幂函数图象分类
高一数学幂函数
2 3 解得： <m< 或 m<－1. 3 2
1．幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点 (1,1)，幂函数图象不过第四象限．
(2)α>0时，①幂函数的图象都通过点(0,0)(1,1)；②并且在[0，
＋∞)上都是增函数． (3)α<0时，①幂函数的图象都通过点(1,1)；
2.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(4,2)，试求函数的解析式， 并说明函数的单调性． 【解析】 由幂函数的概念设f(x)＝xα，则由4α＝2得α＝1/2， 故函数解析式为f(x)＝x1/2 (x≥0)，在[0，＋∞)上是增函数．
若(3－2m)1/2 >(m＋1)1/2，求实数m的取值范围．
咯王爷交办の差事。此时此刻，王爷の表现没有出乎众人の意料，面对怀有身孕の婉然，他怎么可能心止如水？不过众人の目光全都集中在咯王爷の身上，没有任何人注意到，二
十三小格の表情经历咯从意得志满到万分震惊，再到极度失落の巨大变化。虽然是极为震惊，但是当着这么多の人，王爷还是极力地克制住咯情绪の巨大波动，只是面无表情地说 咯壹句：起来吧。然后就是二十三小格向四嫂们见礼，再然后就是众人纷纷落座。王爷和二十三小格两各亲兄弟，嘴上说着言不由衷の话，口中吃着没滋没味の饭。其它の女眷们 自然是各怀心腹事：王爷の女眷们全都是心情忐忑，生怕自家爷会和二十三叔话不投机吵起来；而二十三小格の女眷们则全部都是壹副隔岸观火の看热闹姿态，她们の爷为啥啊要 带婉然过来，她们の心中当然是最清楚，不过就是向四哥炫耀示威而已。而只有水清和婉然两各人则是悄悄向对方投去安慰和鼓励の目光。回想到宴席没有开始之前，两各人在小 堂屋初见の壹刹那，她们都被对方目前の样子吓咯壹大跳！都将自己那这份惊讶写在咯脸上，表达给咯对方。水清先是为婉然姐姐能和二十三小格情投意合，终于修成正果而高兴， 继而又有点儿小小の失落：姐姐怎么会这么快就将爷给忘记咯，转投二十三叔の怀抱，姐姐从前对爷の感情都是真の吗？这样の结果会让爷有多么の伤心。壹想到这里，杞人忧天 の水清不由自主地悄悄抬起咯双眼，望咯壹下坐在她斜前方の王爷。就是这壹眼，让水清の心突然壹下子莫名其妙地柔软咯下来。第壹卷 第469章 忧心这些天来，水清因为再次
幂函数图象规律
幂函数图象有规律幂函数()n yx n Q 的图象看似复杂，其实很有规律。
假设咱们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。
那么幂函数图象有哪些规律呢？1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。
2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。
3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。
4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。
5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无穷接近。
2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部份各类幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部份图象反之，此二部份图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。
3．各个象限内图象散布之规律：设pnq，,p q 互质，,p Z q N 。
1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。
2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。
3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。
4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。
5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。
知识点：幂函数的图象特点:（1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．先依照函数特点画出第一象限图象；① 所有的幂函数在（0，+∞）都有概念， 而且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点， 而且在区间),0[+∞上是增函数．③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无穷地逼近y轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无穷地逼近x 轴正半轴． （2）若是幂函数是奇函数，在第 象限内有其中心（坐标原点）对称部份；若是幂函数是偶函数，在第 象限内有其轴（y 轴）对称部份；若是幂函数是非奇非偶函数，那么其函数图象只在第一象限内． y=xy=x 2y=x 3y=x 21y=x 1-定义域 值域 奇偶性单调性 定点（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。
幂函数的图象及性质
幂函数一、定义幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，注意：幂函数的解析式是幂的形式，幂的底数是自变量，指数是常数。
二、研究一类函数的一般路径注意：我们先从实际案例中，写出一系列函数的解析式，从中找到某一类函数的概念，再通过函数的解析式，求出函数的定义域，接着画出函数的图像，可以使用描点法画图，同时利用函数的性质来简化画图的过程，最后利用函数的解析式和图像，来研究函数的值域、单调性、奇偶性和其他性质。
三、六个幂函数的图像及性质1、六个幂函数2、幂函数的图像-2-10123-21123定义域：R 值域：R单调性：在R 上单调递增，增函数奇偶性：奇函数严禁复制-2-1012341149定义域：R 值域：单调性：在上单调递减，减函数，在上单调递增，增函数奇偶性：偶函数-2-10123-8-11827定义域：R 值域：R单调性：在R 上单调递增，增函数奇偶性：奇函数严禁复制124 012定义域：值域：单调性：在上单调递增，增函数奇偶性：非奇非偶函数严禁复制-2122定义域：值域：单调性：在上单调递减，减函数奇偶性：奇函数-2124定义域：值域：单调性：在上单调递减严禁复制奇偶性：偶函数从以上函数分析中，我们得到了6个幂函数的图像总结：6个幂函数具有的共同性质和不同性质1、函数的图像都经过。
2、函数在区间上单调递增，是增函数。
函数和严禁复制在区间上单调递减，是减函数。
在区间上单调递增，是增函数。
和在是单调递减，是减函数。
3、函数、和是奇函数，函数和是偶函数，函数是非奇非偶函数。
4、函数的图像经过原点，函数和的图像不经过原点。
5、已知幂函数，当时，函数在区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减。
四、题型1、幂函数的概念例题1已知幂函数f(x)过点，则f(9)的值为（）（解析）设幂函数，因为过点，所以，解得a=，所以f(9)=。
例题2已知函数f(x)=为幂函数，则f()+f()=（）（解析）因为函数f(x)=为幂函数，所以m-1=1，解得m=2，所以f(x)=，又因为函数f(x)为奇函数，有f()+f()=0。
幂函数与函数的图象变换
时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；直α线＝1
时，为过(0,0)点和(1,1)点的(1,1)
．
❖ (2减)当α<0时，幂函数图象总经过 点， 且在第一象限为 函数．
❖ (3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除去(0,1)点)．
❖ 二、函数的图象与图象变换
❖ 1．画图
❖ 描点法
❖ (2)比较大小：0.80.7与0.70.8.
❖ 解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1， ∴0.71.3<1.30.7
❖ 考察幂函数y＝xm由(0.71.3)m<(1.30.7)m
❖ 知y＝xm为(0，＋∞)上的增函数，∴m>0.
❖ (2)指数函数y＝0.8x是减函数， ∴0.80.7>0.80.8
❖ 若(a＋1)－ <(3－2a)－ ，则a的取值范 围是______．
❖ 解析：幂函数y＝x－ 在(0，＋∞)上为减 函数，函数值y>0；在(－∞，0)上也是减 函数，函数值y<0.
