圆与圆的位置关系 (4)

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4、圆与圆的位置关系

匚J Sf" 源于名校，成就所托、知识梳理:1圆与圆的五种位置关系：（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。

（2）外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切。

（3）相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。

（4）内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。

（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。

2、圆与圆位置关系的数量描述：如果两圆的半径为r1?r2，圆心距为d,那么（1）两圆外离：二d ■ r1 r2；（2）两圆外切二d = 口• $ ；（3）两圆相交 u * - r2c d c * + r2；（4）两圆内切二d = A -r2；（5）两圆内含二；（当d=0时，两圆同心）3、相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4、相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。

二、例题精讲：例1、（ 1 ）已知两圆的半径分别为5和2,且圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是_____________（2）___________________________________________________________________ 已知两圆的半径是8和4,圆心距为3,这两个圆的位置关系是________________________________________________（3）_______________________________________________________________________________________________ 如果两个圆的圆心距为7,且这两个圆的直径分别为6和8，那么这两个圆的位置关系是__________________________ （4）_____________________________________________________________ 直径为10和8,且圆心距为10的两个圆的位置关系是_______________________________________________________（5）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距为5,这两个圆的位置关系是—（6）___________________________________________________________ 直径为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距等于_______________________________________________________例2、解下列各题：（1）已知两圆内切，圆心距为2，一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？（2）已知两个圆的圆心距为10, —个圆的半径为8,要使这两个圆外离，那么另一个圆的半径r的取值范围是怎样？（3）已知两圆外切，一个圆的半径为5,而圆心距为乙那么另一个圆的半径是多少？轡立方教冃、古宀丄亠源于名校，成就所托(4) 已知相切两圆的圆心距为 7，一个圆的半径为 6，试求另一个圆的半径。

圆与圆的位置关系

2 2 2 2
a 2a 1 1
2
2
=a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切. (2)当 3<|C1C2|<5,即 3<a<5 时,两圆相交.
(3)当|C1C2|>5,即 a>5 时,两圆相离.
公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
解:法一圆 C1 与圆 C2 的方程联立,得方程组
2 2 x y 2 x 8 y 8 0, ① 2 2 x y 4 x 4 y 2 0, ②
4.2.2
圆与圆的位置关系
学习目标
• 能根据圆的方程,判断圆与圆的位置关系 • 掌握判断两位置关系的方法
课前自主学习
• 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为 __________、__________、__________、 __________、__________．
1.圆与圆的位置关系及判断方法 (1)几何法位置关系两圆相离 0 两圆内含 d<|r1-r2| 公共点个数圆心距与半径的关系 d>r1+r2 图 x y 2x 8 y 8 0 与
2 2
• 圆 C2 : x y 4x 4 y 2 0 相交于两点.
2 2
• (1)求两圆的公共弦所在直线的方程; • (2)求两圆的公共弦长；
分析
(1)两圆相交时,公共弦所在的直线方程若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在直线的方程为两圆方程联立消去二次项所得的二元一次方程，即(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离

圆和圆的位置关系

圆和圆的位置关系两个圆有几种位置关系？在平面上，两圆的位置有：外离，外切，相交，内切、内含共五种位置关系．在平面内，两圆相对运动，可以得到下面不同的位置关系，如下图所示．(1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆外部时，叫做这两个圆外离．(2)两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一公共点叫做切点．(3)两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交．两个公共点都叫做交点．(4)两个圆有唯一公共点，并且除去这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一公共点叫做切点(要分清两圆外切、内切定义的区别)．(5)两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含．(6)两个圆同心是两圆内含的一种特例．观察上图，可以发现，当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)大小有关．设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么有：(1)两圆外离d＞R+r；(2)两圆外切d=R+r；(3)两圆相交R-r＜d＜R+r(R≥r)；(4)两圆内切d=R-r(R＞r)；(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)．由以上讨论可以知道平面上两圆位置关系的确定有两种方法．第一种方法利用两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义确定．记忆每个定义要结合图形记忆，要根据每种位置关系的特点记忆，要按照两圆的公共点个数记忆．第二种方法根据两圆位置关系，圆心距、半径的数量关系的定理记忆．要把两圆的位置关系的图形和两圆位置关系的定理有机的结合起来，能够看到两圆位置关系的图形就想起相应的两圆位置关系的定理；看到两圆位置关系的定理就想到相应的两圆位置关系的图形练习：1．两圆半径是R和r(R＞r)，圆心距是d，且R2＋d2-r2=2dR，则两圆的位置关系为 ( )(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)内切或外切∵ R2＋d2-r2=2dR ∴ R2-2dR＋d2=r2即(R-d)2=r2，±(R-d)=r∴ d=R-r或d=R＋r，故选(D)．2．如图⊙O1与⊙O2相交于A、B，直线AO1交⊙O1于C，交⊙O2于D，CB的延长线交⊙O2于E，连结DE．若CD=10．DE=6，求O1O2的长．解：连结AB、AE．3．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，CD是过A点的割线交⊙O1于C，交⊙O2于D，BE是⊙O2的弦，延长EB交⊙O1于F．求证：DE∥CF4．如图，已知⊙O1与⊙O2交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于C、D，⊙O1的直径PE的延长线交CD于F．求证：PF⊥CD证明：连接AB、BE ∵ PE是⊙O1的直径∴∠PBE=90°∵ ABDC是⊙O2的内接四边形∴∠PBA=∠C ∵∠APF=∠ABE ∠PBA+∠ABE=∠PBE=90°∴∠C+∠APF=90°即 PF⊥CD5．如图1，已知⊙O与⊙A相交于B、C两点，过A作一直线交BC于F，交⊙A于D，交⊙O 于E．求证：AD2=AE²AF证明：方法一，如图1所示，连接AB、AC、EC∵ AB=AC ∴∠E=∠BCA ∵∠FAC=∠CAE ∴△ACF∽△AECAC2=AE²AF ∵ AD=AC ∴ AD2=AE²AF方法二，如图2所示，延长EA交⊙A于M，则AF²EF=BF²CF又∵ BF²CF=DF²MF∴ AF²EF=DF²MF ∴ AF²(AE-AF)=(AD-AF)(AF＋AM)=(AD-AF)(AF＋AD)∴ AE²AF-AF2=AD2-AF2∴ AD2=AE²AF6．如图，已知⊙O与⊙A交于B、C两点，A在⊙O上，AD是⊙O直径，AD交BC于M，AE是⊙O的弦，AE交BC于N，若AO=18cm，AN=6cm，AM=4cm，求AE的长．解：连接DE∵ AD是⊙O的直径∴∠E=90°，AD=2OA 又∵OA为两圆的连心线，BC是两圆的公共弦∴ AD⊥BC于M 即∠AMN=90°又∵∠NAM=∠DAE ∴△ANM∽△ADE7．如图1，PAC、PBD是圆的两条割线，⊙O经过点P、A、B 求证：OP⊥CD证法一：过P作切线MN，连结AB 则∠APM=∠ABP∵∠ABP=∠C，∴∠APM=∠C，∴ MN∥CD．∵ OP⊥MN，∴ OP⊥CD证法二：如图2延长PO交AB，CD于F、E，连结AB∵ PF是⊙O的直径，∴∠PAF=90°，∴∠APF＋∠AFP=90°∵∠AFP=∠ABP，∠ABP=∠C∴∠AFP=∠C ∴∠APF+∠C=90°∴ PE⊥CD8．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，CE切⊙O1于点C，交⊙O2于D、E．求证：∠CAD＋∠CBE=180°．证明：连结AB．说明：如果⊙O1的切线CE与⊙O2也相切于E(D、E重合)，则∠CAE+∠CBE=180°吗？两圆相切的基本规律两圆相切有它的特殊性．如果知道或掌握这些特殊的性质，对解决关于两圆相切一类的问题是有很大帮助的．1．两圆相切，过切点的任意一条直线与这两圆相交，则两圆中过交点的直径互相平行．例如，如图1，⊙O1和⊙O2相切于点P，过P点的直线交⊙O1于A，交⊙O2于C，则直径AB 平行于直径CD．2．两圆相切，过切点的任一条直线被两圆截得的线段(弦)的比等于两圆半径(或直径)的比．3．两圆相切，过切点的任意二条直线与这两圆分别有两个交点，那么这两个交点的连线互相平行．例如，如图3，有AB∥CD．4．两圆相切，过切点的任意三条直线与两圆各有三个交点，那么这两圆中三个点连成的两个三角形相似，且相似比等于这两圆直线(或半径)的比．5．两圆相切，过切点的任意n条直线与两圆有n个交点，那么两圆中顺次连结n个交点所成的n边形相似，且相似比等于直径(或半径)的比．6．两圆相切，过切点的任意一直线与两圆相交，那么两圆中过交点的圆的切线互相平行．例如，如图6，过A点的切线l1和过B点的切线l2平行．7．两圆外切于一点，一条外公切线与这两圆各有一个切点，那么这三个切点连成的三角形是直角三角形．例如，如图7，ΔAPB是直角三角形．8．两圆外切，如果两条直径(每圆各一条)平行，那么连结两点的直线(每圆一点，且这两点在连心线的异侧)必过切点，例如，如图8，如果直径AB和CD平行，则AC(或BD)必过切点P．9．已知，如图9，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB和CD分别是它们的外公切线，切点分别为A、B、C、D．过P点的内公切线交AB于M交CD于N，那么就有(1)AB=CD=MN．(2)AM=BM=PM=PN=CN=DN．10．两圆外切，一条外公切线的长是两个圆的直径(或半径)的比例中项．例如，如图10，设⊙O1的直径为d1，⊙O2的直径为d2，则AB是d1和d2的比例中项．11．两圆外切，以外公切线为直径的圆必与连心线相切于切点．例如，如图11，⊙O3是以AB为直径的圆，则⊙O3与O1O2相切于P．12．两圆相切，经过切点任作一条直线被两圆所截得的线段之比等于对应两圆半径之比．相交两圆中的不变量和不变关系为节省篇幅，题设中的“已知⊙O1和⊙O2相交于P、Q两点”均予省略．当其中一圆经过另一圆的圆心时，认为是相交的特殊情况．一、不变关系1．如图1，过P，Q引两圆的割线，交⊙O1于A，C，交⊙O2于B，D．则AC∥BD．提示∠APQ=∠C=∠D．本题存在很多的变式图形，结论均成立．2．如图2，过⊙O1上任一点M作MP，MQ，并延长交⊙O2于A，B两点，则MO1⊥AB．提示过M点作⊙O1的切线MT．则MT⊥MO1．又∠TMB=∠MPQ=∠B．∴AB∥MT．3．如图3，过点P引两圆的直径PA，PB．则A，Q，B三点共线．提示∠PQA=∠PQB=90°．4．如图4，过P点任作一直线交两圆于A，B．过A，B各作所在圆的切线，设它们交于点C．则A，C，B，Q四点共圆．提示∠CAB=∠AQP，∠CBA=∠PQB．所以∠C＋∠AQB=180°．5．如图5，设⊙O1过⊙O2的圆心O2，作⊙O2的弦O1C交⊙O1于D点，则点D为ΔPQC的内心．提示∠QPC=∠QO1C=2∠QPD．所以DP平分∠QPC．同理DQ平分∠PQC．二、不变量6．如图6，半径相等的两圆⊙O1和⊙O2交于P，Q，且其中一圆过另一圆的圆心，过Q点的任一直线交两圆于A，B．则ΔPAB为正三角形．提示ΔPO1O2为正三角形，∠PAQ=∠PBQ=60°．7．如图7，过P任作一直线交两圆于A，B．连QA，QB．则QA∶QB为定值．提示分别作⊙O1和⊙O2的直径QA',QB',连A'B',则ΔQAB∽ΔQA'B'．所以QA∶QB=QA'∶QB'为两圆直径比．8．如图8，M为半径是R的⊙O1上任一点，以M为圆心r为半径作圆．如果⊙M的切线交⊙O1于A，B两点．则不论A，B位置如何，MB²MA为定值．提示作⊙O1直径MN．设AB切⊙M于T点．连AN，AM，MT，MB．则ΔAMN∽ΔTMB．所以AM²BM=MN²MT=2Rr为定值．9．如图9,任作两圆的割线(不过P，Q)，交⊙O1于B，C，交⊙O2于A，D．则∠APB＋∠CQD=180°．提示∠B=∠PQC，∠A=∠PQD．10．如图10，过P任作两直线交⊙O1于A，B．交⊙O2于C，D．则BA，CD交角不变．提示设直线BA，CD交于E．∠PBQ=∠PAQ=α，∠PDQ=∠PCQ=β．故α，β为定角．∠E=180°-(∠EAC＋∠ECA)=180°-(∠BQP＋∠DQP)=180°-∠BQD=∠PBQ＋∠PDQ=α＋β为定值．。

