图论经典问题
七桥问题文档
七桥问题简介七桥问题是欧拉于1736年提出的一道经典问题，它被认为是图论和数学中最著名的问题之一。
该问题描述了一个欧拉图中的岛屿，岛屿之间通过桥连接，玩家需要找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。
欧拉通过解决这个问题，为图论奠定了坚实的基础。
图论的研究对于网络、电路、计算机科学等领域都有重要的应用。
本文将介绍七桥问题的背景、欧拉图的定义、问题解决思路以及相关应用。
七桥问题的背景七桥问题源于基尔岛(Königsberg)的一组岛屿和桥。
这组岛屿位于普鲁士河(Pregel River)中，其中一个岛屿是普鲁士城堡(Königsberg Castle)。
岛屿之间有七座桥，人们想知道是否可以从一个起点，经过每座桥且只经过一次，最后回到起点。
欧拉思考了这个问题，并使用了一种崭新的数学方法解决了这个问题。
他的解决方案不仅解决了七桥问题，而且还为图论奠定了基础。
欧拉图的定义在解决七桥问题之前，欧拉提出了一种新的图形表示方法，称为欧拉图。
欧拉图是由顶点(节点)和边(连接两个节点的线)组成的图形。
欧拉图具有以下特点：•图中的每个边都连接两个不同的顶点；•所有的边都被标志为未被访问过。
欧拉图在解决七桥问题中发挥了关键作用。
欧拉通过观察欧拉图的特性，找到了解决七桥问题的方法。
七桥问题的解决思路欧拉通过分析七桥问题，提出了解决此类问题的一般方法。
他的思路包括以下几个步骤：1.将地图抽象为欧拉图：将地图上的岛屿视为顶点，将岛屿之间的桥视为边，建立起欧拉图的模型。
2.确定欧拉圈和欧拉路径：通过分析欧拉图的特性，判断是否存在一条欧拉路径或欧拉圈。
3.判断是否可以遍历每座桥且只经过一次：如果存在欧拉路径，则可以遍历每座桥且只经过一次；如果存在欧拉圈，则可以遍历每座桥且只经过一次，且最终回到起点。
在七桥问题中，欧拉图的模型具有四座岛屿，其中三座岛屿与普鲁士城堡通过桥相连。
通过观察欧拉图的特性，我们可以发现该图不存在欧拉路径或欧拉圈，因此无法找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。
经典图论问题
5经典图论问题5.1 一笔画问题一笔画算法即是从起点a开始选择关联边（第一这条边不是往回倒，第二这条边在前面延伸路上没有出现过）向前延伸，如果到达终点b，得到a—b迹，判断路上的的边数是否为图的总边数，是就终止，否则选择迹上某个关联边没有用完的顶点v，用同样方式再搜索v—v的闭迹，添加到a—b迹上，即得到a—v---v—b迹，如果这个迹的边数还没有达到总边数，则再选择迹上某个关联边没有用完的顶点。
逐步扩展即可。
二、弗罗莱（Fleury ）算法任取v 0∈V(G)，令P 0=v 0；设P i =v 0e 1v 1e 2…e i v i 已经行遍，按下面方法从中选取e i+1： （a ）e i+1与v i 相关联；（b ）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i =G-{e 1,e 2, …, e i }中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；（c ）当（b ）不能再进行时，算法停止。
5.2 中国邮递员问题（CPP ）规划模型：设ij x 为经过边j i v v 的次数，则得如下模型。
∑∈=Ev v ij ijji x z ϖmin∑∑E∈E∈∈=j i i k v v i v v ki ij V v x x ,E ∈∈≤j i ij v v N x ,1..t s5.3旅行推销员问题（TSP，货郎担问题）（NPC问题）定义：包含图G的所有定点的路（圈）称为哈密顿路（圈），含有哈密顿圈得图称为哈密顿图。
分析：从一个哈密顿圈出发，算法一：（哈密顿圈的充要条件：一包含所有顶点的连通子图，二每个顶点度数为2）象求最小生成树一样，从最小权边加边，顶点度数大于3以及形成小回路的边去掉。
算法二：算法三：示例：设旅行推销员的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01086100111281101565150规划模型：先将一般加权连通图转化成一个等价的加权完全图，设当从i v 到j v 时，1=ij x ，否则，0=ij x ，则得如下模型。
经典图论问题
5经典图论问题5.1 一笔画问题5.2 中国邮递员问题（CPP）规划模型：设ij x 为经过边j i v v 的次数，则得如下模型。
∑E∈ji v v ijijxw max∑∑E∈E∈∈=j i i k v v i v v ki ij V v x x ,E ∈∈≤j i ij v v N x ,15.3 旅行推销员问题（TSP ）分析：算法一：象求最小生成树一样，从最小权边加边，顶点度数大于3以及形成小回路的边去掉。
算法二：算法三：规划模型：先将一般加权连通图转化成一个等价的加权完全图，设当从i v 到j v 时，1 ij x ，否则，0=ij x ，则得如下模型。
∑∑==n i nj ijij xw 11min∑===nj ijn i x1,,1,1∑===ni ijn j x1,,1,1 1,,2-=n kn i i k x x x k i i i i i i k 1,,,1113221=-≤+++ 0=ij x 或1，j i n j i ≠=,,,1,5.4 排课表问题 问题一定理：最小边色数()G χ'等于最大顶点度数()G ∆。
以下加边循环算法为多项式时间算法：就是加边让每个顶点的度数一样（为最大度数），然后求一组完美匹配M ，着同样颜色，然后从图中去掉M 中的边,再求第二组完美匹配。
