天大2008年运筹学硕士研究生入学考试试题答案

max z � CX 三、 （20 分） 、 考虑某生产计划优化的 线性规划问题�� � � AX � b s.t.� � X �0
解： （1）互补松弛性。在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束 条件 的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格 不等式，则其对应的对偶变量一定为零。也即
解: 设xij (i � 1, �, 4；j � 1, �, 4 � i � 1)为第个i月初签订的租借期限
c j 表示每100m 2仓库面积租期为个j月的租借费。则问题的线性规划为： � k 4�i �1 ( k � 1, 2,3, 4) �� � xij � rk s.t. � i �1 j �k �i �1 � x � 0 (i � 1, �, 4; j � 1, �, 4 � i � 1) � ij
杰森估计修理车身需要的零件将花费 3000 美元，修理引擎需要的零件将花 费 5000 美元。目前她指出的劳动力需用为 400 美元/天。
（1）画出该项目的网络图，基于三时估计法，求出其期望完成时间； （2）假定总的修理费用是劳动力的费用加上零件费用，如果杰森是通过投标拿 到这份工作， 并且投标的报价是期望完成时间相应的费用， 那么他会亏本的可能 性是多少？ （3）如果杰森是花了 16800 美元拿到的这份工作，他亏本的可能性是多少？
C、由 � 3至 � 2 的运输量增加1 单位，可使总运费增加2
答案：B 2、线性规划模型中，若某一变量的目标函数系数发生变化，以下结果中不可能 出现的 是（ ） 。 A、可行域改变 B、最优基不变，目标函数值也不改变 C、最优基不变，目标函数值改变 D、可行域不改变 答案：A 3、某人收益为 x 的效用为 u(x)，若 u(x) 对 x 边际递减，则他对风险的态度是 （ ） A、风险中立 B、厌恶风险 C、追求风险 D、无法确定 答案：B 4、下图中 1 号节点表示某有线电视台，2-7 号节点表示几个居民小区，虚线表示 有线台与小区之间或不同小区间可以架设传输电视信号的电缆， 虚线旁的数字为 架设这段电缆的费用， 现需确定一使各居民小区都能收到电视信号且总费用最少 的架设电缆的方案。 该问题可以看作一个（ ） 。 A、最小费用流问题 B、最小支撑树问题 C、最大流问题 D、最 短路问题 ② 9 9 ① 5 ③ 7 ④ 3 4 8 4 ⑥ 2 3 ⑦ 6 ⑤
0� x2 �3 0� x2 �3 0� x2 �3
� max �0.82 � 0.97, 0.85 � 0.95, 0.90 � 0.92, 0.93 � 0.90� � max �0.7954, 0.8075, 0.828, 0.837�
� 最优决策为x2 � 3.
五（30 分） 、1985 年由德欧·杰森创立的保时捷商店，专门修理老式的保时捷 汽车。 杰森的一位来顾客要求他给出一份修理一辆 1964 年出产的 356SC 型保时捷车的 时间和 价格估计。为此，杰森将修理过程分成了 4 个部分；拆卸和初始准备工作（A） 、 车身的 修理（B） 、引擎的修理（C） 、最后的组装（D） 。A 部分完成之后，B 部分和 C 部分就可以分别同时进行， 而 D 部分只有在 B 部分和 C 部分完成之后才能开始。 基于他对汽车的观察，杰森认为以下（表 4）对于完成时间（天）的估计是适用 的。 表4 活动 A B C D 最乐观时间 3 5 2 4 最可能时间 4 8 4 5 最悲观时间 8 11 6 12
(2) (3)
� �vk ( xk , sk ) � f k �1 (sk �1 )� � f k ( sk ) � 0max � xk � sk 基本方程 � � f 4 (s4 ) � 1
当k � 3时 f3 (0) � 0.90, f 3 (1) � 0.92, f3 (2) � 0.95, f3 (3) � 0.97, f 3 (4) � 0.98, f 3 (5) � 0.99 f 2 (3) � max �r2 ( x2 ) � f 3 (3 � x2 )�
