七年级数学下册二元一次方程组知识总结

二元一次方程组知识总结及典型例题

◆知识要点

知识点1：二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数

知识点2：二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

（注：①方程中有且只有两个未知数。②方程中含有未知数的项的次数为1。③方程为整式方程。）

知识点3：二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组:

知识点4：二元一次方程的解的定义：使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。

知识点5：二元一次方程组的解法

代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．

加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．

知识点6：二元一次方程组的应用

对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：

（1）选定几个未知数；

（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；

（3）解方程组，得到方程组的解；

(4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。◆例题解析

例1：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x的代数式表示y的形式。②将其变形为用含y的代数式表

示x的形式

例2：(1)下列方程中是二元一次方程的是（）

A．3x-y2=0 B．2

x

+y1=1 C．

3

x-5

2

y=6 D．4xy=3

(2)已知关于x,y的二元一次方程6

)3

(

)4

2(2

3

2=

+

+

--

-n

m y

n

x

m

,求

m,n的值

例3：下列方程组中，是二元一次方程的是（）

①2

2

8

423119

...

23754624

x y

x y a b x

B C D

x y b c y x x y

+=

+=-=⎧⎧

=

⎧⎧

⎨⎨⎨⎨

+=-==-=

⎩⎩⎩⎩

例4 （1）已知2

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

是方程组2(1)2

1

x m y

nx y

+-=

⎧

⎨

+=

⎩

的解，求（m+n）的值．（2）已知方程组44

ax y

-=

⎧

⎨

⎩

，(1)

2x+by=14，(2)

由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为2

6

x

y

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

，

乙看错了方程②中的b得

到方程组的解为4

4.

x

y

=-

⎧

⎨

=-

⎩

，若按正确的a、b计算，

求原方程组的解．

例5：(1)

6,

23

4()5() 2.

x y x y

x y x y

+-

⎧

+=

⎪

⎨

⎪+--=

⎩

(2) 已知

⎩

⎨

⎧

=

-

+

=

+

-

3

2

5

2

z

y

x

z

y

x求：

z

y

x

z

y

x

2

3

3

2

4

+

-

-

+

的值

(3) 已知关于x 、y 的二元一次方程组 4x+y=5 和 3x-2y=1 有相同的解。求m 、n 的值。

mx+ny=3 nx-my=1

例6 “5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶． （1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？

（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？

解：（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则

2105

23178

x y x y +=⎧⎨

+=⎩

∴⎩⎨

⎧==32

41y x

答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．

（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．

可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献． ◆强化训练 一、填空题

1．若2x m+n －1－3y m －n －3+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____．

2．在式子3m+5n －k 中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．

3．若方程组026

ax y x by +=⎧

⎨

+=⎩的解是12

x y =⎧⎨=-⎩，则a+b=_______． 4．已知方程组325(1)7

x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩

的解x ，y ，其和x+y=1，则k_____． 5．已知x ，y ，t 满足方程组23532x t y t x

=-⎧⎨

-=⎩，则x 和y 之间应满足的关系式是_______． 6．（2008，宜宾）若方程组2x y b x by a

+=⎧⎨-=⎩的解是10

x y =⎧⎨

=⎩，那么│a －b │=_____．

7．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．

8．（2004，泰州市）为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8：00至21：00用电每千瓦时0.55元（“峰电”价），21：00至次日8：00•用电每千瓦时0.30元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，•五月份用电量为300kW ·h ，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”______kW ·h ． 二、选择题

9．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

10．已知x a y b

=⎧

⎨=⎩是方程组||223

x x y =⎧⎨

+=⎩的解，则a+b 的值等于（ ） A ．1 B ．5 C ．1或 5 D ．0

11．已知│2x －y －3│+（2x+y+11）2=0，则（ ）

A ．21

x y =⎧⎨=⎩ B ．03x y =⎧⎨=-⎩ C ．15x y =-⎧⎨=-⎩ D ．27

x y =-⎧⎨

=-⎩ 12．在解方程组278

ax by cx y -=⎧

⎨+=⎩时，一同学把c 看错而得到22

x y =-⎧⎨

=⎩，正确的解应是32

x y =⎧⎨

=⎩，那么a ，b ，c 的值是（ ） A ．不能确定 B ．a=4，b=5，c=－2 C ．a ，b 不能确定，c=－2 D ．a=4，b=7，c=2

13．（2008，河北）如图4－2所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，•每个果冻的质量也相等，则一块