2020近三年浙江高考数学考点知识梳理与押题
浙江省2020年高考数学压轴卷含解析
浙江省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B = A ．B ．{0,1}{0,1,2}C ．D ．{1,0,1}-{1,0,1,2}-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）21+i i A ．B ．C ．D ．-1+i 1-i 1+i -1-i3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．B ．8CD ．835．若实数满足不等式组，则( ),x y 02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………3x y -A ．有最大值，最小值B ．有最大值，最小值22-83-83C ．有最大值2，无最小值D ．有最小值，无最大值2-6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x xe f x x e +=-e A ．B ．C ．D ．8．已知、，且，则（ ）a b R ∈a b >A ．B ．C ．D ．11a b<sin sin a b>1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22a b >9．设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，为中点，过P ABCD -M PC 作平面与线段，分别交于点，（可以是线段端点），则四棱AM AEMF PB PD E F 锥的体积的取值范围为（ ）P AEMF -A ．B ．C ．D ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,210若对圆上任意一点，的取22(1)(1)1x y -+-=(,)P x y 34349x y a x y -++--值与，无关， 则实数a 的取值范围是( )x y A ．B ．C ．或D ．4a ≤46a -≤≤4a ≤6a ≥6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.12．二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为521x __________．13．设双曲线的半焦距为c ，直线过（a ，0），（0，b ）两点，()222210x y b a a b -=>>l 已知原点到直线，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为l_________.14．已知函数，若，则实数_____；若22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩(1)(1)f f -=a =存在最小值，则实数的取值范围为_____.()y f x =a 15．设向量满足，，，．若，则,,a b c 1a = ||2b = 3c = 0b c ⋅= 12λ-≤≤的最大值是________．(1)a b cλλ++- 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数若在区间上方程只有一()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩[1,1]-()1f x =个解，则实数的取值范围为______．m三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡18．已知函数.()()222cos 1x R f x x x =-+∈(1)求的单调递增区间;()f x (2)当时,求的值域.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 19．如图，四棱柱的底面是菱形，1111ABCD A B C D -ABCD AC BD O = 底面，.1A O ⊥ABCD 12AA AB ==（1）求证：平面平面；1ACO ⊥11BB D D （2）若，求与平面所成角的正弦值.60BAD ∠=︒OB 11A B C20．等比数列的各项均为正数，且.{}n a 212326231,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设 ，求数列的前项和.31323log log ......log nn b a a a =+++1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 21．已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.22y px =0p >()11,A x y ()22,B x y 线段的中点为，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8AB ()03,My （1）求抛物线的标准方程；（2）若线段的垂直平分线与x 轴交于点C ，求面积的最大值.AE ABC ∆22．已知函数.2()(1)(0)x f x x e ax x =+->（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；()f x (0,)+∞a （2）若函数有两个不同的零点.()f x 12,x x （ⅰ）求实数的取值范围；a （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点）12011111x x t +->+0t ()f x参考答案及解析1．【答案】C【解析】由，得，选C.2．【答案】C【解析】因为,所以其共轭复数是，选C.21+i =1-i 1+i 【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【答案】C【解析】设公差为，，d 45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，联立解得，故选C.611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，{}n a 若，则.m n p q +=+m n p q a a a a +=+4．【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；224S ==h ==所以该四棱锥的体积是.11433V Sh ==⨯=故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；2222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩……设，则直线是一组平行线；3z x y =-30x y z --=当直线过点时，有最大值，由，得；A z 022y x y =⎧⎨-=⎩(2,0)A 所以的最大值为，且无最小值.z 3202x y -=-=z 故选：C.6．【答案】C 【解析】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选0x y +=0x ay -=1()110a ⨯-+⨯=1a =C7．【答案】A【解析】∵f（﹣x）f （x ），()()()111111x x x x x x e e e x e x e x e--+++====-----∴f（x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，<0，()e 111e f +=-∴排除B ，故选A ．8．【答案】C 【解析】对于A 选项，取，，则成立，但，A 选项错误；1a =1b =-a b >11a b >对于B 选项，取，，则成立，但，即，B 选项a π=0b =a b >sin sin 0π=sin sin a b =错误；对于C 选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C 选13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R a b >1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭项正确；对于D 选项，取，，则，但，D 选项错误.1a =2b =-a b >22a b <故选：C.9. 【答案】D 【解析】依题意表示到两条平行343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+(),P x y 直线和的距离之和与无关，故两条平行直线340x y a -+=3490x y --=,x y 和在圆的两侧，画出图像如下图所示，340x y a -+=3490x y --=22(1)(1)1x y -+-=故圆心到直线的距离，解得或（舍去）()1,1340x y a -+=3415ad -+=≥6a ≥4a ≤-故选：D.10．【答案】B【解析】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱上取点S ABC -,,SA SB SC 111,,A B C则，设与平面所成角，111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC --⋅⋅=⋅⋅SB SAC θ，证毕.11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABCB SACSA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅四棱锥中，设，P ABCD -,PE PF x y PB PD ==212343P ABCDV -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCDP ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y-=+即，又，3,31x x y xy y x +==-01,0131xx y x ≤≤≤=≤-解得112x ≤≤所以体积，令2313,[,1]312x V xy x x ==∈-131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，在递减，在递增()V t 1[,1]2t ∈[1,2]t ∈所以函数最小值，最大值，()V t 4(1)3V =13(2)()22V V ==四棱锥的体积的取值范围为P AEMF -43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B11．【答案】1031165【解析】设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，n a {}n a 设数列的前n 项和为，则，解得，{}n a n S ()51512512a S -==-1531a =所以，.2110231a a ==()10105123116512S -==-故答案为：，.1031165【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．【答案】 325【解析】展开式的通项为，5552215521()r rrr r r T C C x x --+==令，解得，55022r -=1r =所以展开式中的常数项为，1255T C ==令，得到所有项的系数和为，得到结果.1x =5232=点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．【答案】2y =【解析】由题可设直线方程为：，即，则原点到直线的距离l 1x ya b +=0bx ay ab --=，解得，两式同时平方可得，又ab d c ===24ab =224163a b c =，代换可得，展开得：，同时除以222b c a =-()2224163a c a c -=224416162a c a c -=得：，整理得，解得或，又，4a 2416163e e -=()()223440e e --=243e =40b a >>所以，所以；2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>24,2c e e a ===b a ===by x a =±=故答案为：2；y =14．【答案】1[1,0)-【解析】，(1)(1)f f -= ，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=1a ∴=易知时，；0x <()2(0,1)xf x =∈又时，递增，故，0x …2()log ()f x x a =-2()(0)log ()f x f a =-…要使函数存在最小值，只需，()f x 20()0a log a ->⎧⎨-⎩…解得：.10a -<…故答案为：，.1[1,0)-15．【答案】1+【解析】令，则，因为，()1n b cλλ=+- n == 12λ-≤≤所以当，，因此当与同向时的模最大，1λ=-max n == n aa n + max 1a n a n +=+=+16．【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，4242A A 48=把“民俗调查”安排在周一，有，3232A A 12⋅=∴满足条件的不同安排方法的种数为，481236-=故答案为：36．17．【答案】或1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩1}m =【解析】当时，由，得，即；当时，由01x ≤≤()1f x =()221x x m +=212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10x -≤<，得，即.()1f x =1221x x m +--=1221x x m +-=+令函数，则问题转化为函数与函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩的图像在区间上有且仅有一个交点.()h x =2x m +[1,1]-在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩2y x m =+上的大致图象如下图所示：[1,1]-结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；(0)1h =1m =当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩的取值范围是.m 1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或18．【答案】（1）；（2）.,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡-⎣【解析】(1) 函数，()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛⎫ ⎪=⎝=-+-=⎭-令，求得，222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈故函数f(x)的增区间为；,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)若，则，故当时，函数f(x)取得最小,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦262x ππ-=-值为−2；当时，函数f(x).263x ππ-=⎡-⎣【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19．【答案】（1）证明见解析（2（1）证明：由底面可得，1A O ⊥ABCD 1AO BD ⊥又底面是菱形，所以，ABCD CO BD ⊥因为，所以平面，1A O CO O ⋂=BD ⊥1A CO 因为平面，BD ⊂11BB D D 所以平面平面.1ACO ⊥11BB D D （2）因为底面，以为原点，，，为，，轴建立如图1A O ⊥ABCD O OB OC 1OAx y z 所示空间直角坐标系，O xyz-则，，，，(1,0,0)BC (0,A 1(0,0,1)A ，，11A B AB ==()11A C =- 设平面的一个法向量为，11A B C (,,)m x y z =由，取得，1110000m A B x m A C z ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 1x=1,1m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又，(1,0,0)OB =所以，cos ,||||OB mOB m OB m ⋅===所以与平面.OB 11A B C 20．【答案】（1）（2）13n n a =21nn -+（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由＝9a2a 6得＝9,所以q 2＝．23a23a24a 19由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．1313故数列{a n }的通项公式为a n ＝．13n（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－．()21n n +故．()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列的前n 项和为1n b⎧⎫⎨⎬⎩⎭21n n -+21．【答案】（1）（224y x =【解析】（1）由题意知,126x x +=则,1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=抛物线的标准方程为∴24y x=（2）设直线:（）,AB x my n =+0m ≠由,得,24x my n y x =+⎧⎨=⎩2440y my n --=124y y m∴+=,即,212426x x m n ∴+=+=232n m =-即,()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩,2AB y ∴=-=设的中垂线方程为:,即,AB ()23y m m x -=--()5y m x =--可得点C 的坐标为,()5,0直线:,即,AB 232x my m =+-2230x my m -+-=点C 到直线的距离,∴AB d ()21412S AB d m ∴=⋅=+令,则（,t =223m t =-0t <<令,()()244f t t t=-⋅,令,则,()()2443f t t'∴=-()0ft '∴=t =在上；在上,⎛⎝()0f t '>()0f t '<故在单调递增,单调递减,()ft ⎛ ⎝当,即,∴t =m =maxS =22．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见⎛-∞ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭解析.【解析】（1）由，得，2()(1)x f x x e ax =+-2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭设，；则；2()x x g x e x +=⋅(0)x >2222()xx x g x e x +-'=⋅由，解得，()0g x '…1x ≥-所以在上单调递减，在上单调递增，()gx 1)1,)-+∞所以1min()1)(2==+⋅g x g 因为函数在上单调递增，所以在恒成立()f x (0,)+∞()0f x '…(0,)+∞所以；1(22+⋅≥a 所以，实数的取值范围是：.a ⎛-∞ ⎝（2）（i ）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以.()f x ()fx a >因此有两个根，设为，且，()0f x '=10,tt 1001t t <<-<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x ()10,t ()10,t t ()0,t +∞又，，当充分大()1(0)1f t f >=()22()(1)(1)x x xf x x e ax a e x x a e =+-=-++-⋅x 时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即()f x ()f x ()00f t <；()200010t t e a t +-⋅<又因为；()()0000220tf t t e at '=+-=所以：，解得，所以；()()000002202t tt t e t e +-⋅+<0t>12>=a g 因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是.()f xa ⎫+∞⎪⎪⎭（ⅱ）先证明不等式，若，，则.12,(0,)x x ∈+∞12x x≠211221112x x x xnx nx -+<<-证明：不妨设，即证，210x x >>21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<+设，，，211x t x =>()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+只需证且；()0g t <()0h t >因为，，()0g t '=<22(1)()0(1)t h t t t -'=>+所以在上单调递减，在上单调递增，()g t (1,)+∞()h t (1,)+∞所以，，从而不等式得证.()(1)0g t g <=()(1)0h t h >=再证原命题.12011111x x t +->+由得；()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩所以，两边取对数得：()()2212221211xx x e x e x x ++=；()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦即.()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+因为，()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x-+-+-<--+-++++所以，121221112x x x x +<<+++因此，要证.12011111x x t +->+只需证；1202x x t +<因为在上单调递增，，所以只需证，()f x ()0,t +∞1020x t x <<<()()2022f x f t x <-只需证，即证，其中；()()1012f x f t x <-()()00f t x f t x +<-()0,0x t ∈-设，，只需证；()()00()r x f t x f t x =+--00t x -<<()0r x <计算得；()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--.()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦由在上单调递增，()()20033x y x t e x t =+++--()0,0t -得，()()0003030y t e t <++--=所以；即在上单调递减，()0r x ''<()r x '()0,0t -所以：；()0()(0)20r x r f t '''>==即在上单调递增，所以成立，即原命题得证.()r x ()0,0t -()(0)0r x r <=。
2020年浙江省高考数学压轴试卷 (含答案解析)
