圆锥曲线综合练习试题有答案

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圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋；（2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。

高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!

高二数学圆锥曲线综合测试题（选修1-1&2-1）（考试时间：120分钟，共150分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为36分，试卷Ⅱ分值为64分。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于 ( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．2 210．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．(2009·四川高考)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．412．(2009·天津高考)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝ ( )A.45B.23C.47D.12第Ⅰ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．(2009·福建高考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF ＝FB ，BA ·BC ＝48，则抛物线的方程为______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．18．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B 点，求线段AB的中点M的轨迹方程．19．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .20．[理](本小题满分12分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点．(1)求OA ·OB 的值； (2)设AF ＝λFB ，当△OAB 的面积S ∈[2， 5 ]时，求λ的取值范围．20．[文](本小题满分12分)已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．21．(本小题满分12分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)，B (2,0)，|AD |＝2，AE ＝12(AB ＋AD )． (1)求E 点的轨迹方程；(2)过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．22．[理](本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．[文](本小题满分14分)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．高二数学圆锥曲线章节测试题（选修1-1&2-1）答案与解析：1、解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2.答案：B2、解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1.∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B3、解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：D4、解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：D5、解析：由a 2＋1＝4，∴a ＝3， ∴e ＝23＝233.答案：C6、解析：如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x＞3)．答案：C7、解析：由已知b a ＝55e ，∴b a ＝55×ca ，∴c ＝5b ，又a 2＋b 2＝c 2， ∴a 2＋b 2＝5b 2，∴a ＝2b . 答案：C8、解析：准线方程为y ＝116，由定义知116－y M ＝1⇒y M ＝－1516.答案：C9、解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由OA ·OB ＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x ⇒x ＝ 2.答案：A10、解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3. 答案：A11、解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2，点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)， ∴1PF ·2PF ＝(2－3，－1)·(－2－3，－1) ＝3－4＋1＝0. 答案：C12、解析：如图过A 、B 作准线l ：x =-12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|，由拋物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |.由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45. 答案：A 13、解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a 2＋b 2. 答案：a 2＋b 2 解析：由焦点弦|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2psin 245°， ∴2p ＝|AB |×12，∴p ＝2.答案：214、解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0),2a ＝|PF 1|＋|PF 2|.欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P ，使|PF 1|＋|PF 2|最小，利用对称性可解．答案：x 25＋y 24＝115、解析：设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点，故|AF |＝|AC |＝2|FD |＝2p ， |AB |＝2|AF |＝2|AC |＝4p ， ∴∠ABC ＝30°，|BC |＝23p ，BA ·BC ＝4p ·23p ·cos30°＝48，解得p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x16、解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 17、解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y 2－0，(x ≠1)，∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)．整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |=|AB |.而|PM|22(2)(4)x y -+- |AB 22(2)(2)x y +, ∴2222(2)(4)44x y x y -+-=+化简，得x +2y -5=0即为所求的轨迹方程．法三：设M 的坐标为(x ，y )，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆， ∴|MO |=|MP |，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点． ∵k OP =4020--=2，线段OP 的中点为(1,2)， ∴y -2=-12(x -1)，即x +2y -5=0即为所求．18、解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线．因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x . 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1. 所以AQ ⊥BQ .19、解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0.设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)，则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)因为AF ＝λFB ，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1λ.从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ，故△OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝λ＋1λ，因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52. 20、解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2. 因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点，设A (2－m,1－n )，B (2＋m,1＋n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ (2－m )2＋2(1－n )2＝2b 2，(2＋m )2＋2(1＋n )2＝2b 2，|AB |＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16. 故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.21、解：(1)设E (x ，y )，由AE ＝12(AB ＋AD )，可知E 为线段BD 的中点，又因为坐标原点O 为线段AB 的中点，所以OE 是△ABD 的中位线，所以|OE |＝12|AD |＝1，所以E 点在以O 为圆心，1为半径的圆上，又因为A ，B ，D 三点不在一条直线上，所以E 点不能在x 轴上，所以E 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(当直线斜率不存在时不成立)，由于直线MN 与圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)相切，所以|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，所以直线MN 的方程为y ＝±33(x ＋2)，将直线y ＝±33(x ＋2)代入方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，整理可得：4(a 2－3)x 2＋4a 2x ＋16a 2－3a 4＝0，所以x 0＝x 1＋x 22＝－a 22(a 2－3). 又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，即x 0＝－a 22(a 2－3)＝－45，解得a ＝2 2. 故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 22、解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )，∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧ x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y . 又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1. ∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1. (2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，设直线PM 方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得 (9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。

圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习一、选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2，则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ，为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于（） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．(ⅰ)证明：k·kON为定值；(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON 为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：. 4分（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分故，， 7分所以，所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC•kFN= -1，因为F1(-1,0)，故， 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2="2k" -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在． 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率，则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，求面积的最小值。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线试题及答案

