22.五年级奥数第22讲——分解质因数
北师大版小学数学五年级上册《分解质因数》知识点讲解突破
分解质因数知识精讲1.质因数和分解质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就是这个合数的质因数。
如30=2×3×5，2，3，5就是30的质因数。
把一个合数分解成若干个质数相乘的形式，这个过程就叫作分解质因数。
2.分解质因数的方法（1）分解法不断把这个合数分解成一个质数和另一个数相乘的形式，一直到最后都是质数为止，以把24分解质因数为例。
242 × 122 × 62 × 3上面第一步是把合数24分解成2×12，接着再把12分解成2×6，再把6分解成2×3，最后整理可得：24=2×2×2×3。
（2）短除法短除法是指不按一般的除法竖式格式书写，而是在被除数的左边写除数、在被除数的下面直接写出商的方法。
用短除法分解质因数时，从最小的质数除起，如果得到的商是质数，就把除数和商写成相乘的形式；如果得到的商是合数，就继续除，直到所得商是质数为止，最后把所有除数和最后的商写成连乘的形式。
如： 2 242 122 63因此，24=2×2×2×3。
易错易误点1.质因数分解不完全分解质因数时，容易出现分解的最后结果中仍有合数的情况。
如将36分解质因数的结果写成36=2×3×6。
这里，6是合数，不是质数，这是错误的，最后结果必须分解为全是质数的形式。
因此需要继续将6分解质因数，最后得到的结果应该是36=2×2×3×3。
2.用短除法分解质因数时除数不是质数如： 4 482 122 63所以48=4×2×2×3。
这里错在第一个除数4不是质数，所以这个分解质因数的结果是错误的，正确结果应该是48=2×2×2×2×3。
典型例题例1 请把56分解质因数。
解析：可以用分解法进行，即用分解的形式把56一步一步用整数乘法分解，直到全部分解为质数相乘的形式为止。
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例5、幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分，但今天刚好又新 入园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分两个苹果，原来有多少个小 朋友？
【分析】苹果正好均分，说明苹果的个数是两个自然数的乘积，分解420，可以得到以下情况
420=2×210=3×140=4×105=5×84=6×70=7×60=10×42=12×35=14×30=15×28=20×21
小朋友增加了一个，每个小朋友的苹果数少了2个。说明当其中一个数增加1，另一个数就会减小2。 从上面的分解中，可以看出，14×30符合这个要求。所以原来有14个小朋友。
请思考？是否可以利用题目条件，不用把全部数分解出来
对5040进行分解，如下： 5040=4×1260 =2×2×4×315 =2×2×2×2×9×35 =2×2×2×2×3×3×5×7
对分解后的数字进行组合，使成为4个连续的自然数相乘。因为8个质数中，有4个2，2个3，所以必 定有一个数不变，应该为7。（如果7还需要组合，会如何）
尝试对8个质数进行重新组合，可以得到他们的年龄为7、8、9、10岁。
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例4、小明家的电话号码是七位数，它恰好是八个连续质数的乘积，这 个积的后四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？
【分析】这个七位数的后四位数是前三位数的10倍，则可以把这个七位数用 abcabc0表示。 因为：abcabc0 =abc ×1001×10= abc ×2×5×7×11×13
小学五年级数学上册 分解质因数名师课件 青岛版
把一个合数用质因数相乘的形式表 示出来叫做分解质因数。
6、28和60可以写成哪几个质数相乘的形式？
6
28
2 ×3 6 = 2×3
4 ×7 2 ×2 ×7 28 = 2×2×7
60
6 × 10
2 ×3 × 2 × 5 60 = 2×3 × 2×5
做一做：把24分解质因数。
• 52 ＝ 13 × 4，13和4都是 52的因数吗？都是52的质因 数吗？
1、有没有简便的分解质因数的方法？
（1）利用乘法口诀 （2）抓住数的特点
2、用短除法的方法分解质因数是怎 样除的？除数必须是什么数？必须 除到最后的商是什么数为止？
1、下列各式是分解质因数吗？为什么？
（1）8=2×4
（3）12=2+3+7
