最新高中数学必修二1.2.1--平面的基本性质练习题
数学第1章1.2.1平面的基本性质随堂自测和课后作业(苏教版必修2)(20201103182227)
![数学第1章1.2.1平面的基本性质随堂自测和课后作业(苏教版必修2)(20201103182227)](https://img.taocdn.com/s3/m/365efde13968011ca2009146.png)
1.如图所示,用符号语言表示以下各概念:①点A,B在直线a上________;②直线a在平面α内________;③点D在直线b上,点C在平面α内________.答案:①A∈a,B∈a②a?α③D∈b,C∈α2.若点A,B,C∈平面α,点A,B,C∈平面β,且A,B,C三点不共线,则α与β________.解析:由公理3可知,经过不在同一条直线上的三点A,B,C有且只有一个平面,所以α与β重合.答案:重合3.若平面α与平面β相交,点A,B既在平面α内又在平面β内,则点A,B必在________.解析:设α∩β=l,∵A,B∈α且A,B∈β,∴A,B∈l.答案:α与β的交线上4.给出以下三个命题:①若空间四点不共面,则其中无三点共线;②若直线l上有一点在平面α外,则l在α外;③两两相交的三条直线共面.其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号)解析:③中三条直线两两相交于同一点时,可以不共面.①②都正确.答案:①②5.已知平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有________条.解析:当β与γ相交时,若α过β与γ的交线,有1条交线;若α不过β与γ的交线,有3条交线;当β与γ平行时,有2条交线.答案:1或2或3[A级基础达标]1.下列说法中正确的个数为________.①过三点至少有一个平面;②过四点不一定有一个平面;③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面.解析:①正确,其中三点不共线时,有且仅有一个平面.三点共线时,有无数个平面;②正确,四点不一定共面;③正确.答案:32.①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形;④对角线互相平分的四边形是平行四边形.空间中,上述四个结论一定成立的是________(填上所有你认为正确的命题的序号).解析:空间中,两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形,如图所示.答案:①②④3.空间有四个点,如果其中任意三点都不共线,那么经过其中三个点的平面有________个.解析:当四点共面时,经过三点的平面有1个;四点不共面时,经过其中的三点可画四个平面.答案:一或四4.设平面α与平面β相交于l,直线a?α,直线b?β,a∩b=M,则M________l.解析:因为a∩b=M,a?α,b?β,所以M∈α,M∈β,又因为α∩β=l,所以M∈l.答案:∈5.已知平面α、β,直线l,点A、B、C,它们满足:α∩β=l,A∈α,B∈α,C∈β,且C?α,又直线AB∩l=D,A、B、C三点确定的平面为γ,则平面β与平面γ的交线是________.解析:∵D∈l,l?β,∴D∈β,又C∈β,γ由A、B、C三点确定,∴AB?γ,C∈γ,又D∈AB,∴D∈γ,∴CD是β与γ的交线.答案:直线CD6.已知A、B、C是平面α外不共线的三点,且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G,求证:E、F、G三点共线.证明:如图,过A、B、C作一平面β,则AB?β,AC?β,BC?β.∴E∈β,F∈β,G∈β.设α∩β=l,∵AB、BC、CA分别与α相交于点E、F、G,∴E∈α,F∈α,G∈α.∴E、F、G必在α与β的交线上.∴E、F、G三点共线.7.已知:a∥b∥c,a∩d=A,b∩d=B,c∩d=C,求证a,b,c,d共面.证明:∵a∥b,∴a,b确定一个平面α.∵A∈a,∴A∈α.同理B∈α.∴AB确定的直线d?α.∵b∥c,∴b,c确定一个平面β.∵B∈b,∴B∈β.同理C∈β.∴BC确定的直线d?β.∵α与β同时过两相交直线b,d,∴α与β重合.∴a,b,c,d共面.[B级能力提升]8.A、B、C、D为不共面的四点,E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,(1)如果EH∩FG=P,那么点P在________上;(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在________上.解析:(1)如图,由AB、AD确定平面α.∵E、H在AB、DA上,∴E∈α,H∈α,∴直线EH?α,又∵EH∩FG=P,∴P∈EH,P∈α.设BC、CD确定平面β,同理可证,P∈β,∴P是平面α,β的公共点,∵α∩β=BD,∴点P在直线BD上.同理可证(2)点Q在直线AC上.答案:(1)BD所在的直线(2)AC所在的直线9.在如图所示的正方体中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则使这四个点共面的图是________(填序号).解析:图①中PS∥QR,∴P、Q、R、S四点共面;图②中,连结PS并延长交右上方棱的延长线于M.连结MR并延长,交右下方的棱于N.连结NQ,可知P、S、N、Q共面,所以P、Q、R、S四点共面.图③中SR∥PQ,∴P、Q、R、S四点共面.答案:①②③10.如图,△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求证:AA1、BB1、CC1交于一点.证明:如图所示,∵A1B1∥AB,∴A1B1与AB确定一平面α,同理,B1C1与BC确定一平面β,C1A1与CA确定一平面γ.易知β∩γ=C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等,∴AA1与BB1相交,设交点为P,P∈AA1,P∈BB1.而AA1?γ,BB1?β,∴P∈γ,P∈β,∴P在平面β与平面γ的交线上.又β∩γ=C1C,根据公理2知,P∈C1C,∴AA1、BB1、CC1交于一点.11.(创新题)求证:每两条都相交且不共点的四条直线,必在同一平面内.证明:记此四条直线为a,b,c,d.(1)存在三线共点,不妨设a,b,c共点P,则P?d,故P,d确定一个平面α,又a,d相交,交点为Q,则Q≠P且P,Q∈α,又P,Q∈α,故a?α.同理b,c?α,即a,b,c,d 共面α.(2)任意三线不共点,则a,b,c两两相交且不共点,由(1)的证明,得a,b,c共面α,设a∩d =P,b∩d=Q,则P≠Q,由P,Q∈d且P,Q∈α,得d?α,故a,b,c,d共面α.总之,两两相交且不共点的四线共面.高╔考≒试╔题[库。
高中数学必修二1.2.1__平面的基本性质练习题
![高中数学必修二1.2.1__平面的基本性质练习题](https://img.taocdn.com/s3/m/54f8f32f2b160b4e777fcf0f.png)
1.2.1 平面的基本性质一、填空题1.下列命题:①书桌面是平面;②8个平面重叠起来,要比6个平面重叠起来厚;③有一个平面的长是50 m,宽是20 m;④平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.其中正确命题的个数为________.2.若点M在直线b上,b在平面β内,则M、b、β之间的关系用符号可记作____________.3.已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有________条.4.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是__________(填序号).①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β;②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN;③A∈α,A∈β?α∩β=A;④A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线?α、β重合.5.空间中可以确定一个平面的条件是________.(填序号)①两条直线;②一点和一直线;③一个三角形;④三个点.6.空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有__________个.7.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上.(1)AD/∈α,a?α________.(2)α∩β=a,PD/∈α且PD/∈β________.(3)a?α,a∩α=A________.(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________.8.已知α∩β=m,a?α,b?β,a∩b=A,则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________.9.下列四个命题:①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点;②经过空间任意三点有且只有一个平面;③过两平行直线有且只有一个平面;④在空间两两相交的三条直线必共面.其中正确命题的序号是________.二、解答题10.如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.11.如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:E,F,G,H必在同一直线上.能力提升12.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明三条直线必相交于一点.13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:(1)C1、O、M三点共线;(2)E、C、D1、F四点共面;(3)CE、D1F、DA三线共点.1.1解析由平面的概念,它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确.2.M∈b?β3.1,2或34.③解析∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β=A的写法错误.5.③6.1或4解析四点共面时有1个平面,四点不共面时有4个平面.7.(1)C(2)D(3)A(4)B8.A∈m解析因为α∩β=m,A∈a?α,所以A∈α,同理A∈β,故A在α与β的交线m上.9.③10.解很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上,由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.∵E∈AC,AC?平面SAC,∴E∈平面SAC.同理,可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连结SE,直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.11.证明因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面AC,AD∩α=H,因为H∈平面AC,H∈α,由公理3可知,H必在平面AC与平面α的交线上.同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上.12.证明∵l1?β,l2?β,l1l2,∴l1∩l2交于一点,记交点为P.∵P∈l1?β,P∈l2?γ,∴P∈β∩γ=l3,∴l1,l2,l3交于一点.13.证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1,又C1、O、M∈平面A1ACC1,由公理3知,点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,∴C1、O、M三点共线.(2)∵E,F分别是AB,A1A的中点,∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面.(3)由(2)可知:四点E、C、D1、F共面.又∵EF=12A1B.∴D1F,CE为相交直线,记交点为P.则P∈D1F?平面ADD1A1,P∈CE?平面ADCB.∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB=AD.∴CE、D1F、DA三线共点.。
人教B版数学必修2同步练习-1.2.1 平面的基本性质与推论 Word版含答案