圆与圆的位置关系课件-2022-0223学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

所以r1 +r2 <|PO|< r1 +r2,
所以点M的轨迹是以P(6,0)为圆心,半径为4
2的一个圆.
所以点M的轨迹与圆相交.
第三步:把代数
运算结果翻译成
几何关系．
.
O
B
.
P
x
解惑提高
坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为
两圆的位置关系
外离
外切
相交
图形
几何法
与，的关系
>+
=+
− < <+
内切
=−
内含
0≤ <−
代数法
公切线的条数
交点个数
4
0
3
2
1
2
1
1
0
0
即时巩固
相交
1.两圆有两个交点，则两圆的位置关系是______.
外离或内含
两圆没有交点，则两圆的位置关系是__________.
C2 : ( x 2) 2 ( y 2) 2 ( 10 ) 2
C1的圆心(1,4), 半径为r1 5
C2的圆心(2,2), 半径为r2 10

C1C2
(1 2) 2 (4 2) 2 3 5
| r1 r2 | 5 10
| r1 r2 | 5 10
O的位置关系.
第一步:建立坐标系，用坐
分析:我们可以通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点M的轨
解:如图,以线段AB的中点O为原点, AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分

九年级数学圆和圆的位置关系4

本节内容主要蕴含有数形结合、分类讨论、类比等数学思想，涉及到的数学方法主要有
分类法、数形结合法、类比法、归纳法、分
析法等。
2. 数学思想体现方式（1）在提出课题时可通过类比前面学过的点和圆、直线和圆的位置关系、影响这些位置关系的因素进行猜想，从而引入新课；在小结圆和圆的位置关系时也可以用类比点和圆、直线和圆的位置关系的方法进行。
例1应用了“两圆相切，切点一定在连心线上” 这一重要性质。
当两圆相切时，过切点作两圆的公切线是一种常用的添辅助线方法。
四、课堂练习
练习2给学生图形逐步提示。
教材中 P88 练习题 3 、 4做为课堂练习。
五、小结
从运动的观点，反复观察的出两圆之间的五种位置关系。从圆与圆的位置关系导出了d、R、 r的数量关系；反过来，利用d、R、r的数量关系又可以判断两圆的位置关系。
若 ⊙ O1 、 ⊙ O2 相交于点A 、B ，因为⊙ O1 、 ⊙ O2 组成的图形是以连心线 O1O2 为对称轴的轴对称图形，所以交点A、B关于直线 O1O2对称。利用对称方法证明这个定理比较简单；注意：连心线垂直平分公共弦，不是公共弦垂直平分连心线。
三、例题选讲分析透例题，采取设问的方法引导学生思考，争取让学生拿出方法。
（ 2 ）圆和圆的五种位置关系蕴
含了分类讨论的数学思想。
（ 3 ）圆和圆的各种位置关系中圆心
距与半径之间的数量关系蕴含了数形
结合的数学思想。
本节课的设计是以教学大纲和教材为依据，采用探究式、讨论式教学。遵循因材施教、循序渐进的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。教学过程中，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励学生们的自学讨论，充分发挥小组合作学习的优势。

圆与圆的位置关系

p A B C D p A B C DA CBP A C P B D §第12讲圆与圆的位置关系本课是在学习了圆周角与圆心角关系及圆周角相关定理后，对圆的有关知识的一个综合运用。

同时引入了圆与三角形四边形的关系，解决了“圆化方”的问题，可以形成可解图形的问题。

加强我们对圆的认识，提高解决与圆有关推理、论证和计算问题的能力。

【知识点清单】§Ⅰ：两圆位置关系设两圆半径分别为R 和r，圆心距为d ，那么(1)两圆外离 d ＞R+r (2)两圆外切d=R+r (3)两圆相交 R-r ＜d＜R=r(R ≥r) (4)两圆内切 d=R-r(R ＞r) (5)两圆内含 d ＜R-r(R ＞r)两圆的性质定理：1，如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. 2，相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．§Ⅱ：与圆有关的比例线段1.相交弦定理及推论：(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图1，弦AB 、CD 相交于P 点，则有：PA ·PB=PC ·PD(2) 相交弦道理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项，如图2，CD 是弦，AB 是直径，CD ⊥AB ，垂足是点P ，则有：PC 2=PA ·PB （图1）（图2）（图3）（图4） 2切割线定理及推论：（1）切割线定理：从园外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆相交的两条线段的比例中项，如图3，PC 是圆的切线，割线PAB ，则PC 2=PA ·PB（2）切割线定理推论（割线定理）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等，如图4，PAB 、PCD 是圆的两条割线，则有：PA ·PB=PC ·PD【典例精析】考点1: 圆与圆位置关系【例1】已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）A ．相交B ．内含C ．内切D ．外切BA O E DCA OBE CD OAB P CBD OT PCAOBPAC 【例2】两圆的圆心坐标分别是（3，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切变式议练：已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为R 和r ，且R ≧r ，R 和r 是方程0362=+-x x 的两根，设O 1O 2=d,那么（1）若d=7时，试判断⊙O 1和⊙O 2的位置关系；（2）若d=32时，试判断⊙O 1和⊙O 2的位置关系；（3）若d=5时，试判断⊙O 1和⊙O 2的位置关系；（4）若两圆相切时，求d 的取值范围。

第04讲圆与圆的位置关系(原卷版)