（2）15=3×5×1 （4）20=2×2×5
2、每行中哪个数与其他的数不一样？ 4 16 18 19 22 32 34 40 3 5 7 9 11 13 17 19 3 18 27 45 51 53 63 75 6 12 18 24 30 36 42 58
24= 4×6
24= 2×2×6 24= 4×2×3
24= 2×2×2×3
合数＝质数×质数×……×质数
能否写成几个质数相乘的形式？
• 4 ＝（ ）×（ ）
•
❖9 ＝（ 3 ）×（ 3 ）
❖10＝（ 2 ）×（ 5 ）
8 ＝（ 2 ）×（2 ） × （2）
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式， 这几个质数叫做这个合数的质因数。
√
判断下面各题，对的画“√”，错的画 “×”，并说明理由。
（1）35分解质因数是35＝1×5×7（× ）
(精品文档)五年级奥数2.1分解质因数
分解质因数一、基本概念和知识：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
二、典例剖析：例1、用短除法分解质因数。
360 220例2、四个学生，年龄恰好是四个连续的自然数，他们年龄的积使3024，你知道他们的年龄吗？练习、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.例3、四个自然数的乘积是80，并且其中三个数的和与第四个数相等，这四个自然数分别是但是？练习、把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
例4、72一共有多少个因数？72=2×2×2×3×3=23×32（3+1）×（2+1）=12个练习、100一共有多少个因数？例5、求72的所有因数的和。
72=2×2×2×3×3=8×98的因数有1、2、4、8,9的因数有1、3、9，所以72的所有因数的和=（1+2+4+8）×（1+3+9）=195练习、求100的所有因数的和。
例6、1×2×3×4×5×···×50，积的末尾一共有多少个0？练习1、1×2×3×4×5×···×100，积的末尾一共有多少个0？练习2、325×472×765×895×A的积的最后六位都是“0”，那么A最小是多少？练习3、975×935×972×A的积的最后四位都是“0”，那么A最小是多少？练习4、135×115×35×A的积的最后三位都是“0”，那么A最小是多少？例1、边长为自然数，面积为60平方厘米的形状不同的长方形共有多少种？例2、底和高都是自然数，面积为60平方厘米的平行四边形有多少种？例3、边长为自然数，面积为144的正方形共有多少种？边长是多少？方法一：列举。
五年级数学《分解质因数》ppt课件
分数的分子和分母都除 以相同的数，分数的大小 不变。 你还能举出这样的例子吗？
小组相互说一说。
分数的分子和分母都乘以或都除 以相同数，分数的大小不变。
右边的式子对 吗？为什么？
2 5
22
5
4 5
3 33 9
4 444 16
分数的分子和分母都乘以或都除以 相同的数(0,分除数外的）大, 分小数不的变大。小不变。
折一折:
拿出三张同样大的正方形分
别折出 1 、 2 、 4 , 再
2
4
8
涂上颜色。
1
2
4
想一想2 ： 4
8
这三个分数有什么不同的地方？有什么
相同的地方？
12 2 、4
4 、8
这三个分数的分子、分母虽然不
同，但分数的大小相等。
仔细观察：从左往右看，三个分数 得分子和分母是按什么规律变化的？
1 2
2 2
） ）＝
10 20
9 18
＝
9 18
÷（ ÷（
9 9
） ）＝
1 2
2.在下面的括号里填上适当的数。
1 5
＝（135 ）
15 20
＝（
3 4
）
9 18
＝（
3 6
）
1 4
＝（132）
8 16
＝（
4 8
）＝（
1 2
）
2 9
＝（148）＝（267）＝
（10 45
）
4 18
4 18
45
18 5
2
12
分子乘以5 分母除以4
（3）一个分数的分母缩小3倍；分子缩小3倍
（4）一个分数的分子扩大2倍。分母扩大2倍
22.五年级奥数第22讲——分解质因数
12.a,b,c三个数都是两位数，且a＜b＜c,已知他们的和是偶数，他们的积是3960，则a,b,c三个数分别是多少？
13.在一位正整数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有乘积的总和是多少？
【例5】幼儿园给小朋友分苹果，420个苹果正好均分，但今天刚好又新入园一个小朋友，这样一来，每个小朋友就要少分两个苹果，原来有多少个小朋友?