![人教B版数学必修2同步练习-1.2.1 平面的基本性质与推论 Word版含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/60407cb35ef7ba0d4b733b2a.png)
1.下列图形中,满足αβ=AB,aα,bβ,a∥AB,b∥AB的图形是( ).2.平面αβ=l,点A∈α,点B∈α,且C l,但C∈β,又AB l=R,如图,过A、B、C三点确定的平面为γ,则βγ是( ).A.直线AC B.直线BCC.直线CR D.直线AR3.下列四种叙述:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点必共面;④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确说法的序号是( ).A.②③④B.②③C.①②③D.①③4.如果平面α和平面β有三个公共点A、B、C,则平面α和β的位置关系为( ).A.平面α和平面β只能重合B.平面α和平面β只能交于过A、B、C三点的一条直线C.如果点A、B、C不共线,则平面α和平面β重合,若A、B、C三点共线,则平面α与平面β重合或相交于直线ABD.以上说法均不正确5.两条异面直线在同一个平面内的俯视图有可能是__________________________.6.下列命题:①空间三点确定一个平面;②有3个公共点的两个平面必重合;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④等腰三角形是平面图形;⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;⑥垂直于同一直线的两直线平行;⑦一条直线和两平行线中的一条相交.也必和另一条相交.其中正确的命题是________.7.求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点.8.如图所示,△ABC与△A′B′C′不在同一平面内,如果三条直线AA′、BB′、CC′两两相交.证明:三条直线AA′、BB′、CC′共点.9.正方体是常见的并且重要的多面体,对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图所示,在正方体AC1中,E、F、G、H分别是所在棱的中点,请思考并回答下列问题:(1)直线EF、GH、DC能交于一点吗?(2)若E、F、G、H四点共面,怎样才能画出过四点E、F、G、H的平面与正方体的截面?(3)若正方体的棱长为a,那么(2)中的截面面积是多少?参考答案1.答案:C2.答案:C解析:由已知条件可知,Cγ,A、Bγ,所以,ABγ.而R AB,所以Rγ.又因为C、Rβ,故CR=γβ .3.答案:B解析:四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以①错;对于④,三点不共线但四点可以共面.4.答案:C解析:应分A、B、C三点共线与不共线两种情况讨论.5.答案:两条相交直线,如图(1);两条平行直线,如图(2);一个点和一条直线,如图(3)解析:要判断两异面直线在同一平面内的俯视图的情况,即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形,上图只是列举其中的一些可能情况,比如说图(1)俯视图是两条相交直线的情形.6.答案:④解析:由平面的基本性质2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题①错,②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时).③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形由平面的基本性质2的推论及平面的基本性质1可知必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,直线BB ′⊥AB ,BB ′⊥BC ,但AB 与BC 不平行,所以⑥错;AB ∥CD ,BB ′AB =B ,但BB ′与CD 不相交,所以⑦错.7.解:已知:如图所示,平面α、β、γ满足αβ=a ,βγ=b ,γα=c ,a b =A .求证:A ∈c .证明:∵a b =A ,∴A a ,A b ,又αβ=a ,βγ=b ,∴aα,b γ.∴A α,A γ.又αγ=c ,∴A c .8.证明:∵AA ′、BB ′、CC ′两两相交,∴过AA ′、BB ′确定平面α,过BB ′、CC ′确定平面β,过AA ′、CC ′确定平面γ.设AA ′BB ′=P ,则P AA ′,P BB ′,∴P γ,P β.又βγ=CC ′,∴P CC ′,故三条直线AA ′、BB ′、CC ′共点.9.解:(1)如图,能交于一点.理由如下:因为E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点,易得E 、F ∈平面ABCD 且EF 与CD 相交,设交点为P .由△EBF ≌△PCF ,可得PC =BE =12AB . 同理,GH 与CD 相交,设交点为P 1,同样可得P 1C =C 1G =12C 1D 1=12AB . 所以P 1与P 重合,因此直线EF 、GH 、DC 能交于一点.(2)如图,延长HG 、DD 1,相交于点R ,延长FE 交DA 的延长线于Q ,则点R 、Q 是截面与侧面AD 1的公共点,连接RQ 与A 1D 1、A 1A 分别交于点M 、T ,连接GM 、TE ,可得截面与正方体各面的交线分别为EF 、FH 、HG 、GM 、MT 、TE .截面如下图的阴影部分所示.(3)截面为正六边形,其面积为226).=。
人教B版高中数学必修2-1.2基础练习-平面的基本性质及推论
![人教B版高中数学必修2-1.2基础练习-平面的基本性质及推论](https://img.taocdn.com/s3/m/d5739cfdbb4cf7ec4afed07c.png)
1.2.1 平面的基本性质及推论1.在空间,下列条件可以确定一个平面的是【 】A.两条直线B.一点和一条直线C.一个三角形D.三个点2.已知命题“直线l 上两点A ,B 在平面α内”,那么与此命题不等价的命题是【 】A.α⊂l ;B.平面α通过l ;C.直线l 上只有这两个点在α内;D.直线l 上所以点都在α内.3.下列说法正确的是【 】A.线段AB 在平面α内,直线AB 不全在α内B.平面α和β只有一个公共点C. 和同一条直线相交的两条直线一定在同一平面内D. 一个圆周上的三点可以确定一个平面4.过四条两两平行的直线最多可确定的平面个数是【 】A.3B.4C.5D.65.E ,F ,G ,H 是三棱锥A-BCD 棱AB ,AD ,CD ,CB 上的点,延长EF ,HG 交于P ,则点P 【 】A. 一定在直线AC 上B. 一定在直线BD 上C. 只在平面BCD 内D. 只在平面ABD 内6.点B 在直线l 上,而直线l 在平面β内,可记为【 】A.β∈⊂l l B ,B.β⊂∈l l B ,C.β⊂⊂l l B ,D.β∈∈l l B ,7.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是【 】A. 异面B. 平行C. 相交D. 以上都有可能8.要使直线a //平面α,直线a 必须与平面α内的【 】A.一条直线不相交B.两条相交直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交9.若三个平面两两相交,则它们交线的条数是【 】A.1B.2C.3D.1或310.若直线a 不平行于平面α,且α⊄a ,则下列结论成立的是【 】A.α内所有直线与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一的直线与a 平行D.α内的直线与a 都相交11.a //b ,且a 与平面α相交,那么直线b 与平面α的位置关系是【 】A.必相交B.有可能平行C.相交或平行D.相交或在平面内12.直线a //平面β,直线β⊂b ,则a 与b 的关系是【 】A.相交B.平行C.异面D.平行或异面13.过平面外一点,可作这个平面的平行线的条数是【 】A.1条B.2条C.无数条D.很多但有限14.如果直线a //直线b ,且a //平面α,则b 与α的位置关系是【 】A.相交B.b //αC.α⊂bD.b //α或α⊂b15.下列命题中正确命题的个数为【 】 ①直线l 平行于平面α内的无数条直线,则l //α;②若直线a 在平面α外,则a //α;③若直线a //b ,直线α⊂b ,则a //α;④若直线a //b ,⊂b 平面α,那么直线a 就平行于平面α内无数条直线.A.1B.2C.3D.416.两条异面直线指的是①不能在任何一平面内的两条直线;②分别位于两个不同平面的两条直线;③在空间不相交的两条直线;④有一条在平面内,另一条在平面外的两条直线;⑤既不平行又不相交的两条直线,其中正确的个数是【 】A.1个B.2个C.3个D.4个17.正方体1111D C B A ABCD -中,与对角线1AC 异面的棱有【 】A.3条B.4条C.6条D.8条18.若C B A ABC '''=∠,且B A AB ''=,BA 与A B ''的方向又相同,则下列结论正确的是【 】A.C B BC ''//且方向相同B.C B BC ''//且方向不相同C.BC 与C B ''不一定平行D.BC 与C B ''不平行19.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是【 】A.异面B.相交C.平行D.异面或相交。
2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)练习:第1章1.2-1.2.1平面的基本性质
![2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)练习:第1章1.2-1.2.1平面的基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/4235b092dc88d0d233d4b14e852458fb770b38b4.png)
第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质A组基础巩固1.下列有关平面的说法正确的是()A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.安静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面解析:我们用平行四边形表示平面,但不能说平行四边形就是一个平面,故A项不正确;平面图形和平面是两个概念,平面图形是有大小的,而平面无法度量,故B项不正确;太平洋面是有边界的,不是无限延展的,故C项不正确;在需要时,除用平行四边形表示平面外,还可用三角形、梯形、圆等来表示平面.答案:D2.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=AB.α∩β=m,n∈a,m∩n=AC.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂nD.α∩β=m,n∈a,A∈m,A∈n解析:α与β交于m,n在α内,m与n交于A.答案:A3.下列说法正确的是()A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面解析:对于A,若三点共线,则错误;对于B项,若两条直线既不平行,也不相交,则错误;对于C项,空间四边形就不只确定一个平面.答案:D4.一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A.1个或3个B.1个或4个C.1个,3个或4个D.1个,2个或4个解析:若三点在同始终线上,且与已知直线平行或相交,或该直线在由该三点确定的平面内,则均确定1个平面;若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面;若三点不共线,且该直线在由该三点确定的平面外,则可确定4个平面.答案:C5.如图所示,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过点________.解析:依据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.答案:C和D6.空间任意四点可以确定________个平面.解析:若四点共线,可确定很多个平面;若四点共面不共线,可确定一个平面;若四点不共面,可确定四个平面.答案:1个或4个或很多7.下列命题说法正确的是________(填序号).①空间中两两相交的三条直线确定一个平面;②一条直线和一个点能确定一个平面;③梯形肯定是平面图形.解析:依据三个公理及推论知①②均不正确.答案:③8.下列各图的正方体中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上).