函数逼近
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
函数逼近
第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n
如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
函数逼近与泰勒级数
函数逼近与泰勒级数函数逼近是指通过一系列近似函数来近似表示一个较为复杂的函数。
而泰勒级数是一种常用的函数逼近方法，通过使用函数在某一点的各阶导数来逼近原函数。
本文将介绍函数逼近的一般概念和泰勒级数的计算方法，并分析其在实际问题中的应用。
1. 函数逼近的概念在数学分析中，函数逼近是指通过一系列较为简单的函数来近似表示一个复杂的函数。
这种逼近可以使得原函数的某些性质得以保留，并能够在一定程度上减少计算复杂度。
函数逼近可以通过各种方法来实现，其中一种常用的方法是泰勒级数逼近。
2. 泰勒级数的计算方法泰勒级数是以数学家泰勒命名的，它是一种将一个函数表示为无穷级数的方法。
泰勒级数的计算方法是基于函数在某一点的各阶导数。
具体地，对于一个可无限次可导的函数f(x)，它的泰勒级数展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + ...其中f'(x)表示函数f(x)的一阶导数，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数，以此类推。
展开式中的a表示展开点，通常选择为函数的某一点来进行逼近。
3. 泰勒级数的应用泰勒级数的应用非常广泛，特别是在近似计算和数值分析中。
通过将复杂的函数逼近为泰勒级数，我们可以在一定程度上简化计算，并且可以利用级数的性质来研究原函数的性质。
以下是泰勒级数在实际问题中的几个应用：3.1 函数近似计算当我们需要计算某个函数在某一点附近的值时，可以利用泰勒级数来进行近似计算。
由于级数展开式中只需要知道函数在某一点的各阶导数，因此可以大大简化计算过程。
3.2 函数性质研究通过泰勒级数，我们可以推测原函数在某一点的特性，比如函数的增减性、凸凹性等。
通过分析级数展开式，可以推断原函数在某一点附近的行为。
3.3 数值积分泰勒级数还可以用来进行数值积分，特别是在求解无法解析求积的情况下。
通过将被积函数在某一点附近进行泰勒展开，并进行级数求和，可以得到近似的积分值。
什么是函数逼近及其应用
函数逼近是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
在数学中，函数逼近是指用一个已知函数来近似描述另一个未知函数的过程。
这个过程的目的是找到一个函数来尽可能地接近给定的函数，以便进行各种计算和分析。
函数逼近的应用非常广泛，下面我将以几个典型的应用来阐述函数逼近的重要性。
首先，函数逼近在数学分析和数值计算中起着重要的作用。
在复杂的数学问题中，我们往往无法直接求得解析解，这时就需要使用函数逼近的方法来得到近似解。
例如在微积分中，我们常常需要使用泰勒级数对一个函数进行逼近，以便在不同点上进行计算。
这种逼近方法在数值计算中广泛应用，可以大大简化计算的复杂性。
其次，函数逼近在机器学习和数据分析中也起着关键作用。
在数据分析中，我们经常需要对一组离散的数据进行拟合，以便得到一个可以用来预测未知数据的模型。
函数逼近提供了一种有效的方法来构建这样的模型。
通常情况下，我们会选择一个适当的函数形式，并通过优化算法来确定函数的参数，使得函数与数据的拟合误差最小。
这种方法可以帮助我们从数据中提取有用的信息，进行各种预测和分析。
另外，函数逼近广泛应用于图像处理和信号处理中。
在这些领域中，我们通常需要对图像或信号进行压缩和去噪处理。
函数逼近提供了一种有效的方法来近似和表示这些复杂的图像和信号。
例如，在图像压缩中，我们可以使用小波变换来将图像分解成具有不同频率和分辨率的小波系数，然后根据一定的阈值选择保留哪些系数，从而实现图像的压缩。
在语音信号处理中，我们可以使用线性预测编码来对信号进行压缩和重构，从而提高通信的效率。
最后，函数逼近在工程领域中也有重要的应用。
例如，在控制系统设计中，我们需要建立一个数学模型来描述控制对象的动态特性。
函数逼近提供了一种有效的方法来近似这个系统的传递函数，以便进行系统的分析和控制设计。
同时，在电路设计中，我们也经常需要使用函数逼近来近似和建模电路的特性，以便对电路进行分析和仿真。
总结起来，函数逼近是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总函数逼近是数值计算中非常重要的技术之一，它主要用于用已知函数逼近未知函数，从而得到未知函数的一些近似值。