❖ 答案：(
)∪(－∞，－1)
❖ [例2] 设x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象 在直线y＝x的上方，则p的取值范围是 ________．
❖ 解析：(1)当p>0时，根据题意p<1， ∴0<p<1.
❖ (2)p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题 意．
❖ (3)p<0时，在(0，＋∞)上过(1,1)点，函数 为减函数，符合题意．
❖ 综上所述，p的取值范围(－∞，1).
❖ 解析：由幂函数图象特点， ❖ C1、C2对应n>0，C3、C4对应n<0 ❖ ∴曲线C1、C2、C3、C4对应n为2， ，
高考数学一轮复习考点知识专题讲解7---二次函数与幂函数
高考数学一轮复习考点知识专题讲解二次函数与幂函数考点要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1212x 是幂函数．(×)(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．(×)(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.(√)(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(×) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于()A ．－12B.12C ．±12D.22答案B解析设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________．答案f(x)＝x2－4x解析因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.题型一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<m<1 2C．－1<m<0<n<1 2D．－1<n<0<m<1答案D解析幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m的图象关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.教师备选1．若幂函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-在(0，＋∞)上单调递增，则a等于()A．1B．6 C．2D．－1 答案D解析因为函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-是幂函数，所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6. 当a＝－1时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167D ．[2，＋∞)答案A解析因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎨⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1(1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则() A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案A解析由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于()A ．1B ．2C ．1或2D ．3 答案B解析因为f (x )＝x m －3在(0，＋∞)上是减函数， 所以m －3<0，所以m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2. 又因为f (x )＝x m －3是奇函数， 所以m ＝2.题型二 二次函数的解析式例2已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一(利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二(利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1D．2x2＋2x－1答案B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)，所以⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案f (x )＝x 2－4x ＋3解析∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3， 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1二次函数的图象例3设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()答案D解析因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2二次函数的单调性与最值 例4已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t 24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎨⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是________．(填序号)①当x >3时，y <0；②4a ＋2b ＋c ＝0； ③－1≤a ≤－23；④3a ＋b >0.答案①③解析依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故①正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故②错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故③正确，④错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3] 答案B解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·汉中模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于() A ．3B ．－3C.13D ．－13答案C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13.2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为() A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案B解析二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ， 可得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .3．(2022·延吉检测)若函数y ＝(m 2－3m ＋3)·224m m x +-为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为() A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案C解析由于函数y ＝(m 2－3m ＋3)224mm x +-为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．4．已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为() A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2 答案A解析因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.5．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是()A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案D解析因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎨⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是() A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图象的对称轴为直线x ＝2k，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案0解析因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1,2]上不单调，则实数k 的取值范围是________． 答案(－16,8)解析函数f (x )＝4x 2＋kx －8的对称轴为直线x ＝－k 8，则－1<－k8<2，解得－16<k <8.9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．∴g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台莱州一中月考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解(1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎨⎧ c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎨⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎨⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎨⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎨⎧ f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于()A ．0B ．1C.12D ．2 答案A解析由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝13log 23，b ＝23log 13， ∴a －1b ＝13log 23－2311log 3＝0.13．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案[2,4]解析解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析由题意有⎩⎨⎧ α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1， α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)·(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案[－16，＋∞)解析因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎨⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0，代入得⎩⎨⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m ，2n ]? 解(1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
幂函数(优秀课件)
(1) 所有的幂函数图象恒过点(1,1); 所有的幂函数图象恒过点
(4)α 1时，图象下凸 ; ＞1时 图象下
y
α >1
α =1
0<α<1 α <0
(6)第一象限内 当x>1时， 第一象限内, 第一象限内 时 越大图象 图象越高 α越大图象越高
o
1
x
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
正确 1 . 幂函数均过定点（1，1）； 幂函数均过定点（ ， ）； −1 2 . 幂函数 y = x 在（-∞，0）上单调递 ， ） 上也单调递减,因此 减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减 因此 ， −1 不正确 在定义域内单调递减； 幂函数 y = x 在定义域内单调递减； 不正确 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 不正确 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 α >0时，幂函数在第一象限均为 时 正确 增函数； 增函数；
中的底数 为大于0且不等 底数a为大于 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1)中的底数 为大于 且不等 于 1的常数。 的常数。 的常数
y = x (α ∈ R)
（2）只有形如 ） 的函数才叫做幂函数
α
判一判
判断下列函数是否为幂函数. 判断下列函数是否为幂函数 (1) y=x4 1 (2) y = 2 x (3) y= -xe (5) y=2x2 (6) y=x3+2 ( 7 ) y (x-1)2 =
在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
2
y
( α >1
y=x)
3
y=x
3
第三章3.3幂函数PPT课件(人教版)
1.幂函数的概念 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单 调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从 上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析 根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)， 单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0
3.3 幂函数