解析:①中PS∥RQ,③中SR∥PQ,由推论3知四点共面.答案:①③9.点A在直线l上但不在平面α内,则l与α的公共点有__________个.答案:0或110.依据下列条件,画出图形:平面α∩平面β=AB,直线CD⊂α,CD∥AB,E∈CD,直线EF∩β=F,F∉AB.解:由题意画出图形如图所示.B级力量提升11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E,则B,E,D1三点的关系是________________________.解析:连接AC、A1C1、AC1,(图略)则E为A1C与AC1的交点,故E为AC1的中点.又ABC1D1为平行四边形,所以B,E,D1三点共线.答案:共线12.下列叙述中,正确的是________(填序号).①若点P在直线l上,点P在直线m上,点P在直线n上,则l,m,n共面;②若点P在直线l上,点P在直线m上,则l,m共面;③若点P不在直线l上,点P不在直线m上,点P不在直线n上,则l,m,n不共面;④若点P不在直线l上,点P不在直线m上,则l,m不共面;⑤若点P在直线l上,点P不在直线m上,则l,m不共面.解析:由于P∈l,P∈m,所以l∩m=P.由推论2知,l,m共面.答案:②13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.证明:由于MN∩EF=Q,所以Q∈直线MN,Q∈直线EF.又由于M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以M,N⊂平面ABCD.所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理,可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又由于平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,所以Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.14.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,AB的中点,求证:D1E,CF,DA三线共点.证明:如图所示,连接EF,A1B,D1C,由于E,F为AA1,AB的中点,所以EF綊12A1B.又由于A1B綊D1C,所以EF綊12D1C.故直线D1E,CF在同一个平面内,且D1E,CF不平行,则D1E,CF必相交于一点,设该点为M.又由于M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1,所以M∈AD,即D1E、CF、DA三线共点.15.如图所示,在四周体ABCD中,E,G,H,F分别为BC,AB,AD,CD 上的点,EG∥HF,且HF<EG.求证:EF,GH,BD交于一点.证明:由于EG∥HF,所以E,F,H,G四点共面,又HF<EG,所以四边形EFHG是一个梯形.如图所示,延长GH和EF交于一点O,所以a,b,c,l四线共面.由于GH在平面ABD内,EF在平面BCD内,所以点O既在平面ABD内,又在平面BCD内.所以点O在这两个平面的交线上,而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条.所以点O在直线BD上.所以GH和EF的交点在BD上,即EF,GH,BD交于一点.16.已知:如图所示,a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c,l四线共面.证明:由于a∥b,所以a,b确定一个平面α.由于A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.所以AB⊂α,即l⊂α.同理,由b∥c,得b,c确定一个平面β,可证l⊂β.所以l,b⊂α,l,b⊂β.由于l∩b=B,所以l,b只能确定一个平面.所以α与β重合.故c在平面α内.。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-1
![高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-1](https://img.taocdn.com/s3/m/1335ce8a71fe910ef12df863.png)
1.2.1一、选择题1.下列命题中,正确命题的个数为()①平面的基本性质1可用集合符号叙述为:若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则必有l∈α;②四边形的两条对角线必相交于一点;③用平行四边形表示的平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线;④平行四边形是平面图形.A.1个B.2个C.3个D.4个[答案] A[解析]①中,l∈α不对,应为l⊂α;②中,当四边形的四个顶点不共面时,两条对角线不能相交;③中,平面是无限延展的,用平行四边形表示平面,平行四边形的边并不表示平面的边界线;④平行四边形是平面图形(原理:两条平行直线确定一个平面),故只有④正确.2.若三条直线两两相交,则由这三条直线所确定的平面的个数是()A.1个B.2个C.3个D.1个或3个[答案] D[解析]如图(1)所示的三条两两相交直线确定一个平面;如图(2)所示的三条两两相交直线确定三个平面.3.已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面,那么这四个点中()A.必定只有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线[答案] B[解析]四点A、B、C、D确定惟一一个平面,则AB与CD相交或平行,AB∥CD时,选项A、C错,AB与CD相交于点A时,D错.4.文字语言叙述“平面内有一条直线,则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是()A.⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈αC.⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D.⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α [答案] B[解析] 点与线或面之间的关系是元素与集合的关系,用“∈”表示,线与面之间的关系是集合与集合的关系,用“⊂”表示.5.下列说法正确的是( )A .a ⊂α,b ⊂β,则a 与b 是异面直线B .a 与b 异面,b 与c 异面,则a 与c 异面C .a ,b 不同在平面α内,则a 与b 异面D .a ,b 不同在任何一个平面内,则a 与b 异面 [答案] D[解析] 如图所示,a ⊂α,b ⊂β,但a ∥b ,故A 错,C 错; 如图所示正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1与BC 异面,BC 与DD 1异面,但AA ′与DD 1平行,故B 错,故只有D 选项正确.6.若直线l 上有两个点在平面α外,则( ) A .直线l 上至少有一个点在平面α内 B .直线l 上有无穷多个点在平面α内 C .直线l 上所有点都在平面α外 D .直线l 上至多有一个点在平面α内 [答案] D[解析] 由已知得直线l ⊄α,故直线l 上至多有一个点在平面α内. 7.下面四个条件中,只能确定一个平面的条件是( ) A .空间任意三点B .空间两条直线C.两条平行线D.一条直线和一个点[答案] C[解析]由平面的基本性质可知选C.8.如图所示,α∩β=l,A∈α,C∈β,C∉l,又AB∩l=R,设A、B、C三点确定的平面为γ,则β∩γ是()A.直线AC B.直线BCC.直线CR D.以上皆错[答案] C[解析]∵C∈β,C∈γ,∴C在平面β与γ的交线上,又R∈AB,AB⊂α,∴R∈γ,又R∈β,∴R在平面β与γ的交线上,∴β∩γ=CR.二、填空题9.四条线段顺次首尾相连,它们最多可以确定平面的个数为________.[答案] 410.如图所示,用集合符号表示下列图形中元素的位置关系.(1)图①可以用符号语言表示为__________________________________________________________;(2)图②可以用符号语言表示为__________________________________________________________.[答案](1)α∩β=l,m⊂α,n⊂β,l∩n=P,m∥l(2)α∩β=l,m∩α=A,m∩β=B11.直线a及不在直线a上的不共线三点,可以确定平面的个数是________.[答案]1个、3个或4个12.如图,在正方体ABCD-EFMN中,①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是________.[答案]②④[解析]观察图形,根据异面直线的定义可知,BM与ED是异面直线,CN与BM是异面直线,CN与BE不是异面直线,DN与BM是异面直线,故①、③错误,②、④正确.即正确命题的序号是②、④.三、解答题13.△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1、BB1、CC1两两相交,证明:三条直线AA1、BB1、CC1交于一点.[解析]由推论2,可设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α,β,γ,设AA1∩BB1=P,则P∈AA1,P∈BB1.∴P∈β,P∈α,又因α∩β=CC1,则P∈CC1(公理2),于是AA1、BB1、CC1相交于点P,故三条直线AA1、BB1、CC1共点.点评:空间中证三线共点有如下两种方法:(1)先确定两条直线交于一点,再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点,第三条直线是这两个平面的交线,由公理2,该点在它们的交线上,从而得三线共点.(2)先将其中一条直线看做是某两个平面的交线,证明该交线与另两直线各交于一点,再证这两点重合.从而得三线共点.14.如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为CC1和AA1的中点,画出平面BED1F和平面ABCD的交线.[解析]如图所示,在平面ADD1A1内延长D1F与DA,交于一点P,则P∈平面BED1F,∵DA⊂平面ABCD,∴P∈平面ABCD,∴P 是平面ABCD 与平面BED 1F 的一个公共点, 又B 是两平面的一个公共点, ∴PB 为两平面的交线.15.已知:如图,空间四边形ABCD 中,E 、H 分别为BC 、AB 的中点,F 在CD 上,G 在AD 上,且有DF ∶FC =DG ∶GA =2∶3,求证:直线EF 、BD 、HG 交于一点.[解析] 连结EH 、AC 、FG . ∵E 、H 分别为BC 、AB 的中点, ∴EH 綊12AC ,∵DF ∶FC =2∶3,DG ∶GA =2∶3,∴FG ∥AC ,FG =25AC ,∴EH ∥FG 且FH ≠FG ,∴E 、F 、G 、H 四点共面且EF 与GH 不平行. ∴EF 与GH 相交.设EF ∩GH =O ,则O ∈GH ,O ∈EF , ∵GH ⊂平面ABD ,EF ⊂平面BCD , ∴O ∈平面ABD ,O ∈平面BCD .∴平面ABD ∩平面BCD =BD ,∴O ∈BD , ∴即直线EF 、BD 、HG 交于一点.16.如图所示,已知直线a 与b 不共面,直线c ∩a =M ,直线b ∩c =N ,又a ∩平面α=A ,b ∩平面α=B ,c ∩平面α=C ,求证:A 、B 、C 三点不共面.[解析]假设A、B、C三点共线,即都在直线l上,∵A、B、C∈α,∴l⊂α.∵c∩l=C,∴c与l可确定一个平面β.∵c∩a=M,∴M∈β.又∵A∈β,∴a⊂β,同理b⊂β,∴直线a,b共面,这与已知a,b不共面矛盾.因此,假设不成立,即A、B、C三点不共线.。
1.2.1平面的基本性质
![1.2.1平面的基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/2f10812d58fb770bf78a5562.png)
例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出 由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面 与长方体 表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知:AB∩AC=A, AB∩BC=B, AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3.根据下列符号表示的语句,说出有关 点、线、面的关系,并画出图形.
