第4讲5(1) 正交试验设计(方差分析)
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正交试验设计(详细)
正交试验设计法正交试验设计法的基本思想正交表正交表试验方案的设计试验数据的直观分析正交试验的方差分析常用正交表1．正交试验设计法的基本思想正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。
它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。
下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。
[例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：A：80-90℃B：90-150分钟C：5-7％试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。
这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7%当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。
而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。
这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：(Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有33=27次试验。
用图表示就是图1 立方体的27个节点。
这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。
但试验次数太多。
特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。
试验量大得惊人。
如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。
如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。
而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。
图1 全面试验法取点..........(Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之：↗A1B1C1 →A2↘A3 (好结果)如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之：↗B1A3C1 →B2 (好结果)↘B3得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之：↗C1A3B2→C2 (好结果)↘C3试验结果以C2最好。
正交试验设计及其方差分析
Lp(nm)中，p=m(n-1)+1. 下面通过实例来说明如何用正交表来 安排试验.
例 9. 8 提高某化工产品转化率的试验 . 某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两 种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此 考虑对 A ， B ，C ， D 这4个因素进行试验.根据以往的经验，确 定各个因素的3个不同水平，如表9-19所示 .分析各因素对产品的 转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.
3
显然 T Tij ,j =1，2，3，4.此处 i 1
T11 大致反映了A1 对试验结果的影响, T21 大致反映了A2 对试验结果的影响, T31 大致反映了A3 对试验结果的影响, T12 , T22 和 T32 分别反映了B1 , B2 , B3 对试验结果的影响,
T13 , T23 和T33 分别反映了C1, C2 , C3 对试验结果的影响, T14 , T24 和 T34 分别反映了D1, D2 , D3 对试验结果的影响.
Rj 反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小, Rj 越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表 of range) 由极差大小顺序排出因素的主次顺序:
这里, Rj值相近的两因素间用“、”号隔开,而Rj 值相差较 大的两因素间用“;”号隔开.由此看出,特别要求在生产过程中 控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制 好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.
(2 ) 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同 . 如 表 L4 (23) 中任意两列，数字1 ， 2 间的搭配是均衡的 .
凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).
常用的正交表有L9(34)， L8(27)，L16(45)等,见附表7. 用正 交表来安排试验的方法,就叫正交试验设计. 一般正交表)
例 9. 8 提高某化工产品转化率的试验 . 某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两 种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此 考虑对 A ， B ，C ， D 这4个因素进行试验.根据以往的经验，确 定各个因素的3个不同水平，如表9-19所示 .分析各因素对产品的 转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.
3
显然 T Tij ,j =1，2，3，4.此处 i 1
T11 大致反映了A1 对试验结果的影响, T21 大致反映了A2 对试验结果的影响, T31 大致反映了A3 对试验结果的影响, T12 , T22 和 T32 分别反映了B1 , B2 , B3 对试验结果的影响,
T13 , T23 和T33 分别反映了C1, C2 , C3 对试验结果的影响, T14 , T24 和 T34 分别反映了D1, D2 , D3 对试验结果的影响.
Rj 反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小, Rj 越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表 of range) 由极差大小顺序排出因素的主次顺序:
这里, Rj值相近的两因素间用“、”号隔开,而Rj 值相差较 大的两因素间用“;”号隔开.由此看出,特别要求在生产过程中 控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制 好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.
(2 ) 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同 . 如 表 L4 (23) 中任意两列，数字1 ， 2 间的搭配是均衡的 .
凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).
常用的正交表有L9(34)， L8(27)，L16(45)等,见附表7. 用正 交表来安排试验的方法,就叫正交试验设计. 一般正交表)
第4讲5(1) 正交试验设计(方差分析)
处理号 1 2
第1列（A） 1 1
表 L9(34)正交表
第2列 1 2
第3列 1 2
第4列 1 2
因素A第1 试验结果y水i 平3次
重复测定 y1 值 y2
3
1
3
3
3
y3
单4 因素 2
1
2
3
y4
试5 验数 2
2
3
1
y5
因素A第2
SS据A6＝资13（料y1 y22
格式 78＝13（K12
3 K322
y3）2 （y43y5
K32）-
T2 9
1 2
y6）2 （ 1 y7 3 1
y 82y 9）2 2 3
（y1yy62 ...
