数字信号处理课件第十章--利用离散傅里叶变换的信号傅里叶分析(ppt文档)
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《信号的傅里叶分析》课件
傅里叶分析的基本原理
学习傅里叶分析的基本原理， 包括信号的频率分解和重构。
数字信号处理的背景和 应用
了解数字信号处理的发展背 景及其在各个领域的应用。
傅里叶级数
1 傅里叶级数的定义
详细介绍傅里叶级数的定义，包括周期信号的频域表示。
2 傅里叶级数展开式
学习如何将周期信号展开为一系列正弦和余弦函数的组合。
3 正弦级数和余弦级数
深入探讨正弦级数和余弦级数的特性和应用。
傅里叶变换
1 傅里叶变换的定义
2 傅里叶变换的性质
详细介绍傅里叶变换的定 义和信号在频域中的表示。
探讨傅里叶变换的基本性 质，如平移、尺度变换和 线性性质。
3 傅里叶变换的逆变换
学习如何通过逆变换将频 域信号转换回时域。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
1 傅里叶级数与周期信 2 傅里叶变换与非周期 3 信号重构
号
信号
探讨如解傅里叶变换在非周期
和傅里叶变换进行信号的
号分析中的应用及其与傅
信号分析中的作用及其特
重构。
里叶变换的区别。
点。
数字信号处理中的傅里叶分析
1 离散傅里叶级数
介绍离散傅里叶级数的应用及其在数字信号 处理中的重要性。
2 发展趋势
展望傅里叶分析的未来发展趋势，包括新技术和应用领域。
3 实际应用中的注意事项
探讨在实际应用中使用傅里叶分析时需要注意的问题和解决方法。
2 离散傅里叶变换
深入了解离散傅里叶变换的原理和在信号处 理中的实际应用。
3 快速傅里叶变换
学习快速傅里叶变换算法及其在高效信号处 理中的作用。
4 应用案例
通过实际应用案例展示数字信号处理中傅里 叶分析的重要性和优势。
离散傅里叶变换的分析与研究PPT
将图2和图3中的图a,图b和图c依次比较可得出，如果循环卷积长度小于线性 卷积长度，则二者的卷积结果不相等。当循环卷积长度大于或等于线性卷积 长度时，二者相等，从而可以由循环卷积来计算线性卷积。
3.2 用DFT对信号进行谱分析
• 所谓信号的谱分析，就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用 计算机计算，使其应用受到限制。而DFT是一种 时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成 为用计算机分析离散信号和系统的有力工具。对 连续信号和系统，可以通过时域采样• 2 截断效应 • 3 栅栏效应:(又称分辨率有偏误差）
总结
• 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质， 然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对 线性卷积的计算及对连续信号的谱分析。在理解 理论的基础是上，在matlab环境下实现了线性卷 积和对连续信号频谱分析。 • 论文中对循环卷积，线性卷积以及连续信号频谱 分析的MATLAB仿真结果，很好的解释了所要研 究的问题。
• 例2：已知一连续信号 y ( t ) sin( 2 ft ) ,其中f=200Hz，现以 采样频率fs=1000Hz，截取长度N分别为100，200点，Tp1， Tp2分别N=100和N=200时的持续时间。由公式N=Tp∙fs得 Tp1=0.1s，Tp2=0.2s.并对该信号进行频谱分析。
图4 截取长度N=100时的频谱
图5 截取长度N=200时的频谱
由图4和图5可得出：用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似 度与信号带宽、采样频率和截取长度有关，为了不产生频率混叠失真，通常 要求信号的最高频率fc<fs/2，为提高频率分辨率可以增加采样点数N.
