北京大学图论部分(板书)

第二部分图论方法

第四章图

图论是一门很有实用价值的科学，他被广泛应用在物理学，化学，物理化学，工程学，逻辑学等方面。随着计算机科学的发展，图论在形式语言，数据结构，分布式系统，操作系统的研究中，越来越具有不可替代的作用。

第一节图的基本概念

4-1-1 无向图与有向图

定义无向图 G 是一个二元组，即 G=〈V，E〉，V 为顶点集，记为V（G），其元素为顶点或叫结点，即V={ v1,v2,…,vn }。E 为边集，其元素为无向边，记为 E（G）。这些无向边以无序的顶点对表示，即：边 ei = （vi,vj），这里 vi,vj 只是表示边 ei 的两个端点，并没有次序概念。通常，用圆括号表示无序对。从而 E={ e1，e2，…，en }。

如上所述，顶点标定次序的图被称为标定图；否则为非标定图。

定义有向图是一个二元组，即 D =〈V，E〉，V 为顶点集，与无向图相似，记为 V（D）；

E 为边集，其元素为有向边，例如：E ={ ，，…}。

显然，这些有向边是用由有序的顶点构成的有序对表示的。有向边集合记为 E（D）。

画无向图与有向图的概念的区别就在于，无向图边的两端是对等的，没有始末之分；有向图则不然，他的边是具有方向性的线段，由有序对的第一元素及第二元素构成。画有向边时，一般从始端顶点指向末端顶点。

无论是有向图还是无向图，边集都是顶点集的多重集合。这一点与集合论中的集合不同。

例如，边集合 E1 ={〈a，b〉,{c，d}} 不同于 E2={〈a，b〉,〈a，b〉,〈c，d〉}；同理，边集合 E1={a，b} 与 E2={a，a，b}是不相同的集合。这与集合论中的概念是不同的。

称有限图的顶点数目为图的阶，这样，几个重要概念如下：

I、阶：一个图 G 的顶点集 V 有 n 个元素，称 G 为 n 阶图。

边集为空集的图叫零图。顶点集 V = n 的零图，为 n 阶零图。

我们称 1 阶零图为平凡图。

无向图中，任意边 ek =（vi，vj）的两端称为端点，我们称两端点 vi，vj 与边 ek 彼此关联，若边的两端点不重合，则称两顶点的任意一个顶点与该边的关联次数为 1；若一条边所关联的两顶点重合，则称此边为环，则称该顶点与环绕他的环的关联次数为 2。

若与边无关的顶点，称其与边关联次数为 0，即无边关联的顶点，叫孤立点。

无向图中，称边的两顶点彼此相邻；称有一个共同顶点的两条边彼此相邻。

有向图中，有向边联接的两顶点，分称始点和终点。这样的一对顶点的关系被称为邻接。通常，称始点邻接到终点。

II、度：G =〈V，E〉为无向图，任一顶点 vi ∈V，称顶点 vi 是边端点的次数之和，为该顶点 vi 的度数，简称度，记做 dG（vi）或 d（vi）。

很显然，被环所环绕的顶点与环关联两次，因此度数为 2。

在无向图中，关联一对顶点的边如果多于一条，则称这些边为平行边。平行边的条数为重数。

在有向图中，关联一对顶点的边如果多于一条，且他们的始点和终点相同（即这些边同方向），则称这些边为有向平行边，简称平行边。

不含平行边也不含环的图称为简单图；含平行边的图叫多重图。

对于有向图 D =〈V，E〉中，某顶点 vi 属于 V 是某些边的始点次数之和，为该顶点的出度，记做

dD+（vi），简记做 d+（vi）。某顶点 vj 属于 V 是某些边的终点次数之和，为该顶点的入度，记做

dD—（vj），简记做 d—（vj）。

与无向图相仿，也可以定义有向图的度为某顶点 vi 作为有向边端点次数之和为 vi 的度数或度。显然，dD（vi）=d+（vi）+ d—（vi）。

在图中，称度数为 1 的顶点为悬挂顶点；与其关联的边为悬挂边。

称图 G 中度数最多的顶点，为 G 的最大度，即

△（G）= max{d（vi）│vi ∈ V（G）}；

度数最少的顶点，为 G 的最小度，即

δ（G）= min{d（vi）│vi ∈V（G）}。

对于有向图 D，顶点 vi 作为有向边的始点次数最多，为 D 的最大出度；

作为有向边终点的次数最少，为 D 的最小出度，分别简记为△+（D）及δ+（D）；

同样，有向图 D 中，度数最多的终点，为 D 的最大入度；度数最少的始点，为 G 的最小入度，分别简记为△—（D）和δ—（D）；

III、握手定理及其推论：G=为任意图，其中V={v1，v2…，vn}，边数为 m，则有

Σid（vi）= 2m。

IV、推论任意图中，度数为奇数的顶点数一定是偶数。

对于有向图 D =〈V，E〉，V ={v1，v2，……，vn}，且有

d（vi）=d+（vi）+ d-（vi）= 2m。所以，握手定理的形式应是：

出度总和 = 入度总和 = 边数 m。

在握手定理中将诸顶点的度数 d（vi）按顶点的次序排成一个序列，即 d（v1），d （v2），……，d（vn），称为图 G 的度数列。对于有向图，应分出度列和入度列。

例 4-1 握手定理的应用

（1）以下两组数是否能构成无向图的度数列，为什麽？

（a）3，2，5，4，7，6；（b）1，2，2，3，4。

（2）无向图 G 中，一个 4 度顶点，4 个 3 度顶点，其余顶点的度数均为 2，若图中有 10 条边，试求图中顶点数。

解：（1）（a）度数和等于 27，是奇数。令其等于边数 m 的 2 倍，则不可能有整数边数，即不可能构成一个图。说明该数序列与图的握手定理矛盾，不能构成无向图的度数列。

（b）中有两个奇数，可以组成有两个顶点具有奇数度数。

（2）根据握手定理，知道边数 m = 10，若假设所求 2 度的顶点数为 x，则有

1 x 4 + 4 x 3 + 2x = 2m = 20，所以有 x = 2。所以图 G 的顶点总数为 8。

V、完全图：无向 n 阶简单图，每个顶点都与其余 n-1 个顶点相邻，则称G 为 n 阶无向完全图，记做 Kn；且有边数 m = n（n-1）/2 。

有向 n 阶简单图 D，若两不同顶点 v、u ∈V，有向边〈v，u〉，〈u，v〉∈边集 E，则称 D 为 n 阶有向完全图，边数 m = n x（n-1）。

VI、n 阶无向简单图各顶点的度都=k，称其为 k-正则图。并有边数 m = k x n / 2。

VII、补图：无向简单图G =〈V，E〉的顶点集V，以能使G 成为完全图 Kn 的添加边组成的集合为边集的图，称为 G 相对于 Kn 的补图，简称为 G 的补图。

VIII、生成子图：G 包含 G’且 G 不等于 G’，称 G’为图 G 的真子图。

从 G 中割去某些边而成的 G’（V’= V）称为 G 的生成子图。

IX、导出子图：分为顶点导出子图及边导出子图。他们都以导出者为标记。

V包含非空集合V1，以 V1 为顶点集，以两个端点都在 V1 中的全体边为边集的 G 的子图，称为 V1 导出的导出子图，记做 G[V1]。

该种图以顶点为标记，边是随从品，原与 V1 中顶点关联的边都带来。但边集可为空集，例如，孤立点的导出子图。(?)

E包含非空集合 E1，以 E1 为边集，以 E1 中的边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子图，称为 E1 导出的导出子图，记做 G[E1].