第4讲5(1) 正交试验设计(方差分析)

A3 7、 8、 9
2.8、 0.4、 0
在因素A每个水平的三次试验中，因素B、C三个水平 都分别各出现一次，因此,可以理解为因素A有三个水平， 每个水平重复做三次试验，按照单因子方差分析:
因素A的离差平方和
3
S1
[K
] (1) 2
i
i 1
9/3
T2
9
0.202
同理可计算出因素B、C及误差列的离差平方和分别为：
（1）计算离差平方和
①总离差平方和
SST
n
( yi
Fra Baidu biblioteki 1
y)2
n i 1
yi2
1 n
(
n i 1
yi )2
QP
n
设： Q yi2 i 1
n
T yi i 1
P
1 n
(
n i 1
yi )2
T2 n
②各因素引起的离差平方和
第j列所引起的离差平方和 ：
SS j
r( r n i1
Ki2
第1列的极差较小,说明因素A的水平变动时,指标变动 较小，说明因素A对指标影响较小；
而第4列是空列,极差为0.34,这是由随机误差产生的,又 因为因素A的极差0.36与空列的极差0.34接近，所以可粗略 地认为因素A对指标影响不显著
由此可以根据极差的大小顺序排出因素的主次：
主
次
B、C、A
由因素的主次可以看出后区牵伸（因素B）对指标影响 最主要,其次是后区隔距（因素C），罗拉加压影响最小.
若r ＝ 2， dfA×B＝dfj 若r ＝ 3， dfA×B＝ 2dfj= dfA ＋dfB ④误差的自由度：
dfe＝空白列自由度之和
（3）计算均方
以A因素为例 ：
MS A
SS A df A
以A×B为例 ：
MS AB
SS AB df AB
误差的均方：
MSe
SSe dfe
注意：
若某因素或交互作用的均方≤MSe，则应将它们归入误差列 计算新的误差、均方
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4.5.1 正交试验结果的方差分析
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因 素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统 计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。
正交试验结果的方差分 析思想、步骤同前！！
方差分析的基本步骤与格式
设： 用正交表Ln(rm)来安排试验 试验结果为yi（i=1,2,…n）
1
2
－0.3
3
2
2.8
1
3
0.4
2
1
0
返回4
返回31 返回
各
数
列 据
号
K( j) 1
K( j) 2
K( j) 3
k( j) 1
k( j) 2
k( j) 3
R( j)
例1 试验结果分析表续
A
2.6 3.7 3.2 0.87 1.23 1.07 0.36
B
6.9 3.1 －0.5 2.30 1.03 －0.17 2.47
处理号 1 2
第1列（A） 1 1
表 L9(34)正交表
第2列 1 2
第3列 1 2
第4列 1 2
因素A第1 试验结果y水i 平3次
重复测定 y1 值 y2
3
1
3
3
3
y3
单4 因素 2
1
2
3
y4
试5 验数 2
2
3
1
y5
因素A第2
SS据A6＝资13（料y1 y22
格式 78＝13（K12
3 K322
SS
＝Q
j
j
CT
总偏差平方和： 列偏差平方和：
n
n
（ xi ）2
SST ＝ xi2－ i＝1
i＝1
n
n
SSj
1 m
r i=1
K ij2
( xi )2 i1
n
(j=1, 2,..., k)
试验总次数为n，每个因素水平数为r
个，每个水平作m次重复m＝n/r。
当r＝2时， SS j＝n1（K1j - K2j）2（j＝1，2，...，k）
S2 9.129 S3 1.229 S4 0.202
原数据
返回
一般的，
p
S j
[Ki( j) ]2
i 1
N /r
T2
N
其中： N ____正交表的试验号数（试验次数）；
r_____第j列的水平数；
T ____ N次试验数据之和;
K
(j_)___为第j列的第i水平数据之和.