椭圆一、选择题 1．(2021·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，那么该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 28＝1C.x 28＋y 24＝1D.x 212＋y 24＝1 解析：选C.由题意知椭圆的焦点在x 轴上，故可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝4，a 2c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a 2＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝4，故所求椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 2．(2021·高考浙江卷)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，假设C 1恰好将线段AB 三等分，那么( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：选C.由题意知，a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，那么椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，22]B ．(0，12]C ．[2－1,1)D ．[12，1)解析：选D.设P (x 0，y 0)，那么|PF |＝a －ex 0.又点F 在AP 的垂直平分线上，∴a －ex 0＝a 2c －c ，因此x 0＝a (ac －a 2＋c 2)c 2.又－a ≤x 0<a ，∴－a ≤a (ac －a 2＋c 2)c 2<a .∴－1≤e 2＋e －1e 2<1.又0<e <1，∴12≤e <1.4．椭圆x 24＋y 23＝1的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B 的动点P ，假设直线P A 的斜率k P A ＝12，那么直线PB 的斜率k PB 为( )A.34B.32C ．－34D ．－32解析：选D.设点P (x 1，y 1)(x 1≠±2)，那么k P A ＝y 1x 1＋2，k PB ＝y 1x 1－2，∵k P A ·k PB ＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝3(1－x 214)x 21－4＝－34，∴k PB ＝－34k P A ＝－34×2＝－32，故应选D.5．椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，以其左焦点F 1(－c,0)为圆心，以a －c 为半径作圆，过上顶点B 2(0，b )作圆F 1的两条切线，设切点分别为M ，N .假设过两个切点M ，N 的直线恰好经过下顶点B 1(0，－b )，那么椭圆E 的离心率为( )A.2－1B.3－1C.5－2D.7－3解析：选B.由题意得，圆F 1: (x ＋c )2＋y 2＝(a －c )2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么切线B 2M ：(x 1＋c )(x ＋c )＋y 1y ＝(a －c )2，切线B 2N ：(x 2＋c )(x ＋c )＋y 2y ＝(a －c )2. 又两条切线都过点B 2(0，b )，所以c (x 1＋c )＋y 1b ＝(a －c )2，c (x 2＋c )＋y 2b ＝(a －c )2. 所以直线c (x ＋c )＋yb ＝(a －c )2就是过点M 、N 的直线．又直线MN 过点B 1(0，－b )，代入化简得c 2－b 2＝(a －c )2，所以e ＝3－1. 二、填空题 6．(2021·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C的方程为__________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝17．(2021·高考江西卷)假设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是________．解析：由题意可得切点A (1,0)．切点B (m ，n )满足⎩⎪⎨⎪⎧n －12m－1＝－mn m 2＋n 2＝1，解得B ⎝⎛⎭⎫35，45.∴过切点A ，B 的直线方程为2x ＋y －2＝0.令y ＝0得x ＝1，即c ＝1；令x ＝0得y ＝2，即b ＝2. ∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝18．(2021·高考四川卷)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，△F AB 的周长的最大值是12，那么该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a . 又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时4a ＝12，那么a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：23三、解答题9．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，由可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0，直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.10．(2021·高考辽宁卷)如图，椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1： x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1(a >b >0)．设直线l ：x ＝t (|t |<a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎫t ，a b a 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎫t ，b a a 2－t 2. 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)当t ＝0时的l 不符合题意，当t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝ab a 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |<a ，又0<e <1，所以1－e 2e 2<1，解得22<e <1.所以当0<e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22<e <1时，存在直线l ，使得BO ∥AN . 11．(探究选做)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53.(1)求椭圆C 1的方程；(2)菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆C 1上，顶点B 、D 在直线7x －7y ＋1＝0上，求直线AC 的方程．解：(1)设M (x 1，y 1)，∵F 2(1,0)，|MF 2|＝53.由抛物线定义，x 1＋1＝53，∴x 1＝23，∵y 21＝4x 1，∴y 1＝263. ∴M (23，263)，∵M 在C 1上，∴49a 2＋83b 2＝1，又b 2＝a 2－1，∴9a 4－37a 2＋4＝0，∴a 2＝4或a 2＝19<c 2舍去．∴a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋mx 24＋y 23＝1⇒7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，∵A 、C 在椭圆C 1上，∴Δ>0，∴m 2<7， ∴－7<m <7.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝8m7.y 1＋y 2＝(－x 1＋m )＋(－x 2＋m )＝－(x 1＋x 2)＋2m＝－8m 7＋2m ＝6m 7.∴AC 的中点坐标为(4m 7，3m 7)，由ABCD 为菱形可知，点(4m 7，3m7)在直线BD ：7x －7y＋1＝0上，∴7·4m 7－7·3m7＋1＝0，m ＝－1.∵m ＝－1∈(－7，7)，∴直线AC 的方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.双曲线一、选择题1．(2021·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，那么a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝⎝⎛⎭⎫±322，解得a ＝±2.由题意知a >0，∴a ＝2. 2．(2021·高考天津卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，那么双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选B.双曲线左顶点为A 1(－a,0)，渐近线为y ＝±bax ，抛物线y 2＝2px (p >0)焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为直线x ＝－p2.由题意知－p2＝－2，∴p ＝4，由题意知2＋a ＝4，∴a ＝2.∴双曲线渐近线y ＝±b 2x 中与准线x ＝－p 2交于(－2，－1)的渐近线为y ＝b 2x ，∴－1＝b2×(－2)，∴b ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，∴2c ＝2 5.3．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，那么该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(1，2)C ．(22，1) D ．(2，＋∞)解析：选B.法一：由⎩⎨⎧x ＝－a 2c ，y ＝－b ax ，得A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c . 同理可得B ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，－ab c .又左焦点F (－c,0)，∴F A →＝⎝⎛⎭⎫b 2c ，ab c ，FB →＝⎝⎛⎭⎫b 2c ，－ab c .∵点F 在以AB 为直径的圆内，∴F A →·FB →<0，即⎝⎛⎭⎫b 2c 2－⎝⎛⎭⎫ab c 2<0，∴b 4<a 2b 2， ∴b 2<a 2，即c 2－a 2<a 2，∴c 2<2a 2，即e 2<2，∴e < 2.又∵e >1，∴1<e < 2.法二：由⎩⎨⎧x ＝－a 2c，y ＝－ba x ，得A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，abc . 同理可得B ⎝⎛⎭⎫－a 2c，－abc . ∵点F (－c,0)在以AB 为直径的圆内，∴左焦点F 到圆心的距离小于半径长，即c －a 2c <abc ，∴a >b .∴e ＝ca＝a 2＋b 2a＝ 1＋b 2a2< 2. 又∵e >1，∴1<e < 2. 4．(2021·高考大纲全国卷)F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，那么cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C.