3.3 幂函数学习目标1．能够通过给出的具体实例，得出幂函数的概念.2.能够结合五个具体的幂函数y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图象，通过归纳，抽象概括出五个幂函数的基本性质．知识点一 幂函数的概念 1．幂函数的定义一般地，函数□1y ＝x 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的特征(1)x α的系数为□21； (2)x α的□3底数是自变量； (3)x α的指数为□4常数． 只有满足这三个条件特征，才是幂函数，对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等函数都不是幂函数．[微练1] 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝2x 2是幂函数．(×) (2)函数f (x )＝2x 是幂函数．(×) (3)函数f (x )＝(x ＋1)3不是幂函数．(√)[微练2] 若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (x )＝________． 解析：设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，∴α＝12. 即f (x )＝x 12. 答案：x 12知识点二 常见幂函数的图象与性质 1．五种常见幂函数的图象2．五类幂函数的性质幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域□5R□6R□7R □8[0，＋∞)□9(－∞，0)∪(0，＋∞)值域□10R□11[0，＋∞)□12R □13[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性□14奇函数□15偶函数□16奇函数□17非奇非偶□18奇函数单调性□19增函数x∈[0，＋∞)，单调递增；x∈(－∞，0)，单调递减□20增函数□21增函数x∈(0，＋∞)单调递减；x∈(－∞，0)，单调递减公共点都经过点□22(1，1)幂函数的图象不经过第四象限．[微练3]函数f(x)＝－x3的图象是()解析：B f(x)＝－x3与f(x)＝x3关于x轴对称．故选B．[微练4]函数y＝x－3在区间[－4，－3]上的最小值为________．解析：因为函数y＝x－3＝1x3在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－3时，y min ＝(－3)－3＝1（－3）3＝－127. 答案：－127题型一 幂函数的概念1．在函数y ＝1x 2，y ＝2＋x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：B y ＝1x 2＝x －2，y ＝x －2是幂函数，其余都不是幂函数．2．若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．3解析：A 因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，m >0， 所以m ＝1.3．已知幂函数f (x )的图象过点(4，12)，且f (x )＝8，则x ＝( ) A ．2 2 B ．64 C ．24D ．164解析：D 设f (x )＝x α，将点(4，12)代入得12＝4α，所以α＝－12，所以f (x )＝x －12.令x －12＝8，得x ＝8－2＝164.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式．题型二幂函数的图象及应用(1)幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x 13，y＝x－12在第一象限内的图象依次是图中的曲线()A．C1，C2，C3，C4B．C1，C4，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3(2)点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．(1)[解析]由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x 13在第一象限内的图象为C2，y＝x－12在第一象限内的图象为C3. [答案] D(2)[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0，1)时，f(x)<g(x)．解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．1.已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：A 由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .综上可知c <b <a .题型三 幂函数性质及应用 角度1 比较幂的大小(链接教材P 91练习T 2)利用幂函数的性质，比较下列各组数的大小； (1)1.554，1，1.754；(2)(－0.75)－2，0.76－2； (3)(23)23与(34)23.[解] (1)1＝154，幂函数y ＝x 54在(0，＋∞)上是增函数，故1<1.554<1.754. (2)(－0.75)－2＝0.75－2，幂函数y ＝x －2在(0，＋∞)上是减函数，故(－0.75)－2＝0.75－2>0.76－2.(3)∵函数y ＝x 23在(0，＋∞)是增函数，且34>23，∴(34)23>(23)23.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小．(2)若指数不同，可采用中介值法或估值法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1比较，直到比较出所有数的大小，若中介值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数的大小．角度2 解不等式若(3－2m )12>(m ＋1)12，求实数m 的取值范围．[解] 因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为[－1，23)．利用幂函数解不等式的两个步骤利用幂函数解不等式，实质是已知函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；另外解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用．2．(多选题)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的α的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3答案：BD3．(－0.31)65与0.3565的大小关系为________．解析：因为y ＝x 65为R 上的偶函数，所以(－0.31)65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，所以0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.答案：(－0.31)65<0.35654．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________．解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)拓展提升幂函数图象的特征当α＝1时，y＝x的图象是一条直线；当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)的图象是一条不包含点(0，1)的直线；当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表．α＝pqα<00<α<1α>1p，q都是奇数p为偶数，q为奇数p为奇数，q为偶数课时规范训练A基础巩固练1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)()A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 解析：D 由题意设f (x )＝x n ， 因为函数f (x )的图象经过点(3，3)， 所以3＝3n，解得n ＝12，即f (x )＝x ，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数．故选D ．2．已知当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x α的图象恒在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( )A ．0<α<1B ．α<0C ．α<1D ．α>1解析：C 由幂函数的图象特征知α<1.3．若f (x )＝x －12，则函数f (4x －3)的定义域为( ) A ．R B ．(－∞，34) C ．[34，＋∞)D ．(34，＋∞)解析：D ∵f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)， ∴4x －3>0，∴x >34，故选D ．4．已知a ＝1.212，b ＝0.9－12，c ＝ 1.1，则( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <cD ．a <c <b解析：A b ＝0.9－12＝(910)－12＝(109)12，c ＝ 1.1＝1.112，因为f (x )＝x 12在[0，＋∞)上单调递增且1.2>109>1.1，所以1.212>(109)12>1.112，即a >b >c .5．(多选题)已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1，1，3}的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是()A．f(－2)>f(1)B．f(－2)<f(1)C．f(－2)＝f(－1)D．若|a|>|b|>0，则f(a)<f(b)解析：BD幂函数f(x)＝x n，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f(x)＝1x2，f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是有f(－2)＝f(2)<f(1)＝f(－1)，则A错误，B正确，C错误；若|a|>|b|>0，则f(|a|)<f(|b|)，即f(a)<f(b)成立，故D正确．故选BD．6．(多选题)给出下列四个说法：①当n＝0时，y＝x n的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④若幂函数y＝x n的图象在第一象限为减函数，则n<0.其中正确说法的序号是()A．①B．②C．③D．④解析：CD①显然错误；②中如y＝x－12的图象不过点(0，0)．根据幂函数的图象可知③，④正确．7．幂函数y＝x 23的定义域为________；其奇偶性是________．解析：y＝x 23＝(x2)13，∴定义域为R；偶函数．答案：(－∞，＋∞)偶函数8．已知幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，又m∈Z所以m＝1.答案：19．比较下列各组数的大小：(1)3－72和3.2－72；(2)(－23)23和(－π6)23；(3)4.125和3.8－43.解：(1)函数y＝x－72在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.2，所以3－72>3.2－7 2.(2)(－23)23＝(23)23，(－π6)23＝(π6)23，函数y＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，而23>π6，所以(－23)23>(－π6)23.(3)4.125>125＝1，0<3.8－43<1－43＝1，所以4.125>3.8－43.B能力进阶练10．函数f(x)＝x a＋b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m，0)，则实数b的值为()A．－1 B．1C．2 D．3解析：A∵幂函数y＝xα过定点(1，1)，∴f(x)＝xα＋b过定点(1，1＋b)，由题意1＋b＝0，∴b＝－1.11．(多选题)已知实数a，b满足等式a 12＝b13，则下列关系式中可能成立的是()A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<a<b D．1<b<a解析：AC画出y＝x 12与y＝x13的图象(如图)，设a12＝b13＝m，作直线y＝m.由图象知，若m ＝0或1，则a ＝b ；若0<m <1，则0<b <a <1；若m >1，则1<a <b .故其中可能成立的是AC ．12．(多选题)下列不等式在a <b <0的条件下能成立的是( ) A ．a －1>b －1B ．a 13<b 13C ．b 2<a 2D ．a －23>b －23解析：ABC 分别构造函数y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 2，y ＝x －23，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，而y ＝x 13，y ＝x －23为(－∞，0)上的增函数，故D 不成立，其他都成立．13．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：(－∞，0)14．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N *)的图象关于原点对称，且在R 上单调递增． (1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解：(1)由题可知，函数f (x )在R 上单调递增，所以9－3m >0，解得m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2.又函数图象关于原点对称，所以9－3m 为奇数，故m ＝2.所以f (x )＝x 3. (2)因为f (a ＋1)＋f (3a －4)<0， 所以f (a ＋1)<－f (3a －4)．因为f (x )为奇函数，所以f (a ＋1)<f (4－3a )． 又函数在R 上单调递增，所以a ＋1<4－3a . 所以a <34.所以a 的取值范围是(－∞，34)．C 探索创新练15．(多选题)已知幂函数f (x )＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)，下列关于f (x )的结论正确的是( )A ．m ，n 是奇数时，f (x )是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，f (x )是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，f (x )是偶函数D ．0<mn <1时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数解析：AB f (x )＝x m n＝nx m ，当m ，n 是奇数时，f (x )是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数时，f (x )是偶函数，故B 中的结论正确；当m 是奇数，n 是偶数时，f (x )在x <0时无意义，故C 中的结论错误；当0<mn <1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故D 中的结论错误．故选AB ．。
幂函数
理论
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为 上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为 水平的射线； 指数小于0,在第一象限为 双曲线型；
（3）log0.4 3 0.60.2 50.3 (4)0.70.6 0.60.7 1.40.2
例2： .证明幂函数f ( x) 例1
x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
∴ m ＝2或 m ＝－1.