随堂练习5
幼儿园的老师给小朋友送来40个桔子，200块饼干，120粒奶糖，平均分完，还剩4个桔子，20块饼干，12粒奶糖。这个班里共有多少位小朋友。
【例6】由多于30人少于50人的学生围成一个圆圈，从某人开始连续报数，如果报到30和198的是同一个人时，请问一共有多少个人？
随堂练习6
某班同学在班主任老师的带领下去种树，学生正好平均分成三组，老师与每个学生种树一样多，共种了1073棵树，平均每人种了多少棵？
练习题：
1.把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出它们分别有多少个两位数的因数。
146＝
255＝
360＝
400＝
2.已知自然数a有两个因数，那么3a有几个因数?
3.165有多少个因数？这些因数的和是多少？
学生课程讲义
课程名称
五年级奥数
上课时间
任课老师
沈老师
第22讲，
本讲课题：分解质因数
内容概要
将一个合数分解成若干个质数乘积的形式，称为分解质因数，此时分解式中因数称为质因数，如：15=3×5，就是将15分解为两个质数的积。
分解质因数时，我们常用短除法。
【例1】有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？
五年级奥数基础教程-分解质因数
小学数学奥数基础教程(五年级)分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。
把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。
例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。
例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。
为此，我们先将13824分解质因数：把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。
所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。
例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。
为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。
2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。
所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。
例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？分析与解：首先将90909分解质因数，得 90909=33×7×13×37。
五年级奥数之分解质因数
五年级奥数之分解质因数分解质因数例1：判断269和439是否为质数。
例2：已知两个质数的和为40，求这两个质数的乘积的最大值。
例3：求36和216的全部因数个数。
例4：求36和216的因数和。
例5: ___是一名中学生，他参加了全市的数学竞赛，满分为100分。
他表示：“我的名次、分数和年龄的乘积为3738.”求___的得分和名次。
例6: ___、___和___是三个好朋友，他们的年龄依次相差2岁。
已知他们的年龄之积为1680，其中年龄最大的上了初中，___和___在同一学校研究，且___不是年龄最小的。
求三个好朋友的年龄。
例7: 在连续九个自然数中，最多有几个质数？为什么？例8：将14、33、35、30、75、39、143、169这八个数平均分成两组，使得每组数的乘积相等。
例9：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值和这个平方数。
例10：已知有三个自然数a、b、c，满足a×b=6，b×c=15，10.求a×b×c的值。
应用与拓展1.求两个质数和为45时，这两个质数的积。
2.求共有几个两位质数，将其十位数字和个位数字对调后仍为两位质数，并求它们的和。
3.求100以内所有只有三个因数的自然数的和。
4.将1008分解质因数，并求出其因数的个数和因数的和。
5.___参加小学数学竞赛，满分为100分。
他表示：“我的分数、年龄和名次的乘积为2134.”___的年龄、考试成绩和名次。
6.设a、b、c、d均为不同的质数，且满足a+b+c=d。
求a×b×c×d的最小值。
7.有九张卡片，上面分别写着数字1、2、3、4、5、6、7、8、9.甲、乙、丙各拿了三张卡片。
甲拿的三张卡片上的数字乘积为24，乙拿的三张卡片上的数字乘积为48，丙拿的三张卡片上的数字之和为21.求丙拿的是哪三张卡片。
8.在射箭运动中，运动员每射一箭的环数只能是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10之一。
五年级奥数专题 质数、合数、分解质因数(学生版)
学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。
质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。
在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分,即,0和1,质数,合数。
2. 最小的质数是2,最小的合数是4。
3. 常用的100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为1,3,7,94. 部分特殊数的分解：=⨯1000173137=⨯=⨯⨯1111141271=⨯100171113111337=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯⨯1998233337199535719=⨯⨯⨯+==⨯⨯10101371337 2008222251=⨯⨯⨯200720084015511735. 质数的判定方法判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。
例如：判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。
