同角三角函数基本关系式PPT课件
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高中数学《同角三角函数的基本关系》课件
一 同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解 由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一 同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以 看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数 的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一 同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于 点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一 同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解 由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25
同角三角函数的基本关系式课件
利用同角三角函数的基本关系式， 可以将复杂的三角函数表达式进
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
同角三角函数的基本关系(用).ppt
A.
B.
1,3 3,1,3
D.
化简 (1) cos tan
2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
例3 求证
cos x 1 sin x 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
1 2 3 4 5 左→右 右→左 左右同时证 作差 作商
练习
(3) tan 2
?
不存在
练习:
4 已知 cos ，且 为第三象限角， 5
求 sin , tan的值
3 例1 已知 sin ,求 cos , tan 的值. 5 解:因为 sin 0, sin 1 , 所以 是第三或第四象限角.
是否存在同时满足下列三个条件的角
?
3 (1) sin 5 5 (2) cos 13
(3) tan 2
复习任意角的三角函数
α的终边
P(x,y) M O T A(1,0) x y
（1）y叫做 的正弦，记作
sin y =MP
sin ，即
x （2） 叫做 的余弦，记作
作业布置：
P21
A组10 （1）（2）（3）； 13（1）（2）；
课堂作业： 作业三
祝同学们 学习进步
求证 (1) sin 4 cos4 sin 2 cos2
(2) sin 4 sin 2 cos2 cos2 1
小结:
1.同角三角函数的基本关系
2.同角三角函数的基本关系的应用 (1)已知角 的某一三角函数值,求它的其它三角
函数值;
(2)公式的变形、化简、恒等式的证明.
练 习
5 已知 cos 求 sin , tan 的值. 13
B.
1,3 3,1,3
D.
化简 (1) cos tan
2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
例3 求证
cos x 1 sin x 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
1 2 3 4 5 左→右 右→左 左右同时证 作差 作商
练习
(3) tan 2
?
不存在
练习:
4 已知 cos ，且 为第三象限角， 5
求 sin , tan的值
3 例1 已知 sin ,求 cos , tan 的值. 5 解:因为 sin 0, sin 1 , 所以 是第三或第四象限角.
是否存在同时满足下列三个条件的角
?
3 (1) sin 5 5 (2) cos 13
(3) tan 2
复习任意角的三角函数
α的终边
P(x,y) M O T A(1,0) x y
（1）y叫做 的正弦，记作
sin y =MP
sin ，即
x （2） 叫做 的余弦，记作
作业布置：
P21
A组10 （1）（2）（3）； 13（1）（2）；
课堂作业： 作业三
祝同学们 学习进步
求证 (1) sin 4 cos4 sin 2 cos2
(2) sin 4 sin 2 cos2 cos2 1
小结:
1.同角三角函数的基本关系
2.同角三角函数的基本关系的应用 (1)已知角 的某一三角函数值,求它的其它三角
函数值;
(2)公式的变形、化简、恒等式的证明.
练 习
5 已知 cos 求 sin , tan 的值. 13
同角三角函数的基本关系ppt课件
5.2.2同角三角函数 的基本关系
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?
第五章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件共51张PPT
(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin
高一数学必修四-6.同角三角函数的基本关系PPT教学课件
17
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限 角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时，
s in1 c o s2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
15
tansin 17 15.
cos 8 8
17
2020/10/16
7
当α是第三象限角时，
s in 1 c o s 2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
A(1,0)
思考 当角α 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 α 的终边在x 坐标轴上时, s2 i n c2 o 0 s 1 1
当2角020/α10/的16 终边在y坐标轴上时, s2 i n c2 o 1 s0 12
探究2 观察任意角α的三角函数
siny, c o s x ,tany,(x0) x
2020/10/16
tan tan21
2
22
1
2 5
13
例 3、已知 tan 2，求下面各式的值。
( 4 ) sin cos 2
5
2020/10/16
14
应用2:化简三角函数式:
例4:化简： 1sin2440
解： 1 sin 2 440 1 sin 2 80 cos 2 80 cos 80
1 sin 2 440 cos 2 440 cos 440 cos 80
cos 80
2020/10/16
cos 80 15
1co tsan 212c2os2sin21
切化 ta弦 ncs： ions
解 co ： ts an co •s c si o nssin
2020/10/16
角.2020/10/16
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限 角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时，
s in1 c o s2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
15
tansin 17 15.