由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4， ∴a ＝2，c ＝2.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.5．(2021·高考山东卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，那么该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.二、填空题6．(2021·高考四川卷)双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是__________．解析：由x 264－y 236＝1可知a ＝8，b ＝6，那么c ＝10，设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，由|PF 2|＝4及双曲线的第一定义得|PF 1|＝16＋4＝20.设点P 到左准线的距离为d ，由双曲线的第二定义有20d ＝108，即d ＝16.答案：167．(2021·高考重庆卷)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，那么双曲线的离心率e ＝________.解析：∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1相交，由⎩⎨⎧y ＝b 3a x ，x 2a 2－y2b 2＝1消去y 得x ＝32a4，又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝324.答案：3248．双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，那么b ＝________.解析：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴b a ＝2，∴b 2a 2＝4.∵a 2＝1，∴b 2＝4. 又∵b >0，∴b ＝2.答案：2 三、解答题9．由双曲线x 29－y 24＝1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标N .解：由双曲线方程知a ＝3，b ＝2，c ＝13.当点P 在双曲线的右支上时，如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a .由于|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .① |NF 1|＋|NF 2|＝2c .②由①②得|NF 1|＝2a ＋2c2＝a ＋c ，∴|ON |＝|NF 1|－|OF 1|＝a ＋c －c ＝a ＝3. 故切点N 的坐标为(3,0)．根据对称性，当P 在双曲线左支上时，切点N 的坐标为(－3,0)．10．(2021·高考四川卷)如图，动点M 与两定点A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1.此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4.化简可得，4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m 4x 2－y 2－4＝0，消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*) 对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m >0)可知，m >0且m ≠1.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，那么x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |， x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m 2＋121＋3m 2－1＝1＋22 1＋3m2－1. 此时 1＋3m 2>1，且 1＋3m2≠2，所以1<1＋22 1＋3m 2－1<3，且1＋22 1＋3m2－1≠53，所以1<|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪x R x Q<3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，53∪⎝⎛⎭⎫53，3. 11．(探究选做)双曲线C ：x24－y 2＝1，P 为C 上的任意一点．(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3,0)，求|P A |的最小值．解：(1)证明：设P (x 1，y 1)是双曲线C 上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x －2y ＝0和x ＋2y ＝0，点P (x 1，y 1)到两条渐近线的距离分别是 |x 1－2y 1|5和|x 1＋2y 1|5， ∴|x 1－2y 1|5·|x 1＋2y 1|5＝|x 21－4y 21|5＝45.故点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)设点P 的坐标为(x ，y )(|x |≥2)，那么|P A |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54(x －125)2＋45， ∵|x |≥2，∴当x ＝125时，|P A |2取到最小值45，即|P A |的最小值为255.抛物线一、选择题1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.2．(2021·高考四川卷)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．假设点M 到该抛物线焦点的距离为3，那么|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选B.由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，那么M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2，∴y 0＝±22， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3. 3．(2021·四川成都模拟)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．假设线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，那么弦AB 的长为( )A ．5B ．8C ．10D ．12解析：选C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4，又E 到y 轴距离为3，∴x 1＋x 22＝3.∴|AB |＝10. 4．(2021·高考课标全国卷)直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，那么△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.5．(2021·高考四川卷)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，那么抛物线顶点的坐标为( )A ．(－2，－9)B ．(0，－5)C ．(2，－9)D ．(1，－6)解析：选A.当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ， ∴2x 0＋a ＝a －2，∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6(a －2)2＋1 .由题意得6(a －2)2＋1＝65，即(a －2)2＋1＝5.又a ≠0，∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9.顶点坐标为(－2，－9)．二、填空题 6．(2021·高考重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，假设|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，那么|AF |＝__________. 解析：由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎫x －122＝2x ， ∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0.∴x 1x 2＝14. 而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝34.∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.答案：567．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，C 上的点M 在C 的准线上的射影为M ′，假设MM ′→·MF →＝12|MM ′→|·|MF →|，那么点M 的横坐标为________．解析：如下图，∵MM ′→·MF →＝|MM ′→||MF →|cos ∠M ′MF ＝12|MM ′→||MF →|， ∴cos ∠M ′MF ＝12.∴∠M ′MF ＝60°.又∵|M ′M |＝|MF |，故△MM ′F 为正三角形．设M (x ，y )，那么M ′(－1，y )，F (1,0)， ∴|M ′F |＝(－1－1)2＋y 2＝|MM ′|＝x ＋1，整理得y 2＝x 2＋2x －3，将y 2＝4x 代入y 2＝x 2＋2x －3得x 2－2x －3＝0，即x ＝3或－1(舍)．答案：3 8．(2021·高考重庆卷)设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，那么圆C 的半径能取到的最大值为__________．解析：如下图，假设圆C 的半径取到最大值，必须为圆与抛物线及直线x ＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a <3)，那么圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，与抛物线方程y 2＝2x 联立得x 2＋(2－2a )x ＋6a －9＝0，由判别式Δ＝(2－2a )2－4(6a －9)＝0，得a ＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1.答案：6－1 三、解答题 9．(2021·东北三校调研)点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，试求抛物线的方程．解：当抛物线开口向上时，准线为y ＝－14a ，点M 到它的距离为14a ＋3＝6，a ＝112，抛物线的方程为y ＝112x 2.当抛物线开口向下时，准线为y ＝－14a ，M 到它的距离为－14a －3＝6，a ＝－136.抛物线的方程为y ＝－136x 2.所以，抛物线的方程为y ＝112x 2或y ＝－136x 2.10．设抛物线y 2＝4ax (a ＞0)的焦点为A ，以B (a ＋4,0)点为圆心，|BA |为半径，在x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同两点M 、N ，点P 是MN 的中点．求|AM |＋|AN |的值．