第八章位移法习题解答
《结构力学习题集》第8章位移法
第8章 位移法习 题一、判断题：1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
（ ）2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
（ ） 4、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
（ ）5、图示结构，当支座B 发生沉降∆时，支座B 处梁截面的转角大小为12./∆l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。
（ ）6、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
（ ）2θθC7、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。
（ ）8、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。
（ ）q9、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程 的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。
（ ） 10、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
（ ） 11、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于 杆 端 位 移 。
（ ） 12、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
2θθC二、填空题：13、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
（1） （2） （3）（4） （5） （6）EIEIEIEI 2EI EI EIEIEA EA ab EI=EI=EI=24442第13题14、位移法可解超静定结构、静定结构，位移法典型方程体现了_______条件。
15、图示梁A 截面的角位移φA = ____________。
（杆长l，荷载作用在中点）16、图示结构，M AB = __________。
17、图示刚架，各杆线刚度i 相同，不计轴向变形，用位移法求得 M AD = ，M BA =___________。
Di i i A4518、图示结构M BA 的值为_____________,________________侧受拉。
结构力学章节习题及参考答案
习题3.1是非判断题
(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ）
(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ）
(3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ）
(4)习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE和EF部分均为附属部分。（ ）
(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( )
习题 2.1(6)图
习题2.2填空
(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图
(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题 2-2(2)图
（4）习题5.1(3)图(a)和(b)所示两结构的变形相同。（ ）
习题7.2填空题
（1）习题5.2(1)图(a)所示超静定梁的支座A发生转角，若选图(b)所示力法基本结构，则力法方程为_____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________；若选图(c)所示力法基本结构时，力法方程为____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________。
(3) 习题7.2(3)图所示刚架各杆的线刚度为i，欲使结点B产生顺时针的单位转角，应在结点B施加的力矩MB=______。
习题 7.2(1)图习题 7.2(2)图 习题 7.2(3)图
(4) 用力矩分配法计算习题7.2(4)图所示结构（EI=常数）时，传递系数CBA=________，CBC=________。
位移法习题解答
8-2、清华8-2c 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
题8-2c (a )方法一：列位移法典型方程解：（1）D 处定向支座与AD 段不平行，视为固定端。
AB 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来，DA 杆D 端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
结构只有一个转角位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：11110P k z R ⋅+=（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。
（4）利用结点的力矩平的平衡求系数：1110;k i =1P R P l =-⋅（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。
110P lz i⋅=（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：11P M M M z =+⋅30.3()1040.4()20.2()101030.3()10AC AD DA AEP lM i Pl i P l P lM i Pl M i Pl i iP l M i Pl i⋅=+⋅=⋅⋅=+⋅==+⋅=⋅=+⋅=左拉上拉下拉右拉 方法二：转角位移法(c)ACMAB(d)(b)(e)Q ABF Q解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个角位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
C1111,,3,3,4,2 FAB AB A AE AD DAM Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：111100343010AB AC AD AEPl M M M M M Pl i z i z i z zi =→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
C1111,,330.3,330.3,1010440.4,220.21010FAB ABA AEAD DAM Pl M PlPl PlM i z i Pl M i z i Pli iPl PlM i z i Pl M i z i Pli i=-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯=讨论；本题将D处的滑动支座改为与杆轴线平行。
结构力学 第八章 作业参考答案
D
Z2
B
2I 2FL/9 I
M图
D
L
B
A
L
B
2FL/9
A
L
FL/9