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x||x|<2}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {−1,0，1，2} 2. 复数5i−2的共轭复数是( )A. 2+iB. −2−iC. −2+iD. 2−i3. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 4D. 84. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则四棱锥的表面积为( )A. 83B. 4√3C. 4√5+1D. 4(√5+1)5. 已知x 、y ∈R ，不等式组{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k 所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知直线l 1:mx +y −1=0，直线l 2:(m −2)x +my −1=0，则“l 1⊥l 2”是“m =1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 函数f(x)=(e x +1)lnx 2e x −1(e 是自然对数的底数)的图象大致为( )A. B. C. D.8. 已知实数a >b >0,m ∈R ，则下列不等式中成立的是( )A. (12)a <(12)bB. a −2>b −2C. m a >m bD. b+m a+m >ba 9. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB =2PN ，则三棱锥N −PAC 与四棱锥P −ABCD 的体积比为( )A. 1：2B. 1：3C. 1：6D. 1：810. 若对圆(x −1)2+(y −1)2=1上任意一点P(x,y)，|3x −4y +a|+|3x −4y −9|的取值与x ，y无关，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤−4B. −4≤a ≤6C. a ≤−4或a ≥6D. a ≥6二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为______ ．12. 在二项式(√2+x)9的展开式中，常数项是_____________，系数为有理数的项的个数是______________．13. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)，焦距为2c ，直线l 经过点(a,0)和(0,b)，若(−a,0)到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为______． 14. 已知函数f(x)={|x +a|+|x −1|,x >0x 2−ax +2,x ≤0的最小值为a +1，则实数a 的取值范围为____________． 15. 若平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|2a ⃗ +b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b⃗ 的取值范围是______． 16. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务活动，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人中至少有一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务活动的日期不相邻，那么不同的安排方法种数为________(用数字作答)．17. 若方程x +m =√4−x 2有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围为________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x −1．(1)求函数f(x)的递增区间；(2)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60∘．(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB，求PC与平面PBD所成角的正弦值20.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n21.已知点F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，一点M(0,√2)满足线段MF的中点在抛物线C2上．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．22.已知函数f(x)=lnx+ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的两个零点为x1，x2,且x2x1⩾e2，求证：(x1−x2)f′(x1+x2)>65．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B.解：∵集合A={x||x|<2}={x|−2<x<2}，B={−1,0，1，2，3}，∴A∩B={−1,0，1}．故选C．2.答案：C解析：解：复数5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=5(−2−i)5=−2−i的共轭复数为−2+i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.答案：C解析：本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，∵a4+a5=24，S6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4，∴{a n }的公差为4．故选C ．4.答案：D解析：解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长2，高为2，则四棱锥的斜高为√22+12=√5．所以该四棱锥侧面积为：4×12×2×√5=4√5，底面积为：2×2=4，故表面积S =4+4√5=4(√5+1)，故选：D由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，进而可得答案． 本题考查三视图复原几何体形状的判断，几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与计算能力． 5.答案：B解析：解：作出不等式组对应的平面区域：则k >0由{x +2y =0y =k，解得{x =−2k y =k ，即A(−2k,k)， 由{x −y =0y =k，解得{x =k y =k ，即B(k,k) ∵平面区域的面积是9，∴12(3k)k =6，即k 2=4解得k =±2，解得k =2或k =−2(舍)，故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的形状，结合面积公式即可得到结论．本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，以及三角形的面积公式的计算，比较基础． 6.答案：B解析：解：直线l 1：mx +y −1=0，直线l 2：(m −2)x +my −1=0，若“l 1⊥l 2”， 则m(m −2)+m =0，解得m =0或m =1，故“l 1⊥l 2”是“m =1”的必要不充分条件，故选：B ．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m 的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：f(−x)=(e −x +1)ln(−x)2e −x −1=(1+e x )lnx 21−e x =−(e x +1)lnx 2e x −1=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，C ．当x >1时，f(x)>0，排除D ，故选：A ．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值的符号是否对应进行排除．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及对称性是解决本题的关键． 8.答案：A解析：解：∵函数y =(12)x 在R 上单调递减，∴当a >b >0时，(12)a <(12)b ．故选：A ．根据函数y =(12)x 在R 上单调递减知当a >b >0时，(12)a <(12)b ．本题考查了利用函数的单调性判断比较大小和不等式的基本性质，属基础题．。
【解析版】2020年浙江省高考数学(理)预测押题试卷 (2)
由全国各地一线教师精心编制《高考终极预测押题卷》对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把握命题规律，找出命题趋势。
全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！浙江省高考数学（理）预测押题试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•湖南）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，0}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合N，然后直接求解M∩N即可．解答：解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．点评：本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2．（5分）（•宁波二模）函数是（）A．周期为π的偶函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为2π的奇函数考点：两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；余弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的余弦公式化就爱你函数的解析式为f（x）=﹣sinx，由此可得函数的周期性和奇偶性．解答：解：函数=cosxcos﹣sinxsin﹣（cosxcos+sinxsin）=﹣2sinxsin=﹣sinx，它的周期为=2π，且是奇函数，故选D．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于中档题．3．（5分）（•宁波二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥，如图，即图中在长方体中红色的部分．知棱锥的底面是一个以4为底，以2为高的三角形，棱锥的高为2，故棱锥的体积V=•（4）•2•2=．故选A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键．4．（5分）（•宁波二模）已知点P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，动点M（x，y）满足，则点M所构成的平面区域的面积是（）A．12 B．16 C．32 D．64考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据向量的数量积化简约束条件，再画出约束条件表示的可行域，然后求出可行域的面积即可．解答：解：∵已知点P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，动点M（x，y）∴=（3，3），=（3，﹣3），=（x，y）．∴满足，即，它表示的可行域为：边长为4的正方形，则其围成的平面区域的面积为：4×4=32；故选C．点评：本题主要考查了两个知识点：平面向量的坐标运算以及平面区域，同时考查了阅读理解题意的能力以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．5．（5分）（•宁波二模）已知a，b∈R，条件p：“a＞b”，条件q：“2a＞2b﹣1”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：：由条件p：“a＞b”，再根据函数y=2x 是增函数，可得故条件q成立．但由条件q：“2a＞2b﹣1”成立，不能推出条件p：“a＞b”成立，从而得出结论．解答：解：由条件p：“a＞b”，再根据函数y=2x 是增函数，可得2a＞bb，∴2a＞bb﹣1，故条件q：“2a＞2b﹣1”成立，故充分性成立．但由条件q：“2a＞2b﹣1”成立，不能推出条件p：“a＞b”成立，例如由20＞20﹣1 成立，不能推出0＞0，故必要性不成立．故p是q的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数y=2x 的单调性，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．6．（5分）（•宁波二模）在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是（）A．B．C．D．1考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：ξ的可能取值为：0、1、2、3，每一局中甲胜的概率为，进而可得ξ～B（3，），由二项分布的期望的求解可得答案．解答：解：由题意可得随机变量ξ的可能取值为：0、1、2、3，每一局中甲胜的概率为=，平的概率为，输的概率为，故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ～B（3，），故Eξ==1故选D点评：本题考查离散型随机变量的期望的求解，得出ξ～B（3，）是解决问题的关键，属中档题．7．（5分）（•宁波二模）已知数列{an}是1为首项、2为公差的等差数列，{bn}是1为首项、2为公比的等比数列．设，Tn=c1+c2+…+cn（n∈N*），则当Tn＞时，n的最小值是（）A．7B．9C．10 D．11考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由题设知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，所以由Tn=ab1+ab2+…+abn=a1+a2+a4+…+a=2n+1﹣n﹣2和Tn＞，得2n+1﹣n﹣2＞，由此能求出当Tn＞时，n的最小值．解答：解：∵{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an=2n﹣1，∵{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴bn=2n﹣1，∴Tn=c1+c2+…+cn=ab1+ab2+…+abn=a1+a2+a4+…+a=（2×1﹣1）+（2×2﹣1）+（2×4﹣1）+…+（2×2n﹣1﹣1）=2（1+2+4+…+2n﹣1）﹣n=2×﹣n=2n+1﹣n﹣2，∵Tn＞，∴2n+1﹣n﹣2＞，解得n≥10．则当Tn＞时，n的最小值是10．故选C．点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．8．（5分）（•宁波二模）已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；三角形的面积公式．专题：平面向量及应用．分析：由向量的运算可得，，以及，代入夹角公式可得cos∠BOA，由平方关系可得sin∠BOA，代入三角形的面积公式S=，计算可得．解答：解：由题意可得====，同理可得====，而=（）•（）==6×12﹣12=，故cos∠BOA===，可得sin∠BOA==，所以△OAB的面积S===．故选B点评：本题考查平面向量的数量积和三角形面积的求解，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题．9．（5分）（•宁波二模）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f'（x）＞f （x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．解答：解：令g（x）=，则=，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即，所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．10．（5分）（•宁波二模）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．已知点A是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆的方程为，直线AB方程为y=kx+b（k＞0），两方程联解得到B的横坐标为﹣，从而得|AB|=•，同理得到|AC|=•．根据|AB|=|AC|建立关于k、a、b的方程，化简整理得到（k ﹣1）[b2k2+（b2﹣a2）k+b2]=0，结合题意得该方程有三个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式建立关于a、b的不等式，解之即得c2＞2b2，由此结合a2=b2+c2即可解出该椭圆的离心率的取值范围．解答：解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据BA、AC互相垂直，设直线AB方程为y=kx+b（k＞0），AC方程为y=﹣x+b 由，消去y并化简得（a2k2+b2）x2+2ka2bx=0解之得x1=0，x2=﹣，可得B的横坐标为﹣，∴|AB|=|x1﹣x2|=•．同理可得，|AC|=•∵△ABC是以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形，∴|AB|=|AC|即•=•，化简整理，得b2k3﹣a2k2+a2k﹣b2=0，分解因式得：（k﹣1）[b2k2+（b2﹣a2）k+b2]=0…（*）方程（*）的一个解是k1=1，另两个解是方程b2k2+（b2﹣a2）k+b2=0的根∵k1=1不是方程b2k2+（b2﹣a2）k+b2=0的根，∴当方程b2k2+（b2﹣a2）k+b2=0有两个不相等的正数根时，方程（*）有3个不相等的实数根相应地，以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形也有三个．因此，△=（b2﹣a2）2﹣2b4＞0且，化简得c2＞2b2即3c2＞2a2，两边都除以3a2得＞，∴离心率e满足e2＞，解之得e＞，结合椭圆的离心率e＜1，得＜e＜1故选：D点评：本题给出以椭圆上顶点为直角顶点的内接等腰直角三角形存在3个，求椭圆的离心率取值范围，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识点，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（•宁波二模）已知i是虚数单位，复数的虚部是．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，即可求得它的虚部．解答：解：由于复数==，故它的虚部为，故答案为．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．12．（4分）（•宁波二模）执行如图所示的程序框图，则输出的k值是3．考点：程序框图．专题：图表型．分析：计算三次循环的结果，与判断框条件比较，即可得到结论．解答：解：第一次循环，s=，i=1；第二次循环，s=，i=2；第三次循环，s=，i=3；此时＞，退出循环，输出k=3．故答案为：3．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．13．（4分）（•宁波二模）的展开式的常数项是﹣12．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得结论．解答：解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=﹣10第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得2×（﹣1）5=﹣2∴展开式的常数项是﹣10+（﹣2）=﹣12故答案为：﹣12点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．14．（4分）（•宁波二模）设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a的值为．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：依题意，可求得g（x）=，依题意，g（﹣1）=g（1）即可求得实数a的值．解答：解：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣ax=，∵g（x）=为偶函数，∴g（﹣1）=g（1），即a﹣1=1﹣a﹣1=﹣a，∴2a=1，∴a=．故答案为：．点评：本题考查函数奇偶性的性质，求得g（x）的解析式后，利用特值法g（﹣1）=g（1）是解决问题的关键，属于中档题．15．（4分）（•宁波二模）从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有100种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，分类讨论：若选的3人中选了甲，选的3人中不选甲两种情况分别求解即可解答：解：若选的3人中选了甲：共有=40种选法若选的3人中不选甲：共有=60种根据分类计数原理可知，共有40+60=100故答案为：100点评：本题考查排列、组合的综合运用，本题解题的关键是注意优先分析特殊的元素，同时需要区分排列与组合的意义．16．（4分）（•宁波二模）已知曲线C1：y=x2+4和C2：y=2x﹣x2，直线l1与C1、C2分别相切于点A、B，直线l2（不同于l1）与C1、C2分别相切于点C、D，则AB与CD交点的横坐标是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：抛物线C1的方程是y=x2+4，和C2：y=2x﹣x2，由题意知曲线C2与C1关于AB与CD交点对称，得AB与CD交点即为两抛物线的对称中心．求出抛物线C1和抛物线C2的顶点坐标，再求出它们连线段的中点即可得出正确答案．解答：解：∵C1：y=x2+4和C2：y=2x﹣x2，分别由抛物线y=x2经过平移或对称变换而得，它们是全等的图形，从而具有对称中心，又直线l1与l2分别是它们的公切线，根据对称性知，直线l1与l2也关于对称中心对称，从而曲线C2与C1关于AB与CD交点对称，AB与CD交点即为两抛物线的对称中心．如图．由于抛物线C1和抛物线C2的顶点坐标分别为M（0，4），N（1，1），线段MN的中点的横坐标为x==．即两抛物线的对称中心的横坐标为．故答数为：．点评：本题考查曲线方程，考查曲线的对称性．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．17．（4分）（•宁波二模）在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是．考点：两点间的距离公式；基本不等式．专题：计算题．分析：设M（x，y），由题意可得y=，代入距离公式可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y﹣1）2]，消掉y可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，进而可得其△≤0，解此不等式可得t的范围，进而可得最小值．解答：解：设M（x，y），则由A、M、D三点共线可得，整理可得y=，由两点间的距离公式，结合|AM|≤2|BM|恒成立可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y﹣1）2]，整理可得3x2+3y2﹣4y≥0，代入y=化简可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，∵3t2+12＞0，由二次函数的性质可得△=（﹣16t）2﹣4（3t2+12）•4t2≤0，整理可得3t4﹣4t2≥0，即，解得t≥，或t≤（因为t＞0，故舍去）故正实数t的最小值是：故答案为：点评：本题考查两点间的距离公式，涉及不等式的解法，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（•宁波二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设函数（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若函数f（x）在处取得最大值，求的值．两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．考点：三角函数的图像与性质．专题：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数f（x）的解析式为分析：，由此可求它的最大值．（Ⅱ）由（I）知：由，求得A的值，再利用正弦定理及两角和差的正弦公式、余弦公式，化简要求的式子，求得结果．解答：解：（Ⅰ）依题意得…（2分）==，…（5分）所以T=π，．…（7分）（Ⅱ）由（I）知：由，得，所以．故==．…（14分）点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦定理以及二倍角公式的应用，属于中档题．19．（14分）（•宁波二模）设公比大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S4=5S2，数列{bn}的前n项和为Tn，满足b1=1，，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Cn=（Sn+1）（nbn﹣λ），若数列{Cn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a1=1，S4=5S2，求出数列的公比，即可求数列{an}的通项公式；通过，推出，利用累积法求解{bn}的通项公式．（Ⅱ）求出等比数列的前n项和，化简Cn=（Sn+1）（nbn﹣λ），推出Cn+1﹣Cn，利于基本不等式求出数列{Cn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解答：（本题满分14分）解：（Ⅰ）由S4=5S2，q＞0，得…（3分）又（n＞1），则得所以，当n=1时也满足．…（7分）（Ⅱ）因为，所以，使数列{Cn}是单调递减数列，则对n∈N*都成立，…（10分）即，…（12分），当n=1或2时，，所以．…（14分）点评：本题考查等比数列与等差数列的综合应用，累积法的应用以及数列的函数的特征的应用，考查计算能力．20．（15分）（•宁波二模）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（I）取AB中点E，连PE、CE，由等腰三角形的性质可得PE⊥AB．再利用勾股定理的逆定理可得PE⊥CE．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．再利用面面垂直的判定定理即可证明．（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．解答：（Ⅰ）证明：如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．则PE是等腰△PAB的底边上的中线，∴PE⊥AB．∵PE=1，CE=，PC=2，即PE2+CE2=PC2．由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．又∵AB⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD，且AB∩CE=E，∴PE⊥平面ABCD．而PE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（Ⅱ）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），C（，0，0），D（，﹣2，0），P（0，0，1），=（，1，0），=（，0，﹣1），=（0，2，0）．设是平面PAC的一个法向量，则，即．取x1=1，可得，．设是平面PCD的一个法向量，则，即．取x2=1，可得，．故，即二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值是．点评：熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的方法等是解题的关键．21．（15分）（•宁波二模）如图，已知椭圆E：的离心率是，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足．（Ⅰ）求椭圆E的方程以及点Q的坐标；（Ⅱ）过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF 并延长交椭圆于点D．