电路分析第十一章习题解答

(ωM ) 2 & =0 → ∞ ，于是 I 副边回路处于谐振状态，则次级反映到初级的反映阻抗为 1 Z 22
+
& I 1
Z11
& U 1
−
(ωM ) 2
Z 22
图 11-31
& = 0,∴U & = 10∠0 。 由图 11-31 知，Q I （电阻 R1 上无电压） 1 1
o
& =Z I & & & 而U 1 2 1 + j8 I 2 = 0 + j8 I 2
& = ∴I 2 & 10∠0o U 1 = = − j1.25A j8 j8
o
& = −Z ⋅ I & = −(− j 32) ⋅ (− j1.25) = j 32 ⋅ (− j1.25) = 40∠0 V 则U 2 4 2
解法二： 直接列出原、副边（或初、次级）回路方程：
& + jω M ⋅ I & = 10∠0 o 对原边，有 ( Z 1 + Z 2 ) I 1 2
= 2∠0 o × j 5 × 1 = 10 j = 10∠90 o V
& = ∴I 1
& 10∠90o U 1 = = 10∠180o A o Z1 ∠ − 90
& =I & +I & = 10∠180o + 2∠0o = −10 + 2 = −8∠0o A ∴I 0 1 2
负号表示与图示参考方向相反。
& + jωM ⋅ I & =0 对副边，有 ( Z 3 + Z 4 ) I 2 1
将各数值代入后可得：
& + j8 ⋅ I & = 10∠0 o ⎧ ⎪(1 + j 2) ⋅ I 1 2 ⎨ & & ⎪ ⎩( j 32 − j 32) I 2 + j8 ⋅ I 1 = 0
解得 ⎨
& = 0A ⎧I ⎪ 1 & ⎪ ⎩ I 2 = − j1.25A
R1
+ & U
s
jωLeq
& I
R2
−
图 11-22 由于耦合电感两线圈是反串，因此其等效电感为：
Leq = L1 + L2 − 2M = 1 + 2 − 2 × 0.5 = 2H
电路总阻抗为： Z = ( R1 + R2 ) + jωLeq = 2000 + j 400 × 3.14
= 2361.68∠32.15 o
∴ is = 8 2 cos 5tA
11-6．图 11-28 电路中，L=3H，M=1H，试求等值电感 Lab。
a
L M L
L L M
b
Lab
图 11-28
解：图 11-28 的去耦等效电路如图 11-29 所示。从端子 a, b 看进去的等效电感
a
L+M
−M
L
+M
L+M
L−M L−M
b
Lab
图 11-29
& I 1
1
j8 + & U -j32
10∠0° V
j2
j32
2
-
图 11-30 解：提示：对于空芯变压器电路，一般可采用原、副边等效电路来简化计算，有时可用去耦等 效法，对于很简单的电路，直接列写出电路的回路方程也简便。 解法一：原电路的原边等效电路如图 11-31 所示，由于 Z 22 = Z 3 + Z 4 = j 32 − j 32 = 0 ，说明
−
Z1
jω ( L1 + M ) Z 2
Z 4 jω ( L2 + M )
& I s
& I 1
& I 3
& U oc
− jωL
Z3
+
图 11-27
本题考察 L2 端开路时的情形。当 L2 端开路时，图 11-26 的去耦后的等效相量模型如图 11-27，
& 全部加在 Z ，这样， I & =I & 。 其中 Z 4 没有电流通过。 U oc 3 2 3 Qk =
j 300 & = jω L1 ⋅ U &= ⋅ 220∠0o = 182.83∠4.02o V U L1 200 + j 300 Z
线圈 L2 的分压为：
& = jω L2 ⋅ U & = j1000 ⋅ 220∠0o = 609.43∠4.02o V U L2 200 + j 300 Z
11-4．图 11-24 电路中，已知：R1=50Ω，L1=70 mH，L2=25 mH，C=1μF ，M=25 mH，电源电压 4 U=500V，ω=10 rad/s。试求各支路电流相量。
= j 450Ω
Z 3 = jωL2 − jωM = j × 10 4 × 25 × 10 −3 − j × 10 4 × 25 × 10 −3 = 0 Z 4 = jωM = j × 10 4 × 25 × 10 −3 = j 250Ω
