多属性决策方法 (1)

最优值为给定区间时的变换
•决策理论与方法
•13
常用的数据预处理方法
•决策理论与方法
•14
向量规范化
•决策理论与方法
•15
常用的数据预处理方法
•决策理论与方法
•16
原始数据的统计处理
•决策理论与方法
•17
多属性决策问题的决策方法
一、简单线性加权法 二、理想解法 三、功效系数法
一、简单线性加权法
此时，称F1为第一主成分，F2为第二主成分，...，Fn为第n主成分
p
称f j j / i为第j个主成分的贡献率
i1
k
f j为前k个主成分的累积贡献率
j 1
k
通常,前k个主成分的累积贡献率 f j 0.85时 j 1
•我们就取前 k个主成分
•35
•主成分分析法的步骤
•1）样本数据处理
有待评估的n个项目(公司、产品、项目等)，每项项目
j1
j1
p
p
p
k juj k j juj k j j
j1
j1
j1
•34
u1时, var( F ) 最大, 且 max var( F ) 1
因此F1 Xu1, var( F1) 1 •同理，有 F2 Xu2 , F3 Xu3 , , Fp Xup
var( Fj ) j , j 1,2, , p
功效系数越大，方案越优；反之，方案越劣。
•案例
•主成分分析
•中国大学排行榜
•中国大学排行榜 —— • 网大排行榜 • 武书连排行榜(广东管理科学学 院) • 中国校友会排行榜
•23
•教育投入：学术资源、师资资源、物质资源
•
财力资源、学生情况
•1．学术资源 •（1）博士点总数及学科分布； •（2）硕士点总数及学科分布； •（3）国家重点学科数及学科分布； •（4）国家重点实验室、国家工程研究中心、国家人文社科重点研究基地 •数及学科分布； •（5）国家级科技奖励。 •2．师资资源 •（1）具有博士的教师比例或教师在其领域获得最高学位的比例； •（2）专任教师与学生比； •（3）长江学者特聘教授人数或两院院士人数； •（4）教师平均工资。
则说明前k个主成分 基本包含了全部指
k
•特征值的累积贡献率 k fi i 1
标具有的信息，因 此可以只选前k个主
•39
成分来进行分析
•5）计算主成分值
•前k个主成分值 z ( Xu1，Xu2， ，Xuk )
(z1，z2， ，zk )
•6）计算样本评价值 y1
Y
k i 1
f
i
zi
y2 yn
•中国大学排行榜问题
•n所大学 • p个指 标
•29
•清华、北大、复旦、南开… ... 江西 财大等 •学术资源 x1、师资资源 x2、物质资源 x3、财力资源 x4、学生情况 x5、科研 成果 x6、成果转化 x7、人才培养 x8、 校友捐赠 x9、
•……..
•多数情况下,不同指标之间是有一定相关性.
var( F ) var( X ) ' var( X ) 'W
若W的特征根为1 2 p 0，
W var( X ) 协方差矩阵
对应的正交特征向量组为：u1, u2 ,
,
u
，
p
且
Wu j
juj
p
p
令
kjuj 且
k
2 j
1
j 1
j 1
p
p
var( F ) k juj W k juj
《决策理论与方法》
多属性决策 Multi-attribute Decision-making
•决策理论与方法
•2
决策矩阵(属性矩阵、属性值表)
•决策理论与方法
•3
决策矩阵(属性矩阵、属性值表)
•决策理论与方法
•4
决策矩阵(属性矩阵、属性值表)
•决策理论与方法
•5
数据预处理（规范化 ）
• 属性值有多种类型。放大效益型；缩小成 本型
• 简单线性加权法是一种常用的多属性决策方法， 先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行标 准化处理，求出各方案的线性加权指标平均值， 并以此作为各可行方案排序的依据。应该注意， 简单线性加权法对决策矩阵的标准化处理，应当 使所有的指标正向化。
简单线性加权法的基本步骤是：
步骤一：用适当的方法确定各决策指标的权重，设权重向量为：
•此时所选取的综合指标，相当于在原指标的基础上， 进行了坐标旋转，使得第一个指标的方差最大（含有 最多的信息）。
•32
•主成分的推导
设有n个项目，p个指标，相应的指标矩阵为：
x11 x12 x1 p
X
(X1,
X 2 ,
,
Xp)
x21 x22 ... ... ...
x2 p ...