在实际应用中，函数逼近广泛用于数据拟合、插值、信号处理、图像处理等领域。
下面将介绍几种常用的函数逼近算法及其应用。
1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法将函数逼近问题转化为最小化离散数据与拟合函数之间的残差平方和的问题。
它在数据拟合和插值中应用广泛。
例如，最小二乘法可以用于拟合数据点，找出最佳拟合曲线；也可以用于信号处理中的滤波器设计。
2. 插值法（Interpolation）插值法旨在通过已知数据点之间的连线或曲线，来逼近未知函数在这些数据点上的取值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值法在图像处理中广泛应用，例如可以通过已知的像素点来重构图像，提高图像的质量和分辨率。
3. 最小二乘曲线拟合（Least Square Curve Fitting）最小二乘曲线拟合是一种将渐近函数与离散数据拟合的方法，常见的函数包括多项式、指数函数、对数函数等。
最小二乘曲线拟合可以在一定程度上逼近原始数据，从而得到曲线的一些参数。
这种方法在数据分析和统计学中经常使用，在实际应用中可以拟合出模型参数，从而做出预测。
4. 正交多项式逼近（Orthogonal Polynomial Approximation）正交多项式逼近是一种通过正交多项式来逼近未知函数的方法。
正交多项式具有良好的性质，例如正交性和递推关系，因此可以用于高效地逼近函数。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。
正交多项式逼近广泛应用于数值计算和信号处理中，例如用于图像压缩和数据压缩。
5. 插值样条曲线（Interpolating Spline）插值样条曲线是将多个局部的多项式插值片段拼接在一起，从而逼近未知函数的方法。
插值样条曲线在实现光滑拟合的同时，还能逼近离散数据点。
函数逼近理论
函数逼近理论函数逼近是数学中研究近似计算方法的重要分支，它通过寻找一个接近所需函数的近似函数来简化复杂的计算问题。
函数逼近理论涵盖了多项式逼近、三角函数逼近、最小二乘逼近等各种方法。
本文将从数学背景、函数逼近的原理和应用领域三个方面进行讨论。
一、数学背景在了解函数逼近理论之前，我们需要回顾一些数学背景知识。
首先，我们要了解函数及其性质的概念。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的规则，常用来描述数学、物理和工程问题。
其次，我们要熟悉多项式的性质。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，其具有高度的可控性和计算性能。
最后，我们需要了解一些数学分析工具，如泰勒级数展开和傅里叶级数展开等。
二、函数逼近的原理函数逼近的核心思想是通过构造一个近似函数，在一定范围内保持与所需函数的接近程度。
常用的函数逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
最小二乘逼近是一种基于最小化残差平方和的方法。
其基本思想是通过寻找一个多项式函数，使得所需函数与多项式函数的差异最小化。
这种逼近方法在实际问题中应用广泛，如信号处理、数据拟合等领域。
插值逼近是一种通过在给定数据点上构造插值多项式来逼近函数的方法。
插值多项式与原函数在数据点处相等，通过连接这些数据点构造出一个逼近函数。
插值逼近在图像处理、数值计算和计算机图形学等领域具有重要应用。
曲线拟合是一种寻找一条曲线与给定数据集最匹配的方法。
常用的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
曲线拟合方法在统计学、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
三、函数逼近的应用领域函数逼近理论在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，函数逼近可用于求解复杂的数学问题，如微积分、方程求解等。
在工程领域，函数逼近可用于优化算法、信号处理、图像处理等领域。
在优化算法中，函数逼近可用于近似解决无法求得精确解的优化问题。
通过构造一个逼近函数，可以减少计算量和提高计算效率，从而更好地解决实际问题。
函数逼近基本概念
如 果 存 在 不 全 为 零 的 数 1,2,L,nP,使 得
1x12x2Lnxn0，
（ 1.1）
则 称 x1,x2,L,xn线 性 相 关 . 否 则 ,称 x1,x2,L,xn线 性 无 关 .