解：设M 、N 、P 在抛物线的准线上射影分别为M ′、N ′、P ′，那么由抛物线定义得|AM |＋|AN |＝|MM ′|＋|NN ′|＝x M ＋x N ＋2a . 又圆的方程为[x －(a ＋4)]2＋y 2＝16，将y 2＝4ax 代入得x 2－2(4－a )x ＋a 2＋8a ＝0，∴x M ＋x N ＝2(4－a )，所以|AM |＋|AN |＝8.11．(探究选做)如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，M为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；(2)当M 点的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410.求此时抛物线的方程．解：(1)证明：由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )，x 1<x 2，M (x 0，－2p )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，那么y ′＝x p ，所以k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p.因此直线MA的方程为y ＋2p ＝x 1p(x －x 0)．直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p(x －x 0)．所以x 212p ＋2p ＝x 1p (x 1－x 0)，①x 222p ＋2p ＝x 2p(x 2－x 0)，② 由①－②得x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x 1＋x 22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列． (2)由(1)知，当x 0＝2时，将其代入①、②并整理得x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4p 2＝0，所以x 1、x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2，又k AB ＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 1＋x 22p ＝x 0p ，所以k AB ＝2p .由弦长公式得|AB |＝1＋k 2AB ·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4p2·16＋16p 2. 又|AB |＝4 10，所以p ＝1或p ＝2.因此所求抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y . 直线与圆锥曲线一、选择题1．(2021·福州模拟)F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B两点．在△AF 1B 中，假设有两边之和是10，那么第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．(2021·高考大纲全国卷)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－45解析：选D.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.法二：由法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)，∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.3．曲线C 1的方程为x 2－y28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x －3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，那么直线AB 的斜率为( )A.33B.12 C ．1 D. 3解析：选A.设B (a ，b )，那么由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1(a －3)2＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0.那么直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k －k |1＋k 2＝1，∴k ＝33或k ＝－33(舍去)．4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析：选D.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如下图，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－b c)＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，应选D.5．双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：选B.∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3. 由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，把y ＝x －3代入双曲线方程，那么x 2a 2－(x －3)2b 2＝1.整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝6a 2a 2－b2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.二、填空题6．(2021·高考江西卷)假设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是________．解析：由题意可得切点A (1,0)．切点B (m ，n )满足⎩⎪⎨⎪⎧n －12m －1＝－mn m 2＋n 2＝1，，解得B ⎝⎛⎭⎫35，45.∴过切点A ，B 的直线方程为2x ＋y －2＝0.令y ＝0得x ＝1，即c ＝1；令x ＝0得y ＝2，即b ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝17．(2021·广西梧州高三检测)设点F 为抛物线y ＝－14x 2的焦点，与抛物线相切于点P (－4，－4)的直线l 与x 轴的交点为Q ，那么∠PQF 的值是________．解析：∵y ′＝－12x ，∴k PQ ＝y ′|x ＝－4＝2，∴直线PQ 的方程为y ＋4＝2(x ＋4)．令y ＝0，得x ＝－2，∴点Q (－2,0)．又∵焦点F (0，－1)，∴k FQ ＝－12，∴k PQ ·k FQ ＝－1，∴∠PQF ＝π2.答案：π28．F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF →＝2FD →，那么C 的离心率为________．解析：法一：如图，设椭圆C 的焦点在x 轴上， B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，那么BF →＝(c ，－b )，FD →＝(x D －c ，y D )， ∵BF →＝2FD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D ，∴⎩⎨⎧x D ＝3c2，y D ＝－b 2.∴(3c 2)2a 2＋(－b 2)2b 2＝1，即e 2＝13，∴ e ＝33. 法二：设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，那么|BF |＝b 2＋c 2＝a .作DD 1⊥y 轴于点D 1，那么由BF →＝2 FD →，得|OF ||DD 1|＝|BF ||BD |＝23，∴|DD 1|＝32|OF |＝32c ，即x D ＝3c2.由椭圆的第二定义得|FD |＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c 22a.又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c 2a，整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13.∴e ＝33.答案：33三、解答题9. 抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F ，准线为l ，过F 作直线m 交抛物线C 于M ，N 两点．求S △OMN 的最小值．解：由题意知F (1,0)，l ：x ＝－1，设m ：x ＝ay ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＋1y 2＝4x ⇒y 2－4ay －4＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4a y 1y 2＝－4.S △OMN ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12·16a 2＋16＝2a 2＋1≥2(a ＝0时取得等号)．所以S △OMN 的最小值为2.10．(2021·高考重庆卷)如下图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P 、Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，那么y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.11．(探究选做)(2021·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．假设l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.假设M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b .因直线PQ 与圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，那么O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，那么直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k2，y 2＝k24＋k2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．圆锥曲线综合〔一〕(时间：100分钟总分值：120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( )． A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，116)D ．(116，0)解析将抛物线方程变为x 2＝2×18y ，知p ＝18，又焦点在y 轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，116)．答案 C2．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，那么点P 到另一焦点的距离为( )．A ．2B ．3C ．5D ．7 解析点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，10－3＝7.选D. 