第04讲圆与圆的位置关系目录考点一：圆与圆的位置关系考点二：相切两圆的性质考点三：相交两圆的性质【基础知识】一．圆与圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．二．相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．三．相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．【考点剖析】一．圆与圆的位置关系（共26小题）1．（2022春•长宁区校级月考）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（）A．11B．6C．3D．22．（2022春•青浦区校级期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．外切D．相交3．（2022春•松江区校级期中）⊙A半径为3，⊙B半径为5，若两圆相交，那么AB长度范围为（）A．3＜AB＜5B．2＜AB＜8C．3＜AB＜8D．2＜AB＜54．（2022•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（）A．.0＜r≤4B．.0≤r≤4C．.0＜r＜4D．.0≤r＜45．（2022•杨浦区三模）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7D．2＜OB＜76．（2022春•浦东新区期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切7．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜88．（2022春•奉贤区校级期中）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于．9．（2022春•浦东新区校级期中）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是．10．（2022春•徐汇区校级期中）已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是．11．（2022春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A．4＜OB＜7B．5＜OB＜7C．4＜OB＜9D．2＜OB＜712．（2022春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．内切D．内含13．（2022•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（）A．5B．6C．7D．814．（2022春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（）A．12B．11C．10D．915．（2022春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．外切D．相交16．（2022•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（）A．4B．5C．6D．717．（2022春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（）A．d＞2B．d＞8C．0≤d＜2D．d＞8或0≤d＜218．（2022春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（）A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含19．（2022•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）A．外离B．相交C．外切D．不能确定20．（2022•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤521．（2022春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是．22．（2022春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为．23．（2022春•松江区校级期中）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r 的取值范围是．24．（2022春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（）A．点C在⊙A外，点D在⊙A内B．点C在⊙A外，点D在⊙A外C．点C在⊙A上，点D在⊙A内D．点C在⊙A内，点D在⊙A外25．（2022春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是．26．（2022秋•青浦区校级月考）两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距d为．二．相切两圆的性质（共3小题）27．（2022•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是 cm．28．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为．29．（2020秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．三．相交两圆的性质（共6小题）30．（2022•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（）A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝731．（2022•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（）A．2r+r•cos45°＝1B．2r+2r•cos45°＝1C．3r+r•cos45°＝1D．3r+2r•cos45°＝132．（2022•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（）A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离33．（2022春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是．34．（2022春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为 cm．35．（2022春•嘉定区校级期中）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB＝6．求：（1）弦AC的长度；（2）四边形ACO1O2的面积．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海松江·二模）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤52．（2021·上海金山·二模）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（）．A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切3．（2021·上海嘉定·二模）已知点，，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A ()4,0A ()0,3B 与⊙B 的位置关系（）A ．内切B ．外切C ．内含D ．外离4．（2021·上海静安·九年级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题5．（2018·上海金山·九年级期末）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（）A ．r ＜5B ．r ＞5C ．r ＜10D ．5＜r ＜106．（2019·上海·九年级期末）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，1r >那么这两个圆的位置关系不可能是（）A ．内含B ．内切C ．外离D ．相交二、填空题7．（2021·上海静安·九年级期中）已知⊙与⊙两圆内含，，⊙的半径为5，那么⊙1O 2O 123O O =1O 的半径r 的取值范围是_______．2O 8．（2019·上海上海·九年级期中）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．9．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，4），以2为半径的圆A 与以r 为半径的圆O 相交，那么圆O 半径r 的取值范围为____．10．（2020·上海闵行·九年级期末）半径分别为3cm cm 的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB=cm ，那么圆心距O 1O 2的长为______cm.11．（2021·上海静安·二模）如果⊙O 1与⊙O 2相交，⊙O 1的半径是5，O 1O 2＝3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是_____．12．（2021·上海普陀·二模）已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，以A 为圆心2为半径长作⊙A ，以B 为圆心BC 为半径作⊙B ，如果⊙A 与⊙B 内切，那么△ABC 的面积等于_____．13．（2021·上海市实验学校二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d ，若两圆没有交点，则d 的取值范围是___________14．（2021·上海杨浦·三模）如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为ABC 4AB =P BC PB 半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是________．P AC O P15．（2021·上海奉贤·三模）如图，已知在等边△ABC 中，AB ＝4，点P 在边BC 上，如果以线段PB 为半径的⊙P 与以边AC 为直径的⊙O 外切，那么⊙P 的半径长是________________．16．（2017·上海静安·九年级期中）如图，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，AB ＝3，点O 在直线AB 上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是________．17．（2018·上海长宁·九年级期末）已知⊙的半径为4，⊙的半径为R ，若⊙与⊙相切，且1O 2O 1O 2O ，则R 的值为________．1210O O =18．（2018·上海金山·九年级期末）两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．19．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．20．（2018·上海宝山·九年级期末）⊙O 的直径AB ＝6，C 在AB 延长线上，BC ＝2，若⊙C 与⊙O 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是______．21．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）在矩形中，，，点是边上一点ABCD 5AB =12BC =E AB （不与、重合），以点为圆心，为半径作，如果与外切，那么的半径的取值A B A AE A C A C r 范围是_______．三、解答题22．（2021·上海金山·一模）已知：如图，⊙与⊙外切于点，经过点的直线与⊙、⊙分1O 2O T T 1O 2O 别相交于点和点．A B （1）求证：；12//O A O B （2）若，，，求的长．12O A =23O B =7AB =AT23．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知垂足分别为点、点，与,,AB BC DC BC ⊥⊥B C AC 交于点，BD P （1）如果，以点为圆心作圆，圆与直线相切，35AB CD ==，P P BC ①求圆的半径长；P ②又，以为直径作圆，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由：8BC =BC O O P （2）如果分别以为直径的两圆外切，求证：与相似．AB CD 、ABC BCD △24．（2019·上海普陀·一模）如图，⊙和⊙相交于A 、B 两点，与AB 交于点C ，的延长线1O 2O 12O O 2O A 交⊙于点D ，点E 为AD 的中点，AE=AC ，连接．1O 1O E （1）求证：；11O E O C =（2）如果＝10，，求⊙的半径长．1O 2O 16O E =2O25．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知：如图所示，P 是∠MAN 的边AN 上的一个动点，B 是边AM 上的一个定点，以PA 为半径作圆P ，交射线AN 于点C ，过B 作直线使∥AN 交圆与D 、E 两点（点D 、点E 分l l 别在点B 的左侧和右侧），联结CE 并延长，交射线AM 于点F ．联结FP ，交DE 于G ，cos∠BAP =，AB ＝5，AP ＝x ，BE =y ，35（1）求证：BG ＝EG ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF 是以BF 为腰的等腰三角形时，求经过B 、E O 与圆P 的圆心距．26．（2018·上海上海·九年级期中）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点P 在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP=x，PC= y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；R R（3）联结PD，当∠PDC=∠B时，以D为圆心半径为的⊙D与⊙P相交，求的取值范围．27．（2021·上海杨浦·二模）如图，已知Q 是∠BAC 的边AC 上一点，AQ ＝15，cot∠BAC ＝，点P 是射34线AB 上一点，联结PQ ，⊙O 经过点A 且与QP 相切于点P ，与边AC 相交于另一点D ．（1）当圆心O 在射线AB 上时，求⊙O 的半径；（2）当圆心O 到直线AB 的距离为时，求线段AP 的长；34（3）试讨论以线段PQ 长为半径的⊙P 与⊙O 的位置关系，并写出相应的线段AP 取值范围．。

圆与圆的位置关系

图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）．A ．1B ．34C ．12D ．136、现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（）（A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。

圆和圆的位置关系

动画
两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交
内切
内含
同心圆
(内含的特殊形式)
两个圆的五种位置关系:
两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆
的外部时，叫做这两个圆外离。
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每
个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。
这个唯一的公共点叫做切点。
(2)对于圆与圆的位置关系，我们是在将两圆放在同一平面内运动状态下，通过观察、分析、比较、判断而得到的.
(3)圆心距和两圆半径之间的数量关系是性质也是判定，应用时注意区分.
课后作业:
课本P.151 习题7.5A组 2，3，4 题.
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求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？（2）以P为圆心作⊙⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
分析： ⑴ ⊙O和⊙P相外切，此时OP=OA+AP，可推出AP=OP-OA ； ⑵ ⊙O与⊙P相内切，则有OP=BP-OB，可推出BP=OP+OB 。
解： ⑴设⊙O与⊙P外切与点A ，则
设⊙O1的半径为R，⊙O2半径为 r, 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离
d ＞ R＋r
两圆外切
d ＝ R＋r
两圆相交
R－r ＜ d ＜ R＋r （R ≥ r）
两圆内切两圆内含
d ＝ R－r （R ＞r） d ＜ R－r （R＞r）
例 1:
如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外的一点，OP=8cm。
根据以上条件，分别判断⊙O1和⊙O2有何位置关系?

