2019-2020年高中数学必修2平面的基本性质(1)

2019-2020年高中数学必修2平面的基本性质(1)

教学目标

（1）了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法；

（2）初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；

（3）了解平面的基本性质：公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题．

教学重点

平面的概念及其表示；三种语言相互之间的转化；平面的基本性质．

教学难点

平面的基本性质及其简单应用．

教学过程

一、问题情境

1．情境：广阔的草原、平静的湖面、长方体的底面、侧面都给我们以平面的形象。

2．问题：在数学世界中，平面到底是什么样的一个概念呢？

二、学生活动

将平面的概念与直线的概念加以对照，以加深对平面概念的理解。

三、建构数学

1．平面的概念：

平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。

思考：①一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成几部分？

②演示：将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上，试问硬纸板所在平面与桌面有多少个公

共点呢？为什么？

2．平面的画法及其表示方法：

①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍。

②一般用一个希腊字母、、----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面，平面等。

3．图形语言、符号语言、文字语言的相互转化：

4．平面的基本性质：

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

推理模式：．如图示：

应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内。模式：．

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

说明：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。

推理模式：且。如图示：

应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。如图示：

说明：过不共线三点的平面通常记作“平面”。

推理模式：

,,

,,

,,

A B C

A B C

A B C

αα

β

⎫

⎪

∈⇒

⎬

⎪

∈⎭

不共线

与重合。

应用：①确定平面；②证明两个平面重合。

四、数学运用

1．例题：

例1．将下列文字语言转化为符号语言，图形语言：（1）点在平面内，但不在平面内；

（2）直线经过平面外一点；

（3）直线在平面内，又在平面内。（即平面和相交于直线．）

（解略）

例2．将下列符号语言转化为图形语言：

（1），，，；

（2），，，，．（解略）

说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）．

例3．在平面内有三点，在平面内有三点，试画出它们的图形。（如右图）

例4．点平面，分别是上的点，若与交于，

求证：在直线上。

∵分别属于直线，

∴平面，∴平面，

同理：平面，

又∵平面平面，

所以，在直线上。

五、回顾小结：

1．平面的概念及其表示方法；

2．平面的性质的三个公理及其简单应用．

六、课外作业：

2019-2020年高中数学必修2平面的基本性质(I)教学目标

（1）了解平面的基本性质中公理3的三个推论：推论1、推论2、推论3；

（2）能应用公理3及其推论解决简单的问题．

教学重点、难点

平面的基本性质中公理3的三个推论的理解及简单应用．

教学过程

一、问题情境

1．复习：回顾平面的基本性质的三个公理：公理1、公理2、公理3．2．问题：

根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么，

①一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？

②两条相交直线呢？

③两条平行直线呢？

为什么？

二、学生活动

思考以上问题的正确性，并寻求证明结论的方法。

三、建构数学

推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面，

已知：直线，点是直线外一点，求证：过点和直线有且只有一个平面。

证明：（存在性）：在直线上任取两点、，

∵，∴不共线．

由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，

∵点在平面内，根据公理1，∴，即平面经过直线和点。

（唯一性）：∵，∴经过直线和点的平面一定经过点，

又∵由公理3可得：经过不共线三点的平面只有一个，

所以，经过和点的平面只有一个。

类似地，得出以下两个推论：（由学生证明）

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

四、数学运用

1．例题：

例1．已知：，求证：直线共面。

分析：∵直线与点可以确定平面，∴只需证明都在平面内。

证明：∵，∴直线与点可以确定平面（推论1），

又∵，∴，又∵，∴（公理1），

同理，，，

所以，直线在同一平面内，即它们共面。

例2．如图，长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线。

例3．若，，，试画出平面与平面的交线。

2．练习：

（1）若空间三个平面两两相交，则它们的交线有 1或3 条； （2）四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有

4 个；

（3）给出下列四个命题：①若空间四点不共面，则其中无三点共线；②若直线上有一点在平面外，则在外；③若直线中，与共面且与共面，则与共面；④两两相交的三条直线共面．其中正确命题的序号是 ①② ．

五、回顾小结：

1

．公理三的三个推论及其应用． 六、课外作业：

1．求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一平面内． 2．在正方体中，①与能够确定一个平面？①点能否确定一个平面？③画出平面与平面的交线，平面与平面的交线．