问题二：基本思想是：由给定的教室数与总课时数确定教学时间长度（即匹配数--色数），在没有考虑教室数限制所计算的匹配数基础上，增加空匹配至时间长度个，然后调节匹配边差大于1的匹配，直到满足要求。
斯坦纳树解法-概述说明以及解释
斯坦纳树解法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章的开篇部分，用于介绍主题和问题背景。
下面是一个示例：概述斯坦纳树（Steiner Tree）是图论中的一个经典问题，旨在找到一个具有最小总权重的联通子图，以连接给定一组节点。
斯坦纳树问题在实际生活中有着广泛的应用，例如通信网络设计、电力系统规划和生物信息学等领域。
本文将详细介绍斯坦纳树的概念、应用领域以及解法的基本原理。
首先，我们将给出斯坦纳树的定义和问题描述，以便读者对该问题有一个清晰的认识。
然后，我们将探讨斯坦纳树在不同领域中的应用，以展示它在实际问题中的重要性。
接下来，我们将介绍一些经典的斯坦纳树解法，包括近似算法和精确算法，并详细讨论它们的基本原理和优缺点。
通过本文的阅读，读者将能够了解斯坦纳树问题的背景和意义，掌握不同领域中的应用案例，并对斯坦纳树解法的基本原理有一定的了解。
此外，我们还将对斯坦纳树解法的优点和局限性进行讨论，并展望未来在这一领域的发展方向。
接下来，在第二节中，我们将开始具体介绍斯坦纳树的概念和应用领域。
1.2 文章结构【文章结构】本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
下面将对每个部分进行详细介绍。
1. 引言引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面的内容。
在概述部分，将简要介绍斯坦纳树解法的背景和重要性。
2. 正文正文部分是文章的核心部分，主要包括斯坦纳树的概念、应用领域和解法的基本原理三个方面的内容。
2.1 斯坦纳树的概念在本小节中，将详细解释什么是斯坦纳树，斯坦纳树的定义和特点。
2.2 斯坦纳树的应用领域本小节将介绍斯坦纳树的应用领域，包括网络通信、电力系统、交通规划等方面的应用案例。
2.3 斯坦纳树解法的基本原理在本小节中，将详细介绍斯坦纳树解法的基本原理和算法，包括构建斯坦纳树的思路和具体步骤。
同时，可以提及一些经典的斯坦纳树解法算法和优化方法。
3. 结论结论部分对斯坦纳树解法的优点和局限性进行总结，并对未来的发展方向进行展望。
图论习题二答案
图论习题二答案图论习题二答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，有很多经典的习题可以帮助我们更好地理解和应用图的概念。
本文将探讨一些图论习题二的答案，帮助读者更好地理解和掌握图论的知识。
1. 习题：给定一个无向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5,6}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}，求图G的邻接矩阵和关联矩阵。
答案：邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的顶点数。
对于无向图G，邻接矩阵的元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否存在边。
如果存在边，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。
对于给定的图G，邻接矩阵为：0 1 1 0 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 00 1 1 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的顶点数，m是图的边数。
对于无向图G，关联矩阵的元素b[i][j]表示顶点i和边j之间的关系。
如果顶点i是边j 的起点，则b[i][j]=-1；如果顶点i是边j的终点，则b[i][j]=1；否则b[i][j]=0。
对于给定的图G，关联矩阵为：-1 -1 0 0 0 01 0 -1 -1 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 -1 -10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 12. 习题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(5,4)}，求图G的邻接表和深度优先搜索遍历结果。
答案：邻接表是一种图的表示方法，用于存储图中每个顶点的邻接顶点。
对于有向图G，邻接表中的每个元素表示该顶点的出边。
对于给定的图G，邻接表为：1: 2, 32: 3, 43: 44: 15: 4深度优先搜索（DFS）是一种图的遍历算法，用于遍历图中的所有顶点。
图论探索之挑战奥数中的图论问题
图论探索之挑战奥数中的图论问题图论探索之挑战奥数中的图论问题图论是数学的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在奥数竞赛中，图论问题常常被用来考察学生的逻辑推理和问题解决能力。
本文将介绍一些挑战奥数中常见的图论问题，并通过具体案例来解析。
1. 马踏棋盘问题马踏棋盘问题是一个经典的图论问题，要求马在棋盘上按照规定的移动方式遍历所有格子，且每个格子仅经过一次。
这个问题可以使用图的深度优先搜索来解决。
以8×8的棋盘为例，我们可以将每个格子看作图中的一个顶点，把马的移动看作图中的边。
通过搜索算法，可以找到一条路径，使得马可以遍历所有的格子。
2. 平面图的染色问题染色问题是图论中一个经典的问题，常被用来考察学生对图的颜色分配和连通性的理解。