251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251)17=14…13,此时除数17＞商14,由此说明251是质数。
分解质因数的原理
分解质因数的原理嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个数学上的小玩意儿——分解质因数。
这玩意儿听起来可能有点枯燥，但别急，我会尽量让它变得有趣一些。
首先，啥是质因数呢？简单来说，质因数就是那些只能被1和它本身整除的数，比如2、3、5、7这些。
这些数字就像是数字世界的“基本粒子”，因为任何大于1的自然数都可以被分解成这些“基本粒子”的乘积。
举个例子，比如说数字28，我们可以把它分解成2乘以2乘以7，也就是2^2 * 7。
这里的2和7就是28的质因数。
这个过程，就是分解质因数。
那么，为啥我们要分解质因数呢？这背后其实有很多有趣的应用。
比如在密码学中，分解质因数就是RSA加密算法的基础。
想象一下，如果你有一个超级大的数字，别人想要破解它，就需要找到它的质因数。
但是，如果这个数字足够大，那么找到它的质因数就像是在大海里捞针一样困难。
现在，让我给你讲一个我亲身经历的故事，来说明分解质因数的过程。
记得有一次，我在学校的数学课上，老师让我们分解一个数字：315。
我当时就想，这数字看起来挺普通的，应该不难分解。
我先试了试2，不行，因为315是奇数。
然后我试了试3，嘿，315除以3等于105，可以整除！所以3是315的一个质因数。
接下来，我又试了试5，105除以5等于21，又可以整除！所以5也是315的一个质因数。
最后，21除以3等于7，7是一个质数，所以7也是315的一个质因数。
所以，315的质因数分解就是3 * 3 * 5 * 7，或者说3^2 * 5 * 7。
这个过程就像是在解开一个数字的密码，每找到一个质因数，就像是解开了一层谜题。
通过这个故事，你可以看到分解质因数其实并不复杂，只需要耐心地尝试不同的质数，直到找到所有的质因数为止。
这个过程虽然有点繁琐，但是当你找到所有的质因数时，那种成就感是无与伦比的。
最后，我想说的是，分解质因数不仅仅是一个数学概念，它在我们的日常生活中也有很多应用。
比如在计算机科学中，分解质因数可以帮助我们设计更安全的加密算法。
五年级奥数用分解质因数法解决问题
用分解质因数法解决问题用分解质因数的方法解决有关数学问题应用广泛，且趣味性强。
在解决有关整除问题时，一般先把数分解成质因数的连乘积，然后根据需要把某些质因数组合得到所需的因数，在组合时千万不要漏掉满足要求的解。
例1：有三个学生，他们的年龄恰好一个比另一个大2岁，而他们的年龄的乘积为2688.那么他们的年龄各是多少？变式训练：把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920，这篮苹果共有几个？例2：王老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成四组。
已知老师和学生共种树539课，老师与学生每人中的树一样多，并且不少于10棵。
每人种了几棵树？变式训练：植树节那天，学校要求两位老师组织五年级的同学将893棵植栽完。
要求全部同学平均分成5组，老师和同学所种植的数量相同。
如果你是校长你会怎样安排植树。
你知道一共去植树的同学有多少位吗？例3：马鹏和李虎计算甲、乙两个大于1的自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407.那么，甲、乙两数的乘积应是多少？变式训练：甲、乙两个人计算自然数A和B的乘积，甲把B的个位数字看错了，得到的积是522；乙把B的十位数字看错了，得到的积是667.那么A,B两数的乘积是多少？例4：育才小学师生为贫困地区捐款1995元，这所学校共有35名教师，14个教学班，各班的学生人数相同，且多于30人，不超过45人。
如果每人平均捐款的钱数都是整元数，那么该校有学生多少人？平均每人捐款多少元?变式训练：有3250个橘子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。
已知每个小朋友分得的橘子数接近40个。
求这个幼儿园有多少名小朋友？提高训练：1.四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数的乘积是2910，这个学生得第几名，成绩是多少分？2.李老师带领同学去种树，学生恰好平均分成三组。
如果老师比每个学生多种5棵，则师生共种树511棵。
小学奥数教程：分解质因数(一)全国通用(含答案)
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分3例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
小学五年奥数-质数合数分解质因数
质数、合数和分解质因数【知能大展台】一个自然数，如果只有1和它本身这两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
【试金石】例1：三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？【分析】由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。
另外两个质数的和是78，要使乘积尽可能的大，那么这两个质数的差值应尽可能的小。
显然，和是78的两个质数中，以41和37的差最小，即这两个数的积最大。
【解答】80=2+37+412×37×41=3034答：这三个质数的积最大是3034。
【智力加油站】【针对性训练】三个质数的和是62，这三个质数的积最大是多少？【试金石】例2：班主任李老师带领五年（一）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知李老师与学生共种了312棵树，老师与学生、每人种的树一样多，并且不超过10棵。
这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？【分析】种树总数=每人种树棵数×师生总人数即：312=每人种树棵数×（1+学生人数）由于学生人数是3的倍数，再加上李老师一人，则师生总人数被3除余1。