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a 已知:点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面, 使得a ,b .
推论2的证明
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 已知:直线a与b交与A 求证:经过直线a、b有且只有一个平面α。 【证明】(存在性)如图所示,在直线a,b上分别 取不同于点A的点C、B,得不在同一直线上的三 点A、B、C,过这三个点有且只有一个平面α(公 理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a,b的平面。
B
A
C
求证:直线AB,BC,AC共面. 证法一: 因为AB∩AB=A 所以直线AB,AC确定一个平面.(推论2) 因为B∈AB,C∈AC,所以B∈,C∈, 故BC.(公理1) 因此直线AB,BC,CA共面.
新苏教版高中数学必修二同步练习:1.2.1《平面的基本性质(1)》(含答案)
![新苏教版高中数学必修二同步练习:1.2.1《平面的基本性质(1)》(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/edc6d476561252d380eb6e4e.png)
随堂练习:直线与平面平行1.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面有____________个.2.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中:(1)与直线AB平行的平面是______________;(2)与直线AA1平行的平面是_______________________________;(3)与直线AD平行的平面是______________.4.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、C1D1 的中点.求证:EF∥平面BDD1B1.5.设m、n是平面α外的两条直线,给出三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题,写出你认为正确的一个命题:______________.(用序号表示)6.如图所示,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=________.7.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1.0,1或无数2.123.(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 14.证明 取D 1B 1的中点O ,连结OF ,OB.∵OF 綊12B 1C 1, BE 綊12B 1C 1, ∴OF 綊BE.∴四边形OFEB 是平行四边形,∴EF ∥BO.∵EF ⊄平面BDD 1B 1,BO ⊂平面BDD 1B 1,∴EF ∥平面BDD 1B 1.5.①②⇒③(或①③⇒②)6.m ∶n7.证明 方法一 如图(1)所示,作PM ∥AB 交BE 于M ,作QN ∥AB 交BC 于N ,连结MN.∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ,∴AE =BD.又∵AP =DQ ,∴PE =QB.又∵PM ∥AB ∥QN ,∴PM AB =PE AE ,QN DC =BQ BD.∴PM 綊QN. ∴四边形PQNM 是平行四边形.∴PQ ∥MN.又MN ⊂平面BCE ,PQ ⊄平面BCE ,∴PQ ∥平面BCE.方法二 如图(2)所示,连结AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ,连结EK.∵KB ∥AD ,∴DQ BQ =AQ QK. ∵AP =DQ ,AE =BD ,∴BQ =PE.∴DQ BQ =AP PE .∴AQ QK =AP PE.∴PQ ∥EK.又PQ⊄平面BCE,EK⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.。
高一数学必修二2.1平面性质练习题(解析版)
![高一数学必修二2.1平面性质练习题(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/5b28ee0352ea551810a68741.png)
2.1.1 平面的性质一、选择题1.若点N 在直线a 上,直线a 在平面α内,则点N ,直线a 与平面α之间的关系可记作( )A .N a α∈∈B .N a α∈⊂C .N a α⊂⊂D .N a α⊂∈2. 空间不共线的四点,可以确定平面的个数为 ( )A .0B .1C .1或4D . 无法确定3. 空间四点A B C D 、、、共面但不共线,则下面结论成立的是 ( )A . 四点中必有三点共线B . 四点中必有三点不共线C .AB BC CD DA 、、、四条直线中总有两条平行 D . 直线AB 与CD 必相交4. 空间不重合的三个平面可以把空间分成 ( )A .4或6或7个部分B .4或6或7或8个部分C .4或7或8个部分D .6或7或8个部分5.如果,,,,B b A a b a =⋂=⋂⊂⊂ αα那么下列关系成立的是 ( )A .α⊂B .α∉C .A =⋂αD .B =⋂α6.空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为 ( )A .7个B .6个C . 5个D .4个7.一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是 ( )A . 1或3个B .1或4个C .1个、3个或4个D . 1个、2个或4个8.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是 ( )A .1个B .1个或2个C .1个或3个D .3个二、填空题9.直线AB AD α⊂、,直线CB CD β⊂、,点E AB ∈,点F BC ∈,点G CD ∈,点H DA ∈,若HE FG M =直线直线,则点M 必在直线______上.10.正方体1111ABCD A BC D -中,对角线1BD 与过11 A D C 、、的平面交于点M ,则1:___________.BM MD = 11.如图,在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中,M N 、分别为111AA C D 、的中点, 过D M N 、、三点的平面与直线11A B 交于点P ,则线段1PB 的长为__________.三、解答题12.空间四边形ABCD 中,H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,上的点,已知EF 与HG 交于点Q ,求证:AC HG EF ,,三线共点.13.在正方体1111D C B A ABCD -中,设C A 1与平面D ABC 1交于Q ,求证:1,,D Q B 三点共线.14.在正方体1111D C B A ABCD -中,(1)作出平面B C A 11与平面ABCD 的交线;(2)若E 是线段1BB 的中点,作出平面E C A11与平面ABCD 的交线; (3)直线1C A 交平面11D ABC 于点M ,试作出点M 的位置.答案2.1.1 平面1.C2.D3.D4.C5.B6.C7.(1)βα∉∈A A ,(2),,,,a B a A B A ∈∈∉∈αα (3)a =βα8.4 9.无数 10.1或4AB CDE F GH Q11.(1)错误 (2)正确 (3)错误 (4)正确 (5)正确 12.111D ABC D 平面∈ ,,111CB D A D 平面∈11D ABC B 平面∈,CB D A B 11平面∈,11D ABC 平面∴平面CB D A 11=1BDQ D ABC C A =111平面 且BC D A C A 111平面⊂ BC D A Q 11平面∈∴,而11D ABC Q 平面∈三点共线11,,,D Q B BD Q ∴∈∴13.略14.(1)分别连接C D B A EF 11,,四点共面确定一个平面与是平行四边形四边形又且的中点和分别是C D F E CD EF CD EF CD B A BCD A BCC BD A B A EF B A EF AA AB FE 11111111111111,,//,//////21//,∴∴∴∴===∴(2)三线共点平面的公共点,而平面与平面是平面即平面,平面又平面平面设相交和直线DA F D CE AD P ADD D AA ABCD D D AA ABCD P ABCD P EC P ABCD CE D D AA P FD P D D AA F D P CEF D CE F D CD EF ,,,,,,,,21//11111111111111∴∈∴=∈∴∈⊂∈∴∈⊂=∴=。
高中数学人教B版必修2练习:1.2.1 平面的基本性质与推论 课堂强化
![高中数学人教B版必修2练习:1.2.1 平面的基本性质与推论 课堂强化](https://img.taocdn.com/s3/m/d0b49c9c4b35eefdc9d3331b.png)
1.点P在直线l上,而直线l在平面α内,用符号表示为() A.P⊂l⊂αB.P∈l∈αC.P⊂l∈αD.P∈l⊂α解析:点P在直线l上,P∈l,l在平面α内,l⊂α.答案:D2.空间可以确定一个平面的条件是() A.两条直线B.一点和一直线C.一个三角形D.三个点解析:因为三角形的三个顶点不在同一条直线上,所以可以确定一个平面;A必须是两条相交或平行直线;B必须是点不在直线上;D必须是三点不在同一条直线上.答案:C3.若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则() A.a∥c B.a、c是异面直线C.a、c相交D.a、c或平行或相交或异面解析:异面直线没有传递性,a,c都与b异面时,a,c既可平行,相交,也可异面.答案:D4.用符号语言表示下列语句:(1)点A在面α内但在β外:________.(2)直线a经过面α内一点A,α外一点B:________.(3)直线a在面α内也在面β内:________.答案:(1)A∈α,A∉β(2)A∈a,A∈α,B∉α,B∈a(3)α∩β=a5.若A∈α,B∉α,C∉α,则平面ABC与平面α的关系是________,依据为__________________.解析:∵A∈α,∴面ABC与α一定相交,依据是若两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过该点的公共直线,即基本性质3.答案:相交基本性质36.如图,E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点,且直线EH与直线FG交于点O.求证:B、D、O三点共线.证明:∵E∈AB,H∈AD,∴E∈平面ABD,H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG=O,∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD,即O∈平面ABD∩平面BCD,∴O∈BD,即B、D、O三点共线.。