若 x1,x2,L,xn线 性 无 关 ， 且 对 任 意 xS,都 有
x1x12x2Lnxn
则 记 Sspan{x1,x2， L,xn}
(2)(u,v)(u,v), R;
(3) (uv,w)(u,w)(v,w), u,v,wX; (4) (u,u)0,当且仅u当 0时(， u,u)0. 则称 (u,v)为X上的 u与v的内积 . 定义了内积的 称线 为内积空 . (v,间 u )为 (u)的 ,v 共 K 轭 R 时 (v,， u ) (u当 ),.v
并x称 1,x2,,xn为空 S的 间 一组基 S为 ， n维 称 空 空 间
有 序 1,数 2,,组 n称 为 x在 元 x1,x2,素 ,xn这 个 基,下 的 并 记 1,作 2,,（ n）
如S 果 中有无限个素 线， 性S 则 无 为称 关 无元 限维线性空
例 p ( x ) ： H n { a n x n 设 a 1 x a 0 |a n R } 则p(x)anxna1xa0 又1，x， ，xn线性无关
故 H n sp， ax ， n， { x n } 1H ,n 维n 数 1 . 为
对连续函数f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函 数 表 示 ， 故 C[a, b] 是 无 限 维 的 ， 但 它 的 任 一 元 素
f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈ H n 逼近，使误差
函数类 B 通常是 n 次多项式，有理函数或分段低次多项式。
函数逼近
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
数值分析06函数逼近
函数逼近的历史与发展
早期发展
早在古希腊时期，数学家就开始研究用简单的几何图形来近 似表示复杂的曲线。随着数学的发展，函数逼近的理论和方 法不断完善和丰富。
现代进展
随着计算机科学和数值分析的兴起，函数逼近在数值计算、 信号处理、图像处理等领域的应用越来越广泛。现代的逼近 方法不仅追求形式简单，还注重逼近的精度和计算效率。
数据拟合
在数据分析和机器学习中，利用数值逼近方法对数据进行拟合， 以提高预测精度。
图像处理
在图像处理中，利用数值逼近方法对图像进行平滑、去噪等处理， 以提高图像质量。
工程计算
在工程计算中，利用数值逼近方法对复杂函数进行近似计算，以简 化计算过程和提高计算效率。
05
结论与展望
总结与评价
总结
数值分析06函数逼近课程是一门重要的数学课程，它涉及到许多实际问题的求解，如插值、拟合、最小二乘法等。 通过学习这门课程，学生可以掌握如何使用数学工具来近似描述和分析函数，从而更好地理解和解决实际问题。
数。
稳定性分析
稳定性定义
稳定性是指在逼近过程中，对于小的扰动或误差，逼近结果的变 化程度。
不稳定性影响
不稳定的逼近可能导致结果出现较大的偏差，影响数值计算的精 度和可靠性。
稳定性判据
根据稳定性判据，判断逼近函数的稳定性以及如何提高稳定性。
04
数值实例与应用
一元函数逼近实例
01
线性逼近
通过多项式逼近方法，将一元函 数在某点附近展开成线性形式， 如泰勒级数展开。
评价
这门课程的内容非常实用，对于数学专业的学生来说是一门必修课程。它不仅有助于提高学生的数学素养，还可 以为学生提供解决实际问题的能力。然而，该课程难度较大，需要学生具备较高的数学基础和思维能力。
函数逼近的几种算法及其应用
函数逼近的几种算法及其应用函数逼近是数值计算中的一种重要技术，用于在给定的函数空间中找到与目标函数最相近的函数。
函数逼近算法可以在不知道目标函数解析表达式的情况下，通过对给定数据进行处理来逼近目标函数的结果。
这篇文章将介绍几种常见的函数逼近算法及其应用。
1.多项式逼近：多项式逼近是一种利用多项式函数逼近目标函数的方法。
多项式逼近算法有很多种，常见的有最小二乘法、拉格朗日插值法和牛顿插值法等。