因此先将312分解质因数312=2×2×2×3×13，然后按题意进行组合使之成为两数之积。
【解答】312=2×2×2×3×13若312=24×13，13为师生总人数，则每人种树24棵，与题意不相符。
若312=6×52，52为师生总人数，则每人种树6棵。
答：这个班共有学生51人，每人种6棵。
【智力加油站】【针对性训练】小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号大6，小青买的电影票是几排几座？【试金石】例3在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．【解答】当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．答：原来的积为1755或1800．【智力加油站】【针对性训练】在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。
五年级奥数分解质因数讲座及练习答案
五年级奥数集训专题讲座（四）——分解质因数把一个合数，用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。
我们课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。
其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。
例1：把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个，一共有多少种不同的分法？分析：18的约数有1、2、3、6、9、18。
除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。
例2：写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。
分析：先把15120分解质因数，进而组合因数，使几个因数成为连续的自然数。
15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7=5×（2×3）×（2×2×2）×（3×3）=5×6×7×8×9【巩固练习】：有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？解：3024=2×2×2×2×2×3×3×3×7=8×6×9×7答：这四个孩子中年龄最大的是9岁。
例3：将2、5、×14、24、27、55、56、99八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
分析：14=2×7 24=2×2×2×3 27=3×3×3 55=5×1156=2×2×2×7 99=3×3×11 2 5可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11，如果要把这八个数分成两组且积相等，那么，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7，一个11。
五年级奥数-分解质因数(一)
例1 、两根同样长的铁丝， 第一根剪去18厘米，第二 根剪去26厘米，余下的铁 丝第一根是第二根的3倍。 原来两根铁丝各长多少厘 米？
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分析： 先把18分解质因数：18=2×3×3，
所以，一共有4种不同的分法。
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练习一
1，有60个同学分成人数相等的小组 去慰问解放军叔叔，每组不少于6人， 不多于15人。有哪几种分法？ 2，195个同学排成长方形队伍做早 操，行数和列数都大于1，共有几种 排法？ 3，甲数比乙数大9，两个数的积是 792，求甲、乙两数分别是多少。
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例2 、有168颗糖，平均分成若 干份，每份不得少于10颗，也不 能现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
大家好
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分解质因数（一）
主讲：刘文峰
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专题简析：
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这 个数的质因数。 把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来， 叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3， 75=3×5×5。 我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求 最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把 一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我 们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解 题。
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例3、将下面八个数平均分成 两组，使这两组数的乘积相 等。
2、5、14、24、27、55、 56、99
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分析 ：
14=2×7
55=5×11
24=2×2×2×3 56=2×2×2×7
27=3×3×3
99=3×3×11
可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个
3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八
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分析 ：
先把168分解质因数， 168=2×2×2×3×7，由于每份不 得少于10颗，也不能多于50颗，所 以，每份有2×2×3=12颗， 2×7=14颗，3×7=21颗， 2×2×2×3=24颗，2×3×7=42 颗，共有5种分法。
小学奥数教程：分解质因数 全国通用(含答案)
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。
【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】11【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这3个质数从小到大为a 、b 、c ，它们的倒数分别为1a 、1b 、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331=⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足.所以这3个质数的和为23331336++=．【答案】23331336++=【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694÷=，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481⨯-=，但4811337=⨯，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487⨯+=，而487是质数．所以原来分数分子为487．【答案】487【例 4】 将1到9这9个数字在算式()()()()()()1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有1b d cb ad a c a c a c--==⨯⨯，即有1cb ad -=，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。
五年级奥数到课本讲义：利用分解质因数解题
五年级奥数到课本讲义：利用分解质因数解题我们平时做题目时，是不是有时候会遇到一些与乘积有关的应用题，乍看起来很难，用一般的方法不是很好解答，但仔细思考后，你会发现题目里充满了玄妙，解起来还蛮有趣味性的（这也是奥数的魅力所在，会让人爱上数学的原因）。
这就是今天要讲的用分解质因数的方法来求解这一类的问题。
一般情况下，是转化为关于整除的问题（用到化归思想），然后把数分解成质因数的连乘积，再根据条件或需要把某些质因数重新组合，得到答案所需要的因数，在组合时一定要注意考虑全面（用到分类讨论的思想），可能满足要求的解不是一个，而是多个，千万不能漏掉哪一个。
那么，与这一节相关的基础知识、概念必须先掌握好。
首先，简单回忆复习一下常识：什么叫质数？就是除去他自己和1不能被其他的数整除；那什么叫合数？合数与质数恰恰相反，即自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数；质因数又是什么意思呢？在一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
按此逻辑，我们把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：36=2×2×3×3，45=3×3×5。
这一方法或过程可以通过短除法来实现，并且可以快速求出最大公因数和最小公倍数。
另外，还要记住一些特殊的情况，1既不属于质数也不属于合数；2是最小的质数，也是唯一的偶质数；最小的合数是4，也是最小的偶合数；最小的奇合数为9；所有大于2的偶数都是合数。
在这个阶段的数学学习中，所介绍的分解质因数，目的在于求出最大公约数和最小公倍数。
所谓最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。
与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，顾名思义，两个或多个整数的公倍数里最小的那一个就叫做它们的最小公倍数。
小学奥数教程之-分解质因数
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。
【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空 例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】11【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这3个质数从小到大为a 、b 、c ，它们的倒数分别为1a 、1b 、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331=⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足.所以这3个质数的和为23331336++=．【答案】23331336++=【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694÷= ，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481⨯-=，但4811337=⨯，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487⨯+=，而487是质数．所以原来分数分子为487．【答案】487【例 4】 将1到9这9个数字在算式()()()()()()1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有1b d cb ad a c a c a c--==⨯⨯，即有1cb ad -=，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。
五年级奥数专题-分解质因数