cos 8 8
17
2020/10/16
7
当α是第三象限角时，
s in 1 c o s 2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
A(1,0)
思考 当角α 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 α 的终边在x 坐标轴上时, s2 i n c2 o 0 s 1 1
当2角020/α10/的16 终边在y坐标轴上时, s2 i n c2 o 1 s0 12
探究2 观察任意角α的三角函数
siny, c o s x ,tany,(x0) x
2020/10/16
tan tan21
2
22
1
2 5
13
例 3、已知 tan 2，求下面各式的值。
( 4 ) sin cos 2
5
2020/10/16
14
应用2:化简三角函数式:
例4:化简： 1sin2440
解： 1 sin 2 440 1 sin 2 80 cos 2 80 cos 80
1 sin 2 440 cos 2 440 cos 440 cos 80
cos 80
2020/10/16
cos 80 15
1co tsan 212c2os2sin21
切化 ta弦 ncs： ions
解 co ： ts an co •s c si o nssin
2020/10/16
角.2020/10/16
同角三角函数的基本关系与诱导公式 (共32张PPT)
[题组练透]
1．已知
5π 1 sin 2 ＋α＝ ，那么 5
cos α＝ 1 B．－ 5 2 D． 5
(
)
＋α＝sin2＋α＝cos
1 α＝ . 5
sinkπ＋α coskπ＋α 2．已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是 sin α cos α ( A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2} B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2} )
第二节
同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础盘查一
同角三角函数的基本关系
(一)循纲忆知
sin α 理解同角三角函数的基本关系式： sin α＋cos α＝1， ＝tan α. cos α
2 2
同角三角函数的基本关系：
sin α + cos α = 1
2
2
sinα = tanα cosα π (当α ≠ kπ + (k∈ Z)时） 2
用文字叙述：
同一个角α的正弦、余弦的平方 和等于１，商等于角α的正切；同一 个角的正切、余切之积等于１（即同 一个角的正切、余切互为倒数）。
为了加深对关系式的认识，注意以下几 点 ： 1、同角的理解：
sin 4 cos 4 1
2 2
2 2
sin ( ) cos ( ) 1
3 . 3
5．化简：
3π tanπ－αcos2π－αsin－α＋ 2
cos－α－πsin－π－α
.
－tan α· cos α· －cos α 解：原式＝ cosπ＋α· －sinπ＋α sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α ＝ ＝ －cos α· sin α －sin α ＝－1.
同角三角函数的基本关系 课件
3t－t3
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
数学人教A版必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系课件
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1: 角 为任意角时,公式都成立吗?
,
同角三角函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
是第三象限角”这个条件舍去，
学以致用
小结:如果已知某个三角函数值,且角所在象限是确定,那么可以通 过同角三角函数关系式,求出其它三角函数,而且只有一种结果. 如果只给了某个三角函数值,那么要按角所在象限进行讨论,分别 写出答案,这时一般有两组结果.所以在求值中,确定角所在象限是 解题关键。
学以致用 练习：
5.2.2同角三角函数 的基本关系
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
追问: 你能证明这个结论吗？ 当 为象限角时，过 P 作 x 轴的垂线,交 x 轴于 M，
∵ △OMP 是直角三角形,而且 OP =1
由勾股定理有 OM2 +MP2=1, ∴x2+ y2 =1,即
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问: 你能证明这个结论吗？
当 的终边与坐标轴重合时， 这个公式也成立。
ห้องสมุดไป่ตู้
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
同角三角函数的基本关系课件
cosθ＝±75.
[错因分析] 该解法忽略了角 θ 的取值范围．根据 0<θ<π
这一条件，可以确定 sinθ－cosθ 的符号．
[思路分析] 在已知 sinθcosθ 的值求 sinθ＋cosθ 或 sinθ－ cosθ 的值时需开方，因此要根据角的范围确定正负号的选择．
[正解]
∵
sinθ
＋
cosθ
tanα·cosα，cosα＝tsainnαα；1±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.
忽略角的取值范围，造成增根或丢根 已知 sinθ＋cosθ＝15，且 0<θ<π，求 sinθ－cosθ 的值．
[错解]
∵
sinθ
＋
cosθ
＝
1 5
，
∴
(sinθ
＋
cosθ)2
＝
1 25
，
解
得
sinθcosθ＝－1225.∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4295，故 sinθ－
＝
1 5
，
∴
(sinθ
＋
cosθ)2
＝
1 25
，
解
得
sinθcosθ＝－1225.∴(sinθ－cosθ)2＝1 sinθcosθ<0，∴sinθ>0，cosθ<0，
∴sinθ－cosθ>0，∴sinθ－cosθ＝75.
