图论第四章(1)

4.3 非平面图 1. 定义：如果一个图无论如何调整边的画 定义： 均无法避免相交则称为非平面图 非平面图。 法，均无法避免相交则称为非平面图。 完全图K 是可平面图。 例1 完全图 1,K2,K3,K4是可平面图。 是完全图K 例2 设e是完全图 5的任意一边 则K5-e 是完全图 的任意一边, 是可平面图。 是可平面图。 问题： 还是可平面图吗？ 问题： K5还是可平面图吗？ 定理1 是非平面图。 定理 K5是非平面图。 是平面图，则应满足m≤3n-6. 但 证：若K5是平面图，则应满足 K5中m=10, n=5, 不满足此不等式，故它不 不满足此不等式， 可能是平面图。 可能是平面图。
2. 图可平面嵌入的充要条件 记K(1)= K5, K(2)=K3,3 。 K型图 型图——K(1)或K(2)的若干边上增加若 型图 干结点(度为 所得的图。 度为2)所得的图 干结点 度为 所得的图。 • 增减度数为 的结点不影响图的平面性。 增减度数为2的结点不影响图的平面性 的结点不影响图的平面性。 Kuratowski定理 G是平面图的充要条 Kuratowski定理：G是平面图的充要条 定理： 件是G中不存在 型子图。 中不存在K型子图 件是 中不存在 型子图。 必要性. 证：必要性 因为平面图的任意子图必 是平面图， 中不会含K型子图 是平面图，故G中不会含 型子图，否则 中不会含 型子图， K型子图就是平面图了，矛盾。 型子图就是平面图了， 型子图就是平面图了 矛盾。 充分性略。 充分性略。
例
V1
V1 V4 V4
V5
V2
V3
V2
V3
d = 6－4＋2 = 4 － ＋
d = 8－5＋2 = 5 － ＋
若平面图Ｇ有k个连通分支，则 若平面图Ｇ 个连通分支， 个连通分支 d=m-n+k+1. 个连通分支由左到右顺序排列， 证：将k个连通分支由左到右顺序排列， 个连通分支由左到右顺序排列 相邻两分支间加入一条新边相联(共加入 相邻两分支间加入一条新边相联 共加入 k-1边)，则所得新图与原图域数相同。 边 ，则所得新图与原图域数相同。 应用欧拉公式有 d=(m+k-1)-n+2=m-n+k+1. 对平面图Ｇ，有 对平面图Ｇ，有 Ｇ， n-m+d≥2. 由推论１立得。 证：由推论１立得。 推论2 推论
3. 简单平面图的一个必要条件 若简单图G为一个平面图 则必有： 为一个平面图， 定理 若简单图 为一个平面图，则必有： m≤3n-6，d≤2n-4. ， 个域的边界数之和≥3d(每域至少有 条边 。 每域至少有3条边 证：d个域的边界数之和 个域的边界数之和 每域至少有 条边)。 求边界数总和时， 求边界数总和时，每条非割边恰好计数了两 每条割边只计数了一次， 次，每条割边只计数了一次，故边界数之和不超 过边数的两倍， 过边数的两倍，即≤2m，从而 3d≤2m 。代入欧 ， 拉公式d=m-n+2 ，即证。 即证。 拉公式 • 证明一个简单图为非平面的，可通过证明它不 证明一个简单图为非平面的， 满足平面图的必要条件来实现。这可以用Euler 满足平面图的必要条件来实现。这可以用 公式或以上定理验证。但域数有时难以确定， 公式或以上定理验证。但域数有时难以确定，故 常用验证m≤3n-6不成立来证明 。 常用验证 不成立来证明
若简单平面图G中不含有 子图， 中不含有K 例2 若简单平面图 中不含有 3子图，则 边数m≤2n-4。 边数 。 证明:G不含 子图(三角形子图 不含K 三角形子图)， 证明 不含 3子图 三角形子图 ，故不 含边界数为3的域 的域， 含边界数为 的域，因此每个域的边界数至 少为4，从而各域的边界数之和≥4d。 少为 ，从而各域的边界数之和 。 另一方面，由于每条边最多计数两次， 另一方面，由于每条边最多计数两次， 故边界数之和不超过边数的两倍， 故边界数之和不超过边数的两倍，即≤2m， ， 所以 4d≤2m. 代入不等式， 将d=m-n+2代入不等式，即可证得 代入不等式 m≤2n-4 .