1.2.1 平面的基本性质(2)
![1.2.1 平面的基本性质(2)](https://img.taocdn.com/s3/m/b91b05afed630b1c58eeb577.png)
D1 A1
D AQ
C1 解:(1)
D1
A1 B1
P C
D
B
AQ
C1
B1 P
C B
例 1 如图,长方体 ABCD A1B1C1D1中, P,Q 分别是 BB1 , AB 中点.
(1)画出由 A1 , C1 , P 三点所确定的平面 与长方体表面的交线;
(2)画出由 D1,C,Q 三点所确定的平面 与长方体表面的交线.
(空间若干点或直线都在同一平面内,称它们“共面”)
D
证 明 ( 法 一 ): Q D l , l 与 D 确 定 一 个 平 面 ,
Q Al,l , A ,Q D , AD , 同理 BD ,CD ,直线 AD, BD,CD 共面.
l A BC
( 法 二 ) Q AD I BD D , AD, BD 确 定 一 个 平 面 , A , B , AB 即l , 又 Q BD I CD D , BD,CD 确 定 一 个 平 面 , B ,C , BC ,即l ,由推论 1 过直线 l 与点 D 有且 只有一个平面,与 重合,直线 AD, BD,CD 共面.
1.2.1 平面的基本性质(2)
苏教版 数学必修2
思考:
S
如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,
S是直角梯形ABDC所在平面外一点,如何画出平面 SBD和平面SAC的交线?并说明理由.
A
B
解: S
C
D
S
S
A
B
A
B
A
B
C
D
E
(1)
C
D
E
(2)
C
D
E
(3)
1.2.1平面的基本性质 作业 高中数学 必修二 苏教版 含答案
![1.2.1平面的基本性质 作业 高中数学 必修二 苏教版 含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/a706d9e0770bf78a65295438.png)
1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下面判断中正确的是( )A.任意三点确定一个平面B.两条垂直的直线确定一个平面C.一条直线和任一点确定一个平面有素D.与一条直线都相交的三条平行直线共面思路解析:本题只要紧紧围绕着确定平面的条件来逐一判断即可,并且注意全面地考虑问题,从而得到正确的结论.由确定平面的条件不难得知,选D.答案:D2.若两个不重合的平面有公共点,则公共点的个数是( )A.1个B.2个C.1个或无数个D.无数个且在同一条直线上思路解析:利用公理2可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.答案:D3.如图1-2-1所示,请你用符号表示以下各叙述:图1-2-1(1)点A、B在直线a上_____________;(2)直线a在平面α____________内,点C在平面α内____________;(3)点D不在平面α____________内,直线b不在平面α____________内.思路解析:要熟练掌握集合中的符号在表示空间中点、直线、平面的位置关系时的不同意义. 答案:(1)A∈a,B∈a (2)a⊂α C∈a (3)D∉αbα10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.下列说法正确的是( )A.立体图形中的虚线是辅助线B.一张白纸是一个平面C.一个平面将空间分成两个部分D.三点确定一个平面思路解析:立体图形中的虚线和平面几何中不一样,它表示肉眼看不见的线,因此A是错误的;平面具有无限延展性,所以B是错误的;只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面,如果三点共线则可以确定无数个平面,因此D也是错误的.答案:C2.与“直线l上两点A、B在平面α内”含义不同的是( )A.l⊂αB.平面α过直线lC.直线l上只有这两个点在α内D.直线l上所有点都在α内思路解析:据平面的基本性质,一直线上有两点在一个平面内,则这条直线上所有点都在该面内.故A、B、D均与此等价,只有C违背.答案:C3.若a⊂α,b⊂β,α∩β=c,a∩b=M,则( )A.M∈cB.M∉cC.M⊂cD.M c思路解析:注意点、线、面关系的符号表示,结合公理2可知M⊂c.答案:A4.若空间三个平面两两相交,则它们的交线条数是( )A.1或2B.2或3C.1或3D.1或2或3思路解析:若三个平面经过同一直线,则有1条交线;若三个平面不过同一直线,则有3条交线(共点或互相平行).答案:C30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.下列说法正确的是( )A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面必重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形是平面图形思路解析:空间四边形不是平面图形,故A说法不正确;若三个公共点在一条直线上,则两个平面不一定重合,B也是错误的;C中两两相交的三条直线可能会经过同一点,此时三条直线不一定在同一个平面内,因此选D.答案:D2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形思路解析:本题主要考查同学们的空间想象能力,作法如下:如上图所示,延长PQ分别交CB、CD的延长线于M、N,连结MR分别交BB1于E,交CC1的延长线于H,连结NH,交D1D、D1C1于F、G,则六边形QPERGF为截面图形.答案:D3.由四条平行直线最多可以确定( )A.两个平面B.四个平面C.五个平面D.六个平面思路解析:本题从确定平面的条件来考虑即可,要使四条平行直线确定平面最多,只有当这四条直线中任意两条所确定的平面互不相同时即为最多,从而得到结果.由确定平面的条件知由四条平行直线最多可以确定六个平面,选D.答案:D4.图1-2-2是一桌子放倒时的示意图,现有足够长的绳子,如何利用它简便地判断桌子的四条腿的底端是否在同一平面内?请将你的判断方法画在图上,并说出判断的重要依据是什么?图1-2-2思路解析:判断四条腿的底端是否在同一平面内,即判断四点共面,可依据确定平面的条件,且要具有可操作性.答案:操作方法:用两根绳子沿四条腿的对角底端拉直,若绳子相交,则说明四点共面,否则不共面.原理是:两相交直线确定一个平面.5.两个平面把空间分成几个部分?三个平面呢?思路解析:两个平面划分空间的情况如下图所示:三个平面划分空间的情况比较复杂,可自己设计模型探索.答案:两个平面将空间分成3或4部分,三个平面可以把空间分成4或6或7或8部分. 6.分别根据下列条件画出相应的图形:(1)P∈α,Q∉α,P∈l,Q∈l;(2)α∩β=l,△ABC顶点A∈l,B∈α,B∉l,C∈β,C∉l.答案:符合条件的图形如下图所示.7.如图1-2-3所示,已知A、B、C是平面α外不共线的三点,并且直线AB、BC、AC分别交α于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线.图1-2-3思路解析:欲证P、Q、R三点共线,只需证P、Q、R都在面ABC和平面α的交线上,即只需证P、Q、R为两个平面的公共点.证明点共线问题,一般转化为证明这些点是某两平面的公共点,这样可据公理2证明这些点在两平面的交线上.证明:∵AB∩α=P,AB⊂面ABC,∴P∈面ABC,P∈α.∴P在平面ABC与平面α的交线上.同理,可证Q、R也在平面ABC与α的交线上.∴P、Q、R三点共线.8.如图1-2-4,α∩β=l,梯形ABCD的两底分别为AD、BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证:AB 与CD的交点在l上.图1-2-4思路解析:解决点共线和直线共点问题,是平面的性质的应用.直线共点问题的解决步骤:一先说明直线相交,二证明交点也在其他直线上,可以利用公理2进行证明,如本题.证明:因为梯形是平面图形,它的两腰AB与CD不平行,故只能相交,假设交点为M,则M∈AB,又AB⊂α,则M∈α,同理,M∈β,则M∈(α∩β),即M∈l.因此AB与CD的交点在l上.9.求证:若两条平行直线都和同一条直线相交,则这三条直线共面.思路解析:文字命题要注意先书写已知、求证,而后进行证明.本题要求证明三线共面,通常可以先由两条直线确定一个平面,再证其他直线也在这个平面内.答案:如上图,已知直线a、b、l,且a∥b,l∩a=A,l∩b=B,求证:a、b、l共面.证明:∵a∥b,∴直线a、b确定一个平面,设为α.∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈a,B∈b.∴A∈α,B∈α.又∵A∈l,B∈l,∴l⊂α.∴a、b、l共面.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质
![高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/1c089d4fccbff121dc36831c.png)
公共点个数 有且只有一个 没有 没有
特别提醒
若直线 a,b 是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过 a,b 两条 直线.例如,如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱 AB 和 B1C1 所在的直线 既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线.要注意 分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异 面.
