航天器飞行力学1

⎡ cos α 0 cos φ 0 A=⎢ ⎢ − cos α 0 sin φ 0 ⎢ sin α 0 ⎣ sin φ 0 cos φ 0 0 − sin α 0 cos φ 0 ⎤ sin α 0 sin φ 0 ⎥ ⎥ ⎥ cos α 0 ⎦
（1.13）
转换矩阵（ OAξAηAζ A (Oξηζ )0 > (Oξηζ )t
7. 速度坐标系
O1xv yv zv
原点为火箭的质心。
O1xv 轴沿飞行器的飞行速度方向。 O1 yv 轴在火箭的主对称面内，重直 O1xv 轴。 O1zv 轴垂直于 O1xv yv 平面，顺着飞行方向看出，该
轴指向右方，为右手直角坐标系。 用该坐标系与其它坐标系的关系反映出火箭的飞行速 度矢量状态。
等式左端的方向余弦阵中有三个欧拉角：
θ、 σ、 ν
等式右端的方向余弦阵中包含五个欧拉角： ϕ、 ψ、 γ、 α、 β 由于方向余弦阵中的八个元素只有五个是独立的，因此由式（1.24）只能找 到三个独立的关系。
cosθ cosσ sinθ cosσ − sinσ ⎤ ⎡ ⎢cosθ sinσ sinν − sinθ cosν sinθ sinσ sinν + cosθ cosν cosσ sinν ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣cosθ sinσ cosν + sinθ sinν sinθ sinσ cosν − cosθ sinν cosσ cosν ⎥ ⎦ ⎡ cos β cosα − cos β sinα sin β ⎤ ⎥i sin α cos α 0 =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣− sin β cosα sin β sinα cos β ⎥ ⎦ cosϕ cosψ sinϕ cosψ − sinψ ⎤ ⎡ ⎢cosϕ sinψ sin γ − sinϕ cos γ sinϕ sinψ sin γ + cosϕ cos γ cosψ sin γ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣cosϕ sinψ cos γ + sinϕ sin γ sinϕ sinψ cos γ − cosϕ sin γ cosψ cos γ ⎥ ⎦
（1.8）
5.速度坐标系与箭体坐标系 关系角2个：
α
β
攻角。 侧滑角。
ν 转换矩阵（ V>B）：
⎡ cos β cos α BV = ⎢ ⎢ − cos β sin α ⎢ sin β ⎣ sin α cos α 0 − sin β cos α ⎤ sin β sin α ⎥ ⎥ ⎥ cos β osθ cosσ sinθ cosσ − sinσ ⎤ ⎡ ⎢cosθ sinσ sinν − sinθ cosν sinθ sinσ sinν + cosθ cosν cosσ sinν ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣cosθ sinσ cosν + sinθ sinν sinθ sinσ cosν − cosθ sinν cosσ cosν ⎥ ⎦ ⎡ cos β cosα − cos β sinα sin β ⎤ ⎥i sin α cos α 0 =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣− sin β cosα sin β sinα cos β ⎥ ⎦ cosϕ cosψ sinϕ cosψ − sinψ ⎤ ⎡ ⎢cosϕ sinψ sin γ − sinϕ cos γ sinϕ sinψ sin γ + cosϕ cos γ cosψ sin γ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣cosϕ sinψ cos γ + sinϕ sin γ sinϕ sinψ cos γ − cosϕ sin γ cosψ cos γ ⎥ ⎦
发射点经度。 发射点地心纬度。 射击方向的地心方位角。
转换矩阵（E>G）：