平面图的染色问题要求给定的平面图在没有相邻顶点之间有相同颜色的情况下，尽可能使用最少的颜色进行染色。
通过贪心算法，可以解决平面图的染色问题。
贪心算法的基本思想是从一个初始解开始，每次选择可行的局部最优解，最终得到全局最优解。
对于平面图的染色问题，我们可以从一个顶点开始，按顺序给相邻的顶点染色，直到所有的顶点都被染色。
3. 电厂选址问题电厂选址问题是一个实际的应用问题，也可以用图论的方法来解决。
在电厂选址问题中，需要确定电厂的位置，使得电厂到各个需求点的距离和最短。
将电厂和需求点看作图中的顶点，电厂和需求点之间的距离看作边的权重。
通过最短路径算法，可以求解电厂选址问题。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以帮助我们找到电厂的最佳位置，以实现最优的供电方案。
4. 旅行商问题旅行商问题是图论中的一个经典问题，要求寻找一条路径，使得旅行商可以经过每个城市一次，并返回起点城市，且总路径长度最短。
旅行商问题是一个NP难问题，目前还没有高效的解法。
常用的解决方法是使用近似算法，例如最邻近算法和最小生成树算法。
这些算法可以找到一个接近最优解的解决方案。
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010*******11100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a , d )}是割边 B ．{(a , d )}是边割集 C ．{(d , e )}是边割集 D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a, e )}是割边B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d , e )}是边割集οο ο ο οca b edο f图一图二图三7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的 应该填写：D8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )．A ．G 连通且边数比结点数少1B ．G 连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割ο οο οc a b f集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点 数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n 2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ． 9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．v 123图六图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形． 3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 4．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra 算法求右图中A 点到其它各点的最短路径。
哈密尔顿环 c算法
哈密尔顿环c算法
哈密尔顿环问题是图论中的一个经典问题，它要求在给定的图中找到一个包含图中所有顶点的环路，这个环路被称为哈密尔顿环。
哈密尔顿环问题是一个NP完全问题，意味着在一般情况下，没有已知的有效算法能够在多项式时间内解决这个问题。
在解决哈密尔顿环问题时，常常会使用 C 语言实现各种算法。
下面是一些常见的用于解决哈密尔顿环问题的算法：
一、回溯法：这是最常用的解决哈密尔顿环问题的方法之一。
回溯法通过尝试所有可能的顶点排列顺序，并使用剪枝技术来减少搜索空间，以找到一个哈密尔顿环。
二、分支定界法：这是一种优化的回溯法，通过将搜索空间划分为更小的子空间，并使用剪枝技术来减少搜索空间。
分支定界法通常比简单的回溯法更高效。
三、动态规划：动态规划方法通过将问题划分为子问题，并利用子问题的解来求解原始问题。
然而，在实践中，动态规划方法通常用于解决某些特定类型的图，而不是一般的图。
四、启发式算法：启发式算法通过一系列的规则和启发式方法来搜索哈密尔顿环。
这些算法可能不保证找到最优解，但是在实践中通常能够在较短的时间内找到一个较好的解。
总的来说，解决哈密尔顿环问题的算法通常是复杂的，并且通常需要在给定问题的特定条件下进行调整和优化。
C 算法通常是一种常见的实现方式，用于解决这个问题。
最短路径问题练习题
最短路径问题练习题最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要研究在加权图中找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有广泛的应用，比如导航系统中的路线规划、网络中的数据传输等。
以下是一些关于最短路径问题的练习题，供同学们练习和思考。
练习题1：Dijkstra算法的应用给定一个包含6个顶点的图，顶点编号为1到6，边的权重如下所示：- 1-2: 7- 1-3: 9- 2-3: 14- 2-4: 10- 3-4: 15- 3-5: 6- 4-5: 11- 5-6: 2- 3-6: 20请使用Dijkstra算法找出从顶点1到顶点6的最短路径。
练习题2：Bellman-Ford算法的应用考虑一个包含5个顶点的图，顶点编号为A、B、C、D、E，边的权重如下所示：- A-B: 5- A-C: 3- B-C: 1- B-D: 2- C-E: 8使用Bellman-Ford算法计算从顶点A到顶点E的最短路径。