多项式逼近广泛应用于数据拟合、信号处理和图像处理等领域。
最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与多项式模型之间的差异来确定多项式系数的方法。
最小二乘法可以用于拟合非线性和线性函数。
拉格朗日插值法和牛顿插值法是通过插值多项式来逼近目标函数的方法，可以用于填充缺失数据或者生成曲线过程中的中间点。
2.三角函数逼近：三角函数逼近是一种利用三角函数来逼近目标函数的方法。
三角函数逼近算法有傅里叶级数逼近和小波变换等。
傅里叶级数逼近是一种利用三角函数的线性组合来逼近目标函数的方法。
这种方法广泛应用于信号处理、图像处理和数学建模等领域。
小波变换是一种通过特定的基函数来逼近目标函数的方法。
小波变换可以用于信号去噪、图像压缩和模式识别等应用。
3.插值逼近：插值逼近是一种通过已知数据点在给定区间内的函数值来确定目标函数的方法。
常见的插值逼近方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和差值多项式法等。
插值逼近广泛应用于任何需要通过已知数据点来逼近目标函数的领域。
在实际应用中，函数逼近常用于数据分析和模型构建。
例如，在金融领域，函数逼近可以用于确定股票价格走势的模型和预测。
在工程领域，函数逼近可以用于建立复杂系统的模型和优化控制。
在计算机图形学领域，函数逼近可以用于生成真实感图像和动画。
总结起来，函数逼近是一种重要的数值计算技术，有多种算法可供选择。
多项式逼近、三角函数逼近和插值逼近是常见的函数逼近算法。
函数逼近广泛应用于数据分析、模型构建和优化控制等领域，对于解决实际问题具有重要作用。
函数逼近 泛函
函数逼近泛函摘要：一、函数逼近简介1.函数逼近的定义2.函数逼近的重要性3.常见的函数逼近方法二、泛函简介1.泛函的定义2.泛函的作用3.泛函与函数逼近的关系三、泛函在函数逼近中的应用1.线性泛函2.二次泛函3.非线性泛函4.泛函在函数逼近问题中的优势四、总结与展望1.函数逼近与泛函的关系总结2.泛函在函数逼近中的前景展望正文：一、函数逼近简介函数逼近是数学领域的一个重要研究方向，它主要研究如何用有限个或无限个已知函数来表示或近似一个给定的函数。
函数逼近在诸如信号处理、图像处理、机器学习等领域具有广泛的应用。
常见的函数逼近方法有插值、拟合、小波变换等。
二、泛函简介泛函是拓扑线性空间中的一个概念，它是一种特殊的函数，可以用于衡量空间中的元素。
泛函具有以下性质：可加性、连续性、范数等。
泛函在优化问题、微分方程等领域具有重要的应用。
三、泛函在函数逼近中的应用泛函在函数逼近问题中具有广泛的应用，可以用于解决一些传统方法难以处理的问题。
以下是泛函在函数逼近中的一些应用实例：1.线性泛函：线性泛函在函数逼近中主要应用于线性优化问题。
通过引入线性泛函，可以将优化问题转化为求解一组线性方程，从而简化问题的求解过程。
2.二次泛函：二次泛函在函数逼近中的应用较为广泛，特别是在非线性优化问题中。
二次泛函可以用于描述非线性函数的局部性质，从而提高函数逼近的精度。
3.非线性泛函：非线性泛函在处理非线性问题时具有重要意义。
通过引入非线性泛函，可以将非线性问题转化为求解一系列非线性方程，从而降低问题的复杂性。
4.泛函在函数逼近问题中的优势：泛函具有很好的适应性，可以灵活地处理各种类型的函数逼近问题。
此外，泛函可以用于描述函数的局部性质，从而提高逼近的精度。
四、总结与展望本文对函数逼近与泛函的关系进行了简要介绍，并阐述了泛函在函数逼近中的应用。
可以看出，泛函在函数逼近问题中具有很大的优势，可以用于解决一些传统方法难以处理的问题。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总
一、函数逼近的几种算法
1、最小二乘法
最小二乘法是一种基于线性模型的函数逼近算法，它的基本假设是拟合函数的形状可以用线性模型表示，且被拟合数据存在一定的噪声存在，最小二乘法的核心思想就是最小化残差（拟合数据与模型之间的偏差）的平方和来寻找最佳拟合参数。