i
其次，计算各列自由度 f j ＝r－1, 得：
误差自由度一般不应小于2，dfe很小，F检验灵敏度很低， 有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。
为了增大dfe，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前， 先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因 （MS交） <2MSe，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、 自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差 平方和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。
极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便 于推广普及。但这种方法不能将试验中由于试验条件改 变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来， 也就是说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差 异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差 引起的，无法估计试验误差的大小。此外，各因素对试 验结果的影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出 一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥补极 差分析的缺陷，可采用方差分析。
显著影响
（6）列方差分析表
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素 SS空列（误差）
（2）自由度分解：
dfT df因素 df空列（ 误列（
（3）方差：MS因素＝
SS因素 df因素
，MS误差＝
SS误差 df误差
（4）构造F统计量：
F因素＝
MS因素 MS误差
2
C
1.6 3.9 4.0 0.53 1.30 1.33 0.80 1.229
2
误差列 2.9 3.8 2.8 0.97 1.27 0.93 0.34
y3）2 （y43y5
K32）-
T2 9
1 2
y6）2 （ 1 y7 3 1
y 82y 9）2 2 3
（y1yy62 ...
9
y7 y8
y水9）平2（修 3次正重项） 复测定值
9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
因素 重复1 重复2 重复3
和
水平3次重
复测定值
B 后区牵伸
C 后区隔距
1
10×11×10 （原工艺） 1.80 （原工艺）
6 （原工艺）
2
11×12×10
3
13×14×13
1.67 1.50
8 10
返回
首先要选择一个合适的正交表,选 L9(34 ) 来制定试验 方案.
其次，将A、B、C三个因素随机地填在表的三列上，
如A、B、C依次放在1，2，3列，第4列为空列，这个过
总自由度： 因素自由度：
dfT＝n-1
dfj r 1
例2（例1续）方差分析法首先计算各列的离差平方和S j
以因素A所在的第一列 S1为例，给出 S j的计算公式.
A因素的水平
各水平所在的试 验号
各水平所在试验 号的试验数据
A1 1、 2、 3、
1.5、1.3、－0.2
A2 4、 5、 6
2.6、1.4、－0.3
第4讲（5）
正交试验设计 （方差分析）
正交试验设计的任务之一就是利用正交表确定试验方 案.下面通过一个实例来回顾如何利用正交表制定试验 方案的步骤.
例1 某棉纺厂为了研究并条机的工艺参数对条子条干 不匀率的影响，选择了罗拉加压、后区牵伸、后区隔距 三个因素进行试验，因素及水平如下表：
因
水平
子
A 罗拉加压
C
1.6 3.9 4.0 0.53 1.30 1.33 0.80
误差列
各数据说明
2.9
其中：
3.8 2.8 0.97 1.27 0.93 0.34
K( j) i
为第j列的第i水 平数据之和
k( j) i 为其平均值
R( j)
为第j列的极差
9
T xi i 1
＝9.5
返回
2． 分析因素的影响
根据极差 R( j) 的数据知，第2列和第3列的极差较大， 这反映了当因素B、C的水平波动时,指标波动较大,说明因 素B、C对指标影响较大；
（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为 该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若 F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果 无显著影响。
（6）正交试验方差分析说明
由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe， 因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无 空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。
A1
y1
y2
y3 y1+y2+y3 K1
A2
y4
y5
y6 y4+y5+y6 K2
A3
y7
y8
y9 y7+y8+y9 K3
表头设计 列号
试验号
1 2 … n
K1j K2j
…
Kmj K1j2 K2j2
…
Kmj2
表 Ln（mk）正交表及计算表格
A
B
…
…
1
2
…
k
试验数据
xi
xi2
1
…
…
1
…
…
…
…
…
m
…
…
K11
1． 数据计算
分别计算第j列的第i水平数据之和 Ki( j) 以及其平均值
k(j ) i
极差
R( j)
并填入表中.