，
xn1
xn2
xnp
•综合指标 F a1 x1 a2 x2 a p x p X，
为 其中组合系数为 (a1, a2 , , a p )'
p
且要求 ( , ) ' ai2 1 i 1
•33
其中组合系数为 (a1, a2 , , a p )', 使 var( F )最大，
•24
•3．物资资源 •（1）图书总量及生均藏书量；（2）图书馆用于购买新书的经费 占图书馆开支的比例；（3）图书馆总面积及生均面积； •（4）教师人均办公用房的面积；（5）体育馆总面积及生均面积 •4．财力资源 •（1）生均行政经费的开支； •（2）奖学金和助学金占行政经费的比例； •（3）享受奖学金与助学金人数占全体学生比例； •（4）专任教师与科研人员人均科研经费； •（5）教师年平均收入（学校发放的部分）； •5．学生情况 •（1）学生填报志愿的录取率； •（2）高考录取平均分； •（3）各省市重点高中文理科前30名考生录取比率，各省市文理科前100名 考生的录取比例； •（4）研究生总数及其在全校学生中比率； •（5）研究生报考与录取比率。
•在实际工作中，一般取信息量包含85%以上的前几 个综合指标，虽然这样做会损失一部分信息，但是 我们已经获取了主要信息，并从原始数据中进一步 提取了•31 某些新的信息。
综合指标为：
F1 a11x1 a12x2 a1p xp F2 a21x1 a22x2 a2 p xp Fp a p1x1 a p2 x2 app xp ai21 ai22 ai2p 1 (i 1,2, , p) 且满足条件 （1）Fi , Fj不相关,或正交； （2）F1是x1, x2 , , xp的线型函数中方差最大的,以此类推
• 理想解：设想各指标属性都达到最满意的解。 • 负理想解：设想指标属性都达到最不满意的解。
三、功效系数法
• 功效系数法是将各决策指标的相异度量转化为相应 的无量纲的功效系数，再进行综合评价的多属性决 策方法。
• 功效系数法的基本步骤是：
– 步骤一：确定决策指标体系 – 步骤二：计算各指标的功效系数 – 步骤三：计算各方案的总功效系数 – 步骤四：以总功效系数为判据，对各方案进行排序。
其中
aj
1 n
n i 1
aij，var(a j )
1 n1
n
(aij
i 1
a j )2
x11 x12 x1 p
•标准化数据矩阵
X
x21
x22
x2 p
xn1
xn2
xnp
x1 j
xj
x2 j
xnj
( x1, x2 , , x p )
•37
•2) 计算相关系数矩
阵
r11 r12 r1 p
•相关系数矩 阵
R
r21
r22
r2 p
rp1 rp2 rpp
rij为向
量xi
和x
的相
j
关系数
，
rij
cov( xi , x j ) var( xi ) var( x j )
1 n
xi n k1 xki
1 n
cov( xi ,
xj
)
n
1
( xki
k 1
•26
•（3）毕业生国外院校奖学金获 得者与录取人数及比率；
•（4）留学生比例（在同专业学 生中的比例；来自五大洲的比 例）；
•（5）国家级大赛学生获奖情况 （电子设计、数模、桃战杯，英 语演讲、机器人大赛等）。
•4．校友捐赠 •校友平均捐赠率。 •5．声望或声誉 •知名学者专家、校长、官员、企 业家问卷调查。
W
(w1, w2 ,L
,
wn
)T
，其中，
n
wj
1。
j 1
步骤二：对决策矩阵 X (xij )mn 作标准化处理，标准化矩阵为
Y ( yij )mn ，并且标准化之后的指标均为正向指标。
n
步骤三：求出各决策方案的线性加权指标值 ui wj yij 1 i m。 j 1
步骤四：以线性加权指标值 ui 为依据，选择线性加权指标值最大者为
xi )( xkj
xj)
•38
•3）求相关系数矩阵R的特征值和特征向量矩阵
det(R E) 0
•矩阵R的特征值 1 2 p 0
•和特征向量
u1，u2， ，up
•特征向量矩阵 U (u1，u2， ，up )
•4）求主成分的贡献率，确定因子 •如果 k 超过0.85，
p
fi i / i i 1
•根据样本评价值对待评估项目进行排序
•40
•财力资源、物质资源 •科研成果、成果转化 •人才培养、校友捐赠
•相互关联
•基本思想
•主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性的 指标（比如 p个指标），重新组合成一组相互无关 的综合指标来代替原来指标。通常数学上的处理就 是将原来 p个指标作线性组合，作为新的综合指标。
•30
•第一综合指标 F1 a11x1 a12 x2 a1 p x p
有 p 项指标，第i个项目的第 j 项指标为aij，i 1,2, , n；
j 1,2, , p
•指标
•项目
a11 a12 a1 p
a21 a22 a2 p
an1
an2
anp
•36
(a1, a2 , , a p )
•指标间的差异
•标准化
xij
aij a j var(a j )
如何取a11、a12、 、a1 p
F1的方差var( F1)最大
•第二综合指标 F2 a21x1 a22 x2 a2 p x p
F2的方差var( F2 )最大吗? 还要要求F1和F2不相关，即cov(F1, F2 ) 0, 即正交
•以此类推，可以创建第三、第四、以至第 p个综合指 标，同时后面的主成分也要前面所有的主成分正交
• 非量纲化 • 归一化
•决策理论与方法
•6
常用的数据预处理方法
•决策理论与方法
•7
线性变换——例子
•决策理论与方法
•8
常用的数据预处理方法
•决策理论与方法
•9
标准0-1变换
•决策理论与方法
•10
最优值为给定区间时的变换
•决策理论与方法
•11
最优值为给定区间时的变换
•决策理论与方法
•12
n
最满意的答案，即
u(a* )
max
1 i m
ui
max 1 i m
w j yij 。
j 1
二、Байду номын сангаас想解法
• 理想解法又称为TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法。
• 这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解， 并以靠近理想解和远离理想解两个基准作为评价各 可行方案的依据。理想解法又成为双基点法。
•如此多的指标(40多个)，都与学校的排名和声誉有 关但又可能互相重叠交叉，如何处理这些指标才 够客观合理。
•其他类 •似问题
•企业生产率评价 •品牌知名度评价 •各地区居民消费评价
•等 等
•27
•主成分分析法 •（PCA）
•28
•Karl Parson在1901年引进的，针对非随机向量 •Hotelling 1933年将这个方法推广到随机向量.
•25
•教育产出：研究成果、成果转化、人才培养
•
校友捐赠、声望声誉
•1．研究成果 •（1）课题批准总数及级别； •（2）索引情况：SCI/EI/ISTP/ •CSTP/SSCI/A&HCI/CSSCI人均数； •（3）获国家和国际奖励。 •2．科技成果转化 •（1）成果转化率； •（2）成果转化效益。 •3．人才培养 •（1）7月～9月前毕业生一次就 业率（毕业率）； •（2）7月前毕业生考取其他院校 研究生人数及比率；