9
y7 y8
y水9）平2（修 3次正重项） 复测定值
9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
因素 重复1 重复2 重复3
显著影响
（6）列方差分析表
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素 SS空列（误差）
（2）自由度分解：
dfT df因素 df空列（ 误列（
（3）方差：MS因素＝
SS因素 df因素
，MS误差＝
SS误差 df误差
（4）构造F统计量：
F因素＝
MS因素 MS误差
（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为 该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若 F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果 无显著影响。
正交试验方差分析
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1 1 2 2 2（7.0） 2（2.4） 3（7.5） 3（2.8 2 3 1 3 2 3
2（55） 1
3（58） 1
8பைடு நூலகம்
9 K1j
3
3 15.76
2
3 25.18
1
2 22.65
3
1 20.74
10.9
8.95
T 65.58
K2j
K3j K1j2 K2j2 K3j2
n
对上式做如下变换
SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )
各式的物理意义
X
所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和
X i.
SSE 表示每一个数据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的
SS A
表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和
再稍做整理
X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF N
2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1
r
n
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
正交试验设计
案仅包括9个水平组合，而全方面试验方案 包括27个水平。
4
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表5-1
5
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注：任意两列旳交互作用列为另外两 列
附：正交表L9(34)
试验号
列号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1ห้องสมุดไป่ตู้
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
6
3
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1.2 正交设计旳基本特点
❖ 用部分试验来替代全方面试验，经过对部分 试验成果旳分析，了解全方面试验旳情况。
❖ 当交互作用存在时，有可能出现交互作用旳 混杂。即忽视了部分交互作用来降低试验次 数。
如对于上述3原因3水平试验，若不考虑交
互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方
代表正交表；
❖ L右下角旳数字“8”表达有8行，用这张正交 表安排试验包括8个处理(水平组合)；
❖ 括号内旳底数“2” 表达原因旳水平数，括 号内2旳指数“7”表达有7列，
❖ 用这张正交表最多能够安排7个2水平原因。 8
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表5-2
9
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L8(27)二列间交互作用列表
第五章 正交试验设计
4
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表5-1
5
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注：任意两列旳交互作用列为另外两 列
附：正交表L9(34)
试验号
列号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1ห้องสมุดไป่ตู้
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
6
3
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1.2 正交设计旳基本特点
❖ 用部分试验来替代全方面试验，经过对部分 试验成果旳分析，了解全方面试验旳情况。
❖ 当交互作用存在时，有可能出现交互作用旳 混杂。即忽视了部分交互作用来降低试验次 数。
如对于上述3原因3水平试验，若不考虑交
互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方
代表正交表；
❖ L右下角旳数字“8”表达有8行，用这张正交 表安排试验包括8个处理(水平组合)；
❖ 括号内旳底数“2” 表达原因旳水平数，括 号内2旳指数“7”表达有7列，
❖ 用这张正交表最多能够安排7个2水平原因。 8
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表5-2
9
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L8(27)二列间交互作用列表
第五章 正交试验设计
正交试验设计中的方差分析
方差分析（ANOVA）是一种统计技术， 用于比较三个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一)正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A33个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B33个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C33个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
4)安排，试如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(3 验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-133试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）4)从27个试验点中挑选出来的来进行试验。
图1中标有‘9’个试验点，就是利用正交表L9(3 9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3(6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交试验设计中的方差分析
个水平，每个水平做p次试验，则n=mp。
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
正交试验设计(方差分析)
第1列的极差较小,说明因素A的水平变动时,指标变动 较小，说明因素A对指标影响较小；
而第4列是空列,极差为0.34,这是由随机误差产生的,又 因为因素A的极差0.36与空列的极差0.34接近，所以可粗略 地认为因素A对指标影响不显著
由此可以根据极差的大小顺序排出因素的主次：
主
次
B、C、A
由因素的主次可以看出后区牵伸（因素B）对指标影响 最主要,其次是后区隔距（因素C），罗拉加压影响最小.
