第六章 函数逼近
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第六章函数逼近/shuzhifenxi/index.htm 第一节曲线拟合的最小二乘法
问题的背景
通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2,…,x n的函数值. 我们可以用插值的方法对这一函数进行近似,而插值方法要求所得到的插值多项式经过已知的这n个插值结点;在n比较大的情况下, 插值多项式往往是高次多项式, 这也就容易出现振荡现象:虽然在插值结点上没有误差,但在插值结点之外插值误差变得很,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”. 于是, 我们采用数据拟合的方法.
定义1 数据拟合就是求一个简单的函数φ(x), 例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数,这时在每个已知点上就会有误差y k -φ(x k),(k=1,2,…,n),数据拟合就是从整体上使误差
y k -φ(x k),(k=1,2,…,n), 尽量的小一些.
如果要求: 达到最小,因误差y k -φ(x k)可正可负
本来很大的误差可能会正负抵消,这样的提法不合理,为防止正负抵消,可以要求:达到最小,但是由于绝对值函数不可以求导,分析起来不方便,求解也很难. 为了既能防止正负抵消,又能便于我们分析、求解,提出如下问题:
求一个低次多项式φ(x) ,使得: 达到最小,此问题便是一个数据拟合的最小二乘问题.
一、直线拟合(一次函数)
通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2,…,x n的函数值:y1 ,y2,…,y n ,即得到n组数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2),…,(x n ,y n ),如果这些数据在直角坐标系中近似地分布在一条直线上,我们可以用直线拟合的方法.
已知数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2),…,(x n ,y n ),求一次多项式φ(x)=a+bx(实际上,就是求a,b), 使得:
(1)
达到最小.
注意到Q(a,b)中,x k ,y k均是已知的,而a,b是未知量,Q(a,b)是未知
量a,b的二元函数,利用高等数学求二元函数极
小值(最小值)的方法,上述问题转化为求解下
列方程组:
的解.
由得
因为得到如下的正则方程组:
(3)
这是个关于a,b的二元一次方程组,称其为最小二乘问题的正则方程组解得a,b,便得到最小二乘问题的拟合函数.
例1 已知10对数据如下表,利用最小二乘法求拟合曲线y=a+bx .
解:先列表来计算四个
形成所谓正则方程组:
解得a=6.4383,b=-0.7877于是,最小二乘拟合一次函数为y=6.4383-0.7877x
二、多项式拟合
已知一组数据对(x i ,y i),(i=1,2,…,n),求一个m次多项式(m 达到最小. 即求待定参数a0 ,a1,…,a m使得 (4) 达到最小. 如果m=n-1, 过这n个点可以决定一个n-1次多项式, 此时说明:P m(x)正好可以过这n个点,Q=0时达到最小,这就成为一个插值问题.如果m>n-1,此时过这n个点的m次多项式不仅存在,而且有无穷多个,解是不确定的. 因而, 对于拟合问题,一般总是针对大量的数据对而选用低次多项式. 类似直线拟合方法,可找a0 ,a1,…,a m满足的所谓正则方程组, 令 整理得到下面的正则方程组(法方程组): 这是一个m+1阶的线性方程组. 例如m=2, 法方程组为 这是一个三元一次方程组. 例2 给定数据如下表, 求最小二乘拟合多项式P2(x) . 解:设P2(x)=a0 +a1 x+a2 x2,列表计算: 于是,法方程组为: 解得 故所求的二次多项式为: y = -1.7143 + 3.8690x - 0.4881x2 三、指数拟合和一些非线性拟合 有些数据(x k ,y k),(k=1,2,…,n),在直角坐标系中的分布近似于指数曲线, 则可以用指数函数进行拟合. 已知一组数据对(x k ,y k),(i=1,2,…,n),求一个指数函数y=be ax,使得误差的平方和: (6) 达到最小. 指数函数y=be ax ,两边取对数,得:lny=lnb+ax,作变换y* =lny,得y* =lnb+ax这是一个一次函数,lnb和a是待定系数. 指数拟合的具体步骤: (1) 我们可以将数据对(x k ,y k)转化为数据对(x k ,lny k) ; (2) 用最小二乘法求出拟合曲线y* =a0 +a1 x (即解出a0 ,a1 ); (3) 由lnb=a0=m,故b=e m,而a=a1 ,从而得到拟合的指数函数y=be ax 例3 设一个发射源的发射公式为I=I0 e-αt ,通过实验得如下数据: 利用最小二乘法确定I0和α. 解 lnI=lnI0 -αt* ,设I =a0 +a1 t ,将数据对(t k ,I k)转化为数据 对:(t k ,lnI k), 然后进行直线拟合. 