答案 D3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )． A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，所以圆的半径r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，应选D. 答案 D4．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )． A.x 216－y 248＝1B.x 29－y 227＝1C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析当顶点为(±4，0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，y 29 －x 227＝1. 答案 C5．椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，那么椭圆的标准方程为( )． A.x 220＋y 225＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 225＋y 25＝1D.x 25＋y 225＝1解析双曲线x 23－y 22＝1中a 21＝3，b 21＝2，那么c 1＝a 21＋b 21＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝15，那么a ＝5，a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1. 答案 B6．(2021·山东烟台期末)椭圆x 241＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，那么△ABF 2的周长为( )．A ．10B ．20C ．241D ．441 解析 |AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|B F 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝441. 答案 D7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )． A ．2 B. 3 C. 2 D.32解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·(－b a ) ＝－1，故b 2a 2＝1，所以c 2－a 2a 2＝1即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.应选C. 答案 C8．椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，那么α的取值范围是( )． A ．(34π，π) B ．(π4，34π) C ．(π2，π)D ．(π2，34π)解析椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4. 答案 D9．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，那么m 等于( )．A.32 B ．2 C.52 D ．3 解析依题意，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 21)，得x 2＋x 1＝－12，且(x 2＋x 12，y 2＋y 12)在直线y ＝x ＋m 上，即y 2＋y 12＝x 2＋x 12＋m ， y 2＋y 1＝x 2＋x 1＋2m ，∴2(x 22＋x 21)＝x 2＋x 1＋2m ，2[(x 2＋x 1)2－2x 2x 1]＝x 2＋x 1＋2m ，2m ＝3，m ＝32. 答案 A10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，那么该双曲线的方程为( )． A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1解析圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，c ＝3，根据得3ba 2＋b 2＝2，即3b3＝2，解得b ＝2，得a 2＝c 2－b 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上．) 11．点(－2，3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，那么p ＝________. 解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得〔p2＋2〕2＋〔－3〕2＝5.解得p ＝4. 答案 412．假设椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，那么它的长半轴长为________．解析当0<m <1时，y 21m＋x 21＝1，e 2＝a 2－b 2a 2＝1－m ＝34， m ＝14，a 2＝1m ＝4，a ＝2；当m >1时，x 21＋y 21m ＝1，a ＝1.应填1或2.答案 1或213．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为________．解析由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，因此所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案 x 24－y 23＝114．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，假设△F 1PF 2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是________．解析由题意，知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c2a ＝12＋1＝2－1. 答案2－1三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．解由共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1，点P (3，4)在椭圆上，16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40，双曲线的过点P (3，4)的渐近线为 y ＝b 25－b 2x ，即4＝b 25－b 2×3，b 2＝16. 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1.17．(10分)抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．解由题意，知直线l 的斜率存在，设为k ，那么直线l 的方程为y ＝k x ＋2(k ≠0)，解方程组⎩⎨⎧y ＝k x ＋2，y 2＝2x ，消去x 得k y 2－2y ＋4＝0，Δ＝4－16k >0⇒k <14(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝2k ，y 1·y 2＝4k ，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12y 21x 2＝12y 22⇒x 1·x 2＝14(y 1·y 2)2＝4k 2 OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， ∴4k 2＋4k ＝0，解得k ＝－1.所以所求直线方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.18．(12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋〔－2〕2|x 1－x 2| ＝5·〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2 ＝5·〔－169〕2－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.19．(12分)抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35，(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．解 (1)由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24， |AB |＝1＋k 2〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2 ＝1＋22〔1－m 〕2－4·m 24＝5〔1－2m 〕.由|AB |＝35，即5〔1－2m 〕＝35⇒m ＝－4. (2)设P (a ，0)，P 到直线AB 的距离为d ，那么d ＝|2a －0－4|22＋〔－1〕2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，那么d ＝2·S △ABP|AB |，2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5或a ＝－1，故点P 的坐标为(5，0)和(－1，0)．圆锥曲线综合〔二〕(考试时间90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线x 24－y 212＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，c ＝23，∴b 2＝4，所求方程为x 24＋y 216＝1，应选D.答案： D2．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，假设|PF 1|等于4，那么|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．13解析：由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22. 答案： A3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，那么它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0) 解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.答案： C 4．假设抛物线x 2＝2py的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，那么p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D5．假设k ∈R ，那么k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3.故k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．应选A. 答案： A6．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1解析：由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22.因为0<e <1，所以0<e <22. 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22.应选C. 答案： C7．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－45解析方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.。