C
1.6 3.9 4.0 0.53 1.30 1.33 0.80
误差列
各数据说明
2.9
其中：
3.8 2.8 0.97 1.27 0.93 0.34
K ( j) i
为第j列的第i水 平数据之和
k( j) i 为其平均值
R( j)
为第j列的极差
9
T xi i 1
＝9.5
返回
2． 分据知，第2列和第3列的极差较大， 这反映了当因素B、C的水平波动时,指标波动较大,说明因 素B、C对指标影响较大；
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6.5.1 正交试验结果的方差分析
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因 素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统 计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。
正交试验结果的方差分 析思想、步骤同前！！
方差分析的基本步骤与格式
设： 用正交表Ln(rm)来安排试验 试验结果为yi（i=1,2,…n）
方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列，即误差 列
误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和 ：
SSe SS空列
（2）计算自由度
第6讲（5）
正交试验设计 （方差分析）
而第4列是空列,极差为0.34,这是由随机误差产生的,又 因为因素A的极差0.36与空列的极差0.34接近，所以可粗略 地认为因素A对指标影响不显著
由此可以根据极差的大小顺序排出因素的主次：
主
次
B、C、A
由因素的主次可以看出后区牵伸（因素B）对指标影响 最主要,其次是后区隔距（因素C），罗拉加压影响最小.
C
1.6 3.9 4.0 0.53 1.30 1.33 0.80
误差列
各数据说明
2.9
其中：
3.8 2.8 0.97 1.27 0.93 0.34
K ( j) i
为第j列的第i水 平数据之和
k( j) i 为其平均值
R( j)
为第j列的极差
9
T xi i 1
＝9.5
返回
2． 分据知，第2列和第3列的极差较大， 这反映了当因素B、C的水平波动时,指标波动较大,说明因 素B、C对指标影响较大；
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6.5.1 正交试验结果的方差分析
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因 素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统 计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。
正交试验结果的方差分 析思想、步骤同前！！
方差分析的基本步骤与格式
设： 用正交表Ln(rm)来安排试验 试验结果为yi（i=1,2,…n）
方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列，即误差 列
误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和 ：
SSe SS空列
（2）计算自由度
第6讲（5）
正交试验设计 （方差分析）
第4讲5(2) 正交试验设计(方差分析)
3
4 5 6 7 8 K1j K2j K1j-K2j SSj
1
1 2 2 2 2 9.9 10.31 -0.41 0.021
2
2 1 1 2 2 9.42 10.79 -1.37 0.235
2
2 2 2 1 1 10.21 10 0.21
1
2 1 2 1 2 10.23 9.98 0.25
1
2 2 1 2 1 10.24 9.97 0.27
拟水平列：第2列
表4-36
试验号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K1j K2j K3j k1j k2j k3j 调整R＇ 优水平 优组合 主次顺序 A 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 275.5 252.0 270.0 91.8 84.0 90.0 7.8 A1
例3 试验结果分析表
水 试 验 1 2 3 4 平 号 列 号 A 1 1 1 1 B 1 1 2 2 A×B 1 1 2 2 C 1 2 1 2 A×C 1 2 1 2 B×C 1 2 2 1 误差列 1 2 2 1 数据 5.26 3.90 6.90 7.03
5
6 7 8
2
2 2 2
1
1 2 2 18.68
2
1 2 1 2 11.4 11.5
2
2 1 2 1 10.2 12.7
1
1 2 2 1 12.1 10.8
1
2 1 1 2 12.5 10.4
129.96 132.25
104.04 161.29
146.41 116.64
156.25 108.16
自由度计算： df B df C 2 - 1 1 dfe df 4 df5 1 1 2 （2）显著性检验
第4章 方差分析、正交试验设计
i 1 j 1
r r