B
解： （1）该结构为有两个基本未知量，分别为 Z1 和 Z 2 ，如图。 （2）可以得到位移法的典型方程：
⎧r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 ⎨ ⎩r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
（3）做出基本结构的各单位内力图和荷载内力图。令 其中系数： r11 = 14i 自由项： R1 p = 0 （4）求解出多余未知力。
4
1m
E
E
E r12 2I
4m
I
I
4m
I
I
1m
0.75 E
1m
结构力学 第八章 习题 参考答案
（2）可以得到位移法的典型方程：
⎧r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 ⎨ ⎩r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
（3）做出基本结构的各单位内力图和荷载内力图。 其中系数： r11 = r22 =
8－7 试用位移法计算连续梁，绘制弯矩图。 EI = 常数
A Z1 B 6m 6m
基本体系
Z1 C 6m
A B 6m 6m C 6m
D
D
解： （1）该结构为有两个基本未知量，分别为 Z1 和 Z 2 ，如图。 （2）可以得到位移法的典型方程：
⎧r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 ⎨ ⎩r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
第八章-矩阵位移法(一)
结论：选择位移法
2013-2-22
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
矩阵位移法与有限元法（FEM）的关系
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、 壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分 析方法。 矩阵位移法可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。
结构系轴沿逆时针转至单元系轴所转过的角度记为cossinsincoscossinsincos表示为矩阵形式2013120同济大学土木工程学院结构力学yjxjyixiyjxjyixicossinsincoscossinsincos坐标变换矩阵t简写为同理是正交矩阵orthogonalmatrix2013120同济大学土木工程学院结构力学scscscsc结构系单刚矩阵其中sincos2013120同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法刚架单元的刚度矩阵梁单元的刚度矩阵无结间荷载梁单元的转角位移方程为考虑到杆端力和杆端位移正负号规定的差异有所以无结间荷载梁单元的转角位移方程可改写为yjbayiab同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法2013120同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法梁单元刚度矩阵2013120同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法刚架单元刚度矩阵刚架单元的刚度矩阵刚架单元考虑轴向变形有xjxiyjxjyixi2013120同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法轴向变形与弯剪变形非耦合即轴向变形与弯剪变形非耦合即轴力不影响弯剪弯剪不影响轴力不影响弯剪弯剪不影响所以其它单刚元素为零
先处理法 在形成单元刚度矩阵时就将实际的位移边界条件和位移关系考虑进去，即在 总刚度方程形成之前考虑支座位移边界条件。 单元为有约束单元，每个单元所受到的位移约束条件不完全相同，故，单元 不统一。 由单刚形成的总刚度方程就是结构刚度方程。
结构力学 第8章 位移法
B B
3i
1
0 0
l
3i
l
3i
l2
A
θ=1
B
i
－i
0
二、由外部荷载求固端反力矩
mAB q
EI l
q EI l mBA
mAB
ql 2 8
ql 2 mBA 8
» 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力 一般公式（转角位移方程）： AB 4i A 2i B 6i m AB M
位移法：以某些结点位移基本未知量
用力法求解，有6个未知数。 用位移法求解，未知数=
？个。
5.力法与位移法的适用范围：
力 法: 超静定结构
位移法：超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点较少而杆件较多的刚架。
位移法正负号规定
★杆端角位移、杆两端相对线位移（侧移）Δ ：顺时针为正 ★ 杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正
综上所述，位移法的基本思路是： 1. 在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点 固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；
２. 人为迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的 位移。
通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变 形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力 和变形。
位移法中需要解决的问题：
2. 回顾力法的解题思路
先求多余未知力 结构内力
结构位移
具体解题过程：
超静定结构 拆成基本结构 加上某些条件
位移条件（力法典型方程）
3. 反推位移法的解题思路
先求某些结点位移 结构内力
具体解题过程：
结 构 拆成单根杆件 的组合体
1.杆端位移协调条件
2.结点平衡条件
位移法例题
r21=- 24i/l 2
0
6i/l 6i/l
r12= -24i/l 2
r12
Z2=1
-12i/l 2 -12i/l 2 12i/l 2
-12i/l 2 -12i/l 2 r22=48i/l 2 12i/l 2
r22
6i/l
M 2图
FP
说明：水平杆的M图没画，并不是其M=0，而 是EI无穷大的杆能平衡任何弯矩。
R1P FP
R1P=-FP
0 0 0 0 0
FP
R2P FP MP图
R2P=-FP
0
作用在结点上的外力相当于 支座，故杆件无弯矩。 解得
3FP l 2 Z1 = 24i FP l 2 Z2 = 12i
FPl /4 FPl /4 FPl / 2
FPl / 2
M图
(4) 利用叠加法作出弯矩图
例4:用位移法计算图示结构 ,并作弯矩图.EI= 常数. 4:
l
A l
D
（同济大学，2004年考研题）
Z1 = 1
B 4i A 4i 2i l
C 2i l D
Z2 = 1
6i/l
2i/l
B
C
4i/l
M1 图
A
6i/l
D
l
M2 图
l
Z1 = −ql / ( 84i )
2
Z 2 = ql / ( 3i )
3
M 图（× ql ）
2
例2： 位移法求解图示结构。
P
P /2
l A EA = B
Z1
l
l
P
l
注意： M 1图和 M P图的正确作图
例3：用位移法作图示结构的 M 图。EI=常数.
