2013大学物理竞赛辅导(振动和波)

k M h M
解：设△l 为粘连前平板下 降的高度，则：
M T 2 k T M t 4 2 k 1 2 小球下落的高度：h l gt 2
Mg l k k M
k M h M
M h 1 g 8 k
2
（2）粘连前平板和小球的速度分别为v1和v2

) A cos 2 (t

)
2. 有一半球形光滑的碗，小球Ⅰ在碗的球心处， 小球Ⅱ 在碗壁离底部中心A点很近的地方，如图 所示。现同时从静止释放两个小球，所有阻力均 不计，则小球Ⅰ与Ⅱ到达碗底A点所需时间之比 为 。 I 2R t1 g A II T R t2 4 2 g
k k 1
2 2
2
cos( ) 1 2 2 2 1 A d min sin( ) 2k 2 2


d min
4sin / 2
1 A
干涉相反：
2
d min sin( ) 2k 2 2
多普勒效应
8.飞机在空中以速度u=200m/s作水平飞行，它发出频
率为 0 2000 Hz 的声波，静止在地面上的观察者在飞机 飞越过其上空时，测定飞机发出声波的频率，他在4s 的时间内测出声波的频率由 0 2400 Hz 降为 0 1600 Hz ， 已知声波在空气中的速度v=330m/s，由此可求出飞机
两固定端处各放一电量为 q 的正点电荷 微微波动一下滑块，使其作微小的 振动运动，求振动圆频率。 解： 当位移为 x 时，滑块受力 q
x
m, Q
q
qQ qQ F 2kx L L 2 4 0 ( x) 4 0 ( x) 2 2 2 d 2x qQ qQ 滑块运动方程 m 2 2kx L L dt 2 4 0 ( x) 4 0 ( x) 2 2 2
1. 如图所示，在坐标原点o 处有一波源，它所激发 的振动表达式为 y A cos 2 t ，该振动以平面波形 式沿轴正方向传播，在距波源d处有一平面将波全反 射回来（反射时无半波损失），则在坐标x处反射波 的表达式为 。
x
y A cos 2 (t d
x
d
2d x


(d x )
d 2x qQ qQ m 2 2kx L L dt 2 4 0 ( x) 4 0 ( x) 2 2 2
由于 x L ，对力作近似处理
qQ qQ F 2kx L L 2 4 0 ( x) 4 0 ( x) 2 2 2 qQ qQ 2kx 2 2 L L 2 2 4 0 Lx x 4 0 Lx x 2 2 qQ 1 1 2kx 2 0 L 1 4 x 1 4 x L L
A x
2 2
C p p | v |T T
由归一化条件：
C A x
2 2

C 2 A x
2 2

A
C 2 A x
2 2
A
dx 1 C 2
p ( x)
1
A x
2
2
10.一房屋坐落在一条东西向公路的南面距公路100m 的地方，屋内的电视机正接收远处电视台的讯号，讯 号频率为60MHz，方向如图所示。一汽车沿公路自东 向西匀速行驶，使屋内电视机讯号的强度发生起伏变 化。当汽车行经房屋正北面O点的瞬时，屋内电视讯 号的强度起伏为每秒两次，求：汽车的行驶速率。
l n ( 2n 1) l 2 l1

4
L

2
1.38
解：拍频为1.5Hz时有两种可能
v v0 1.5 Hz，v0 v 1.5 Hz 音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率应减小， 此时拍频增加，由此可知 v0 v 1.5Hz
v v0 1.5Hz 248.5 Hz
qQ 1 1 F 2kx 2 0 L 1 4 x 1 4 x L L
利用 得到
1 1 t t 2 ... 1 t
1 1 t t 2 ... 1 t
qQ 4 x 4x F 2kx 1 1 2 0 L L L
t1 / t2 0.9
例：在两平行无限大平面内是电荷体密度 > 0的均匀 带电空间，如图示有一质量为m，电量为q( < 0 )的点 电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考 虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面 oo的时间是多少？ o 解：由高斯定理可求 E x
>0
共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时的气柱高度应满足
Ln (2n 1)