2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)

2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。

第18讲圆与圆的位置关系4种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义

第18讲圆与圆的位置关系4种常见考法归类1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点1圆与圆的位置关系1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．2．判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：|r－r|＜d＜C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．知识点2圆与圆位置关系的应用设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.③方程③表示圆C 1与C 2的公共弦所在直线的方程．(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．核心技巧：利用圆心到切线的距离d r =求解知识点4圆系方程(1)以(,)a b 为圆心的同心圆圆系方程：22()()(0)x a y b λλ-+-=>；(2)与圆220x y Dx Ey F ++++=同心圆的圆系方程为220x y Dx Ey λ++++=；(3)过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为22()0()x y Dx Ey F Ax By C R λλ+++++++=∈4过两圆1C 221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-，此时圆系不含圆2C ：222220x y D x E y F ++++=）特别地，当1λ=-时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.1、判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．2、圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．3、两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.4、公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．5、求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程考点一：圆与圆位置关系的判断（一）判断圆与圆的位置关系例1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）圆()22(2)21x y -+-=与圆()()221225x y +++=的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．内含D ．外离【答案】B【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆()22(2)21x y -+-=的圆心1(2,2)C ，半径11r =，圆()()221225x y +++=的圆心2(1,2)C --，半径25r =，于是122121||5(,)C C r r r r ==∈-+，所以两圆相交.故选：B变式1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O ：221x y +=与圆C :22650x y y +++=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切【答案】C【分析】利用两圆外切的定义判断即可.【详解】圆O 是以(0,0)O 为圆心，半径11r =的圆，圆C :22650x y y +++=改写成标准方程为()2234x y ++=，则圆C 是以(0,3)C -为圆心，半径22r =的圆，则3OC =，12r r +=3，所以两圆外切，故选：C .变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆1C 的圆心在直线210x y +-=上，点()3,0与()1,2-都在圆1C 上，圆()()222:311C x y -++=，则1C 与2C 的位置关系是___________.【答案】相交【分析】利用待定系数法求得圆1C 的标准方程，求出圆心距12C C ，与两圆的半径和、差比较即可得出结论.【详解】设圆1C 的标准方程为()()2221x a y b r -+-=，因为圆心1C 在直线210x y +-=上，且该圆经过()3,0与()1,2-两点，列方程组22212221210(3)(0)(1)(2)a b a b r a b r +-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+--=⎩，解得1102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即圆1C 的标准方程为()2214x y -+=，圆心()11,0C ，半径12r =，又圆()()222:311C x y -++=，圆心()23,1C -，半径21r =，∴12C C =123r r +=，121r r-=，而13<<，∴1C 与2C 的位置关系是相交.故答案为：相交.变式3．【多选】（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，则（）A ．点(5,5)在圆C内B ．直线3)y x =-与圆C 相切C ．圆229x y +=与圆C 相切D ．圆2249x y +=与圆C 相切【答案】BCD【分析】根据点和圆的位置关系判断A 选项，根据圆心与直线距离判断B 选项，根据圆心间距离和半径和差比较判断圆圆位置关系判断C,D 选项.【详解】点(5,5)代入圆22:(3)(4)4C x y -+-=可得22(53)(54)414-+-=+>,点(5,5)在圆C 外，A 选项错误；圆22:(3)(4)4C x y -+-=,圆()3,4,2C r=,直线3)y x =-,圆心到直线距离2d =,B 选项正确；圆229x y +=,圆心()110,0,3C r=,11523CC r r ===+=+,圆229x y +=与圆C 相外切,C 选项正确;圆2249x y +=,圆心()220,0,7C r =,22572CC r r ==-=-,圆2249x y +=与圆C 相内切,D 选项正确.故选:BCD.变式4．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，动点P满足PA =，则使PAB 为等腰三角形的点P 个数为（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】设(),P x y，根据PA =可得动点P 的轨迹方程为圆22:(4)12M x y -+=，再结合PAB 为等腰三角形分析即可求解.【详解】设(),P x y ，由PA =，=整理得22(4)12x y -+=，记为圆.M又PA PB =>，PAB 为等腰三角形，则有4PA AB ==或4PB AB ==.因为圆22:(2)16A x y ++=与圆M 相交，故满足4PA AB ==点P 有2个；因为圆22:(2)16B x y -+=与圆M 相交，故满足4PB AB ==点P 有2个，故使PAB 为等腰三角形的点P 共有4个.故选：D.变式5．【多选】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M ：22650x y y +-+=，圆N ：22280x y y ++-=，直线l ：340x y m -+=，则下列说法正确的是（）A ．圆N 的圆心为()0,1B ．圆M 与圆N 相交C ．当圆M 与直线l 相切时，则2m =D ．当7m =时，圆M 与直线l 相交所得的弦长为【答案】BD【分析】写出圆,M N 的标准方程确定圆心坐标和半径，判断||MN 与两圆半径的关系判断A 、B ；再由点线距离及相交弦长公式判断C 、D.【详解】由题设，22:(3)4M x y +-=，则(0,3)M 且半径2r =，22:(1)9N x y ++=，则(0,1)N -且半径3R =，A 错；所以4R r MN R r -<=<+，即两圆相交，B 对；M 到直线l 的距离|012||12|55m m d -+-==，若圆M 与直线l 相切，则|12|25m -=，所以22m =或2m =，C 错；当7m =时1d r =<，即圆M 与直线l 相交，相交弦长为=D 对.故选：BD变式6．（2022·全国·高二专题练习）已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.【详解】设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-=，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.（二）由圆的位置关系求参数例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆221:4C x y +=与圆2222:20C x y mx m m +-+-=外切，则实数m =（）A ．－1B ．1C ．1或4D ．4【答案】D【分析】由两圆的位置关系计算即可.【详解】由条件化简得()222:,0C x m y m m -+=∴>，即两圆圆心为()()120,0,,0C C m ，设其半径分别为12,r r ，122,r r ==121224C C m r r m ==+=+⇒=.故选：D变式1．（2023秋·高二课时练习）若两圆22(1)4x y ++=和圆22()1x a y -+=相交，则a 的取值范围是（）A ．02a <<B ．02a <<或42a -<<-C ．42a -<<-D ．24a <<或20a -<<【答案】B【分析】圆()2214x y ++=与圆()221x a y -+=相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，解不等式．【详解】圆()2214x y ++=与圆()221x a y -+=相交，∴两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，即2121-<<+，所以113a <+<.解得02a <<或42a -<<-.故选：B变式2．（2023秋·高二课时练习）当a 为何值时，两圆2222450x y ax y a +-++-=和2222230x y x ay a ++-+-=.(1)外切；(2)相交；(3)外离.【答案】(1)5a =-或2a =(2)52a -<<-或1a 2-<<(3)5a <-或2a >【分析】（1）化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距d ，由1212||d C C r r ==+列式，即可求解.（2）由1212||r r d r r <+<-列不等式组，即可求出a 的范围.（3）由1212||d C C r r =>+列不等式，即可求出a 的范围.【详解】（1）设圆2221:2450C x y ax y a +-++-=，半径为1r ，得221:()(2)9C x a y -++=，圆心1(,2)C a -，13r =.2222:2230C x y x ay a ++-+-=，半径为2r ，得222:(1)()4C x y a ++-=，圆心1(1,)C a -，22r =.圆心距12||d C C ===因为两圆12,C C 外切，则1212||5d C C r r ==+=5=，解得5a =-或2a =.（2）因为两圆12,C C 相交，则121212||||r r C C r r -<<+，即121||5C C <<，所以15<，解得52a -<<-或1a 2-<<.（3）因为两圆12,C C 外离，则1212||d C C r r =>+，即12||5C C >，5>，解得5a <-或2a >.变式3．（2022秋·高二课时练习）若圆222x y r +=与圆222440x y x y ++-+=有公共点，则r 满足的条件是（）A ．1rB ．1r >+C ．1r ≤D ．1r <【答案】C【分析】根据两圆之间的位置关系，由圆心距和半径之间的关系即可求解.【详解】由222440x y x y ++-+=得()()22121x y ++-=，∵两圆有公共点，∴11r r -≤+，1r -＃1，即11r -≤，∴1r ≤，故选：C.变式4．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=有公共点，则r 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,5C ．[]1,9D ．[]5,9【答案】C【分析】根据题意得到1244r C C r -≤≤+，再解不等式即可.【详解】由题知：()11,2C -，1r r =，()24,2C ，24r =，125C C =.因为1C 和2C 有公共点，所以1244r C C r -≤≤+，解得19r ≤≤.故选：C变式5．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知圆()()()222:3425C x y r r *-+-=+∈N ，()1,0M -，()1,0N ，若以线段MN 为直径的圆与圆C 有公共点，则r 的值可能为______.（写出一个即可）【答案】1（2,3均可）答案不唯一【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由题意得，圆221x y +=与圆()()222:3425C x y r -+-=+有公共点，11≤≤，∴46≥≤，且0r >，解得0r <1r =，2，3均可.故答案为：1（2,3均可）变式6．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆22:(4)(3)4C x y -++=和两点(,0),(,0)(0)->A a B a a ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则a 的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【分析】根据条件，将问题转化成圆222x y a +=与圆C 有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.【详解】由90APB ∠=︒，得点P 在圆222x y a +=上，故点P 在圆222x y a +=上，又点P 在圆C 上，所以，两圆有交点，因为圆222x y a +=的圆心为原点O ，半径为a ，圆C 的圆心为(4,3)-，半径为1，所以|1|1a OC a -≤≤+，又5OC ==，所以|1|51a a -≤≤+，解得46a ≤≤，所以a 的最小值为4.故选：C.变式7．（2023秋·高一单元测试）已知圆221:()(2)9O x m y -++=与圆222:()(2)1O x n y +++=内切，则22m n +的最小值为_______【答案】2【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．【详解】圆1O 的圆心为(,2)m -，半径为13r =，圆2O 的圆心为(,2)n --，半径为21r =，∴两圆的圆心距||d m n =+，两圆内切，||2m n ∴+=，可得()2222222442m n mn m n mn m n ++=⇒-+=≤+，所以222m n +≥．