①求证：B、C关于x轴对称；②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a），由，得，依题意|FQ|=1，即，再由离心率，联立即可解得a，b，c，及点Q坐标；（Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），点B关于x轴的对称点B1（x2，﹣y2），只需证明B1即为点C，可证A、F、B1三点共线，根据斜率相等及韦达定理即可证明；②由①得B、C关于x轴对称，同理A、D关于x轴对称，易知四边形ABCD是一个等腰梯形，从而四边形ABCD的面积S=|x1﹣x2|•（|y1|+|y2|）=|m|•|y1﹣y2|•|y1+y2|，代入韦达定理可得关于m的函数，通过换元借助导数可求得S的最大值及相应的m值，从而可得直线方程；解答：解：（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a）．由，可得，解得．依题意|FQ|=1，即．又因为，所以．故椭圆的方程是，点Q的坐标是（2，0）．（Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，依题意，△=（4m）2﹣8（2+m2）=8（m2﹣2）＞0，m2＞2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．（*）点B关于x轴的对称点B1（x2，﹣y2），则A、F、B1三点共线等价于，由（*）可知上述关系成立．因此，点C即是点B1，这说明B、C关于x轴对称．②由①得B、C关于x轴对称，同理，A、D关于x轴对称．所以，四边形ABCD是一个等腰梯形，则四边形ABCD的面积S=|x1﹣x2|•（|y1|+|y2|）=|m|•|y1﹣y2|•|y1+y2|=．设，则m2=t2+2，．求导可得，令S'=0，可得．由于S（t）在上单调增，在上单调减．所以，当即时，四边形ABCD的面积S取得最大值．此时，直线l的方程是．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程及直线的方程，考查三点共线及直线斜率，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性强，所用知识点繁多，对能力要求高．22．（14分）（•宁波二模）设函数f（x）=lnx+ax2﹣（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．（Ⅰ）如果x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f（x）同时具备如下的两个性质：①对于任意实数x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，恒成立；②对于任意实数x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，恒成立．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数的定义域、导数f′（x），由题意f'（1）=0，解出可得a值，在定义域内解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，可得f（x）的单调性，根据单调性可得其最大值；（Ⅱ）令=，由（Ⅰ）中的结论可得对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），lnx＜x﹣1（*）恒成立．（ⅰ）如果x1，x2∈（0，1），且x1≠x2，则．根据（*）可得，．由性质①转化为恒成立问题，可得a的范围；（ⅱ）如果x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，则．再根据（*）进行放缩，由性质②可得恒成立问题，由此可得a的范围，综合（i）（ii）可得a的范围；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），，依题意，f'（1）=1+2a﹣（3a+1）=0，解得a=0．此时，f（x）=lnx﹣x+1，．因为x∈（0，+∞），令f'（x）＞0，可得x∈（0，1）；令f'（x）＜0，可得x∈（1，+∞）．所以，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．因此，当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=0．（Ⅱ）令==，由（Ⅰ）中的结论可知，lnx﹣x+1＜0对任意x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，即lnx ＜x﹣1（*）恒成立．（ⅰ）如果x1，x2∈（0，1），且x1≠x2，则．根据（*）可得，．若f（x）满足性质①，则恒成立，于是对任意x1，x2∈（0，1）且x1≠x2恒成立，所以．（ⅱ）如果x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，则．根据（*）可得⇔，则F（x1，x2）＜．若f （x ）满足性质②，则恒成立．于是对任意x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2恒成立，所以a ．综合（ⅰ）（ⅱ）可得，a=．点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值问题，考查恒成立问题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，解决（Ⅱ）问的关键是借助（Ⅰ）中的结论得到恰当不等式．。
2020年浙江省高考压轴卷数学试题(解析版)
2020年浙江省高考压轴卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A．B ．8 CD ．835．若实数,x y 满足不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩，则3x y -( )A ．有最大值2-，最小值83- B ．有最大值83，最小值2 C ．有最大值2，无最小值D ．有最小值2-，无最大值6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x -ay=0互相垂直”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数()()11x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >9．设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为（ ） A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,210若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( )A ．4a ≤B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.12．二项式521)x的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________． 13．设双曲线()222210x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________. 14．已知函数22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____. 15．设向量,,a b c 满足1a =，||2b =，3c =，0b c ⋅=．若12λ-≤≤，则(1)a b c λλ++-的最大值是________．16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______．三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡18．已知函数()()222cos 1x R f x x x =-+∈.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域.19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形AC BD O =，1A O ⊥底面ABCD ，12AA AB ==.（1）求证：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.20．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9aa a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .21．已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,Ax y 和()22,B x y ，焦点为F.线段AB 的中点为()03,M y ，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AE 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.22．已知函数2()(1)(0)x f x x e ax x =+->.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x . （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：12011111x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点）——★ 参 考 答 案 ★——1．『答案』C『解析』由，得，选C.3．『答案』C『解析』设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.4．『答案』C『解析』根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2, 画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为224S ==，高为h ==；所以该四棱锥的体积是11433V Sh ==⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．『答案』C『解析』画出不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，如图阴影所示；设3z x y =-，则直线30x y z --=是一组平行线； 当直线过点A 时，z 有最大值，由022y x y =⎧⎨-=⎩，得(2,0)A ；所以z 的最大值为3202x y -=-=，且z 无最小值. 故选：C. 6．『答案』C『解析』直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直的充要条件是1()110a ⨯-+⨯=，即1a =，故选C7．『答案』A『解析』∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e --+++====-----f （x ），∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 8．『答案』C『解析』对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 9. 『答案』D『解析』依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D. 10．『答案』B『解析』首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱,,SA SB SC 上取点111,,A B C则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角θ，11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕.四棱锥P ABCD -中，设,PE PF x y PB PD ==，212343P ABCD V -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEFP ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBCV V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy -=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAFP ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DACV V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y -=+ 即3,31x x y xy y x +==-，又01,0131xx y x ≤≤≤=≤-， 解得112x ≤≤ 所以体积2313,[,1]312x V xy x x ==∈-，令131,[,2]2t x t =-∈ 2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，()V t 在1[,1]2t ∈递减，在[1,2]t ∈递增所以函数()V t 最小值4(1)3V =，最大值13(2)()22V V ==， 四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B 11．『答案』1031165 『解析』设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =， 所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-. 故『答案』为：1031，165. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题. 12．『答案』5 32『解析』展开式的通项为5552215521()r r rr r r T C C xx--+==， 令55022r -=，解得1r =， 所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果. 13．『答案』2y =『解析』由题可设直线l 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab，则原点到直线的距离ab d c ===，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4a 得：2416163e e -=，整理得()()223440e e --=，解得243e =或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以24,2ce e a===；b a a a===b y x a =±=故『答案』为：2；y = 14．『答案』1 [1,0)-『解析』(1)(1)f f -=，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=，1a ∴=-易知0x <时，()2(0,1)xf x =∈；又0x 时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-， 要使函数()f x 存在最小值，只需2()0a log a ->⎧⎨-⎩，解得：10a -<.故『答案』为：1，[1,0)-. 15．『答案』1『解析』令()1n b c λλ=+-，则()2211318n b c λλλλ⎡⎤=+-=-⎣⎦12λ-≤≤，所以当1λ=-，max 13n ==，因此当n 与a 同向时a n +的模最大，max 2101a n a n +=+=+16．『答案』36『解析』把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=， 故『答案』为：36． 17．『答案』1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 『解析』当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m =+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.18．『答案』（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）⎡-⎣. 『解析』(1) 函数()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛⎫ ⎪=⎝=-+-=⎭-，令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故函数f(x)的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f(x)取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f(x)，所以函数的值域为⎡-⎣. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19．『答案』（1）证明见『解析』（2）7『解析』（1）证明：由1A O ⊥底面ABCD 可得1AO BD ⊥， 又底面ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥， 因为1AO CO O ⋂=，所以BD ⊥平面1A CO ， 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D . （2）因为1A O ⊥底面ABCD ，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)B，C，(0,A ，1(0,0,1)A ，11(1,A B AB ==，()10,1AC =-， 设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，由1110000m A B x m ACz ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，取1x=得1,1m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 又(1,0,0)OB =，所以cos ,7||||2OB mOB m OBm ⋅===，所以OB 与平面11A B C 所成角的正弦值为7. 20．『答案』（1）13n n a = （2）21nn -+ 『解析』（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13．故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n． （Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 21．『答案』（1）24y x =（2 『解析』（1）由题意知126x x +=, 则1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=,∴抛物线的标准方程为24y x =（2）设直线AB :x my n =+（0m ≠）,由24x my ny x=+⎧⎨=⎩,得2440y my n --=, 124y y m ∴+=212426x x m n ∴+=+=,即232n m =-,即()21221216304812m y y my y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩,12AB y y ∴=-=设AB 的中垂线方程为:()23y m m x -=--,即()5y m x =--, 可得点C 的坐标为()5,0,直线AB :232x my m =+-,即2230x my m -+-=, ∴点C 到直线AB的距离d ==()21412S AB d m ∴=⋅=+令t =则223m t =-（0t <<,令()()244f t t t =-⋅,()()2443f t t '∴=-,令()0f t '∴=,则t =,在⎛ ⎝⎭上()0f t '>；在⎝上()0f t '<, 故f t在⎛ ⎝⎭单调递增,⎝单调递减, ∴当t =,即m =,maxS = 22．『答案』（1）1(2,2⎛⎫+⋅-∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）（ⅰ）12⎛⎫+⋅+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见『解析』.『解析』（1）由2()(1)x f x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()xx x g x e x+-'=⋅； 由()0g x '，解得1x ≥，所以()g x在1)上单调递减，在1,)+∞上单调递增，所以1min ()1)(2==⋅g x g因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '在(0,)+∞恒成立所以1(22⋅≥a ；所以，实数a的取值范围是：1(2,2⎛⎫+⋅-∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x不单调，所以1(22a +⋅>.因此()0f x '=有两个根，设为10,t t，且1001t t <<-<，所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增； 又()1(0)1f t f >=，()22()(1)(1)xxxf x x e ax a e xx a e =+-=-++-⋅，当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即()200010t t e a t +-⋅<；又因为()()0000220tf t t e at '=+-=；所以：()()000002202ttt t e t e +-⋅+<，解得0t >，所以1122+>=a g 因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a的取值范围是12⎛⎫++∞ ⎪⎪⎝⎭. （ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠211221112x x x xnx nx -+<<-.证明：不妨设210x x >>，即证2212211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，设211x t x =>，()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+，只需证()0g t <且()0h t >；因为()0g t '=<，22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证.再证原命题12011111x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩； 所以()()2212221211x x x e x e xx++=，两边取对数得：()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；即()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+.因为()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，所以121221112x x x x +<<+++， 因此，要证12011111x x t +->+. 只需证1202x x t +<；因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-， 只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-； 设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <； 计算得()()00000()224ttr x x t e x x t e x at '=++++-++--；()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.由()()20033xy x t ex t =+++--在()0,0t -上单调递增，得()()0003030y t e t <++--=，所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减， 所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.。
临考押题卷03-2020年高考数学临考押题卷(浙江专版)(原卷和解析)
z
=
2 1−i
=
2(1+ i) (1− i)(1+
i)
= 1+ i,∴ z
= 1− i ，选
B.
3．已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a > 0,b > 0) ，点 A、F 分别为其右顶点和右焦点 B1(0,b), B2 (0, −b) ，若 B1F
⊥
B2 A ，
则该双曲线的离心率为
A．1+ 5
0)
=
2 3
×
1 2
=
1 3
，
P (ξ1
=
1)
=
1 3
×1+
2 3
×
1 2
=
2 3
，
故
E
(ξ1 )
=
2 3
，
D
(ξ1 )
=
2 3
−
4 9
=
2 9
.
随机变量 ξ2 可取值 0,1 ，
P (ξ2
=
0)
=
2 3
×
1 2
+
1 3
×1
=
2 3
，
P (ξ2
= 1)
=
2 3
×
1 2
=
1 3
，
故
B． 5 −1 2
C． 5 +1 2
D． 5 −1
【答案】C
【解析】依题意
A(a,0), F
( c, 0)
，故 kB1F
⋅ kB2 A
=
−b c
⋅
b a
=
−1, b2
=
浙江省2020年高考数学压轴卷(含解析)
2
1
1 1
SA SB SC
SA SC sin ASC SB sin
3 2
，证毕.
PE
PF
1
x,
y VP ABCD 22 3 4
PD
3
四棱锥 P ABCD 中，设 PB
，
VP AEMF VP AEF VP MEF VP AEF
8选项，取 a 1 ， b 1 ，则 a b 成立，但 a b ，A 选项错误；
对于 B 选项，取 a ， b 0 ，则 a b 成立，但 sin sin 0 ，即 sin a sin b ，B 选项
错误；
x
a
b
1
1 1
.
的单调递增区间;
x ,
6 4 时,求 f x 的值域.
(2)当
19．如图，四棱柱
A1O
ABCD A1 B1C1 D1
底面 ABCD ，
（1）求证：平面
AA1 AB 2
A1CO
平面
的底面 ABCD 是菱形 AC BD O ，
.
