初中数学—换元法

知识点拨

【知识提要】

1. 方程中变量的换元；

2. 三角换元；

3. 特殊换元。

【基本题型】

1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；

2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；

3. 求某些难以直接求出来表达式的值。

【解题技巧】

1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；

2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；

3. 有时候甚至可以联想三角函数。

快乐热身

【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2

2

23x x ay by c ++=++成立。求abc 的值。 【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。有没有简单一些的方法呢？

解 因为23y x =+，所以3

2

y x -=

。 所以，2

22

39232424y y y x x y -⎛⎫++=+=

-+ ⎪⎝⎭

。 因此，119942432

abc ⎛⎫=

⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。

第五讲 换元法

热身完了，我们开始今天的课程吧！

例题精讲

【例 1】 求1111111

1...

+

++

+（无穷多个）的值。

【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？

解 设原式x =，则11x x

=+

，也就是说2

10x x --=。 解得15

x +=

（负根舍去）。

说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。关于极限的概念，以后会学到。

【例 2】 解关于x 的一元四次方程：432

10x ax bx ax ++-+=。 【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。

解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。

显然0x =不是原方程的解，所以除以2

x 后得到：2

2

1

0a x ax b x x ++-

+=。

设1y x x

=-

，则有220y ay b +++=。 2

48a b ∆=--。 ⑴若0∆>，则方程的解为21482a a b y ---=，2248

2

a a

b y ----=。

代回1

y x x =-得到2111,24y y x ±+=，2223,44y y x ±+=。

⑵若0∆=，则方程的解为1,22

a

y =-，于是有21,316a a x -++=22,416a a x --+=。

⑶若0∆<，则方程无解。

【例 3】 33

131x x --=。

【解析】 分析 方程中含有三次根式，直接解出现困难，可以考虑换元。

解 31x a -=33x b -=，则有

33

1

2

a b a b +=⎧⎨+=-⎩ 将第一个式子立方后得到3

3

3()1a b ab a b +++=，再根据第二个式子，有

3()3ab a b +=，所以1ab =。

这样，a 和b 是关于y 的方程210y y -+=的两个根。但是，因为方程2

10y y -+=没有实

根，所以这样的a 和b 不存在，也就是说原方程没有实根。 说明 如果不用换元法，而是直接立方，会出现这样的情况：

3

3131x x --=，(1)(3)1x x --=，2440x x -+=，1,22x =。

代回去后发现是增根，但是涉及三次根式的题目为何会产生增根呢？以后到了高中学了更多知识的时候就会知道了。

【拓展】设x 331x x -

【解析】 分析 同样地，可以用换元法将根式变为整式，再降次，求判别式。

解 3x a =31x b -=331x x t -=。则有

33

1

a b t a b +=⎧⎨+=⎩，将第一个式子立方后得到333

3()a b ab a b t +++=，再根据第二个式子，有 3

3()1ab a b t +=-，所以313t ab t

-=。（注意，3310t x x =->）

这样，a 和b 是关于y 的方程32103t y t t --+=的两个根。其判别式32

1403t t t

-∆=-⨯≥，所以3

40t -≤，解得34t 304t <，原方程就有解。

331x x -(

34。

【例 4】 求函数()(1)(2)(3)f x x x x x =+++的单调递增区间。 【解析】 分析 这是一个四次函数，需要设法转化为次数较低的函数。

解 可以先进行结合：2

2

()[(3)][(1)(2)](3)(32)f x x x x x x x x x =+++=+++。 设2

31y x x =++，则2

()1f x y =-。

如果0y ≥，则()f x 随着y 的增加而增加，所以y 应当随着x 的增加而增加。此时应当有x 在对称轴右侧，即3

2

x -

≥，结合0y ≥，有35x -+。

如果0y ≥，则()f x 随着y 的增加而减少，所以y 应当随着x 的增加而减少。此时应当有x