机械优化设计试卷期末考试(补充版)
机械优化设计期末考试试卷
机械优化设计期末复习题一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。
15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
二、选择题1、下面 方法需要求海赛矩阵。
09-10机械优化设计试卷期末考试及答案
第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
二、名词解释 1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。
机械优化设计试题及答案
机械优化设计试题及答案### 机械优化设计试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共10分）1. 机械优化设计的最基本目标是什么？- A. 最小化成本- B. 最大化效率- C. 确保安全性- D. 以上都是2. 以下哪个是优化设计中常用的数学方法？- A. 线性代数- B. 微积分- C. 概率论- D. 几何学3. 在进行机械优化设计时，以下哪个因素通常不是设计变量？ - A. 材料选择- B. 尺寸参数- C. 工作温度- D. 制造工艺4. 机械优化设计中，约束条件通常包括哪些类型？- A. 应力约束- B. 位移约束- C. 速度约束- D. 所有上述5. 以下哪个软件不是用于机械优化设计的？- A. ANSYS- B. MATLAB- C. AutoCAD- D. SolidWorks#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述机械优化设计的基本步骤。
2. 解释什么是多目标优化，并举例说明其在机械设计中的应用。
#### 三、计算题（每题15分，共30分）1. 假设有一个机械臂设计问题，需要优化其长度以获得最大的工作范围。
如果机械臂的长度 \( L \) 与工作范围 \( R \) 的关系为 \( R = L \times \sin(\theta) \)，其中 \( \theta \) 是机械臂与水平面的夹角，\( 0 \leq \theta \leq 90^\circ \)，求当 \( \theta = 45^\circ \) 时，机械臂的最佳长度 \( L \)。
2. 考虑一个简单的梁结构，其长度为 \( 10 \) 米，承受均布载荷\( q = 10 \) kN/m。
若梁的弯曲刚度 \( EI \) 为 \( 1 \times10^7 \) Nm²，求梁的最大挠度 \( \delta \)。
#### 四、论述题（每题15分，共30分）1. 论述机械优化设计在现代制造业中的重要性。
机械优化设计期末考试试卷
机械优化设计期末复习题一、填空题1。
组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件。
2。
函数在点处的梯度为，海赛矩阵为3。
目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数。
4。
建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。
5。
约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6。
随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。
7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法,其收敛速度较慢。
8。
二元函数在某点处取得极值的必要条件是, 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题，这种方法又被称为升维法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束,，另外应当尽量减少不必要的约束。
13．目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1，空间中描述出来，为了在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。
14。
数学规划法的迭代公式是,其核心是建立搜索方向，和计算最佳步长。
15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。
16。
机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
二、选择题1、下面方法需要求海赛矩阵。
A、最速下降法B、共轭梯度法C、牛顿型法D、DFP法2、对于约束问题根据目标函数等值线和约束曲线，判断为，为。
A．内点；内点B。
外点;外点C。
内点;外点D。
外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题.A 无约束优化问题B只含有不等式约束的优化问题C 只含有等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法，它是一种___________。
(完整)机械优化设计试卷期末考试及答案,推荐文档
⎣ ⎦ 第一、填空题1. 组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。
2. 可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其指标的确定 。
3. 多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段、偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。
4. 各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。
5. 建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映工程实际问题 的基础上力求简洁 。
6. 系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。
7. 函数 f(x ,x )=2x 2 +3x 2-4x x +7 在 X =[2 3]T 点处的梯度为，Hession1 2 1 2 1 2 0矩阵为 。
（2.）函数 f (x , x )= x 2 + x 2 - 4x x+ 5 在 X =⎡2⎤⎡-12⎤ 点处的梯度为，海赛 12121 2⎢4⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ 2 -4⎤矩阵为⎢-4 2 ⎥ 8. 传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。
9. 串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。
10. 与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。
11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。
12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是∇f (X 0 )= 0 必要条件是该点处的海 赛矩阵正定。
13. 对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。
14. 加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从正态分布。
15. 数学规划法的迭代公式是X k +1 = X k +kd k ，其核心是 建立搜索方向，和 计算最佳步长 。
16. 机械优化设计包括 建立优化设计问题的数学模型和 模型求解 两方面的内容。
17. 无约束优化问题的关键是确定搜索方向 。
机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)汇编
