初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第17章几何不等式与极值问题试题新人教版

第17章 几何不等式与极值问题

一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n 的最大值．

解析

考虑这个凸行边形的n 个外角，有4n -个角90︒≥，故有()490360n -⨯︒<︒（严格

小于是由于4个钝角的外角和大于0︒），因此8n <，n 的最大值是7．易构造这样的例子。 如果恰好有k 个钝角，则n 的最大值是3k +.

在ABC △中，AB AC >，P 为BC 边的高AD 上的一点，求证：AB AC PB PC -<-. 解析 易知AB AC PB PC +>+，

又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-，

故有AB AC PB PC -<-．

评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况．

17.1.3 已知四边形ABCD ，AC 、BD 交于O ，ADO △和BCO △的面积分别为3、12，求四边形ABCD 面积的最小值．

解析 易知ABO BCO

ADO DCO S S BO S DO S ==

△△△△，故36ABO CDO ADO BCO S S S S ⋅=⋅=△△△△.

从而12ABO CDO S S +=△△≥，

且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立，所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27.

已知：直角三角形ABC 中，斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()2

2

BC h AB AC ++-. 解析

()

()2

2

BC h AB AC +-+

222222BC h BC h AB AC AB AC =++⋅---⋅，

由条件，知242ABC BC h S AB AC ⋅==⋅△，且222AB AC BC +=， 于是()()2

2

236BC h AB AC h +-+==.

注意：这同时解决了（1）和（2）.

设矩形ABCD ，10BC =，7CD =，动点F 、E 分别在BC 、CD 上，且4BF ED +=，求AFE △面积的最小值． 解析设 BF x

=，

()

4DE y x ==-，则

()()()11

7101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+⎡⎤⎣⎦△△△。 由()2

144

xy x y +=≤

。故 ()1

70704332

AEF S -⨯+=△≥.

当2BF ED ==时达到最小值． 设P 是定角A ∠内一定点，过P 作动直线交两边于M 、N ，求证：AMN △面积最小时，P 为MN 的中点． 解析 如图，连结AP ，设MAP α∠=，NAP β∠=，θαβ=+，由 AMP ANP MAN S S S +=△△△，得

sin sin sin AM AP AN AP AM AN αβθ⋅⋅+⋅⋅=⋅。

又 左式2AP ≥， 故 212sin sin sin 2sin AMN

AP S AM AN αβ

θθ

=⋅⋅△≥

。 达到最小值时，须AMP ANP S S =△△，故P 为MN 之中点.

正三角形ABC 的边长为1，M 、N 、P 分别在BC 、CA 、AB 上，1BM CN AP ++=，

求MNP △的最大面积。

解析 如图，设BM x =，CN y =，AP z =，则0x ≤，y ，1z ≤，1x y z ++=。

()()()1111sin602APN BPM MNC S S S x z y x z y ++=-+-+-︒⎡⎤⎣⎦△△△， 于是问题变为求()()()111x z y x z y -+-+-的

最小值，展开后约去()1x y z ++=，即求xz yx zy ++的最大值． 由

不

等

式

()2

1133

xy yz zx x y z ++++=≤

知，当1

3

x y z ===

时，

2

9

APN BPM MNC ABC S S S S ===△△△△，此时MNP S △的面积达到最大值。

()max 13MNP ABC S S =

△△.

设ABC △是边长为l 的正三角形，过顶点A 引直线l ，顶点B 、C 到l 的距离记为1d 、

2d ，求12d d +的最大值．

解析

如图，若l 穿过BC ，则由“直角边小于斜边”知121d d BC +=≤，取到等号时仅当

l BC ⊥.

若l 不经过BC ，取BC 中点P ，作PQ l ⊥，Q 在l 上，则1222d d PQ AP +==≤号仅当l BC ∥.

综上所述，12d d +

17.1.9 在数1、

12、13、14、15、16、17、18、19、1

10

中，若任找三个数能组成三角形的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有多少组“好搭档”？ 解析 此题可分类讨论。

显然1不可能为边．

由于1115910<+，故15⎧⎨⎩，16，17，18，19，110⎫⎬⎭中任三数可构成三角形的三边，一共有6!20

3!3!=组。 当最大边为

12时，次大边只能为13

，最小边为14或1

5，有2组。 当最大边为13时，次大边为14或15．次大边为14时，最小边1113412>-=，故可取11

~510；

次大边为15时，最小边1123515>-=，可取16与1

7共有8组．

当最大边为

14时，次大边为15、16

、1

7．次大边 为15时，最小边1114520>-=，可取11

~610；次

大边为

16时，最小边1114612>-=，可取11

~710； 次大边为

17时，最小边1134728>-=，可取1

8

和1

9

。共有11组。 综上所述，总共有41组．

设60XOY ∠=︒，A 、B 是OX 上的两个定点，P 是OY 上的一个动点，问当P 在什么位置时，22PA PB +最小？

解析 如图，设OA a =，OB b =，OP x =，不妨设a b <。则 222PA a x ax =+-， 222PB b x bx =+-，

故 ()222222PA PB x a b x a b +=-+++

()2

2

22

248a b a b x a b ++⎛⎫=-++- ⎪

⎝

⎭。 显然当4

a b

x +=时，22PA PB +最小。 评注

容易验证，此时P 为AB 的中点在OY 上的射影。

设直角ABC △中，90C ∠=︒，求证：

2

4

ABC AB S △≤. 解析 如图，作A 关于BC 的对称点A '，连结'A B 、'A C ，则

2211

sin 244

AB B AB =

≤. 取等号仅当ABC △为等腰直角三角形。 X 是ABC △的边AB 上一点，P 为ACX △的内心，Q 是BCX △的内心，M 是PQ 的中点，求证：MC MX >.