列 试验号 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
例1 试验结果分析表
A
B
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
3
3
C
误差列
简化数据 xi－20
1
1
1.5
2
2
1.3
3
3
－0.2
2
3
2.6
3
1
1.4
K12
…
K21
K22
…
…
…
…
Km1
Km2
…
K112
K122
…
K212
K222
…
…
…
Km12
Km22
…
…
x1
x12
…
x2
x22
…
…
…
…
xn
xn2
K1k K2k
n
T＝ x i
CT
T2
i＝1
n
…
Kmk
n
QT＝ x2i i＝1
K1k2 SST＝QT CT
K2k2
…
Kmk2
Q
＝
j
1 r
m i＝1
K
2 ij
f1 f2 f3 f4 2
,
将离差平方和与自由度填入下表：
各
数
列 据
号
K( j) 1
K( j) 2
K( j) 3
k( j) 1
k( j) 2
k( j) 3
R( j)
Sj
fj
例2 试验结果分析表续
A
2.6 3.7 3.2 0.87 1.23 1.07 0.36 0.202
2
B
6.9 3.1 －0.5 2.30 1.03 －0.17 2.47 9.129
k (1) 1
0.87
k (1) 2
1.23
k (1) 3
1.07
分别表示因素A的三个水平的平均条干不匀率,经比较可知当
因素A取A1水平时，条干不匀率最小，所以A1的效果最好.
同理可选出因素B和因素C的最好条件分别为B3、C1。 于是通过 “算一算”得到一个较优的水平组合A1 B3C1.称为 “算一算” 的好条件.
例：若MSA ≤MSe 则：
SSe SSe SSA
dfe dfe dfA
MSe
SSe dfe
（4）计算F值
各均方除以误差的均方，例如：
FA
MS A MSe
或
FA
MS A MSe
FAB
MS AB MSe
或
FAB
MS AB MSe
（5）显著性检验
例如：
若FA F (dfA, dfe )，则因素A对试验结果有显著影响 若 FAB F (dfAB , dfe )，则交互作用A×B对试验结果有
)
T2 n
r( r n i1
Ki2 ) P
因此：
m
SST SS j j 1
③交互作用的离差平方和
若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于所在列的离 差平方和SSj
若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占多列离差平 方和之和，
例：r=3时
SSAB
SS SS （AB）1
（AB）2
④试验误差的离差平方和
比较“直接看”的好条件A2B3C1与 “算一算”的好条 件A1 B3C1，除了因素A的水平不同外，其它两个因素所取 的好条件是一致的。又因为第一列的极差与误差列的极差
接近，认为因素A对条干不匀率的影响不显著,为方便操作 选取原工艺A1.最后确定最优工艺为A1B3C1.
4.5 正交试验结果的方差分析
程叫表头设计.
L9 (34 )
列
试验号
号
A
B
C
空列
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
正交试验的数据分析
（一） 极差分析法
下面仍以例1试验方案为例，回顾极差分析法的思想方 法.依照上表安排的试验方案，进行9次试验（一般不要 按序号顺序来做这9个试验，而应随机地挑选试验号来完 成这些试验.），并将试验数据填写在上表的数据列 中.(该数据是将原始数据减20而得到的，这并不影响分析 结果.)
3．选出最优工艺参数
（1）直接看：
直接比较已做的9次试验得到的条子条干不匀率，容易
， 看出第6号试验条干不匀率最小, 第6号试验的水平组合
， A2B3C1称为“直接看”的好条件.它是通过试验的实践直接
得到的,比较可靠.
（2）算一算：
通过比较 ki( j)的大小可选出排在第j列的因素的最好水平，
如第1列的因素A：
方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列，即误差 列
误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和 ：
SSe SS空列
（2）计算自由度
①总自由度 ：dfT＝n－1 ②任一列离差平方和对应的自由度 ：
dfj＝r－1 ③交互作用的自由度 ：（以A×B为例） dfA×B＝dfA ×dfB dfA×B＝( r－1 )dfj