BB1 D1 D
C
7．【答案】A
【解析】
∵f（﹣x）
e x 1
1 ex
ex 1
x 1 e x
x ex 1
x 1 ex
f（x），
∴f（x）是偶函数，故 f（x）图形关于 y 轴对称，排除 C，D；
又 x=1 时，
∴排除 B，
f 1
e 1
浙江省高中数学知识点总结
浙江省高中数学知识点总结一、集合与函数概念1. 集合的含义、表示方法以及集合与集合之间的关系；2. 集合的运算，包括交集、并集、补集；3. 函数的概念、函数的性质、函数的运算；4. 函数的图像、函数的变换、反函数；5. 常见函数类型，如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念、数列的表示方法；2. 等差数列、等比数列的通项公式、求和公式；3. 数列的极限概念及其计算；4. 数学归纳法的原理与应用。
三、排列组合与概率1. 排列组合的基本概念与公式；2. 排列、组合的计算方法；3. 二项式定理及其应用；4. 概率的基本概念、事件的概率计算；5. 条件概率、独立事件的概率；6. 随机变量及其分布列、数学期望与方差。
四、三角函数与三角恒等变换1. 三角函数的基本性质、同角三角函数的关系；2. 三角函数的图像与性质；3. 三角恒等变换公式；4. 解三角形问题，包括正弦定理、余弦定理。
五、平面向量与解析几何1. 向量的基本概念、向量的运算；2. 向量的模、方向角、向量相等与共线的条件；3. 直线的方程、两条直线的位置关系；4. 圆的方程、直线与圆的位置关系；5. 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的基本概念与方程。
六、立体几何1. 空间几何体的基本概念与性质；2. 空间直线与平面的位置关系；3. 立体角的概念及其计算；4. 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的体积与表面积的计算。
七、微积分1. 导数的概念、导数的几何意义与物理意义；2. 常见函数的导数、高阶导数；3. 微分的概念、微分的运算；4. 函数的极值与最值问题；5. 不定积分的概念、积分的基本公式；6. 定积分的概念、定积分的计算；7. 微积分基本定理及其应用。
八、数学分析与线性代数1. 数列的极限、函数的极限；2. 连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质；3. 行列式的概念、性质与计算；4. 矩阵的概念、矩阵的运算；5. 线性方程组的解法，如高斯消元法；6. 向量空间的基本概念、基与维数；7. 线性变换与矩阵表示；8. 特征值与特征向量的概念及其应用。
2020年高考数学临考押题卷(浙江专版)(解析版)(02)
2020年高考临考押题卷（六）数学（浙江卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．设集合{}{|01}|2M x x x R N x x x R =<<∈=<∈，，，，则（ ） A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋂= C ．M N M ⋃= D ．M N R ⋃=【答案】A【解析】由题意{}{}2,22,N x x x R x x x R =<∈=-<<∈，{}01,M x x x R =<<∈， 所以{}01,M N x x x R M ⋂=<<∈=，{}22,M N x x x R N ⋃=-<<∈=. 2．过点()1,1-的抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x = B ．2y x =- C ．2x y = D ．2y x =-或2x y =【答案】D【解析】由题意可设抛物线方程为2y ax =或2x ay =，∵抛物线过点（﹣1，1）， ∴当抛物线方程为2y ax =时，得a ＝﹣1；当抛物线方程为2x ay =时，得a ＝1． ∴抛物线的标准方程是2y x =-或2x y =.3．设,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．0B ．-4C ．-8D ．-6【答案】D【解析】作出可行域，如下图所示：当目标函数3z x y =-经过(0,2)A 时， z 取得最小值-6.4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．5C ．20D ．30【答案】C【解析】由几何体的三视图可得几何体的直观图： 三棱柱111ACD AC D -截去一个三棱锥1D ACD -，如图：该几何体的体积：111111143543520232ACD A C D D ACD V V V --=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 5．已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件.6．函数()(22)sin 2x x f x x -=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()(22)sin 2x xf x x -=-，()()(22)sin 2xx f x x f x --=--=，函数为偶函数，排除BD ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,22sin 20x x x ->->，故()0f x >，排除C .7．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )A ．存在x ，y ∈(0，1)，E (ξ)>12B ．对任意x ，y ∈(0，1)，E (ξ)≤14C ．对任意x ，y ∈(0，1)，D (ξ)≤E (ξ) D ．存在x ，y ∈(0，1)，D (ξ)>14【答案】C【解析】依题意可得()2E xy ξ=，()()()()()()()222222222212121212D x xy y y xy x y x y x y x y x x y yx ξ⎡⎤=-+-=-+-=-+-⎣⎦因为1x y +=所以()21222x y xy +≤=即()12E ξ≤故A ，B 错误；()()()()()()222221121212D x x x y yx x x y yx x yx ξ⎡⎤∴=-+-=-+=-⎣⎦01x <<Q1211x ∴-<-<()20211x ∴<-< ()D yx ξ∴<即()()12D E ξξ<，故C 成立； ()()()2211244x y D x yx xy ξ+=-<≤=Q 故D 错误8．如图，三棱锥V ABC -的底面ABC 是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，二面角P AC B --的平面角为β，则αβ+不可能是( )A ．34πB ．23π C ．2π D ．3π 【答案】D【解析】如图，由题意，三棱锥V ABC -为正三棱锥，过P 作//PE AC ，则BPE ∠为直线PB 与直线AC 所成角为α，当P 无限靠近A 时，PBE ∠无限接近3π，但小于3π，则3BPE BEP πα∠=∠=>. 当棱锥的侧棱无限长，P 无限靠近V 时，α无限趋于2π但小于2π； 二面角P AC B --的平面角为β，即V AC B --的平面角为β， 由三棱锥存在，得0β>，随着棱长无限增大，β无限趋于2π. ,3παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭.则αβ+不可能是3π. 9．已知函数()f x 是定义在[100,100]-的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-.当[0,2]x ∈时，()(2)xf x x e =-，若方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．15,2e e⎛⎫--- ⎪⎝⎭B ．15,2e e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦C ．(,2)-∞-D ．1,2e e⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由(2)(2)f x f x +=-知函数的周期为4，当[0,2]x ∈时，()(2)x f x x e =-，则'()(1)x f x x e =-，当01x ≤<时，'()0f x <，()f x 递减，当12x <≤时，'()0f x >，()f x 递增，()(1)f x f e ==-极小值，又()f x 是偶函数，作出()f x 在[2,2]-上的图象，如图． 函数()f x 的周期是4，定义域为[100,100]-，含有50个周期，方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，因此在一个周期内有6个根（这里(2)0f ±=，2±不是方程的根）．令()f x t =，方程210t mt -+=有两个不等实根12,t t ，且1(,2)t e ∈--，2(2,0)t ∈-，设2()1g t t mt =-+，则()0(2)0(0)0g e g g ->⎧⎪-<⎨⎪>⎩，解得152e m e --<<-．故选：A ．10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.二、填空题11．i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________. 13【解析】5(5)(1)23131(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-．12．已知直线()20y kx k =->与抛物线C ：28x y =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =______. 【答案】324【解析】由已知，直线()20y kx k =->过点(0,2)P - ，恰好是抛物线 C ：28x y =的准线:2l y =- 与y 轴的交点，如下图所示，过点A ，B 分别作AM l ⊥ 于M ，BN l ⊥ 于N ，由2FA FB =，则2AM BN =.∴ 点B 为AP 的中点，连接OB ，则12OB AF =，∴OB BF =，∴点B 的纵坐标为1，∴()22,1B ∴32422022AB PB k k ====- 13．已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln xf x x=，323a e <≤时（e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______．【答案】7【解析】由()()44f x f x +=-得：()f x 关于4x =对称， 又()f x Q 是周期为6的周期函数，()f x ∴关于1x =对称， 当[]1,4x ∈时，()21ln xf x x -'=， ∴当[)1,x e ∈时，()0f x '>；当(],4x e ∈时，()0f x '<；()f x ∴在[)1,e 上单调递增，在(],4e 上单调递减，()()max 1f x f ee ∴==，且()10f =，()114ln 4ln 242f ==，()12ln 22f =，()13ln 33f =，由此可得()f x 图象如下图所示：323a e <≤11ln 2ln 323a <≤，()()20f x af x ∴-<等价于()0f x a <<，∴当[]1,4x ∈时，整数解为：2x =和4x =；∴当(]4,15x ∈时，整数解为：6x =、8x =、10x =、12x =和14x =；综上所述：不等式()()20fx af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为7个.14．设直线y kx =与圆C ：()2221x y -+=相交于A ，B 两点，若3AB ，则k =______，当k 变化时，弦AB 中点轨迹的长度是______. 【答案】1515±23π【解析】由垂径定理可得222311k ⎛⎫+=+⎝⎭，解得1515k =±； 设()()1122,,,A x y B x y ，弦AB 中点00(,)M x y ， 则1201202,2x x x y y y +=+=，联立22(2)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩，消去y 得()221430k x x +-+=， ()2161210k ∴∆=-+>，解得213k <，12241x x k ∴+=+，()1212241ky y k x x k +=+=+，即02022121x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去k 得()220011x y -+=， 又由213k <得032x >， 故弦AB 中点轨迹长度为半径为1的圆的周长的13，如图：所以弦AB 中点轨迹长度为12233ππ⨯=， 15．已知6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++++L L ，则6a =_____，01256a a a a a +++++=L L _______.【答案】0 665【解析】因为6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++⋯++L ， 令1x =可得：660125623665a a a a a +++⋯⋯++=-=-. 所以：666660a C C =-=；060066263a C C =-⋅=-Q ； 1511662186a C C =-=-；22422662225a x C C +=-=-；……5556626a C C =-⋅=-； 60666620a C C =-⋅=；故0125601256665a a a a a a a a a a +++++=------=L L L L .16．在ABC V 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若22sin sin cos sin A B C C =，则（1）222a b c+=__________，（2）C ∠的最大弧度数为___________. 【答案】23π【解析】∵22sin sin cos sin A B C C =，∴222222222cos 2a b ab C c a b c c c +=⇒+-=⇒=； 又222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥，∵0C π<<，∴C π≤3，当且仅当a b =时取等号.17．设函数2()2x x f x =，点()*(,())n A n f n n N ∈，0A 为坐标原点，向量01121n n n a A A A A A A -=+++u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r L ，设(1,0)i =r ，且n θ是n a u u r 与i r的夹角，记n S 为数列{}tan n θ的前n 项和，则3tan θ=_____；n S =_____. 【答案】38 222n n +-【解析】依题意()22n n f n =，即2,2n n n A n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且n A 在第一象限，n θ为锐角.所以0112210,2n n n n n a A A A A A A A A n n -=+++==⎛⎫ ⎪⎝⎭u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u u r L .所以cos n n n a i a i θ⋅==⋅u u r r u u r r，所以sin tan cos n θθθ====2nn ===. 所以3333tan 28θ==. 212222n n n S =+++L ①，2311122222n n nS +=+++L ②，两式相减得21111122222n n n n S +=+++-L 1111111222111222212n n n n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--，所以222n n n S +=-.三、解答题18．ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =，且满足absinCasinA bsinB csinC=+-（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值．【解析】（1）由题意及正弦定理可得：222abca b c =+-，由余弦定理得：2222cos a b c ab C +-=⋅，所以2221cos 22a b c C ab +-===，由()0,C π∈可得3C π=；（2）由正弦定理可得：2sin sin sin 2a b cA B C====， 所以2sin a A =，2sin b B =，又A B C π++=，所以22sin 2sin 2sin 33b B A A ππ⎛⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 4sin sin 4sin 5sin 3b a A A A A A A A π⎛⎫+=++=++=+ ⎪⎝⎭()A ϕ=+,由tan ϕ=可得0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,3A πϕϕϕ⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，2,23ππϕϕ⎛⎫∈+⎪⎝⎭， 所以()sin 1max A ϕ+=，所以2b a +≤. 故2b a +的最大值为19．如图1，在边长为2的等边ABC V 中，D E ，分别为边AC AB ，的中点，将∆AED 沿ED 折起，使得AB AD ⊥ ， AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A -BCDE ，连结BD CE ，，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ; （2）求二面角B AE D --的余弦值．【解析】（1）证明：由题意1AE AD ==，3CE BD ==，因为D 、E分别为AC 、BD 的中点，所以EHD CHB △△∽且相似比为2，所以33EH DH ==，233BH CH ==， 所以3AE EH CE AE ==，3AD DHBD AD ==， 所以EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，又因为AB AD ⊥，AC AE ⊥，所以AH BD ⊥，AH EC ⊥， 由BD CE H =I 可得AH ⊥平面BCDE ，得证.（2）如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系；所以()000D ，，，)30B ，，，()010C ，，，由（1）知226AH AD DH =-=，则36033A ⎛ ⎝⎭，， 由131,0222DE CB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 可知31022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，所以12AE =-⎝⎭u u u r ，，0AB =-⎝⎭u u u r ，，0DA =⎝⎭u u u r ， 设平面AED 的一个法向量为()1111n x y z =u r，，，所以110 0AE n DA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v，即11111102 033x y z x z -=⎨⎪+=⎪⎩，取11z =-得)11n =-u r ，同理可得平面AEB的一个法向量(21n =-u u r，，所以121212cos n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u r u u r ，， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B AE D --的余弦值为-20．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知_____， （1）判断1S ，2S ，3S 的关系； （2）若133a a -=，设12n n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：43n T <.甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是1S ，3S ，2S 成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.【解析】（1）由题意可得11S a =，2121111122S a a a a a =+=-=，31231111113244S a a a a a a a =++=-+=，可得1232S S S +=，即1S ，3S ，2S 成等差数列； （2）证明：由133a a -=，可得11134a a -=，解得14a =， 112141212232n nn n n n b a n -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则2111112332482n n T n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭L ，11211111232348162n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭L ， 上面两式相减可得112111111232481622n n n T n +⎛⎫=+++++-⋅ ⎪⎝⎭L 1111212213212n n n +⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=-⋅⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 化简可得142132n n n T ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由12112n n ++-<，可得43nT <. 21．已知M e过点)A，且与(2216N x y ++=e ：内切，设M e 的圆心M 的轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点()20B ，且与曲线C 交于点P Q ，两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由． 【解析】（1）由题意M e过点)A，且与(2216N x y +=e ：内切，易知点()N ，N e 半径为4， 设两圆切点为D ，所以4MD MN ND +==，在M e 中，MD MA =，所以4MA MN MA +=>，所以M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知24a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2221b a c =-=，所以轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）①当l 的斜率不存在的时，设()00P x y ，，所以()00Q x y -，， 所以000022001222 14PB QB y y k k x x x y -⎧⋅=⋅=-⎪--⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0023x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或002 0x y =⎧⎨=⎩（舍），所以l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元可得()222148440k x kbx b +++-=， ()()()222228414446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，所以2241k b >-， 由韦达定理122814kb x x k -+=+，21224414b x x k-=+， 则()()()()()222121212112121212()222224PB QBkx b k x x kb x x b y y kx b k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅=-----++ ()()()()2222222222222244822414144484242241414b k b k b b k b k b k k k b kb k b k b k k ⋅⋅--+-+-++===--++-+++， 又因为20k b +≠，所以()21422b k b k -=-+，即23b k =-，所以22221143b k k ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以23b k =-成立，所以2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当23x =时，0y =，所以l 过203⎛⎫⎪⎝⎭，， 综上所述，l 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 22．已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-L ． 【解析】（1）因为()()3246x f x x ex x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立， 所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥， 由()()221ln 1ln x xF x x x -+-'==， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减，所以()()11max F x F ==，所以113a -≥，即43a ≥， 综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-L 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-， 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L .。
2020年浙江省金华市高考数学押题试卷(一)(5月份)(有答案解析)