结构力学课后答案第8章矩阵位移法
习 题8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。
8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。
8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。
(a)解：（a ）用后处理法计算 （1）结构标识（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T44332211 θνθνθνθν=∆[]Ty M F M F M F M F F 4y43y32y211 =θ（3）计算单元刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2222322211211462661261226466126122EI 21 l l -l l l -l -l l -l l l l - l k k k k k ①①①①①⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222233332232223 33 6 3632336 362EI 21 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ②②②②②lll⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222234443343323 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ③③③③③（4）总刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=222222222234443343333322322222112112 3300003 6 3 6 000 03403003601236000 0 3632600 363186120000 26460 0 0 06126122EI 0 0 00 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 l l -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -l l -l l l l - -l -- l l -l l l l - l k k k k k k k k k k k k k ③③③③②②②②①①①①θ （5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件[][]00004311 θ θ θν=将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。
土木工程力学(本)位移法计算题答案新(往年考题)
1. 用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
Δ1(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令EI i =，作1M 图2=11k 11i作P M 图24由0=∑B M ，得=P F 1m kN ⋅-21⑸解方程组，求出=∆1i11212.用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令lEIi =，作1M 图=12得=11k 12i作P M 图P得=P F 18Pl3用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程 01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令lEI i =，作1M 图得=11k8i作PM图得4、用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
l l / 2 l / 2解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束B点的转动，得到基本体系。
基本体系(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令l EIi =，作1M 图 得=11k 12i 作P M 图 得=P F 18Pl F P F P5、用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
2m2m 4m4m(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束结点的转动，得到基本体系。
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
第八章.位移法
0.75iE
M BE
1 2 42 8
3 2i 4
E
1.5i E
4
i/2
D 0 2i
A E ( ) B
c） E 产生的杆端弯矩
第33页/共107页
3）建立位移法方程并求解 由结点D平衡：
D
MDC
MDE
MD 0
MDA
M DC M DA M DE 0 5iD 0.75iE 14 0 1
30
第31页/共107页
二、有侧移刚架的位移法求解
例8-3-2 用位移法求图示刚架内力图。i 2EI
14kN
4
D (i)
E
C
2EI (2i)
(i/2) EI
4EI
4m
2kN/m
A
B
1m 4m
解：
1. 利用平衡条件建立位移法方程
1）未知量：D( ) E( )
2）列出杆端弯矩表达式 31 第32页/共107页
3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的 组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超 静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