2. 欧拉公式 是平面连通图， 定理： 是平面连通图 的域的个数 定理：设G是平面连通图，则G的域的个数 d=m-n+2 . (域数 边数－结点数 域数=边数 为 域数 边数－结点数+2) 为连通图，故有支撑树Ｔ。 证：因Ｇ为连通图，故有支撑树Ｔ。 对于T，仅有一个域(n-1条边 。每新加入 条边)。 对于 ，仅有一个域 条边 Ｇ－T的一条边 域即恰好增加一个。 的一条边， Ｇ－ 的一条边，域即恰好增加一个。这样的 边共m-(n-1)条，故最终得到Ｇ时域数为 边共 条 故最终得到Ｇ时域数为m-n+2.
若简单平面图G中的结点数 中的结点数n≤11,则 例4 若简单平面图 中的结点数 则 其中一定存在度数<5的结点 的结点。 其中一定存在度数 的结点。 假设每个结点的度数≥5， 证：假设每个结点的度数 ，则所有结 点的度数之和≥5n。 点的度数之和 。 由于所有结点的度数之和为边数的2倍 由于所有结点的度数之和为边数的 倍， 所以 2m≥5n， 故m≥5n/2。 ， 。 另一方面，对于简单平面图有m≤3n-6， 另一方面，对于简单平面图有 ， 由此可得n≥12，这与题设矛 故5n/2≤3n-6 ，由此可得 ， 盾。
4) 3d=2m (d为域数 m为边数 为域数, 为边数) 为域数 为边数 个域的边界数之和为3d(每域有 证：d个域的边界数之和为 每域有 个域的边界数之和为 每域有3 条边)。 条边 。 由于极大平面图没有割边， 由于极大平面图没有割边，故每条边均 是两个域的边。 是两个域的边。求边界数总和时每条边均 恰好计数了两次，故边界数之和为边数的 恰好计数了两次， 两倍， 两倍，即2m，从而 3d=2m 。 ， 极大平面图G的边数和域数完全 定理 极大平面图 的边数和域数完全 由结点数决定。 由结点数决定。具体有 m=3n-6，d=2n-4。 ， 。 代入欧拉公式d=m证：对G有3d=2m, 代入欧拉公式 有 n+2 ，即证。 即证。
例1 某个简单平面图边数为12, 结点数为6, 某个简单平面图边数为 结点数为 则每个域的边界数为3。 则每个域的边界数为 。 域数d=12-6+2=8。 证：域数 。 因为简单平面图每个域的边界数至少 为3，若至少有一个域的边界数超过 ，则 ，若至少有一个域的边界数超过3， 各域的边界数之和>3*8=24。 各域的边界数之和 。 由于求边界数总和时， 由于求边界数总和时，每条边最多计 数两次， 数两次，故边界数之和不超过边数的两倍 ，即≤2*12，从而 24<24，矛盾。 ， ，矛盾。 故每个域的边界数不会超过3， 故每个域的边界数不会超过 ，即恰好 等于3。 等于 。
2. 极大平面图的性质 1）G是连通的 ） 是连通的 2）G不存在割边 ） 不存在割边 3）G的每个域的边界数都是 。 的每个域的边界数都是3。 ） 的每个域的边界数都是 :由于简单图不存在自环与重边 由于简单图不存在自环与重边(边界 证:由于简单图不存在自环与重边(边界 数为1,2的域 故域的边界数≥3。 的域)， 数为 的域 ，故域的边界数 。若边界 数>3，则在此域中至少可加一条边，而不 ，则在此域中至少可加一条边， 会破坏其平面性,矛盾 矛盾。 会破坏其平面性 矛盾。
简单平面图G中存在度数小于 的结点。 中存在度数小于6的结点 例3 简单平面图 中存在度数小于 的结点。 证明：若每个点的度数不小于6， 证明：若每个点的度数不小于 ，则所 有结点的度数之和≥6n. 有结点的度数之和 由于所有结点的度数之和为边数的2倍 由于所有结点的度数之和为边数的 倍， 所以 2m≥6n， 故m≥3n。 ， 。 这与简单平面图满足的性质m≤3n-6相矛 这与简单平面图满足的性质 相矛 中必有度数小于6的结点 盾，故G中必有度数小于 的结点。 中必有度数小于 的结点。
图
(Ⅵ)
论