i 2 ( X ij X i )( X i X ) 2[( X i X ) ( X ij X i )] 其中： 2 ( X ij X i )(X i X ) 21[(X i X )1( X ij X i )] 其中： i 1 j 1 i j
r i 1 j 1
i
j n 1 r ni n i 1 11r X X ij ni X i n i 1 j 1 n i 1
X rX 1 r n X 1 r n X ij i i
i 1
i 1 QT ( jX1ij X ) 2
r
i 1 j 1 r r
ni ni
i 1
j 1
r
i 1
j 1
i 1 i 1
E、
QE
2 [( X i X )(ni X i ni X i )] 0
i 1
i
Ar
QT QE QA
QA
r n r 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和与 ( X ij X i )2 ni ( X i X )2 从而： QT i 1 j 1 i 1 组间离差平方和之和。 QE ——反映了 ij 的作用 ②组内离差平方和 ②组内离差平方和QQE——反映了 的作用 ②组内离差平方和 E ——反映了 ij 的作用 ②组内离差平方和QEEE ——反映了ijij的作用 ②组内离差平方和 Q ——反映了 ij ij 的作用 r ②组内离差平方和 ③分解定理 QA 2 Q E——反映了的作用 QEn、 X ) ②组内离差平方和Q ——反映了 )] n ( ) ij 的作用 QEr ( X ij nn [( ) ( i n r r r rn 2 2 2 i 1 ( jXX X )) 2 ( X 1 n Q r ) QQQ ( X ij X 设 [( Yn ( 立 ( ij) ,ij ) 2 [( ( ( )] , ) ) ) (Q 2 (i ~ ( E 理 ( Q 定 E ((XijX：XiX)))2Y11r,Yn12,i相)互独)])]QiAr( N(( i )i ) 2 4.1.1 X i j [([( QT)ij( E i ， Yjn (0 )1 ， )] )] QE i 11j j11 ij X i i[( i ij ) ( i i )] 1 ij i i i) ③组间离差平方和1Qj 1 ——反映了 i 的作用. ii 1j11j 11 A i 1 j 1 i 2 2 Q A——反映了 Y 2 ~ 2 (n) ， 又 若 ③组间离差平方和 是 r——反映了的作用. i ③组间离差平方和 QQ A——反映了 的作用. 1,2,n,于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和 n ， 于 Q ——反映了i 的作用. n ③组间离差平方和 r ③组间离差平方和 A A Q Y1 Y22 ③组间离差平方和 QA ——反映了i iri i的作用. 的作用. 2 rr rr nn Q ni ( X i 2X ) ni的作用.i ( )]2 i [( i ③组间离差平方和rrr A ——反映了 QA r ( X i X ) rn n QQ1 (( Xi i ) 2 i ( X i QiX 2 2, ni 1, n 的线性组合的 X 22 r i i QA rnQ21X X )Q2，nn1 ( X iX )是 Yr2 , Y )])] 2 ( Q A ( X X2) n ( X X ) 2 Y1 n r[([([( ( )] 其中 ) i 1 j Q 组间离差平方和之和。 nn ( ( )] 2 nj j 1 X i X ) i 1 1r ni ( Xi X ) 2 Q A r ii1 1( r [( i 1
r r
i 2 ( X ij X i )( X i X ) 2[( X i X ) ( X ij X i )] 其中： 2 ( X ij X i )(X i X ) 21[(X i X )1( X ij X i )] 其中： i 1 j 1 i j
r i 1 j 1
i
j n 1 r ni n i 1 11r X X ij ni X i n i 1 j 1 n i 1
X rX 1 r n X 1 r n X ij i i
i 1
i 1 QT ( jX1ij X ) 2
r
i 1 j 1 r r
ni ni
i 1
j 1
r
i 1
j 1
i 1 i 1
E、
QE
2 [( X i X )(ni X i ni X i )] 0
i 1
i
Ar
QT QE QA
QA
r n r 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和与 ( X ij X i )2 ni ( X i X )2 从而： QT i 1 j 1 i 1 组间离差平方和之和。 QE ——反映了 ij 的作用 ②组内离差平方和 ②组内离差平方和QQE——反映了 的作用 ②组内离差平方和 E ——反映了 ij 的作用 ②组内离差平方和QEEE ——反映了ijij的作用 ②组内离差平方和 Q ——反映了 ij ij 的作用 r ②组内离差平方和 ③分解定理 QA 2 Q E——反映了的作用 QEn、 X ) ②组内离差平方和Q ——反映了 )] n ( ) ij 的作用 QEr ( X ij nn [( ) ( i n r r r rn 2 2 2 i 1 ( jXX X )) 2 ( X 1 n Q r ) QQQ ( X ij X 设 [( Yn ( 立 ( ij) ,ij ) 2 [( ( ( )] , ) ) ) (Q 2 (i ~ ( E 理 ( Q 定 E ((XijX：XiX)))2Y11r,Yn12,i相)互独)])]QiAr( N(( i )i ) 2 4.1.1 X i j [([( QT)ij( E i ， Yjn (0 )1 ， )] )] QE i 11j j11 ij X i i[( i ij ) ( i i )] 1 ij i i i) ③组间离差平方和1Qj 1 ——反映了 i 的作用. ii 1j11j 11 A i 1 j 1 i 2 2 Q A——反映了 Y 2 ~ 2 (n) ， 又 若 ③组间离差平方和 是 r——反映了的作用. i ③组间离差平方和 QQ A——反映了 的作用. 1,2,n,于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和 n ， 于 Q ——反映了i 的作用. n ③组间离差平方和 r ③组间离差平方和 A A Q Y1 Y22 ③组间离差平方和 QA ——反映了i iri i的作用. 的作用. 2 rr rr nn Q ni ( X i 2X ) ni的作用.i ( )]2 i [( i ③组间离差平方和rrr A ——反映了 QA r ( X i X ) rn n QQ1 (( Xi i ) 2 i ( X i QiX 2 2, ni 1, n 的线性组合的 X 22 r i i QA rnQ21X X )Q2，nn1 ( X iX )是 Yr2 , Y )])] 2 ( Q A ( X X2) n ( X X ) 2 Y1 n r[([([( ( )] 其中 ) i 1 j Q 组间离差平方和之和。 nn ( ( )] 2 nj j 1 X i X ) i 1 1r ni ( Xi X ) 2 Q A r ii1 1( r [( i 1
正交试验的方差分析
计算平均离差平方和(均方):
在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和, 它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消 除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。
因素的平均离差平方和 = (因素离差的平方和)/因素的自由度 = S因 /f因
试验误差的平均离差平方和 = (试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度 = SE / fE
33.212 ) 377.17, 35.882 ) 376.29,
QC
1 (6.272 9
35.212
59.162 )
531.00,
Q( AXB)1
1 (35.632 9
32.082
32.932 )
375.89,
Q( AXB)2
1 (34.302 9
31.732
34.612 ) 375.68,
考 虑A，B的交互作用。试进行方差分析。
第22页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
解：(选用正交表L8(27)
第23页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
这 里
ST
QT
P
8
xk2
k 1
T2 8
65668 1 (724)2 8
146
SA
1 8
(K1
K2 )2
1 8
(366 358)2
第四节：混合型正交设计的方差分析
混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计 的
方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。
8
现以L8(4X24)混合S型T 正交QT表为P例：k 1
xk2
1 8
正交试验设计的方差分析
三.正交试验设计的方差分析 现以实验室制取H2为例，来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平 如表1和表2所示。
表1. 因素水平
因素 水平 一 二 A wH2SO4 (%) 20 25 B mCuSO4· 5H2O(g) 0.4 0.5 C mZn (g) 4 5
三
30
0.6
为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。 方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC ……)与误差的偏差平方和(Se)，并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和，或均方)，然后进行检验，最 后得出方差分析表。
方差分析是把实验数据总的波动(即数据的总的偏差平方 和S总)分解成两部分：一部分反映因素水平变化引起的波动 (即因素的偏差平方和)，对本例而言仅为S wH2SO4；另一部分 反映实验误差引起的波动(即误差的偏差平方和Se)。即： (1) Se的计算
表3.实验结果分析 参与wH2SO4某一水平的实验编号 A1(20%) 1 4 7 A2 (25%) 2 5 8 平均值y A3 (30%) 3 6 9 10minH2产率 A1(20%) 32.62 34.97 36.62 34.74 A2 (25%) 40.40 36.53 39.19 38.71 A3 (30%) 41.07 45.75 44.53 43.78