2 1． 已知幂函数 y＝f(x)的图象过点 2， ， f(x) 则 2 ＝________.
2 2 解：设f ( x) x , 则由图象过点（2， ），可得2 = , 2 2 1 1 1 即2 =2 2 , 所以 = ，即f ( x) x 2 2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4)
1）
1.3
0.5
＜
1.5
0.5
5.1 ＜ 5.092 2）
3）
0.5
1 4
2
＞ 0.4
2 3
1 4
4）
0.7
＞
0.8
2 3
练习（5）比较下列各值的大小
(4) y x
1 2
(5) y x
§3.2幂函数和几个特殊幂函数的图象
§3.2幂函数和几个特殊幂函数的图象预备知识∙用描点法作函数图象的步骤∙正比例函数、反比例函数、二次函数的图象及作法重点∙用描点法画出几种特殊幂函数的图象∙一些特殊幂函数的变化特性难点∙确定幂函数的定义域∙根据幂函数的定义域，列出合适的x,y对应值表学习要求∙掌握描点法作函数图象的步骤∙建立几种特殊幂函数的图象形象在上一节中，幂a α的底a 、指数α都认为是不变化的常数．但在实际问题中，常常会遇到α或a 之一变化的情况．在这种情况出现时，我们不仅要求出幂，更关心的是它变化的规律．本节首先学习当底a 变化时，幂的变化规律． 1. 幂函数 (1)幂函数的定义在第二章，我们曾经计算过人口问题．如果人口的年净增率是5.3‰，设当年人口基数为12亿，那么在25年时，人口总数为y =12⨯(1+0.0053)25= 12⨯ 1.005325 (1) 现在，想知道不同的人口的年净增率，对25年时总人口的影响．这时的年净增率不再是常数0.0053，而是一个可变化的量，这样(1)中幂的底数也是一个变化的量，不妨用x 来表示它，于是(1)成为y =12x 25 (2) 我们考察(2)中的x 25．对每一个x ≥1，x 25是一个幂；随着x 的变化，幂也发生变化．对每一个确定的x ，x 25有唯一的值与之对应，因此x 与x 25之间具有函数关系．这种函数关系称为幂函数．幂函数的一般形式是y =x α，其中的x 是自变量，指数α是常量． 在幂函数中的指数α可以取定为任何实数值．但在目前，我们不准备对一般的α讨论，仅对若干个经常遇到的、具有代表性的α，讨论函数y =x α的变化规律，而且主要以图象形式，直观地予以反映．在指数α不同情况，幂a α的底a 允许取值是不同的．例如当α=21，a只能是非负数．此即说，如果撇开实际问题的含义，对确定的α，幂函数y =x α的自变量x 的取值范围是有限制的，它只能在使幂x α有意义范围内取值，这个范围，就是确定的α所对应幂函数y =x α 的定义域．对不同的α,如何求幂函数y =x α 的定义域呢？我们通过具体的例子来说明． 例1 求列幂函数的定义域：(1)y=x 2/3； (2)y=x -2； (3)y=x 1/4； (4)y=x – 3/2．解 (1)x 2/3=(x 2)1/3，x 2≥0，指数31>0，因此任何x ∈R ，(x 2)1/3总有意义，所以定义域为R ▌(2)x –2=21x，除了使分母为0的x=0外，其它的x 都有意义，所以定义域为{x|x ≠0}=(-∞,0)⋃(0,+∞) ▌(3)y=x 1/4=4x ，即知定义域为{x|x ≥0}= [0,+∞)▌(4)x – 3/2=(x -3)1/2=(31x)1/2，为了使它有意义，必须保证x ≠0且31x≥0，因为只有正数的奇次方才是正数，所以定义域为{x|x>0}= (0,+∞) ▌课内练习11. 确定下列幂函数的定义域：(1)y=x 6； (2)y=x 5/6； (3)y=x – 5/3； (4)y=x – 3/4；2. 几个特殊幂函数的图象因为1α=1(α∈R )，因此所有幂函数的图象都经过点(1,1)．当α=1时幂函数y=x α成为y =x ，它的图象是你所熟悉的直线——坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限的分角线；当α≠1时幂函数的图象，一般都是用你所熟悉的描点法作出．描点法的基本步骤是三步：第一步 列表．在使幂函数有意义的范围内(即幂函数的定义域内}，取一些特殊的x ，求出对应的函数值y ，列出函数值表；第二步 描点．以表上每一组对应的(x ,y )作为坐标，在直角坐标系内标出对应点；第三步 连线．用平滑的曲线依次连接各点，即得所求图象．图象的精确程度，与特殊x 如何选取密切相关．一般在图象弯曲较明显的区段，取特殊的x 要密一些，反之则可以疏一些．在你知道了不同α的幂函数图象的大致特征后，就会知道弯曲剧烈的区段的位置．例2 在直角坐标系内，作出y =x 3的图象．解 函数y =x 3的定义域为R ，所以在列表时，x 应在0的左右取一些特殊的值． 第一步 列表例3 在直角坐标系内，作出x y =的图象．解 21x x y ==的定义域为{x |x ∈R ,x ≥0}，即[0,+∞)．图3-1第一步 列表第二步 描点(见图3-2)； 第三步 连接(见图3-2) ▍ 观察x y =的图象，你也能发现，它除了过点(1,1)外的其它一些特点： ①仅在x 轴的上方有图象，当x无限增大时，图象向右上方无限延伸， 因此y ∈[0,+∞)；②随着x 增大，图象上升，即y 增大；③图象没有对称性． 课内练习21. 在直角坐标系内，作出y =x 2的图象(要求列表)，并尽可能多地说出图象 和函数的特性．例4 在直角坐标系内，作出y =x -2的图象．解 y =x -2的定义域为{x |x ∈R ,x ≠0}，即(-∞,0)∪(0,+∞)，所以x 应在x =0的左右取值，但不能取0． 第一步 列表第二步 描点(见图3-3)； 第三步 连线(见图3-3) ▍观察y =x -2的图象，你又可以发现过点 (1,1)以外的其它一些特性：①图象位于x 轴的上方，即y >0，随着 x 与0无限接近，图象无限向上延伸，因此 y ∈(0,+∞)；②函数虽然是一个，但图象却由两支曲 线构成，这两支曲线关于y 轴对称，即x 与 -x 处的y 是相同的；③在左支，随着x 的增大，图象是上升的，即y 增大，且当x 无限减小时，图象与x 轴无限靠近，当x 无限接近0时，图象又与y 轴无限靠近；在右支，随着x 增大，图象是下降的，即y 反而减小，且当x 无限增大时，图象与x 轴无限靠近，当x 无限接近0时，图象与y 轴无限靠近．图3-2图3-3同一个函数的图象分成两支这一现象， 并不新鲜，你过去学过的反比例函数 y =x1=x -1 它的图象也是分成左右两支的(函数草图见 图3-4)． 课内练习31. 在直角坐标系内，作出y =x 1的图象，并分析图象和函数的特性．课外习题 A 组1. 求下列幂函数的定义域： (1)3x y =；(2)3x y =；(3)5-=xy ；(4)3-=xy ．2. 在直角坐标系内，画出23x y =的图象(要列表)，并分析图象及函数的变 化特性3. 在直角坐标系内，画出31x y =的图象(要列表)，并分析图象及函数的变 化特性．B 组1. 在直角坐标系内，画出3-=x y 的图象(要列表)，并分析图象及函数的变 化特性．2. 函数y =|x |3是幂函数吗？它的图象与y =x 3有什么关系？与y =x 2图象的相 对关系又怎样？图3-4。
幂函数与函数图像-课件
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3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
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要点探究
► 探究点1 幂函数的图象与性质 例１ 已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图 象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)m3 <(3－2a)m3 的 a 的取值范围．
