基于MATLAB的平面六杆机构运动分析

（ １）
其中 Ｓ２３ 为滑块 ２ 到 Ｃ 的位移， 它随曲柄转动
而变化。
式（ １） 在 ｘ、ｙ 轴的分量等式为
!Ｌ２ ｃｏｓ（ π／２） ＋Ｌ１ ｃｏｓφ＝Ｓ２３ ｃｏｓθ
Ｌ２ ｓｉｎ（ π／２） ＋Ｌ１ ｓｉｎφ＝Ｓ２３ ｓｉｎθ
（ ２）
当 Φ在 ０°￣３６０°作匀速变化时， 就可求出对应
的导杆 ３ 的转角 θ及滑块 ２ 位移 Ｓ２３ 值。
第 １０ 卷 第 １ 期
重庆科技学院学报（ 自然科学版）
２００８ 年 ２ 月
基于ＭＡＴＬＡＢ 的平面六杆机构运动分析
杨春辉 （ 华东交通大学， 南昌 ３３００１３）
摘 要： 介绍利用 ＭＡＴＬＡＢ 语言求解平面六杆机构的运动规律， 使其结果可视化， 使机构的运动分析直观、简单、精确，
提高机构的设计精度和效率。
ｖ１＝ ｖ（１）； ｖ２＝ ｖ（２）； ｖ２３（ｉ，：）＝ ［ｃｔ（２）／ ｄｒ ｖ１ ｖ２］； ％矩阵［曲柄转角 导杆角速度 滑块速度］ ｅｎｄ ％（ ３） — ——导杆 ３ 的加速度 ａ２＝ ０； ％曲柄等角速度 ｆｏｒ ｉ＝ １：７２ ｃ（２）＝ （ｉ－ １）＊ｄｔｈ； Ｃ ＝ ［－ ｗ（ｉ，３）＊ｓｉｎ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ） ｃｏｓ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）；ｗ（ｉ， ３）＊ｃｏｓ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ） ｓｉｎ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）］； Ｄ （１）＝ ［－ ｌ２＊ｏｍｇ＾２＊ｃｏｓ（ｃ（２））＋ ２＊ｖ２３（ｉ，２）＊ｖ２３（ｉ，３） ＊ｓｉｎ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ） ＋ ｗ（ｉ，３）＊ｏｍｇ＾２＊ｃｏｓ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）］； Ｄ （２）＝ ［－ ｌ２＊ｏｍｇ＾２＊ｓｉｎ （ｃ （２））－ ２＊ｖ２３ （ｉ，３）＊ｖ２３ （ｉ，２） ＊ｃｏｓ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ） ＋ ｗ（ｉ，３）＊ｏｍｇ＾２＊ｓｉｎ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）］； ａ＝ ｉｎｖ（Ｃ）＊Ｄ＇ ； ａ１＝ ａ（１）； ａ２＝ ａ（２）； ａ２３（ｉ，：）＝ ［ｃ（２）／ ｄｒ ａ１ ａ２］； ％矩 阵 ［曲 柄 转 角 导杆角加速度 滑块加速度］ ｅｎｄ ％（４）－ － － － － － － － － － 计算滑块 ５ 的位移 ｆｏｒ ｉ＝ １：７２ ．．．．．． ｅｎｄ ％绘制滑块 ５ 的位移
１ 曲柄导杆一型移动从动件机构的运动数 学模型
如图 １ 所示， 当曲柄 １ 做匀速转动时， 滑块 ５ 做 往复移动， 该机构的行程速比系数大于 １， 有急回特 性， 且传动角较大。设曲柄 １ 的角速度为 ω， 并在铰 链 Ｃ 建立坐标系 ｏｘｙ。由图可知， 该机构由构件 １、２、 ３、６ 组成的曲柄导杆机构和构件 ３、４、５、６ 组成的摆 动滑块机构组成。机构中 Ｌｉ＝（ ｉ＝１， ２， ３， ４， ５） 分别表 示曲柄 １、机架 ２、导杆 ３、连杆 ４ 的长度及滑块 ５ 到 坐标原点的距离。