4
第5页/共107页
二、 位移法基本未知量
位移法的基本未知量是结构内部结构结 点（不包括支座结点）的转角θ 和线位移△。
不把支座结点的可能位移作为位移法的未知 量是因为：
1）减少未知量的数目；
38.76 27.02
1.42
B 1.7
D
8 11.73
E
25.24
A 0.71
C M 图(kN.m)
26
第27页/共107页
2. 利用位移法基本体系建立位移法方 程
解: 1 B ( ) 2 D ( )
位移法3
P
EI=C
=
P/2
P/2
+ຫໍສະໝຸດ P/2P/2力法:6个未知量 P/2 位移法:6个未知量 P/2
部分力法,部分位移法:4个未知量
2.混合法
• 基本思路
联合法是一个计算简图用同一种方法， 联合应用力法、位移法。
混合法则是同一个计算简图一部分用 力法、另一部分用位移法。超静定次数 少，独立位移多的部分取力为未知量。 超静定次数多，独立位移少的部分取位 移作未知量。
P A D B
M DA C
D
M DB
M DC
M DA M DB M DC 0
M DA 4iZ1 M AD 2iZ1 M DB 4iZ1 M BD 2iZ1 M DC 3iZ1 3Pl / 16 11iZ1 3 Pl / 16 0 r11 Z1 R1 P 0 r11 11i R1 P 3 Pl / 16 11iZ1 3 Pl / 16 0
l l
EI=C
l/2 l/2
Z1=1
4i
3Pl/16
P
2i
4i
3i 2i
第八章 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念 三.位移法基本结构与基本未知量 四.位移法典型方程 五.算例 六.平衡方程法建立位移法方程
七.力法与位移法的比较
力法、位移法对比
• 力法
基本未知量：多余约束力 基本结构：一般为静定结 构。 作单位和外因内力图 由内力图自乘、互乘求系 数，主系数恒正。 建立力法方程（协调）
• 位移法
基本未知量：结点独立位 移 基本结构：单跨梁系 作单位和外因内力图 由内力图的结点、隔离体 平衡求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡） K F 0 解方程求独立结点位移 迭加作内力图 用平衡条件进行校核 可以解静定结构
位移法习题
三、用位移法计算图示连续梁，并绘出弯矩图。
各杆EI 相同且为常数。
（10分）解：（1）选取基本结构如下图所示，Δ1为基本未知量。
（2）写出位移法方程如下：k 11Δ1+ F 1P = 0（3）计算系数k 11及自由项F 1P 令EIi =12，则 i AB =3i ， i BC =2ik 11 = 12i+2i =14i 1P 40F =3kN •m （4）求解位移法基本未知量将系数及自由项代入位移法方程，得：1P 11140F 203k 14i 21i∆=-=-=-（5）作M 图基本结1M6i M P图4040四、用位移法计算图示刚架，并绘制弯矩图。
（10分）解： （1）选取基本结构如下图所示，Δ1、Δ2为基本未知量。
（2）写出位移法方程如下： k 11Δ1+ k 12Δ2+ F 1P = 0 k 21Δ1+ k 22Δ2+ F 2P = 0 （3）计算系数及自由项 令EIi =4，则 i AB = i BC =2i ， i BE = i CF = i ， i CD =4 i 作1M 图、2M 图和M P 图如下：D基本结构D1M 图k 11 = 8i+4i+8i =20ik 21 =4i k 21 = k 12 =4ik 22 = 8i+4i=12iF 1P =40 kN •m F 2P =-30 kN •m （4）求解位移法基本未知量将系数及自由项代入位移法方程，得： 20i Δ1+ 4i Δ2+40= 0 4i Δ1 +12i Δ2-30= 0 解得： 17528i ∆=- 29528i∆= （5）作M 图D2DP {DM图五、用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图。
（10分）解： （1）对称结构受对称荷载作用，可简化为如下结构： 选取基本结构如图所示，Δ1为基本未知量。
（2）写出位移法方程如下：k 11Δ1+ F 1P = 0（3）计算系数k 11及自由项F 1P 令EIi =L，则 i AD = i DE =i 作1M 图和M P 图如下：E1M基本结构k 11 = 4i+4i =8i21P qL F =12（4）求解位移法基本未知量将系数及自由项代入位移法方程，得：221P 111qL F qL 12k 8i 96i∆=-=-=- （5）作M 图由对称性，得原结构的M 图如下：EPE5qL 48M 图22qL25qL 48M 图22qL 22qL 48六、用位移法计算图示刚架(利用对称性)，并绘出弯矩图。
结构力学位移法题目及详细解答
结构力学位移法题目及详细解答位移法中含无穷刚度杆的结构是考研结构力学的一大难点，很多热门院校都喜欢出这类型的题目，下面以两道有复杂牵连位移的含无穷刚度杆位移法题目为例，对三种解法进行讲解，题目取自东南大学真题和烟台大学真题。
1.用位移法绘制图示结构的弯矩图，BC杆 EI=∞，其余各杆 EI 为常数（东南大学2017年真题）。
解：根据局部变形图找出位移牵连关系，B点角位移，B点竖向线位移，C点角位移三者牵连，只有1个独立，有三种方法。
法一：基本体系一：以 B点竖向线位移为基本未知量，难点是无穷刚结点处会引起线位移和角位移，过程如图：M2¯图绘制是一个难点，需要通过无穷刚度杆的局部变形图判断弹性杆的变形，从而指导画出形常数图。
计算过程略，最后弯矩图如图：法二：基本体系二：以 C 点角位移为基本未知量，难点是剪力平衡，过程如下：M2¯图绘制是一个难点，需要通过无穷刚度杆的局部变形图判断弹性杆的变形，从而指导画出形常数图。