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
图10－5
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[思路] 从图象在坐标轴上的特殊点入手， 由于 f(x)＝axx2＋＋cb是奇函数，所以只研究 x＞0 时的变化情况．
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B [解析] f(0)＝bc＝0，∴b＝0.f(1)＝1， ∴1＋a c＝1，∴a＝c＋1. 由图象看出 x＞0 时，f(x)＞0，即 x＞0 时，有x2a＋x c＞0， ∴a＞0. 又 f(x)＝x＋a xc，当 x＞0 时，要使 f(x)在 x＝1 时取最大值 1， 需 x＋xc≥2 c，当且仅当 x＝ c＝1 时成立，∴c＝1.此时应有 f(x) ＝a2＝1，∴a＝2.∴a＞c＞的图像
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1．幂函数 (1) 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 _y_＝___x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 α 为常数． 几种常见幂函数的图象： ①y＝x；②y＝x12；③y＝x2；④y＝ x－1；⑤y＝x3.
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方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
幂函数的概念及其图像
3.3幂函数知识点一、幂函数的定义一般地，形如函数 (α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数．知识点二、幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数x y =，2x y =，3x y =，x y =，1-=x y 的图象分别如下．知识点三、幂函数的性质： （1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限； （3）当0>α时，幂函数的图象过 ．知识点四、幂函数的图象在第一象限的分布规律（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于 对称．一、幂函数的定义例1、幂函数352)1(----=m x m m y 在0(，)∞+上为减函数，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．1- C ．1-或2 D ．251±≠m【举一反三】1、已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．(1,1)y2、已知12)2()(-++=m m x m m x f ，m 为何值时，)(x f 是：（1）正比例函数； （2）反比例函数； （3）二次函数；（4）幂函数.二、幂函数的图像例2、幂函数αx y =，当α取不同的正数时，在区间0[，]1上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A 1(，)0，B 0(，)1，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数αx y =，βx y =的图象三等分，即有|BM |＝|MN |＝|NA |，那么=αβ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定例3、已知幂函数)(x f 的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2,41) （1）求)(x f ，)(x g 的解析式；（2）当x 为何值时，①)()(x g x f >；②)()(x g x f =；③)()(x g x f <．三、幂函数的性质【考题】比较下列各组数的大小： （1）13(0.95)- 13(0.96)-； （2）138-- 1319⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）30.830.7（4）122 131.8；例5、已知幂函数=)(x f 223m m x --(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是单调减函数，试求满足3(1)ma -+<3(32)ma --的a 的取值范围.【举一反三】已知幂函数y ＝243m m x --(m ∈Z )的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象.【课后巩固】1．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4-2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y3．函数3x y =和31x y =图象关于（ ）对称 A ．原点B ．x 轴C ．y 轴D ．直线x y =4．下列函数中既是偶函数又在0(，)∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-145．函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数6．对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ．)2(21x x f +=2)()(21x f x f +D ． 无法确定7．)()27,3)(14x f x f -，则的图象过点（幂函数的解析式是 ．8．已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=--y y x 轴都无交点，且关于轴，的图象与轴对称，则f x ()的解析式是 ． 9．已知幂函数12)()(-+=m m xx f (m ∈N *).（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2－a)>f(a －1)的实数a 的取值范围.。
幂函数及其图象
1、f(x) =x1/3 x ∈(-∞ ，+∞) 2、f(x)= x1/2 x ∈(0， +∞)
解：设x1，x2 ∈(-∞, +∞)且
x1＜ x2
f(x2)- f(x1) = (x2 )^1/3-(x1 )^1/3＞0
∴ f(x1) ＜ f(x2) ∴ f(x)在 ∈(1, +∞)上是
增函数
指数是自变量。
例题：根据幂函数的定义求解
函数是f(x) =(m2-m-1) x (m2+m-3) 幂函数，且当x在 （0，+∞）时， f(x) 是增函数，求f(x) 的解释式。
解：根据幂函数的定义得 m2-m-1=1，解得：m= 2 或 m=-1 当m= 2 时，f(x) =x3 ，在（0，+∞）是增函数 当m=-1时， f(x) = x-3 ，在（0，+∞）是减函数，
不合题义。 故f(x) =x3
例题：求下列函数的定义域、值域
1、y=x6 ， 2、y=x3/5 ， 3、y=x1/4 4、y=x-5 ， 5、y=x2/3 ， 6、y=x-3/4 1、解：要使 y=x-5有意义 X≠0 函数y=x-5 的定义域是（-∞，0）u (0，+∞) 值域（-∞，0）u (0，+∞)
幂函数定义：
y=xa 叫幂函数，x是自变量，a是常数.