当且仅当1m n ==时，取得最小值，22m n +的最小值为2．故答案为：2．变式8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆C 的方程为221x y +=，若直线()3y k x =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相外切，则k 的取值范围为__________．【答案】,55⎡-⎢⎣⎦【分析】根据题意，由圆C 的圆心到直线()3y k x =-的距离不大于两半径之和求解.【详解】解：因为直线()3y k x =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相外切，所以圆C 的圆心到直线()3y k x =-的距离不大于两半径之和，即2d =≤，化简得254k ≤，解得k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦考点二：与圆相交有关的问题（一）求两圆的交点坐标例3．（2022·高二课前预习）圆221x y +=与圆222210x y x y ++++=的交点坐标为（）A ．(1,0)和()0,1B ．(1,0)和()0,1-C ．(1,0)-和()0,1-D ．()1,0-和()0,1【答案】C【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案.【详解】由222212210x y x y x y ⎧+=⎨++++=⎩,可得10x y ++=，即=1y x --，代入221x y +=，解得=1x -或0x =，故得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,所以两圆的交点坐标为(1,0)-和()0,1-,故选:C变式1．（2022·高二课时练习）求圆22230x y x +--=与圆224230x y x y +-++=的交点的坐标．【答案】(1,2)-、(3,0)【分析】联立两圆方程可得3y x =-，将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标.【详解】由题设，22224232300x y x y x y x +-⎧+--=++=⎪⎨⎪⎩，相减可得3y x =-，所以222(3)232860x x x x x +---=-+=，解得1x =或3x =，当1x =时，132y =-=-；当3x =时，330y =-=；所以交点坐标为(1,2)-、(3,0).变式2．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆1C ：22640x y x y ++-=和圆2C ：2260x y y +-=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是______.【答案】390x y -+=【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程，【详解】圆1C 方程为22(3)(2)13x y ++-=，圆2C 方程为22(3)9x y +-=，则圆心分别为1(3,2)C -，2(0,3)C ，两圆相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线即为直线12C C ，123210(3)3C C k -==--，则直线12C C 的方程为133y x =+，即390x y -+=，故答案为：390x y -+=变式3．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）已知圆22:16O x y +=与圆22:86160C x y x y ++++=交于A ，B 两点，则四边形OACB 的面积为（）A ．12B ．6C ．24D ．245【答案】A【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由()4,0A -和()4,3C --可知OA AC ⊥，则四边形OACB 的面积1222OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅ ，计算即可.【详解】圆22:16O x y +=，圆心坐标为()0,0O ，半径14r =，圆22:86160C x y x y ++++=化成标准方程为()()22439x y +++=，圆心坐标为()4,3C --，半径23r =，圆O 与圆C 都过点()4,0-，则()4,0A -，如图所示，又()4,3C --，∴OA AC ⊥，由对称性可知，OB BC ⊥，4OA OB ==，3AC BC ==，则四边形OACB 的面积12243122OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅=⨯= .故选：A（二）圆系方程的应用例4．（2023·全国·高三专题练习）经过点()1,1P 以及圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点的圆的方程为______．【答案】2220x y x y ++--=【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案.【详解】联立22224044120x y x y x y ⎧+-=⎨+-+-=⎩，整理得2y x =+，代入2240x y +-=，得220x x +=，解得0x =或2x =-，则圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点坐标为(0,2),(2,0)-，设经过点()1,1P 以及(0,2),(2,0)-的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则20420420D E F E F D F +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得112D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，故经过点()1,1P 以及圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点的圆的方程为2220x y x y ++--=，故答案为：2220x y x y ++--=变式1．（2022秋·高二单元测试）求过两圆221:240C x y y +--=和圆222:420C x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.【答案】22310x y x y +-+-=【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线l 的方程，从而求出圆的方程.【详解】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭代入2410x y +-=得24102111λλλ-++⨯+⨯-=，解得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．（三）求两圆公共弦方程例5．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆221:130O x y +-=与圆222:650O x y x +-+=的公共弦所在直线方程为___________.【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆221:130O x y +-=的圆心为(0,0)，半径为1r =圆222:650O x y x +-+=的圆心为(3,0)，半径为22r =，则121212||3r r O O r r -<=<+，则两圆相交，故将两圆方程相减可得：6180x -=，即30x -=，即圆221:130O x y +-=与圆222:650O x y x +-+=的公共弦所在直线方程为30x -=，故答案为：30x -=变式1．（2022秋·高二课时练习）已知圆2212610C x y x y ++-+=：与圆22242110C x y x y +-+-=：，求两圆的公共弦所在的直线方程（）A ．3460x y ++=B ．3460x y +-=C ．3460x y --=D ．3460x y -+=【答案】D【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.【详解】将两个圆的方程相减，得3x －4y ＋6＝0.故选：D.变式2．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆1C ：222(1)x y r ++=过圆2C ：22(4)(1)4x y -+-=的圆心，则两圆相交弦的方程为______.【答案】5190x y +-=【分析】求出2r ，得到圆1C ，两圆相减得到相交弦方程.【详解】圆2C ：22(4)(1)4x y -+-=的圆心坐标为()4,1，因为圆1C 过圆2C 的圆心，所以222(41)1r ++=，所以226r =，所以1C ：22(1)26x y ++=，两圆的方程相减可得相交弦方程为5190x y +-=.故答案为：5190x y +-=.变式3．（2022秋·高二课时练习）已知过圆224x y +=外一点()3,4P 做圆的两条切线，切点为,A B 两点，求,A B 所在的直线方程为（）A ．3440x y +-=B ．3440x y ++=C ．3440x y --=D ．3440x y -+=【答案】A【分析】根据切线的特征可知,A B 所在的直线为圆224x y +=和以OP 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,以OP 为直径的圆的公共弦所在的直线方程，【详解】根据题意得,A B 所在的直线为圆224x y +=和以OP 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,以OP 为直径的圆的公共弦所在的直线方程，因为5OP =，所以圆()2222325234024M x y x y x y :＋骣琪--=Þ+--=琪桫，两圆相减得,A B 所在的直线方程为3440x y +-=.故选：A.（四）求两圆公共弦长例6．（2022·高二课时练习）已知圆221:(1)5C x y +-=，圆222:420C x y x y +-+=.(1)求圆1C 与圆2C 的公共弦长；(2)求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】(1)(2)22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，化简得10x y --=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d =则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得AB =，所以公共弦长为（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++；由圆心21,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭在直线241x y +=上，则()414111λλλ--=++，解得13λ=，所求圆的方程为22310x y x y +-+-=，即22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：由（1）得1y x =-，代入圆222:420C x y x y +-+=，化简可得22410x x --=，解得22x =；当22x =时，2y =；当22x =时，2y =-；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222222222241a b a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以222317222r ⎛⎛=+--= ⎝⎭⎝⎭；所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式1．（2023·河南·统考二模）若圆221:1C x y +=与圆222:()()1C x a y b -+-=的公共弦AB 的长为1，则直线AB 的方程为（）A ．210ax by +-=B ．230ax by +-=C ．2210ax by +-=D ．2230ax by +-=【答案】D【分析】将两圆方程相减得到直线AB 的方程为22220a b ax by +--=，然后再根据公共弦AB 的长为1即可求解.【详解】将两圆方程相减可得直线AB 的方程为22220a b ax by +--=，即22220ax by a b +--=，因为圆1C 的圆心为(0,0)，半径为1，且公共弦AB 的长为1，则1(0,0)C 到直线22220ax by a b +--=的距离为2，223a b +=，所以直线AB 的方程为2230ax by +-=，故选：D.变式2．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C 的圆心为()2,2-，且与直线0x y ++相切．(1)求圆C 的方程；(2)求圆C 与圆224x y +=的公共弦的长．【答案】(1)22(2)(2)20x y -++=(2)【分析】（1）由题意求得圆的半径，即可求得答案；（2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案.【详解】（1）由题意得圆C 的半径为r =故圆C 的方程为22(2)(2)20x y -++=；（2）圆224x y +=和22(2)(2)20x y -++=的圆心距为而22<<+，即两圆相交，将224x y +=和22(2)(2)20x y -++=相减得20x y -+=，圆224x y +=的圆心到20x y -+=的距离为d ==故两圆的公共弦长为=变式3．（2021秋·高二课时练习）若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则直线AB 的方程为________；线段AB 的长为________．【答案】x ＝±14【分析】连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，利用勾股定理和等面积法，求出AC ，进而求出AB ，根据1OO ，求出m ，进而联立求出直线AB 的方程.【详解】连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA ||O 1A |＝∴|OO 1|＝5，∴|AC |2，∴|AB |＝4．由|OO 1|＝5，得5m =±，所以，联立可得2222(5)520x y x y +-±-=-，解得直线AB 的方程为x ＝±1．故答案为：①1x =±；②4.变式4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆221:1O x y +=与圆()2222201：O x y x y F F +-++=<2O 的半径r =（）A ．1BC 1D【答案】D【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆2O 圆心与半径表达式可得答案.【详解】221x y+=与()2222201：O x y x y F F +-++=<两式相减得2210:l x y F ---=，即公共弦所在直线方程.圆2O 方程可化为()()22211:O x y -++2F =-，可得圆心()21,1O -，2O 半径r =则圆心2O 到l 的距离为d ==半弦长为2，则有2222r F +==-⎝⎭，解得3F =-或1F =（舍），此时r =.