法二的典型错误：无穷刚度杆弯矩图不会画。
正确思路：从弹性杆画到无穷刚度杆，通过刚结点平衡条件确定杆端弯矩，杆上没有集中力作用，剪力不变，弯矩图斜率相同。
这里注意，超静定结构在荷载作用下内力值只与刚度相对值有关，与绝对值无关，所以从弹性杆到无穷刚度杆弯矩是不会倍增的。
另外，若有集中力作用于无穷刚度杆上，则按照简支梁叠加即可。
法三：基本体系三：以B点角位移为基本为质量，难点是剪力平衡，过程如下：点评：法三位移一定可以发生，因为线位移和两个角位移有两个独立，一个牵连，刚结点任取一个角位移都可以是独立的，无穷刚度杆上增加刚臂后相当于大地固定端，不能动，刚臂发生相当于固定端发生单位角位移的支座移动。
《结构力学》第八章 位移法
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
na 2 nl 3
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。整理后形式 均为：
K R 0
典型方程法基本概念
有一(A 点
转角,设为
).
位移法第一种基本思路
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
3i
ql 2 8
M AB
4i
FP l 8
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移) 关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立 和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可 得原结构受力
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载 载
1
超静定单跨梁的力法结果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载 载
结构力学 位移法基本概念
4EI/L
1
EI
记：EI/L= i
称为杆件的线刚度
3EI/L
基本思路 那么， 1 时的弯矩图就可作出, 称为 M图 取结点B为研究对象， 得：r = 7i 由前所述， R= - RP， 消除约束力矩就是使 4i r 3i 1 B
M图
RP r B 0
由此式解出转角 B ，把 M图 放大 B 倍， B
1.位移的种类
1）角位移 2）线位移 3）杆端相对侧移
BH
CH
B
C
B
A
图示结构在荷载作用下，结点B、C都要产生水平位移，同时 ，结点B还要产生转角。 在位移法中，以杆件为基本研究对象，位移变量取在杆端。 1） 角位移：θ B ，C端虽然有转角，但不作为位移法变量。 角位移通常是刚结点的转角。 2）线位移：Δ BH ，Δ CH 是指结点发生的绝对位移，包括刚 结点和铰结点。 3）杆端相对侧移：Δ AB 是指A、B两截面发生的相对侧移， 由于A截面的线位移为零，所以，Δ AB就是Δ BH 。
基本概念
实际的结构绝大多数是超静定结构，在进行结构分析时， 有两种基本方法：
力法是以多余未知力为基本未知量，把超静定结构变为静定结
构，应用位移协调条件求出多余未知力，然后求内力和位移； 位移法则是以结构结点的角位移和线位移作为基本未知量，附 加约束把结构变为各超静定杆，用平衡条件先求出结点的角位 移和线位移，再求出结构的内力。 两种方法的求解顺序相反，各有优缺点。 共同的缺点是，都要求解联立方程。
[举例] 例题4 A B C
基本概念
D
E
F
解：AB杆为静定杆，受载后可等效右图所示结构。 由于不考虑轴向变形，弯曲杆件受弯后也不改变长度，故，仅 有C结点的转角为位移法变量。结点C所连接的三杆杆端在C结 点的角度关系不变。位移法变量θ
位移法习题课
1
3 3
l
1
B’
CD杆的结点位移为：
1
C
3 3
l2
CD 2
AB
2 3
M
BA
4i1
1
3 3
l2
3i1 l1
2 3
B
i1
M BA
M
AB
2i1
1
3 3
l2
3i1 l1
2 3
M AB A 600
l1
l2
M CD
4i3
1
3 3
l2
6i3 2l3
2
2 1 3 l2
O
M DC
2i3
1
l2
B
C
i2
i1
i3
A 600
450 D
l1
l2
l3
B
C C’ 1 1 i2
i1 B’
i3
A 600
450 D
l1
l2
l3
C’
C 450
B
300
AB杆两端点相对线位移为： 2
3
CD杆两端点相对线位移为： 2
BC杆两端点相对位移为： 1 3
3
BC杆的转角位移为：
1
3 3
l2
AB杆的结点位移为：
6i l
6i
6i
1
Pl
lC
lD
8C
D
i
i
k13
6i k23
6i
l
l 3 k331
A
21i2i
B 12i
l
l
2i
2i
Pi
i
F1P
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8-2、清华8-2c 试用位移法计算图示结构，并作力图。
题8-2c (a )方法一：列位移法典型方程解：（1）D 处定向支座与AD 段不平行，视为固定端。
AB 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来，DA 杆D 端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
结构只有一个转角位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：11110P k z R ⋅+=（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。
（4）利用结点的力矩平的平衡求系数：1110;k i =1P R P l =-⋅（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。
