相量法 复数的计算

arctan
b
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a
(a 0)
arctan
b a
(a 0，b 0)
arctan
b
a
(a 0，b 0)
图 9-1 在复平面上表示复数
复数 Z 的实部 a、虚部 b 与模 |Z| 构成一个直角三角形。
3．指数式
利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式， 即
Z =|Z|(cos jsin) =|Z|ej
Z2 Z2
Z1n Z1 n /n
【例9-3】已知 Z1= 8 j6， Z2 = 3 j4 试求：(1) Z1 Z2；(2) Z1 Z2； (3) Z1 · Z2；(4) Z1 / Z2。
解：(1) Z1 + Z2 = (8 j6) + (3 + j4) = 11 j2 = 11.18/10.3
解：利用关系式 Z = a + jb =|Z|/ ，|Z| a2b2， = arctan b ，计算如下：
a (1) Z1= 2 = 2/0 (2) Z2 = j5 = 5/90 (j 代表90旋转因子，即将“5”逆时针旋90) (3) Z3 = j9 = 9/90 ( j代表 90 旋转因子，即将“9”作 顺 时针旋转90 )
(4) Z4= 10 = 10/180 或10/180 (“”号代表 180 )
(5) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1
(6) Z6 = 8 j6 = 10/36.9 (7) Z7 = 6 + j8 = (6 j8)= ( 10/ 53.1 ) = 10/180 53.1 = 10/126.9
解：利用关系式 Z = rcos+jrsin，计算如下：
(1) Z1= 1 /90 = j (2) Z2 =1/ 90 = -j
【例9-4】将下列复数A=18-j40改写成坐标表示式：
解：利用关系式
arctan
b
a
arctan
b a
arctan
b
a
r |Z| a2b2 ，
(a 0) (a 0，b 0)
二、复数的表达式
一个复数 Z 有以下四种表达式。
1．直角坐标式(代数式)
Z = a + jb
式中，a 叫做复数 Z 的实部，b 叫做复数 Z 的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标 为实数轴，纵坐标为虚数轴，这 样构成的平面叫做复平面。任意 一个复数都可以在复平面上表示 出来。例如复数 A = 3 + j2 在复平 面上的表示如图 9-1 所示。
(8) Z8 = 8 j6 = (8 + j6 ) = (10/36.9 ) = 10/180 + 36.9 = 10/143.1 。
【例9-2】将下列复数改写成代数式 (直角坐标式)： (1)Z1= 20/53.1 ；(2) Z2 = 10/ 36.9 ； (3) Z3 = 50/120 ；(4) Z4 = 8/ 120 。
4．极坐标式(相量式)
复数的指数式还可以改写成极坐标式，即
Z =|Z|/
以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式 子导出其他三种式子。
【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：
(1)Z1 = 2；(2) Z2 = j5；(3) Z 3 = j9； (4) Z4 = 10；(5) Z 5 = 3 j4；(6) Z6 = 8 j6 (7) Z7 = 6 j8；(8) Z8 = 8 j6。
(a 0，b 0)
计算如下：
=-65.8 r=44
A=44/ 65.8
第二节 复数的四则运算
设 Z1= a + jb =|Z1|/ ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，复数的运算规
则为
1．加减法
Z1 Z2 = (a c) + j(b d)
2．乘法 3．除法 4．乘方
Z1 · Z2 = |Z1| · |Z2|/ + Z 1 Z 1 /
第九章 相量法
第九章 相量法
教学重点
1. 了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四 则运算。
2. 掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的欧姆 定律。
3. 掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。
教学难点
1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。 2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。
第九章 相量法
第一节 复数的概念 第二节 复数的四则运算 第三节 正弦量的复数表示法 第四节 复数形式的欧姆定律 第五节 复阻抗的连接 本章小结
第一节 复数的概念
一、虚数单位 二、复数的表达式
一、虚数单位
参见图 9-1 给出的直角坐标系复数平面。在这个复数平面 上定义虚数单位为
j 1
图 9-1 在复平面上表示复数
解：利用关系式 Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin ) = a + jb 计算：
(1)Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1 ) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16
(2)Z2 = 10/36.9 = 10(cos36.9 jsin36.9 )= 10(0.8 j0.6) = 8 j6
图 9-1 在复平面上表示复数
2．三角函数式
在图 9-1 中，复数 Z 与 x 轴的夹角为 ，因此可以写成
Z = a + jb = |Z|(cos jsin)
式中 |Z| 叫做复数 Z 的模，又称为 Z 的绝对值，也可用 r 表示，
即
r |Z| a2b2
叫作复数 Z 的辐角，从图 9-1 中可以看出
(2) Z1 Z2 = (8 j6) (3 j4) = 5 j10 = 11.18/ 63.4
(3) Z1 · Z2 = (10/ 36.9) (5/53.1) = 50/16.2
(4) Z1 / Z2 = (10/ 36.9) (5/53.1) = 2/ 90
(3) Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120 ) = 50( 0.5 + j0.866) = 25 + j43.3 (4)Z4 = 8/ 120 = 8(cos120 jsin120 ) = 8( 0.5 0.866)
= 4 j6.928
【例9-3】将下列复数改写成代数表示式： (1)Z1= /90 ；(2) Z2 = / 90 ；