(完整版)高二圆锥曲线经典练习题含答案(可编辑修改word版)

一．求离心率问题1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+13.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ]5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A.B．C．D．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．28.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、圆锥曲线小题综合9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．810.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．613.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2 分别是两曲线C1，C2 的离心率，则的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．1614.已知点M（1，0），A，B 是椭圆+y2＝1 上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[ ，1] B．[1，9] C．[ ，9] D．[ ，3]15.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px （p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．917.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．1218.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+120.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．三．求轨迹方程问题21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．四、直线和圆锥的关系问题26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27.已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P 的直线l，使l 与椭圆C 交于A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．28.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E，使得•为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29.已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F 的坐标为，点P 坐标为（﹣2，2），且直线PA1⊥x 轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点B 的上方），直线OP 与AA2交于点Q，连接QA1．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线QA1 的斜率为k1，直线A1B 的斜率为k2，问：k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．30.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C上异于O 的两点．（I）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为，求证：直线AB 过定点．31.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A 在椭圆C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P，Q 的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．32.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2＝4 x 的焦点恰好使椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程（2）过点D（0，3）作直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点N 满足＝（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．33.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 ＝0 的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．34.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F1，F2 是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．35.如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．36.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l：y＝kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q 两点，直线OP、OQ 的斜率依次为k1、k2，满足4k＝k1+k2，试问：当k 变化时，m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．37.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l：x﹣my﹣1＝0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，且交椭圆C 于A，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点D（，0），连结BD，过点A 作垂直于y 轴的直线l1，设直线l1与直线BD 交于点P，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P 恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．38.已知动点P 到定点F（1，0）和直线l：x＝2 的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n 与曲线E 交于C，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x2+y2＝1 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．39.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P 在椭圆C 上，且满足△PF1F2 的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．40.已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2 到直线l1：3x+4y＝0 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l 与椭圆C 相交于E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线x＝3 于点M，N，线段MN 的中点为P，记直线PF2 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．一．选择题（共20 小题）1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，直线l 的斜率为，所以，又b2+c2＝a2，所以，故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+1【分析】如图所示，△PF1F2 为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【解答】解：如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，则2c+2c＝2a，解得e＝＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解E 的坐标，推出M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b ＝±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP 的方程为：y＝﹣（x﹣a），x＝0 时，y＝，E（0，），A（﹣a，0），则AE 的方程为：y＝（x+a），则M（﹣c，﹣），M 是线段PF 的中点，可得2•（﹣）＝，即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e＝＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ] 【分析】由题意画出图形，可得四边形AF2BF1 为矩形，则AB＝F1F2＝2c，结合AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，列式可得e 关于∠ABF2 的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1 为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[ ]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C 的离心率．【解答】解：如图，由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【分析】不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解．【解答】解：如图，不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．∴．由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0 的两根异号，则a＞b，此时＜0，＞0．则，即a＝2b．∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0 垂直，得a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【分析】连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|＝c，O 到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．【解答】解：连接OP，可得|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝|PF2|＝c，F1到渐近线bx+ay＝0 的距离为d＝＝b，在等腰三角形OPF1 中，O 到PF1 的距离为a，即sin∠OPF1＝sin30°＝＝，可得e＝＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．10.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由双曲线方程求出a 及c 的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2 交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．