2、Kriging
Kriging（克里金插值）是一种基于空间相关数据的空间插值算法，它会根据空间相关性分析，通过构建模型，拟合、估计和预测空间数据之间的关系，从而实现函数逼近。
3、K近邻算法
K近邻（K Nearest Neighbors Algorithm）是一种基于实例学习的分类算法，它通过计算测试实例与训练实例之间的距离，来决定其所属的类别。
K近邻算法也可以用于函数逼近，这种方法无需训练阶段，可以快速的拟合不同的函数，而且拟合函数的过程中也不需要优化参数。
4、神经网络
神经网络是一类用于函数逼近的算法，它通过模拟人脑神经网络的连接模式，在一系列训练数据的基础上，得到一些函数的参数，从而实现函数的拟合和预测。
二、函数逼近算法的应用
1、多元线性回归
多元线性回归利用最小二乘法，可以对多元关系进行拟合。
函数逼近方法
函数逼近方法函数逼近方法是一种数学工具，其作用是逼近出一个较为接近于真实情况的函数。
本文将探讨函数逼近方法的定义、原理、应用及优缺点等相关内容。
一、定义函数逼近方法是指用一组建立在确定的样本点上的函数，去逼近一个函数，使得从逼近函数到被逼近函数的误差最小，以达到精确求解的目的。
二、原理函数逼近方法的原理是通过选取一组基函数，利用线性组合的方式来逼近目标函数或函数离散点数据。
其中，基函数的选择对于逼近结果至关重要。
在实际应用中，可以根据问题的性质、数据的分布等因素来选择基函数。
三、应用函数逼近方法在科学研究和工程实践中有着广泛的应用，如图像处理、信号处理、数值计算等领域。
其中，最常见的方法是多项式逼近方法和小波函数逼近方法。
多项式逼近方法是指用高次多项式去近似目标函数的方法，其优点是简单易用、计算速度快，但是缺点是容易产生过拟合现象，且对于一些非线性的函数逼近效果不佳。
小波函数逼近方法是目前应用最广泛的函数逼近方法，其优点是适用于不规则数据、能够有效地处理噪声数据等，并且容易实现。
但是，小波函数逼近方法对于数据的选取和基函数的选择要求较高，且相关算法较为复杂，需要一定的数学基础和算法实现能力。
四、优缺点函数逼近方法的优点是能够处理各种类型的数据，如连续、离散、噪音等，适用性强。
同时，函数逼近方法对于数据分布的要求较低，可以处理不规则数据。
此外，函数逼近方法可以建立模型，进而进行模拟和预测。
函数逼近方法的缺点是容易产生过拟合现象，即模型过于复杂，对训练数据可以完美拟合，但是对测试数据的适应性不强。
此外，函数逼近方法的算法较为复杂，需要一定的数学基础和计算机实现能力。
总之，函数逼近方法在科学研究和工程实践中发挥着重要的作用，对于数据处理和模型建立具有不可或缺的作用。
在应用时，需要根据问题需要选择合适的函数逼近方法，以达到最佳的逼近效果。
函数逼近 泛函
函数逼近1. 函数的定义在数学中，函数逼近是一种通过使用一组已知函数来近似描述一个未知函数的方法。
函数逼近的目标是找到一个或多个已知函数，使其在某个范围内与未知函数的值尽可能接近。
2. 函数逼近的用途函数逼近在许多领域中都有广泛的应用，特别是在数值计算和数据分析中。
以下是几个常见的应用场景：2.1 插值插值是一种通过已知数据点之间构建一个连续函数来估计未知数据点的方法。
函数逼近可以用于选择合适的插值函数，并通过最小化插值误差来提高插值精度。
2.2 曲线拟合曲线拟合是一种通过找到一个或多个已知函数，使其与给定数据点之间的差异最小化来估计未知曲线的方法。
函数逼近可以用于选择最佳拟合函数，并通过调整参数来优化拟合结果。
2.3 数据压缩对于大规模数据集，使用较少数量的已知函数来表示整个数据集可以有效地进行数据压缩。
函数逼近可以将原始数据转换为更紧凑且易于存储的表示形式，同时保持数据的关键特征。
2.4 数据平滑函数逼近可以用于平滑噪声数据，通过选择适当的平滑函数来减小数据中的不规则性和噪声。
这对于信号处理和图像处理等领域尤为重要。
