平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 平面向量的有关概念 [典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |

成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |

(2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

[解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b

|b |

，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b |

成立的充分条件．

(2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

[答案] (1)C (2)D

[易错提醒]

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

突破点(二) 平面向量的线性运算

1．向量的线性运算：加法、减法、数乘

2λ，使得b ＝λa .

平面向量的线性运算

[例1] (1)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )

A.13b ＋23c

B.53c －23b

C.23b －13c

D.23b ＋13

c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ＝12NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB ＋29

AC ，则实数m 的值是________．

[解析] (1)由题可知BC ＝AC －AB ＝b －c ，∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC ＝23

(b －c )，则AD ＝AB ＋BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13

c ，故选D. (2)如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，所以AP ＝m AB ＋29

AC ＝m AB ＋23AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13

. [答案] (1)D (2)13

[方法技巧]

1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．

平面向量共线定理的应用

[例2] 设两个非零向量a 和b 不共线．

(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线．

(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．

[解] (1)证明：因为AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ，所以AB ，BD 共线． 又AB 与BD 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．

(2)因为ka ＋b 与a ＋kb 共线，所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，

即⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线． [方法技巧] 平面向量共线定理的三个应用

(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，AB 与AC 有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．

突破点(三) 平面向量基本定理

平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

基底的概念

[例1] 如果e 1，e 2一组基底的是( )

A ．e 1与e 1＋e 2

B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2

C ．e 1＋e 2与e 1－e 2

D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1

[解析] 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧

1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案] D

某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．

平面向量基本定理的应用

[例2] (2016·江西南昌二模)如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，AP

的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ＝( )

A.12a ＋12b

B.13a ＋23b

C.27a ＋47b

D.47a ＋27

b [解析] 如图，连接BP ，则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①

AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②

①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB ，③

又RB ＝12QB ＝12(AB －AQ )＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫a －12 AP ，④ 将④代入③，得2AP ＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭

⎪⎫a －12 AP ， 解得AP ＝27a ＋47

b .[答案] C [方法技巧]

平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量