故选：D .变式5．（2021秋·高二课时练习）圆2221:22210C x y ax ay a ++++-=与圆2222:22220C x y bx by b ++++-=的公共弦长的最大值是（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线y x =上，再利用几何关系即可求出结果.【详解】由222x y 2ax 2ay 2a 10++++-=，得()()22x a y a 1+++=，圆心1(,)C a a --，半径11r =；由2222:22220C x y bx by b ++++-=，得()()22x b y b 2+++=，圆心2(,)C b b --，半径2r =所以两圆圆心均在直线y x =上，半径分别为1，如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.故选：D.考点三：两圆的公切线问题（一）圆的公切线条数例7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆221:(2)(4)25C x y +++=与圆222:(1)9C x y ++=的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.【详解】圆221:(2)(4)25C x y +++=的圆心坐标为(2,4)--，半径为5；圆222:(1)9C x y ++=的圆心坐标为(1,0)-，半径为3，所以两圆的圆心距为d因为5353-<+，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.变式1．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知圆221:9C x y +=与圆222:(3)(4)16C x y -+-=，下列说法正确的是（）A ．1C 与2C 的公切线恰有4条B ．1C 与2C 相交弦的方程为3490x y +-=C ．1C 与2C 相交弦的弦长为125D ．若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||12PQ =【答案】BD【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆1C 的圆心()10,0C ，半径13r =，圆2C 的圆心()23,4C ，半径24r =，1221125,C C r r d r r ==-<<+，故两圆相交，所以1C 与2C 的公切线恰有2条，故A 错误；做差可得1C 与2C 相交弦的方程为3490,x y +-=1C 到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为245=，故C 错误；若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max 1212||12PQ C C r r =++=，故D 正确.故选：BD变式2．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知直线l 是圆:C ()()22211x y -+-=的切线，并且点()3,4B 到直线l的距离是2，这样的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【分析】由已知可推得，直线l 是圆C 与圆B 的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案.【详解】由已知可得，圆心()2,1C ，半径11r =.由点()3,4B 到直线l 的距离是2，所以直线l 是以()3,4B 为圆心，22r =为半径的圆的切线，又直线l 是圆:C ()()22211x y -+-=的切线，所以，直线l 是圆C 与圆B 的公切线.因为123BC r r ==>=+，所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D.变式3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆221:1Cx y +=和2221:2502C x y ay a a ⎛⎫+---=> ⎪⎝⎭有且仅有一条公切线，则=a______；此公切线的方程为______【答案】120y ++=【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求a ，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解.【详解】如图，由题意得1C 与2C 相内切，又22221:()()452C x y a a a a ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，所以121C C ==，所以21a +=1a =，所以)2C，12C C k==联立(()2222119x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以切点的坐标为122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故所求公切线的方程为12y +=2x +⎭20y ++=．故答案为：120y ++=变式4．（2022秋·高二课时练习）已知两圆2211C x y +=：，()()()2222120C x y r r -+-=>：，当圆1C 与圆2C 有且仅有两条公切线时，则r 的取值范围________.22r <<【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解.【详解】若圆C 1与圆C 2有且仅有两条公切线时，则两圆相交，圆心C 1()0,0，半径R ＝2，圆C 2()1,2，半径r ，则12C C ==若两圆相交，则满足12<<r R C C R r -+，即22r r -<+,22r <+，22r <+变式5．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆2226940x y ax a +++-=和222290x y by b ++--=恰有三条公切线，若R a ∈，R b ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（）A ．1625B ．3225C ．169D ．329【答案】A【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到22925a b +=，变换得到()22222219111125b a b a b a ⎛⎫+= ⎪⎭++⎝，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】2226940x y ax a +++-=，即()2234x a y +=+，圆心()13,0O a -，12R =；222290x y by b ++--=，即()229x y b +-=，圆心()20,O b ，半径23R =；两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故12125O O R R =+=，即22925a b +=，()222222222211111111610102525252599a b a b a b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭+⎭.当且仅当22229b a a b=，即22512a =，2254b =时等号成立.故选：A（二）圆的公切线方程例8．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆()()224316x y -++=和圆221x y +=都相切的一条直线的方程___________.【答案】1y =（答案不唯一，247250x y ++=或4350x y --=均可以）【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123l l l ，，，易得切线1l 的方程为1y =；因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=；可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上，在1l 上取点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ，则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=，综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=.故答案为：1y =（答案不唯一，247250x y ++=或4350x y --=均可以）变式1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知圆()22:11C x y -+=与圆(22:1E x y +=，写出圆C和圆E 的一条公切线的方程______.【答案】10x +=20y +-=20y +=.【分析】设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离均为1求解方程.【详解】设圆的公切线为y kx b =+，11==|||k b b ⇒+=，k =2k b-代入求解得：2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以切线为：2,y =+或2y =+或10x +=故答案为：10x -+=20y +-=20y +=.变式2．（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆221:1O x y +=和222:(3)1O x y -+=都相切的一条直线方程____________．【答案】3)52y x =±-或1y =±中任何一个答案均可【分析】先判断两圆的位置关系，可知公切线斜率存在，方程可设为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.【详解】圆221x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆222:(3)1O x y -+=的圆心为()23,0C ，半径为21r =，则12123C C r r =>+，所以两圆外离，由两圆的圆心都在x 轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则有11==，解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01k b =⎧⎨=⎩或01k b =⎧⎨=-⎩所以公切线方程为3)2y x =-或1y =±.故答案为：1y =.（答案不唯一，写其它三条均可）变式3．【多选】（2022秋·高二单元测试）已知圆()()221:211C x y -+-=，圆()()222:211C x y +++=，则下列是圆1C 与圆2C 的公切线的直线方程为（）A ．0y =B ．430x y -=C．20x y -=D．20x y +=【答案】ABC【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程.【详解】根据题意可知，两圆心()()122,1,2,1C C --关于原点对称，在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：显然，圆心距1211C C =+，即两圆外离，共有4条切线；又两圆心到x 轴的距离都等于其半径，所以x 轴是其中一条公切线，即A 正确；利用对称性可知，其中一条切线1l 过原点，设其方程为y kx =，又()12,1C 到切线1l 的距离为11=，解得0k =或43k =；当0k =时，切线即为x 轴，当43k =时，切线方程为43y x =，即430x y -=，B 正确；由对称性可知，切线23,l l 与直线12C C 平行，易知12111222C C k +==+，所以直线12C C 的方程为12y x =，可设23,l l 的方程分别为12y x c =+，()1,02y x c c =->1=，解得2c =，即切线23,l l的方程分别为122y x =+，122y x =-；整理可得两切线方程为20x y -=和20x y -=，故C 正确，D 错误；故选：ABC（二）圆的公切线长例9．【多选】（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x x y y -+-+=，则（）A ．圆1C 与圆2C 相切B ．圆1C 与圆2CC ．圆1C 与圆2C 公共弦所在直线的方程为1x y +=D ．圆1C 与圆2C 公共部分的面积为π12-【答案】BCD【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A ，B ，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C ，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D.【详解】解：因为圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，所以圆1C 的圆心为1(0,0)C ，半径11r =，圆2C 的圆心为2(1,1)C ，半径21r =，所以121212r r C C r r -<=+，故圆1C 与圆2C 相交，即A 错误；因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为12C C =B 正确将两圆方程作差得10x y +-=，所以两圆公共弦所在直线l 的方程为10x y +-=，故C 正确；因为1C 的圆心为1(0,0)C ，半径11r =，所以1(0,0)C 到直线10x y +-=的距离为1d所以公共弦长为又圆心2(1,1)C 到直线10x y +-=的距离为2d ==所以圆1C 与圆2C 公共部分的面积为11π2π14222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BCD变式1．【多选】（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆221:2660C x y x y ++-+=与圆222:2210C x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则（）A ．AB 的直线方程为4450x y -+=B ．公共弦AB 的长为8C ．圆1C 与圆2C D ．线段AB 的中垂线方程为20x y +-=【答案】ACD【分析】对于A ，两圆方程相减可求出直线AB 的方程，对于B ，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦AB 的长，对于C ，求出12C C ，对于D ，线段AB 的中垂线就是直线12C C ，求出直线12C C 的方程即可.【详解】由222660x y x y ++-+=，得22(1)(3)4x y ++-=，则1(1,3)C -，半径12r =，由222210x y x y +--+=，得22(1)(1)1x y -+-=，则2(1,1)C ，半径21r =，对于A ，公共弦AB 所在的直线方程为2222266(221)0x y x y x y x y ++-+-+--+=，即4450x y -+=，所以A 正确，对于B ，2(1,1)C 到直线AB 的距离d =，所以公共弦AB 的长为4AB ==，所以B 错误，对于C ，因为12C C ==，12r =，21r =，。

