三次函数PPT学习课件
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应用导数研究三次函数课件
3a 3a
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
第三讲三次样条函数
给定区间[0, 上 例1 给定区间 3]上 3 个点的函数 值 f(0)=0, f(1)=2, f(3)=4, 试求数 a, b, c, d, 使函数 S(x)为给定点上的三次样条插值 为给定点上的三次样条插值 函数. 函数 其中 x2 + x + d , 0≤ x ≤1 S( x) = 3 . 2 ax + bx + cx + 1, 1 ≤ x ≤ 3
答案: 答案 a = −1, b = 4, c = −2, d = 0.
给定n+1个样点 i, yi )(i=0, 1, …, n), 个样点(x 给定 个样点 确定一个三次样条插值函数需要4n个独 确定一个三次样条插值函数需要 个独 立条件. 在定义中, 已指定了4n–2个条件 即 个条件, 立条件 在定义中 已指定了 个条件
yi Mi yi +1 Mi +1 + − hi ( xi +1 − x ) + − hi ( x − xi ) 6 6 hi hi
x ∈ [ x i , x i +1 ]
( xi +1 − x )2 ( x − xi )2 S ′( x ) = − Mi + Mi +1 2hi 2hi yi +1 − yi Mi +1 − Mi hi + − hi 6
M 0 d0 M d 1 1 M 2 d2 = M M λ n −1 M n −1 d n −1 2 M n dn
对于第1型插值问题 对于第 型插值问题: 型插值问题 λ 0 = 1, d 0 = 6 ( y1 − y 0 ) h0 − y 0′ h0 , µ n = 1, d n = 6 y n′ − ( y n − y n − 1 ) hn − 1 hn − 1 . 对于第2型插值问题 型插值问题: 对于第 型插值问题 λ 0 = 0, d 0 = 2 y 0′′ , µ n = 0, d n = 2 y n′′ . 对于第3型插值问题 对于第 型插值问题: 型插值问题
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
11三次函数的性质及其简单应用
所以 1 2 c 3c 或 1 2 c 3c 解之得 0 c 7 4 3或c 7 4 3 7 4 3 ） 故所求c的范围是（0， （ 7 4 3， ）
例5 设
a为实数，函数 f ( ) 的极值； 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x)与 x 轴仅有一个交点 （2）当 2 解：(1) f ( x ) 3 x 2 x 1 1 5 f ( x ) f ( ) a ， 极小值是 f (1) a 1 ∴ 的极大值是 3 27 (2)函数
南京一中
孔凡海
由二次函数类比三次函数的图象和性质
二次函数
y ax2 bx c
三次函数
y ax3 bx2 cx d
图象特征 单调性 对称性
a 0 开口向上 a 0 开口向下
单调区间2个 对称轴 x
b 2a
a 0 朝向右上 a 0 朝向右下
单调区间1个或3个
所以
y ax3 bx2 cx d (a ≠0)，函数的对称中心是（
b b ，f ( ) ）。 3a 3a
3 2 f ( x ) ax bx cx d (a ≠0是中心对 ) 性质3：函数 b b ， f ( ) ）。 称图形，其对称中心是（ 3a 3a
尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数 的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线 方程等性质的研究，这也有助于提高知识的系统 性以及对三次函数的理解水平，拓宽解题思路。
解：（I）(b 1) 4c 3 2 2 （II）因为 F ( x) f ( x) g( x) x 2bx (b c) x bc ，2 3 x 4bx b 2 c 0 所以F（x）的导方程为：
人教A版高中数学选修3-1-7.1-三次、四次方程求根公式的发现-课件(共27张PPT)
当塔尔塔利亚获悉菲
奥尔确实身怀绝技的时候， 心里产生了极大的忧虑， 因为他深知自己的方法没 有普遍性，要想赢得比赛 的胜利，必须掌握更完善 的解法。为此，塔尔塔利 亚废寝忘食，夜以继日的 冥思苦想，终于在比赛前 夕得到了x3+px=q(p,q为正 数）这一类方程的解法， 从而在世界上最早的数学 竞赛中大获全胜。
2、数学上最早的数学竞赛
直到1500年左右，意大利波伦亚大学教授费 罗发现了x3+px=q(p,q为正数）类型的三次方程的 解法，但他没有发表自己的方法。因为十六七世纪 的人们，常把所获得的发现保密，然后向对手们提 出挑战，要他们解出同样的问题，费罗在1510年 左右将其传授给自己的学生菲奥尔等人。由于受当 时欧洲保密风气的影响，他们也未将其公布于世。
直到1828年在挪威军事科学院当上了代课教 师前，他一直没有固定的工作，只能以私人授课维 持生计，用他的话说“穷得就像教堂里的老鼠”。 然而，他并没有在逆境中倒下去，仍在坚持研究， 并取得了许多重大的成果。他写下了一系列关于椭 圆函数的文章，发现椭圆函数的加法定理，双周期 性，并引进了椭圆函数的反演，正是这些重大发现 才使欧洲数学家们认识到他的价值。1828年9月， 四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为这位 天才安排一个合适的职位。
宋元时期的秦九韶、李冶以及朱世杰等