下面几个函数幂函数是幂函数的是：
1、y=ax， 2、y=(2x )a ，3、y=x1/2 ， 4、y=x2 5、y=x-1/3 6、y=1 7、y=2x+3
下面是几个有关幂函数的图象大家看 看
幂函数的性质：
所有的幂函数在（0， +∞ ）上都有定义，并且 图象都过（1，1），幂函数图象不过第四象限。
第二章 2.3 幂函数
§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 知识点二 五个幂函数的图象与性质1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图.2.五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.1.y ＝－1x 是幂函数.( × )2.当x ∈(0,1)时，x 2>x3.( √ )3.32y x =与64y x = 定义域相同.( × )4.若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )题型一 幂函数的概念 例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x(a >1).其中幂函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 幂函数有①⑥两个. (2)已知y ＝22222()m x m m -＋－ ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值.考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数.跟踪训练1 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32 D.2 答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22， 解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A.2B.1C.12 D.0答案 A解析 因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0， 即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2. 题型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x ). 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2. 同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系中作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x ). 延伸探究若对于本例中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象.解 h (x )的图象如图所示：反思感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程.跟踪训练2 (1)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34B.－2，34，43C.－2，43，34D.34，43，－2 答案 C(2)下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭⎫α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，3的图象正确的是( )答案 C题型三 利用幂函数的性质比较大小 例3 设212333222,,335a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.b >c >aD.c >b >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴23132323⎛⎫<⎛⎫ ⎝⎪⎪⎭⎝⎭，即a <b ；∵f (x )＝23x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴23232325⎛⎫>⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭，即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量. 跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与25(0.3). 考点 比较幂值的大小 题点 利用中间值比较大小 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数. 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)∵y ＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴0.30.3>250.3.② 由①②知⎝⎛⎭⎫250.3>250.3.幂函数性质的应用典例 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足33(3(1)2)m m a a --<-+ 的a 的取值范围.考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为1133(31))(2a a --<-+.因为13y x-= 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32. [素养评析] (1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值. (2)通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养.1.下列幂函数中，定义域不是R 的是( ) A.y ＝x B.32y x = C.25y x = D.35y x = 答案 B2.以下结论正确的是( )A.当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 答案 D3.若a <0，则0.5a ,5a ,5－a的大小关系是( )A.5－a <5a <0.5aB.5a <0.5a <5－aC.0.5a <5－a <5aD.5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a 在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5，所以5a <0.5a<5－a.4.已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝________________________________________. 答案24解析 设幂函数f (x )＝x α. ∵f (4)＝4α＝2， ∴α＝12.即f (x )＝12x . ∴f ⎝⎛⎭⎫18＝1218⎛⎫ ⎪⎝⎭＝24. 5.若幂函数2223()(1)m m f x m m --=--在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.答案 2解析 令m 2－m －1＝1得：m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3符合要求. 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0不符合要求.1.幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸.3.在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.一、选择题1.下列函数中是幂函数的是( ) A.y ＝x 4＋x 2 B.y ＝10x C.y ＝1x3D.y ＝x ＋1考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 C解析 根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数.2.已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A.－3 B.2 C.－3或2 D.3 考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3. 3.已知幂函数()2232()2n nf x n n x-＝＋－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A.－3 B.1 C.2 D.1或2 考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性答案 B 解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B. 4.已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小答案 C 解析 因为函数f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a ，故选C. 5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A.y ＝x －2B.y ＝x －1C.y ＝x 2D.y ＝13x 答案 A6.在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )考点 幂函数的图象题点 幂函数有关的知图选式问题 答案 C解析 选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a 在y 轴上的截距为正，D 错误.7.设a ＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >c >b B.a >b >c C.c >a >b D.b >c >a 答案 A解析 因为y ＝25x (x >0)为增函数，所以a >c . 因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，所以c >b ，所以a >c >b . 8.已知幂函数y ＝223m m x --(m ∈Z )的图象与x 轴和y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m 等于( )A.1B.0,2C.－1,1,3D.0,1,2 答案 C解析 ∵幂函数y ＝223m m x--(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称，∴m 2－2m －3≤0，且m 2－2m －3(m ∈Z )为偶数， 由m 2－2m －3≤0，得－1≤m ≤3，又m ∈Z ， ∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意； 当m ＝0时，m 2－2m －3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意； 当m ＝2时，m 2－2m －3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m ＝3时，m 2－2m －3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意. 综上所述，m ＝－1,1,3. 二、填空题9.函数y ＝12x 与函数y ＝x －1的图象交点坐标为________.答案 (1,1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.10.函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________.考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的.∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3).11.已知幂函数f (x )＝21m x -(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________.考点 求幂函数的解析式 题点 求幂函数的解析式 答案 f (x )＝x －1解析 ∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1. ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1.三、解答题12.点(3，3)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 分别为何值时，有f (x )>g (x )；f (x )＝g (x )；f (x )<g (x )?解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.因为(3)α＝3，(－2)β＝－12， 所以α＝2，β＝－1，所以f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. 分别作出它们的图象，如图所示.由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；当x ＝1时，f (x )＝g (x )；当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x ).13.已知幂函数f (x )的图象过点(25,5).(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域.考点 幂函数的综合问题题点 幂函数的综合问题解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，∴α＝12，∴f (x )＝12x . (2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞).14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≤0，3a －12x ，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________.考点 幂函数的性质题点 幂函数的单调性答案 ⎝⎛⎦⎤0，13解析 当x ≤0时，由f (x )＝a x 为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －12x 为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，13. 15.已知幂函数f (x )＝223m m x--(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数. (1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由.考点 幂函数的综合问题题点 幂函数的综合问题解 (1)由于幂函数f (x )＝223m m x --在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3， 因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4. (2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )＝a ·x －4＋(a －2)x . 当a ＝0时，F (x )＝－2x (x ≠0)，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )， 所以F (x )＝－2x (x ≠0)是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )， 所以F (x )＝2x 4是偶函数； 当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2，因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)，所以F (x )＝a x 4＋(a －2)x 是非奇非偶函数.。