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
(1)关系式： ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1 .
②商关系： sinα ＝ cosα
tanα
(α≠kπ＋π，k∈Z)． 2
(2)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的 平方和等于 1，
《同角三角函数的基本关系》三角函数PPT优秀课件
9
4
2
2
=
+ 2
9
4
都成立.( ×
2
√
)
)
= 1，所以2 + 2 = 1成立，其中、为任意角.( × )
(4)对任意角， = ∙ 都成立.(
×
)
新知探索
辨析2:(1)已知 ∈
A.
B.−
(0, ),
(
2
∈ )时，有：
= .
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
新知探索
同角三角函数的基本关系
平方关系
sin cos 1
2
2
sin
商数关系
tan
cos
sin 2 是（sin ) 2的简写
k ( k Z )
2
所以，原式成立.
=
=
(1+ )
1−2
1+
=右边.
今后，除特殊注明外，
我们假定三角恒等式是
在使两边都有意义的情
况下的恒等式.
等式左边
恒等变形
例析
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
例2.求证：
−
=
+
.
例析
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
+
例2.求证：
=
.
−
证法1：由 ≠ 0，知 ≠ −1，所以1 + ≠ 0，
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课题
三角函数复习课
同角三角函数基本关系式
2020年10月2日
授课教师
1
-α-sinαcosα-tanαπ+α-sinαcosαtanαπ-αsinα-cosα-tanα2π-α-
sinαcosα-tanααcosαsinαcotα+αcosα-sinα-cotαα-cosα-sinαcotα+α-cosαsinα-cotα
1 3
，求tanα。
【 解 析 】 （ 1 ） 因 s i n α = 1 ， α 为 第 二 象 限 角 ，
3
c o s α = - 1 s i n 2= - 1 ( 1 ) 2 = - 2 2 33
t a n α = s i n = - 2 c o s4
2020年10月2日
12
（2）因sinα=1＞0，α为第一或第二象限角，
2020年10月2日
怎么推导？
7
三角函数的诱导公式
sinα
cosα
2kπ+α
sinα
cosα
-α
-sinα
cosα
π+α
-sinα
-cosα
π-α
sinα
-cosα
2π-α
-sinα
cosα
-α 2 2 +α 3 2 -α
3 2 +α
cosα cosα -cosα -cosα
sinα -sinα -sinα sinα
4
考试要求
• 掌握同角三角函数的基本关系式 ▪ 掌握正余弦正切的诱导公式
2020年10月2日
5
应试策略
诱导公式是基础，单独考诱导公式的问题并 不多，牢固掌握并能迅速准确应用诱导公式， 是本章的基本要求。
三角函数的概念是基础，三角公式变换是工 具，抓好基础，用好概念，是掌握好三角函 数的重要路径。
由定义可以推导出同角关系:
平方关系：sin2α+cos2α=1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α
商 数 关 系 ： t a n α = s i n ， c o t α = c o s
c o s s i n
倒数关系：sinαcscα=1， cosαsecα=1，tanαcotα=1
5
3
14
练习（1）已知 A 是三角形的内角，且 sinA+cosA= 1 ，则 cos2A
2
等于
。
【答案】 - 7
4
2020年10月2日
15
• 总结： • 多种名称想切化弦；遇高次就降次消元； • asinA+bcosA提系数转换； • 多角凑和差倍半可算； • 难的问题隐含要显现； • 任意变元可试特值算； • 求值问题缩角是关键； • 字母问题讨论想优先； • 非特殊角问题想特角算； • 周期问题化三个一再算； • 适时联想联想是关键！
2020年10月2日
2
同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式
2020年10月2日
考试内容 考试要求
应试策略
3
本节主要考试内容
1ta、nα同=角csio三ns 角函; ta数nα的cot基α=1本关系式：sin2α+cos2α=1
2、三角函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
2020年10月2日
⑵若 cos( 3 ) 值5. ,求 f ( ) 的值.