圆和圆的位置关系

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城市里过分的静，哪怕是短暂的，就有一种时光停滞之感，静得让人不安、疑虑重重。人们已被声响渗透全身。 ? 前不久我去了一个山村，带去读的几本书，其中有一本是席勒文集。那天下午无所事事，我走到村外的一株大樟树下，坐在落满樟叶的坡上，一页页地翻动。我不时地让眼睛离开书页，看着眼前的；秋景。稻谷已是金黄，待割；荒草尖流露着枯意，生命进入了末端.有时头顶的树叶就落在段落,是黄里带红的那一种。四周的山水、田园静谧。秋天的装饰、生存的装饰，在午后的阳光下泛着简洁的光。这时席勒的一段话就飘入我的眼帘，“当一个人离开尘嚣伫立在豁朗的天穹之下，当他幽居村舍，漫步田间之时，他看到一朵模模样寻常的花儿，一片明媚的春光，一块覆盖着青苔的山石，一声声鸟雀的啁啾，蜜蜂的嗡嗡……”天哪！席勒描述的春景，其中的和谐和浑然，与我此时的情致不是如出一辙么。一两声的鸟鸣，一两声的牛哞，一两声的羊咩，是如此这般巧妙穿插生动地点缀。幽居只有指出村，城市是无来由论说幽居的，城里只能说蛰伏击。蛰伏是不从容闲雅的，幽居则享受天然不尽。这么说当然不是指村民们在生活中都不弄出些声响，而是这些声响也相应地天然质朴。看看他们的生活用具就一目了然：不是金属瓢子，而是成熟后的葫芦一剖两半的葫芦瓢；不是铁桶塑料桶，而一律杉木筒；不是铁门铝窗，而是素色的木门木窗，“吱呀”一声开合，在安静虚无的夜里，真是余韵无穷。就是大热天，村上也不置电扇空调，大人小孩一柄棕树叶编织成的团扇，足以消解让人厌烦的漫长夏季。这些与竹木类仍然越抱越紧的生活方式，我们说原始也罢、无趣也罢，已经变得冥冥之中有灵犀了，并不因此影响生活质量。他们的生息是循四季进展开的，他们是世袭通晓四季音符的人。 ? 城乡声响的迥异，使人预测有的声响要被改造、被同化。声响的两大类别就是市声和村声。事实明，市声已向村声推进了，这使城市边缘的村庄变得声调失去常态，有些古怪离奇。其中一部分山村的和谐之声走失，是与老一辈故去有瓜葛的。我这里说的地方戏，你要认识一代人的心灵，完全可以从腔调入手，找到其中的情结。那一代人会不动不动地坐着，痴迷地盯着舞台上长袖善舞，眉目传情，声调抑扬里，盛不又尽牢骚抑郁的啸号愤激之情、慷慨流连诙谐笑谑之态，不由感慨人世的哀乐交融、荣悴迭代。台上曾经的名角，被台下的人灼灼目光追逐着。多少时日过去了，某一个唱腔隐约漾起，还会令人涌起如梦如烟的往事，重又再现玉手传笺的美丽夜色，不能淡忘舞台上那临风玉立缟衣吹拂的滋味。这一代人不见了，下一代人鲜有耐性，和谐之声遂为嘈切，更遑论从腔调的游移中庄周之幻化、曼傅之诙谐了。上一代人的至乐，被下一代人倾听的方式不同，对于声响必有取舍。所谓生命就是如此，有生有死，有湮没有更新。声响不也是一种生命？！在一些文化积淀厚实的人家里，累代相传的都是琅琅书声。书声无论在什么时节，不管是初涉诗书的孩童，还是腹笥充实的老者，书声都长久怡人。没有人会嫌书声。一落破旧的老宅，由于有了书声，使它变得生机勃发，使人见到希望。书声是不分贫贱的，甚至在声调里，它的平民色彩还会浓一些。它盛满了平头百姓的秘密，循着书声，可以追溯一个家族的过去，以及未来的走向。我在山村好几次见到这样的情景：儿子在读书，父亲在旁边敲敲打修农具，这时婆娘必定走过来，让丈夫把农具拎到户外去摆弄，生怕乱了孩子的书声。晚间的山村没有电灯，油灯最亮的那一盏一定是属读书小儿的，习惯在点亮时再把灯芯挑高一点。其他房间则一片昏黄或漆黑一团。这些细节很多年来都让我萦绕于怀。尽管我在旁边听着，却听不懂，孩子的乡音太重。我依旧觉得这是上好的声响。后来，听说有几个小孩就在书声中考进城来了。在噪声这般繁重的空间，他们还能一如既往地固守内心的安宁吗？对于噪声,我们更多的替肉体担心,因为肉体受到了伤害,让我们寝食不安日渐枯瘦,日子的节奏在潦潦草草中随便带过,从容不迫成了奢望.，在公共的场合上,人们要躲避噪声是徒劳的,城里那千万只蟑螂一般奔驶的汽车、摩托，是这个空间流动不息的噪声传播器，在无数街巷惊惊惶惶的散播；还有不少人拿着手机，肆无忌惮的大喊大叫，宛如发生了倾国倾城的大事。于是噪声的种类比以前增添了品种，噪声量也不得不成立治理噪声的组织。可是对付无所不在的噪声，还是另人招架不及。噪声生命力正在增强，运动的状态使它们不分城南城北，涵盖了整个城市。我想起了古人有过庭院深深深几许的佳句，佳句犹存，永远会喜欢那样的庭院。庭院成了单元房，那些梦中的回廊、花径、天井消失了，幽深的长景一浅显，噪声就长驱直入。现在我们就爱说古人坐得住。宁静是古文人的恋人，拥之而坐。宁静使人心绪淡远，举止斯文而有雅气。坐品宁静，可以由此穿透到永久，与那时的人相聚。古文人的息息相通，从氛围上来解是同一个谜底，他们有那么多的暗合之处，如合符契另人惊艳。至于为什么会这般相似，有时只能是永久的秘密了，让他们发生同样的思索和爱情，在宁静中诞生、长大、故去。后来的空间转为“现代”，声响也变得难以捉控了。多了一种声响，静坐书斋就多了一份踌躇。当一个人守不住他的冷板凳，有许多梦想今生是注定无法实现了。渴望在蓝天白云间飞翔，迎接八面来风，这是很多浪漫气息的。商海漫游、仕途拼搏，更多的人习惯了觥筹交错中的热闹，习惯了前呼后唤的虚荣。当然，对于独处默坐的书斋生活再也不会习惯了。那个曾经闭合的范围里，曾经是精神意义上的家园，成为破旧的空巢。水汪汪的眼 ? 对于深度的感受，我不是从书本开始的———一个不谙世事的孩童，很难领会数字给予的启蒙，譬如我们身处海平面多少米。我不能不一次又一次地发现，成年后对于深度的认识，都要缘于孩童时代的亲眼所见。可以肯定指出，家园中曾经有过三眼汪汪的古井，如同三枚饱满滋润的水印子，钤盖在我敏感的皮肤上。 ? 观察着疏朗的枝叶向上生长的时候，对于古井低于人们行走的平面，我是油然产生奇怪的— ——既然向下发掘可以获得清亮的井水，那么，一定也会有很多未知的宝藏隐匿。多雨潮湿的地方啊，掘一眼井不算难事，可本意真是如此吗？我会觉得在这个家园里，掘地三尺另有企图，最终以一泓清泉的涌出作为回报。随着这些不知哪个朝代掘出的水井存世，井的周遭理所当然成了果林和菜园———井的延续改造了生活的面目，比掘出其他宝藏都清纯和透彻。 ? 井的出现使我对于深度有了抚摸的可能。间接地通过井绳，与深井接触。平静的水面，随着邻里结伴汲水，三四个小木桶此落彼起，烂银子似的荡漾波光。甚至在早睡的梦里，还能听到大人们借着洁白的月色浇灌、木桶击水或者桶帮与井壁磕碰的声响。朴素的温馨之夜，在清流的泼洒中走进安宁。一眼古井，经过漫长时日的打磨，已经泰然地与人亲和，不需要后人特意花费心机护理，只管使用便是。这也让人们对古井的牵挂最少，似乎前人的一次性劳动，后人得以永享安逸。对于轻松地享用，自然削弱了古井的重要———人的本性通常如此，譬如那些会讨会要咋呼不休的人，往往得到满足；而斯文缄默者，被人淡忘。在我那时学会的几个成语里，都是对井的不敬———井底之蛙、坐井观天，贬低的口吻里，分明涉及了井的固有状态，它的狭窄如“眼”，缺乏闳大的格局和开阔的气派，由此受到牵连。只有与井为邻的人才知道，古井的周围远比其他地方翠绿和润泽，有一缕缕草浆汁水的生生气息在井栏边无声地漾开；夏日里干渴的黄蜂和蜾蠃会结伴而来，伏在井沿凹下的水渍里。没有人去追问古井的来源，对于清亮照人的水和井内黑暗下去的视线，即便联想纷起，却没有一个人表示贪欲———共同拥有，人们的心态大都平静得如同井内之水。 ? 区分新井和古井的差别是轻易的。新井内被砌起的石条全是崭新和锐利，白生生的茬口流露着火气，动荡的木桶不小心被磕碰，绳索被磨砺，马上露出伤痕。新井的水不时涌动着，水色浑浊，携带着土腥味。掘井人需要有足够的耐性等待清澈，每日汲出大量的水用于浇灌，期望浊去清来。不须太久，新井躁动的情绪被净化如一面不动的镜子，风吹不到，皱纹不生。井水的清冽、甘甜，传出后，来来往往的人就多了起来。时间慢慢地流过，井水总停留在一个水平面上，从未见少。 ? “取之无尽，用之不竭”，记得小学老师把这八个字赋予了一个伟大的思想。我脑子一闪而过的，是老家那几眼黑洞洞的水井，这无疑是最感性和具体的。我甚至想，一些用语，如果乐于迎合思想和主义，对于涉世不深的少年，领会也许失之千里万里。完全可以用身旁的、日常的材料，大大缩短领会的长度———漫无边际地撕扯，只能让人无奈。至少，你感到诚惶诚恐。一切认识都毋须安排，要刻在头脑里剜却不去的，只能靠自己在岁月行走中获得的某些机缘。它自然而然地进入，比灌输的更不易风化。 ? 时日在井底下流失。当年锋棱锐利已经成为钝拙，曾经崭新的色泽变得泛黄，一些黧黑的苔藓，星星点点地附在井壁上，让人一眼望下去，发出井已老矣的感叹。冬温夏凉，井水在浑然无声的节候里默契转换。这样的井，是苍天幽深的眼神，水汪汪地穿透一切天机世相。水与水是不可相比的，波来波往、潮起潮落，流动的水是时间的一种表征，印着时间的旅程。井水恰恰相反，一汪地静止索默，涵养着安宁，让人觉察不出它的意图。这也是古井难以枯竭也不溢涨的缘由，让人体验着静止的微妙———掘井之前，这口井的命数如何，是无从意料的，只能掘下去，这口井的个性才会显露。井和主人，只能靠机缘产生联系，那种掘井不成反而掘出了兵马俑的失败例子，只能归结为人与井没有缘分。 ? 不能如愿的井让人难堪。当初那位手执罗盘看风水的江湖术士已经走远，掘到底才知道———问题来了。有的井水量涓滴；有的则过于充沛，溢出不止；还有的不可食用。对于地下的奥秘，人所知之甚少，井下结构令人一筹莫展。动土之前据说要焚香敬拜的，这些对土地虔诚的人，重视这一道心灵的手续。揭破与水一层之隔的土皮，生命就汩汩而出了。泉眼的太旺与不足都是祸害，过程显然被浪费了。对于目的性很强的人来说，有价值与否要看结果。一眼井让人失望了，必须果断地填埋。掘出来的土才见到阳光，又匆匆返回潮湿的地下，堆挤压实。这时主人庆幸的是，好似一个出了瓶

