第二章时域离散时间信号与系统

补充：正弦信号的抽样
x(t) Asin(0t ) Asin(2 f0t ) 取fs 2 f0时，x(n) Asin( n ) 当 0时，x(n) Asin( n)，x(0) x(1) 0，无法显示正弦信号的周期变化； 所以，对正弦信号采样，须满足fs 2 fc，即fs 3fc
分量。即 s 2h ，才能保证无混叠。
X a ( j)
Xˆ a( j)
h Ωh为最高频率分量
s
0
s
2s
表一些典型的数字信号处理系统
应用系统 地质勘探
上限频率 fmax 500Hz
采样频率 fs 1-2 kHz
生物医学 机械振动
语音 音乐 视频
1kHz ２kHz ４kHz ２０kHz ４MHz
２-４kHz 4-10 kHz 8-16 kHz 40-96 kHz 8-10 MHz
xp (t) xa (t)PT (t)
一般 很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入
信号在离散时间点上的瞬时值。
实际抽样与理想抽样
xa (t)
xa (t)
0
p (t)
1
0
t
p(t) T (t)
t
1
0
xˆa (t)
T
0
T
t
xˆa (t)
T
t
0
非理想采样
t
0
理想抽样
t
实际抽样与理想抽样
xa t xa t
xa (t)
xp (t)
xa (t)
M(t)
xˆa (t)
T
采样频率：
fs
1 T
如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周 期为T，宽度为τ的脉冲，脉冲的幅度是这段时间内信 号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅
过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为 的 矩形脉冲
，以PT(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样 输出为
n
n
这里，g(t-nT) 称为内插函数
sin (t nT )
g (t nT )
T
(t nT )
T
特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，值为零。
内插公式表明，连续函数xa（t）可以由它的采样值xa（nT）来表示，它等于 xa（nT）乘上对应的内插函数的总和，如右下图所示。
xa (t) ga (t 2T )
两边进行傅立叶变换
n
得：P
(
j)
2
T
k
(
ks )
xˆa (t) xa (t) p (t)，对此式两边进行傅立叶变换，得：
Xˆ a ( j)
1
2
X a ( j) P ( j)，将带入并计算卷积
Xˆ a ( j)
1
2
X a ( j) P ( j)
1
2
X
a
(
j)
2
T
k
k
s
1 T
k
T
a
(
j)的频谱
是X a ( j)频谱以s为间隔而重复, 这
种情况称作周期延拓.
s 2h
混叠现象 : S 2h
所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期 延拓,重复周期为s(采样角频率), 幅度原来的1/T。
奈奎斯特取样定理
由上图可知，用一截止频率为
s 2
的低通滤器对 Xˆ a ( j)
滤波可以得 X a ( j). 因此，要想抽样后能不失真的还原
实际抽样：
xa t xa t • PT t
当 0
理想抽样：
x a t xa t• T t
理想采样
冲激函数： T t t nT n
理想抽样输出：xˆa (t) xa (t) T (t)
xa (t) (t nT ) n
xa (nT ) (t nT ) m
对式
P (t) (t nT )
信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号）
由离散信号恢复连续信号的条件
2、采样过程
1.取样器 • 可以看成是一个电子开关。 • 开关每隔T秒闭合一次（对理想抽样，闭合时间应无穷短， 对实际抽样，闭合时间是秒，但 <<T）使输入信号得以 抽样，得到连续信号的抽样输出信号。
b
s
c
Xˆ a ( j)
0
s
G( j)
T
T 0 T
ya (t) F 1[Ya ( j)]
d
X a ( j)
xa (t)
0 c
c
取样内差公式(时域滤波进行分析)
讨论采样信号 xˆa (t) 通过理想低通滤波器G（j）的响应过程。 理想低通G（j）的冲激响应为
g(t) 1
2
G( j)e jt d T
出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频
率分量。即 s 2h 。这就是奈奎斯特采样定理。最
小采样频率称为奈奎斯特采样频率。
混叠现象 :
X a ( j)
S 2h
s
0
s
2s
结论
1.抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率 为周期进行周期延拓而成
2.频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍
3.抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率
2
s
sin s t
sin t
2 s
e
Baidu Nhomakorabea
jt d
2
2 s t
2
T
t
T
频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为
y(t)
xˆa ( )g(t )d
xa n
( )
(
nT ) g(t
)d
xa ( )g(t ) ( nT )d xa (nT )g(t nT )
2.1.2信号的恢复
先决条件取样过程中不存在混叠失真
设计一个低通滤波器，其频率特性为 a xˆa (t) G( j) yˆa(t)
G(
j)
T
0
s 2
s
2
就可得到原信号的频谱：
Ya ( j) Xˆ a ( j)H ( j) 1
T X a ( j) T X a ( j)
在作傅立叶反变换可得到原信号
Xa
(
j)
ks
1 T k
Xa
(
j
)
ks
d
1 T
k
Xa(
j
jks )
结论：采样信号的 频谱是原连续信号 的频谱以采样频率 为周期，进行周期 延拓形成的。
Xˆ a (
j)
1 T
k
Xa(
j
jks )
可见，该频谱为周期性信号，其
周期为
2
T s,
k
0时,为
X a j ,所以Xˆ
ga (t T )
ga (t 3T )
0
t
T
2T
3T
在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保证 了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形 延伸迭加而成。
内插公式的意义: 证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用 它的采样值完全代表，而不损失任何信息——奈奎斯特定律。
2.1.1信号的采样与采样定理 1.采样的定义：就是利用周期性抽样脉冲序列
pT(t),从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值 ，得到抽样信号（或称抽样数据信号）即离 散时间信号。
抽样是模拟信号数字化的第一环节，再经幅 度量化、编码后即得到数字信号x(n)。
研究内容：
信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）