2 13
2020年10月2日
10
例 1 已知 α 是第三象限的角，且 f （α）
sin()cos(2)tan(3)
=
cot()sin() 2 ；
（1）化简f（α） ；
（2）若cos（α-3 ）=1,求f（α）的值；
2
5
（ 1 ） f （ α ） = s i nc o sc o t= - c o s α ； ( c o t) s i n
3
当α为第一象限角时，cosα= 1sin2=2 2，
3
tanα= 2，
4
当α为第二象限时，由（1）知，tanα=- 2。
4
2020年10月2日
13
• 例3 已知α是三角形的内角，且 sinα+cosα= ，1 求tanα的值。
5
解：由 sinα+cosα= 1 ，平方整理得 Sinαcosα=- 12 ＜0，
5
25
因 α 为三角形的内角， 0＜α＜π，sinα＞0，cosα＜0，
sinα-cosα＞0.
因（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα= 49 sinαcosα= 7 。
25
5
sinα+cosα= 1
5
sinα= 4
5
由
Sinα-cosα= 7
2020年10月2日
5
cosα=- 3 tanα=- 4 。
2020年10月2日
16
1．, 为锐角， sin 5 ,cos 10 , 求
A A .B .5C .3 1D 0 .3
4 44
4
2.ta7 n0 0ta5 n0 0 3ta5 n0 0ta7 n0 0()
A. 3B. 3C. 3D . 3
3
3
3.si2 n(30 0)si2 n(30 0)si2 n()
三角函数在高考试题中每年必考，分值一般 占15%，各种题型都有，一般为中低档试题。
2020年10月2日
6
知识再现
三角函数定义:在 终边上任取一点 P(x, y)（与
原点不重合），记 r | OP | x2 y2 ,则
sin
y r
,
cos
x r
,
tan
y x
，
cot
x y
,
sec
r x
,
csc
r y
2020年口10月诀2日 ：奇变偶不变，符号看象限
tanα tanα -tanα tanα -tanα -tanα cotα -cotα cotα -cotα
8
注意：
“符号看象限”意义是:因为公式中的a是对任意 角都成立的，所以记忆公式时把a看成锐角， 那么右边的符号就只要看左边函数值符号即可。
运用诱导公式可以把任意角的三角函数值转化为 锐角三角函数值来求！
） （2）cos（α-3）=cos（+α）=-sinα，
2
2
sinα=-1，又α是第三象限角，
5
cosα=- 52 1=-2 6，
5
5
2f02（ 0年α 10月） 2日=2 6；
11
5
题型二 同角三角函数的基本关系式
例2 （1）已知sinα= 1 ，且α为第二象限角，求tanα；
3
Hale Waihona Puke （2）已知sinα=2020年10月2日
9
典例剖析
题型一、诱导公式
例 1 已知 是第三象限角,
且
f
( )
sin(
)化co简s(2实 际上) t是an一(种不32指)定答案的恒等 cot(变形,对)s化in简(的一般) 要求:(1)项数最
⑴化简 f ( ) ;
少;(2)次数要最低;(3)函数种类要最 少;(4)分母不含根号;(5)能求值的要求
三角函数复习课
同角三角函数基本关系式
2020年10月2日
授课教师
1
-α-sinαcosα-tanαπ+α-sinαcosαtanαπ-αsinα-cosα-tanα2π-α-
sinαcosα-tanααcosαsinαcotα+αcosα-sinα-cotαα-cosα-sinαcotα+α-cosαsinα-cotα
1 3
，求tanα。
【 解 析 】 （ 1 ） 因 s i n α = 1 ， α 为 第 二 象 限 角 ，
3
c o s α = - 1 s i n 2= - 1 ( 1 ) 2 = - 2 2 33
t a n α = s i n = - 2 c o s4
2020年10月2日
12
（2）因sinα=1＞0，α为第一或第二象限角，
2020年10月2日
怎么推导？
7
三角函数的诱导公式
sinα
cosα
2kπ+α
sinα
cosα
-α
-sinα
cosα
π+α
-sinα
-cosα
π-α
sinα
-cosα
2π-α
-sinα
cosα
-α 2 2 +α 3 2 -α
3 2 +α
cosα cosα -cosα -cosα
sinα -sinα -sinα sinα
4
考试要求
• 掌握同角三角函数的基本关系式 ▪ 掌握正余弦正切的诱导公式
2020年10月2日
5
应试策略
诱导公式是基础，单独考诱导公式的问题并 不多，牢固掌握并能迅速准确应用诱导公式， 是本章的基本要求。
三角函数的概念是基础，三角公式变换是工 具，抓好基础，用好概念，是掌握好三角函 数的重要路径。
由定义可以推导出同角关系:
平方关系：sin2α+cos2α=1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α
商 数 关 系 ： t a n α = s i n ， c o t α = c o s
c o s s i n
倒数关系：sinαcscα=1， cosαsecα=1，tanαcotα=1
5
3
14
练习（1）已知 A 是三角形的内角，且 sinA+cosA= 1 ，则 cos2A
2
等于
。
【答案】 - 7
4
2020年10月2日
15
• 总结： • 多种名称想切化弦；遇高次就降次消元； • asinA+bcosA提系数转换； • 多角凑和差倍半可算； • 难的问题隐含要显现； • 任意变元可试特值算； • 求值问题缩角是关键； • 字母问题讨论想优先； • 非特殊角问题想特角算； • 周期问题化三个一再算； • 适时联想联想是关键！
2020年10月2日
2
同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式
2020年10月2日
考试内容 考试要求
应试策略
3
本节主要考试内容
1ta、nα同=角csio三ns 角函; ta数nα的cot基α=1本关系式：sin2α+cos2α=1
2、三角函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
2020年10月2日
⑵若 cos( 3 ) 值5. ,求 f ( ) 的值.