.
探究一
探究二
探究三
探究四
解析:图(1)可以用几何符号表示为 α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 AB,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,直线 a 平行于直线 AB,直线 b 平行于直线 AB. 图(2)可以用几何符号表示为 α∩β=MN,△ABC 的三个顶点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 MN,△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上,点 B 在 α 内但不在直线 MN 上,点 C 在平面 β 内但不在直线 MN 上. 答案:α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB α∩β=MN,△ABC 的三个顶 点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN
(2)在“A∈α,A∉ α,l⊂ α,l⊄ α”中“A”视为平面 α(集合)内的点(元素),直 线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集.明确这一点,才能正确使用集合符号.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系.
图(1)可以用几何符号表示为
.
图(2)可以用几何符号表示为
经过不在同一条直线上的
2020-2021高二数学必修Ⅱ系列训练2:平面及其基本性质
![2020-2021高二数学必修Ⅱ系列训练2:平面及其基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/06295db6a32d7375a417808c.png)
平面及其基本性质一、选择题:1.给定四个命题:(1)一平面的面积可以等于100cm3;(2)平面是矩形或平行四边形形状;(3)铺得很平的一张白纸是一个平面;(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍,其正确的有( )A.0B.2C.3D.42.满足下列条件,平面α∩平面β=AB,直线a⊂α,直线b⊂β且a∥AB,b∥AB的图形是( )3.两个平面能把空间分成几个部分 ( )A.2或3B.3或4C.3D. 2或44.三个平面把空间分成最多或最少几个部分( )A.8;4B.7;4C.8;6D.6;45.三条直线两两相交,经过这3条直线的平面有( )A.0个B.1个C.0或1个D.3个6.空间有四个点,如果其中任意三点都不在同一直线上,A.可能有3个,也可能有2个B.可能有3个,也可能有1个C.可能有4个,也可能有3个D.可能有4个,也可能有1个二、填空题:7.(1)如果把图形比作一本打开的书,那么书内是向里还是向外 ;(2)αβ= ,ABα= ,AB与PQ .8.两两平行的三条直线最多可以确定个平面.9.直线AB、AD⊂α,直线CB、CD⊂β,点E∈AB,点F ∈BC,点G∈CD,点H∈DA,若直线EH∩直线FG=M,则点M 在上.三、解答题:10.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1,再画出平面ACD1与平BDC1的交线,并且说明理由.11.不交于同一个点的四条直线两两相交,求证:这四条直线共面.12. 已知:O1是正方形ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心,过D1、B1、A作一个截面,求证:此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.C D A 1 B 1C 1D 1必修II 系列训练2一、选择题: ADBACD二、填空题:7、(1) 里 (2)∩、PQ 、∩ 、A 、异面。
8、 3 。
9、BD三、解答题:10、AB11-----12略。
数学·必修2(苏教版)练习第1章1.2-1.2.1平面的基本性质 Word版含解析
![数学·必修2(苏教版)练习第1章1.2-1.2.1平面的基本性质 Word版含解析](https://img.taocdn.com/s3/m/ca015d732b160b4e767fcf98.png)
第章立体几何初步点、线、面之间的位置关系平面的基本性质组基础巩固.下列有关平面的说法正确的是( ).平行四边形是一个平面.任何一个平面图形都是一个平面.平静的太平洋面就是一个平面.圆和平行四边形都可以表示平面解析:我们用平行四边形表示平面,但不能说平行四边形就是一个平面,故项不正确;平面图形和平面是两个概念,平面图形是有大小的,而平面无法度量,故项不正确;太平洋面是有边界的,不是无限延展的,故项不正确;在需要时,除用平行四边形表示平面外,还可用三角形、梯形、圆等来表示平面.答案:.如图所示,用符号语言可表示为( ).α∩β=,⊂α,∩=.α∩β=,∈,∩=.α∩β=,⊂α,⊂,⊂.α∩β=,∈,∈,∈解析:α与β交于,在α内,与交于.答案:.下列说法正确的是( ).经过三点确定一个平面.两条直线确定一个平面.四边形确定一个平面.不共面的四点可以确定个平面解析:对于,若三点共线,则错误;对于项,若两条直线既不平行,也不相交,则错误;对于项,空间四边形就不只确定一个平面.答案:.一条直线和直线外的三点所确定的平面有( ).个或个.个或个.个,个或个.个,个或个解析:若三点在同一直线上,且与已知直线平行或相交,或该直线在由该三点确定的平面内,则均确定个平面;若三点有两点连线和已知直线平行时可确定个平面;若三点不共线,且该直线在由该三点确定的平面外,则可确定个平面.答案:.如图所示,平面α∩平面β=,,∈α,∈β,∉,直线∩=,过,,三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过点.解析:根据公理判定点和点既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.答案:和.空间任意四点可以确定个平面.。
2019版高中人版B版数学必修2练习:1.2.1平面的基本性质与推论
![2019版高中人版B版数学必修2练习:1.2.1平面的基本性质与推论](https://img.taocdn.com/s3/m/c1f2c5eac850ad02de8041f1.png)
1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为( A )(A)A∈α,a?α,A?a (B)A∈α,a∈α,A?a(C)A?α,a?α,A?a (D)A∈α,a?α,A?a详细分析:点与线、面的关系用∈、?;线与面的关系用?、?.B项中, “a∈α”错;C项中“A?α”错;D项中“A?a”错.故选A.2.如图,正方体ABCDA1B1C1D1,E,F分别为棱A1B1,BB1的中点,则D1E与CF 的延长线交于一点,此点在直线( B )(A)AD上(B)B1C1上(C)A1D1上(D)BC上详细分析:由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C上,故交点在两平面的交线B1C1上.3.下列推断中,错误的是( C )(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α(B)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB(C)l?α,A∈l?A?α(D)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α,β重合详细分析:选项A即为直线l上有两点在平面内,则直线在平面内;选项B即为两平面的公共点在公共直线上;选项D为不共线的三点确定一个平面,故D也对.选C.4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,那么( A )(A)M一定在直线AC上(B)M一定在直线BD上(C)M可能在直线AC上,也可能在直线BD上(D)M既不在直线AC上,也不在直线BD上详细分析:点M一定在平面ABC与平面CDA的交线AC上.选A.5.不共线三点A,B,P且P?平面α,AP∩α=A1,BP∩α=B1,AB∩α=O,当点P在空间中变动时,定点O与动直线A1B1的位置关系是. 详细分析:由题意知平面ABP∩α=A1B1,AB∩α=O,所以O∈平面ABP,且O∈α,所以O∈A1B1.答案:O∈A1B16.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,。
1.2.1平面的基本性质
![1.2.1平面的基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/508ad2ba76a20029bd642d76.png)
点A在直线 l 上: 记为:A∈a
l
点B不在直线 l 上: 记为:B∈a A
B
(2)点与平面的位置关系:
点A在平面α内: 记为:A∈α 点B不在平面α内:记为:B∈ α
α
B A
(3)直线与直线相交:
直线 l 与直线m 相交于点O记为
lmO
(4)直线与平面的位置关系:
直线 l 在平面α内 记为 l 直线 l 不在平面α内记为 m
平的,是无限延展的,没有厚 薄的
1 平面的特征
平面是平的,无限延展的,没有厚薄
的
情境
问题:我们可以通过怎样的方式 形成平面?
