系统函数与频率响应
X (e j ) 对 是周期的，但不是共轭对称的。
例2-2 x(n) (-0.9)n - 5 n 5 X j 解： (e ) 不仅对 对称，而且是共轭对称的。因此， 对实序列，我们只需画出它们从（0）间的傅里叶变换的 模和相角响应。
2.2 序列的Z变换
序列的傅里叶变换——频域分析； 推广：序列的Z变换——复频域分析。
n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n; k = -200:200; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k); %用矩阵-向量乘法求DTFT magX = abs(X); angX =angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);
类似地，序列的傅里叶变换 X (e j ) 可以被分解成共轭对 称与共轭反对称两部分之和。
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )
2）DTFT的对称特性（同学们自己证明）
DTFT[Re[x( n)]] X e (e j ) DTFT[ j Im[ x( n)]] X o (e j ) DTFT[ xe ( n)] Re[X (e j )] DTFT[ xo ( n)] j Im[ X (e j )]