【解答】解：如图由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，则F2（3，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，∵F 的坐标为（0，4），F2（3，0），∴|FF2|＝5，∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．11.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝2 ，即a2+b2＝8，②，解方程可得a，b 的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，椭圆的焦点为（±2 ，0），可得c＝2，即a2+b2＝8，②由①②可得a＝，b＝，则双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．6【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N．利用三角形是直角三角形，转化求解即可．1 2 1 21 2 1 2 【解答】解：由题设知抛物线 y 2＝2px 的准线为 x ＝﹣ ，代入双曲线方程﹣x 2＝1 解得 y ＝±，由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角三角形，∴∠FMN ＝，∴tan ∠FMN ＝＝1，∴p 2＝3+ ，即 p ＝2 ，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．13. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点 F 1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF 1⊥PF 2，e 1，e 2 分别是两曲线 C 1，C 2 的离心率，则的最小值是（）A ．4B ．6C ．8D ．16【分析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a 2+a 2＝2c 2，由此能求出 9e 2+e 2 的最小值．【解答】解：由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，③①2+②2，得|PF 1|2+|PF 2|2＝2a 2+2a 2，④将④代入③，得 a 2+a 2＝2c 2，∴9e 12+e 22＝+＝5++≥8，即的最小值是 8．1 2 故选：C ．【点评】本题考查 9e 2+e 2的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 14. 已知点 M （1，0），A ，B 是椭圆+y 2＝1 上的动点，且＝0，则 • 的取值是（）A ．[ ，1]B ．[1，9]C ．[ ，9]D ．[，3]【分析】利用＝0，可得 •＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），可得＝（2cos α﹣1）2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），则＝（2cos α﹣1）2+sin 2α＝3cos 2α﹣4cos α+2＝3（cos α﹣ ）2+，∴cos α＝时，的最小值为；cos α＝﹣1 时，的最大值为 9，故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线 y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（） A ．B ．C ．D ．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得 m +5＝9，求出 m ＝4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线 y 2＝12x 的焦点为（3，0）， ∴双曲线的一个焦点为（3，0），即 c ＝3．双曲线可得∴m +5＝9，∴m ＝4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．9【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM 平行能求出实数a．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．∴抛物线y2＝16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．17.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B 坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x 的焦点（2，0）重合，可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x＝﹣2，由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|＝6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0 求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y 得x2± x+2＝0∵渐近线与抛物线有交点∴△＝﹣8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a∴e＝≥3．则双曲线的离心率 e 的取值范围：e≥3．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+1【分析】利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点M 的坐标代入，即可求得结论．【解答】解：∵M 在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，∴M 的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB 中点M 的坐标代入，可得∴∴故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，可得点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即即|1+|＝5，解可得p＝8，可得抛物线的方程，进而可得M 的坐标；根据双曲线的性质，可得A 的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得＝，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即|1+ |＝5，解可得p＝8；即抛物线的方程为y2＝16x，易得m2＝2×8＝16，则m＝4，即M 的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A 的坐标为（﹣，0），其渐近线方程为y＝±x；而K AM＝，又由若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有＝，解可得a＝；故选：B．【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．二．解答题（共20 小题）21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5，即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5 为半径的圆．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l 被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2 符合题意．当直线l 的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l 的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l 的距离d＝，由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．∴直线l 的方程为x﹣y+ ＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l 的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【分析】（1）由左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P 代入椭圆方程，即可求得线段PA 中点M 的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设+ ＝1（a＞b＞0），由椭圆的左焦点为F（﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：+y2＝1（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，整理得：，由点P 在椭圆上，∴+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）∴线段PA 中点M 的轨迹方程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．【分析】欲求点M 的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y 之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y 的关系式．【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⇒，又Q 是OP 的中点∴⇒，∵P 在抛物线y2＝4x 上，∴（4y）2＝4（4x﹣2），所以M 点的轨迹方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E 的轨迹C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由题设条件能推导出直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，由此能求出点P 纵坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E 的轨迹C 的方程为，x ．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，△＝8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2＝，设MN 的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，令x＝0，得y P＝，当k＞0 时，∵2k+ ，∴0＜；当k＜0 时，因为2k+≤﹣2 ，所以0＞y P≥﹣＝﹣．综上所述，点P 纵坐标的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．【分析】利用斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设点P（x，y），则直线AP 的斜率，直线BP 的斜率．由题意得．化简得：．∴点P 的轨迹方程是椭圆．【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键．只有去掉长轴的两个端点．26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求解a，b，然后求解椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a＝2，c＝1，∴，则E 的方程为；… ....................... （4 分）（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0…（6 分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，… ...... （7 分），∴。