3.3 用DFT进行谱分析的误差问题
离散傅里叶变换ppt
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
n0
x(n)
IDFT X (k)
1 N
N 1
X (k )WNn,k
k 0
0nN-1
或者： X (k) X~(k)RN (k) x(n) ~x (n)RN (n)
练习题
参考答案
TP 1/ f 0.1(s) T 1/ 2 fh 1/ 8kHz 0.125(ms) N 2 fh / f 800
证明：
DFS[WNmn~x (n)]
N
1
WNmn
~x (n)WNkn
n0
N 1 ~x (n)WN(km)n n0
X~(k m)
WNmn
j 2 mn
eN
j 2 nm
eN
(e
j
2
N
n
)
m
时域乘以虚指数(
j 2
eN
n
)的m次幂，频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果 Y~(k) X~1(k)X~2(k)
所以
DFS[~x (n
m)]
N 1m~x (i)WNik
W mk N
im
W mk N
N
1
~x (i)WNik
W mk N
~x (k
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
《傅里叶分析》课件
通信系统
傅里叶分析可以用 于调制解调过程中 的频谱分析，以及 信道估计和均衡等 关键问题的解决， 提高通信系统的性 能。
图像处理
傅里叶分析可以用 于图像的频域滤波、 去噪和增强等操作， 以及图像压缩和特 征提取等应用，提 高图像处理的效果 和质量。
其他领域的 应用
除了信号处理、通 信系统和图像处理 外，傅里叶分析还 在许多其他领域中 有着广泛的应用， 如物理学、经济学 等。
《傅里叶分析》PPT课件
傅里叶分析是一种广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域的数学 工具。本课件将介绍傅里叶分析的定义、傅里叶级数和傅里叶变换，以及其 在各个领域中的实际应用。
傅里叶级数
傅里叶级数是用正弦和余弦函数将周期函数分解为一系列振幅和相位不同的谐波信号的方法。它可以表 示周期函数在频域上的相关信息。
总结
傅里叶分析是一种重要的数学工具，它可以用于分析和处理各种信号，并在信号处理、通信系统、图像 处理等领域中发挥作用。
1 傅里叶分析的重要性和应用
2 学习和研究傅里叶分析的意义
傅里叶分析在现代科学和工程中具有重要 地位，它为我们理解和处理信号提供了有 力的工具和方法。
学习和研究傅里叶分析不仅能够提高我们 的数学能力，还能够拓宽我们的科学视野， 培养我们的创新思维。
3 傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换具有平移性、尺度性和对称性等重要性质，它在信号处理、通信系统等领域 中有着广泛的应用。
傅里叶分析的实际应用
傅里叶分析在许多领域中发挥着重要作用，包括信号处理、通信系统、图像处理以及其他领域的实际应 用。
信号处理
傅里叶分析可以用 于分析和处理各种 信号，包括音频信 号、视频信号等， 以提取有用的信息 或实现信号压缩等 功能。
《离散傅里叶变换》课件
离散傅里叶级数
探索离散傅里叶级数的定义、性 质和计算方法以及在数字信号处 理中的应用。
离散傅里叶变换
仔细研究离散傅里叶变换的离散 性质和变换公式，揭示其在信号 分析中的独特优势。
离散傅里叶变换的性质
探索离散傅里叶变换的对称性、 线性性以及快速计算算法，解开 其工程应用的奥秘。
离散傅里叶变换实践1海明窗函数图像处理
探索离散傅里叶变换在图像滤波、增强和压缩中的重要作用。
视频编码
揭示离散傅里叶变换在视频编码和压缩领域的关键应用和优化策略。
总结
离散傅里叶变换的优点与缺点
离散傅里叶变换未来的发展趋势
2
深入了解海明窗函数的定义和特性，以
及在信号处理中的应用场景。
3
快速傅里叶变换算法
介绍快速傅里叶变换算法的基本原理和 实现方法，让你轻松掌握高效算法的使 用。
离散傅里叶变换与信号处理实例
通过实际案例演示离散傅里叶变换在语 音信号和图像信号处理中的应用与效果。
离散傅里叶变换应用
语音信号处理
深入研究离散傅里叶变换在语音信号分析、压缩和合成中的广泛应用。
《离散傅里叶变换》PPT 课件
本课件介绍离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），让你轻松理解 该概念及其应用。从基本理论到实践应用，一网打尽。
简介