⎡ − sin α 0 sin λ0 − cos α 0 sin φ0 cos λ0 sin α 0 cos λ0 − cos α 0 sin φ0 sin λ0 ⎢ GE = ⎢ cos φ0 cos λ0 cos φ0 sin λ0 ⎢ ⎣− cos α 0 sin λ0 + sin α 0 sin φ0 cos λ0 cos α 0 cos λ0 + sin α 0 sin φ0 sin λ0 cos α 0 cos φ0 ⎤ ⎥ sin φ0 ⎥ − sin α 0 cos φ0 ⎥ ⎦
4. 发射惯性坐标系
OA xA yA zA
火箭起飞瞬间： 原点与发射点重合。 各坐标轴与发射坐标系各轴也相应重合。 火箭起飞后： 原点及坐标系各轴方向在惯性空间保持不动。 利用该坐标来建立火箭在惯性空间的运动方程。
5. 平移坐标系
OT xT yT zT
原点根据需要可选择在发射坐标系原点，或是火箭的 质心。 其坐标轴与发射惯性坐标系各轴始终保持平行。 用来进行惯性器件的对准和调平。
两组是等价的，应用时可任选一组，看那组方便为宜。
因 均较小，将它们的正弦、余弦量展成台劳级数取至一阶数量，并将上述各量之一阶 微量的乘积作为高阶微量略去，则上式可简化、整理为
σ =ψ cosα + γ sinα − β ν = γ cosα −ψ sinα θ = ϕ −α
将 α 也视为小量，按上述原则作进一点简化可得：
（1.6）
4. 发射坐标系与速度坐标系 关系角3个：
θ
σ ν
速度倾角。 航迹偏角。 倾侧角。
转换矩阵（G>V）：
cosθ cosσ sinθ cosσ − sinσ ⎤ ⎡ ⎥ cos sin sin sin cos sin sin sin cos cos cos sin − + θ σ ν θ ν θ σ ν θ ν σ ν VG = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣cosθ sinσ cosν + sinθ sinν sinθ sinσ cosν − cosθ sinν cosσ cosν ⎥ ⎦
1.1.3 一些欧拉角的联系方程
在实际运用中，一些描述坐标系关系的欧拉角可通过 转换矩阵的递推性找到它们之间的联系方程。 这样，当知道某些欧拉角后，就可以通过联系方程来 求取另外一些欧拉角。
1. 速度坐标系、箭体坐标系及发射坐标系之间欧拉角 联系方程
转换关系（G>V）等价于转换关系（G>B>V）
6. 箭体坐标系（弹体坐标系）
O1x1 y1z1
原点为火箭的质心。
O1x1 轴为箭体外壳对称轴，指向箭的头部。 O1 y1 轴在火箭的主对称面内，该平面在发射瞬时与 发射坐标系 Oxy 平面重合，垂直 O1x1 轴。 O1z1 轴重直于主对称面，顺着发射方向看去，该轴指
向右方。组成右手直角坐标系。 该坐标系在空间的位置反映了火箭在空中的姿态。
（1.10）
6.平移坐标系或发射惯性坐标系与发射坐标系 发射惯性坐标系与发射坐标系 关系角3个：
α0 方位角。 φ0
发射点地心纬度。
ωet 地球自转角。
转换过程（较复杂）：
A(G0 ) > OAξAηAζ A (Oξηζ )0 > (Oξηζ )t > G
转换矩阵（ A(G0 ) > OAξ Aη Aζ A (Oξηζ )0 ）：
OEZI 轴垂直一赤道平面，与地球自转重合，指向北极。 OEYI 轴的方向按右手直角坐标法则确定。
用来描述洲际弹道导弹、运载火箭的飞行弹道以及地球卫星、 飞船等的轨道。
2. 地心坐标系（地球固连坐标系）
原点在地心。 林尼治天文台所在子午线），
OE XEYEZE
OE XE
轴在赤道平面内指向某时刻的起始子午线（通常取格 轴垂直于赤道平面指向北极。 轴的方向按右手直角坐标法则确定。 与所指向的子午线随地球一起转动，因此这个
选定三个联系方程的方法是： 在不同一行或同一列的三个方向余弦元素。 在式（1.24）中，可选下列三个联系方程。
sinσ = cosα cos β sinψ + sinα cos β cosψ sin γ − sin β cosψ cos γ cosσ sinν = − sinψ sinα + cosα cosψ sin γ cosθ cosσ = cosα cos β cosϕ cosψ − sin α cos β (cosϕ sinψ sin γ − sinϕ cos γ ) + sin β (cosϕ sinψ cos γ + sinϕ sin γ )
