新整理部编人教版高中数学必修一：全册作业与测评(含答案)综合质量评估

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综合质量评估

(第一至第三章)

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2015·大庆高一检测)设集合U=,集合M=,N=,则M ∩(

eN)等于( )

U

A. B.

C. D.

【解析】选B.因为

eN=,M=,所以M∩(UeN)=.

U

【补偿训练】设全集U={x|x<6且x∈N*},集合A={1,3},B={3,5},则

e(A∪B)

U

= ( )

A.{1,4}

B.{1,5}

C.{2,4}

D.{2,5}

【解析】选C.由题意知U={1,2,3,4,5},

又A∪B={1,3,5},所以

e(A∪B)={2,4}.

U

2.(2015·淮南高一检测)函数y=的定义域为( )

A.(1,+∞)

B.[1,+∞)

C.(1,2)∪(2,+∞)

D.(1,2)∪[3,+∞)

【解析】选C.要使函数y=有意义,必须解得,故函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞).

【补偿训练】函数y=+的定义域是( )

A.[-1,2)

B.[-1,2)∪(2,+∞)

C.(2,+∞)

D.[-1,+∞)

【解析】选B.要使函数y=+有意义,必须,解得x≥-1且x≠2,故函数的定义域为[-1,2)∪(2,+∞).

3.下列图形中,不是函数图象的是( )

【解析】选B.由函数的定义可知:选项B中存在给定某一实数,有两个值与之对应.

【补偿训练】下列各组函数是同一函数的是( )

A.y=与y=1

B.y=|x-1|与y=

C.y=|x|+|x-1|与y=2x-1

D.y=与y=x

【解析】选D.A定义域不同,故不是同一函数.

B定义域不同,故不是同一函数.

C对应法则不同,故不是同一函数.

D定义域与对应法则均相同,所以是同一函数.

4.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( )

A.y=

B.y=3x

C.y=lg|x|

D.y=x3

【解析】选D.选项A中函数的定义域为x≥0,故不具备奇偶性;选项B是增函数但不是奇函数;选项C是偶函数;而选项D在R上是奇函数并且单调递增.

5.已知函数f(x)=,则有( )

A.f(x)是奇函数,且f=-f(x)

B.f(x)是奇函数,且f=f(x)

C.f(x)是偶函数,且f=-f(x)

D.f(x)是偶函数,且f=f(x)

【解析】选C.因为f(x)=,{x|x≠±1},

所以f===

=-=-f(x),

又因为f(-x)===f(x),

所以f(x)为偶函数.

【误区警示】解答本题在推导f与f(x)的关系时容易出现分式变形或符号变换错误.

6.(2015·绍兴高一检测)函数f(x)=若f(x)=2,则x的值是

( ) A. B.± C.0或1 D.

【解析】选A.当x+2=2时,解得x=0,不满足x≤-1;当x2=2时,解得x=±,只有x=时才符合-1

7.已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是( )

A.b>c>a

B.b>a>c

C.a>b>c

D.c>b>a

【解析】选A.由于a=log20.320=1,故

log20.3<0.30.2<20.3,即a

【补偿训练】已知函数f(x)=lo|x+2|,若a=f(lo3),b=f,c=f(ln3),则( )

A.c

B.b

C.c

D.a

【解题指南】作出函数f(x)=lo|x+2|的图象判断此函数的单调性,利用中间量0,1比较lo3,,ln3的大小,最后利用函数单调性比较a,b,c的大小. 【解析】选A.函数y=lo|x|的图象如图(1),

把y=lo|x|的图象向左平移2个单位得到y=lo|x+2|的图象如图(2),

由图象可知函数y=lo|x+2|在(-2,+∞)上是减函数,

因为lo3=-log23<-log22=-1,

0<<=1,

ln3>lne=1.

所以-2

所以f(lo3)>f>f(ln3),即c

8.(2015·鹰潭高一检测)函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

【解析】选C.利用根的存在性定理进行判断,由于f(2)=2+2-5=-1,f(3)=4+3-5=2,所以f(2)·f(3)<0,又f(x)为单调递增函数,所以函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为(2,3).

【补偿训练】函数f(x)=lnx+x3-9的零点所在的区间为( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

【解析】选C.由题意知x>0,且f(x)在其定义域内为增函数,

f(1)=ln1+13-9=-8<0,

f(2)=ln2+23-9=ln2-1<0,

f(3)=ln3+33-9=ln3+18>0,

f(4)=ln4+43-9>0,

所以f(2)f(3)<0,说明函数在区间(2,3)内有零点.

9.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是( )

A.y=100

B.y=50x2-50x+100

C.y=50×2x

D.y=100log2x+100

【解析】选C.对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,据函数式得到的结果为300,与实际值790相差很远.综上,只有C中的函数误差最小.

10.(2015·临川高一检测)已知函数f(x)=满足对任意x1≠

x2,都有<0成立,则a的范围是( )

A. B.(0,1)

C. D.(0,3)

【解析】选A.由于x1≠x2,都有<0成立,即函数在定义域内任意两点的连线的斜率都小于零,故函数在定义域内为减函数,所以有

解得0

【补偿训练】若函数f(x)=log m(m-x)在区间[3,5]上的最大值比最小值大1,则实数m=( )

A.3-

B.3+

C.2-

D.2+

【解析】选 B.由题意知m>5,所以f(x)=log m(m-x)在[3,5]上为减函数,所以log m(m-3)-log m(m-5)=1,

log m=1,即=m,m2-6m+3=0,

解得m=3+或m=3-(舍去).

所以m=3+.