五年级奥数专题-分解质因数分解质因数（一）【专题导引】一个自然数的因数中,为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数,用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如：24=2×2×2×3,75=3×5×5。
我们数学课本上介绍的分解质因数,是为求最大公因数、最小公倍数服务的。
其实,把一个数分解成质因数相乘的形式,能启发我们寻找解答许多难题的突破口,从而顺利解题。
【典型例题】【例1】把18个苹果平均分成若干份,每份大于1个,小于18个。
一共有多少种不同的分法？【试一试】1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔,每组不少于6人,不多于15人,有哪几种分法？2、195个同学排成长方形队伍做早操,行数和列数都大于1,共有几种排法？【例2】写出若干个连续的自然数,使它的积是15120。
【试一试】1、有一个长方体,它的长、宽、高是三个连续的自然数,且体积是39270立方厘米,求这个长方体的表面积。
2、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024,问这4个孩子中最大的几岁？【例3】将下面八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99【试一试】1、有三个自然数a、b、c,已知a×b=30,b×c=35,c×a=42,求a×b×c的积是多少？2、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组,使两组四个数的乘积相等。
【例4】王老师带领一班同学去植树,学生恰好分成4组,如果王老师和学生每人植树一样多,那么他们一共植了539棵。
这个班有多少个学生？每人植树多少棵？【试一试】1、3月12日是植树节,李老师带领同学排成两路人数相等的纵队去植树,已知李老师和同学们每人植树的棵数相等,一共植了111棵树,求有多少个同学？2、小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391,而且排数比座位号数大6,小青买的电影票是几排几座？【﹡例5】下面的算式里,□里数字各不相同,求这四个数字的和。
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5.三个连续自然数的乘积是120，求这三个数。
6.小李是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘我的年龄再乘我的考试分数，结果是2910.”你能算出小李的名次、年龄、与他这次考试的分数吗？
7.学校举行跳绳比赛，取得前四名的同学恰好一个比一个大一岁，四人年龄的成绩是11880，这四个同学的年龄各是多少？
随堂练习6
某班同学在班主任老师的带领下去种树，学生正好平均分成三组，老师与每个学生种树一样多，共种了1073棵树，平均每人种了多少棵？
练习题：
1.把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出它们分别有多少个两位数的因数。
146＝
255＝
360＝
400＝
2.已知自然数a有两个因数，那么3a有几个因数?
3.165有多少个因数？这些因数的和是多少？
【例5】幼儿园给小朋友分苹果，420个苹果正好均分，但今天刚好又新入园一个小朋友，这样一来，每个小朋友就要少分两个苹果，原来有多少个小朋友?
随堂练习5
幼儿园的老师给小朋友送来40个桔子，200块饼干，120粒奶糖，平均分完，还剩4个桔子，20块饼干，12粒奶糖。这个班里共有多少位小朋友。
【例6】由多于30人少于50人的学生围成一个圆圈，从某人开始连续报数，如果报到30和198的是同一个人时，请问级奥数
上课时间
任课老师
沈老师
第22讲，
本讲课题：分解质因数
内容概要
将一个合数分解成若干个质数乘积的形式，称为分解质因数，此时分解式中因数称为质因数，如：15=3×5，就是将15分解为两个质数的积。
分解质因数时，我们常用短除法。
【例1】有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？
随堂练习1
小明是个中学生，最近他参加了一次数学竞赛，并获得了好成绩，琳琳问他：“你考了多少分？得了第几名？”小明说：“我的年龄、得分和名次相乘的积是4365.”你知道小明的年龄、得分和名次吗？
【例2】下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式。
abc×d＝1995
随堂练习2
在算式AB×CD＝1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母所代表的数字的和。
8.如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数都能被30整除，求这两个数。
9.一个整数a与1080的积是一个平方数，当a最小时，这个平方数是多少？
10.将750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数。
11.将下列8个数：14，33,35,30,39,75,143,
【例3】如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么它们的和是（ ）。
随堂练习3
一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数最小是（ ）
【例4】小明家的电话号码是个七位数，它恰好是八个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？
随堂练习4
一个七位数，它的末四位数是前三位数的10倍，且恰好是6个连续质数的成绩的4倍。求这个七位数。
169，平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？说明理由。
12.a,b,c三个数都是两位数，且a＜b＜c,已知他们的和是偶数，他们的积是3960，则a,b,c三个数分别是多少？
13.在一位正整数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有乘积的总和是多少？