练习题3：Floyd-Warshall算法的应用给定一个包含4个顶点的图，顶点编号为1、2、3、4，边的权重如下所示：- 1-2: 4- 1-3: 5- 2-3: 3- 2-4: 7- 3-4: 2使用Floyd-Warshall算法计算所有顶点对之间的最短路径。
练习题4：有向图中的最短路径问题在一个有向图中，有5个顶点，编号为1到5，边的权重如下所示：- 1->2: 2- 1->3: 3- 2->3: 1- 2->4: 4- 3->4: 5- 3->5: 2- 4->5: 1找出从顶点1到顶点5的最短路径。
练习题5：负权重边的最短路径问题考虑一个包含4个顶点的图，顶点编号为1、2、3、4，边的权重如下所示：- 1-2: 10- 2-3: -3- 3-4: 1在这种情况下，使用Bellman-Ford算法找出从顶点1到顶点4的最短路径，并讨论负权重边对最短路径算法的影响。
图论经典问题
图 论哥尼斯堡七桥问题：图论发源于18世纪普鲁士的哥尼斯堡。
普雷格河流经这个城市，河中有两个小岛，河上有七座桥，连接两岛及两岸。
如图所示，当时城里居民热衷于讨论这样一个问题：一个人能否走过这七座桥，且每座桥只经过一次，最后仍回到出发点。
将上面问题中的两座小岛以及两岸用点表示，七座桥用线（称为边）表示，得到下图：于是，上述问题也可叙述为：寻找从图中的任意一个点出发，经过所有的边一次且仅一次并回到出发点的路线。
注意：在上面的图中，我们只关心点之间是否有边相连，而不关心点的具体位置，边的形状以及长度。
一、基本概念：图：由若干个点和连接这些点中的某些“点对”的连线所组成的图形。
顶点：上图中的A ，Ｂ，Ｃ，D ．常用表示。
n 21 v , , v , v 边：两点间的连线。
记为（Ａ，Ｂ），（Ｂ，Ｃ）．常用表示。
m 21e , , e , e次：一个点所连的边数。
定点ｖ的次记为d(v)．图的常用记号：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中，}{v V i =，}{e E i =子图：图Ｇ的部分点和部分边构成的图，成为其子图。
路：图Ｇ中的点边交错序列，若每条边都是其前后两点的关联边，则称该点边序列为图Ｇ的一条链。
圈（回路）：一条路中所含边点均不相同，且起点和终点是同一点，则称该路为圈（回路）。
有向图：，其中(,)G N A =12{,,,}k N n n n = 称为的顶点集合，A a 称为G 的弧集合。
G {(,)ij i j }n n ==若，则称为的前驱， 为n 的后继。
(,)ij i j a n n =i n j n j n i 赋权图（网络）：设是一个图，若对G 的每一条边（弧）都赋予一个实数，称为边的权，。
记为。
G (,,)G N E W =两个结论：１、图中所有顶点度数之和等于边数的二倍； ２、图中奇点个数必为偶数。
二、图的计算机存储：1. 关联矩阵简单图：，对应(,)G N E =N E ×阶矩阵()ik B b =10ik i k b ⎧=⎨⎩点与边关联否则简单有向图：，对应(,)G N A =N A ×阶矩阵()ik B b =110ik ik ik a i b a i ⎧⎪=−⎨⎪⎩弧以点为尾弧以点为头否则2. 邻接矩阵简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i j a ⎧=⎨⎩点与点邻接否则简单有向图：，对应(,)G N A =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i ja ⎧=⎨⎩有弧从连向否则5v 34v01010110100101011110101000110111101065432166654321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×v v v v v v A v v v v v v3. 权矩阵：简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =ij ij i j a ω⎧=⎨∞⎩点与点邻接否则123456781234567802130654.5061002907250473080 v v v v v v v v v v v v v v v v 48∞∞∞∞⎡⎤⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞∞⎢⎥⎣⎦三、图的应用：例：如图，用点代表7个村庄，边上的权代表村庄之间的路长，现在要在这7个村庄中布电话线，如何布线，使材料最省？分析：需要将图中的边进行删减，使得最终留下的图仍然连通，并且使总的权值最小。
哈密顿循环
哈密顿循环
《哈密顿循环》是一种图论中的经典问题，旨在找到一条经过每个顶点一次且仅一次的回路。
该问题的名字来源于数学家威廉·哈密顿。
哈密顿循环问题在实际生活中有着广泛的应用，例如：电路设计、旅游路线规划、DNA测序等。
在解决哈密顿循环问题时，有多种算法可供选择，如：蚁群算法、遗传算法、回溯算法等。
其中，回溯算法是最基础和最直观的一种算法，但是在实际应用中，由于其时间复杂度较高，往往需要结合其他算法进行优化。
除了哈密顿循环问题外，还有一种类似的问题叫做哈密顿路径问题，它只要求找到一条经过每个顶点一次且仅一次的路径，而不要求形成回路。
总之，哈密顿循环问题是图论中的一个经典问题，应用广泛，解决它所采用的算法也在不断发展和完善。
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利用图论解决优化问题
利用图论解决优化问题
图论是一种数学领域，研究的对象是图。
图是由节点和边构成的一种数学结构，可以用来描述不同事物之间的关系。