11.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(1+x),则当x<0时,f(x)的表达式是( )

A.f(x)=(1-x)

B.f(x)=-(1-x)

C.f(x)=(1+x)

D.f(x)=-(1+x)

【解题指南】当x<0时,-x>0,由题意可知f(-x),再利用f(-x)=-f(x),可求f(x). 【解析】选A.设x<0,则-x>0,

f(-x)=(1-x)=-(1-x),

又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),

所以-f(x)=-(1-x),所以f(x)=(1-x).

12.(2015·鄂州高一检测)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的所有“孪生函数”的个数等于( )

A.6

B.7

C.8

D.9

【解析】选D.当y=2x2-1=1时,解得x=±1,当y=2x2-1=7时,解得x=±2,由题意可知是“孪生函数”的函数的定义域应为,,,, ,,,,共9个.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.(2015·温州高一检测)函数y=a x-1+1a>0,且a≠1一定过定点.

【解析】当x-1=0时,y=a x-1+1=a0+1=2,由此解得x=1,即函数恒过定点(1,2).

答案:(1,2)

14.= .

【解析】===1.

答案:1

15.(2015·常德高一检测)如果函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点,则实数a的值是.

【解析】由于函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点,即方程x2-ax+1=0仅有一个根,故Δ=a2-4=0,解得a=±2.

答案:±2

【延伸探究】若将函数改为f(x)=x2+ax-4在(0,1)内只有一个零点,则实数a的取值范围是.

【解析】由于函数f(x)=x2+ax-4在(0,1)内只有一个零点,且f(0)=-4<0,函数f(x)的图象开口向上,则必有f(1)>0,即1+a-4>0,所以a>3.

答案:a>3

16.对于定义在R上的函数f(x),有如下命题:

①若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数;

②若f(-4)≠f(4),则函数f(x)不是偶函数;

③若f(0)

④若f(0)

其中正确的有(写出你认为正确的所有的序号).

【解析】例如函数f(x)=x2,f(0)=0,但此函数不是奇函数,故①错误;若函数为偶函数,则在其定义域内的所有的x,都有f(-x)=f(x),若f(-4)≠f(4),则该函数一定不是偶函数,故②正确;对于函数f(x)=x2,f(0)

答案:②④

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)化简:÷×(式中字母都是正数).

【解析】原式=÷×

=××

=×a×=a2.

18.(12分)(2015·郑州高一检测)已知集合A=,B=.

(1)分别求

R (A B)∩

e,(R B

e)∪A.

(2)已知C=,若C?B,求实数a的取值集合. 【解析】(1)因为A∩B=,

所以

R (A B)∩

e=或,

因为

R B

e=,

所以(

R B

e)∪A=x<6或.

(2)因为C?B,所以

解之得3≤a≤8,所以a∈.

19.(12分)(2015·海口高一检测)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).

(1)求定义域.

(2)判断函数的奇偶性.

【解析】(1)由已知得所以可得-1

(2)f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-lg(1+x)+lg(1-x)=-=

-f(x).

所以f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)为奇函数.

20.(12分)(2015·梅州高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x ≤0时f(x)=x2+4x.

(1)求函数f(x)的解析式.

(2)画出函数的大致图象,并求出函数的值域.

【解析】(1)当x>0时,-x<0,因为函数是偶函数,故f(-x)=f(x),

所以f(x)=f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x,

所以f(x)=

(2)图象如图所示:

函数的值域为[-4,+∞).

【补偿训练】(2014·临沂高一检测)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点

A(2,1),B(5,2).

(1)求函数f(x)的解析式及定义域.

(2)求f(14)÷f的值.

【解析】(1)因为函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2),

所以即

所以

解得

所以f(x)=log3(2x-1),定义域为.

(2)f(14)÷f=log327÷log 3=3÷=6.

21.(12分)某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地,有汽车、火车两种运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如下表:

运输工具途中速度

(km/h)

途中费用

(元/km)

装卸时间

(h)

装卸费用

(元)

汽车50 8 2 1 000

火车100 4 4 2 000

若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为300元/h,设A,B两地距离为xkm.

(1)设采用汽车与火车运输的总费用分别为f(x)与g(x),求f(x)与g(x).

(2)试根据A,B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小).

(注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用)

【解析】(1)由题意可知,用汽车运输的总费用为:

f(x)=8x+1000+·300=14x+1600(x>0),

用火车运输的总费用为:g(x)=4x+2000+·300=7x+3200(x>0).

(2)由f(x)

由f(x)=g(x)得x=.

由f(x)>g(x)得x>.

所以,当A,B两地距离小于km时,采用汽车运输好;

当A,B两地距离等于km时,采用汽车或火车都一样;

当A,B两地距离大于km时,采用火车运输好.

【拓展延伸】选择数学模型分析解决实际问题

(1)特点:信息由表格数据的形式给出,要求对数据进行合理的转化处理,建立数学模型,解答有关的实际问题.

(2)三种常用方法:

①直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;

②列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;

③描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表

中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.

22.(12分)(2015·成都高一检测)已知函数f(x)=a+b x(b>0,b≠1)的图象过点(1,4)和点(2,16).

(1)求f(x)的表达式.

(2)解不等式f(x)>.

(3)当x∈(-3,4]时,求函数g(x)=log2f(x)+x2-6的值域.

【解析】(1)由题知

所以或(舍去),

所以f(x)=4x.

(2)因为4x>,

所以22x>,所以2x>x2-3,

所以x2-2x-3<0,所以-1

所以不等式的解集为(-1,3).

(3)g(x)=log24x+x2-6=log222x+x2-6

=2x+x2-6=(x+1)2-7,

因为-1∈(-3,4],所以g(x)min=-7,

当x=4时,g(x)max=18,所以值域为[-7,18].

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