流体力学第八章气体的一元流动

第8章 气体的一元流动

一、 学习的目的和任务

1．掌握可压缩气体的伯努利方程 2．理解声速和马赫数这两个概念

3．掌握一元气体的流动特性，能分析流速、流通面积、压强和马赫数等参数的相互关系 4．掌握气体在两种不同的热力管道（等温过程和绝热过程）的流动特性。

二、 重点、难点

128.1(8.1-1)

12,u u ——流动气体两点的平均流速

在气体动力学中，常以g ρ乘以上式（8.1-1）后气体伯努利方程的各项表示称压强的形式，即

2

212

11222

2

u u p gz p gz ρρρρ++

=++

(8.1-2)

由于气体的密度一般都很小，在大多数情况下1gz ρ和2gz ρ很相近，故上式(8.1-2)就可以表示为

2

212

122

2

u u p p ρρ+

=+

(8.1-3)

前面已经提到，气体压缩性很大，在流动速度较快时，气体各点压强和密度都有很大的变化，式(8.1-3)就不能适用了。必须综合考虑热力学等知识，重新导出可压缩流体的伯努利方程,推导如下。

如图8-1所示，设一维稳定流动的气体，在上面任取一段微小长度ds ，两边气流断面1、2的断面面

积、流速、压强、密度和温度分别为

A 、u 、p 、

ρ、T ；A dA +、u du +、p dp +、

d ρρ+、T dT +。

取流段1-2作为自由体，在时间dt 内，这段自由

体所作的功为

()()()W pAudt p dp A dA u du dt =-+++

(8.1-4)

根据恒流源的连续性方程式，有uA C ρ=（常数），所以上式(8.1-4)可写成 由于在微元内，可认为ρ和d ρρ+很相近，则上式可化简为

(

)p p dp

dp

W Cdt Cdt ρ

ρ

--==-

(8.1-5)

又对1-2自由体进行动能分析，其动能变化量为

222111

()22

E m u du m u ∆=

+- (8.1-6)

同样地根据恒流源的连续性方程式uA C ρ=（常数），故有12m m uA C ρ===

上式就可以写成

1

(2)2

E Cdt udu Cudtdu ∆==

(8.1-7)

根据功能原理有W

E =∆,化简得

0dp

udu ρ

+=

(8.1-8)

图8-1

ds 微元流段

该式就是一元气体恒定流的运动微分方程

对上式(8.1-8)进行积分，就得一元气体恒定流的能量方程

22

dp

u C ρ+=⎰

(8.1-9)

式中C 为常数。上式表明了气体的密度不是常数，而是压强（和温度）的函数，气体流动密度的变化和热力学过程有关，对上式的研究取要用到热力学的知识。下面简要介绍工程中常见的等温流动和绝热流动的方程。

（1） 等温过程

等温过程是保持温度不变的热力学过程。因p

RT ρ

=，其中T =定值，则有

p

C ρ

=（常数），代入式

(8.1-9)并积分，得

2

ln 2p

u p C ρ+= (8.1-10)

（2） 绝热过程

绝热过程是指与外界没有热交换的热力学过程。可逆、绝热过程称为等熵过程。绝热过

程方程

p

C γ

ρ

=（常数），代入式(8.1-9)并积分，得 2

12

p

u C γγρ+=-

(8.1-11)

式中γ为绝热指数。

8.2

声速和马赫数

8.2.1

声速

微小扰动波在介质中的传播速度称为声速。如弹拨琴弦，使弦振动了空气，其压强和密度都发生了微弱的变化，并以波的形式在介质中传播。由于人耳能接收到的振动频率有限，声速并不限于人耳能接收的声音传播速度。凡在介质中的扰动传播速度都称为声速。

如图8-2所示，截面面积为A 的活塞在充满静止空气的等径长管内运动，0u =时（0t =），管内压强

为

p ，空气密度为ρ，温度为T ;若以微小速度du 向右推进时间dt ，压缩空气后，压强、密度和温度分别

变成了p dp +，d ρρ+和T dT +。活塞从右移动了dudt ，活塞微小扰动产生的声速传播了cdt ，c 就为

声速。

图8-2 微小扰动波的传播

取上面的控制体，列连续性方程得

()()cdtA d c du dtA ρρρ=+-

(8.2-1)

化简并略去高阶无穷小项，得

du cd ρρ=

(8.2-2)

又由动量定理，得

()[()]pA p dp A cA c du c ρ-+=--

(8.2-3)

同样化简并略去高阶无穷小项，得

(8.2-4)

(8.2-5)

c 越

(8.2-6)

式中p C γρ=

(8.2-7)

上式两边对ρ求导，得

11dp p p

C d γγγγργργρρρ

--=== (8.2-8)

又由理想气体状态方程

g p

R T ρ

=和上式(8.2-8)、式(8.2-5)联立，得