在实际应用中，图论被广泛应用于解决各种优化问题。
一、最短路径问题
最短路径问题是图论中的经典问题之一。
通过图论的方法，可以很容易地找到两个节点之间最短路径的长度。
这在现实生活中经常用于规划交通路线、通讯网络等方面。
二、最小生成树问题
最小生成树问题是指在一个连通加权图中找到一个权值最小的生成树。
利用图论的方法，可以高效解决这个问题，从而在一些应用中节省资源和成本。
三、网络流问题
网络流问题是指在网络中找到从源点到汇点的最大流量。
通过图论中流网络的模型，可以有效地解决网络流问题，这在交通调度、物流运输等领域有着重要的应用。
四、最大匹配问题
最大匹配问题是指在一个二分图中找到最大的匹配数。
图论提供了有效的算法来解决最大匹配问题，这在稳定婚姻问题、任务分配等方面有着广泛应用。
五、旅行商问题
旅行商问题是一个著名的优化问题，即求解访问所有节点一次并回到起点的最短路径。
通过图论的技术，可以找到最优解，帮助旅行商节省时间和成本。
总的来说，图论在解决优化问题方面有着重要的作用。
通过构建合适的图模型，并应用相关算法，可以高效地解决各种优化问题，为现实生活中的决策提供科学依据。
希望未来能有更多的研究和应用将图论与优化问题相结合，为人类社会的发展贡献力量。
图论中的最长路径问题与最短路径问题
图论中的最长路径问题与最短路径问题图论是数学中研究图的理论，其中最长路径问题和最短路径问题是图论中的经典问题。
本文将介绍这两个问题的定义、求解方法以及应用领域。
一、最长路径问题最长路径问题是指在给定的图中寻找一条路径，使得该路径的长度在所有路径中最长。
路径的长度可以根据边或顶点的数量来计算。
解决最长路径问题的方法有多种，其中最常用的是动态规划算法。
动态规划是一种将问题分解为子问题并逐步解决的算法。
在最长路径问题中，动态规划算法通常通过求解顶点的最长路径长度来得到整个图的最长路径。
在应用中，最长路径问题可以用来解决实际生活中的许多问题，例如交通规划、物流路径优化等。
通过找到最长路径，可以使得交通系统更加高效，减少行程时间和成本。
二、最短路径问题最短路径问题是指在给定的图中寻找一条路径，使得该路径的长度在所有路径中最短。
路径的长度可以根据边或顶点的权重来计算。
解决最短路径问题的方法同样有多种，其中最著名的是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是一种贪婪算法，用于解决单源最短路径问题；Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决所有顶点对之间的最短路径问题。
最短路径问题在现实生活中有广泛应用，例如导航系统、网络路由等。
通过找到最短路径，可以计算出最佳的行进方向，使得路程更加迅捷和经济。
三、最长路径问题与最短路径问题的联系与区别最长路径问题和最短路径问题都是求解图中不同路径的问题，但两者在定义和目标上有所不同。
最长路径问题试图找到一条路径，使得其长度最大化，而最短路径问题试图找到一条路径，使得其长度最小化。
最长路径问题通常通过动态规划算法求解，而最短路径问题则可以通过Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法等多种方法解决。
最长路径问题和最短路径问题在应用中也有差异。
最长路径问题主要应用于交通规划、物流路径优化等领域，而最短路径问题则广泛应用于导航系统、网络路由等领域。
七桥问题答案(1)
七桥问题答案七桥问题简介七桥问题是欧拉在1735年提出的一个著名的数学问题，也是图论中的一道经典题目。
这个问题的背景是在普鲁士的一座城市，通过一片河流将城市分为四个岛屿，而七座桥分别连接着这些岛屿和对岸。
问题的关键在于，能否找到一条路径，使得每座桥都恰好走一次，并且最后回到起点。
通过分析这个问题，不仅能够加深对图的理解，还可以学习到图论中一些重要的概念和算法。
解答过程首先，我们需要将七桥问题转化为图的形式。
将每座桥都表示为图中的一条边，岛屿则表示为图中的节点。
根据问题的描述，可以得到一个由四个节点和七条边组成的图。
接下来，我们需要确定能否找到一条路径，使得每座桥都恰好走一次，并且最后回到起点。
通过观察可以发现，如果一个节点的度数为奇数，那么必须有一条边进入该节点，如果一个节点的度数为偶数，那么必须有一条边离开该节点。
因此，只有当图中除了起点和终点的节点的度数都是偶数，或者除了起点和终点的节点有且仅有两个节点的度数是奇数，其余节点的度数都是偶数时，七桥问题才有解。
对于七桥问题的图，可以发现有两个节点的度数是奇数，其余节点的度数都是偶数，因此这个问题是有解的。
然而，实际上，我们可以进一步观察到，如果一个图是连通的，并且除了起点和终点的节点的度数都是偶数，那么只需要找到一个欧拉回路，就能够解决七桥问题。
因为欧拉回路是一条通过所有边恰好一次，并且回到起点的闭合路径。
欧拉回路的寻找接下来，我们介绍一种通过深度优先搜索实现寻找欧拉回路的算法。
这个算法的基本思想是从任意一个节点开始，依次选择一条还未走过的边进行遍历，直到走过所有的边并回到起点。
具体的步骤如下： 1. 从起点开始，任意选择一条边进入一个新的节点； 2. 如果该节点还有其他的未走过的边，则继续选择一条边，进入新的节点，并且标记该边已经走过； 3. 如果该节点没有其他的未走过的边，则退回到上一个节点，并且继续选择下一条未走过的边； 4. 当所有的边都被走过并且回到起点时，就找到了一条欧拉回路。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。
图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。
一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。