什么是离散傅里叶变换
深入探索离散傅里叶变换的定义、原理和作用，为你打开全新的数学世界。
应用领域
探索离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、视频编码等领域的广泛应用。
傅里叶理论基础
1 傅里叶级数
揭秘傅里叶级数的概念和 原理，了解它在周期信号 分析中的作用。
2 傅里叶变换
《离散傅里叶变换》课件
$X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}$
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
《离散傅立叶变换》课件
快速傅立叶变换（FFT）是一种高效计算离散傅立叶变换的算法，可以大大减 少计算复杂度。
傅立叶变换的复杂度取决于信号长度，使用快速傅立叶变换可以加快计算速 度，提高效率。
应用
离散傅立叶变换在各个领域有广泛的应用，其中包括信号处理、数据压缩和 图像处理。
在信号处理中，离散傅立叶变换用于滤波、频谱分析和模式识别。在数据压 缩中，它可用于数据压缩和编码。
在图像处理中，离散傅立叶变换可以用于图像增强、去噪和特征提取。它是 许多图像处理算法的核心。
总结
离散傅立叶变换具有优点和缺点。它可以帮助我们从频域角度理解信号，但 在处理大型数据时可能存在计算复杂度的问题。
离散傅立叶变换在信号处理、数据压缩和图像处理等领域有着广阔的应用前 景。
未来的研究方向包括改进傅立叶变换的计算速度和精度，以及在深度学习和 人工智能领域中的应用。
离散傅立叶变换介绍
离散傅立叶变换是对离散时间序列进行傅立叶变换的方法。它将离散信号从 时域转换到频域，以便进一步分析和处理。
离散傅立叶变换的步骤包括取样、加权、求和和逆变换。它是时域离散信号 处理的重要工具。
使用离散傅立叶变换，可以从时域表示中提取频域特征，帮助我们理解和处 理各种类型的信号。
离散傅立叶变换算法
《离散傅立叶变换》PPT课件
本课件介绍了离散傅立叶变换的概念、算法和应用领域，帮助大家深入了解 这一重要的数学工具。
前言
傅立叶变换是一种将时域函数转换为频域函数的数学工具。它的作用是分析 信号的频谱特性和处理信号。
傅立叶变换以法国数学家傅立叶的名字命名，被广泛应用于信号处理、数据 压缩
傅立叶变换的复杂度取决于信号长度，使用快速傅立叶变换可以加快计算速 度，提高效率。
应用
离散傅立叶变换在各个领域有广泛的应用，其中包括信号处理、数据压缩和 图像处理。
在信号处理中，离散傅立叶变换用于滤波、频谱分析和模式识别。在数据压 缩中，它可用于数据压缩和编码。
在图像处理中，离散傅立叶变换可以用于图像增强、去噪和特征提取。它是 许多图像处理算法的核心。
总结
离散傅立叶变换具有优点和缺点。它可以帮助我们从频域角度理解信号，但 在处理大型数据时可能存在计算复杂度的问题。
离散傅立叶变换在信号处理、数据压缩和图像处理等领域有着广阔的应用前 景。
未来的研究方向包括改进傅立叶变换的计算速度和精度，以及在深度学习和 人工智能领域中的应用。
离散傅立叶变换介绍
离散傅立叶变换是对离散时间序列进行傅立叶变换的方法。它将离散信号从 时域转换到频域，以便进一步分析和处理。
离散傅立叶变换的步骤包括取样、加权、求和和逆变换。它是时域离散信号 处理的重要工具。
使用离散傅立叶变换，可以从时域表示中提取频域特征，帮助我们理解和处 理各种类型的信号。
离散傅立叶变换算法
《离散傅立叶变换》PPT课件
本课件介绍了离散傅立叶变换的概念、算法和应用领域，帮助大家深入了解 这一重要的数学工具。
前言
傅立叶变换是一种将时域函数转换为频域函数的数学工具。它的作用是分析 信号的频谱特性和处理信号。
傅立叶变换以法国数学家傅立叶的名字命名，被广泛应用于信号处理、数据 压缩
002-信号的傅里叶分析 81页PPT
20Hz
叠加后得到
80Hz
120Hz
20Hz
80Hz 120Hz
北京科技大学 机械工程学院
17/ 80
周期信号的频谱特性
离散性：每条谱线代表一个频率分量 谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上 收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小
对于复杂周期信号： 周期的确定根据各频率值的最大公约数的倒数来确定
t0T x(t)dt
t0
工程中的信号都满足上述条件
北京科技大学 机械工程学院
7/ 80
周期信号的傅里叶级数—举例
例：周期性三角波的傅里叶级数
x(t)
A
...
