哈工大数字信号处理2011试题A

A. 矩形窗 B. 汉宁窗 C. 海明窗
D. 布莱克曼窗
6 设 H a ( s) 是模拟低通滤波器的系统函数， 若 H ( z) = H a (
滤波器是哪一种通带滤波器？( A. 低通 B. 高通 B ) C. 带通
z +1 )， 问系统函数为 H ( z ) 的 z −1
D. 带阻
7 下列滤波器中，幅度响应在通带内及阻带内都具有等纹波特性的是（ D )。
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5 (15 分) 设计一个数字巴特沃思低通滤波器，给定指标为： 1）衰减 δ1 ≤ 3dB ，当 0 ≤ f ≤ 2.5Hz 2）衰减 δ 2 ≥ 40dB ，当 f ≥ 50 Hz 3）抽样频率 f s = 200 Hz 。试用双线性变换法进行设计，最后写出 H ( z ) 的表达式，并画出其结构。
π π
80
) | ≥ −3
20 log 10 | H a ( j 400 tg ( ) |≤ − 40 4 1 2 又 H a ( jΩ ) = Ω 2N 1+( )
Ωc
故
20 log10 | H a ( jΩ ) |= −10 log10 [1 + (
Ω 2N ) ] ，因而： Ωc
2N ⎡ ⎛ π)⎞ ⎤ j 400 tg ( ⎢ 4 ⎟ ⎥ ≤ −40 −10 log10 ⎢1 + ⎜ ⎥ ⎜ ⎟ Ωc ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝
A 巴特沃思滤波器 B 切比雪夫滤波器 C 反切比雪夫滤波器 D 椭圆滤波器 )。
8 以下对最小相位系统 H min ( z ) 的描述中不正确的是( A
A.在 H (e ) 相同的系统中， H min ( z ) 不唯一；
jω
B.在 H (e ) 相同的系统中， H min ( z ) 具有最小的相位滞后； C.因果稳定系统 H ( z ) 都可表示成全通系统 H ap ( z ) 和最小相位系统 H min ( z ) 的级联； D.最小相位系统 H min ( z ) 全部零点和极点都在单位圆内；
解：1） h1 (n) 和 h2 (n) 之间具有循环移位关系， h1 (n) = h2 [((n − 4))8 ] ，所以
H1 ( k ) = W84 k H 2 ( k ) ，故有： H1 (k ) = W84 k H 2 ( k ) = W84 k H 2 ( k ) = H 2 (k )
所以， h1 (n) 和 h2 (n) 的 8 点 DFT 的幅度是相等的。
解： T =
1 = 5 × 10 −3 fs ，
ωc = 2π f cT = 2π × 2.5 ×
采用双线性变换法: 由指标要求得：
1 π 1 π = , ωst = 2π f stT = 2π × 50 × = 200 40 200 2 ω 2 Ω = tg( ) T 2
20 log 10 | H a ( j 400 tg (
∴ Y (k ) 是 将X (k )(周期为 N ) 延拓 r 次形成的，即Y (k )周期为 rN 。
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3 （10 分）已知已知 X (k ) ， Y (k ) 是两个 N 点实序列 x(n) ， y (n) 的 DFT 值，今需要从 X (k ) ， Y (k ) 求 x(n) ， y (n) 的值，为了提高运算效率，试用一个 N 点 IFFT 运算一
遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范
∑e
k =0
7
− jπ k / 4
X [k ] =
8
。
4、 DFT并不是一种新的傅立叶变换，其与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期 序列 截取主周期 ，而周期序列可以看成是有限长序列的 周期延拓 。
5、 长度为 N 的序列 x(n) 的 N 点离散傅立叶变换为 X (k ) ，若 x(n) 为偶对称，且 N 为偶 数，即 x(n) = x( N − 1 − n) ，则 X ( N 2) = 0 。
教研室主任签字：
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8、 如果一台通用机算计的速度为平均每次复乘 5us,每次复加 0.5us,用它来计算 512 点的 DFT[x(n)]，直接计算需要 1441536 us，用FFT需要 13824 us（不考虑某些旋转因 子的特殊性） 。 9、 在利用窗函数法设计FIR滤波器时， 由于使用窗函数截短造成了滤波器通带和阻带内的 波动，我们称这种现象为 _吉布斯效应 。
x(n) -0.85 z
-1
A.低通特性
y(n) -1
C.带通特性
2 已知 DFT [ x(n)] = X (k ) ，下面说法中正确的是（ B ）。
A.若 x(n) 实偶对称， X (k ) 为虚奇对称； B.若 x(n) 实奇对称，则 X (k ) 为虚奇对称； C.若 x(n) 虚偶对称， X (k ) 为虚奇对称； D.若 x(n) 虚奇对称，则 X (k ) 为虚奇对称。