浅谈幂函数
学习幂函数，图像是关键。
y=xa（a≠0、1）在第一象限的图像可以分为三类：
只要掌握了这三种情况，然后根据幂函数的奇偶性，就可作出y=xa（a≠0、1）在其定义域内的完整图像，这时它的一切属性将是直观、显然的。
幂函数的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
幂函数y=xa。
α只能从（±3，±2，±1，±1/2，±1/3）中取值。
幂函数y=x的图像表（见右表）：
在记忆这个表时要记住两点：
其一，图像的形态：
当n/m<1时，y=x在第一象限的图像下凹，呈上升趋势。
当0<n/m时，y=x在第一象限的图像下凸，呈上升趋势。
当n/m<0时，y=x在第一象限的图像下凹，呈下降趋势。
其二，图像所在的象限。
用一句话可以简单概括为：奇偶图在第一象限，偶奇图在第一、二象限，奇奇图在第一、三象限。
第4讲 幂函数与二次函数
第4讲 幂函数与二次函数基础知识整合1．幂函数(1)定义：形如□01y ＝x α的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)常见的5种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域□02⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ □03⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在x ∈□05⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈□04⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a 对称1．幂函数图象特征(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x 轴(简记为“指大图低”)； (2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0且Δ<0”． 4．二次函数的对称轴二次函数y ＝f (x )对定义域内的所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．5．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则二次函数在闭区间[m ，n ]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b 2a ∈[m ，n ]，则f (x )max ＝max{f (m )，f (n )}，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a .(2)若－b2a ∉[m ，n ]，则f (x )max ＝max{f (m )，f (n )}，f (x )min ＝min{f (m )，f (n )}． 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小．1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (x )为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．定义域内的增函数D ．定义域内的减函数答案 D解析 设幂函数f (x )＝x α，∵其图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，∴2α＝22＝2－12 ，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D ．2．若函数y ＝x 2－2tx ＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t 的取值范围是( ) A ．t ≤1 B ．t ≥1 C ．t ≤－1 D ．t ≥－1答案 A解析 ∵函数y ＝x 2－2tx ＋3的图象关于直线x ＝t 对称，且开口向上，∴t ≤1. 3．(2019·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．2答案 A解析 ∵f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4，∴函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0,1]上单调递增，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值，当x ＝1时，f (x )取得最大值，∴f (0)＝a ＝－2，f (1)＝3＋a ＝3－2＝1，故选A ．4．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________. 答案 [－1,3]解析 ∵g (x )＝(x －1)2－1，∴g (x )min ＝g (1)＝－1，g (x )max ＝g (3)＝3.∴所求值域为[－1,3]．5．已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.答案 －1解析 ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.6．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为________.答案 (－∞，－3]解析 只需要在x ∈(0,1]时，(x 2－4x )min ≥m 即可．因为函数f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，所以当x ＝1时，(x 2－4x )min ＝1－4＝－3，所以m ≤－3.核心考向突破考向一 幂函数的图象与性质例1 (1)(2019·九江模拟)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2答案 B解析 由题意知⎩⎨⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B ．(2)若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD．a>b>d>c答案 B解析由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a>b>c>d，故选B．幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分的区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．[即时训练]1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3 B．1C．2 D．1或2答案 B解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．故选B．2．(2019·昆明模拟)设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为() A．a＜c＜b B．c＜a＜bC．a＜b＜c D．c＜b＜a答案 B解析由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知c＜a＜b.考向二求二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解 解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：(利用两根式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值f (x )max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：[即时训练] 3.已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．解解法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c＝0，a＋b＋c＝1，－b2a＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1，b＝2，c＝0，∴f(x)＝－x2＋2x.解法二：(两根式)∵f(x)图象的对称轴方程为x＝1，∴f(2)＝f(0)＝0，f(x)＝0的两根分别为0,2.∴可设其解析式为f(x)＝ax(x－2)．又f(1)＝1，可得a＝－1，∴f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x.解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，∴可设其解析式为f(x)＝a(x－1)2＋1.又由f(0)＝0，可得a＝－1，∴f(x)＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.精准设计考向，多角度探究突破考向三二次函数的图象与性质角度1 二次函数的单调性例3 (1)函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0 B ．a <0 C ．0<a ≤13 D ．a ≥1答案 D解析 当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3图象的对称轴方程为x ＝1a ，要使f (x )在区间[1,3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a≤1，解得a ≥1.故选D ．(2)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ，若对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，则f (－2)，f (4)，f (5)的大小关系为( )A ．f (5)>f (－2)>f (4)B ．f (4)>f (5)>f (－2)C ．f (4)>f (－2)>f (5)D ．f (－2)>f (4)>f (5)答案 B解析 因为对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，所以函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象关于直线x ＝4对称，所以f (－2)＝f (10)，又函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象开口向下，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f (4)>f (5)>f (10)，即f (4)>f (5)>f (－2)．(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．[即时训练] 4.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－4,6]， 且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－4，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－4,0]． 角度2 二次函数的最值问题例4 (1)(2019·南昌模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a ＝________.答案 1解析 因为函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，所以⎩⎨⎧ －a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.(2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[t ，t ＋2]． ①求f (x )的最值；②当f (x )的最大值为5时，求t 的值．解 f (x )＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，其图象的对称轴为直线x ＝1.①ⅰ.若t >1，则当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3；当x ＝t ＋2时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.ⅱ.若t ≤1<t ＋1，即0<t ≤1，则当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝－4；当x ＝t ＋2时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.ⅲ.若t ＋1≤1<t ＋2，即－1<t ≤0，则当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝－4；当x ＝t 时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3.ⅳ.若t ＋2≤1，即t ≤－1，则当x ＝t 时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3；当x ＝t ＋2时，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②由①，可知当t ≤0时，f (x )max ＝t 2－2t －3；当t >0时，f (x )max ＝t 2＋2t －3， 设f (x )的最大值为g (t )，则g (t )＝⎩⎨⎧t 2－2t －3，t ≤0，t 2＋2t －3，t >0，因为g (t )＝5，所以⎩⎨⎧t ≤0，t 2－2t －3＝5⇒⎩⎨⎧t ≤0，t ＝－2或t ＝4⇒t ＝－2；⎩⎨⎧ t >0，t 2＋2t －3＝5⇒⎩⎨⎧t >0，t ＝2或t ＝－4⇒t ＝2. 