-T0/2 0
T0/2
...
t
A
2A T0
t
(T0 t 0) 2
2A
x(t) A
T0
t
(0 t T0 ) 2
x t Fnejn0t n
周期T内，n次谐波的幅值按下式计算，称为傅里叶系数：
F T x t e dt n
1
0
T0 2
jn0t
T20待分析信号
如何理解傅里叶系数的物理含义？
北京科技大学 机械工程学院
13/ 80
典型周期信号的谱图
频谱的定义：将信号x(t)的傅里叶系数Fn称为信号x(t)的频谱 系数（Spectral Coefficients），简称频谱（Spectrum）。
连续时间周期信号
T
连续时间非周期信号
2 0d
离散频谱
T
连续频谱
傅里叶级数
傅里叶变换
x(t) F(n0)ejn0t n
离散傅里叶变换(DFT)PPT课件
其中：RN(n)为矩形序列。 符号 ((n))N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。 即 n mod N： n M n 1 ,N 0 n 1 N 1
x(n)与 ~x(n) x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40
|X(k)|
arg|X(k)|
12
2
10
8
1
6
0
4
2
-1
-
14
0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响：
理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理， 然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
101510510151015105101563物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分或者说越能体现细节即在频域中描述得比较精确对离散时间信号x比如你的信号中有个5hz10hz102hz20hz25hz等正弦成分他们相邻的最小频率间隔是1021002hz也就是说你需要把10和102hz这两个成分分开即可如果分辨率太高则数据量太长浪费计算时间如果分辨率太低则无法把这两个频率分开所以你可以选择截取的最小时长为t1102105秒
x(n)与 ~x(n) x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40
|X(k)|
arg|X(k)|
12
2
10
8
1
6
0
4
2
-1
-
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0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响：
理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理， 然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
101510510151015105101563物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分或者说越能体现细节即在频域中描述得比较精确对离散时间信号x比如你的信号中有个5hz10hz102hz20hz25hz等正弦成分他们相邻的最小频率间隔是1021002hz也就是说你需要把10和102hz这两个成分分开即可如果分辨率太高则数据量太长浪费计算时间如果分辨率太低则无法把这两个频率分开所以你可以选择截取的最小时长为t1102105秒
数字信号处理之离散傅里叶变换
需要注意的是窗函数设计好加到原序列x[n]后，提高DFT的点数并不能提高频率分辨率。 考虑
x[n] cos(
2 4 n) 0.75cos( n)（ △=0.389），使用L=32和β=5.48（即△ml=0.815， 14 15
Asl=-40dB)的Kaiser窗的情况
32点DFT
64点DFT
128点DFT 可以看出加窗过后提高DFT点数 只是得到较密的傅里叶变换， 但是频谱中并不能分辨出原信 号x[n]的尖峰 1024点DFT
4.离散傅里叶变换在分析非平稳信号的应用—短时离散傅 里叶变换
非平稳信号的定义：信号特性（振幅、频率、相位）随时间变化的信号，如雷达、声呐、语音等等