4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作： ｘ*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，x ｎ*]T使该设计点的目标函数Ｆ(x*)为最小，点x*称为最优点（极小点）。
相应的目标函数值Ｆ(x*)称为最优值（极小值）。
一个优化问题的最优解包着最优点（极小点）和最优值（极小值）。
把最优点和最优值的总和通称为最优解。
或：优化设计就是求解n 个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x ∈Ｒn s.t. ｇu （ｘ）≤0，ｕ＝1,2,．．．,m ； ｈv （ｘ）＝0，ｖ＝1,2,．．．,p<n称x*为最优解，f(x*)为最优值。
最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解 2．共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。
. 对于二次函数，()12T T f X X GX b X c =++,从k X 点出发，沿G 的某一共轭方向kd 作一维搜索，到达1k X+点，则1k X +点处的搜索方向jd 应满足()()10Tj k k dgg +-=，即终点1k X +与始点k X 的梯度之差1k k g g +-与k d 的共轭方向j d 正交。
8 数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。
数值计算迭代法的基本思想：数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。
（5分） 其迭代法计算的基本格式是：从一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k)和适当的步长α(k)，从而到一个新点，即： X(k+1)＝x(k)＋α(k)S(k) k=0,1,2,3……….式中：x(k)——前一步取得的设计方案（迭代点）。
在开始计算时，即为迭代的初始点x(0)； X(k+1)——新的修改设计方案（新的迭代点）；S(k)——第k 次迭代计算的搜索方向（可以看作本次修改设计的定向移动方向）； α(k)——第k 次迭代计算的步长因子，是个数量的。
大学期末考试机械优化设计复习题及其答案
1化问题的三要素：设计变量，约束条件， 目标函数。
2机械优设计数学规划法的核心：一、建立搜索方向，二、计算最佳步长因子 3外推法确定搜索区间，函数值形成 高-低-高 区间4数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长5若n 维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)TGd1=0，则d0、d1之间存在_共轭关系6，与负梯度成锐角的方向为函数值 下降 方向，与梯度成直角的方向为函数值 不变 方向。
外点；内点的判别7那三种方法不要求海赛矩阵：最速下降法 共轭梯度法 变尺度法 8、那种方法不需要要求一阶或二阶导数： 坐标轮换法 9、拉格朗日乘子法是 升维法 P3710、惩罚函数法又分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法、混合惩罚函数法三种11，.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦12.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，同时必须是设计变量的可计算函数 。
13.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
14.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
15，.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
16.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
17二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定18.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
19，改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩20坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题21．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
扬州大学大三机械专业机械优化设计试卷期末考试及答案
扬州大学机械优化设计试卷（A ）班级：_________学号__________姓名___________（注意：试卷满分100，时间100分钟，请考生将答案做于试卷答题纸上，违者以零分处理）第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
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第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k XX d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
二、名词解释1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。
2．可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。
3．设计空间：n 个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合 4．.可靠度 产品在规定的条件，规定的时间内完成规定功能的概率. 5．收敛性是指某种迭代程序产生的序列(){}0,1,k X k =⋅⋅⋅收敛于1lim k k XX +*→∞=6.非劣解：是指若有m 个目标()()1,2,i f X i m =⋅⋅⋅，当要求m-1个目标函数值不变坏时，找不到一个X ，使得另一个目标函数值()i f X 比()i f X *，则将此X *为非劣解。
7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。
8.可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。
9.维修度 在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间t 内修复完毕的概率 1、设计变量答：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数（或 需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数） 2、目标函数答：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的函数，称为目标函数（或 用设计变量来表达所追求目标的函数） 3、设计约束答：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束（或 对设计变量取值限制的附加设计条件） 4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作： ｘ*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，x ｎ*]T使该设计点的目标函数Ｆ(x*)为最小，点x*称为最优点（极小点）。
相应的目标函数值Ｆ(x*)称为最优值（极小值）。
一个优化问题的最优解包着最优点（极小点）和最优值（极小值）。
把最优点和最优值的总和通称为最优解。
或：优化设计就是求解n 个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x ∈Ｒn s.t. ｇu （ｘ）≤0，ｕ＝1,2,．．．,m ； ｈv （ｘ）＝0，ｖ＝1,2,．．．,p<n称x*为最优解，f(x*)为最优值。