2020年浙江省金华市高考数学押题试卷（一）（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|x（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∩B等于（）A. {1}B. {1，2}C. {0，1，2，3}D. {-1，0，1，2，3}2.欧拉公式e ix=cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为-5，则输出的y值是（）A. -1B. 1C. 2D.4.函数y=的图象大致是（）A. B.C. D.5.在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则( )A. B. C. D.6.已，则的取值范围是（）A. （-1.1]B. （0，+∞）C. （-∞，1）D. （-∞，1]7.若，y满足约束条件，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个10m高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛底端在同一直线上，从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高（）A. 2510mB. 2610mC. 2710mD. 3075m9.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|=4，则抛物线C的准线方程为（）A. x=-B. x=-2C. x=-3D. x=-410.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为______．12.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则该几何体的表面积为______13.已知正项等比数列{a n}满足：a2a8=16a5，a3+a5=20，若存在两项a m，a n使得，则的最小值为______14.已知抛物线y2=2px（p＞0）经过点M（l，2），直线l与抛物线交于相异两点A，B，若△MAB的内切圆圆心为（1，t），则直线l的斜率为______．15.若实数x，y满足约束条件则该不等式组表示的平面区域的面积为______，目标函数z=3|x|-2y的最小值为______．16.已知函数f（x）=，方程f（x）-a=0有三个实数解，则a的取值范围是______．17.在平面直角坐标系xOy中，A（2，1），求过点A与圆C：x2+y2=4相切的直线方程______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知△ABC中，∠C为钝角，而且AB=8，BC=3，AB边上的高为．（1）求∠B的大小；（2）求AC cosA+3cos B的值．19.数列{a n}的前n项和S n满足，且a1-5，a3+5，a4-15成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=1，PA=AB=BC=2，M是棱PB中点．（Ⅰ）已知点E在棱BC上，且平面AME∥平面PCD，试确定点E的位置并说明理由；（Ⅱ）设点N是线段CD上的动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成角最大？并求最大角的正弦值．21.在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在X轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆内一点M（1，3）的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线于点N，若，求证：m+n为定值，并求出此定值．22.设函数f（x）=e x+1-x，g（x）=ae x+ma-2x（m，a为实数），（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数a，使得f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．（提示：）-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={x|x＜-1或0＜x＜2，x∈Z}，∴A∩B={1}．故选：A．先分别求出集合A，B，同此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查复数几何意义的应用，利用欧拉公式以及复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，属于基础题．根据欧拉公式，以及复数的运算法则先进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可．【解答】解：=cos+i sin=+i=（1+i），则====+i，对应点的坐标为（，）位于第一象限，故选：A．3.答案：A解析：解：输入x的值为-5，判断|-5|＞3成立，执行x=|-5-3|=8；判断|8|＞3成立，执行x=|8-3|=5；判断|5|＞3成立，执行x=|5-3|=2；判断|2|＞3不成立，执行y=．所以输出的y值是-1．故选：A．框图输入框中首先输入x的值为-5，然后判断|x|与3的大小，|x|＞3，执行循环体，|x|＞3不成立时跳出循环，执行运算y=，然后输出y的值．本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环体，不满足条件时算法结束，此题是基础题．4.答案：A解析：解：因为函数可化简为可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C；同时有=，故函数在时f'（x）＞0，则上单调递增，排除答案B和D，故选：A．判断函数的奇偶性，排除选项，求出函数的导数，利用函数的单调性排除选项，推出结果．本题考查函数的图象的判断与应用，函数的导数判断函数的单调性，考查计算能力．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，和差角公式的综合应用，属于中档试题．由已知结合正弦定理可求cos B，进而可求B，然后结合三角形的内角和及和差角公式进行化简可求A，从而可得△ABC为正三角形可求．【解答】解：∵a cos C+c cos A=2b cos B，由正弦定理可得，sin A cos C+sin C cos A=2sin B cosB，∴sin（A+C）=2sin B cosB=sin B，∵sin B≠0，∴cos B=，∵0＜B＜π，∴B=，∵cos2B+2sin A sin C=1，∴sin A sin C=，∴sin A sin（）=，化简可得，，∴，∴sin（2A-）=1，∵0＜A＜π，∴A==B=C，∴ABC为正三角形，则a-2b+c=0，故选：D．6.答案：D解析：解：∵cos（-α）=cos2（-）=2cos2（-）-1=2sin2（+）-1=2t2-1，则==2t-，t∈（0，1]，函数y=2t-，在t∈（0，1]为增函数，则y=2t-∈（-∞，1]，故选：D．利用三角函数的倍角公式以及诱导公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的恒等变换，利用三角函数的倍角公式以及二倍角公式进行转化是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：表示可行域内的点（x，y）与点P（0，-2）连线的斜率，A（3，2）；C（-1，0）；k AP==，k CP==-2，作出可行域，可知点（x，y）与点P连线的斜率的范围是．所以的取值范围是（-∞，-2]∪[，+∞）．故选：B．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力．8.答案：A解析：解：设海岛高为h，海岛底部到第一个标杆的距离为x，由相似三角形，可得，解得h=2510，故选：A．根据三角形相似列出比例式即可求出海岛高度．本题考查了解三角形的应用，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．求得抛物线的焦点坐标，以及直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得p，进而得到抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），过F且倾斜角为120°的直线方程设为y=-（x-），联立抛物线的方程可得y2+2py-p2=0，设A的纵坐标为y1，B的纵坐标为y2，M，N的纵坐标为y1，y2，可得y1+y2=-，y1y2=-p2，由|MN|=4，得|y1-y2|=4，可得（y1+y2）2-4y1y2=192，即为+4p2=192，解得p=6，则抛物线的准线方程为x=-3．故选C．10.答案：B解析：【分析】本题考查棱锥体积的有关计算，利用导数研究函数的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，属于较难题．设AB=CD=a，AC=AD=BC=BD=2．过A作AE⊥CD于E，连接BE，则AE==BE，又AB=a，推导出V A-BCD=，令，则f′（a）=16a3-3a5，可得当a2=时，（V A-BCD）max=，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【解答】解：如图，AB=CD=a，AC=AD=BC=BD=2．过A作AE⊥CD于E，连接BE，则AE==BE，又AB=a，∴=，∴=，令，则f′（a）=16a3-3a5，令f′（a）=0，可得a=，可得当a=时，此三棱锥体积取得最大值，（V A-BCD）max=．∴此三棱锥体积的取值范围是．故选：B．11.答案：32解析：解：样本间隔为23-14=9，则第四个编号为14+2×9=14+18=32，故答案为：32根据条件求出样本间隔，即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．12.答案：2+2解析：解：由三视图还原原几何体如图，该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD为正方形，边长为，侧棱长为，则该几何体的表面积为4×．故答案为：．由三视图还原原几何体，该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD为正方形，边长为，侧棱长为，则表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．13.答案：解析：解：设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a2a8=16a5，a3+a5=20，得，a1=1，q=2，∴，所以，因为，所以，所以2m+n-2=210，所以m+n=12，所以=≥==，当且仅当，即m=4，n=8时取等号，所以的最小值为：．故答案为：．根据条件得到，m+n=12，然后利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列与基本不等式，关键是“乘1法”与基本不等式的性质，属基础题．14.答案：-1解析：解：抛物线y2=2px（p＞0）经过点M（l，2），可得2p=4，即抛物线为y2=4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程设为y=kx+m，联立抛物线方程可得k2x2+（2km-4）x+m2=0，可得x1+x2=，x1x2=，直线l与抛物线交于相异两点A，B，若△MAB的内切圆圆心为（1，t），即x=1为∠AMB的对称轴，可得k MA+k MB=0，即有+=0，即为（x2-1）（kx1+m-2）+（x1-1）（kx2+m-2）=0，化为2kx1x2+4-2m+（m-2-k）（x1+x2）=0，即为2k•+4-2m+（m-2-k）（）=0，化为（k+1）m+（k2-k-2）=0，由k+1=0，且k2-k-2=0，可得k=-1．故答案为：-1．代入M的坐标，解方程可得抛物线方程，设出A，B的坐标，以及直线l的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，由题意可得k MA+k MB=0，由直线的斜率公式，化简整理，结合恒成立思想，解方程可得直线的斜率．本题考查抛物线的方程和运用，考查韦达定理和直线的斜率公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．15.答案：6 -2解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，结合三角形的面积公式以及目标函数的几何意义是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积公式进行求解，结合目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：则A（-1，0），B（1，2），C（2，-3），D（，0）则△ABC的面积S=•[-（-1）]×（2+3）=6，目标函数z=3|x|-2y=，分段函数的图象经过（0，1）时取得最小值．z=3|x|-2y的最小值为：-2，故答案为：12；-2．16.答案：（1，2）解析：解：∵函数f（x）=，∴作出函数y=2x（x≥0）和y=-x2-2x+1，x＜0的图象，∵方程f（x）-a=0有三个实数解，∴结合图形，得：1＜a＜2．∴a的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．作出函数y=2x（x≥0）和y=-x2-2x+1，x＜0的图象，由方程f（x）-a=0有三个实数解，结合图形，能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查指数函数、一元二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：3x+4y-10=0或x=2解析：解：①当斜率不存在时，直线方程为x=2，经验证，与圆C相切，成立．②当直线斜率存在是，设斜率为k，则直线方程可化为：kx-y+1-2k=0，又直线与圆C相切，∴，解得k=-，故直线方程为：3x+4y-10=0．综上直线方程为：3x+4y-10=0或x=2故答案为：3x+4y-10=0或x=2．根据斜率是否存在分类讨论，即可．本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程的求法等知识，考查简单的计算，属基础题．18.答案：解：（1）S△ABC=，∴，又∵∠B是锐角，∴．（2）由余弦定理有：AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos B=64+9-24=49，∴AC=7．又∵，∴．解析：（1）由△ABC的面积相等可得sin B，根据∠C为钝角，可得B的值；（2）由余弦定理求出AC，然后求出cos A，即可得到AC cosA+3cos B的值．本题考查了余弦定理和面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属基础题．19.答案：解：（1）∵，∴当n≥2时，．∴，，故{a n}为等比数列．设{a n}公比为q，则a3=9a1，a4=27a1，∵a1-5，a3+5，a4-15成等差数列，∴（a1-5）+（a4-15）=2（a3+5），∴（a1-5）+（27a1-15）=2（9a1+5），∴a1=3．∴．（2）∵，∴=．∴，，相减得：===，∴．解析：（1）利用数列的递推关系式判断数列是等比数列，然后求解数列的通项公式．（2）化简数列的递推关系式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的应用，数列的判断以及数列求和，考查计算能力．20.答案：解：（Ⅰ）E为BC中点，证明如下：∵M、E分别为PB，BC中点，∴ME∥PC，又∵ME⊄平面PDC，PC⊂平面PDC，∴ME∥平面PDC，∵EC AD，∴四边形EADC为平行四边形，∴AE∥DC，同理，AE∥平面PDC，又∵AE∩ME=E，∴平面AME∥平面PDC．解：（Ⅱ）以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M （0，1，1），设直线MN与平面PAB所成角为θ，，则=（λ+1，2λ-1，-1），取平面PAB的法向量为=（1，0，0），则sinθ=|cos＜＞|==，令λ+1=t∈[1，2]，则∴sinθ≤，当t=时，即时，等号成立，即当点N在线段DC靠近C的三等分点时，直线MN与平面PAB所成角最大，最大角的正弦值为．解析：（Ⅰ）E为BC中点时，ME∥PC，从而ME∥平面PDC，推导出四边形EADC为平行四边形，从而AE∥DC，AE∥平面PDC，由此推导出平面AME∥平面PDC．（Ⅱ）以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当点N在线段DC靠近C的三等分点时，直线MN与平面PAB所成角最大，并能求出最大角的正弦值．本题考查面面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．21.答案：（1）解：由已知得，2a=8，a=2c，则a=4，c=2，又b2=a2-c2，∴b2=12，∴椭圆的标准方程为：；…………（4分）（2）证明：设，由，得，∴，…………（7分）∴，∵点A在椭圆上，∴，得到；…………（9分）同理，由，可得．∴m，n可看作是关于x的方程的两个根，则为定值．……（12分）解析：（1）由已知求得a，c，进一步得到b，则椭圆方程可求；（2）分别设出A，B，N的坐标，由向量等式把A的坐标用N得坐标表示，得到关于m，n的两个一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明m+n为定值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．22.答案：解：（1）f′（x）=e x+1-1，由f′（x）＞0，解得：x＞-1，f′（x）＜0，解得：x＜-1，故f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增．……（4分）（2）令h（x）=f（x）-g（x）=（e-a）e x-ma+x，则h′（x）=f（x）-g（x）=（e-a）e x+1…………（5分）若e-a≥0，可得h′（x）＞0，函数h（x）为增函数，当x→+∞时，h（x）→+∞，不满足h（x）≤0对任意x∈R恒成立；…………（6分）若e-a＜0，由h′（x）=0，得e x=，则x=ln，∴当x∈（-∞，ln）时，h′（x）＞0，当x∈（ln，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）max=h（ln）=-1-ma+ln，若f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，则-1-ma+ln≤0（a＞e）恒成立，若存在实数a，使得-1-ma+ln≤0成立，则ma≥-1+ln，∴m≥--（a＞e），…………（9分）令F（a）=--，则F′（a）=，∴当a＜2e时，F′（a）＜0，当a＞2e时，F′（a）＞0，则F（a）min=F（2e）=-，∴m≥-．则实数m的取值范围是[-，+∞）．…………（12分）解析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令h（x）=f（x）-g（x），求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值，问题转化为m≥--（a＞e），令F（a）=--，根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查分类讨论思想，是一道综合题．。
2020年浙江省高考数学压轴试卷(含答案解析)
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，集合0，1，2，，则A. B. 1， C. 0， D. 0，1，2.复数的共轭复数是A. B. C. D.3.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 84.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是A.B. 8C.D.5.若实数x，y满足不等式组，则A. 有最大值，最小值B. 有最大值，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值，无最大值6.“”是“直线和直线互相垂直”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数其中e为自然对数的底数的图象大致为A. B.C. D.8.已知a，，且，则A. B. C. D.9.设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M为PC中点，过AM作平面AEMF与线段PB，PD分别交于点E，可以是线段端点，则四棱锥的体积的取值范围为A. B. C. D.10.若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是A. B.C. 或D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.九章算术中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺．12.二项式的展开式中常数项为______所有项的系数和为______．13.设双曲线的半焦距为c，直线l过，两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为______．14.已知函数，若，则实数______；若存在最小值，则实数a的取值范围为______．15.设向量，，满足，，，若，则的最大值是______．16.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是______．17.已知函数，若在区间上方程只有一个解，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数．求的单调递增区间；当时，求的值域．19.如图，四棱柱的底面ABCD是菱形，，底面ABCD，．求证：平面平面；若，求OB与平面所成角的正弦值．20.等比数列的各项均为正数，且，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．21.已知抛物线上的两个动点和，焦点为线段AB的中点为，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8．求抛物线的标准方程；若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求面积的最大值．22.已知函数．Ⅰ若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；Ⅱ若函数有两个不同的零点，，求实数a的取值范围；求证：其中为的极小值点-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属基础题．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出．【解答】解：集合，0，1，2，，0，．故选C．2.答案：A解析：解：复数的共轭复数．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的公差．【解答】解：为等差数列的前n项和，设公差为d，，，解得，，的公差为4．故选C．4.答案：C解析：解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；所以该四棱锥的体积是．故选：C．根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．5.答案：C解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设，则直线是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由，得；所以z的最大值为，且z无最小值．故选：C．画出不等式组表示的平面区域，设，则直线是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．6.答案：C解析：解：“”时，直线为，和互相垂直，充分条件成立；“直线和直线互相垂直”，两线斜率乘积为，，所以“”，必要条件成立，因而是充分必要条件．故选：C．验证比较易，对于只须两线斜率乘积为即可．本题主要考查直线与直线垂直的判定，以及充要条件，是基础题目．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法进行排除是解决本题的关键，属于基础题．根据函数值的符号是否对应，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当时，，则；当时，，则，所以的图象恒在x轴下方，排除B，C，D，故选A．8.答案：C解析：解：设，由指数函数的性质知，函数为R上的减函数，又，故．故选：C．由不等式的性质及指数函数的图象及性质直接判断得解．本题考查不等式的性质及指数函数的图象及性质，属于基础题．9.答案：B解析：解：为了建立四棱锥的体积与原三棱锥的体积的关系，我们先引用下面的事实，如图设，，分别在三棱锥的侧棱SA，SB，SC上，又与的体积分别为和V，则事实上，设C，在平面SAB的射影分别为H，，则又所以下面回到原题：设，的体积，于是由上面的事实有：，得：，于是，而由，，得，则，又得，所以，当时，，V为减函数，当时，，V为增函数所以得：，又，得，故答案为，故选：B．由三棱锥被截四面体的体积与原四棱锥的体积的结论，转化到本题中，进而转化成函数求最值问题，求导分析单调性后即可求得最值，本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度较大10.答案：D解析：【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题．由题意可得可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，，根据点到直线的距离公式解得即可．【解答】解：设，故可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，取值与x，y无关，这个距离之和与P无关，如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，，化简得，解得或舍去，．故选：D．11.答案：165解析：解：设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，设数列的前n项和为，则，解得，所以，．故答案为：，165．设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式以及前n项和公式即可求解．本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题．12.答案：5 32解析：解：展开式的通项为：，令，解得，所以展开式中的常数项为：．令，得到所有项的系数和为．故答案为：5，32．利用展开式的通项公式可得展开式中的常数项；令，得到所有项的系数和．本题考查了二项式的展开式的通项公式及其性质、方程的解法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：2解析：解：由题可设直线l方程为：，即，则原点到直线的距离，解得，两式同时平方可得，又，代换可得，展开得：，同时除以得：，整理得，解得或4，又，所以，所以；，所以渐近线方程为：．故答案为：2；．利用已知条件结合点到直线的距离，求出a，b，c关系，然后求解离心率，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，考查计算能力．14.答案：解析：解：，，，．易知时，；又时，递增，故，要使函数存在最小值，只需，解得：．故答案为：，．根据题意列出关于a的方程即可；在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于基础题．15.答案：解析：解：，，，，不妨设，，，，，，表示线段上的点到圆的距离，在直角坐标系中画出线段线段和圆，如下：由图象知当．故答案为：．不妨设，，，则，表示线段上的点到圆的距离，然后求出最大距离即可．本题考查了平面向量的坐标运算和向量模的几何意义，考查了转化思想与数形结合思想，属中档题．16.答案：36解析：解：把“参观工厂”与“环保宣讲”这两个项目当做一个整体，共有种方法，其中，把“民俗调查”安排在周一，有种方法，满足条件的不同安排方法的种数为，故答案为：36．利用“捆绑法”、“间接法”及排列组合的计算公式即可得出结果．本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键．对于相邻问题经常使用“捆绑法”对于排除不符合条件的选法可用排除法，属于中档题．17.答案：或解析：解：当时，由，得到，即：，当时，由，得到：，令函数，转换为：与函数的图象在区间上有且只有一个交点．在同一坐标系内画出，与函数的图象，结合函数的图象，即，由于函数的图象只有一个交点，如图所示：故：，解得：．故函数有一个交点，则：m的取值范围是：或故答案为：或利用分类讨论思想对函数的关系式进行应用，进一步利用函数的图象的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：函数的图象的应用，函数的图象的交点的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：函数，令，求得，故函数的增区间为；若，则，故当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为，所以函数的值域为．解析：直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．利用函数的定义域的应用求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.答案：证明：由底面ABCD可得，又底面ABCD是菱形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面D.解：因为底面ABCD，以O为原点，，，为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则0，，，，0，，，，设平面的一个法向量为，由，即，取得，又，所以，所以OB与平面所成角的正弦值为．解析：证明，，推出平面，然后证明平面平面D.以O为原点，，，为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，结合，利用空间向量的数量积求解OB与平面所成角的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.答案：解：设数列的公比为q，由．得．所以．由条件可知，故．由，得，所以．故数列的通项式为．．故，数列的前n项和：．所以数列的前n项和为：．解析：本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，为中档题．利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列的通项公式．利用对数运算法则化简，然后化简数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可．21.答案：解：由题意可知，则，，抛物线的标准方程为：；设直线AB的方程为：，联立方程，消去x得：，，，即，即，，设AB的中垂线方程方程为：，即，可得点C的坐标为，直线AB的方程为：，即，点C到直线AB的距离，，令，则，，令，，令得，，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，当，即时，．解析：利用抛物线的定义可得，求出p的值，从而得到抛物线的方程；设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得，利用AB的中垂线方程可得点C的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离d，所以，令，则，利用导数得到当，即时，．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．22.答案：解：Ⅰ由，得，设，；则；由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递增，，所以；所以，实数a的取值范围是：Ⅱ因为函数有两个不同的零点，不单调，所以．因此有两个根，设为，，且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；又，，当x充分大时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即；又因为；所以：，解得，所以；因此当函数有两个不同的零点时，实数a的取值范围是．先证明不等式，若，，，则．证明：不妨设，即证，设，，只需证且；因为，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，从而不等式得证．再证原命题．由得；所以，两边取对数得：；即．因为，所以，因此，要证．只需证；因为在上单调递增，，所以只需证，只需证，即证，其中；设，，只需证；计算得；．由在上单调递增，得，所以；即在上单调递减，所以：；即在上单调递增，所以成立，即原命题得证．解析：Ⅰ先求其导函数，转化为，即求的最小值即可；Ⅱ结合第一问的结论得不单调，故；设有两个根，设为，，且，可得原函数的单调性，把问题转化为，即可求解结论．转化为先证明不等式，若，，，则再把原结论成立转化为证；构造函数一步步推其成立即可．本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