短时傅里叶变换的做法：用移动窗依次取出信号的一部分，窗内信号的频谱特性可以认为是平稳的，然后对 窗内信号做DFT，得到X[n, k]。这里面涉及3个参数：窗的长度L，平滑移动距离R，DFT点数。
先看一个长度为5的有限长序列x[n]
在x[n]连续频谱0-2π采样10点
对x[n]作N=10的周期延拓
上图周期序列的离散傅里叶级数
现在把这两幅图单独拿出来
x[n]连续频谱在0-2π内采样10个点
将x[n]进行长度为10的周期延拓形 成的周期序列的离散傅里叶级数
细心的你不难发现！！！！
x[n]连续频谱0-2π上10点采样值=将x[n]进行长度10的周期延拓形成周期序列的离散傅里叶级数前10 个值
L=12，R=8
X[n,k]
窗的长度L越长对频率分辨率越高，但是反应信号特性随时间变化的能力减弱，
需要根据实际情况折衷选择。
语音信号实例
语音信号的短时离散傅里叶变换图谱。这个窗比较短（L=108的汉明窗），导致频率 分辨率低，而时域分辨率高
x[n] cos(
2 4 n) 0.75cos( n)（ △=0.389），使用L=32和β=5.48（即△ml=0.815， 14 15
Asl=-40dB)的Kaiser窗的情况
32点DFT
64点DFT
128点DFT 可以看出加窗过后提高DFT点数 只是得到较密的傅里叶变换， 但是频谱中并不能分辨出原信 号x[n]的尖峰 1024点DFT
4.离散傅里叶变换在分析非平稳信号的应用—短时离散傅 里叶变换
非平稳信号的定义：信号特性（振幅、频率、相位）随时间变化的信号，如雷达、声呐、语音等等
短时傅里叶变换的做法：用移动窗依次取出信号的一部分，窗内信号的频谱特性可以认为是平稳的，然后对 窗内信号做DFT，得到X[n, k]。这里面涉及3个参数：窗的长度L，平滑移动距离R，DFT点数。
先看一个长度为5的有限长序列x[n]
在x[n]连续频谱0-2π采样10点
对x[n]作N=10的周期延拓
上图周期序列的离散傅里叶级数
现在把这两幅图单独拿出来
x[n]连续频谱在0-2π内采样10个点
将x[n]进行长度为10的周期延拓形 成的周期序列的离散傅里叶级数
细心的你不难发现！！！！
x[n]连续频谱0-2π上10点采样值=将x[n]进行长度10的周期延拓形成周期序列的离散傅里叶级数前10 个值
L=12，R=8
X[n,k]
窗的长度L越长对频率分辨率越高，但是反应信号特性随时间变化的能力减弱，
需要根据实际情况折衷选择。
语音信号实例
语音信号的短时离散傅里叶变换图谱。这个窗比较短（L=108的汉明窗），导致频率 分辨率低，而时域分辨率高
《傅里叶变换》课件
特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
DSP离散傅里叶变换PPT课件
(kmN )
(2) X(k)隐含的周期性 N(周期为NN)
K,m,N均为整数
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k)
(3) 序列x(n)隐含的周期性( 周n期0 为N)
n0
N 1
(4)当N足够大时，|X(k)|的包络可逼 近|X(ejw)|曲线；
(
5
)
|
X
(
k
)
|
表
示
w
k
=
2
k
/
N
频
点的幅
第7页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.3 DFT的隐含周期性
在DFT变换的定义对中， x(n)与X(k)均为有限长序列。 (1) 旋转因子WknN的周期性(周期为N)
W W , k,m, N k
x(n)WNkn X (k)
n0
x(n+mN)=x(n)
第8页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而 x(n)则是 的一个周期， 即:
~~
x(n) x(n mN )
mm
(3.1.5)
x(n)• • 0 •• •
离散傅里叶变换(DFT) 本章主要内容
• 离散傅里叶变换的定义 • 离散傅里叶变换的基本性质 • 频率域采样 • 离散傅里叶变换的应用举例
第1页/共71页
离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样(时域和频
《傅里叶变换详解》课件
单击添加标题
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
数字信号处理 离散傅里叶变换PPT40页