110P lz i⋅=（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：11P M M M z =+⋅30.3()1040.4()20.2()101030.3()10AC AD DA AEP lM i Pl i P l P lM i Pl M i Pl i iP l M i Pl i⋅=+⋅=⋅⋅=+⋅==+⋅=⋅=+⋅=左拉上拉下拉右拉 方法二：转角位移法(c)ACMAB(d)(b)(e)Q ABF Q解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个角位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
C1111,,3,3,4,2 FAB AB A AE AD DAM Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：111100343010AB AC AD AEPl M M M M M Pl i z i z i z zi =→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
C1111,,330.3,330.3,1010440.4,220.21010FAB ABA AEAD DAM Pl M PlPl PlM i z i Pl M i z i Pli iPl PlM i z i Pl M i z i Pli i=-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯=讨论；本题将D处的滑动支座改为与杆轴线平行。
(b)(e)(d)MAB(c)Q ABF Q解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个线位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定。
C1111,,3,3,,FAB AB A AE AD DAM Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=-⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：1111003307AB AC AD AE PlM M M M M Pl i z i z i z z i=→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑ （4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
C 1111,,3333,33,777711,7777F AB AB A AE ADDA M Pl M Pl Pl Pl M i z i Pl M i z i Pl i i Pl Pl M i z i Pl M i z i Pli i =-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==-⋅=-⨯=- 类8-2 d 、试用位移法典型方程计算图示结构，并作力图。
4q =20k N /mq =20k N /m解：1)基本结构如图(b)，有两个位移法未知量。
2)列典型方程：111122*********P P k z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨⋅+⋅+=⎩ 3)画基本结构在下述情况的弯矩图：荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让刚臂2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：(c)：1225;0P P R R =-⋅=kN m ；(d)：11125;2k i k i ==(e)：21222;11k i k i ==5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。
12275505151z z ii-==6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ⋅+⋅+=27550150217()()515127550150411.1()()515150003 2.9()()512755015248.1()()515127550154234.6()()5151AB BA BC BD DB DE M i kN m i i M i kN m i i M i kN m i M i i kN m i i M i i kN m i iM -=-+⋅+⋅=-⋅-=++⋅+⋅=⋅-=++⋅=-⋅-=-+⋅+⋅=-⋅-=++⋅+⋅=⋅左拉左拉上拉左拉左拉2755.4()()512755.4()()51ED i kN m i M i kN m i =⋅=⋅=-⋅=-⋅下拉下拉 3、清华5-3a 试用位移法典型方程计算图示结构，并作力图。
4i清华 题5-3（a ）解：（1）DE 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。
结构有两个位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：111122*********0P Pk z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨⋅+⋅+=⎩(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让附加连杆2发生正的单位线位移的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