4
故第一、二次共鸣时气柱的高度差
2( L2 L1 ) 1.38 m
L2 L1

2
u= v 1.38 248.5s1 343 m s
6. 驻波可看作两列行波叠加而成，下面的图中圆点 （· ）代表一维驻波的波节位置，叉（×）代表其波 腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时 序图（a）、（b）、（c）所示。试在各图中画出另 一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）。
的飞行高度h=
m。
A v
解：由多普勒效应可知： v 1 0 v u cos v 2 0 v u cos
u


v M
BБайду номын сангаас
cos 0.2750, cos 0.4125
AM h t1 t1 v v sin
u
A
v


v M
B
BM h t2 t2 v v sin
v1 l g M
v2 gt g

2
k M k
粘连（完全非弹性碰撞）后两者下落的速度为
M M u Mv1 Mv2
1 1 M u (v1 v2 ) g 1 2 2 2 k
（3）粘连后系统的平衡位置下移
Mg l
k
以2△l为坐标原点，以向下的方向为x轴的下向 建立坐标系（计时起点为粘连时）：
t 0, x0 l, v0 u
新振动的角频率为 新振动的振幅为：
2 0
k 2M
v
2 0 2 2
M 1 A x g 1 1 k 2 2
13. 两弹性系数都是 k 的弹簧它们与质量为 m 的绝缘滑块连接，滑块内植入一电量为 Q 的正点电荷 两固定端之间的距离为 L，等于两弹簧原长的和，
d x dt dt d dx x 0, cos v cos dt dt 1 d v cos dt 2 2c v d cos cos 2 dt v 11.5m / s
d x x cos d sin d x dx dx cos 0 2 2


2 1
12. 如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖起悬挂着，它 的下端连结质量为M的平板，平板上方h处有质量也为 M的小物块。今使系统从弹簧处于自由长度状态，平板 和小物块静止开始释放，当平板降落到受力平衡位置 时，小物块恰好追上平板并与其粘连。
试求： （1）h; （2）小物块与平板粘连后的 瞬间向下运动的速度u; （3）小物块与平板粘连后形 成的振动的振幅A。
2 2
dt
11.由两根相距为d竖直放置的棒状天线O1和O2组成的 天线阵列，可在水平平面内各向同性地发射波长为λ、 强度相同，但有一定相位差的无线电波。O1O2中点O 与远方A、B两镇连线间的夹角为φ（φ<π），如图所 示。现想通过调整两天线间的相差，使A镇收到的信 号最强，B镇却收不到信号；当改变用另一相位差时， 使A镇收不到信号，而B镇收到信号最强。求： （1）天线阵列O1和O2连线的 最小长度dmin （2）O1O2与OA间的夹角θ？ 这两种情况中两天线所发射的 无线电波间的相位差各为何值。
滑块振动方程变为
d 2x 8qQ x m 2 2k 3 dt 0 L
d
q< 0
0 q q受的电场力 F qE x (q 0)
0
x
o
k q
此 式 与 弹 簧 振 子 受 力律 规相 同 F kx
q 以oo为中心，在两平面内做简谐振动
0

k m
q 0m
T
2

T t 4
3.一波脉冲在弦上向x正方向传播，t=0时刻的波形图如 下所示，画出自t=0时刻起，P点的位移与时间的关系 曲线
y
t
4 。某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的弦 段中，振动动能最大的部位在 处，势能最大的 部位在 处。
A B C
波的能量
5。标准声源能发出频率为250Hz的声波，一音叉与 该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若 在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的 固有频率 。 将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高 度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在 L=0.34m和1.03m时产生相继的两次共鸣，由以上数 据算得声波在空气中的传播速度为 。
,
解：设t时刻，汽车在位 置C处，坐标如图所示， 电视机接收到讯号的波 程差为δ：
BC CA CA cos ( ) CA
d 2 x 2 1 cos( )
cos( ) cos cos sin sin x d cos sin 2 2 2 2 d x d x d 2 x2 x cos d sin
h 1 1 t1 t2 (t2 t1 ) v sin sin
(t2 t1 )u AB h(ctg ctg )
t1 4 t2
h 1.034 10 m
3
9.一维谐振子沿x轴作振幅为A的简谐振动。求证：在 振动区间内任一x处出现的概率密度（即x处附近无限 小区间内单位距离上振子出现的概率）
p ( x)
1
A x
2
2
解：因振子在x→x+dx区间内出现的概率正比于振子 在上述区间的时间间隔dt与振动周期T的比值，设比例 常量为C，则有pdx=Cdt/T
pdx Cdt
T
dt dx
|v|
C p | v |T
x A cos(t ) | v | A | sin(t ) |
z z (b) z (c)
(a)
解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处 引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据 此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。
(a)
z z
(b) z (c)
7. 两个实验者A和B各自携带频率同为1000Hz的声源， 声波在空气中的传播速度为 340m/s。设A静止，B以 速率20m/s朝着A运动，则A除了能收到频率为 1000Hz的声波外，还能接收到频率为 Hz 的声波；B除了能收到频率为1000Hz的声波外，还能 接收到频率为 Hz的声波。
解：设两信号的相位差 为α，则：
A
d sin( ) 2 2 B [d sin[ ( )]] 2
2

A 2k B极小 B (2k 1)
A极大
A B
A B d sin( ) sin( ) 2 2 1 2 (k k ) 2 (k k 1/ 2) d 2 cos( / 2 / 2)sin( / 2)