初中数学—换元法

知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。

【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。

【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。

快乐热身【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。

求abc 的值。

【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。

有没有简单一些的方法呢？解 因为23y x =+，所以32y x -=。

所以，22239232424y y y x x y -⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭。

因此，119942432abc ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。

第五讲 换元法热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 求11111111...++++（无穷多个）的值。

【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式x =，则11x x=+，也就是说210x x --=。

解得15x +=（负根舍去）。

说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。

关于极限的概念，以后会学到。

【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。

【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。

解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。

显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。

设1y x x=-，则有220y ay b +++=。

248a b ∆=--。

⑴若0∆>，则方程的解为21482a a b y ---=，22482a ab y ----=。

代回1y x x =-得到2111,24y y x ±+=，2223,44y y x ±+=。

⑵若0∆=，则方程的解为1,22ay =-，于是有21,316a a x -++=22,416a a x --+=。

⑶若0∆<，则方程无解。

【例 3】 33131x x --=。

【解析】 分析 方程中含有三次根式，直接解出现困难，可以考虑换元。

解 31x a -=33x b -=，则有3312a b a b +=⎧⎨+=-⎩ 将第一个式子立方后得到333()1a b ab a b +++=，再根据第二个式子，有3()3ab a b +=，所以1ab =。

这样，a 和b 是关于y 的方程210y y -+=的两个根。

但是，因为方程210y y -+=没有实根，所以这样的a 和b 不存在，也就是说原方程没有实根。

说明 如果不用换元法，而是直接立方，会出现这样的情况：33131x x --=，(1)(3)1x x --=，2440x x -+=，1,22x =。

代回去后发现是增根，但是涉及三次根式的题目为何会产生增根呢？以后到了高中学了更多知识的时候就会知道了。

【拓展】设x 331x x -【解析】 分析 同样地，可以用换元法将根式变为整式，再降次，求判别式。

解 3x a =31x b -=331x x t -=。

则有331a b t a b +=⎧⎨+=⎩，将第一个式子立方后得到3333()a b ab a b t +++=，再根据第二个式子，有 33()1ab a b t +=-，所以313t ab t-=。

（注意，3310t x x =->）这样，a 和b 是关于y 的方程32103t y t t --+=的两个根。

其判别式321403t t t-∆=-⨯≥，所以340t -≤，解得34t 304t <，原方程就有解。

331x x -(34。

【例 4】 求函数()(1)(2)(3)f x x x x x =+++的单调递增区间。

【解析】 分析 这是一个四次函数，需要设法转化为次数较低的函数。

解 可以先进行结合：22()[(3)][(1)(2)](3)(32)f x x x x x x x x x =+++=+++。

设231y x x =++，则2()1f x y =-。

如果0y ≥，则()f x 随着y 的增加而增加，所以y 应当随着x 的增加而增加。

此时应当有x 在对称轴右侧，即32x -≥，结合0y ≥，有35x -+。

如果0y ≥，则()f x 随着y 的增加而减少，所以y 应当随着x 的增加而减少。

此时应当有x在对称轴左侧，即32x -≤，结合0y ≤3532x ---≤。

综上所述，()f x 的单调递增区间是35335222⎡⎤⎡⎫---⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎪⎣⎦⎣⎭。

【例 5】 已知512α=，求881αα+的值。

【解析】 分析 可以考虑其对称形式。

解 设1βα=，则可求得512β=。

这样有5αβ+=1αβ=。

222()23αβαβαβ+=+-=，4422222()27αβαβαβ+=+-=， 8844244()247αβαβαβ+=+-=。

【变式】求16α的整数部分。

【解析】 分析 直接求可能会很困难，但是受到前面的启发，可以考虑对偶形式。

解 根据前面的推理可以知道：16162207αβ+=。

因为β是纯小数，所以16α的整数部分等于2206。

【例 6】 设a ，b ，c 为三角形的三条边长，解关于x 的不等式：()()()x x x x x x a b c a b c b c a c a b +++-++-++-≥。

【解析】 分析 显然1x =的时候两边相等，那么其他情况呢？解 设p b c a =+-，q c a b =+-，r a b c =+-。

因为a ，b ，c 是三角形的三条边长，所以p ，q ，r 均为正实数。

原式转化为222x x xx x xp q q r r p p q r +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥。