给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。
解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。
贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。
二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。
给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。
这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。
解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。
回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。
深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。
三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。
1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。
树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。
2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。
平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。
对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。
四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
最大流问题经典例题
最大流问题经典例题最大流问题是图论中的一个经典问题，其目的是在一个有向图中找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上的流量最大。
最大流问题有多种解法，其中最著名的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp 算法。
下面介绍一个最大流问题的经典例题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
假设有源点s和汇点t，并且每条边都有一个容量c，表示该边最多可以通过的流量。
请找到从源点s到汇点t的最大流量。
解法：一种解法是使用Ford-Fulkerson算法。
该算法通过不断增广路径来寻找最大流，直到无法找到增广路径为止。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条增广路径，即从s到t的一条路径，使得路径上所有边的剩余容量都大于0。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
另一种解法是使用Edmonds-Karp算法。
该算法在Ford-Fulkerson算法的基础上优化了增广路径的选择，选择最短路作为增广路径，从而提高了算法的效率。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条从s到t的最短增广路径，即路径上所有边的剩余容量都大于0，且路径长度最短。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
无论使用哪种算法，最后得到的f即为从源点s到汇点t的最大流量。
五色图
五色图五色图，即五色定理，是图论中的一个重要理论问题。
在给定的平面图中，是否存在一种方案，可以在不重叠的情况下，用至多五种颜色给图中的任意两个相邻的区域进行上色？五色图问题被认为是图论中最为经典的问题之一，也是一种争议性最大的问题之一。
这个问题最早由英国数学家弗朗西斯·格修教授于1852年提出，并在1976年由美国数学家肯尼斯·阿普尔和沃尔夫冈·亨齐尔通过计算机程序证明了五色定理的正确性。
在介绍五色图问题之前，先来简单了解一下图论的基本概念。
在数学中，图论是研究图及其性质的一个分支学科。
图是由结点和边组成的一种数学模型，通常用于描述事物之间的关联以及它们之间的相互关系。
在五色图问题中，给定一个平面图，要求使用至多五种颜色对图中的所有区域进行上色，使得相邻两个区域不出现同色的情况。
其中，相邻的区域是指两个区域之间有且仅有一个公共的边。
如果存在这样的方案，则称该图是可五色的；反之，如果不存在这样的方案，则称该图是不可五色的。
为了解决五色图问题，数学家们进行了大量的研究和探索。
最初，人们尝试使用纸片进行折叠，观察相邻区域的颜色，以此来判断可否五色。
然而，这种方法无法推广到所有情况，因此需要更加严谨的数学证明。
从1852年开始，数学家们陆续提出了一系列关于五色图问题的猜想和证明尝试，但都未能找到一种通用的方法来解决问题。
直到1976年，阿普尔和亨齐尔通过计算机程序，对大量的特殊情况进行了分析和验证，并通过严谨的数学证明，最终证明了五色定理的正确性。
根据五色定理，任何一个平面图都可以用至多五种颜色进行上色。
这个结果对于图论研究具有重要的意义，不仅解决了五色图问题本身，也推动了图论领域的发展。
而阿普尔和亨齐尔的成果，也为他们赢得了1976年度的菲尔兹奖，这是数学界最高的荣誉之一。
虽然五色定理已经被证明是正确的，但实际应用中，我们常常可以使用更少的颜色进行上色。