! "! " － Ｓ２３ ｓｉｎθ ｃｏｓθ ａ３ ＝ Ｓ２３ ｃｏｓθ ｓｉｎθ ａ２３
#２
２
&
－$
$ $
ωＬ１ ｃｏｓφ＋２ω３ Ｖ２３
ｓｉｎθ＋ω
Ｓ２３
ｃｏｓθ’’ ’
$
’
（ ４）
$２
２
’
$$ %
ω
Ｌ１
ｓｉｎφ－
２ω３
Ｖ２３
ｃｏｓθ＋ω
Ｓ２３
ｓｉｎθ
’’ (
再对构件 ３、４、５、６ 组成的摆动滑块机构进行运
对式（ ３） 求时间导数， 得到导杆 ３ 的角加速度及
滑块 ２ 沿导杆 ３ 移动的加速度 Ｓ２３ ， 方程式如下：
收稿日期： ２００７－ １０－ ２０ 作者简介： 杨春辉（ １９７２－ ） ， 男， 江西丰城人， 讲师， 硕士， 研究方向为机械设计。
·５５·
杨春辉： 基于ＭＡＴＬＡＢ 的平面六杆机构运动分析
对构件 １、２、３、６ 组成的曲柄导杆机构进行运动 分析。曲柄 １ 转动角度 φ、导杆 ３ 摆角 θ及连杆 ４ 转
图 １ 六杆机构运动简图
动角度 δ都是以 Ｘ 轴正方向为起始边的度量角度，
单位为 ｒａｄ。并设机构初始位置为曲柄 １ 转角 φ＝００
的位置。该机构的位置方程为
ｉθ
ｉπ／２
ｉΦ
Ｓ２３ ｅ ＝Ｌ２ ｅ ＋Ｌ１ ｅ
! "! " － Ｌ４ｓｉｎδ－ １ Ｌ４ ｃｏｓδ０
ａ４ ａ５ ＝
#
２
２
&
ａ$
$ $
ห้องสมุดไป่ตู้
３
Ｌ３
ｓｉｎθ＋ω３
Ｌ３
ｃｏｓθ＋ω４
Ｌ４
ｃｏｓδ
’ ’ ’
$ $
２
２
’ ’
（ ８）
－$$
%
ａ３
Ｌ３
ｃｏｓθ＋ω３
Ｌ３
ｓｉｎθ＋ω４ Ｌ４
ｓｉｎδ’’(
２ 利用 ＭＡＴＬＡＢ 求解
２．１ 程序源 ％ 平面六杆机构运动分析 ％ （ １） — —— —— —— —— ——导杆位置 ％ 各杆长度输入 ｌ１＝ ｉｎｐｕｔ（＇ 机架长度（ ｍｍ） ＇ ）； ｌ２＝ ｉｎｐｕｔ（＇ 曲柄长度（ ｍｍ） ＇ ）； ｌ３＝ ｉｎｐｕｔ（＇ 导杆长度（ ｍｍ） ＇ ）； ｌ４＝ ｉｎｐｕｔ（＇ 连杆长（ ｍｍ） ＇ ）； ｌ５＝ ｉｎｐｕｔ（＇ 滑块 ５ 到坐标原点距离（ ｍｍ） ＇ ）； ｏｍｇ＝ ｉｎｐｕｔ（＇ 曲柄角速度（ ｒａｄ／ ｓ） ＇ ）； ｄｒ＝ ｐｉ／ １８０．０； ％角度与弧度的转换 ％机构的初始位置 ｔｈ（１）＝ ０．０； ｄｔｈ＝ ５＊ｄｒ； ％循环增量 ％计算导杆的位置角度 ｔｈ 和滑块的 ｓ２３ ％曲柄 ０－ ３６０ 度转， 步长为 ５ 度 ｆｏｒ ｉ＝ １：７２ ｃｔ＝ ｉ＊ｄｔｈ； ｉｆ ｔｈ（１）＜ ＝ ９０＊ｄｒ
在机械传动系统中， 机构的运动分析是机械系 统分析的基础。设计者可以根据原动件的运动规律， 来 求 出 机 构 上 其 它 构 件 和 构 件 上 特 定 点 的 位 移 、速 度和加速度。平面六杆机构是一种重要的传动装置， 在机械工程中有的应用较广， 如牛头刨床。本文以 曲柄导杆一型移动从动件平面六杆机构为例， 利用 ＭＡＴＬＡＢ 所具有的符号计算、数值计算以及图形可 视化处理等功能， 对该机构的运动分析， 提高了设计 的精度和设计效率。
杨春辉： 基于ＭＡＴＬＡＢ 的平面六杆机构运动分析
ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，１） ｐｌｏｔ（ｓ４５（：，１），ｓ４５（：，３）） ｇｒｉｄ ｘｌａｂｅｌ（＇ 曲柄转角 ＇ ） ｙｌａｂｅｌ（＇ 滑块位移 ＇ ） ％－ － － － － － － 计算滑块 ５ 速度 ｆｏｒ ｉ＝ １：７２ ｅｔ＝ （ｉ－ １）＊ｄｔｈ； Ｅ＝ ［－ ｌ４＊ｓｉｎ（ｓ４５（ｉ，２）＊ｄｒ） － １；ｌ４＊ｃｏｓ（ｓ４５（ｉ，２）＊ｄｒ） ０］； Ｆ＝ ［ｌ４＊ｖ２３（ｉ，２）＊ｓｉｎ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）；－ ｌ４＊ｖ２３（ｉ，２）＊ｃｏｓ（ｗ （ｉ，２）＊ｄｒ）］； ｂ＝ ｉｎｖ（Ｅ）＊Ｆ； ｂ１＝ ｂ（１）； ｂ２＝ ｂ（２）； ｂ２３（ｉ，：）＝ ［ｅｔ／ ｄｒ ｂ１ ｂ２］； ｅｎｄ ％绘制滑块 ５ 的速度线图 ．．．．．． ％— —— —— —— ——计算滑块 ５ 的加速度 ｆｏｒ ｉ＝ １：７２ ｅｕ＝ （ｉ－ １）＊ｄｔｈ； Ｇ＝ ［－ ｌ４＊ｓｉｎ（ｓ４５（ｉ，２）＊ｄｒ） － １；ｌ４＊ｃｏｓ（ｓ４５（ｉ，２）＊ｄｒ） ０］； Ｈ ＝ ［ｌ３＊ａ２３ （ｉ，２）＊ｓｉｎ （ｗ （ｉ，２）＊ｄｒ） ＋ ｌ３＊ｖ２３ （ｉ，２）＾２＊ｃｏｓ （ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）＋ ｌ４＊ｂ２３（ｉ，２）＾２＊ｃｏｓ（ｓ４５（ｉ，２）＊ｄｒ）；－ ｌ３＊ａ２３（ｉ，２） ＊ｃｏｓ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）＋ ｌ３＊ｖ２３（ｉ，２）＾２＊ｓｉｎ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）＋ ｌ４＊ｂ２３（ｉ， ２）＾２＊ｓｉｎ（ｓ４５（ｉ，２）＊ｄｒ）］； ｄ＝ ｉｎｖ（Ｇ）＊Ｈ； ｄ１＝ ｄ（１）； ｄ２＝ ｄ（２）； ｄ４５（ｉ，：）＝ ［ｅｕ／ ｄｒ ｄ１ ｄ２］； ｅｎｄ ％绘制滑块 ５ 加速度 ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，３） ｐｌｏｔ（ｄ４５（：，１），ｄ４５（：，２）） ｇｒｉｄ ｘｌａｂｅｌ（＇ 曲柄转角 ＇ ） ｙｌａｂｅｌ（＇ 连杆角加速度 ＇ ）
安： 西安电子科技大学出版社， ２０００． ［４］ 张 森 ， 张 正 亮．ＭＡＴＬＡＢ 仿 真 技 术 与 实 例 应 用 教 程［Ｍ］．北
图 ２ 滑块 ５ 的运动规律
３ 结语
利 用ＭＡＴＬＡＢ 强 大 的 科 学 计 算 和 绘 图 功 能 能 开发各类机构的运动分析和动画模拟系统， 不仅十 分方便， 可视化的结果还可以分析机构设计中存在 的刚性冲击等问题， 使用户摆脱了繁琐、复杂的传统 设计计算， 设计效率大大提高。
参考文献 ［１］ 徐金明．ＭＡＴＬＡＢ 实用教程［Ｍ］．北京： 清华大学出版社， ２００５． ［２］ 孙桓．机械原理［Ｍ］ ．北京： 高等教育出版社， １９９６． ［３］ 陈 怀 琛．ＭＡＴＬＡＢ 及 其 在 理 工 课 程 中 的 应 用 指 南 ［Ｍ］．西
ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，４） ｐｌｏｔ（ｄ４５（：，１），ｄ４５（：，３）） ｇｒｉｄ ｘｌａｂｅｌ（＇ 曲柄转角 ＇ ） ｙｌａｂｅｌ（＇ 滑块加速度 ＇ ） ２．２ 结果可视化 程 序 运 行 时 ， 输 入 以 下 内 容 ： 机 架 长 度 ４０ｍｍ； 曲柄长度 ２５ｍｍ； 导杆长度 ９０ｍｍ； 连杆长 ８０ｍｍ； 滑 块到坐标原点距离 ８０ｍｍ； 角速度 １０ｒａｄ／ｓ。 图 ２ 为该六杆机构滑块 ５ 的位移、速度、加速度 及连杆 ４ 的角加速度的运动规律。
２
Ｌ４ － （ Ｌ５ － ｓｉｎθ） ）
（ ６）
.
Ｓ..