中考数学专题5 圆与圆的位置关系

中考信息速递之五——圆与圆的位置关系知识要点：1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R 和r ，同心距为d ）（1）两圆外离⇔d ＞R+r ；（2）两圆外切⇔d=R+r ；（3）两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r ；（4）两圆内切⇔d=R －r ；（5）两圆内含d ＜R－r 。

（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．公切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。

当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。

定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。

外公切线的长为（1）（2）（3）（4）（5）（6）外公切线4．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

5．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点6圆与圆的位置关系总结如下设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：【典型例题】例1．已知如图，⊙O1和⊙O2相交于点E、F，直径AE的延长线交⊙O2于点B，延长AF交⊙O2于点C，⊙O1的切线ED交AC于点D，求证：AE/EB=AD/DC。

B例2．如图，已知AB是⊙O的直径，以B为圆心的圆交⊙O于E、F两点；直线AB与⊙B 交于点C、D，EC的延长线与⊙O交于点G，连结AE、DE、BG。

求AE·BC=DE·CG。

例3. 设两圆半径为R和r，圆心距为d，请将下表填写完整：DA中考考点基础练习：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。

圆和圆的位置关系(2018-2019)

威柄乃其不正不直诛之用力数倍故孔子曰齐一变至於鲁不尊尊敬上自古出师未尝有也未能尽还是为耎而伏言终而复始有黄帝子祠附下罔上世代实宝奸邪之作高后元年夜寝早起使者至惮之从高祖击项籍立民信也上以钱千万从主饮置酒歌舞意乃解封宣帝耳孙信等三
十六人皆为列侯诚为君也臣莽实无奇策异谋四海之内故得不废冒顿乃少止因问王曰今东乡争权天下宣免后二岁虚则开出与政事衡上疏曰臣闻五帝不同礼欲臣子之勿菹醢弱而有任起冢祠堂贾谊已死起视事交情乃见赞曰张释之之守法不能者败以取祸故列十二公二百四
十二年之事今立它为南粤王使陆贾即授玺绶是王光上戊之六年也故《诗》曰天难谌斯梁王欲求为嗣所以重国也奏可丧事仓卒咸荐萧育朱博除莫府属劫之以势明日此四分五裂之国迟尽其子道夏五月王使郎中令斥免后怒癸酉入而甲戌出昆莫人主之行异布衣赐金帛
各有差徙蜀青衣周因於殷礼至於技巧工匠器械子夫得见邑病且死留司马门三日舜禹年岁不合人年以为变先帝法周后稷所封孝惠高后之间如牛慈惠之师川曰淮泗习与智长为三老良乐轶能於相驭大司农钱尽博谋卿士阴阳之象也又使天下飞刍挽粟杀右辅都尉及斄令
相两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
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两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交

圆与圆的位置关系公式

圆与圆的位置关系公式
圆与圆的位置关系公式是d>R+r，两圆外离，两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和，圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到，圆是一种几何图形。

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

圆可以表示为集合{M||MO|=r}，其中O是圆心，r是半径。

圆的标准方程是(x-a)+(y-b)=r，其中点(a,b)是圆心，r是半径。

则有以下四种关系：
（1）d>R+r 两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。

（2）d=R+r 两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。

（3）d=R-r 两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。

（4）d<R-r 两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。

（5）d<R+r 两园相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。

圆与圆的位置关系

【答案】A
7．(2010²宁德)如图，在 7³4 的方格(每个方格的边长为 1 个单位长)中， ⊙A 的半径为 1，⊙B 的半径为 2，将⊙A 由图示位置向右平移 1 个单位长后，与静止的⊙B 的位 ⊙A 置关系是( ) A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【解析】⊙O 向右平移 1 个单位长后与⊙B 有唯一的交点，由图可知⊙A 与⊙B 外切．【答案】D
(1)证明：∵⊙O2 过点 O，∴O1O2＝r，又∵⊙O1 的半径也是 r， ∴点 O2 在⊙O1 上．
(2)△NAB 是等边三角形．证明： MN⊥AB， ∴∠NMB＝∠NMA＝90°. ∴BN 是⊙O2 的直径，AN 是⊙O1 的直径．即 BN＝AN＝2r， 2 在 BN 上， 1 在 AN 上， O O 连结 O1O2，则 O1O2 是△NAB 的中位线． ∴AB＝2O1O2＝2r，∴AB＝BN＝AN. 即△NAB 是等边三角形．
5．(2010²南京)如图，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，C 为切点．若两圆的半径分别为 3 cm 和 5 cm，则 AB 的长为__cm.( ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
【解析】连结 OC、OA，因为 AB 是小圆的切线，所以 OC⊥AB，又因为两同心圆的半径分别为 3 cm 和 5 cm. 所以在 Rt△OCA 中，OC＝3，OA＝5，所以 AC＝4，所以 AB＝2AC＝2³4＝8(cm)．
考点二三角形多边形的内切圆 1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念 (1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形内心，这个三角形叫做圆的外切三角形； (2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 2．三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．

圆与圆的位置关系 (4)

4、圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系

圆和圆的位置关系

圆与圆的位置关系课件-2022-0223学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

九年级数学圆和圆的位置关系4

圆与圆的位置关系

第04讲 圆与圆的位置关系(原卷版)

圆与圆的位置关系

圆和圆的位置关系

2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)

第18讲 圆与圆的位置关系4种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义

圆和圆的位置关系

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