人都三次、四次方程的求解方面作出过突出 贡献。但中国古代的努力方向主要是放在求 方程的数值解上，尽管能够求得三次、四次 甚至更高次的代数方程任意精度的数值解， 但始终未能获得求解三次、四次方程的一般 公式。总而言之，在16世纪之前，数学家们 对三次、四次方程的求根公式的研究都以失 败告终。
受拉格朗日的影响，鲁菲妮在1799年到1813 年之间做过好几种尝试，要证明四次以上方程不 能用代数方法解出，但他的努力也20多年，高次方程公式求解问题 仍然悬未决，困扰着众多的数学家。这时，一位来 自北欧挪威的小青年阿贝尔勇敢地站出来迎接挑战， 严格证明了如下事实：如果方程的次数n≥5，并且 系数a1,a2,...an看成字母，那么任何一个由这些字母 组成的公式都不可能是方程的根。
第三次解析函数
2
2 2
z平面上的每一点都是函 数z Re z， 2 z Re z , z 的奇点。
1 函数 是解析函数，点 z 0与点z 1是函数的 z ( z 1) 两个奇点。
2. 函数解析的条件
（1） 必要条件
若f ( z ) u( x, y) iv( x, y)在点z0 x0 iy0 处解析，则u( x, y)与 v( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内可偏导，且 满足柯西- 黎曼方程。
(1) 若f ( z)在点z0处可导，则必在 z0处连续，反之不然。
证明： 按定义证明，见P20.
u v u v , 为f ( z ) u iv的柯西 - 黎曼 注： 称关系式 x y y x (Cauchy Riem ann )方程.
4. 函数可导的充分条件
3. 解析函数的运算法则
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
e e cos z 2 eiz e iz sin z. 2i
iz iz
iz iz e e ieiz ie iz 2 2
例5
1 已 知 f ( z ) ( z 5z ) ， 求f ' ( z ) z 1
例2 解：
讨论函数f ( z) 2 z Re z的可导性 .
2 2
z平面上的每一点都是函 数z Re z， 2 z Re z , z 的奇点。
1 函数 是解析函数，点 z 0与点z 1是函数的 z ( z 1) 两个奇点。
2. 函数解析的条件
（1） 必要条件
若f ( z ) u( x, y) iv( x, y)在点z0 x0 iy0 处解析，则u( x, y)与 v( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内可偏导，且 满足柯西- 黎曼方程。
(1) 若f ( z)在点z0处可导，则必在 z0处连续，反之不然。
证明： 按定义证明，见P20.
u v u v , 为f ( z ) u iv的柯西 - 黎曼 注： 称关系式 x y y x (Cauchy Riem ann )方程.
4. 函数可导的充分条件
3. 解析函数的运算法则
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
e e cos z 2 eiz e iz sin z. 2i
iz iz
iz iz e e ieiz ie iz 2 2
例5
1 已 知 f ( z ) ( z 5z ) ， 求f ' ( z ) z 1
例2 解：
讨论函数f ( z) 2 z Re z的可导性 .
完整版函数的概念及表示法职高 ppt课件
用区间表示为 ,1 1, ．
巩 固 知 识 典 型 例 题 完整版函数的概念及表示法职高
函数定义域
若f (x)是整式，则函数的定义域是实数集R. 若f (x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集. 若f (x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于 或等于0的实数集.
高教社
巩 固 知 识 典 型 例 题 完整版函数的概念及表示法职高
1．判定点 M1 1, 2 ， M2 2, 6 是否在函数 y 1 3x 的图像上．
y
y
y
y
Ox
O
x
O
x
（A）
（B）
（C）
任意的x∈A，存在唯一的y与之对应
O
x
（D）
高教社
完整版函数的概念及表示法职高
完整版函数的概念及表示法职高
例7.判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （3） y=x2
（2）|y|=x （4）y2=x
(1)能
(2)不能 (3)能
(4)不能
例8.已知f(x)=3x－2, x∈{0,1,2,3,5}，
列成下面的表格，即为函数的列表法表示．
.
x（支）
1
2
3
4
5
6
y（元）
高教社
巩 固 知 识 典 型 例 题 完整版函数的概念及表示法职高
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数． 解 :（2）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角 坐标系中依次作出点（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）（3 ， 0.36）、 （4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法表示如图所示．
第三讲三次样条函数分析
答案: a 1, b 4, c 2, d 0.
给定n+1个样点(xi, yi )(i=0, 1, …, n), 确定一个三次样条插值函数需要4n个独 立条件. 在定义中, 已指定了4n–2个条件, 即
S ( x0 ) y0 , S ( xn ) yn S ( x i ) S ( x i ) yi , ( i 1, 2,...n 1) ( xi ) S ( xi ), S S ( x ) S ( x ), i i 所以, 一般需补充指定2个边界条件.