jω
得分
e− jn0ω
。
姓名:
2、 为作频谱分析，对模拟信号以 10kHz的速率进行抽样，并计算了 1024 个抽样的离散傅 立叶变换，频率分辨率为 9.77 Hz。 8 点 DFT 。 则
3、 X [ k ], 0 ≤ k ≤ 7 是 序 列 x[ n] = { - 5, 7, - 2, 3, 6, -1, 3, 1} 的
附表：巴特沃思归一化模拟低通滤波器部分参数 阶数(N) 1 2 3 4 分母多项式sN+bN-1sN-1+bN-2sN-2+…+b1s+ b0的系数 b0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.4142 2.0000 2.6131 2.0000 3.4142 2.6131 b1 b2 b3
e jωn dω =
sin[ωc (n − α )] π (n − α )
2）为了满足线性相位条件，要求 α =
N −1 ， N 为矩形窗函数的长度。加矩形窗函 2
sin[ωc (n − α )] ⋅ RN (n) π (n − α )
数得到 h(n) ： h(n) = hd (n) ⋅ RN (n) =
,

0 ≤ k ≤ N −1
Y (k ) = DFT [ y (n) ] =
N −1 i =0
rN −1 n=0
∑ y (n)W
N −1 i =0
nk rN
irk ik = ∑ x(ir / r )WrN = ∑ x(i )WN
,
0 ≤ k ≤ rN − 1
∴Y (k ) = X ((k )) N RrN (k )
次完成。
解：依据题意：
x(n) ⇔ X (k ); y (n) ⇔ Y (k ) ，
取序列： Z (k ) = X (k ) + jY (k ) ， 对 Z (k ) 作 N 点 IFFT 可得序列 z (n) ，又根据 DFT 性质：
IDFT [ X （k） + jY （k） ] = IDFT（ [ X （k） ] + jIDFT [Y （k） ] =（ x n） + jy （n） y n） ，由原题可知： （ ，（ 都是实序列， x n） z n） =（ x n） + jy （n） 再根据 （ x n） = Re[（ z n） ]， （ y n） = Im[（ z n） ]， 可得： （
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循环卷积时，在 n = A. 0 ～92 36 ～127
C
点上循环卷积等于线性卷积。 C. 35～127 D.
B. 0 ～93
得分
三、计算证明题（共 60 分） 1 （10 分 ）如图所示，两个长度为 8 的有限长序列 h1 (n) 和 h2 (n) 之间具有循环移位的关 系，即 h1 (n) = h2 [((n − m))8 ] 。
jω
1） 求出相应的理想低通的单位抽样响应 hd (n) ； 2） 求出矩形窗设计法的 h(n) 的表达式，确定 α 与 N 之间的关系； 3） N 取奇数或偶数对滤波特性有什么影响？
解：1） hd (n) =
1 2π
∫π
−
π
H d (e jω )e jωn dω =
1 2π
∫ω e
−
c
ωc
− jωα
间补进 r − 1 个零值点，得到一个 rN 点的有限长序列：
⎧ x(n / r ) n = ir , i = 0,1," , N − 1 y (n) = ⎨ ， 其他n ⎩ 0
试求 rN 点 DFT [ y (n)] 与 X (k ) 的关系。 解：
nk X ( k ) = DFT ⎡ ⎣ x ( n )⎤ ⎦ = ∑ x(n)WN n =0 N −1
哈尔滨工业大学（威海） 2011 / 2012 学年 秋 季学期
数字信号处理
题 号 分 数 班级： 一 二 三 四 五 六 七 八
试题卷（ A ）
%
考试形式（开、闭卷）：闭卷 答题时间： 100 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 70 学号： 卷 面 总 分 平 时 成 绩 课 程 总 成 绩
一、填空题（每题 2 分，共 20 分） 1、 序列 δ (n − n0 ) 的频谱 X (e ) 为
综上所述，构造序列：
Z （k） =X （k） + jY （k） ， y n） 可用一次 N 点 IFFT 完成计算 （ ，（ 值的过程。 x n）
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4 （15 分）用矩形窗设计线性相位低通滤波器，逼近滤波器的传输函数 H (e jω ) 为：
⎧e − jωα , 0 ≤ ω ≤ ωc ⎪ ， H (e ) = ⎨ ωc < ω ≤ π ⎪ ⎩ 0,
6、 实序列 x(n) 的 10 点DFT为 X (k ), (0 ≤ k ≤ 9) ，已知 X (1) = 1 − j ，则 X (9) = 1+j_。 7、 基 2 DIT-FFT的基本运算单元是蝶形运算，完成N=16 点FFT需要 4 级蝶形运算，第 2 级共有 8 个蝶形单元、 2 个不同的旋转因子。