故当f (x )的最大值为5时，t ＝2或t ＝－2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．[即时训练] 5.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去． (2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38.(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.角度3 与二次函数有关的恒成立问题例5 (1)(2019·合肥模拟)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57答案 D解析 由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1.∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57， ∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，则必须满足m <57，因此，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57，故选D ．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，若∀x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4解析 因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，其图象的对称轴为x ＝－(a －2)，∀x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得⎩⎨⎧－(a －2)<－3，f (－3)>0或⎩⎨⎧－3≤－(a －2)≤1，Δ<0或⎩⎨⎧－(a －2)>1，f (1)>0，解得a ∈∅或1≤a <4或－12<a <1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[即时训练] 6.已知两函数f (x )＝8x 2＋16x －k ，g (x )＝2x 2＋4x ＋4，其中k 为实数．(1)对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求k 的取值范围； (2)存在x ∈[－3,3]，使f (x )≤g (x )成立，求k 的取值范围； (3)对任意x 1，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)，求k 的取值范围．解 (1)设h (x )＝f (x )－g (x )＝6x 2＋12x －4－k ，问题转化为x ∈[－3,3]时，h (x )≤0恒成立，故h (x )max ≤0.由二次函数的性质可知h (x )max ＝h (3)＝86－k ，有86－k ≤0，得k ≥86.(2)由题意，存在x ∈[－3,3]，使f (x )≤g (x )成立，即h (x )＝f (x )－g (x )＝6x 2＋12x －4－k ≤0在x ∈[－3,3]时有解，故h (x )min ≤0.由二次函数的性质可知h (x )min ＝h (－1)＝－10－k ，有－10－k ≤0，得k ≥－10.(3)对任意x 1，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，所以f (x )max ≤g (x )min ，x ∈[－3,3]．由二次函数的性质可得f (x )max ＝f (3)＝120－k ，g (x )min ＝g (－1)＝2.故有120－k ≤2，得k ≥118.课时作业1．(2019·福州模拟)若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13答案 C解析 设f (x )＝x α，则4α2α＝3，即2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝12α＝13.2．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线y ＝x 下方的增函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －1答案 A解析 结合常用幂函数的图象可知y ＝x 12的图象满足条件．3．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)答案 C解析 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的取值范围是－2<a ≤2.故选C ． 4．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限答案 D 解析 y ＝x－1的图象经过第一、三象限，y ＝x 12的图象经过第一象限，y ＝x的图象经过第一、三象限，y ＝x 3的图象经过第一、三象限．故选D ．5．(2020·定州模拟)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数答案 A解析 ∵函数f (x )＝(a －1)x b 是幂函数，∴a －1＝1，解得a ＝2，又点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在该函数的图象上，∴2b＝12，∴b ＝－1，∴f (x )＝x －1，∴函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A ．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)的图象过点P (－1，11)，且其对称轴是直线x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 A解析 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，所以－b2a ＝1 ①.又f (－1)＝a －b ＋5＝11，所以a －b ＝6 ②.联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋b ＝－2，故选A ．7．(2019·唐山模拟)已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞) 答案 C解析 由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.8．(2019·成都模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0) 答案 B解析当x>1时，恒有f(x)<x，即当x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意．故选B．9．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围是()A．[1,7] B．[1,6]C．[－1,1] D．[0,6]答案 A解析∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴f(2)＝4.又由f(x)＝－5，得x＝－1或5.由f(x)的图象知，－1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m＋n≤7.10．(2019·西安模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③答案 B解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．对称轴为直线x＝－1，即－b＝－1,2a－b＝0，②错误．2a结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．11．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1,2]D ．(0,2]答案 A解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，即a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2对x∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝yx ，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，设y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18(t ∈[1,3])，∴y max ＝－1，∴a ≥－1.故选A ．12．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析 解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B ．解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B ．13．(2019·南昌模拟)若x >1时，x a －1<1，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，1)解析 因为x >1，x a －1<1，所以a －1<0，得a <1.14．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________.答案 (3,5)解析 ∵f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，∴3<a <5.15．(2019·武汉模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1解析 解法一：由于方程x 2＋ax －2＝0有解，设它的两个解分别为x 1，x 2，则x 1·x 2＝－2<0，故方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有唯一解． 设f (x )＝x 2＋ax －2，则f (1)·f (5)≤0， 即(a －1)(5a ＋23)≤0，解得－235≤a ≤1.解法二：方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x ＋a －2x ＝0，也即方程a ＝2x －x 在区间[1,5]上有根，而函数y ＝2x －x 在区间[1,5]上是减函数，所以－235≤y ≤1，则－235≤a ≤1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12，0≤x ≤c ，x 2＋x ，－2≤x <0，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则c 的取值范围是________.答案 －1和0 (0,4] 解析 当0≤x ≤c 时，由x 12＝0得x ＝0.当－2≤x <0时，由x 2＋x ＝0，得x＝－1，所以函数f (x )的零点为－1和0.当0≤x ≤c 时，f (x )＝x 12，所以0≤f (x )≤c ；当－2≤x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以此时－14≤f (x )≤2.若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则有c ≤2，即0<c ≤4，即c 的取值范围是(0,4]．。
幂函数的图象及性质
(5) y 2x 2 (6) y x2 x
x2 (7) y x0 ( x 0) (8) y 1
2 y x , y x , 2.在同一坐标系中作出函数
1 1 y x , y , y x2 x
3
在第一象限的图象，并
总结这五个函数在第一象限的图象特点 和性质。
1.幂函数的定义：
y x（α 是常数,α ∈Q）的 我们把形如：
函数称为幂函数，其中是x自变量
概念辨析：
例1
例2
例3
2 m 2 y ( m 2 m 2 ) x 2n 3 是幂 例 1 ：指出下列那些函数是幂函数？ 例2 3：已知函数 ：已知幂函数f(x)的图象过点(3,27) ，求 1 x m，n的值。 3 函数，求 函数的解析式。 ( 2 ) y x (1) y 0.2 (3) y x ( 4) y
幂函数的图象及性质
学习目标：
1.能根据幂函数的定义判断哪些函数是 幂函数； 2.会求幂函数的解析式；
1 3.根据幂函数 y x, y x , y x , y x ,
2 3
1 2
y x , 的图象，总结幂函数的图象特点
及性质； 4.会比较两个幂的大小。
复习回顾：
* n a a 1.正整数次幂：n N a a
2 3
3 -5
3.幂函数图像在第一象限的分布：
y
α>1
α=1
0<α<1
1 α<0 O 1
α=0
x
4.幂函数图像在第一象限的性质：
幂函数 y x 的性质： 1.α ＞0时： (1)图象都经过点( 0，0 )和( 1，1 )； (2)图象在区间(0,+∞ ) 上单调递增。
五种常见幂函数的图象
-2
-3
2
4
6
函数y=x3的图像
1、列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 4 y … -27 -8 -1 0 1 8 27 … 3
2
2、描点
1
-4
-2
-1
2
4
6
-2
3、连线 -3
五种常见幂函数的图象: y=x,y=x2,y=x3,y= x,y=x-1
y x3 y x2
(-2,4)
奇偶性 奇
偶
奇
非奇非 偶
单调性
在R上 为增函
数
在[0,+∞)上为 增函数
在(-∞,0]上为减 函数
在R上为 增函数
在[0,+∞)上
为增函数
公共点
都过 点(1,1)
奇
在(0,+∞)上为 减函数
在 (-∞,0)上为 减函数
例 1、
例2.证明幂函数f (x) x在[0,)上是增函数.
证明: 任取 x1, x2 [0,],且 x1 x2 ,则
一 、引入
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需
要支付_P_=_W___元____ p是w的函数
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积
_S_=_a_²_
S 是a的函数
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
____V__=_a_³___
V是a的函数
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性： 在(0,)上是减函数
在(, 0）上是减函数
常见幂函数的性质
函数 性质
y=x
y=x2
1
幂函数图像与性质(有的有,有的没有)
幂函数的性质与图像1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0， +∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. （4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3y x =、12y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。