Z5 = − j 1 1 =−j 4 = − j100Ω ωC 10 × 1 × 10 −6
M L1 L2 ∴ M = k L1 L2 = 0.5 2 ⋅ 1 × 2 = 0.5
& U 5∠ − 90o oc & = = j 2∠ − 90o = 2∠0o A Q I3 = Z 3 − j 5 × 0.5 & =I & = 2∠0o A ∴I
2 3
& =U & =I & ⋅ (Z + Z ) = I & ⋅ [ jω ( L + M ) − jωM ] Q 加在 Z 2 , Z 3 两端电压 U 23 1 2 2 3 2 1
s
jωM = j 0.05Ω
& 和I & 。 采用网孔法，网孔电流标为 I 1 2
& = 1∠ − 90o = − jA ， U & = 1∠0o = 1V I 1 s
（1）网孔 2 的方程为：
& =U & + jωMI & j 0.1 ⋅ I 2 s 1
∴ I2 =

& + jω MI & 1 + j 0.05(− j ) U s 1 = = 10.5∠90o A j 0.1 j 0.1
将 Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 , Z 5 代入上面网孔方程，解得
o & = 500∠0 = 1.104∠ − 83.66o A I m1 50 + j 450 & =0 I m2
所求各支路电流为
& =I & = 1.104∠ − 83.66o A I 1 m1 & =I & −I & =I & −0 = I & = 1.104∠ − 83.66o A I 2 m1 m2 m1 m1 & =I & =0 I 3 m2
解法二：对原图的等效相量模型直接写出 KCL 和 KVL 方程，有
& = (Z + Z ) ⋅ I & +Z ⋅I & ⎧U 1 2 1 3 2 ⎪ & = (Z + Z ) ⋅ I & ⎨Z 3 ⋅ I 2 4 5 3 ⎪& & & ⎩I1 = I 2 + I 3
解得
& =I & = 1.104∠ − 83.66o A ⎧ ⎪I 1 2 ⎨& ⎪ ⎩ I3 = 0
第十一章习题解答
11-1．图 11-19 所示耦合电感，L1=4H、L2=3H、M=2H，若 i1 = 5 cos 6t A ， i2 = 3 cos 6t A ，求 u 2。
i1 1 + u1 L1
M
2 i2 + L2 u2
1'
图 11-19 解：画出耦合电感的相量模型如图 11-20 所示
2'
jωM
+
& I
R1
L1
R2 M
L2
& U
图 11-23 解：由于两个线圈是反串，故等效电感为
Leq = L1 + L2 − 2M = 3 + 10 − 2 × 5 = 3H
电路总阻抗为： Z = ( R1 + R2 ) + jωLeq = 200 + j ⋅ 100 ⋅ 3. = 200 + j 300 线圈 L1 的分压为：
& & & ⎧ ⎪( Z 2 + Z 2 + Z 3 ) I m1 − Z 3 ⋅ I m2 = U ⎨ & & ⎪ ⎩− Z 3 ⋅ I m1 + ( Z 4 + Z 5 ) ⋅ I m2 = 0
Q Z 1 = R1 = 50Ω
Z 2 = jωL1 − jωM = j × 10 4 70 × 10 −3 − j × 10 4 × 25 × 10 −3
Lab = ( L + M ) + ( L + M ) //[ L + ( L − M ) //( L − M )]
= Z + M − (3 + 1) //[3 + 2 // 2] = 3 + 1 + 4 // 4 = 3 +1+ 2 = 6H
& 和输出电压 U & ，各阻抗值的单位为Ω。 11-7．求图 11-30 电路中的输入电流 I 1 2
R1
+
L1 M L2 C
& U
图 11-24 解法一：
+
& U
−
& I 1
R1 Z1
jωL1 − jωM
Z2
jωM
Z3
Z4
& I m1
jωL2 − jωM
& I 2
& I m2
Z5
−j
& I 3
1 ωC