2020年浙江省高考数学压轴试卷
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知集合A={x||x|＜2}，集合B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{-1，0，1}D．{-1，0，1，2}2．(★)复数的共轭复数是（）A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1-i3．(★★)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．84．(★★)底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．5．(★★)若实数x，y满足不等式组，则x-3y（）A．有最大值-2，最小值-B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值-2，无最大值6．(★)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．(★)函数f（x）= （其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．8．(★)已知a，b∈R，且a＞b，则（）A．B．sina＞sinbC．D．a2＞b29．(★★★★)设P-ABCD是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M为PC中点，过AM作平面AEMF与线段PB，PD分别交于点E，F（可以是线段端点），则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围为（）A．[，2]B．[，]C．[1，]D．[1，2]10．(★★)若对圆（x-1）2+（y-1）2=1上任意一点P（x，y），|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（）A．a≤-4B．-4≤a≤6C．a≤-4或a≥6D．a≥6二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分11．(★★)《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．”该女子第二日织尺，若女子坚持日日织，十日能织 165 尺．12．(★)二项式（+ ）5的展开式中常数项为 5 ．所有项的系数和为 32 ．13．(★★)设双曲线的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为 2 ；渐近线方程为 y=x ．14．(★★)已知函数f（x）= ，若f（-1）=f （1），则实数a= 1-；若y=f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为 [-1，0）．15．(★★★)设向量，，满足| |=1，| |=2，| |=3，•=0．若-1≤λ≤2，则| +λ+（1-λ）|的最大值是+1 ．16．(★★★)某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是 36 ．17．(★★)已知函数，若在区间[-1，1]上方程f（x）=1只有一个解，则实数m的取值范围为 {m|-1≤m＜或m=1} ．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(★★)已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当时，求f（x）的值域．19．(★★)如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A 1O⊥底面ABCD，AA 1=AB=2．（1）求证：平面A 1CO⊥平面BB 1D 1D；（2）若∠BAD=60°，求OB与平面A 1B 1C所成角的正弦值．20．(★★★)等比数列{a n}的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n，求数列的前n项和T n．21．(★★)已知抛物线y 2=2px（p＞0）上的两个动点A（x 1，y 1）和B（x 2，y 2），焦点为F．线段AB的中点为M （3，y 0），且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8．（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．22．(★★★★★)已知函数f（x）=（x+1）e x-ax 2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x 1，x 2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+ - ＞1．（其中t 0为f（x）的极小值点）。
2020年浙江省高考数学压轴试卷(有答案解析)
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A. ∅B. {5}C. {3}D. {3，5}2.已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A. B. C. D.3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A. 4+2B. 2C. 4+4D. 6+44.若复数z满足：1+（1+2z）i=0（i是虚数单位），则复数z的虚部是（）A. B. C. D.5.函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.（1-x）4（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A. 4B. -4C. 6D. -68.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，则期望E（X）和方差D（X）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知A，B，C是球O球面上的三点，且，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A. B. C. D.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nS n的最小值为（）A. B. C. D.11.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种二、填空题（本大题共6小题，共32.0分）12.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们的人数和物品价格？答：一共有______人；所合买的物品价格为______元．13.已知x，y满足条件则2x+y的最大值是______，原点到点P（x，y）的距离的最小值是______14.在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积，则c＝________；三角形外接圆的半径为________．15.已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|-|的最小值是______，最大值是______．16.已知实数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围为______．17.已知直线y=-x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.设函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-，]上的最小值．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求首项a1与m的值；（2）若数列{b n}满足，求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．20.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（1）证明：AM⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，MH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角M-AN-C的余弦值．21.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．22.已知函数．若函数是单调递减函数,求实数a的取值范围；若函数在区间上既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选：D．先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合．2.答案：B解析：解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．3.答案：D解析：【分析】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，属于基础题．根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积=2×+2×2+2×=6+4．故选：D．4.答案：B解析：解：由1+（1+2z）i=0，得z=，∴复数z的虚部是，故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．解析：【分析】本题考查的知识点是函数的图象，属于基础题.根据已知函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵，∴，故函数为偶函数，当时，，故排除A，B；当时，，则有解为x0，当时，时，故函数在[0，2]不是单调的，故排除C，故选D.6.答案：A解析：解：a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．∴“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件．故选：A．a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：解：（1-x）4（1+x）5=（1-4x+6x2-4x3+x3）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故展开式中x3的系数为10-40+30-4=-4，故选：B．把（1-x）4和（1+x）5按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.答案：B解析：解：由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，所以．X0123p均值，方差．从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．说明每次抽取的结果是相互独立的，推出．得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立重复实验的概率的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．9.答案：D解析：解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3，∴由余弦定理可得cos A==-，则A=120°，∴sin A=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得R=2．∵×3×3×=，∴三棱锥D-ABC体积的最大值为=，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D-ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．10.答案：A解析：解：由题意可得，解可得a1=-19，d=4，∴S n=-19n=2n2-21n，∴nS n=2n3-21n2，设f（x）=2x3-21x2，f′（x）=6x（x-7），当0＜x＜7时，f′（x）＜0；函数是减函数；当x＞7时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以n=7时，nS n取得最小值：-343．故选：A．分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11.答案：A解析：【分析】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素，是简单题.根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种编排方法；②甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；③甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A．12.答案：7 ；53解析：解：设人数为x，物品价格为y，则，解得x=7，y=53．故答案为：7，53．列方程组求解．本题考查了方程的应用，属于基础题．13.答案：6解析：解：作出x，y满足条件的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（2，2）处取最大值为z=2×2+1×2=6．原点到点P（x，y）的距离的最小值是：|OB|=．故答案为：6；；画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．利用可行域转化求解距离即可．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.答案：2；2解析：【分析】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式，属于基础题.由条件求得c =2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sin A=c•，∴c=2=b，故B=（180°-A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2.故答案为2；2.15.答案：4解析：解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|-|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=-x+z，则直线y=-x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=．综上所述，|+|+|-|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|-|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16.答案：（-∞，-2]解析：解：原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f （x）有三个不同的交点，当x≥0时，y=f2（x）+f（x）=e2x+e x为增函数，在x=0处取得最小值为2，与y=-t只有一个交点．当x＜0时，y=f2（x）+f（x）=lg2（-x）+lg（-x），根据复合函数的单调性，其在（-∞，0）上先减后增．所以，要有三个不同交点，则需-t≥2，解得t≤-2．原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，然后分x≥0和x＜0两种情况代入解析式可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．17.答案：解析：解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去y，可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，∴则x1+x2=，x1x2=，由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得•=0∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=0，化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0．∴2•-+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．∵b2=a2-c2=a2-a2e2，∴代入上式，化简得2a2=1+，∴a2=（1+）．∵e∈[，]，平方得≤e2≤，∴≤1-e2≤，可得≤≤4，因此≤2a2=1+≤5，≤a2≤，可得a2的最大值为，满足条件a2+b2＞1，∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为．故答案为：．将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a2=1+，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-）=sinωx cos-cosωx sin-sin（-ωx）=sinωx-cosωx=sin（ωx-），又f（）=sin（ω-）=0，∴ω-=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin （x-）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+-）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x-）；当x∈[-，]时，x-∈[-，]，∴sin（x-）∈[-，1]，∴当x=-时，g（x）取得最小值是-×=-．解析：本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[-，]时g（x）的最小值．19.答案：解：（1）由已知得a m=S m-S m-1=4，且a m+1+a m+2=S m+2-S m=14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m+3d=14，∴d=2由S m=0，得，即a1=1-m，∴a m=a1+（m-1）×2=m-1=4∴m=5，a1=-4（2）由（1）知a1=-4，d=2，∴a n=2n-6∴n-3=log2b n，得．∴．设数列{（a n+6）b n}的前n项和为T n∴①②①-②得==∴解析：（1）利用a m=S m-S m-1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．20.答案：（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，可得∠ABC=60°，△ABC 为正三角形．因为M为BC的中点，所以AM⊥BC．…（2分）又BC∥AD，因此AM⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PA⊥AM．而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（4分）（2）解：AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，则∠MHA为MH与平面PAD所成的角．在Rt△MAH中，AM=，∴当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．此时，tan∠MHA==又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），，，，则，，，设AC的中点为E，则，故就是面PAC的法向量，．设平面MAN的法向量为n=（x，y，1），二面角M-AN-C的平面角为θ．．，∴二面角M-AN-C的余弦值为．…（12分）解析：（1）利用菱形与等边三角形的性质可得：AM⊥BC，于是AM⊥AD．利用线面垂直的性质可得PA⊥AM．再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；（2）连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，可得：∠MHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AM=，可知：当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．利用直角三角形边角关系可得PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求出法向量，利用向量夹角求解即可．本题考查了直线与平面垂直的判定．在题中出现了探究性问题，在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想，属于中档题．21.答案：解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y2-4my-4t=0，则△=16m2+16t＞0①．设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4t．∵•=（x1-4，y1-4）•（x2-4，y2-4），=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16，=，=，=t2-16m2-12t+32-16m=0即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，代入①式检验均满足△＞0，∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．∴直线过定点（8，-4）（定点（4，4）不满足题意，故舍去）．解析：（1）求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出M的坐标，设出直线DE的方程x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用⊥得到t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点．本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属中档题．22.答案：解：（1），∵函数f（x）是单调递减函数，∴f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，∴-2x2+ax-1≤0对（0，+∞）恒成立，即对（0，+∞）恒成立，∵（当且仅当2x=，即x=时取等号），∴；（2）∵函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．∴在（0，3）上有两个相异实根，即2x2-ax+1=0在（0，3）上有两个相异实根，，则，得，即．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．（1）求出导函数，通过f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，分离变量推出a，利用基本不等式求解函数的最小值，得到a的范围．（2）通过函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值，则说明导函数有由两个零点，列出不等式组求解即可．。
2020届浙江省高三下学期高考压轴卷数学试题(解析版)