通过观察,发现:平面可以看成 是一条直线沿着某一方向平移得 到的。
(2)平面可视为直线的集合,也可视 为点的集合
2 平面的表示方法
(1)图形表示
平面通常用平行四边形来表示。 当平面水平放置时,一般把水平的平面画 成锐角为450,横边长等于其邻边长2倍的 平行四边形.
数学实验3 请大家坐凳子
茶几、坐椅
公理2:过不在一条直线上的三点,有 且只有一个平面
..
B
C
.
A
A, B,C三点不共线 有且只有一个平面, 使得A, B ,C .
课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获?
知识
方法
思想
1 知识层面
1)平面的基本特征、表示方法;
2)空间中点、线、面位置关系 的图形及符号表示; 3)平面的基本性质及其用途.
②用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母 来表示,如平面ABCD或平面AC.
3.平面的基本性质 数学实验1:如果把硬纸板看作一个平面,
把你的笔看作是一条直线的话:
高一数学必修2同步训练 1.2.1 平面的基本性质
![高一数学必修2同步训练 1.2.1 平面的基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/4dd8b3c3ce2f0066f53322f0.png)
1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质一、选择题:1.以下命题正确的是( )A.三点确定一个平面B.线段AB 在平面α内,但直线AB 不在平面α内C.三条直线两两相交时不一定共面D.两个平面可以有两条公共直线2.空间有四个点,每三个点都可以确定一个平面,则这四个点可以确定的平面数为( )A .0B .4C .0或2D .1或43.空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线,则( )A .四点中必有三点共线B .四点中必有三点不共线C .AB 、BC 、CD 、DA 中必有两条互相平行D .AB 、BC 、CD 、DA 中不可能有平行线4. a 、b 、c 是空间三条直线,其中a 与b 、c 都相交,那么由这三条直线可以确定的平面个数为( )A.1B.1或3C.2或3D.1或2或35. 空间有5个点,没有四个点在同一平面内,这样的五个点最多能确定的平面的个数是( )A.3B.4C. 5D.以上答案都不对6. 如图所示,ABCD —A 1B 1C 1D 1是长方体,O 是B 1D 1的中点,直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ,则下列结论错误..的是 ( ) A. A 、M 、O 三点共线B. A 、M 、O 、A 1四点共面C. A 、O 、C 、M 四点共面D. B 、B 1、O 、M 四点共面二、填空题:7.不共面的四点可以确定 个平面.8. “已知α∩β=l ,若点P ∈α且点P ∈β,则P ∈l .”用文字语言应叙述为_____________.9. 根据图所示,写出图(1)与(2)中的元素应满足的条件:(1)对于图(1),α∩β=_______;β∩γ=_______;α∩γ=_______;A _______α;A _______β.(2)对于图(2),_______=PQ ;_______=B ;_______=C ;_______=A .10. 一个平面把空间分成 部分,两个平面把空间分成 或 部分,三个平面把空间分成 或 或 或 部分.二、解答题:11.画出如图的空间图形.12. 已知直线a ∥b ,直线m 与a,b 都相交,求证:过a,b,m 有且只有一个平面.13. 一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.14. 已知如图所示, 点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ,AD ,CB ,CD 上的点,且直线EF 和HG 交于点P ,求证:点B ,D ,P 在同一条直线上.15.正方体的棱长为4 cm ,M 、N 分别是A 1B 1和CC 1的中点,(1)画出过点D ,M ,N 的平面与平面BB 1C 1C 及平面AA 1B 1B 的两条交线,(2)设过D 、M 、N 三点的平面与B 1C 1交于P ,求PM +PN 的值.拓展创新——练能力16. 三个平面α、β、γ两两相交于三条直线,即α∩β=c ,β∩γ=A ,γ∩α=b ,已知直线a 和b 不平行. 求证:a 、b 、c 三条直线必过同一点.17. 已知三个平面两两相交,有三条交线,求证:这三条交线交于一点或互相平行.18.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是AA 1,DC 1的中点,过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出l 的位置.(2)设l∩A 1B 1=p,求PB 1的长.(3)求D 1到l 的距离.参考答案:1.A缺少“不共线”,∴A错误.线段AB⊂α内,∴A∈α,B∈α,∴直线AB⊂α∴B错误,三条直线两两相交时可能共点,不一定共面,∴C正确,D明显错误,选C.2.每三点都确定平面,即任三点不共线,但仍可有四点在同一个平面或四点不共面,∴这四个点确定平面的个数为1或4,选D.3. A、B、C、D共面而不共线,这四点可能有三点共线,也可能任意三点不共线,A错误,如果四点中没有三点不共线,则四点共线,矛盾,B正确,AB、BC、CD、DA中可以有平行线也可以没有平行线,C、D错误,选B.4. b与c相交时,确定一个平面,b、c为异面直线时,确定两个平面,a、b、c相交于一点,可确定三个平面. 故应选D.5.空间五点A、B、C、D、E任三点不共线,可确定的平面为平面ABC,平面ABD ,平面ABE,平面ACD,平面ACE,平面ADE,平面BCD,平面BCE,平面ADE,平面CDE,即最多确定10个. 故应选D.6.由公理2可得应选D.7.设四点构成的集合α={A,B,C,D},当A、B、C、D四点不共面时,经过四点的平面是不存在的,但是(A,B,C)、(B,C,D)、(C,D,A)、(A,B,D)各可以确定一个平面,所以空间不共面的四点,可以确定四个平面.8.已知平面α与平面β相交于直线l,如果点P既在平面α内又在平面β内,那么点P在直线l 上9.(1)a b c∈∈(2)α∩βAB∩αAC∩βAB∩AC10.一个平面把空间分成2部分,两个平面平行时把空间分成3个部分相交时把空间分成4个部分,三个平面两两平行时可把空间分成4部分,若两个平行,另一个与之均相交,可将空间分成6个部分,例8图2可以将空间分成7部分,另外两个平面相交时,第三个平面与它的交线相交,可以将空间分成8个部分.11.画图步骤如图所示12.如图所示, ∵a∥b∴过a,b有一个平面α,又m∩α=A,m∩b=B,∴A∈a,B∈b ∴A∈α,B∈α,又∵A∈m,B∈m,∴m⊂α,即a,b,m共面α.假设过a,b,m还有一个平面β异于α,则a⊂α,b⊂α,a⊂βb⊂β这与a∥b,过a,b有且只有一个平面相矛盾,因此,过a,b,m有且只有一个平面.13. [证明] 如图所示,易证a、b、d在同一平面α内,b、c、d在同一平面β内.∵α与β有公共的相交直线b、d.∴α与β重合. ∴a、b、c、d四线共面.图(1) 图(2) 14. ∵E ,F 是AB ,AD 上点,∴EF ⊂平面ABD ,同理GH ⊂面BCD. ∵EF ∩GH =P,∴P ∈EF,P ∈GH ,∴P ∈面ABD ,P ∈面BCD.∵面ABD ∩面BCD=BD ,∴P ∈BD 即B,D,P 三点共线.15. (1)连结DN 并延长交D 1C 1的延长线于E 点,连结ME 交B 1C 1于P 点,交D 1A 1延长线于Q ,连结DQ 交AA 1于R ,连结RM ,PN ,则DRMPN 为所求作的截面.(2)∵N 为CC 1的中点 ∴310,38432,211=∴=⨯==PN P C N C 同理可求3132=PM , ∴313210+=+PN PM 16. 证明:∵α∩γ=b ,β∩γ=a ,∴a ⊂γ,b ⊂γ ,∵a 、b 不平行 , ∴a 、b 必相交,设a ∩b =P ,∵P ∈a ,a ⊂β,∴P ∈β,P ∈α ,而α∩β=c ,∴P ∈c ,∴a 、b 、c 相交于一点P . 即a 、b 、c 三条直线过同一点.17. 如图所示, 设三个平面为α、β、γ,且α∩β=c ,α∩γ=b , β∩γ=a . ∵α∩β=c , α∩γ=b , ∴b α⊂,c ⊂α.∴b 、c 或交于一点或互相平行.(1)若b ∩c =P (图(1))由P ∈c ,c ⊂β,有P ∈β.同理P ∈γ,∴P ∈β∩γ=a , ∴a 、b 、c 交于一点P .(2)若c ∥b ,由b ⊂γ, ∴c ∥γ,又由c ⊂β,且β∩γ=a ,∴c ∥a ,∴a ,b ,c 互相平行.18. (1)设过三点D 、M 、N 的平面为α,α与平面AA 1D 1D 的交线为直线DM ,设DM ∩D 1A 1=Q ,则α与平面A 1B 1C 1D 1的交线为QN ,即QN 为所要画的线l .(2)设QN ∩A 1B 1=P ,△MA 1Q ≌△MAD ,∴A 1Q =AD =A 1D 1,A 1是QD 1的中点, ∴A 1P =a N D 41211=,即a a a PB 4341=-= (3)作l H D ⊥1于H ,则D 1H 的长就是D 1到l 的距离,在Rt △QD 1M 中,两直角边D 1N =2a , a Q D 21=,斜边111,,2QN a D H QN D N D Q =⨯=⨯DH ∴=,即D 1到l 的距离为a 17172.。
高中数学 1.21.2.1 平面的基本性质同步检测试题 苏教版必修2
![高中数学 1.21.2.1 平面的基本性质同步检测试题 苏教版必修2](https://img.taocdn.com/s3/m/988fca9f7e21af45b207a8c5.png)