(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)

当 0 m 1 时，
y2 1
x2 1
1, e2
a2 b2 a2
1m
3,m 4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
20． x2 y2 1 20 5
设双曲线的方程为 x2 4 y2 , ( 0) ，焦距 2c 10, c2 25
5 /9
当
0 时，
x2
y2
1,
4
25,
20 ；
4
当
0
时，
y2
x2
1,
(
)
4
25,
20
4
21． (, 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1,或k 4
22． x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23．1
焦点在 y 轴上，则 y2 x2 1, c2 5 1 4, k 1
28． ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ，得 m 3, c 7 ，且焦点在 x 轴上 2
29． b2 a2
设A( x1 ,y1), NhomakorabeaB(x2 ,
y2
)
，则中点
M
(
x1
2
x2
,
x
, 2
x2
8x
4
0,
x1
x2
8,
y1
y2
x1
x2
4
4
中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) (4, 2)
2
2
27． , 2
t2 设 Q(
,t) ，由
PQ
a
t2 得(

高三数学圆锥曲线试题答案及解析

高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。

圆锥曲线综合测试题附答案

圆锥曲线综合测试题班级________ 姓名________ 学号_______成绩________一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（）A ．x y 23±= B ．x y 32±= C ．x y 49±= D ．x y 94±= 2．已知F 是抛物线241x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（）A ．122－＝y xB ．16122－＝y x C ．212－＝y x D ．222－＝y x3．已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)12=，则=+BC AC （）A ．6B ．4C ．2D ．不能确定4．抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（）A ．7 B ．53 C ．6 D ．5 5．双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的弦为AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为（）A ．)22(21- B ．12- C ．12+D ．)22(21+6．若椭圆)0(122>>=+b a by ax 和双曲线)0,(122>=-n m ny mx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（） A ．n b -B ．m a -C ． n b -D ． m a -7．直线l 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（）A ．2B ．2C ．26D ．58．直线143x y+=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．曲线)1(42≤--=x x y 的长度是（）A ．34πB ．32πC ．38πD ．π3 10．方程22)1()1(-+-=+y x y x 所表示的曲线是（）A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．不能确定11．已知曲线ax y =2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A 和B ，如果过这两个交点的直线的倾斜角是︒45，则实数a 的值是（）A ．1B ．23C ．2D ．312．给出下列结论,其中正确的是（）A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a by 的双曲线的标准方程一定是12222=-by a xB ．抛物线221x y -=的准线方程是21=x C ．等轴双曲线的离心率是2 D ．椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．如果正△ABC 中,D ∈AB,E ∈AC,向量12DE BC =,那么以B,C 为焦点且过点D,E 的双曲线的离心率是 .14．已知椭圆()x m y n x p y qm n p q R 22221+=-∈+与双曲线,,,有共同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=.15．有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线x=2为准线；③离心率)()(*21N n e nn ∈=，则所有这些椭圆的长轴长之和为 .16．沿向量a =(m, n)平移椭圆1522=+y x ,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线2x －y+6=0上, 则m= 、n= .三、解答题（本大题共6小题，共74分。

圆锥曲线专题复习试题和答案

题型一：求曲线轨迹方程1.如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。

求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

解：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1）则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ 垂直于直线x+y=2，故111=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ② 由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=02.抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。

解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42>=p px y 上，设A （),42A Ay py ，B （),42B B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =By p4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得)4(44222p y x py p y y y y y ABA B A A ---=-，即（y A +y B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x Py y y BA 4-+=②由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x ，即得2224)2(p y p x =+-。

所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。

解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 可得AB 过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。

圆锥曲线综合测试题(含答案)

圆锥曲线综合测试题一、选择题（每题5分）1、双曲线x 2－5y 2＝0的焦距为（） A.6 B.26 C.23 D.432、顶点在原点，且过点（－4,4）的抛物线的标准方程是（）A.y 2＝－4xB.x 2＝4yC. y 2＝－4x 或x 2＝4yD.y 2＝4x 或x 2＝－4y3、若椭圆19222=+m y x （m>0）的一个焦点坐标为（1,0），则m 的值为（） A.5 B.3 C.23 D.224、已知方程11122=--+ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（） A.－1<k<1 B.k>0 C.k ≥0 D.k>1或k<－15、已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为（3,0）则该双曲线的离心率为（） A.14143 B.423 C.23 D.34 6、如果点P （2，y 0）在以点F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上，则PF=（）A.1B.2C.3D.47、双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （a >0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8、已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB=（）A.3B.6C.9D.129、已知双曲线12222=-by a x （a >0，b>0）的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，∆AOB 的面积为3，则p=（）A.1B.23 C.2 D.3 10、已知F 1，F 2为椭圆191622=+y x 的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆与A ，B 两点，在∆A F 1B 中，若有两边之和等于10，则第三边的长度为（）A.6B.5C.4D.311、已知动圆P 过定点A （－3,0），并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是（）A.线段B.直线C.圆D.椭圆12、若直线mx ＋ny=4与圆O: x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（）A.至多一个B.2C.1D.0二、填空题（每题5分）13、抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

圆锥曲线专题40大题练习（含答案）

圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C：「-仁=1的离心率为心，点（V3,o）是双曲线的一个顶点.a-b'（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/，直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆、+与=1（。

〉力〉0）的离心率为一，过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时，AB+CD=7.（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C：「+「=1（。

〉力〉0）的一个焦点为尸（1,0）,离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C：「+七=1（0〉力〉0）的右焦点为『（L°）,短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.（1）求椭圆。

的方程；（2）过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由..2,25.已知椭圆C：=■+%■=1（a>b>0）过点p（—1,—1）-c为椭圆的半焦距，且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L的斜率为一1,求APMN的面积；第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)，离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程；(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点，线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时，求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上，焦距为 4，则 $m$ 等于（）A。

4B。

5C。

7D。

82.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为frac{\sqrt{5}}{2}3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为24.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是frac{\sqrt{5}}{2}5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$，$N$ 两点，$O$ 为坐标原点，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。

若 $OM\perp ON$，则双曲线的离心率为frac{\sqrt{5}+1}{2}6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是sqrt{2}7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距离为2\sqrt{5}8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点，$M$，则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+y^2=1$ 上的点，的最大值为99.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上，且 $P$ 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为210.在正三角形 $ABC$ 中，$D\in AB$，$E\in AC$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$，则以 $B$，$C$ 为焦点，且过 $D$，$E$ 的双曲线离心率为frac{3+\sqrt{5}}{2}11.两个正数 $a$，$b$ 的等差中项是 $5$，一个等比中项是 $25$，且 $a>b$，则抛物线 $y^2=-x$ 的焦点坐标是left(-\frac{5\sqrt{21}}{21},0\right)12.已知 $A_1$，$A_2$ 分别为椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的左右顶点，椭圆 $C$ 上异于$A_1$，$A_2$ 的点 $P$ 恒满足 $k\cdot PA_1\cdot k\cdotPA_2=-1$，则椭圆 $C$ 的离心率为frac{3}{5}13.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $A$ 在第一象限内且在椭圆上，点 $B$ 也在椭圆上。