3. 函数逼近的工作方式函数逼近的工作方式可以分为两个主要步骤：选择适当的已知函数和确定最佳拟合参数。
3.1 选择已知函数在函数逼近中，首先需要选择一组已知函数。
这些已知函数可以是多项式、三角函数、指数函数或其他常见的数学函数。
选择已知函数时，需要考虑未知函数的特点和拟合需求。
3.2 确定最佳拟合参数确定最佳拟合参数是通过最小化误差来实现的。
常见的误差度量方法包括均方误差（Mean Squared Error）和最大误差（Maximum Error）。
通过调整已知函数中的参数，使其与未知函数在给定数据点上的值之间的误差最小化。
优化算法通常用于找到最佳拟合参数。
常见的优化算法包括梯度下降法、牛顿法和Levenberg-Marquardt算法等。
这些算法通过迭代的方式调整参数，直到达到最小化误差的目标。
函数逼近方法
函数逼近方法一、概述函数逼近方法是一种数学工具，用于通过已知数据点的集合来估计或近似出一条连续函数的近似函数。
它在各个领域都有广泛的应用，比如数值计算、统计学、机器学习和信号处理等。
通过函数逼近方法，我们可以在缺少完整数据的情况下对函数的行为进行研究和预测。
二、插值法插值法是函数逼近方法中最常见的一种方法，它基于已知点的函数值，构造出一个多项式函数来逼近原函数。
插值法的基本思想是通过已知点之间的连线或曲线来构造一个连续的函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
2.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过利用拉格朗日基函数构造插值多项式的方法。
给定一个已知函数的离散采样点集合，拉格朗日插值的目标是构造一个多项式函数，该函数在已知点上的函数值等于已知函数在相应点上的函数值。
拉格朗日插值多项式的形式如下：L(x)=∑y ini=0∏x−x jx i−x j nj=0,j≠i其中，y i表示已知点的函数值，x i表示已知点的横坐标。
2.2 牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，它利用差商的概念构造出一个多项式函数。
牛顿插值的优势在于可以递归地计算插值多项式，而不需要重新计算整个多项式。
牛顿插值多项式的形式如下：N(x)=f(x0)+∑[∏(x−x j)i−1j=0]ni=1f[x0,x1,…,x i]其中，f(x0)表示已知点的函数值，f[x0,x1,…,x i]表示差商。
三、最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来逼近函数的方法。
最小二乘法的基本思想是找到一个函数的近似函数，使得所有已知数据点到近似函数的距离的平方和最小。
3.1 线性最小二乘法线性最小二乘法是最简单的一种最小二乘逼近方法，它假设要逼近的函数是一个线性函数。
给定一组已知数据点(x i,y i)，其中x i为自变量，y i为因变量，线性最小二乘法的目标是找到一个形如y=ax+b的线性函数，使得所有已知数据点到该直线的距离的平方和最小。
函数的逼近—拟合
函数的逼近—拟合函数的逼近是数学中一个重要的概念，它是指通过一组已知的数据点来近似描述一个未知函数的过程。
拟合则是指通过选择合适的函数形式和参数，使得拟合函数尽可能地接近已知数据点。
在实际应用中，函数的逼近和拟合在数据分析、信号处理、机器学习等领域中起着重要的作用。
1. 函数的逼近函数的逼近通常包括两个步骤：选择逼近函数的形式和确定逼近函数的参数。
通常，我们将已知数据点表示为(x x,x x)的形式，其中x x是自变量的取值，x x是因变量的取值。
我们的目标是找到一个逼近函数x(x)来近似表示这些已知数据点的关系。
选择逼近函数的形式是一个关键的步骤。
常见的逼近函数包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