对于这样的不等式，通常是分立开来讨论。

如果能够比较2xp q +⎛⎫⎪⎝⎭和2x x p q +的大小，那么将三个式子相加即得答案。

根据凸函数的性质，若22xx x p q p q ++⎛⎫⎪⎝⎭≥，则说明指数为x 的幂函数是凹的，也就是说0x ≤≤1。

所以，原不等式的解集就是[0,1]。

【例 7】 设x 和a 为实数，解关于x 的方程：222()()x ax a a x ax a a x +-++--=。

（提示：需要关于a 的不同取值讨论。

） 【解析】 分析 显然应当把2()x ax a +-设为一个整体，进行换元代入。

解 设2y x ax a =+-，则原方程变为2y ay a x +-=。

对比可发现，这两个式子中x 和y 的地位刚好互换了。

相减，得到：22()x ax a y ay a y x +--+-=-，因式分解得到()(1)0x y x y a -+++=，得到0x y -=或10x y a +++=。

若0x y -=，则20x x ax a --+=，解得11x =，2x a =-；若10x y a +++=，则210x x ax a a ++-++=，即2(1)10x a x +++=。

此时，若判别式2(1)40a ∆=+-≥，即1a ≥或3a -≤，则方程还有解231(1)4a a x --++-=，241(1)4a a x ---+-=；若判别式2(1)40a ∆=+-<，即31a -<<，则方程没有其他解。

另外，当3,1,1a =--时，方程的解中有相等的。

【例 8】 定义+的一个子集S 如下：x S ∈，当且仅当存在,p q ∈，使得22x p q =+。

求证：对于任意x S ∈，\y S +∈，均有\xy S +∈。

【解析】 分析 如果是证明对于任意x S ∈，y S ∈，均有xy S ∈，可能简单一些。

解 对于任意x S ∈，y S ∈，则有22x p q =+，22y r s =+，其中,,,p q r s ∈。

此时，有222222()()()()xy p q r s pr qs ps qr =++=-++，所以xy S ∈。

另外，我们证明，若x S ∈，则有1S x∈。

这是因为222222222222211()p q p q x p q p q p q p q ⎛⎫⎛⎫+===+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭。

现在，假设结论不成立，即存在x S ∈，\y S +∈，而xy S ∈（这是因为xy +∈）。

因为x S ∈，所以1S x ∈，从而1xy y S x ⨯=∈，和\y S +∈矛盾。

所以，必须有\xy S +∈。

说明 能够表示成两个有理数平方和的有理数具有一些很有趣的性质，同学们以后还会陆续学习到。

方法引导1. 对于系数具有对称性的一元四次方程，可以考虑换元；2. 某些含有复杂表达式的方程中可以换元；3. 设计方程的根之间的关系时，可以利用韦达定理进行换元。

巩固精练习题1. 设2a =55b =⑴求...a aa a 的值。

⑵...b bb b是否等于5？为什么？【解析】 分析 类似地，可以用换元法来解答。

但请注意题目的陷阱。

解 ⑴设...a aa ax =，则xa x =2x =，解得12x =，24x =。

但是，不难发现a ，aa ，aa a ，……中的任何一个都不超过2（假设某项超过2，则它前面的那项也超过2，可继续推得2a >，矛盾），所以这个数列的上限是2，所以答案只能是2。

⑵设...b bb by =，则y b y =55y =。

y 确实可能等于5，但是否还有另一个值？注意a b >（这是因为1032a =，1025b =），所以x y >。

55y =除了5以外，还有一个大于1而小于2的解。

说明 很多题目都存在陷阱。

其实只要想清楚为啥...4a aa a≠，就可以知道第二问的原因了。

习题2. 关于x 的方程320x ax ++=有三个不相等的实数根，求a 的取值范围。

【解析】 分析 我们不知道如何去解一个一元三次方程，但仍可尝试通过换元法解决解 设该方程的三个实数根为αβγ>>。

根据韦达定理，有：2a αβγαββγγααβγ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，根据第一、三两式可知α和β为正，γ为负。

将第一个式子代入后两个式子得到：2()()2aαβαβαβαβ⎧+-=-⎨+=⎩αβ+和αβ都是正实数。

显然，如果αβ+越大，则αβ越小，从而2()αβαβ+-越大。

因为22()()4αβαβαβ-=+->0，所以28()4αβαβαβ+>=+，即2αβ+>。

所以，222()232αβαβ+->-=，即3a <-。