2 13
2020年10月2日
10
例 1 已知 α 是第三象限的角，且 f （α）
sin()cos(2)tan(3)
=
cot()sin() 2 ；
（1）化简f（α） ；
（2）若cos（α-3 ）=1,求f（α）的值；
2
5
（ 1 ） f （ α ） = s i nc o sc o t= - c o s α ； ( c o t) s i n
3
当α为第一象限角时，cosα= 1sin2=2 2，
3
tanα= 2，
4
当α为第二象限时，由（1）知，tanα=- 2。
4
2020年10月2日
13
• 例3 已知α是三角形的内角，且 sinα+cosα= ，1 求tanα的值。
5
解：由 sinα+cosα= 1 ，平方整理得 Sinαcosα=- 12 ＜0，
5
25
因 α 为三角形的内角， 0＜α＜π，sinα＞0，cosα＜0，
sinα-cosα＞0.
因（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα= 49 sinαcosα= 7 。
25
5
sinα+cosα= 1
5
sinα= 4
5
由
Sinα-cosα= 7
2020年10月2日
5
cosα=- 3 tanα=- 4 。
2020年10月2日
16
1．, 为锐角， sin 5 ,cos 10 , 求
A A .B .5C .3 1D 0 .3
4 44
4
2.ta7 n0 0ta5 n0 0 3ta5 n0 0ta7 n0 0()
A. 3B. 3C. 3D . 3
3
3
3.si2 n(30 0)si2 n(30 0)si2 n()
三角函数在高考试题中每年必考，分值一般 占15%，各种题型都有，一般为中低档试题。
2020年10月2日
6
知识再现
三角函数定义:在 终边上任取一点 P(x, y)（与
原点不重合），记 r | OP | x2 y2 ,则
sin
y r
,
cos
x r
,
tan
y x
，
cot
x y
,
sec
r x
,
csc
r y
2020年口10月诀2日 ：奇变偶不变，符号看象限
tanα tanα -tanα tanα -tanα -tanα cotα -cotα cotα -cotα
8
注意：
“符号看象限”意义是:因为公式中的a是对任意 角都成立的，所以记忆公式时把a看成锐角， 那么右边的符号就只要看左边函数值符号即可。
运用诱导公式可以把任意角的三角函数值转化为 锐角三角函数值来求！
） （2）cos（α-3）=cos（+α）=-sinα，
2
2
sinα=-1，又α是第三象限角，
5
cosα=- 52 1=-2 6，
5
5
2f02（ 0年α 10月） 2日=2 6；
11
5
题型二 同角三角函数的基本关系式
例2 （1）已知sinα= 1 ，且α为第二象限角，求tanα；
3
Hale Waihona Puke （2）已知sinα=2020年10月2日
9
典例剖析
题型一、诱导公式
例 1 已知 是第三象限角,
且
f
( )
sin(
)化co简s(2实 际上) t是an一(种不32指)定答案的恒等 cot(变形,对)s化in简(的一般) 要求:(1)项数最
⑴化简 f ( ) ;
少;(2)次数要最低;(3)函数种类要最 少;(4)分母不含根号;(5)能求值的要求