于是得到法方程组: 解得 m=a 0 =1.728288,a 1 =-2.888282, 则α= -a 1 =2.89, 由lnI 0 =a 0 , I 0 = e m = 5.631006于是得到拟 合指数函数I=5.63e -2.89t . 其它一些非线性拟合 (1) 双曲线 (2) 对数函数 (3) S 型曲线 (1) 双曲线先变形为: 令得到:y * = a + bx * 我们可以将数据对(x k ,y k ) 转化为数据对然后进行直线拟合. (2) 对数函数 y=a+blnx *令x =lnx , 变形为y=a+bx * (3) S型曲线 先变形为,令, x* =e-x, 得到y* =a+bx* . 四、函数逼近的相关概念 1. 函数空间 定义1 设集合S是数域P上的线性空间,元素x1 ,x2,…,x n∈S,如果存在不全为零的数a1 ,a2,…,a n∈P, 使得a1 x1 +a2 x2+ … + a n x n =0 (7) 称x1 ,x2,…,x n线性相关,否则,称x1 ,x2,…,x n线性无相关。 如果x1 ,x2,…,x n线性无关,它们可生成S的n维线性子空间 span{x1 ,x2,…,x n}={x|x=a1 x1 +a2 x2+ … + a n x n , a ∈P,i=1,2,…,n} 函数f(x)的n次多项式逼近就是在多项式空间span{1,x,…,x n }中找出元素P(x)=a0 +a1x +…+a n x n与f(x)“最接近”. 函数的多项式逼近有下面的重要定理. 定理(Weierstrass)1 设f(x)∈C[a,b], 对任意ε>0,总存在一个代数多项式P(x),使得 ‖f(x)-P(x)‖<ε 在[a,b]上一致成立。 2. 范数与赋范线性空间 定义2 设集合S是线性空间,x∈S, 如果存在函数ρ(x), 满足 1) ρ(x)≥0, 且ρ(x)=0 <==>x=0(正定性) 2) ρ(αx)=|α| ρ(x), α∈R (齐次性) 3) ρ(x+y)≤ρ(x)+ρ(y), x,y∈S(三角不等式) 则称ρ(x)为线性空间上的范数,通常记作‖·‖, 即‖x‖=ρ(x). 范数S与‖·‖一起称为赋范线性空间, 记作X. 赋范线性空间 向量范数见第二章第五节,主要有: 对x=(x1 ,x2,…,x n) a. 向量的∞-范数(最大范数): b. 向量的1-范数: c. 向量的2-范数: 类似地对连续函数空间C[a,b],若f∈C[a,b],可定义三种范数 a. 向量的∞-范数(最大范数): b. 向量的1-范数: c. 向量的2-范数: 3. 内积与内积空间 定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间,对u,v ∈X,由K中一个数与之对应,记为(u,v),它满足一下条件 则称(u,v)为X上u与v的内积. 定义了内积的线性空间称为内积空间.如果(u,v)=0, 则称u与v正交. 定理2 设X为内积空间,对u,v∈X,有 称为Cauchy-Schwarz不等式. 证明对任一数λ∈K (u+λv,u+λv)=(u,u)+2(u,v)λ+(v,v)λ2≥0 由一元二次方程根的判别定理可知定理的结论成立. 定理3 设X为内积空间,u1 ,u2,…,u n∈X,矩阵 称为(Gram)矩阵,则G为奇异的充分条件是,u1 ,u2,…,u n线性无关. 证明首先指出,定理中奇异可改成正定.对α=(α1,α2,…,αn)≠0,由 以及线性代数的理论可知,定理的结论成立. 最常见的内积有, 1) 对x,y∈C n , x=(x1 ,x2,…,x n ), y=(y1 ,y2,…,y n ) 2) 对f(x),g(x)∈C[a,b], 上面的两种内即可推广到所谓带权的内积,即 称为权系数; 称为权函数. 一般对ρ(x)有如下要求 四、线性最小二乘法的一般形式 一般地,设给定数据组(x i ,y i)(i=1,2,…,n),φ1(x),…,φn(x)为已知的一组[a,b]上线性无关的函数,选取近似函数为:φ(x)=a0φ0 (x)+a1φ1(x)+…+a mφm (x) 使得: 其中ωi>0(i=1,2,…,n)为权函数,H为φ0(x),φ1(x),…,φm(x)的线性组合的全体,这就是线性最小二乘法的一般形式. 与多项式拟合的讨论相类似,上述问题的正则方程组为: 即: (9) 如果引入内积: 方程组(9)可表示成矩阵形式: (10) 定理4 设a0 ,a1, …,a m为方程组(9)的解,则函数 满足关系式(8),即它是数据组(x i ,y i)(i=1,2, …,n)的最小二乘解. 证明(略) 定义4 称满足 的函数族φ0(x),φ1(x),…,φm(x)为以{ωi}(i=1,2, …,n)为权关于点集{x1 ,x2, …,x n}的正交函数族. 容易推出下列多项式系: 是以{ωi}(i=1,2, …,n)为权关于点集{x1 ,x2, …,x n}的正交函数族. 其中 于是,求数据组(x i ,y i)(i=1,2,...,n)带权{ωi}(i=1,2,…,n)的最小二乘拟和多项式可按以下过程进行. (1) 按式(12),(13)构造正交函数族φ0(x),φ1(x),…,φm(x) (2) 求出正则方程组(9)的解: (3) 写出最小二乘m次拟合多项式: