第二章数据的表示3

1
0
1
0
1
0
2.6.2海明校验码的校验位生成
• 在上面的分组方式中，可以看到每个数据 位至少参与两组奇偶校验位的生成。
• 分组方式确定后，就可对每组采用相应的 奇偶校验，以得到一个校验位。
[例2.53]若发送8位数据01101010，完成海 明校验过程，每组偶校验（演示2-32.swf）
• 8位数据位，海明校验中需要4位校验位 • 数据位加上校验位，共12位，根据分组原则，得到分组方
[例2.57](7,4)循环码中，G(X)=1011
时，码字中出错位和余数的对应关
系是怎样的？（演示2-40.swf）
1010码字
1011码字
d1 d2 d3 d4 p1 p2 p3 d1 d2 d3 d4 p1 p2 p3 余
出 数错
位
正1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
– P*=P⊕P’
• P*=1,有奇数位错 • P*=0,无错或有偶数位错。
• 奇偶校验码中，若2个数据有奇数位不同，则他们 相应的校验位就不同，若偶数位不同，则校验位 相同，但至少2位数据位不同，因而2个码字之间 至少有2位不同，码距d=2,因而只能发现奇数位错， 不能发现偶数位错，而且不能确定出错的位置， 因此不具有纠错能力。
[例2.47]奇偶校验码:产生校验位
（演 示2-27.swf）
• 要从源部件发送数据01101010到终部件。请写出 采用奇校验法的过程
[例2.48]奇偶校验码：产生校验位
（演示2-28.swf）
• 要从源部件发送数据01101010到终部件。请写出 采用偶校验法的过程
[例2.49]奇偶校验码：校验过程无错情
第二章 数据的表示
2.1数据、信息和媒体 2.2数字化信息编码 2.3数值数据的编码表示 2.4非数值数据的编码表示 2.5二进制信息的计量单位 2.6数据校验码
2.6数据校验码
• 数据校验的方法大多采用“冗余校验”的思想， 即除原数据信息外，还增加若干位编码，这些新 增的代码称为校验位。
• 为了判断一种码制的冗余程度，并估价查错和纠 错能力，引入码距的概念。
（多项式除法演示2-37.swf ）
2.6.3循环冗余校验码
• CRC的检错
– 一个CRC码一定能被生成多项式整除。当数据 和校验位传送到接受端后，只要将接收到的码 字用同样的生成多项式相除，如果正好除尽， 表明没有发生错误，若除不尽，则表明有错。
[例2.56]接收到码字100011111，
G(X)=X3+1，完成循环冗余检错过程
错，不需纠正
– 如果故障字中有多于1位的1，则表示有一个数据位错， 出错位置由故障字数值确定，将出错位取反纠正
[例2.51]故障字和分组方式
• 8位数据位，M=M8M7M6M5M4M3M2M1 • 校验位为2k≥1+8+k,k=4。P=P4P3P2P1 • 故障字为0000~1111的16种组合
– 无错：0000 – 校验位错：0001，0010，0100，1000 – 数据位错：取剩余的８个组合
[例2.55]数据100011 ，约定 G(x)=x3+1，计算循环冗余校验码
• 数据信息为6位，报文多项M(x)=x5+x+1。 生成多项式位数为4，则校验位位数为k=3
（数字式除法演示2-36.swf）
[例2.55]数据100011 ，约定 G(x)=x3+1，计算循环冗余校验码
• 数据信息为6位，报文多项M(x)=x5+x+1。 生成多项式位数为4，则校验位位数为k=3。
（演示2-38.swf）
[例2.56]接收到码字101011111，
G(X)=X3+1，完成循环冗余检错过程
（演示2-39.swf）
2.6.3循环冗余校验码
• CRC码的纠错
– 在接收方将接收到的CRC码用约定的生成多项 式G(X)去除，如果没错，则余数为0。若有一 位错，则余数不为0，而且不同位出错其余数 不同。更换不同的码字，余数和出错位的关系 不变，只和码制与生成多项式有关。
[例2.54] 在终部件处接收（8，4）海 明码数据，完成检错以及纠错过程
• 接收数据为011001010011时（演示2-33.swf）
[例2.54] 在终部件处接收（8，4）海 明码数据，完成检错以及纠错过程
• 接收数据为011101010011时（演示2-34.swf）
[例2.54] 在终部件处接收（8，4）海 明码数据，完成检错以及纠错过程
– 常用的CRC生成多项式
• CRC-CCITT • CRC-16 • CRC-12 • CRC-32
况（演示2-29.swf） • 在终部件处，根据接收到的码字判断数据是否出
错。约定采用奇校验法