在F分布表上横行(n1：1, 2, 3…)代表F比中分子的自 由度；竖行(n2：1, 2, 3…)代表F比中分母的自由度；表 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。 例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，这 里0.1是信度。 在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果 是否有显著影响)，信度a是指我们对做出的判断有多大 的把握，若a=5%，那就是指当FA>F0.05(fA, fe )时，大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著 影响。对于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的 有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可 在各种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。
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（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为 该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若 F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果 无显著影响。
（6）正交试验方差分析说明
由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe， 因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无 空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。
3．选出最优工艺参数
（1）直接看：
直接比较已做的9次试验得到的条子条干不匀率，容易
， 看出第6号试验条干不匀率最小, 第6号试验的水平组合
， A2B3C1称为“直接看”的好条件.它是通过试验的实践直接
得到的,比较可靠.
（2）算一算：
通过比较 ki( j)的大小可选出排在第j列的因素的最好水平，
如第1列的因素A：
)
) P
因此：
m
SST SS j j 1
③交互作用的离差平方和
若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于所在列的离 差平方和SSj
若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占多列离差平 方和之和，
例：r=3时
SSAB
SS SS （AB）1
（AB）2
④试验误差的离差平方和
极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便 于推广普及。但这种方法不能将试验中由于试验条件改 变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来， 也就是说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差 异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差 引起的，无法估计试验误差的大小。此外，各因素对试 验结果的影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出 一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥补极 差分析的缺陷，可采用方差分析。
比较“直接看”的好条件A2B3C1与 “算一算”的好条 件A1 B3C1，除了因素A的水平不同外，其它两个因素所取 的好条件是一致的。又因为第一列的极差与误差列的极差
接近，认为因素A对条干不匀率的影响不显著,为方便操作 选取原工艺A1.最后确定最优工艺为A1B3C1.
4.5 正交试验结果的方差分析
若r ＝ 2， dfA×B＝dfj 若r ＝ 3， dfA×B＝ 2dfj= dfA ＋dfB ④误差的自由度：
dfe＝空白列自由度之和
（3）计算均方
以A因素为例 ：
MS A
SS A df A
以A×B为例 ：
MS AB
SS AB df AB
误差的均方：
MSe
SSe dfe
注意：
若某因素或交互作用的均方≤MSe，则应将它们归入误差列 计算新的误差、均方
A1
y1
y2
y3 y1+y2+y3 K1
A2
y4
y5
y6 y4+y5+y6 K2
A3
y7
y8
y9 y7+y8+y9 K3
表头设计 列号
试验号
1 2 … n
K1j K2j
…
Kmj K1j2 K2j2
…
Kmj2
表 Ln（mk）正交表及计算表格
A
B
…
…
1
2
…
k
试验数据
xi
xi2
1
…
…
1
…
…
…
…
…
m
…
…
K11
S2 9.129 S3 1.229 S4 0.202
原数据
返回
一般的，
p
S j
[Ki( j) ]2
i 1
N /r
T2
N
其中： N ____正交表的试验号数（试验次数）；
r_____第j列的水平数；
T ____ N次试验数据之和;
K
(j_)___为第j列的第i水平数据之和.