2020届浙江省高三下学期高考压轴卷数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解. 【详解】 因为,所以其共轭复数是，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.4．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．43B ．8C ．433D ．83【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2，求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积. 【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2, 画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为224S ==，高为22213h -=；所以该四棱锥的体积是114343333V Sh==⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．若实数,x y满足不等式组2222yx yx y⎧⎪-⎨⎪-⎩，则3x y-( )A．有最大值2-，最小值83-B．有最大值83，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值2-，无最大值【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，设3z x y=-，则直线30x y z--=是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．【详解】画出不等式组2222yx yx y⎧⎪-⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，如图阴影所示；设3z x y=-，则直线30x y z--=是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由22yx y=⎧⎨-=⎩，得(2,0)A；所以z的最大值为3202x y-=-=，且z无最小值.故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直的充要条件是1()110a ⨯-+⨯=，即1a =，故选C7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误；对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.9．设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为（ ）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2【答案】B【解析】设出比例关系,PE PFx y PB PD==，利用比例关系表示所求锥体体积，利用函数单调性即可求解. 【详解】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱,,SA SB SC 上取点111,,A B C则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角θ，11111111111111sin sin3211sin sin32S A B C B SA CS ABC B SACSA SC ASC SBV V SA SB SCV V SA SB SCSA SC ASC SBθθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕. 四棱锥P ABCD-中，设,PE PFx yPB PD==，212343P ABCDV-=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEFP ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBCV V V V V V VV V V V V V -------------⎛⎫+==+=+⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PFxy xyPA PB PD PB PC PD⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMFV xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAFP ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DACV V V V V V VV V V V V V -------------⎛⎫+==+=+⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PFx yPA PB PC PA PC PD⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMFV x y-=+即3,31xx y xy yx+==-，又01,0131xx yx≤≤≤=≤-，解得112x≤≤所以体积2313,[,1]312xV xy xx==∈-，令131,[,2]2t x t=-∈2(1)111()(2),[,2]332tV t t tt t+==++∈根据对勾函数性质，()V t在1[,1]2t∈递减，在[1,2]t∈递增所以函数()V t最小值4(1)3V=，最大值13(2)()22V V==，四棱锥P AEMF-的体积的取值范围为43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】此题考查用平面截四棱锥形成新的锥体的体积问题，关键在于通过一种恰当的方式表示出所求锥体的体积，利用函数关系求解最值，此题涉及三棱锥体积的引理，需要在平常学习中多做积累.10．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( ) A ．4a ≤ B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥【答案】D【解析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围 【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、双空题11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺. 【答案】1031165 【解析】设该女子每天的织布数量为n a ，转化条件得数列{}n a 为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式求得1531a =后即可得解. 【详解】设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列， 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =， 所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-.故答案为：1031，165. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．二项式521)x 的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________． 【答案】5 32【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出531)x展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项求出展开式的常数项，令1x =，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为5552215521()r r rr r r T C C xx--+==， 令55022r -=，解得1r =， 所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．设双曲线()222210x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________.【答案】2 y =【解析】可设过（a ，0），（0，b ）两点的直线方程为1x ya b+=，结合点到直线距离公式可得24ab =，两式同时平方后，通过222c a b =+代换可转化为关于2e 的一元二次方程，即可求解 【详解】由题可设直线l 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab ，则原点到直线的距离4ab d c ===，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4a 得：2416163e e -=，整理得()()223440e e --=，解得243e =或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以24,2ce e a===；b a ===b y x a =±=故答案为：2；y = 【点睛】本题考查由直线与双曲线的位置关系求解离心率，渐近线，点到直线距离公式的应用，属于中档题14．已知函数22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____.【答案】1 [1,0)-【解析】()1根据题意列出关于a 的方程即可；()2在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．【详解】(1)(1)f f -=，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=，1a ∴=-易知0x <时，()2(0,1)xf x =∈；又0x 时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-， 要使函数()f x 存在最小值，只需2()0a log a ->⎧⎨-⎩，解得：10a -<.故答案为：1，[1,0)-. 【点睛】本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于中档题．三、填空题15．设向量,,a b c 满足1a =，||2b =，3c =，0b c ⋅=．若12λ-≤≤，则(1)a b c λλ++-的最大值是________．【答案】101+【解析】令()1n b c λλ=+-，计算出n 模的最大值即可，当n 与a 同向时a n +的模最大． 【详解】令()1n b c λλ=+-，则()2211318n b c λλλλ⎡⎤=+-=-⎣⎦12λ-≤≤，所以当1λ=-，max 13n ==，因此当n 与a 同向时a n +的模最大，max 2101a n a n +=+=+ 【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析． 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________． 【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，作差即可求解【详解】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了简单排列应用问题，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键，对于相邻问题经常使用“捆绑法”，注意“直接法”“间接法”的灵活选用，属于基础题.17．已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】令11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则方程()1f x =等价于()2g x x m =+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()g x 的图像和()2h x x m =+的图像，动态平移()h x 的图像可得实数m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m =+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．四、解答题18．已知函数()()23sin 22cos 1x R f x x x =-+∈.(1)求()f x 的单调递增区间; (2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域. 【答案】（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3⎡-⎣. 【解析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的增区间；（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值． 【详解】(1) 函数()2322cos 1322226f x x sin x cos x in x x s π⎛⎫⎪=⎝=-+-=⎭-，令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数f (x )的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f (x )取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f (x )取得最大值为3，所以函数的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题. 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形AC BD O =，1A O ⊥底面ABCD ，12AA AB ==.（1）求证：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（221【解析】（1）由线面垂直的性质可得1AO BD ⊥，由菱形的性质可得CO BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面1A CO ，再由面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面11A B C 的一个法向量为m ，OB 的方向向量OB ，由cos ,||||OB mOB m OB m ⋅=即可得解.【详解】（1）证明：由1A O ⊥底面ABCD 可得1AO BD ⊥， 又底面ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥， 因为1AO CO O ⋂=，所以BD ⊥平面1A CO ，因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D . （2）因为1A O ⊥底面ABCD ，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)B ，3,0)C ，(0,3,0)A ，1(0,0,1)A ，11(1,3,0)A B AB ==，()10,3,1AC =-， 设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，由111030030m A B x m ACz ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，取1x =得31,13m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又(1,0,0)OB =，所以21cos ,7||||123OB mOB m OB m ⋅===+，所以OB 与平面11A B C 21. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明以及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力，属于中档题.20．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log nn b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）13n n a =（2）21n n -+【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 【考点】等比数列的通项公式；数列的求和21．已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ，焦点为F .线段AB 的中点为()03,M y ，且A ，B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8.（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2）39. 【解析】（1）利用抛物线的定义可得12||||68AF BF x x p p +=++=+=，求出p 的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程为：x my n =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得22||413AB m m =+-AB 的中垂线方程可得点C 的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C 到直线AB 的距离d ，所以()221||4132S AB d m m =⋅=+-23t m -()244S t t =-⋅，利用导数可得最值. 【详解】（1）由题意知126x x +=，则12||||68AF BF x x p p +=++=+=， ∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =； （2）设直线:AB x my n =+（0m ≠） 由24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， ∴124y y m +=，∴()121224226x y x y m n n m =+++=+=，即232n m =-，即()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩，∴12||AB y y =-=设AB 的中垂线方程为：2(3)y m m x -=--，即(5)y m x =--， 可得点C 的坐标为(5,0)，∵直线2:32AB x my m =+-，即2230x my m -+-=，∴点C 到直线AB的距离d ==，∴()21||412S AB d m =⋅=+令t =223(0m t t =-<<，()244S t t ∴=-⋅令()2()44f t tt =-⋅，∴()2()443f t t'=-，令()0f t '=，则t =，在⎛ ⎝⎭上()0f t '>；在⎝上()0f t '<， 故()f t在0,3⎛ ⎝⎭单调递增，3⎛⎝单调递减，∴当3t =，即3m =±max 9S =. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题. 22．已知函数2()(1)(0)x f x x e ax x =+->.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x . （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：12011111x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点）【答案】（1）⎛-∞ ⎝⎭；（2）（ⅰ）12⎛⎫⋅+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析.【解析】(1)先求其导函数，转化为()'0f x ≥，即求()22xx g x e a x+=⋅-的最小值即可；(2())ⅰ结合第一问的结论得()f x不单调，故(122a +⋅>；设()'0f x =有两个根，设为1t ，0t，且1001t t <<<，可得原函数的单调性，把问题转化为()00f t <，即可求解结论．()ⅱ转化为先证明不等式，若1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，则211221.2x x x xlnx lnx -+<<-再把原结论成立转化为证1202x x t +<；构造函数()()()00r x f t x f t x =+--一步步推其成立即可．【详解】（1）由2()(1)x f x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()xx x g x e x +-'=⋅； 由()0g x '，解得1x ≥-，所以()g x在1)上单调递减，在1,)+∞上单调递增，所以1min ()1)(2==⋅g x g因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '在(0,)+∞恒成立所以1(22⋅≥a ；所以，实数a的取值范围是：⎛-∞ ⎝⎭. （2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x不单调，所以a >.因此()0f x '=有两个根，设为10,t t，且1001t t <<<，所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增； 又()1(0)1f t f >=，()22()(1)(1)xxxf x x e ax a e xx a e =+-=-++-⋅，当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即()200010t t e a t +-⋅<； 又因为()()0000220tf t t e at '=+-=；所以：()()000002202ttt t e t e +-⋅+<，解得0t >所以1122+>=a g 因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a的取值范围是12⎛⎫⋅+∞ ⎪⎪⎝⎭. （ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠211221112x x x xnx nx -+<<-.证明：不妨设210x x >>，即证2212211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，设211x t x =>，()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+，只需证()0g t <且()0h t >；因为2()0g t '=<，22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证.再证原命题12011111x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩； 所以()()2212221211xx x e x e xx++=，两边取对数得：()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；第 21 页 共 21 页 即()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+. 因为()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，所以121221112x x x x +<<+++， 因此，要证12011111x x t +->+. 只需证1202x x t +<；因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-， 只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-； 设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <；计算得()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--； ()()2000()33t x r x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.由()()20033x y x t ex t =+++--在()0,0t -上单调递增， 得()()0003030y t e t <++--=，所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减，所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
浙江省高考数学历年真题重点难点知识总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013 3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==I Y （3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。
()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa Y5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。
）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。
(浙江专用)备战2020年高考数学考点一遍过考点01集合(含解析)
考点01 集合1．了解集合、元素的含义及其关系． 2．理解集合的表示方法．3．了解集合之间的包含、相等关系． 4．理解全集、空集、子集的含义． 5．会求简单集合间的并集、交集． 6．理解补集的含义并会求补集.一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅. 4．常用数集及其记法：注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系必记结论：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 1．集合的基本运算2．集合运算的相关结论3．必记结论(.)U UU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅I U I 痧?考向一 集合的基本概念解决集合概念问题的一般思路：（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.典例1已知集合{}1,1A =-，{}1,0,1B =-，则集合{}|, C a b a A b B -∈∈＝中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当1a =时，1,0,1b =-，则0,1,2a b -=；当1a =-时，1,0,1b =-，则2,1,0a b -=--，故集合{}{}|, 2,1,0,1,2C a b a A b B =-∈∈=--，即元素的个数为5，故选D ．【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确．1．已知{}221,251,1A a a a a =-+++，2A -∈，求实数a 的值.考向二 集合间的基本关系集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.典例2 集合{1,A =2，3，4，5}，(){,|B x y x A =∈，y A ∈，}yA x∈，则集合B 所含元素个数为 A ．3 B ．6 C ．8D ．10【答案】D【解析】Q 集合{1,A =2，3，4，5}，(){,|B x y x A =∈，y A ∈，}yA x∈，(){1,2B ∴=，()1,3，()1,4，()1,5，()2,4，()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5}，∴集合B 所含元素个数为10．故选：D ．【名师点睛】本题考查集合中元素个数的求法，考查集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知集合22{|0},{|,}2x A x B y y x x A x -=∈≤==∈+Z ，则集合B 的子集的个数为 A ．7 B ．8 C ．15D ．16考向三 集合的基本运算有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有： （1）有限集（数集）间集合的运算求解时，可以用定义法和Venn 图法，在应用Venn 图时，注意全集内的元素要不重不漏. （2）无限集间集合的运算常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围. （3）用德·摩根公式法求解集合间的运算 对于有()()U UA B U 痧和()()U U A B I 痧的情况，可以直接应用德·摩根公式()()()U U U A B A B =U I 痧?和()()()U U U A B A B =I U 痧?进行运算.典例3 设全集U =R ，集合{}{}|3,|05A x x B x x =≥=≤<，则集合()U A B =I ð A ．{}|03x x ≤≤ B ．{}|03x x << C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤<【答案】D【解析】因为A ={x |x ≥3}，所以U A ð ={x |x ＜3}，所以（U A ð）I B ═{x |0≤x ＜3}． 故选：D ．【名师点睛】本题的考点是集合的补集和交集运算，比较基础．3．集合()(){}21,,,log 2xP x y y Q x y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫====⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则集合P ∩Q 的元素个数是A ．0B ．1C ．2D ．34．已知集合{|1}A x x =<，{|31}xB x =<，则 A ．{}1A B x x =>U B ．A B =R U C ．{|0}A B x x =<ID ．A B =∅I考向四 与集合有关的创新题目与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．典例4 设是整数集Z 的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的．若是Z 的两个不相交的非空子集，T V =Z U ，且，有；，有，则下列结论恒成立的是A ．中至少有一个关于乘法是封闭的B ．中至多有一个关于乘法是封闭的C ．中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．中每一个关于乘法都是封闭的S ,a b S ∀∈ab S ∈S ,T V ,,a b c T ∀∈abc T ∈,,x y z V ∀∈xyz V ∈,T V ,T V ,T V ,T V【答案】A【解析】取{|0,}T x x x =<∈Z 且，{|0,}{0}V x x x =>∈Z U 且，可得T 关于乘法不封闭，V 关于乘法封闭，又取{}T =奇数，={}V 偶数，可得T ,V 关于乘法均封闭，故排除B ，C ，D ，选A ．