下面介绍几种常用的边界条件 第1型边界条件: 已知f(x)在两端点的导数f(a)和f(b), 要求 S'(a) = f '(a), S'(b) = f '(b) 第2型边界条件: 已知f(x)在两端点的二阶导数f (a)和f (b) ,要求 S(a)=M0 = f (a), S(b)=Mn= f (b) 特别当 S(a)= S(b) =0时, S(x)称为自然三次样条. 第3型边界条件： 已知f(x)是以b –a为周期的周期函数, 要求S(x)满 足周期条件 S(a) = S(b), S'(a+)= S'(b–), S(a+)= S(b–)
x [ xi , xi 1 ]
( xi 1 x )2 ( x xi )2 S ( x ) M i M i 1 2hi 2hi yi 1 yi M i 1 M i hi hi 6
下面考虑 Mi 的求法. 由连续性 S'(xi –)= S'(xi+), (i=1, 2, … , n–1) 得
二、三次样条插值
样条插值的思想: 逐段选取适当的 低次多项式, 按一定的光滑性要求连接起来 构成插值函数. 定义 设给定区间[a, b]上n+1个点 a=x0<x1<x2< <xn=b, 以及相应的函数值 yi=f(xi), i=0, 1, …, n. 如果 函数S(x)满足: (1)在每个子区间 [xk , xk+1](k=0,1,…,n–1)上, S(x) 是不超过三次的多项式, 且S(xi )=yi, i=0, 1, … , n; (2) S(x)、 S(x)、 S(x)在[a, b]上连续. 则称S(x)是f(x)在节点x0, x1, x2, …, xn上的三次样条插 值函数.
给定n+1个样点(xi, yi )(i=0, 1, …, n), 确定一个三次样条插值函数需要4n个独 立条件. 在定义中, 已指定了4n–2个条件, 即
S ( x0 ) y0 , S ( xn ) yn S ( x i ) S ( x i ) yi , ( i 1, 2,...n 1) ( xi ) S ( xi ), S S ( x ) S ( x ), i i 所以, 一般需补充指定2个边界条件.
下面介绍几种常用的边界条件 第1型边界条件: 已知f(x)在两端点的导数f(a)和f(b), 要求 S'(a) = f '(a), S'(b) = f '(b) 第2型边界条件: 已知f(x)在两端点的二阶导数f (a)和f (b) ,要求 S(a)=M0 = f (a), S(b)=Mn= f (b) 特别当 S(a)= S(b) =0时, S(x)称为自然三次样条. 第3型边界条件： 已知f(x)是以b –a为周期的周期函数, 要求S(x)满 足周期条件 S(a) = S(b), S'(a+)= S'(b–), S(a+)= S(b–)
x [ xi , xi 1 ]
( xi 1 x )2 ( x xi )2 S ( x ) M i M i 1 2hi 2hi yi 1 yi M i 1 M i hi hi 6
下面考虑 Mi 的求法. 由连续性 S'(xi –)= S'(xi+), (i=1, 2, … , n–1) 得
二、三次样条插值
样条插值的思想: 逐段选取适当的 低次多项式, 按一定的光滑性要求连接起来 构成插值函数. 定义 设给定区间[a, b]上n+1个点 a=x0<x1<x2< <xn=b, 以及相应的函数值 yi=f(xi), i=0, 1, …, n. 如果 函数S(x)满足: (1)在每个子区间 [xk , xk+1](k=0,1,…,n–1)上, S(x) 是不超过三次的多项式, 且S(xi )=yi, i=0, 1, … , n; (2) S(x)、 S(x)、 S(x)在[a, b]上连续. 则称S(x)是f(x)在节点x0, x1, x2, …, xn上的三次样条插 值函数.
导数之三次函数图像与性质ppt
5 5 ， 极小值-1， 当 a 或 a 1 时 27 27
函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 只有一个交点， 所以当 a ( ，
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
本课小结
3
几何画板
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x2 x x1
f ( x) ax bx cx d (a 0)
1 )上 3
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
方法二： 将 f ( x ) 与 x 轴交点问题转化为函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 的 交点个数问题
y=-a
y
5 27
x
-1
易求函数 g ( x ) x 3 x 2 x 的极大值
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
例 3 设 a 为实数，函数 f ( x ) x 3 x 2 x a 。 （Ⅰ）求 f ( x ) 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x )与x 轴仅有一个交点。
解法分析：
1 5 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 3 27
三次函数图像与性质
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>0
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：5.7三角函数的应用
解 （1）由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交 ON于点M.
当π2<θ≤π 时，∠BOM＝θ－π2. h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8 sinθ－π2； 当 0≤θ≤π2，π<θ≤2π 时，上述解析式也适合. 则 h 与 θ 间的函数解析式为 h＝5.6＋4.8sinθ－π2.
