高等数学：5-5 广义积分

b dx 1 x2
lim (
b
1 x
)1b
lim (1 1) 1 b b
y
1 x2
A
1
b
2
定义1 设f ( x) C [a , ), 对 t a ,
若
存在,
则称此 极限 为 f (x) 在 [a , +) 的 广义积分, 记作
t
a
f
( x) dx
lim
t
a
f
( x) dx
这时称广义积分
[arctan x]
思考:
y
y
1
1 x
2
o
x
分析:
原积分发散 !
注意: 对广义积分, 只有在 收敛的条件下 才有
“偶倍奇零” 的性质。
7
★ 例3. 证明广义 积分
当 p >1 时收敛;
P 1 时发散.
证明: 当 p =1 时
ln
x
a
当p≠1时
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p1
0
只要有一个发散, 就称
f (x)dx
发散。
说明: 一般来说
f ( x)dx lim
a
f ( x)dx
a a
例如 xdx，由于
xdx 发散，故
0
xdx 发散。
但 a xdx 0, a
a
lim xdx lim 0 0
a a
a
4
★无穷区间上的广义积分的计算 引入记号
F () lim F ( x) ; F () lim F ( x)
x
x
则有类似于牛顿—莱布尼兹公式的计算表达式:
a f ( x)dx F () F (a) F ( x)
b
f
( x) dx
F(b)
F ()
F(x)
f ( x)dx
F()
F ()
F(x)
5
例1.
1 1
2
x2 sin x dx
2
sin
1 x
d(
1) x
cos
1 x
2
1
6
例2.
0
0
x
如果函数 f (x) 在点 a 的任一邻域内都 无界，
则点 a 称为函数 f (x) 的 瑕点。
9
定义2 设 f ( x) C (a , b], 点 a 为 f (x) 的 瑕点,
取
若极限
存在,
则称此 极限 为函数 f (x) 在 (a , b] 上的 广义积分, 记作
b
b
f ( x)dx lim
a
ta t
f (x)dx
这时称广义积分
收敛; 如果上述极限 不存在,
就称广义积分
发散 。
类似地 , 若 f ( x) C [a , b), 点 b 为 f (x) 的 瑕点,
则定义
b
f ( x)dx lim
t
f (x)dx
a
tb a
10
点 c 为 f (x) 瑕点, 则定义
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx
a
f
( x) dx
收敛;
如果上述极限 不存在,
就称广义积分 a
f (x)dx
发散 。
类似地 , 若 f ( x) C (, b], 则定义
b f ( x)dx lim
b
f (x)dx
t t
3
若 f ( x) C ( , ), 则定义
f (x)dx
0
f (x)dx
f (x)dx
1
3(0 1) 3(1 0) 6
说明：如果有人这样做：
2
0(x
dx 1)2 / 3
[3( x
1)1/ 3 ]02
3[1
(1)]
6
结果虽然对，但方法不对。
例如：1 dx
1 x 2
[
1 x
]11
2
事实上，
1 dx 发散 1 x2
13
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛;
q 1 时发散.
证明: x = a为瑕点
当q = 1时，
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
( x a)1q 1q
b
(b
a)1q 1q
a ,
,
q1 q1
★
特例
1 0
1 xq
dx
当 q < 1 时收敛,
q 1 时发散.
14
当同时含两类广义积分时, 需 划分积分区间, 分别讨论相应的广义积分的敛散性。
例7. 讨论
第五节 广义积分
一、无穷区间上的广义积分
二、无界函数的广义积分
积分限有限 前面所讲的定积分称为常义积分
推广
被积函数有界
积分区间为无穷区间 广义积分
被积函数无界
1
一、无穷区间上的广义积分
引例 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口
曲边梯形的面积可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A lim b
t
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
tc a
tc t
瑕积分的计算
若a 为瑕点, 则
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a
)
若b 为瑕点, 则
b
a
f
(
x)dx
F
(b
)
F
(a)
11
a dx
例4. 计算 0 a 2 x 2
(a 0)
解： x = a 为瑕点
a dx
0 a2 x2
arcsin
p1 p1
因此, 当 p >1 时, 广义积分 收敛, 其值为
a 1 p ;
p1
当 p 1 时, 广义积分 发散. 8
二、无界函数的广义积分(瑕积分)
引例
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
y 1 x
1 dx
A lim
0
x
lim
0
2
1
x
A
lim 2(1 ) 2
x a
|a
0
arcsin1
2
y
y 1
a2x2
1 a
O
ta x
12
例5. 计算 2 03
dx (1 x)2
解：x = 1 为瑕点。 2 dx
0 3 (1 x)2
1 dx 0 (1 x)2 / 3
2 dx 1 (1 x)2 / 3
[3(
x
1ຫໍສະໝຸດ Baidu1/
3
]1 0
[3(
x
1)1/
3
]2
0
1 x p dx
的敛散性
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