• 原校验码p为1，校验过程生成p’=1，结果p*=p ⊕ p’=0，无错。
[例2.50]奇偶校验码：校验过程
（演示2-30.swf）
• 在终部件处，根据接收到的码字判断数据是否出 错。约定采用偶校验法
• 3种情况（无错、奇数位错、偶数位错）
– 数据信息M(x)是一个n位的二进制数据，将M(x)左移k 位后，用一个约定的生成多项式G(x)相除，G(X)是一 个K+1位的二进制数，相除后得到的k位余数就是校验 位。这些校验位拼接到n位数据后，形成一个n+k的代 码。这个代码就是循环冗余校验码。
– 做多项式除法时，采用“模2除法”：上商的原则是当 部分余数的首位是1时商取1，反之商0。除法过程中采 用异或运算
2.6.2海明校验码
• 将数据按某种规律分成若干组，对每组进 行奇偶检测，就能提供多位检错信息，从 而对错误位置进行定位，并纠正。海明校 验码实质上是一种多重奇偶校验码。
• 海明校验码最终的比较结果称为故障字， 故障字和校验码位数相同。
2.6.2海明校验码校验位数确定
• 假定数据位数为n，校验位为k，则故障字 位数为k，k位故障字能表示的状态最多为2k， 每种状态用来表示一种出错的情况，对于 最多一位错的情况，结果有无错、数据中 一位错、校验位中一位错，共为n+k+1种情 况。所以，要对所有结果进行正确表示，
101001010110010017
101000110110100106
101011110111001005
错1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 4 误
100001110010001103
111001111110001112
001001100110001011
2.6.3循环冗余校验码
• 接收数据为011011010011时（演示2-35.swf）
2.6.2海明校验码
• 在8位数据位，4位校验位的海明码中，如 果数据位中有1位不同，则该数据位至少参 加2组校验位的生成，至少引起2个校验位 的不同，再加上数据位的不同，所以其码 距 d=3,可知能发现2位错,纠正单个位错。 称为单纠错码SEC。
√
√
组
故障字和出错情况分配
故障
12 3 4 5 6
7
8
字 正确 p1 p2 m1 p3 m2 m3 m4 p4
s4 0 0 0 0 0 0 0
0
1
9
10
m5 m6
1
1
11 12
m7 m8
1
1
s3 0 0 0 0 1 1 1
1
0
0
0
0
1
s2 0 0 1 1 0 0 1
1
0
0
1
1
0
s1 0 1 0 1 0 1 0
• CRC特点
– 如果CRC码中有一位出错，用生成多项式去除， 得到一个不为0的余数。若对余数补0后继续除 下去，则各次余数将会按照一个特定的顺序循 环。利用这个特点，能方便地进行纠错
[例2.58]（7，4）CRC码中， G(X)=1011，通过余数循环添0法获 得余数与出错位对应关系（演示2-41.swf）
2k≥1+n+k
2.6.2海明校验码分组方式确定
• 数据位和校验位的排列为n+k的码字，将每一位的 出错位置与故障字的数值建立关系，就可以通过 故障字的值确定码字中出错的位置，就可以取反 纠正了。
• 一般分组原则：
– 如果故障字各位全为0，则表示没有错误 – 如果故障字中有且只有一个1，则表示校验位中有一位
式 • 根据分组方式，求出校验位
P1=m1 ⊕ m2 ⊕ m4 ⊕ m5 ⊕ m7=1 P2=m1 ⊕ m3 ⊕ m4 ⊕ m6 ⊕ m7=1 P3=m2 ⊕ m3 ⊕ m4 ⊕ m8=0 P4=m5 ⊕ m6 ⊕ m7 ⊕ m8=0
• M8 m7 m6m5 p4 m4 m3 m2 p3 m1 p2 p1 • =0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1
[例2.59](7,4)循环冗余校验码中， G(X)=1011，接收1001000，完成数 据纠错过程（演示2-42.swf）
2.6.3循环冗余校验码
• 生成多项式的选取
– 并不是任何一个k位多项式都能作为生成多项式。从查 错和纠错要求看，选取的生成多项式必须满足
• 任何一位发生错误时，都应使余数不为0 • 不同位发生错误时，余数应该不同 • 对余数做模2除时，应使余数循环
• P= bn-1 ⊕ bn-2 ⊕ … ⊕ b0
(偶校验）
– 第二步：在终部件求出校验位P’
• P’= bn-1 ’⊕ bn-2 ’ ⊕ … ⊕ b0 ’ ⊕1 (奇校验）
• P= bn-1 ’ ⊕ bn-2 ’ ⊕ … ⊕ b0 ’
(偶校验)
2.6.1奇偶校验实现过程