解析 设 y＝Asin（ωt＋φ）（A>0，ω>0），则从表中数据可以得到 A＝4，ω＝2Tπ ＝02.π8＝52π，又由 4sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取 φ＝－π2，则 y＝4sin52πt－π2， 即 y＝－4cos52πt. 答案 y＝－4cos52πt
一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养. 2.三角函数模型构建的步骤：
解 （1）由题图知 A＝300，设 t1＝－9100，t2＝1180，
则周期 T＝2（t2－t1）＝21180＋9100＝715. ∴ω＝2Tπ＝150π. 又当 t＝1180时，I＝0，即 sin150π·1180＋φ＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6.
故所求的解析式为 I＝300sin150πt＋π6.
【训练4】 一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组
对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个
三角函数式为
.
t0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1φ
（3）简谐运动的频率由公式___f=__T_=__2_π_给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内
三次函数的图像和性质
对函数f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0)的图像性质研究
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
导数与三次函数的关系(1)PPT课件
y=(x)的图象最有可能的是( )
y
y
y
O1
2
x
y (A)
2
1
x
(C)
1
2
x
y (B)
O
1
2
x
(D)
3,(00春)已知函数(x)=ax3+bx2+cx+d的
图象如右图,则(
)
y
（A）b,0（B）b0,1
（C）b1,2 （D）b2, O 1 2 x
4,方程x3－6x2+9x－10=0的实根
作业：整理导数知识
；https:///cn-zh 地热采暖地板 ；
在の境界还是差了壹些,他不像咱们,都有先祖の庇护,只要到了那个时间点了,咱们就可以壹飞冲天,他需要自己不断の努力进取争取到更高の境界去.""是呀,他要是现在有绝强者の境界の话,就没有什么可愁の了,现在还是弱了壹些."欧奕也感慨道："不过这小子体质特别,而且身怀赤子 之心,以他の天赋,早晚会独步天下,问鼎最强境界の,这里不是他の极限.""恩,他の机缘造化确实是令人惊羡,咱们一些师兄弟当中,就属他最特别,拍马也赶不上."金娃娃也感慨."出来了."这时候神光消退了不少,大概只有方圆三四万里大小了,只见神光圈の中间,有壹片金色の云彩从中升 腾了起来.这片金云之中,有壹个身高巨型の人类,正从中爬了出来,全身虽然有壹些血窟窿,但是却依旧有精神."他突破了!""好家伙,壹下子就是好几重境界!""到高阶圣境中阶了,这小子果然没让咱们失望!"远处根汉の变化,也令南天冰云震撼不已,她见到全身金色,身高千米之巨,从金云 中爬了出来."嘶."根汉身处金云之中,大嘴壹吸,将方圆万里内の金云,瞬间便吸进了体内,然后身形也缓缓の变小了,又回到了本来の面目."根汉!"南天冰云心中壹激动,立即飞向了根汉,因为根汉变小了,她隔了这么远,根本就了,所以就冲了过去."你们都别过来."而身在十万里开外の根汉, 突然猛の大喝壹声,好像都能听到十万里外の声音似の.在傲仙谷の上空,升起了壹道至强の金色光圈,光圈将那里给笼罩起来了,外人根本就进不去了,有恐怖の威能在那里压制着天地.（正文贰6捌5至尊之战）贰6捌6金色根汉贰6捌6"你们都别过来."而身在十万里开外の根汉,突然猛の大 喝壹声,好像都能听到十万里外の声音似の.在傲仙谷の上空,升起了壹道至强の金色光圈,光圈将那里给笼罩起来了,外人根本就进不去了,有恐怖の威能在那里压制着天地.恐怖の光圈发出壹阵强大の气浪,将正奔过去の南天冰云都给震退了几十里,在虚空中飞速の倒退,不过好在没有受伤, 只是壹阵柔和の气浪."小子还要突破."金娃娃咧嘴笑道,他和欧奕壹道出现在了南天冰云の身后,将这南天冰云给挡了下来."不要你们管."南天冰云还在生气.金娃娃咧嘴笑道："你这丫头片子,怎么就不识好人心呢,咱和帅神这是在帮你哦,其实咱们小师弟还是很不错の哦.""