平面图与图的着色 4.1 平面图 1. 某些实际问题中涉及到图的平面性的研 譬如印刷电路板的设计、 究，譬如印刷电路板的设计、大规模集成电路 的布局布线等问题。 的布局布线等问题。 定义：若能把图G 改画在一个平面上(同构 同构)， 定义：若能把图 改画在一个平面上 同构 ， 使新图G’的任何两条边都不相交 就称G可嵌 的任何两条边都不相交， 使新图 的任何两条边都不相交，就称 可嵌 入平面、 可平面图， 的一个平面嵌 入平面、是可平面图，称G’是G的一个平面嵌 是 的一个 是一个平面图 入，G’是一个平面图。 是一个平面图。
定理2 完全二分图K 定理 完全二分图 3,3 是非平面图。 是非平面图。 是平面图(m=9, n=6)，则域 证：若K3,3是平面图 ， 数d= m-n+2=5. 由于K 中不含K 子图(三角形子图 三角形子图)， 由于 3,3中不含 3子图 三角形子图 ， 因此每个域的边界数至少为4， 因此每个域的边界数至少为 ，从而各域 的边界数之和≥4*5=20 ，于是有 于是有2m≤20, 的边界数之和 从而m≤10 ，与题设矛盾。 与题设矛盾。 从而 所以， 不可能是平面图。 所以， K3,3不可能是平面图。
V1 V4 V1 V4 V1 V4 V2 V3 V2 V3 V2 V3
第四章
• 平面图的域(面) 内部域、无限域 平面图的域 面 内部域、 一个域的边界 一个域的边界
V1 f3 V4 f1 f2 V2 V3 f1 f4 V2
V1 f3 f2 V4 f4
例
V3
•在平面图 中，边e为两个域的公共边界当且 在平面图G中 在平面图 为两个域的公共边界当且 仅当e不是 不是G的割边 仅当 不是 的割边 •测地变换 见p.69图):实现平面图 与球面图 测地变换(见 实现平面图G与球面图 测地变换 图 实现平面图 与球面图G’ 的转换，其中G的无限域对应 的无限域对应G’的北极N所在 的转换，其中 的无限域对应 的北极 所在 的内部域 •平面图 1 总可以改画为新一平面图 2，使G1 平面图G 平面图 总可以改画为新一平面图G 的无限域对应于G 的无限域对应于 2 的一个内部域
m≤t(n-2)/(t-2) .
4.2 极大平面图 1. 定义：设G是结点数 定义： 是结点数n≥3的简单平面图， 的简单平面图， 是结点数 的简单平面图 若在任意两个不相邻结点v 之间， 若在任意两个不相邻结点 i,vj之间，加入 就会破坏图的平面性， 边(vi,vj)就会破坏图的平面性，则称 为一 就会破坏图的平面性 则称G为一 极大平面图。 个极大平面图。 • 极大平面图的边数和域数在图的现有结 极大平面图的边数和域数在图的现有结 点数的限制下已达到了极限， 点数的限制下已达到了极限，再多一条边 即会破坏其平面性。 即会破坏其平面性。
•Kuratowski定理理论价值高，但实际应用困难 定理理论价值高， 定理理论价值高
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4.4 图的平面性检测 1. 一般简易判断过程： 一般简易判断过程：
1)若G是非连通的，则分别检测每一个 若 是非连通的 是非连通的， 连通支。仅当所有连通支都是可平面的， 连通支。仅当所有连通支都是可平面的， G就是平面的； 就是平面的； 就是平面的 2)若G存在割点，则从割点处分离， 2)若G存在割点，则从割点处分离，考虑 存在割点 每块的平面性； 每块的平面性； (割点 : 若G-v比G的连通分支多 割点v 的连通分支多; 割点 比 的连通分支多 无割点的连通分支) 块：无割点的连通分支 3)移去自环、重边和度为 的结点。 移去自环、 的结点。 移去自环 重边和度为2的结点
推论1 推论
推论3 设平面连通图G 没有割边， 推论 设平面连通图 没有割边，且每 个域的边界数至少为t, 个域的边界数至少为 则m≤t(n-2)/(t-2) 。 证明： 个域， 证明：设G有d个域，每个域的边界数至 有 个域 少为t， 个域的边界数和的≥td。 少为 ，则d个域的边界数和的 。 个域的边界数和的 由于Ｇ没有割边， 由于Ｇ没有割边，故每条边都是某两 个域的边界， 个域的边界，因此上面计算所有域边界数 之和时，每条边均被计数过两次。 之和时，每条边均被计数过两次。 故 2m≥td, 代入 d=m-n+2, 可得