(4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：1230;0P P R R =-⋅=kN m ；1122122121567;;i ik i k k k l l====-(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。
1215060;2323lZ Z i i==(6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ⋅+⋅+=15066002 2.61()()23231506600410.43()()232315030310.43()()2320()()360007.83()()23AC CA CD DC DE BD i lM i kN m i l i i lM i kN m i l i M i kN m iM kN m M i lM kN m l i=+⋅-⋅=-⋅=+⋅-⋅=⋅=-+⋅=-⋅=⋅=-=+-⋅=-⋅左拉左拉上拉上拉左拉8-3c 、试用位移法典型方程计算图示刚架，并做弯矩图，EI =常量。
解：（1）外伸段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。
结构有两个位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程： 111122*********P P k z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨⋅+⋅+=⎩BA （d ）（e ）（b ）lV （c ）（a ）(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让附加连杆2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
(4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：12353104()30;1026.875248P P c R R ⨯⨯=⋅=-⨯--=-⋅：kN m kN m ；1111k i =（d ）22122122624() 1.875;344i ie k i k k i =+===-(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。
11111221122112222122 2.097011330003 1.87526.875017.688P P Z k z k z R i z i z ik z k z R i z i z Z i ⎧=⎪⋅+⋅+=⋅-⋅+=⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨⋅+⋅+=-⋅+⋅-=⎩⎩⎪=⎪⎩(6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ⋅+⋅+=2.097617.68817.5044.03()()42.09717.688303036.29()()AB CBi M kN m i i M i kN m i i=-+⨯-⨯=-⋅=+⨯-⋅=⋅左拉上拉2.0971217.6880836.29()()42.0971217.6880444.68()()4CD DCi M i kN m i i i M i kN m i i=+⨯-⨯=-⋅=+⨯-⨯=-⋅右拉左拉讨论：试用力法典型方程计算图示刚架，并做弯矩图，EI =常量。
图15-15（a ）（d ）x（e ）（b ）（c ）解：（1）外伸段段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。
结构有两个力法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：111122*********0P Pz z z z δδδδ⋅+⋅+∆=⎧⎨⋅+⋅+∆=⎩（3)画基本结构在下述情况的弯矩图：画荷载单独作用下的P M 图、两单位力分别单独的单位弯矩1M 图和2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
4）图乘求系数：12112215412111254570(204)6323311111330(408)(12541)22211482331181412033P P EI EI EI EI EI EI EIEI EIEI EI EI δδ⨯⨯⨯⨯∆=--⨯⨯⨯+=∆=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=+=；5)将系数，自由项代入典型方程得x 1、x 2。
12111122112112222212825700044.03233022033036.2903P P x x x x x EI EI EIx x x x x EIEI EI δδδδ⎧⋅+⋅+=⎪⋅+⋅+∆==-⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨⋅+⋅+∆==-⎩⎩⎪⋅+⋅+=⎪⎩ 6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：1212P M M M x M x =+⋅+⋅01(44.032)0(36.29)44.03()()5()()00(44.032)1(36.29)36.29()()00(44.032)1(36.29)36.29()()1251(44.032)1(36.29)44.68()()AB BA CB CD DC M kN m M kN m M kN m M kN m M kN m =+⨯-+⨯-=-⋅=⋅=+⨯--⨯-=⋅=+⨯-+⨯-=-⋅=--⨯--⨯-=-⋅左拉左拉上拉右拉左拉 8-4c 、试用位移法典型方程计算图示结构，并作力图。