选择逼近函数的形式通常需要考虑已知数据点和逼近函数的特点。
例如，如果已知数据点呈现线性关系，可以选择线性函数作为逼近函数。
如果已知数据点呈现指数增长或衰减的趋势，可以选择指数函数作为逼近函数。
确定逼近函数的参数是通过最小化逼近函数与已知数据点之间的差距来实现的。
常用的方法有最小二乘法和最大似然法。
最小二乘法是通过最小化逼近函数与已知数据点之间的残差平方和来确定逼近函数的参数。
最大似然法则是选择使得逼近函数生成已知数据点的概率最大的参数。
2. 拟合拟合是函数的逼近的一种具体应用，它通过选择合适的函数形式和参数，使得拟合函数能够在整个自变量的取值范围内都能够较好地逼近已知数据点。
拟合函数的目标是通过适当的调整函数的参数，使得拟合函数能够尽可能地与已知数据点吻合。
在实际应用中，拟合函数的选择通常需要根据已知数据点的特点来进行。
例如，如果已知数据点呈现多项式关系，可以选择多项式拟合。
多项式拟合可以使用最小二乘法来确定多项式的系数。
如果已知数据点呈现指数增长或衰减的趋势，可以选择指数拟合。
指数拟合可以通过对数变换来转化为线性拟合的问题。
拟合函数的参数可以通过优化算法来确定。
常见的优化算法包括梯度下降法、牛顿法等。
函数的逼近
定理 2：（Weierstrass 第二逼近定理） 设： f ( x ) ∈ C2π （以 2π 为周期的连续函数） 则 ∀ε > 0 ，存在三角多项式 T ( x ) ，使得： f ( x ) − T ( x ) < ε 。
n−k
k k = ∑ k 2 Cn x (1 − x ) k =0 n
n
n−k
k k −2nx ∑ kCn x (1 − x ) k =0
n−k
k k + n 2 x 2 ∑ Cn x (1 − x ) k =0
n
n−k
= nx (1 − x + nx ) − 2nxin + n 2 x 2 = nx (1 − x ) ≤
,m ，
11.4
高等微积分讲义
若令： α k ( x ) =
xk +1 − x x − xk ， βk ( x ) = ，则有： α k ( x ) + β k ( x ) = 1 ， xk +1 − xk xk +1 − xk ,m ，
从而 Λ ( x ) = f ( xk ) α k ( x ) + f ( xk +1 ) β k ( x ) ， x ∈ [ xk , xk +1 ] ， k = 0,1,
对于 σ 1 ，有： σ 1 <
k − x <δ n
∑
ε
2
k k Cn x (1 − x )
n−k
≤
ε
2
；
对于 σ 2 ，由于： f ( x ) ≤ M （连续函数有界）， 因而：σ 2 ≤ 2 M
第十讲：函数逼近讲解
性质4 正交多项式系{0 (x),1(x), 有如下关系
}中任何相邻三项之间
n1(x) (x n )n (x) n n1(x)
其中
n
an bn
n
bn bn1
(n 1)
an (xn ,n )
f
2
(
xi
)
2
i1
连续情形：
1
1
f f (x) ( f , f )2 ( f (x), f (x))2
1
b f 2 (x)dx 2
a
范数具有如下性质：
(1) 当 f (x) 0 时， f 0 ， f 0 f (x) 0 (2) 对任意实数 有 f ； f
(3) f h f h ；
匀逼近或一致逼近;(b)
b
a
(
x)[
f
(
x)
g
(
x)]2
dx
平方逼近或均方逼近.
一般情况下，V(x)是已知连续函数或多项
式（代数多项式或三角多项式）或有理分式
函数等。本章V(x)仅限于代数多项式。
§5.1 内积与正交多项式 / Inner Product & Orthogonal Polynomial /
n (n ,n )
§5.2 常见正交多项式系 / Famous Orthogonal Polynomial /
1.勒让德多项式系 /* Legendre Polynomials */
pn
(x)
1 2n n!