附表 标准正态分布数值表
x 1.80 0.964 1.82 0.966 1.84 0.967 1.86 0.969
z � � � ��x � � � � 1 e 2 dz � � � � 2� � �
2
��x �
1.88 0.970
1.90 0.971
解： （1）
0 0
1
A9/2
9/2
9/2
2
B8
12.5
1
答案：B 5 、 对 于 M/M/1/8/ ∞ 排 队 系 统 ， 若 已 知 稳 态 时 顾 客 平 均 达 到 率 为
答案：B 二、 （22 分） 、某工厂在今后 4 个月内需租用仓库堆放物资。已知各月份所需 仓库面积 如表 1；仓库租用费用随和同期定，期限越长折扣越大，具体数据如表 2。租用 仓库的合 同每月初都可办理，每份合同将具体规定租用面积数和期限。 因此该厂可根据需 要在任 何一个月初办理租用合同，每次可签一份或多份和合同。工厂需决定如何租用可 使总的所 付租用费用最小。请建立此问题的线性规划模型（不解） 。 表1 月份 1 2 3 4 所需仓库面积（百平米） 15 10 20 12 表2 合同租用期限（个月） 1 2 3 4 租用费用（元/百平米） 2800 4500 6000 7300
蓝球 0.7 绿球 0.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
摸球 黑球 0.45 46 6 不摸球
56 6
80 0 0 80 0 0
摸球 24
摸球 黄球 0.55 6 不摸球
16
蓝球 0.2 绿球 0.8
14 不摸球
0
最优策略为：摸第一次，如摸到黄色球时，继续摸第二次，如摸到黑色球时， 继续第二次。 七、 （15 分） 、某工厂有一检修的机件顺序到达间隔时间的分布如表 5，检修 时间的概率分布如表 6。 表5 到达间隔（分钟） 概率 10 0.10 20 0.20 30 0.40 40 0.20 50 0.10 表6 检修时间（分钟） 概率 10 0.10 20 0.30 30 0.40 40 0.20
12.5
4
D6
18.5
18.5
5
C4 3
8.5 0 12.5
期望完成时间为 18.5 天，劳动力费用 7400 美元，总费用 15400 美元。 （2） 关键路径： A � B � D （均值最大） 期望完成时间为 18.5 天=TE 他会亏本的可能性是 50%. （3）
� 8 � 3 � � 11 � 5 � � 12 � 4 � �� � � � � � �� � �� � � 6 � � 6 � � 6 � ( i , j )�D
四、 （23 分） 、一科研组研制的某装置由 3 个部件串联构成，装置的总可靠 度等于每个部件的可靠度相乘。现距交付总体试验还有 5 个工作日，根据分析， 对部件 i 再做 xi 天的调试，可使其可靠 度达到 ri � xi � , 具体数值见表 3 。 表3
Xi R1(x1) R2(x2) R3(x3) 0 0.88 0.82 0.90 1 0.90 0.85 0.92 2 0.92 0.90 0.95 3 0.93 0.93 0.97 4 0.94 0.94 0.98 5 0.95 0.96 0.99 若同一工作日内只能对一个部件进行调试， 那么如何分配这 5 个工作日于各 部件的调试， 使装置的总可靠度最大？ （1）若用动态规划方法解此问题（逆序递推） ，写出以下表达式的具体内容；
六（25 分） 、有一种抽奖活动分两阶段进行。第一阶段，参加者需先付 10 元，然后从含 45%黑球和 55%黄球的纸箱中任摸一球，并决定是否继续第二阶 段。如继续需再付 10 元，根据第一阶段摸到的球的颜色在相同颜色纸箱中再摸 一球。 已知黑色纸箱中含 70%蓝球和 30%绿球， 黄色纸箱中含 20%的蓝球和 80% 绿球。当第二阶段摸到蓝色球时，参加者可得奖 80 元，如摸到的是绿球或不参 加第二阶段活动的均无所得。请画出本问题的决策树并确定参加者的最优策略。 解：