就是,小丫头 片子,你既然跟了咱们小师弟壹段时间,咱逃不出他の手掌心了."欧奕也哈哈笑道."去你们の."南天冰云站稳了,调整了壹下气息,正眼远处の光圈："你们是不是早就知道,他会没事の?""呵呵,本帅不是和你说过了嘛,咱们小师弟天赋异禀,无数女人喜欢,这样の坏人怎么可能就死呢."欧奕 哈哈笑道.金娃娃也在这里起哄："就是哦,根汉这家伙虽然没有本神帅,不过倒也还算可以了,跟着他可是壹件好事.""净胡扯."南天冰云有些无语,这两家伙净扯些有の没の,她问金娃娃："刚刚你说他要突破了,为什么这么讲?""呃,妹子,难道你还没吗?"金娃娃有些无语,"就这样の架势,要 是还不突破,那他可以去吃屎了.""你才去吃屎呢,真恶心."南天冰云气极.都说无心峰の人是疯子,真不假,这么壹比,根汉比他们这两人要正常太多了,这两家伙才是真正の疯子,有精神病呢."呵呵,护夫心切嘛妹子."金娃娃笑了笑,并不放在心上.女人越骂他,他越爽呢,人就是这么贱呀."这 到底是怎么回事?"南天冰云又问他们,"你们两个也不清楚吗?"金娃娃眼睛壹翻："咱们哪里知道呢,咱们又不是他肚子里の虫,在外面等着吧,既然他没死早晚会出来の.""死胖子,刚刚好险,咱们也算是在生死关走了壹遭,咱们先下去喝壹杯."欧奕说."好好,是要好好喝壹杯压压惊,好怕怕 呀."这两人の语气,哪像是受了惊の样子.欧奕又问南天冰云："妹子,你不过来喝点尔?""哼!"虽然嘴上是有些生气,可却还是跟着他们壹起下去了,她这些天也挺累の,而且她还想知道壹下,那光影阵中到底发生了什么.这回の重铸天宫の路上,到底又发生了什么事情.三人很快便降到了下面 の壹座山峰之上,这里环境还算不错,只是上面有些风大了."砰砰砰."金娃娃拿出了壹块大金砖,照着下面の山巅便是壹阵砸,没壹会尔就砸出了壹座宫殿了."死胖子,别弄成金子做の阁楼,不然咱们走了."眼就要完工了,欧奕赶紧提醒他.壹旁の南天冰云,则是有些诧异,不知道这两人在做什 么鬼,玩什么鬼飞机."你个帅神,太不厚道了."金娃娃哼道："你知道本神,没有金子吃不下东西の."说完他便要装饰面前の石宫了,不过还是被欧奕给拦住了："死胖子,你也不怕晃瞎咱们の眼睛,要是不吃你就去别处.""你.""罢了,本神今天就将就壹回."金娃娃还是妥协了,壹旁の南天冰云 则是壹头の黑线,这两人の对话实在是没有半点营养.三人落到了这个石宫中,其实也就是中间掏空了,上面还留有壹层石壁,挡风遮雨の,外观是粗糙了壹些,不过好在还是挺有用の.欧奕取出了壹个银色の大炉子,往炉子下面丢了壹颗火珠,火珠立即燃起了炽热の火焰,而且似乎烧不停."定 火珠."壹旁の南天冰云睁大了眼睛,没想到这家伙竟然拿定火珠这样の神物,当作烤肉の火用,实在是有些狗血.而金娃娃,则是取出了壹枚铁质の储物戒子,从里面取出了壹条体长超过百米の大鱼,直接就架在了这火炉子上."这两家伙."南天冰云心中暗骂,这两人真是无良,这条大鱼也是壹 条灵鱼,其修为应该也达到了法则境了,人家辛苦不知道多少年才能修行到这个地步,却被这两家伙给宰了烤了吃了.不过这鱼肉应该挺好吃の,灵鱼の肉当然好吃,她也不拒绝.没壹会尔就飘开了阵阵扑鼻の鱼肉香味,令人口水狂吞.南天冰云问金娃娃："死胖子,你们是怎么到の天府?""咦?" 金娃娃笑了笑："只有咱们无心峰の自己人,才能叫咱死胖子,你要是也这样喊本神,就说明你是根汉の女人哦,要不然本神可是要对你施以极刑の.""是就是了,你真是烦不胜烦耶!"南天冰云有些无语了,这两家伙壹直在催自己和根汉の好事,管他是不是呢,现在先不要听到这种话了,烦の要 死."哈哈,那本神就告诉你."金娃娃哈哈笑了笑,从鱼身上,划下了壹块鱼腹上面の鲜肉,递给了南天冰云："这肉最先熟,也是最鲜の,你尝尝.""好."南天冰云美目转了转,心想这承认自己是根汉の女人,是有好处の嘛,管他是不是呢,有便宜不占白不占.她立即吃了起来,感觉味道确实是很不 错,入口即化,甘醇香甜,还有壹丝淡淡の香味.金娃娃说："其实天府很了不起呢,咱们都是被传送阵同壹时间传送过来の.""同壹时间传送过去?怎么可能?"南天冰云有些诧异.这时候欧奕也划了两块肉下来,丢给了金娃娃说.金娃娃甩了欧奕壹个眼神,欧奕接过话茬说："恐怕与天府外面の 这些法阵有关系吧,大概是连接了外面の大量法阵,壹共有上万座法阵,都与天府相连.""他们用了壹些特别の手段,就可以将分散在天南界外面の十余万人都传送过来了."欧奕说."对了,你们有没有见过根汉の女人们?"南天冰云问道,"他壹直在担心她们会出事,要不然也出此下策,控制这里 の法阵,他为此可是付出了不小の代价の.""应该没有吧."欧奕想了想说："死胖子,咱们刚刚冲上来の时候,你有没有见到她们?""好像没有."金娃娃皱眉说："如果她们真の有来の话,刚刚根汉那家伙肯定第壹个把她们给救出来了,哪里还顾得上咱们两个大老男人.""那她们难道没有来吗?" 南天冰云有些诧异,"咱听根汉说,他这回来主要是想夺回你们大师兄の元灵碎片,你们来这里也是为了这个吗?""当然是了."金娃娃点了点头,提到这个面色也正经了不少："那架势,不知道那小子是杀了那天府府主,还是将天府府主给击退了,咱们应该有机会进入里面去寻找大师兄の元灵碎 片了.""刚刚那么恐怖の战斗,你们大师兄の元灵碎片,不会被毁了吧?"南天冰云有些担忧.欧奕和金娃娃面色都有些难奕说："希望不会发生这样の事情.""咱想�
【高教版】中职数学基础模块上册：3.1《函数的概念及表示法》ppt课件(2)
③ 在求分段函数的函数值时，需要注意的是， 对给定的自变量，首先要确定它所在范围， 再根据该范围的对应法则（即函数表达 式），计算函数值。
课堂练习题
◆ 知识巩固3 P69 2、已知一半径为r厘米的圆，若该圆的半径 增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写 出y关于x的函数关系式。 3、设 x0 x 1
教学要求
◆ 学会用函数的概念观察、认识、分析客观 世界中变量之间的关系，理解函数是变量 之间关系的数学模型。 ◆ 学会用恰当的方法（解析法、列表法、图 像法）表示函数，会解读用列表法与图像 法表示的函数关系的实际含义。 ◆ 会求一些简单函数的定义域。 ◆ 理解函数值的概念，并学会用观察与分析 的方法得到一些简单函数的值域。
得 x 2, x 3 所以这个函数的定义域为 2,3 3,
③ 函数的定义域不等式组
x 1 0 2 x 0
得 1 x 2 所以这个函数的定义域为 1, 2
课堂练习题
◆ 知识巩固1 P62 1、写出反比例函数和一次函数的一般形式， 并确定它们的定义域和值域。 2、用一段长为40米的篱笆围一块矩形绿地， 矩形一边长为x米，面积为y平方米，请写 出y关于x的函数关系式，并求它的定义域。 3、求下列函数的定义域： ① y 3x 1 ② y x 1
f x 1 0 x2 x 1 x2
① 试确定函数f(x)的定义域； ② 求f(-2),f(0),f(1.5),f(3)的值。
x
函数的表示方法
表示两个变量之间的函数关系的方法有解析 法、列表法和图像法。 正比例函数 y kx(k 0) ，反比例函数 k y (k 0) ，一次函数 y kx b(k 0) ，二次 x 2 函数 y ax bx c(a 0) 都是用解析式来表 示两个变量之间函数的关系。 这种用解析式来表示函数的方法称为解析法。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用-第四节 三次函数的图象与性质
[, ]上恒成立，可得 ≤ + ， + ≥ ⋅ = ，当且仅当 = 时取等号，可
得 ≤ .故选D.
2
3
（2）已知函数 = 3 + 2 + + 在 = − 与 = 1处都取得极值.
①求,的值与函数 的单调区间；
解 = 3 + 2 + + ，′ = 3 2 + 2 + ，由
−
−
> ,
−
< ,
即
−
−
−
−
+ > ,
解得 < −.故选B.
−
−
+
+ < ,
（2）(2023扬州校考)设为实数，函数 = − 3 + 3 + .
①求 的极值.
解 ′ = −3 2 + 3，令′ = 0，得 = −1或 = 1.当 ∈ −∞, −1 时，′ < 0；
− ,
3
−
3
和极小值点三等分，类似地，对极小值也有类似结论.
自测诊断
1.已知三次函数 =
1 3
3
− 4 − 1 2 + 152 − 2 − 7 + 2在上是增函数，
则实数的取值范围是() D
A. < 2或 > 4B.−4 < < −2C.2 < < 4D.2 ≤ ≤ 4
为
1 ，2
1 ，2
三次函数的图象与性质
问题4
已知函数f ( x) x ax bx 1(a, b R )
3 2
当a 0, b 1时,过点P(2,m)存在三条直线 与函数y=f ( x)的图象相切，求实数m 的取值 范围.
解：f ( x) x 3 x 1, f ' ( x) 3x 2 1, 设切点为(x0 , x03 x0 1) 切线方程为：y-x03 x0 -1=(3x0 2 1)(x x0） 由于切线过点（ P 2，m), 得：2 x03 6 x0 2 1+m=0 令g ( x) 2 x 3 6 x 2 1+m, g ' ( x) 6 x 2 12 x 6 x( x 2), 存在三条切线说明函数y=g ( x)有三个不同的零点， 从而g(0)g (2) 0 即(m+1)(m-7)<0 解得 1 m 7.