比如，在地图制作中，使用不同的颜色表示不同的行政区域或其他特定区域；在电路设计中，使用不同的颜色表示不同的线路或功能模块；在地质学研究中，使用不同的颜色表示不同的岩层或地质构造。
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常见问题：1、图论的历史图论以图为研究对象的数学分支。
图论中的图指的是一些点以及连接这些点的线的总体。
通常用点代表事物，用连接两点的线代表事物间的关系。
图论则是研究事物对象在上述表示法中具有的特征与性质的学科。
在自然界和人类社会的实际生活中，用图形来描述和表示某些事物之间的关系既方便又直观。
例如，国家用点表示，有外交关系的国家用线连接代表这两个国家的点，于是世界各国之间的外交关系就被一个图形描述出来了。
另外我们常用工艺流程图来描述某项工程中各工序之间的先后关系，用网络图来描述某通讯系统中各通讯站之间信息传递关系，用开关电路图来描述IC中各元件电路导线连接关系等等。
事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。
由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点之间连接与否最重要，而连接线的曲直长短则无关紧要。
由此经数学抽象产生了图的概念。
研究图的基本概念和性质、图的理论及其应用构成了图论的主要内容。
图论的产生和发展经历了二百多年的历史，大体上可分为三个阶段：第一阶段是从1736年到19世纪中叶。
当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问题。
最有代表性的工作是著名数学家L.Euler于1736年解决的哥尼斯堡七桥问题(Konigsberg Seven Bridges Problem)。
东普鲁士的哥尼斯堡城(现今是俄罗斯的加里宁格勒，在波罗的海南岸）位于普雷格尔(Pregel)河的两岸，河中有一个岛，于是城市被河的分支和岛分成了四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。
如同德国其他城市的居民一样，该城的居民喜欢在星期日绕城散步。
于是产生了这样一个问题：从四部分陆地任一块出发，按什么样的路线能做到每座桥经过一次且仅一次返回出发点。
这就是有名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题看起来不复杂，因此立刻吸引所有人的注意，但是实际上很难解决。
瑞士数学家(Leonhard Euler)在1736年发表的“哥尼斯堡七桥问题”的文章中解决了这个问题。
这篇论文被公认为是图论历史上的第一篇论文，Euler也因此被誉为图论之父。
欧拉把七桥问题抽象成数学问题---一笔画问题，并给出一笔画问题的判别准则，从而判定七桥问题不存在解。
Euler是这样解决这个问题的：将四块陆地表示成四个点，桥看成是对应结点之间的连线，则哥尼斯堡七桥问题就变成了：从A，B，C，D任一点出发，通过每边一次且仅一次返回原出发点的路线(回路)是否存在？Euler证明这样的回路是不存在的。
第二阶段是从19世纪中叶到1936年。
图论主要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走线路问题。
一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和Hamilton环游世界问题(1856年)也大量出现。
同时出现了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树的概念和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究。
1857年英国的凯莱(A.Cayley)也独立地提出了树的概念，并应用于有机化合物的分子结构的研究中。
1936年匈牙利的数学家哥尼格(D.Konig)写出了第一本图论专著《有限图与无限图的理论》(Theory of directed and Undirected Graphs)。
标志着图论作为一门独立学科。
第三阶段是1936年以后。
由于生产管理、军事、交通运输、计算机和通讯网络等方面的大量问题的出现，大大促进了图论的发展。
特别是电子计算机的大量应用，使大规模问题的求解成为可能。
实际问题如电网络、交通网络、电路设计、数据结构以及社会科学中的问题所涉及到的图形都是很复杂的，需要计算机的帮助才有可能进行分析和解决。
目前图论在物理、化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、控制论、网络理论、社会科学及经济管理等几乎所有学科领域都有应用。
2、平面图和印刷电路板的设计有时候，实际问题要求我们把图画在平面上，使得不是节点的地方不能有边交叉，这在图论中就是判断一个图是否是平面图的问题。
像印刷电路板(Printed Circuit Board，PCB)（单层印刷电路板，多层印刷电路板）几乎会出现在每一种电子设备中。
PCB的主要功能是提供上头各项零件的相互电气连接。
随着电子设备越来越复杂，需要的元件越来越多，PCB上头的导线与元件也越来越密集了。
板子本身的基板是由绝缘隔热、不易弯曲的材料制作而成。
在表面可以看到的细小线路材料是铜箔，原本铜箔是覆盖在整个板子上的，而在制造过程中部份被蚀刻处理掉，留下来的部份就变成网状的细小线路了。
这些线路被称作导线或布线，并用来提供PCB上元件的电路连接。