； ①状态变量 Sk（此项也可用语言表述） ②第 1 阶段的状态集合 S1； ③状态转移方程 Sk+1； (2)写出解此问题所用动态规划基本递推方程 （含终端条件） （即 fk(sk)和 f4(s4)） ; * (3)计算第 2 阶段状态为 3 时的最优指标函数 f2(3)及相应的最优决策 x2 (3)。 解： （1） ①状态变量 sk，表示给第 k 个部件分配调试时间时拥有的调试天数， ②决策变量 xk，表给第 k 个部件分配的调试天数， ③状态转移方程： S k �1 � S k � x k
为个j月的合同租借面积（单位 :100m 2） ; ri 表示第个i月所需的仓库面积; min z � �
i �1 4 4 �i �1 j �1
统的有效达到率为 ( A、 �
� , 服务机构的平均服务率 为 � ，系统的状态概率为�i �i � 0， 1， �， 8� ，则稳态情况下，系
). B、� �1 � �8 � C、� �1 � �0 � D、� �i � �8 �
该车间上班时间为 8 点整，12 点以后停止接受检修机件。现工厂需了解检修车 间的 繁忙（空闲）情况。若设今天上班开始时第一个送请检修的机件恰好到达，以后 到达间 隔时间按表 7 中随机数列（a）模拟，检修时间按表 7 中随机数列（b）模拟。试 填充表 7， 模拟车间今天上午的工作情况，并求出车间的空闲时间和上午下班的时刻。 表7 送 请 到达 检修 检 修 随机 数 到 达 间 到 达 开 始 随 机 数 检 修 修 完 空 闲 时 的 机 列（a） 隔（分） 时刻 时刻 列（b） 时间 时刻 间（分） 件 顺 序号 1 8：00 8：00 48 2 28 19 3 75 55 4 46 61 5 97 41 6 13 97 7 37 39 8 97 52 9 86 44 10 89 26
若yi� � 0, 则有� aij x� j � bi ,
� 若� aij x� j � bi , 则有yi � 0 j �1 n j �1 n
将互补松弛性质应用于其对偶问题时可以这样叙述：
� 若x� j � 0, 则有� aij yi � c j , m i �1
� 到充分利用，即� aij x� j � bi , 有互补松弛性质则有yi � 0, 这表明该资源的影子价格 j �1
（2）由互补松弛性质说明：在最优计划下，如果（P）中第 j 种资源没有得
n
若� aij yi� � c j , 则有x� j �0
i �1
m
一定等于零；如果第 i 种产品安排投产了，
m i �1
本，即少生产一件该产品所节省的资源可以增加的价值）一定等于其产值（价格 系数） 。
� 即x� （隐含成 j � 0,由互补松弛性质则有� aij yi � c j , 这表明该产品的机会成本
2 ij
2
2
2
当他在22天以内完成就不会亏本, T � TE 22 � 18.5 即 � � N (0,1) � 1.86339 22 � 18.5 ) � � (1.8782971) � 0.97 �( 1.86339
他会亏本的可能性是 3%.
� 0.6944444 � 1 � 1.7777778 � 1.86339
考试科目名称： 运筹学基础
天津大学招收 2008 年硕士学位研究生入学考试试题
共七题。所有答案必须写在答题纸上，并写清楚题号，答案写在试题上无效。 一、单项选择题（共 15 分，每题 3 分）
考试科目编号： 832
1、一3个发点4个收点的运输问题用表上作业法求解，运算到某一步，空格 � 3 � 2的 检验数为 � 2，则以下论断中正确的是（ A、当前方案是最优运输方案 ）。 B、在当前运输方案下，空格� 3 � 2 对应变量对目标函数的边际贡献为� 2 D、为使总费用更小，应使 � 3至 � 2 的运输量减少 2
�c x
j ij
（1）写出其互补松弛（松紧）性质； （2）由互补松弛性质说明：在最优计划下，如果（P）中第 j 种资源没有得 到充分利用，则该资源的影子价格一定等于零；如果第 i 种产品安排投产了，则 该产品的机会成本 （隐含成本， 即少生产一件该产品所节省的资源可以增加的价 值）一定等于其产值（价格系数） 。