/５
＝Ｌ３
ｃｏｓθ＋Ｌ４
ｃｏｓδ
连杆 ４ 角速度 ω４ 和滑块 ５ 速度方程
! "! "! " － Ｌ４ ｓｉｎδ－ １ ω４ ＝ ω３ Ｌ３ ｓｉｎθ
（ ７）
Ｌ４ ｃｏｓδ０ Ｖ５ － ω３ Ｌ３ ｃｏｓθ
连杆 ４ 角加速度 ａ４ 和滑块 ５ 加速度 ａ５ 方程
动分析。首先建立机构位置方程， 方程如下：
ｉθ
ｉδ
ｉπ／２
ｉ０
Ｌ３ ｅ ＋Ｌ４ ｅ ＝Ｌ５ ｅ ＋Ｓ５ ｅ
（ ５）
式中 Ｓ５ 为滑块的行程。
按同样的方法可分别得到滑块 ５ 的位置、速度、
加速度方程。
连杆 ４ 和滑块 ５ 位置方程
* ) + ,
２
...δ＝ａｒｃｔａｎ
-
（Ｌ５ － Ｌ３ ｓｉｎθ）／（ －
关键词： 六杆机构； 运动分析； ＭＡＴＬＡＢ
中图分类号： ＴＨ１１２
文献标识码： Ａ
文章编号： １６７３－ １９８０（ ２００８） ０１－ ００５５－ ０３
ＭＡＴＬＡＢ 是 Ｍａｔｈｗｏｒｋｓ 公 司 于 １９８２ 年 推 出 的 一套功能强大的工程计算软件， 广泛应用于自动控 制、机械设计、流体力学和数理统计等工程领域， 被 誉为巨人肩上的工具。它集数值分析、矩阵运算、信 号处理和图形显示于一体， 构成了一个方便的、界面 友好的用户环境。工程人员通过使用 ＭＡＴＬＡＢ 提供 的工具箱， 可以高效求解复杂的工程问题， 并可以对 系统进行动态仿真， 用强大的图形功能对数值计算 结果进行显示。
假设曲柄做匀角速度 ω运动， 即 ω＝ｄφ／ｄｔ 是常
数， 对式（ ２） 求时间导数， 得到导杆 ３ 的角速度 ω３ 及
滑块 ２ 沿导杆 ３ 移动的速度 Ｖ２３， 方程式如下
" #" $% $ － Ｓ２３ ｓｉｎθ ｃｏｓθ ω３ ＝ － ωＬ１ ｓｉｎφ
（ ３）
Ｓ２３ ｃｏｓθ ｓｉｎθ Ｖ２３ ωＬ１ ｃｏｓφ
·５６·
ｔｈ３＝ ａｔａｎ（２＊（ｌ１＋ ｌ２＊ｓｉｎ（ｔｈ（１）））／ （ｌ２＊ｃｏｓ（ｔｈ（１））））； ｅｌｓｅ ｉｆ ｔｈ（１）＜ ＝ ２７０＊ｄｒ ｔｈ３＝ａｔａｎ（２＊（ｌ１＋ｌ２＊ｓｉｎ（ｔｈ（１）））／ （ｌ２＊ｃｏｓ（ｔｈ（１））））＋ｐｉ； ｅｌｓｅ ｔｈ３＝ ａｔａｎ（２＊（ｌ１＋ ｌ２＊ｓｉｎ（ｔｈ（１）））／ （ｌ２＊ｃｏｓ（ｔｈ（１））））； ｅｎｄ ｓ３＝ （ｌ１＋ ｌ２＊ｓｉｎ （ｔｈ （１））＋ ｌ２＊ｃｏｓ（ｔｈ （１）））／ （ｓｉｎ （ｔｈ３）＋ ｃｏｓ（ｔｈ３））； ｗ（ｉ，：）＝ ［ｔｈ（１）／ ｄｒ ｔｈ３／ ｄｒ ｓ３］； ％矩真 ｔｈ（１）＝ ｔｈ（１）＋ ｄｔｈ； ｅｎｄ ％（ ２） — ——计算导杆 ３ 的角速度和滑块 ２ 速度 ｆｏｒ ｉ＝ １：７２ ｃｔ（２）＝ （ｉ－ １）＊ｄｔｈ； Ａ＝ ［－ ｗ（ｉ，３）＊ｓｉｎ （ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ） ｃｏｓ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）；ｗ（ｉ， ３）＊ｃｏｓ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ） ｓｉｎ（ｗ（ｉ，２）＊ｄｒ）］； Ｂ＝ ［－ ｌ２＊ｏｍｇ＊ｓｉｎ（ｃｔ（２））；ｌ２＊ｏｍｇ＊ｃｏｓ（ｃｔ（２））］； ｖ＝ ｉｎｖ（Ａ）＊Ｂ； ％输出角速度矩阵