因此在设计和制造印刷电路板时，首先要解决的问题是判定一个给定的电路图是否能印刷在同一层板上而使民线不发生短路？若可以，怎样给出具体的布线方案？将要印刷的电路图看成是一个无向简单连通图G，其中顶点代表电子元件，边代表导线，于是上述问题归结为判定G是否是平面图？若G是平面图，由怎样给出它的一个平面表示来？平面图的判断问题，在数学上已由波兰数学家库拉托夫斯基(Kuratowski) 于1930年解决。
库拉托夫斯基定理给出的充要条件看似简单，但实现起来很难。
但是许多研究拓扑图论的数学家提出了比较有效的图的平面性判定的准则，如DMP方法以就是其中的一个有代表性方法。
3、图的着色和四色问题图的着色起源于“四色问题”。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色问题是说画在纸上的每张地图只需要用4种颜色就能使具有共同边界的国家不会有相同的颜色。
用数学语言表示，就是将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的格思里(F.Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德?摩尔根(De Morgan)，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士(W.R. Hamilton)请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
起初，这个问题并没有引起数学家们的注意，认为这是一个不证即明的事实。
但经过一些尝试之后，发现并不是那么回事。
1878年，英国当时最著名的数学家凯利(A. Cayley)正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了证明四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Kempe)和泰勒(Taylor)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
但是后来人们发现他们都错了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。
于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马大定理相媲美的难题。
不过肯普的证明虽然失败了，但它在证明中提供的思想和方法仍然是后来许多数学家冲击四色问题的基础。
美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22国推进到35国。
1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
但是这种推进仍然十分缓慢。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。
1976年6月，美国伊利诺大学的阿佩尔(Appel)、哈肯(Haken)和柯齐(Koch)三人合作编制了一个程序，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1260个小时，作了100多亿次逻辑判断，给出了四色猜想证明，轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。
“四色问题”的被证明不仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。
在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。
如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。
不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表、设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
直到现在，仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
4、运输网络自从克希霍夫运用图论从事电路网络的结构分析以来，网络理论的研究和应用就越来越广泛。
特别是近几十年来，电路网络、运输网络、通讯网络等与工程和应用密切相关的课题受到了高度的重视。
无自回路的有向赋权图称为网络(Network)。
在一个网络中，有向边上的权称为容量(Capacity)。
网络中入度为0的结点称为源(Source)，用字母s表示；出度为0的结点称为汇(Trap),用字母t表示。
在某些问题，只考虑有单一源和单一汇的网络（即运输网络），而在另一些问题中（如通讯网络），根本就不考虑源和汇。
运输网络的实际意义可以用公路网、铁路网、和供水系统、电网等来说明，也就是“货物从产地s，通过若干中转站，到达目的地t”这类情形的一般模型。
这里将源和汇分别看成是货物的产地和目的地，其他结点是中转站，有向边是连接两站的道路（公路、铁路、水管或电线等），容量则是某一段道路允许的通行能力的上限。
在运输网络中要考虑的是从源到汇的实际流通量，显然它与每条有向边的容量有关，也和每个结点的转运能力有关。
对运输货物来讲，除了容量之外，每条边还被赋予一个非负实数，这一组数若满足以下条件：单位时间内通过每条道路运送的货物总量不能超过道路的容量；每一个中转站的流入量等于流出量；源的流出量等于汇的总流入量（即网络的流量(Discharge)）。
则称这组数为该运输网络的一个流(Flow)。
一个运输网络中具有可能的最大值的流称为最大流。
在一个运输网络中，可能不止一个最大流，即可能有几个不同的流，都具有最大值。
给定运输网络求其最大流的问题，就是怎样使给定网络在单位时间运输量最大的问题，并且确定当网络的流量最大时的流。