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
数字信号处理 离散傅里叶变换
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
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v[n]
wk
[n]cos
2π 14
n
0.75wk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[n]
cos
4π 15
n
选择窗参数β = 5.48，对应的相对旁瓣幅度Asl = -40dB
窗的长度L = 64，时间波形为
与加矩形窗的比较
矩形窗 Kaiser窗
DFT幅值
Kaiser窗 矩形窗
两个频率之差：ω1- ω0 = 2π/7.5-2π/14 = 0.389 Kaiser窗的主瓣宽度（β = 5.48，L = 64）Δml = 0.401 两个主瓣（在ω1和 ω0 ）仅有很少的重叠，可以清楚分辨。 若取窗长为L = 32
如：语音信号的频率成分 ----- 发声的物理器官，声腔的谐振（识别 与建模）
机器设备振动信号的频率分析----- 产生各种振动的部件，转 子、轴承、齿轮、箱体的振动与谐振（故障诊断）
Doppler雷达系统的频率分析 ------ 频移表示目标的速度
（3）对信号，信号的分析和特征（提取） 例： 语音信号
X
(e j
)
1 T
r
Xc
j
T
j
2πr T
,
由于实际的连续抗混叠低通滤波器Haa(jΩ)不可能是理想的，上式的 周期叠加中有非零重叠 ----- 混叠
实际中采用：连续抗混叠低通滤波+过采样+数字低通滤波+降采样
无限长 有限长 -------- 截断 加窗 v[n] = w[n]x[n]
窗函数的傅立叶变换
两个频率为 0 (2π / 6) 104, 1 (2π / 3) 104 的傅立叶变换幅度
两个频率为 0 (2π / 14) 104, 1 (4π / 15) 104 的傅立叶变换幅度
两个频率为 0 (2π / 14) 104, 1 (2π / 12) 104 的傅立叶变换幅度
（3）对信号，信号的分析和特征（提取） 例： 语音信号
表现语音的基本物理参数： 基音频率 共振峰频率
语言的特征矢量 Mel频率： 若干个特征频率段能量
DFT ------ 傅立叶变换的实际应用形式 信号分析的基础和核心
讨论在具体实际应用中的一些问题（注意）： （1）离散（时域、频域）在DFT分析中的影响 （2）实际的无限长信号（时域）的截断（加窗） （3）采样频率、信号长度、频域分辨率等参数选取 （4） 泄露误差、补零效应
m
Y (ej ) H (ej ) X (ej )
（2）对系统，系统特性的表征和分析
例：系统的频率响应
H (e j ) h[n]e jn
n
表示系统对不同频率信号的响应（输出）
（3）对信号，信号的分析和特征（提取）
信号的傅立叶分析 ------ 信号的频谱分析，分析信号中的频率成分 信号中的频率成分 ------ 直接与信号的实际物理参数相关
两个频率为 0 (2π / 14) 104, 1 (4π / 25) 104 的傅立叶变换幅度
1
2π 12.5
加窗前序列 x[n] A0 cos(0n 0 ) A1 cos(1n 1), n
X (e j ) -------- 在频率± ω0和± ω1处的脉冲（单一频率）
0.75
cos
2π 8
n
,
0.
窗仍为长度为64的矩形窗
0 n 63, 其它n
不同：正弦信号的频率与DFT的频率（谱线频率k）完全重合
即， ω1 = 2π/8 = 2π8/64 k = 8 ω0 = 2π/16 = 2π4/64 k = 4
谱采样的假象 即除谱峰外，其 它频率点均在零 点上，而非零值 只是没有采到而 已。 也称为栅栏效应
亦即，相邻k之间的频率间隔为10Hz ------ 称 频率分辨率 ΔΩ，Δf
问DFT的样本数N为多少？即，v[n]的长度 = x[n]截取的长度 ΔΩ = Ωk – Ωk-1 = 2π/NT ≤ 2π(10)
有 N ≥ 500
取N = 512 ----- Δf = 9.77Hz
考虑：采样频率、数据长度、频率分辨率之间的关系 （在不产生混叠情况下）
在频域表示卷积
V (ej ) 1 π X (e j )W (e j( ) )d
2 π
矩形窗截断的频域表示，时域加窗的频域效应----- 平滑（卷积效应） 加窗序列v[n] = w[n]x[n]的DFT表示：