σ =ψ − β
ν =γ
θ = ϕ −α
2. 箭体坐标系相对于发射坐标系的姿态角与相对于平 移坐标系姿态角间的关系
已知箭体坐标系与发射坐标系的方向余弦阵为，GB 其中三个欧拉角顺序排列为， ϕ、 ψ、 γ 其方向余弦阵 箭体坐标系与平移坐标系间的欧拉角亦按顺序排列， ϕT、 ψT、 γ T
第一章 常用坐标系与变质量力学原理
1.1 常用坐标系及其变换 1.1.1 常用坐标系
1. 地心惯性坐标系（地心赤道惯性坐标系） OE XIYI ZI
原点在地心处。
OE XI 轴在赤道面内指向平春分点，由于春分点随时间变化而
具有进动性，根据1796年国际天文协会决议，1984年起采用新 的标准历元，以2000年1月1.5日的平春分点为基准。
OE ZE OEYE
由于轴
OE XE
坐标系为一动参考系。 用于确定火箭相地于地球表面的位置。
3. 发射坐标系
Oxyz
坐标原点与发射点固连。
Ox
Oy
轴在发射点水平面内，指向发射瞄准方向。 轴垂直于发射点水平面指向上方。 轴按右手直角坐标法则确定。
Oz
由于发射点随地球一起旋转，所以发射坐标系为一动坐标系。
⎡1 B=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 cos ω e t − sin ω e t ⎤ sin ω e t ⎥ ⎥ cos ω e t ⎥ ⎦ 0
）：
（1.15）
发射惯性坐标系与发射坐标系 转换过程（较复杂）：
A(G0 ) > OAξAηAζ A (Oξηζ )0 > (Oξηζ )t > G
GA = A BA
（1.4）
3. 发射坐标系与箭体坐标系 关系角3个：
ϕ ψ γ
俯仰角。 偏航角。 滚转角。
转换矩阵（G>B）：
cosϕ cosψ sinϕ cosψ − sinψ ⎤ ⎡ ⎥ cos sin sin sin cos sin sin sin cos cos cos sin − + ϕ ψ γ ϕ γ ϕ ψ γ ϕ γ ψ γ BG = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣cosϕ sinψ cos γ + sinϕ sin γ sinϕ sinψ cos γ − cosϕ sin γ cosψ cos γ ⎥ ⎦
−1
(1.17)
平移坐标系与发射坐标系 由于平移坐标系与发射惯性坐标系各轴始终保持平行，因此， 这两个坐标系与地面坐标系之间的方向余弦阵应是相同的，即
GT = GA
(1.23)
如果将地球考虑成标准椭球体，则只需将上述方向余弦阵元素 中之地心方位角和地心纬度分别代入以大地方位角及大地纬度 即可。
α0 ,φ0 −− > A0 , B0
用于建立火箭相对于地面的运动方程，便于描述火箭相对大气 运动所受到的作用力。
以上是该坐标系的一般定义。 当把地球分别看成是圆球或椭球时，其坐标系的具体含意是不 同的。因为过发射点的圆球表面的切平面与椭球表面的切平面 不重合。 圆球地球时Oy轴与过O点的半径重合，如图1.1所示，
椭球地球时Oy轴与椭圆过O点的主法线重合，如图1.2所示。 Oy与赤道平面的夹角分别称为地心纬度和地理纬度。 在不同的切平面Ox轴与子午线切线正北方向的夹角分别称为地 心方位角和射击方位角. 这些角度均以对着Oy看去顺时针为正.。
或另选三个方程：
sin β = cos(θ −ϕ)cosσ sinψ cos γ + sin(ϕ −θ )cosσ sin γ − sinσ cosψ cos γ − sinα cos β = cos((θ −ϕ)cosσ sinψ sin γ + sin(θ −ϕ)cosσ cos γ − sinσ cosψ sin γ 1 sinν = (cosσ cosψ sin γ − sinψ sinα ) cosσ
1.1.2 坐标系间变换
1. 地心惯性坐标系与地心坐标系 关系角1个： ΩG 转换矩阵（I>E）： 两X轴之间的夹角。
⎡ cos ΩG sin ΩG 0⎤ ⎢ ⎥ EI = ⎢− sin ΩG cos ΩG 0⎥ ⎢ 0 1⎥ ⎣ 0 ⎦
（1.2）
2. 地心坐标系与发射坐标系 关系角3个：
λ0 φ0 α0