问题6
已知函数f ( x) x 3 ax 2 bx 1(a, b R ) 2 2 3 ，a 若3, f ( x), f ' ( x)这两个函数的 若b= a + 且 9 a 7 所有极值之和不小于- ，求实数a 的取值范围. 2
解：f( x) x 3 a 2 bx 1, f ' ( x) 3 x 2 2ax b,
问题5
已知函数f ( x) x 3 ax 2 bx 1(a, b R ) 2 3 若g( x) x x 2 b 1，记h( x)=f ( x) g ( x)， 3 当a 2时，函数y=h( x)有且只有一个零点， 求实数b的取值范围.
1 3 解：h( x) x x 2 bx b, h ' ( x) x 2 2 x b, 3 (1)当b ≥ 1时， ≤ 0，f ( x)在（-， +）单调递增，满足条件； （2）当b<1时， 0，设 h ' ( x) 0的两个根为x1 , x2 , 则 x1 1 1 b , x2 =1+ 1 b， h( x) 0只有一个根需要h( x1 )h( x2 ) 0 1 3 2 h( x1 ) （1 1 b） （1 1 b） （ b 1 1 b） b 3 1 3 2 h( x2 ) （1+ 1 b） （1+ 1 b） （ b 1+ 1 b） b 3
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若 2 a 0，显然 F ( x )min 4 0 ;若 2 a 0，F ( x) 3 x 2 (4 2a) x 2a 4 令F ( x ) 0， 解 得 x 0，x 3 2a 4 2a 4 当0 x 时, F ( x ) 0; 当 x 时, F ( x ) 0; 3 3
2a 4 2a 4 2a 4 ∴当 x 0， 时, F ( x)min F ≥ 0即 (a 2) 4≥0 3 3 3 解不等式得a ≤ 5， 2 a ≤ 5 当x 0时，F ( x ) 4 满足题意.
a<0
x1
x2
x1
x2
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的单调性与极值
• ①a>0,△≤0时，f(x)在R上是单调递 增的. • ② a<0,△≤0时，f(x)在R上是单调 递减的. • ③a>0,△>0时，f(x)在(∞,x1)↑,(x1,x2)↓(x2,+∞)↑. • ④a<0,△>0时，f(x)在(-∞,x1) ↓,(x1,x2)↑, (x2,+∞) ↓. • ①a>0,△≤0时，f(x)在 R上无极值. • ② a<0,△≤0时，f(x) 在R上无极值. • ③ a>0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极大值，在 x=x2有极小值. • ④ a<0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极小值，在 x=x2有极大值.
△≤0 a>0 a<0 a>0
△>0 a<0
三次方程的根与交点问题
△≤0 △>0
a>0
a<0
a>0
a<0
f(x)=0有且仅有一个实根， f(x)的极大值小于0或极小值大于 y=f(x）与x轴有且仅有一个 0 f(x)=0有且仅有一个实根。 f(x)的极大值等于0或极小值等于 交点。
f(x)的极大值大于0且极小值小于 0 ，f(x)=0有且仅有三个不等实 根。y=f(x）与x轴有且仅有三个 交点。
2
函数， 所以 f ( x) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立， 即 x2 ax 2 ≤ 0 对 x 1,1 恒成立，解之得： 1 ≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为 1,1 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f ( x) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ( x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
三次函数的图像
例题1、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1 时, 有极值10, 那么a,b的值为 . 对吗？
我来画图 看看
a 4 a 3 或 . 例1. 解： b 11 b 3
反思:极值存在的条件是什么呢？
2 3 例题 2 、已知函数 f ( x ) 4 x ax x ( x R ) 在区间 3 1,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围． 解： f ( x) 4 2ax 2x2 ，因为 f x 在区间 1,1 上是增
三次函数
---导数应用中一颗璀璨的明珠
复习回顾
例题精讲
课堂小结
课后思考
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
• 其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0) • 导函数的判别式为△=4b2-12ac △≤0 a>0 a<0 a>0 △>0
例3．设a为实数,函数f(x）=x3-x2-x+a (1) 求f(x)的极值. (2) 当a在什么范围内取值时, 曲线y=f(x)与x轴仅 有一个交点.
(1)f(x)的极大值是f(-1/3)=5/27+5, 极小值是 f(1)=a-1. (2)当a (-∞,-5/27)U(1,+∞)时, 曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.
例4. 已知曲线C: y=4ax3+x, 过点Q(0,-1)作C的切线 l, 切点为P. (1) 求gt;0, 过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T, 求|OT|的最小值(O为原点). (1)切点Ｐ总在直线y=x+1/2上 (2)|OT|的最小值为2+ 6.
例题 5、已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值；
都有 f ( x) ≥ g( x) ， ⑵若对任意的 x 0， 求实数 a 的取值范围. 1 2 解:⑴ f ( x) 3 x 4 x 1 令f ( x ) 0 解得 x1 1或x2 3 当 x 变化时， f ( x )、f ( x ) 的变化情况如下：
0 f(x)=0有且仅有三个实根， y=f(x）与x轴有且仅有两个交点。
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的切线问题与对称中心
• 过点（m,n)引直线与y=f(x)的图像相切的直 线的条数问题。可转化为关于x1的三次方程 n-f(x1）=f(x1)(m-x1)的不同根的个数问题。 • 三次函数的对称中心为(-b/(3a),f(- b/(3a)) • 过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切 的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对 称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线 有二条.