5．设A B ，是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=__________； ②若对任意x ∈R ，1m n +=，则A B ，的关系为__________.1．已知集合{}0,1,2A =，那么 A ．0A ⊆ B ．0A ∈ C ．{}1A ∈D ．{0，1，2}⊄A2．设集合{}1,2,3,4A =，{}|3 3 B x x =∈-≤≤Z ，则A B =I A ．{}1,2,3,4 B ．{}3,2,1,0,1,2,3,4--- C ．{}1,2,3D ．{}1,23．已知集合P ={P |3P 2−2P ≥0},P ={P |−4<3P +2≤3},则()P Q =R I ðA ．(−23,0) B ．(0,23] C ．(0,13]D ．[0,13]4．设集合{}1,0,1A =-，{}2,B a a =，则使B A ⊆成立的a 的值是 A ．−1 B ．0 C ．1D ．−1或15．已知集合{}1,2A =，(){}2|10 B x x a x a a =-++=∈R ，，若A B =，则a = A ．1 B ．2 C ．1-D ．2-6．已知全集P =P ，集合1{|,01}M y y x x==<<，P ={P ||P |2−2|P |≤0}，则下图中阴影部分所表示的集合为A ．[−2,1)B ．[−2,1]C ．[−2,0)∪(1,2]D ．[−2,0]∪[1,2]7．已知集合{|21,},{|14}A x x k k B x x ==+∈=-<≤Z ，则集合A B I 的真子集的个数是 A ．3 B ．4 C ．7D ．88．设集合P ={P |P =−e P +4}，P ={P |P =lg [(P +2)(3−P )]}，则下列关系正确的是 A ．P ⊆P B ．P ∩P =PC ．A B ⊆R R痧D ．B A ⊆R ð9．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B =，{|13}C x x =∈<R „，则()A C B =I U A ．{2} B ．{2，3} C ．{−1，2，3}D ．{1，2，3，4}10．设P 和Q 是两个集合，定义集合{|P Q x x P -=∈，且}x Q ∉，如果{}|124xP x =<<，{}|2sin ,Q y y x x ==+∈R ，那么P Q -=A ．{|01}x x <≤B ．{|02}x x ≤<C ．{|12}x x ≤<D ．{|01}x x <<11．设集合(){}2| lg 2A x y x x ==-，{}0.5| 1B y y x==+，则A =________．A B =U ________．12．已知集合10x A xx -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}lg(21)B x y x ==-，则A B =I ________．13．已知集合{,,}{0,1,2}a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于________．14．已知集合{}21A x a x a =≤≤-，{}12B x x =-≤≤，若A B A =I ，则a 的取值范围是________． 15．已知非空集合M 满足：若x M ∈，则11M x∈-．则当4M ∈时，集合M 的所有元素之积为________．1．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B I ð= A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．【2018年高考浙江】已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð A ．∅ B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}3．【2017年高考浙江】已知集合{|11}P x x =-<<，{02}Q x =<<，那么P Q =UA ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<5．【2019年高考全国Ⅱ卷文、理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)6．【2019年高考全国Ⅲ卷文、理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =IA ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,27．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =I ðA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,78．【2019年高考天津文、理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =I UA ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,49．【2019年高考北京文数】已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A ．（–1，1） B ．（1，2） C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）10．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U11．【2018年高考全国Ⅲ卷文、理数】已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =I A ．{}0 B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 12．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．413．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I A ．{}02， B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 14．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =IA ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,71．【答案】32-. 【解析】因为2A -∈，所以有12,a -=-或22512a a ++=-，显然212a +≠-，当12a -=-时，1a =-，此时212512a a a -=++=-，不符合集合元素的互异性，故舍去； 当22512a a ++=-时，解得32a =-，或1a =-，由上可知1a =-不符合集合元素的互异性，故舍去， 故32a =-. 【名师点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了集合元素的互异性，考查了解方程、分类讨论思想.解答本题时，由2A -∈，有12,a -=-或22512a a ++=-，显然212a +≠-，解方程求出实数a 的值，但要注意集合元素的互异性. 2．【答案】B【解析】集合2{|0}2x A x x -=∈≤+Z {}1,0,1,2=-，2{|,}B y y x x A ==∈{}0,1,4=，故集合B 的子集的个数为328=.故选B.【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏． 3．【答案】B【解析】由题意，在同一坐标系中，画出函数1()2xy =和2log y x =的图象， 如图所示，由图象看出，1()2xy =和2log y x =只有一个交点，所以P Q I 的元素个数为1， 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了集合的交集，以及指数函数与对数函数的图象的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合法的应用，属于基础题.解答本题时，在同一坐标系中，画出函数1()2xy =和2log y x =的图象，结合图象，即可求解，得到答案.4．【答案】C【解析】集合{|31}xB x =<，即{}0B x x =<，而{|1}A x x =<，所以{}1A B x x =<U ，{}0A B x x =<I ， 故选C 项.【名师点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.解答本题时，先化简集合B ，然后计算A B U 和A B I ，得到答案. 5．【答案】0 A B =R ð【解析】①∵A ⊆B ，∴x ∉A 时，m =0，m (1−n )=0.x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m =n =1，m (1−n )=0.综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ，B 的关系为A B =R ð.【名师点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解答本题时，由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ，n 的关系即可确定A ，B 之间的关系.1．【答案】B【解析】因为集合A ＝{0，1，2}，所以0∈A ，选项A 不正确，选项B 正确，选项C 是集合与集合之间的关系，错用元素与集合关系； 选项D 两个集合相等，所以D 错误． 故选B ．【名师点睛】本题考查集合与集合之间的关系，元素与集合的关系的应用，考查基本知识的掌握情况． 2．【答案】C【解析】{}3,2,1,0,1,2,3B =---，故{}1,2,3A B =I ，选C.【名师点睛】在集合的交并补的运算中，注意集合元素的属性，本题为基础题. 3．【答案】C【解析】因为P ={P |3P 2−2P ≥0}={P | P ≥23或P ≤0}，所以2|03P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭R ð,又因为P ={P |−4<3P +2≤3}={P |−2<P ≤13}， 所以()P Q =R I ð{P |0<P ≤13}=(0,13]， 故选C ．【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到． 4．【答案】A【解析】∵A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{a ，a 2}，且B ⊆A ；∴211a a =-⎧⎨=⎩，∴a ＝−1．故选：A ． 【名师点睛】本题考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义． 5．【答案】B【解析】{}(){}21,2,|10,A B x x a x a a ==-++=∈R Q ， 由A B =，可得1,2是方程()210x a x a -++=的两根，由根与系数的关系可得12112a a+=+⎧⎨⨯=⎩，即2a =，故选B.【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解． 6．【答案】B【解析】由题意得P ={P |P =1P ,0<P <1}=(1,+∞)，P ={P ||P |2−2|P |≤0}={P |0≤|P |≤2}=[−2,2]．∴M R ð=(−∞,1]．图中阴影部分所表示的集合为()M N R I ð，∴()M N R Ið=[−2,1]．故选B ．7．【答案】A【解析】由题意知，A 为奇数集，又由集合{|14}B x x =-<≤， 则A ∩B ＝{1，3}，共2个元素，其子集有22＝4个，所以真子集有3个. 故选A ．【名师点睛】本题考查集合的子集与真子集，关键是正确理解集合A ，求出集合A ∩B ．解答本题时，根据题意由A 的意义，再结合交集的定义可得集合A ∩B ，分析可得答案． 8．【答案】C【解析】由题意P ={P |P <4}，P ={P |(P +2)(3−P )>0}={P |−2<P <3}，∴P ⊆P ，只有C 正确. 9．【答案】D【解析】因为{1,2}A C =I ，所以(){1,2,3,4}A C B =I U . 故选D.【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．解答本题时，先求A B I ，再求()A C B I U . 10．【答案】D【解析】{|02}P x x =<<，{|13}Q y y =≤≤，∴{|01}P Q x x -=<<． 故选D.【名师点睛】本题考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，属于基础题．解答本题时，根据P Q -的定义，可先求出P ，Q ，然后即可求出P Q -． 11．【答案】()(),02,A =-∞+∞U ，()[),01,-∞+∞U【解析】由A 中y ＝lg （x 2﹣2x ），得到x 2﹣2x ＞0，即x （x ﹣2）＞0， 解得：x ＜0或x ＞2，即A ＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），由B 中1y =≥1，得到B ＝[1，+∞），则A B U ＝()[),01,-∞+∞U ．故答案为()(),02,A =-∞+∞U ，()[),01,-∞+∞U ．【名师点睛】本题考查了并集的运算，考查了对数函数的定义域，幂函数的值域问题，属于基础题． 12．【答案】112xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】{}10,01,01x x A x x x-≥∴<≤∴=<≤Q，函数lg(21)y x =-有意义时12x >，所以12B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，因此112A B x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭I .【名师点睛】本题考查了不等式的解法、函数的定义域、集合的交集运算，解题的关键是正确理解集合元素的属性特征和正确解出不等式的解集.解答本题时，解不等式10xx-≥，化简集合A 的表示，求函数lg(21)y x =-的定义域，化简集合B 的表示，然后求出A B I . 13．【答案】201【解析】可分下列三种情形：（1）若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c =0，所以a =b =1,与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；（2）若只有②正确，则b =2，a =2，c =0,这与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的； （3）若只有③正确，则c ≠0，a =2，b ≠2，所以c =1，b =0，所以100a +10b +c =100×2+10×0+1=201． 14．【答案】3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为A B A =I ，所以A B ⊆，由已知集合{}21A x a x a =≤≤-，{}12B x x =-≤≤， 所以当A =∅时，满足题意，此时21a a >+，即1a <-；当A ≠∅时，要使A B ⊆成立，则1212a a ≥-⎧⎨-≤⎩，解得312a -≤≤，综上，a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【名师点睛】本题考查集合的包含关系，解题的关键是不要忘了空集这一特殊情况，属于一般题.解答本题时，因为A B A =I ，所以A B ⊆，建立不等关系即可求出a 的取值范围. 15．【答案】1-【解析】若x M ∈，则11M x ∈-； 若4M ∈，则11143M =-∈-； 若13M -∈，则131413M =∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 若34M ∈，则14314M=∈-； 故134,,34M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，集合M 的所有元素之积为134134⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为−1.【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解答本题时，首先确定集合M 中的所有元素，然后求解其乘积即可.1．【答案】A【解析】∵{1,3}U A =-ð，∴(){1}U A B =-I ð. 故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算. 2．【答案】C【解析】因为全集P ={1,2,3,4,5}，P ={1,3}， 所以根据补集的定义得∁P P ={2,4,5}. 故选C ．【名师点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 3．【答案】A【解析】利用数轴，取,P Q 中的所有元素，得P Q =U (1,2)-． 故选A.【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 4．【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}M N x x =-<<I ． 故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 5．【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞I ．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 6．【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-I . 故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 7．【答案】C【解析】由已知得{}1,6,7U A =ð， 所以U B A =I ð{6,7}. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集、补集的运算，根据交集、补集的定义即可求解. 8．【答案】D【解析】因为{1,2}A C =I ，所以(){1,2,3,4}A C B =I U . 故选D.【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 9．【答案】C【解析】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=>， ∴(1,)A B =-+∞U . 故选C.【名师点睛】本题考查并集的求法，属于基础题. 10．【答案】B【解析】解不等式P 2−P −2>0得P <−1或P >2，所以P ={P |P <−1或P >2}， 所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð. 故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 11．【答案】C【解析】易得集合{|1}A x x =≥, 所以{}1,2A B =I . 故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题. 12．【答案】A【解析】∵P 2+P 2≤3,∴P 2≤3,∵P ∈P ,∴P =−1,0,1， 当P =−1时，P =−1,0,1； 当P =0时，P =−1,0,1； 当P =−1时，P =−1,0,1, 所以共有9个元素. 选A ．【名师点睛】本题考查集合与元素的关系，点与圆的位置关系，考查学生对概念的理解与识别. 13．【答案】A【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得P ∩P ={0,2}. 故选A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.14．【答案】C【解析】∵P={1,3,5,7},P={2,3,4,5},∴P∩P={3,5}.故选C.【名师点睛】集合题是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.。
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押题 1：若集合 A x x2 4x 3 0 , B {2，3，4} ,则 A B （ ▲ ）
A．{1}
B．{2}
C． {3}
D．{1，2，3，4}
押题 2：已知集合 A x x 1 或 x 2 ,集合 B x 0 x 3 ,则 ðR A I B （ ▲ ） A．x 0 x 2 B．x 0 x 2 C．x 0 x 2 D．x 0 x 2
D． 8 2 8
押题 3：已知一个简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ▲ ）
A． 3 6 B． 6 6 C． 3 12 D．12
考点 5：函数图象
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2020近三年浙江高考考点梳理与押题
2017 浙江 T7．
函数 y = f ( x ) 的导函数 y = f ( ′ x ) 的图象如图所示,则函数 y = f ( x ) 的图象可能是
（▲）
（第 7 题图）
2018 浙江 T5．函数 y= 2 x sin2x 的图象可能是
（▲）
A.
B.
C.
D.
2019 浙江 T6．
在同一直角坐标系中,函数
y
1 ax
,y
log
a
x
1 2
(a
0且a
1) 的图象可能是（
▲
）
A.
B.
C.
D.
1 4x sinx
押题 1：函数 f（x）
的部分图象大致为（ ）
2x
第 6页 共 31页
2020近三年浙江高考考点梳理与押题
A．
B．
C．
D．
押题 2：函数 y xax (0 a 1) 的图像的大致形状是（ ） |x|
A．
B．
C．
D．
押题 3：函数 y a x 和 y a(x 1) （其中 a 0 且 a 1）的大致图象只可能是( )
A．
B．
C．
D．
2020近三年浙江高考考点梳理与押题
2020近三年浙江高考考点梳理与押题
申明：只提供原题与答案,不详解,关键通过各考点点的题号,从中可以得到该考点的出题难易程度, 以及命题趋势,希望能给学子一点帮助！
考点 1：集合
2017 浙江 T1．
已知集合 P { =x | −1 <x <1},Q { =x | 0 <x <2},那么 P Q =
2018 浙江 T4．
2
复数
1i
( i 为虚数单位)的共轭复数是（ ▲ ）
A. 1 i
B. i
C. 1 i
D. 1 i
2019 浙江 T11
11.复数
z
1
1
i
（
i
为虚数单位）,则
|
z
|
▲
.
押题 1：复数 z 2m 1 m 3 i m R 在复平面内所对应的点不可能在（ ▲ ）
A．第一象限
2019 浙江 T2．
渐近线方程为 x ±y =0 的双曲线的离心率是（ ▲ ）
A. 2
B. 1
2
C. 2
D. 2
押题 1：双曲线 4x2 9 y2 36 的离心率 e 的值为（ ▲ ）
A． 13 2
B． 13 3
C． 2 13 13
D． 3 13 13
押题 2：若双曲线
x2 a2
y2 b2
1a 0, b 0 的离心率为
5
项和第
6
项的二项式系数同时取得最大值,则
n
=
▲ ,常数项为
▲.
押题 2：二项式 (
x
1 x2
)5
的展开式中常数项为
▲
,所有项的系数和为
▲
．
押题 3：已知 (2 x2 )(1 ax)3 的展开式的所有项系数之和为 27,则实数 a
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
押题 2：设 z1 x2 i , z2 1 xi , x R ,若 z1 z2 为纯虚数,则实数 x 的值为（ ▲ ）
A． 1
B．0
C．1
D．1 或 1
押题 3：已知复数 z 满足 (4 3i)z | 3 4i | , i 为虚数单位,则 z 的实部是 ▲ , z 的共轭复数 z
x y 2,
2019 浙江 T5．
x 3y 4 0 3.若实数 x, y 满足约束条件 3x y 4 0 ,则 z 3x 2 y 的最大值是（ ▲ ）
x y 0
A. 1
B. 1
C. 10
D. 12
y≥0
押题
1：若实数
x,
y
满足不等式组
x
2
y
≤
2
,则
x
3
y
（
▲
）
2x y ≥ 2
2018 浙江 T6．
已知直线 m , n 和平面 α, n α ⊂,则“ m / /n ”是“ m / / α”的
（A. ▲充分）不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2019 浙江 T5．
若 a >0, b >0 ,则“ a +b ≤ 4 ”是 “ ab ≤ 4 ”的
三视图如图所示（单位： cm ）,则该几何体的表面积（单位： cm2 ）是（ ▲ ）
A． 4
B． 17 4
C．14
D．15
押题 2：一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,
该几何体的表面积是（ ▲ ）
A．16 2 16
B．16 2 8
C． 8 2 16
1 ,则（ 2
▲
）
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2020近三年浙江高考考点梳理与押题
A． E 1 E 2 , D1 D2 C． E 1 E 2 , D1 D2
B． E 1 E 2 , D1 D2 D． E 1 E 2 , D1 D2
2018 浙江 T7．
设 0 <p <1 ,随机变量 ξ的分布列如图,则当 p 在 (0,1 )内增大时,
D． 5 9
2018 浙江 T2． 【分析】考查了以“双曲 线的离心率”.
双曲线 x2 y2 1 的焦点坐标是（ ▲ ） 3
A. 2,0 , 2,0
B. 2,0 , 2,0
第 10页 共 31页
C. 0, 2 , 0, 2
2020近三年浙江高考考点梳理与押题
D. 0, 2 , 0, 2
押题 3：设集合U {x || x | 3, x Z} , A {1，2}, B {2, 1，2} ,则 A I ðU B （ ▲ ）
第 1页 共 31页
A．{1}
B．{1, 2}
2020近三年浙江高考考点梳理与押题
C．{2}
D．{0,1, 2}
考点 2：复数
2017 浙江 T12．
已知 a,b R , a bi2 2 4i （ i 是虚数单位）则 a2 b2 ▲ , ab ▲ ．
（▲）
0
1
2
1 p
1
p
P
2
2
2
A. D 减小
B. D 增大
C. D 先减小后增大 D. D 先增大后减小
2019 浙江 T7．设 0 <a <1,则随机变量 X
的分布列是：
X
0
1 P
3
则当 a 在 0,1 内增大时（ ▲ ） A. D X 增大 C. D X 先增大后减小
a
1
1
1
3
3
B. D X 减小 D. D X 先减小后增大
▲ , a5 _
▲．
2018 浙江 T14．
.二项式
3
x
1 2x
8
的展开式的常数项是
▲
．
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2020近三年浙江高考考点梳理与押题
2019 浙江 T13．
9
在二项式 2 x 的展开式中,常数项是 ▲ ；系数为有理数的项的个数是 ▲ .
押题
1：在
x 2
1 x
n
的展开式中,第
（▲）
A. 158 C. 182
B. 162 D. 32
第 4页 共 31页
2020近三年浙江高考考点梳理与押题
押题 1：某中学注重培育学生劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.为了让学生更深刻理解劳动创造 价值,丰富职业体验,现组织学生到工厂参加社会实践活动.学生在活动过程中观察到一个生产所需零件的几何体
押题 2：“ a 3 ”是“直线 ax 2 y 3a 0 和直线 3x (a 1)y (a 7) 0 平行且不重合”的（ ）．
A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
押题 3：在 △ABC 中,“ A 450 ”是“ sinA 2 ”的 (
)
2
考点 6：线性规划
2017 浙江 T4．
x 0
若
x
,
y
满足约束条件
x
y
3
0
,则
z
x
2
y
的取值范围是（
▲
）
x 2 y 0
A．[0,6]
B．[0,4]
C．[6, )
D．[4, )
2018 浙江 T6．
第 7页 共 31页
2020近三年浙江高考考点梳理与押题
x y 0, 12.若 x, y 满足约束条件 2x y 6, 则 z x 3y 的最小值是 ▲ ,最大值是 ▲ ．
2018 浙江 T3．