图 11-25 由于耦合电感线圈是同侧相连，将其去耦后，等效相量模型如图 11-25 所示，列出网孔方程为
o
& = −Z ⋅ I & = −(− j 32) × (− j1.25)V = 40∠0 V 故 U 2 4 2
11-8．图 11-32 电路中 is = sin t A ， u s = cos t V ，试求每一元件的电压和电流。
图 11-32 解：
a
& I s
&+ − jωMI 2
j 0.1Ω
& = − jω MI & + j 0.1I & = [− j 0.05(− j10.5) + j 0.1⋅ (− j )]V QU ab 2 1
= (−0.525 + 0.1)V = −0.425V ∴ uab = −0.425cos tV
（6）左侧电感电流即 is = sin tA
& +U & = (−0.425 + 1)V = 0.575V （7）Q 电流源电压相量 = U ab s ∴ 电流源电压 = 0.575cos tV & −I & = [− j10.5 − (− j )] = − j 9.5 = 9.5∠ − 90 A （8）Q 电压源电流相量 = I 2 1
&+ − jωMI 1
j 0.1Ω
c
& I 1
b
+
& I 2
& U s
−
图 11-33 图 11-32 的等效相量模型如图 11-33 所示。为强调互感电压的存在，将互感电压用电流控制电 压源表示。受控源的参考方向与电流的参考方向一致。为方便，本题采用最大值相量模型表示，并 省去下标 m 。由已知条件知： ω = 1 rad
o
∴ 电压源电流 = 9.5cos(t − 90o )A
11-9．同轴电缆的外导体与内导体之间总存在一些互感，如图 11-34 所示电缆用来传送 1MHz 信号到负载 RL，试计算耦合系数 k 为 0.75 和 1 时传送给负载的功率。
即为右侧电感电流。 （2）右侧电感电压：
& = j 0.1I & − jω MI & = j 0.1× 10.5∠ − 90o − j 0.05 ⋅ (− j ) = 1.05 − 0.05 = 1V U bc 2 1
∴ ubc = cos tV
由原图也可很容易看出： ubc = us = cos tV （3）左侧电感电压：
11-2 ． 电 路 如 图 11-21 所 示 ， 已 知 L1=1H 、 L2=2H 、 M=0.5H 、 R1=R2=1k Ω ， 正 弦 电 压 源
u s = 100 2 cos 200 πt V ，试求电流 i 以及耦合系数 k。
M R1 us L1 i L2 R2
图 11-21
解： 电路的相量模型如图 11-22 所示，
于是
& U 100∠0o S & I= = = 0.0423∠ − 32.15o A = 42.3∠ − 32.15o mA o 2361.68∠32.15 Z
பைடு நூலகம்
即
i = 59.81cos(200π t − 32.15o )mA
k= M L1 L2 = 0.5 1× 2 = 0.3536
耦合系数
L1=3H， L2=10H， 11-3． 两个耦合线圈串联如图 11-23 所示。 已知两个线圈的参数为： R1=R2=100Ω， M=5H，电源的电压 U=220V，ω=100 rad/s。试求两个线圈的端电压相量。
11-5． 含有耦合电感的正弦稳态电路如图 11-26 所示， 已知 u oc = 5 2 cos(5t − 90 ) V ， L1=1H，
o
L2=2H， k = 0.5 / 2 ，C=1/5 F，试求 is。
is C L1 k L2 uoc +
图 11-26 解：
& I 0
−j 1 ωC
& I 2
& I 1 & U 1
& I 2
jωL1
jωL2
& U 2
图 11-20
& = jω L I & & QU 2 2 2 + jωMI 1 = j ⋅6⋅3⋅ 3 2 ∠0 o + j ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅
o
5 2
∠0 o
= j ⋅ 57 2 = 57 2∠90 ∴ u 2 = 114 cos(6t + 90 o )