两个随机变量的函数的分布

(z-x)2
+ -
-
e 2 e 2 dx
-
BG
2 -
6
fZ
(z)
=
1
2
-z2
e4
+ -(x- z )2
e 2 dx
-
可得：
即Z服从N(0,2)分布。
BG
7
一般,设X ,Y相互独立且 X ~ N ( μ1 ,σ12 ),Y,
σ
2 2
).则
Z
=
X
+ Y 仍然服从正态分布
, 且有
Z
~
N ( μ1
fZ (z) = - fX (z - y) fY ( y)dy
fZ (z) = - fX (x) fY (z - x)dx
这两个公式称为卷积公式,记作fX * fY ,即
+
+
fX * fY = - fX (z - y) fY ( y)dy = - fX (x) fY (z - x)dx
BG
5
设X和Y是相独立的随机变量且它们的分 布函数分别记为FX (x)和FY (y)。
当M = max(X,Y )时, 有 FM (z) = P{M z} = P{X z,Y z} = P{X z}P{Y z}
= FX(z)FY (z)
类似地, N = min(x ,y )时,有 FN (z) = P{N z} = 1- P{N z} = 1- P{x z,y z}
=p(x,y)dxdy +p(x,y)dxdy
G1
G2
BG
11
z
0
=[ y(y p ,y u )d y -y(y p ,y u )d y ]d u .
- 0
-
由此可得分布密度为
p ( z )= 0 y(y p ,y ) z d y - - 0 y(y p ,y ) z d y
=- yp(y,zy)dy.
FZ (z)=P (Z ≤ z)=P(X+Y ≤ z)
= f (x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面.
BG
2
FZ (z) = f (x, y)dxdy
x+ yz
化成累次积分,得
z-y
FZ (z) =
[
- -
f (x, y)dx]dy
BG
9
2. Z = X 的分布、Z =ＸＹ的分布 设 (X,Y)的 Y 概率p密 (x,y)度 则 , Z为 =X的
Y
分布函数为
y
F Z (z)= P {Z z}=
P{X Y
z}
x
G1
=z y
=p(x, y)dxdy+p(x, y)dxdy
G1 yz
G2 0
O
x
= p(x,y)dxdy+ p(x,y)dxdy,
固定z和y,对方括号内的积分作
变量代换, 令x=u-y,得
z
FZ (z) =
[
-
f (u - y, y)du]dy
-
交换积分次序
z
= [ f (u - y, y)dy]du - -
BG
3
z
FZ (z) =
[ f (u - y, y)dy]du
- -
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为:
+
μ2 , σ12
+
σ
2 2
).
这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之 和的情况：
一 且般他来们说 相， 互若 独立X，i ~则N他(m们i ,的i2和),（Z=i=X11, +2X, 2…+，…n..）+X，n
仍然服从正态分布，且有
n
n
m = m i 2 = i2
BG
i =1
i=1
8
这个事实可以证明 有限个相互独立的正态 随机变量的线性组合仍 然服从正态分布
= 1- P{x z}P{y z} = 1- (1- Fx (z))(1- Fy (z)).
BG
14
2e-xe-2y,x0,y0,
p(x,y)= 0,
其.它
得所求密度函数 (当z0时)
pZ(z)=0 2ye-yez-2ydy=
2ye-y(2+z)
0
dy
=
(2
2 + z)2
,
(当 z0时 ) pZ(z)=0,
得
pZ(z) =(2+2z)2 , z 0,
0,
z 0.
BG
15
3. M=max (X，Y )及N=min (X，Y)的分布
0 -
- yz
G2
令 u=xy,
BG
10
yz
p(x, y)dxdy= p(x,y)dxdy
G1
0 -
z
z
= y(py,uy)dudy= y(py,uy)dydu
0 -
-0
同理可得
z0
p (x ,y)d x d y= - - - y(y p,y u )d yd u ,
G 2
故有 F Z (z)= P {Z z}
5. 两个随机变量的函数的分布
◆ 主要内容 1. Z=X+Y的分布 2. Z=X/Y的分布、Z=XY的分布 3. M=max {X,Y}及N=min {X,Y}的分布
BG
1
1. Z=X+Y的分布
例1 设（X、Y）是二维连续型随机变量，它
具有的概率密度为 f (x, y),求Z=X+Y的密度. 解: Z=X+Y的分布函数是:
例2 设X,Y是相互独立的服从标准正态分布N(0, 1)的 随机变量。求Z=X +Y的概率密度。
解 由于
fX (x) = fY ( y) =
1
- x2
e2
2
1
- y2
e2
2
- < x < - - < y < +
因此,由卷积公式有
fZ (z) =
+
fX (x) fY (z - x)dx
=1
x2
fZ (z) = FZ' (z) =
f (z - y, y)dy
-
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) = FZ' (z) =
f (x, z - x)dx
-
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
BG
4
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
（5.7）
同理可得Ｚ=ＸＹ的分布函数：
-
１
y
p(
y z
, y)d y.
（5.8）
BG
12
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式分 别化为：
p (z)=- yp X (y)p zY (y)d y. （5.9）
p( z ) = -
１
y
pX
(
y z
) pY
(
y)d
y.
（5.10）
BG
13
例3 设 X,Y 分别表示两只不同型的号灯泡的
寿命, X,Y 相互独立,它们的概率密度分别为
e-x, x 0,
2e-2y , y 0,
pX
(
x)
=
0,
其它,
pY
(
y)
=
0,
其它.
试求Z = X 的概率密度函.数 Y
解 由公式
p Z (z )= 0 y(y p ,y z )d y - - 0 y(y p ,y z )d y ,