高中数学 1.21.2.1 平面的基本性质同步检测试题苏教版必修21.2.1 平面的基本性质基础巩固知识点一平面的概念及符号表示1.下列说法中,正确的有________(填序号).①一个平面长4 m,宽2 m;②2个平面重叠在一起比一个平面厚;③一个平面的面积是25 cm2;④一条直线的长度比一个平面的长度大;⑤圆和平行四边形都可以表示平面.解析:根据平面定义,前4个说法均不正确,⑤正确.答案:⑤2.点M在直线a上,且直线a在平面α内,可记为________.解析:点、线、面的关系采用集合中的符号来记.答案:M∈a⊂α3.根据下列条件,画出图形:平面α∩平面β=AB,直线CDα,CD∥AB,E∈CD,直线EF∩β=F,F AB.由题意画图形如下:知识点二平面基本性质三条公理4.平面α、β有公共点A,则α、β有________个公共点.解析:根据公理2.答案:无数l,直线AB∩l=D,过A、5.如图,平面α∩平面β=l,A、B∈α,C∈β,CB、C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过点________.解析:根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.答案:C和D6.空间任意四点可以确定________个平面.解析:若四点共线,可确定无数个平面;若四点共面不共线,可确定一个平面;若四点不共面,可确定四个平面.答案:1个或4个或无数.知识点三平面基本性质三条推论7.下列命题说法正确的是________(填序号).①空间中不同三点确定一个平面;②空间中两两相交的三条直线确定一个平面;③一条直线和一个点能确定一个平面;④梯形一定是平面图形.解析:根据三个公理及推论知①②③均不正确.答案:④8.下列各图的正方体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则使这四个点共面的图形是____________(把正确图形的序号都填上).解析:①中PS∥RQ,③中SR∥PQ,由推论3知四点共面.答案:①③9.点A在直线l上但不在平面α内,则l与α的公共点有_____个.答案:0或1能力升级综合点一点共线的问题10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E则B、E、D1三点的关系是____________.解析:连接AC、A1C1、AC1,则E为A1C与AC1的交点,故E为AC1的中点,又ABC1D1为平行四边形,所以B、E、D1三点共线.答案:共线11.如右图,E、F、G、H分别是空间四边形中AB、BC、CD、DA上的点,且EH与FG交于点O.求证:B、D、O三点共线.证明:∵E ∈AB ,H ∈AD ,∴E ∈平面ABD ,H ∈平面ABD .∴EH ⊂平面ABD .∵EH ∩FG =O ,∴O ∈平面ABD .同理可证O ∈平面BCD .∵平面ABD ∩平面BCD =BD ,∴O ∈BD .即B 、D 、O 三点共线.综合点二 线共点问题12.正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱AA 1、AB 的中点,求证:D 1E 、CF 、DA 三线共点.证明:如图,连接EF ,A 1B ,D 1C ,∵E 、F 为AA 1、AB 的中点,∴EF 綊12A 1B . 又∵A 1B 綊D 1C ,∴EF 綊12D 1C .故直线D 1E 、CF 在同一个平面内,且D 1E 、CF 不平行,则D 1E 、CF 必相交于一点,设该点为M .又∵M ∈平面AC 且M ∈平面AD 1,∴M ∈AD .即D 1E 、CF 、DA 三线共点.综合点三 点、线共面问题13.下列叙述中,正确的是________(填序号).①若点P 在直线l 上,点P 在直线m 上,点P 在直线n 上,则l 、m 、n 共面; ②若点P 在直线l 上,点P 在直线m 上,则l 、m 共面;③若点P 不在直线l 上,点P 不在直线m 上,点P 不在直线n 上,则l 、m 、n 不共面; ④若点P 不在直线l 上,点P 不在直线m 上,则l 、m 不共面;⑤若点P 在直线l 上,点P 不在直线m 上,则l 、m 不共面.解析:∵P ∈l ,P ∈m ,∴l ∩m =P ,由推论2知,l 、m 共面.答案:②综合点四 同一法证直线共面14.已知:a ∥b ∥c ,直线l ∩a =A ,l ∩b =B ,l ∩c =C ,求证:a 、b 、c 、l 四线共面.证明:∵a ∥b ,∴a ,b 确定一个平面α.∵A ∈a ,B ∈b ,∴A ∈α,B ∈α.∴AB ⊂α,即l ⊂α.同理,由b ∥c ,得b ,c 确定一个平面β,可证l ⊂β.∴l、b⊂α,l、b⊂β.∵l∩b=B,∴l,b只能确定一个平面.∴α与β重合.故c在平面α内.∴a、b、c、l四线共面.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1.2.1 平面的基本性质
一、填空题
1.下列命题:
①书桌面是平面;
②8个平面重叠起来,要比6个平面重叠起来厚;
③有一个平面的长是50 m,宽是20 m;
④平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确命题的个数为________.
2.若点M在直线b上,b在平面β内,则M、b、β之间的关系用符号可记作____________.3.已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有________条.
4.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是__________(填序号).
①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β;
②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN;
③A∈α,A∈β⇒α∩β=A;
④A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线⇒α、β重合.
5.空间中可以确定一个平面的条件是________.(填序号)
①两条直线;②一点和一直线;
③一个三角形;④三个点.
6.空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有__________个.
7.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上.
(1)AD/∈α,a⊂α________.
(2)α∩β=a,PD/∈α且PD/∈β________.
(3)a⊄α,a∩α=A________.
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________.
8.已知α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩b=A,则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________.
9.下列四个命题:
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点;
②经过空间任意三点有且只有一个平面;
③过两平行直线有且只有一个平面;
④在空间两两相交的三条直线必共面.
其中正确命题的序号是________.
二、解答题
10.如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
11.如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:E,F,G,H必在同一直线上.
能力提升
12.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明三条直线必相交于一点.
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.
求证:(1)C1、O、M三点共线;
(2)E、C、D1、F四点共面;
(3)CE、D1F、DA三线共点.
1.1
解析由平面的概念,它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确.
2.M∈b⊂β3.1,2或3
4.③
解析∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β.
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β=A的写法错误.
5.③
6.1或4
解析四点共面时有1个平面,四点不共面时有4个平面.
7.(1)C(2)D(3)A(4)B
8.A∈m
解析因为α∩β=m,A∈a⊂α,所以A∈α,
同理A∈β,故A在α与β的交线m上.
9.③
10.解很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上,由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.
∵E∈AC,AC⊂平面SAC,
∴E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连结SE,
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
11.证明因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面AC,AD∩α=H,因为H∈平面AC,H∈α,由公理3可知,H必在平面AC与平面α的交线上.同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上.
12.证明
∵l1⊂β,l2⊂β,l1l2,
∴l1∩l2交于一点,记交点为P.
∵P∈l1⊂β,P∈l2⊂γ,
∴P∈β∩γ=l3,
∴l1,l2,l3交于一点.
13.证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1,
又C1、O、M∈平面A1ACC1,由公理3知,点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,
∴C1、O、M三点共线.
(2)∵E,F分别是AB,A1A的中点,
∴EF∥A1B.
∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面.
(3)由(2)可知:四点E、C、D1、F共面.
又∵EF=1
2A1B.
∴D1F,CE为相交直线,记交点为P.则P∈D1F⊂平面ADD1A1,
P∈CE⊂平面ADCB.
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB=AD.∴CE、D1F、DA三线共点.。