N 1
V [k ] v[n]e j(2π/N)kn ,
n0
2
2
A1 w[n]e j1e j1n A1 w[n]e j1e j1n
2
2
由频移特性，得加窗序列的傅立叶变换
V (e j ) A0 e W j0 (e j(0 ) ) A0 e W j0 (e j(0 ) )
2
2
A1 e W j1 (e j(1) ) A1 e W j1 (e j(1) )
分辨率 窗函数W(ejω)的主瓣宽度 窗的长度L 泄漏 窗函数W(ejω)的主瓣和旁瓣的相对幅度 窗的形状
矩形窗
Wr (e j )
L1
e jn
n0
e j( L1)/2
sin[L / 2] sin( / 2)
主瓣最窄，但旁瓣幅度最大
Kaiser窗
wk
[n]
2
2
表示：在频率± ω0和± ω1处窗函数的傅立叶变换
例10.3 加窗对正弦信号傅立叶分析的影响 采样频率 fs = 1/T = 10 kHz，矩形窗w[n]长度为64 两个正弦信号的幅度和相位为
A0 = 1, A1= 0.75; θ0 = θ1 = 0 为了说明基本特性，有意只给出傅立叶变换的幅度
k 0,1,..., N 1
与序列的傅立叶变换V(ejω)之间的关系（窗长 = DFT长度）：
V[k] V (ej ) 2πk/N
必须清楚两个关系问题：
（1）Xc(jΩ)，X(ejω)，V(ejω)，V[k]之间的关系 （2）频率变量Ω，ω，k之间的关系
第一个问题其实：时域离散、时域加窗、频域离散
第十章 利用离散傅立叶变换 的信号傅立叶分析
Fourier Analysis of Signals Using the Discrete Fourier Transform
10.0 引言
傅立叶变换应用的三个主要方面：
（1）在理论上，作为一个数学工具
例
y[n] h[n] x[n] h[m]x[n m]
I0[
(1
[(n I0
) ( )
/
]2
)1/ 2
]
,
0 n L1
0,
其它
参数β和L可以调整主瓣宽度与旁瓣幅度
基本特性：相对旁瓣幅度与窗长无关，只取决于β
定义：主瓣幅度与最大旁瓣幅度之比（dB）= Asl 有
0.0,
0.76609( Asl 13.26)0.4 0.09834( Asl 13.26),
0.12438( Asl 6.3),
Asl 13.26, 13.26 Asl 60, 60 A 120.
主瓣宽度与窗的长度成反比，主瓣宽度、相对旁瓣幅度和窗长之间
的近似关系：
L
24π( Asl 12) 1 155ml
10.2.2 谱采样的影响
V[k] V (ej ) 2πk/N
第二个问题：
Ω与ω ------ ω = ΩT
------ 频率归一化
ω与k ------ ω = (2π/N)k
Ω与k ------
k
2πk NT
------ 频率离散化 ------ 离散频率与原连续频率
例10.1 利用DFT作傅立叶分析 连续带限信号：xc(t), 其傅立叶变换Xc(jΩ) = 0，当| Ω | ≥ 2π（2500） 假定Haa(jΩ)理想，采样频率为1/T = 5000样本每秒（即fs = 5000Hz） 要求V[k] 等于Xc(jΩ) 的样本，且相邻样本间隔最多为2π（10）
x[n] A0 cos(0n 0 ) A1 cos(1n 1),
式中ω0 = Ω0T，ω1 = Ω1T 加窗后的序列
n
v[n] A0w[n]cos(0n 0 ) A1w[n]cos(1n 1), n
用复指数表示
v[n] A0 w[n]e j0e j0n A0 w[n]e j0e j0n
注意近似表示的含义
10.2 正弦信号的DFT分析
讨论加窗截断的影响，泄漏、栅栏效应等误差
10.2.1 加窗的影响
两个不同频率的连续正弦信号之和
sc (t) A0 cos(0t 0 ) A1 cos(1t 1), t 假定理想采样，没有混叠，得到的离散时间信号
10.1 用DFT的信号傅立叶分析
回顾连续时间信号的离散傅立叶分析的处理步骤：
w[n]------ 截断用的窗函数 V[k] sc(t) ? 即：分析sc(t) ，xc(t), x[n], v[n], w[n]之间的关系
以及它们各自的傅里叶变换之间的关系
相应的频域表示：
滤波后的连续信号与离散后的序列，频域的关系：
加窗后序列 v[n] A0w[n]cos(0n 0 ) A1w[n]cos(1n 1), n
V (ej ) ---------在频率± ω0和± ω1处窗函数的傅立叶变换