最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解 三、简答题1．什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？ 1）内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。
内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。
内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。
相邻两次迭代的惩 在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。
外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。
外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列。
惩罚因子按下式递增1(1,2,)kk r cr k -==⋅⋅⋅，式中c 为惩罚因子的递增系数，通常取5~10c =2．共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。
. 对于二次函数，()12T T f X X GX b X c =++,从k X 点出发，沿G 的某一共轭方向kd 作一维搜索，到达1k X+点，则1k X +点处的搜索方向jd 应满足()()10Tj k k dgg +-=，即终点1k X +与始点k X 的梯度之差1k k g g +-与k d 的共轭方向j d 正交。
3．为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？.答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。
共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。
其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。
所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。
4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系。
略5.算法的收敛准则由哪些？试简单说明。
略6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明。
略7．简述随机方向法的基本思路答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。
从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的X 值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。
然后将起始点移至X ，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。
8 数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。
数值计算迭代法的基本思想：数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。
（5分） 其迭代法计算的基本格式是：从一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k)和适当的步长α(k)，从而到一个新点，即： X(k+1)＝x(k)＋α(k)S(k) k=0,1,2,3………. 式中：x(k)——前一步取得的设计方案（迭代点）。
在开始计算时，即为迭代的初始点x(0)； X(k+1)——新的修改设计方案（新的迭代点）；S(k)——第k 次迭代计算的搜索方向（可以看作本次修改设计的定向移动方向）； α(k)——第k 次迭代计算的步长因子，是个数量的。
计算题 1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010TX=。
初始点为()[]01010TX =，则初始点处的函数值和梯度分别为()()0120121700164200410140f X x x f X x x =+⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，沿梯度方向进行一维搜索，有()010000010200102001014010140X X f X αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件()()[]()()()(){}()αϕααααααααmin 14010514010200104200108min min 200020001=-⨯+-⨯-⨯+-⨯=∇-=X f X f X f()001060000596000ϕαα'=-=，从而算出一维搜索最佳步长 0596000.05622641060000α==则第一次迭代设计点位置和函数值01010200 1.245283010140 2.1283019X αα--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。
按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。
2、试用黄金分割法求函数()20f ααα=+的极小点和极小值，设搜索区间[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+⨯-=计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。
因为()()12ff αα>。
所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。
第一次迭代：插入点10.6944α=， 20.50560.618(10.5056)0.8111α=+-=相应插入点的函数值()()1229.4962,25.4690f f αα==，由于()()12ff αα>，故消去所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，则形成新的搜索区间[][][]1,6944.0,,1==b a b α。
至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。
3．用牛顿法求目标函数()22121625f X x x =++5的极小点，设()[]022TX=。
解：由 ()[]022T X =，则()11022326450100f x x f X x f x ∂⎢⎥⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎢⎥∇===⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦()22211220222212320050f f x x x f X f f x x x ⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂∂⎡⎤⎢⎥∇==⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎣⎦，其逆矩阵为()12010321050f X -⎡⎤⎢⎥⎡⎤∇=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此可得：()()11020010264032211000050X X f X f X -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦()15f X =，从而经过一次迭代即求得极小点[]00TX *=，()5f X *=4.下表是用黄金分割法求目标函数 ()20f αα=+的极小值的计算过程，请完成下表。