∴当 x=-1 时， f ( x ) 取得极大值为 4 ； 1 112 当 x 时， f ( x ) 取得极小值为 . 3 27
已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值； ⑵若对任意的 x 0， 都有 f ( x) ≥ g( x) ，求实数 a 的取值范围. ⑵设 F ( x) f ( x) g( x) x 3 (2 a) x 2 4 F ( x) ≥ 0在0， 恒成立 F ( x)min ≥ 0，x 0，
2a 4 2a 4 2a 4 ∴当 x 0， 时, F ( x)min F ≥ 0即 (a 2) 4≥0 3 3 3 解不等式得a ≤ 5， 2 a ≤ 5 当x 0时，F ( x ) 4 满足题意.
a<0
x1
x2
x1
x2
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的单调性与极值
• ①a>0,△≤0时，f(x)在R上是单调递 增的. • ② a<0,△≤0时，f(x)在R上是单调 递减的. • ③a>0,△>0时，f(x)在(∞,x1)↑,(x1,x2)↓(x2,+∞)↑. • ④a<0,△>0时，f(x)在(-∞,x1) ↓,(x1,x2)↑, (x2,+∞) ↓. • ①a>0,△≤0时，f(x)在 R上无极值. • ② a<0,△≤0时，f(x) 在R上无极值. • ③ a>0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极大值，在 x=x2有极小值. • ④ a<0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极小值，在 x=x2有极大值.
△≤0 a>0 a<0 a>0
△>0 a<0
三次方程的根与交点问题
△≤0 △>0
a>0
a<0
a>0
a<0
f(x)=0有且仅有一个实根， f(x)的极大值小于0或极小值大于 y=f(x）与x轴有且仅有一个 0 f(x)=0有且仅有一个实根。 f(x)的极大值等于0或极小值等于 交点。
f(x)的极大值大于0且极小值小于 0 ，f(x)=0有且仅有三个不等实 根。y=f(x）与x轴有且仅有三个 交点。
2
函数， 所以 f ( x) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立， 即 x2 ax 2 ≤ 0 对 x 1,1 恒成立，解之得： 1 ≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为 1,1 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f ( x) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ( x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
三次函数的图像
例题1、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1 时, 有极值10, 那么a,b的值为 . 对吗？
我来画图 看看
a 4 a 3 或 . 例1. 解： b 11 b 3
反思:极值存在的条件是什么呢？
2 3 例题 2 、已知函数 f ( x ) 4 x ax x ( x R ) 在区间 3 1,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围． 解： f ( x) 4 2ax 2x2 ，因为 f x 在区间 1,1 上是增
三次函数
---导数应用中一颗璀璨的明珠
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三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
• 其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0) • 导函数的判别式为△=4b2-12ac △≤0 a>0 a<0 a>0 △>0
例3．设a为实数,函数f(x）=x3-x2-x+a (1) 求f(x)的极值. (2) 当a在什么范围内取值时, 曲线y=f(x)与x轴仅 有一个交点.
(1)f(x)的极大值是f(-1/3)=5/27+5, 极小值是 f(1)=a-1. (2)当a (-∞,-5/27)U(1,+∞)时, 曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.
例4. 已知曲线C: y=4ax3+x, 过点Q(0,-1)作C的切线 l, 切点为P. (1) 求gt;0, 过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T, 求|OT|的最小值(O为原点). (1)切点Ｐ总在直线y=x+1/2上 (2)|OT|的最小值为2+ 6.
例题 5、已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值；
都有 f ( x) ≥ g( x) ， ⑵若对任意的 x 0， 求实数 a 的取值范围. 1 2 解:⑴ f ( x) 3 x 4 x 1 令f ( x ) 0 解得 x1 1或x2 3 当 x 变化时， f ( x )、f ( x ) 的变化情况如下：
0 f(x)=0有且仅有三个实根， y=f(x）与x轴有且仅有两个交点。
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的切线问题与对称中心
• 过点（m,n)引直线与y=f(x)的图像相切的直 线的条数问题。可转化为关于x1的三次方程 n-f(x1）=f(x1)(m-x1)的不同根的个数问题。 • 三次函数的对称中心为(-b/(3a),f(- b/(3a)) • 过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切 的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对 称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线 有二条.
∴当 x=-1 时， f ( x ) 取得极大值为 4 ； 1 112 当 x 时， f ( x ) 取得极小值为 . 3 27
已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值； ⑵若对任意的 x 0， 都有 f ( x) ≥ g( x) ，求实数 a 的取值范围. ⑵设 F ( x) f ( x) g( x) x 3 (2 a) x 2 4 F ( x) ≥ 0在0， 恒成立 F ( x)min ≥ 0，x 0，