dn dxn
(x2
1)n
p0 (x) 1 p1(x) x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
一般，最常见的函数A 是区间[a , b ]上的连续函数，记作C [a , b ]。
最常用的函数类B 有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。
最常用的度量标准有两种：(一) 一致逼近以函数f (x )和p (x )的最大误差)()(max ],[x p x f b a x -∈作为度量误差f (x ) - p (x )的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近，讲得更具体一点，也即对于任意给定的一个小正数ε >0，如果存在函数p (x )，使不等式ε<-<<)()(max x p x f bx a成立，则称该函数p (x )在区间[a, b ]上一致逼近或均匀逼近于函数f (x )。
(二)平方逼近： 如果我们采用dx x p x f ba⎰-2)]()([作为度量误差)()(x p x f -的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。
这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。
本章主要介绍在这两种度量标准下用代数多项式p (x )去逼近区间[a, b ]上的连续函数，也就是介绍函数的最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。
由于正交多项式是函数逼近的重要工具，因此，下面先介绍几种常见的正交多项式。
§1 正交多项式 一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (7.1) 中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππΛ（7.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念定义7.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
2．内积的概念定义7.2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称⎰=badx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a , b ]上以ρ (x )为权函数的内积。
内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0； (2) (f , g ) = (g , f )；(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2, g )； (4) 对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。
这些性质，由内积的定义不难得到证明。
3．正交性的概念定义7.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义7.4 设在[a , b ]上给定函数系{}ΛΛ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k k kj A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠=Λϕϕ则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
若定义7.4中的函数系为多项式函数系{}Λ)(),(10x p x p ，则称{})(x p k 为以ρ (x )为权的在[a , b ]上的正交多项式系。
并称p n (x )是[a , b ]上带权ρ (x )的n 次正交多项式。
例1 验证多项式：31,,12-x x 在]1,1[-上带权ρ (x ) = 1两两正交。
解 容易验证⎰-=⋅1101xdx⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1120311dx x⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅11113203131dx x x dx x x而 ⎰->11201dx⎰->1120dx x⎰->⎪⎭⎫⎝⎛-1122031dx x由定义7.4，结论成立。
有了以上的基本概念，下面我们介绍几个常用的正交多项式。
二、常用的正交多项式1．切比雪夫(чебыщев)多项式切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的重要工具，并且有广泛的应用。
定义7.5 称多项式)2,1,0,11( )cos arrc cos()(Λ=≤≤-=n x x n x T n(7.3)为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。
切比雪夫多项式T n (x )具有以下性质： (1) 正交性：由{ T n (x )}所组成的序列{ T n (x )}是在区间[-1, 1]上带权211)(xx -=ρ的正交多项式序列。
且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠=≠=-⎰-0,0,2,0)()(11112n m n m n m dx x T x T x n m ππ(7.4)证 因为)arccos cos()(x n x T n =，令 θcos =x ， 则θn x T n cos )(=， 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠=≠==-=-⎰⎰⎰-0,0,2,0cos cos )sin (cos cos sin 1)()(1100112n m n m n m d n m d n m dx x T x T x n m ππθθθθθθθθππ(2) 递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：⎩⎨⎧=-⋅===-+),2,1()()(2)()(,1)(1110Λn x T x T x x T xx T x T n n n (7.5)证 显然，n = 0时，1;1)(0==n x T 时，x x T =)(1当n ≥1时，令x = cos θ ，则θn x T n cos )(= 由三角恒等式θθθθcos cos 2)1cos()1cos(n n n =-++即得211)(2)()(x T x x T x T n n n ⋅=+-+移项就得上述递推关系(7.5)。
由三项递推关系式可依次写出如下常用的前面几个切比雪夫多项式的表达式：。
132160256128)(,75611264)(,1184832)(,52016)(,188)(,34)(,12)(,)(,1)(2468835772466355244332210+-+-=-+-=-+-=+-=+-=-=-===x x x x x T x x x x x T x x x x T x x x x T x x x T x x x T x x T x x T x T可见T n (x )也是普通的n 次多项式。
(3) 奇偶性：切比雪夫多项式T n (x )，当n 为奇数时为奇函数；n 为偶数时为偶函数。
这是因为)()1()cos arc cos()1()cos car cos()]arccos(cos[)(x T x n x n n x n x T n nnn -=-=-=-=-π(4) T n (x )在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点),,2,1(,2)12(cosn k nk x k Λ=-=π。
证 由于 θn x T n cos )(=令 0)(=x T n 有),,2,1(2/n k k n Λ=-=ππθ所以在区间0≤θ ≤π 上有n 个值nk k 2)12(πθ-=使 0cos =k n θ即θn cos 在[0,π]中有n 个不同的零点，且由于T n (x )是n 次多项式，所以至多有n 个零点，现已找到n 个不同的零点，则每一个x k 都是T n (x )的单重零点。