i
其次，计算各列自由度 f j ＝r－1, 得：
例：若MSA ≤MSe 则：
SSe SSe SSA
dfe dfe dfA
MSe
SSe dfe
（4）计算F值
各均方除以误差的均方，例如：
FA
MS A MSe
或
FA
MS A MSe
FAB
MS AB MSe
或
FAB
MS AB MSe
（5）显著性检验
例如：
若FA F (dfA, dfe )，则因素A对试验结果有显著影响 若 FAB F (dfAB , dfe )，则交互作用A×B对试验结果有
误差自由度一般不应小于2，dfe很小，F检验灵敏度很低， 有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。
为了增大dfe，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前， 先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因 （MS交） <2MSe，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、 自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差 平方和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。
2
C
1.6 3.9 4.0 0.53 1.30 1.33 0.80 1.229
2
误差列 2.9 3.8 2.8 0.97 1.27 0.93 0.34
K12
…
K21
K22
…
…
…
…
Km1
Km2
…
K112
K122
…
K212
K222
…
…
…
Km12
Km22
…
…
x1
x12
…
x2
x22
…
…
…
…
xn
xn2
K1k K2k
n
T＝ x i
CT
T2
i＝1
n
…
Kmk
n
QT＝ x2i i＝1
K1k2 SST＝QT CT
K2k2
…
Kmk2
Q
＝
j
1 r
m i＝1
K
2 ij
1． 数据计算
分别计算第j列的第i水平数据之和 Ki( j) 以及其平均值
k(j ) i
极差
R( j)
并填入表中.
列 试验号 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
例1 试验结果分析表
A
B
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
3
3
C
误差列
简化数据 xi－20
1
1
1.5
2
2
1.3
3
3
－0.2
2
3
2.6
3
1
1.4
f1 f2 f3 f4 2
,
将离差平方和与自由度填入下表：
各
数
列 据
号
K( j) 1
K( j) 2
K( j) 3
k( j) 1
k( j) 2
k( j) 3
R( j)
Sj
fj
例2 试验结果分析表续
A
2.6 3.7 3.2 0.87 1.23 1.07 0.36 0.202
2
B
6.9 3.1 －0.5 2.30 1.03 －0.17 2.47 9.129
SS
＝Q
j
j
CT
总偏差平方和： 列偏差平方和：
n
n
（ xi ）2
SST ＝ xi2－ i＝1
i＝1
n
n
SSj
1 m
r i=1
K ij2
( xi )2 i1
n
(j=1, 2,..., k)
试验总次数为n，每个因素水平数为r
个，每个水平作m次重复m＝n/r。
当r＝2时， SS j＝n1（K1j - K2j）2（j＝1，2，...，k）
A3 7、 8、 9
2.8、 0.4、 0
在因素A每个水平的三次试验中，因素B、C三个水平 都分别各出现一次，因此,可以理解为因素A有三个水平， 每个水平重复做三次试验，按照单因子方差分析:
因素A的离差平方和
3
S1
[K
] (1) 2
i
i 1
9/3
T2
9
0.202
同理可计算出因素B、C及误差列的离差平方和分别为：
C
1.6 3.9 4.0 0.53 1.30 1.33 0.80
误差列
各数据说明
2.9
其中：
3.8 2.8 0.97 1.27 0.93 0.34
K( j) i
为第j列的第i水 平数据之和
k( j) i 为其平均值
R( j)
为第j列的极差
9
T xi i 1
＝9.5
返回
2． 分析因素的影响
根据极差 R( j) 的数据知，第2列和第3列的极差较大， 这反映了当因素B、C的水平波动时,指标波动较大,说明因 素B、C对指标影响较大；
第4讲（5）
正交试验设计 （方差分析）
正交试验设计的任务之一就是利用正交表确定试验方 案.下面通过一个实例来回顾如何利用正交表制定试验 方案的步骤.
例1 某棉纺厂为了研究并条机的工艺参数对条子条干 不匀率的影响，选择了罗拉加压、后区牵伸、后区隔距 三个因素进行试验，因素及水平如下表：
因
水平
子
A 罗拉加压
总自由度： 因素自由度：
dfT＝n-1
dfj r 1
例2（例1续）方差分析法首先计算各列的离差平方和S j
以因素A所在的第一列 S1为例，给出 S j的计算公式.
A因素的水平