组合数学第四版卢开澄标准答案-第三章资料
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学 卢 习题答案
组合数学卢习题答案组合数学是数学的一个分支，研究的是离散的对象之间的组合方式和计数方法。
它在解决实际问题中有着广泛的应用，例如密码学、图论、组织管理等领域。
本文将为读者提供一些卢习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握组合数学的知识。
1. 卢习题一：从一个有10个字母的字母表中选取3个字母，可以有多少种不同的选择方式？解答：根据组合数学的知识，从n个不同元素中选取k个元素的组合数可以用C(n,k)表示。
在这个问题中，n=10，k=3，所以答案为C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120 种不同的选择方式。
2. 卢习题二：一个班级有20名学生，其中10名男生和10名女生。
如果要从这个班级中选取5名学生组成一个小组，其中至少有2名男生和2名女生，有多少种不同的选取方式？解答：这个问题可以用组合数学中的排列组合原理来解决。
首先，我们可以分两种情况来考虑：一种是选取3名男生和2名女生，另一种是选取2名男生和3名女生。
对于第一种情况，选取3名男生的方式有C(10,3) = 120种，选取2名女生的方式有C(10,2) = 45种，所以总共有120 * 45 = 5400种不同的选取方式。
对于第二种情况，选取2名男生的方式有C(10,2) = 45种，选取3名女生的方式有C(10,3) = 120种，所以总共有45 * 120 = 5400种不同的选取方式。
将两种情况的结果相加，总共有5400 + 5400 = 10800种不同的选取方式。
3. 卢习题三：有一个由0和1组成的8位二进制数，其中至少有3个1。
问这样的二进制数有多少个？解答：这个问题可以用组合数学中的排列组合原理来解决。
首先，我们可以分两种情况来考虑：一种是有3个1，另一种是有4个1、5个1、6个1、7个1和8个1。
对于第一种情况，选取3个位置放置1的方式有C(8,3) = 56种。
对于第二种情况，选取4个位置放置1的方式有C(8,4) = 70种，选取5个位置放置1的方式有C(8,5) = 56种，选取6个位置放置1的方式有C(8,6) = 28种，选取7个位置放置1的方式有C(8,7) = 8种，选取8个位置放置1的方式有C(8,8) = 1种。
组合数学(第四版)课后习题答案03
解：由定理3.4.4 6个没有区别的车放在 6 6 棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有6！种。 2个红车4个蓝车，那么放置方法是
(6!) 2 =6！×15种。 2!4!
1010 210 510
同ⅰ），由乘法原理， 1010 有11×11 = 121个因子，且互异 那么， 1010 有121个互异正因子 □
8、6男6女围坐一个圆桌。如果男女交替围坐，可有多少种围坐的方式？
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SY0721129 刘佳
解：先把6个男人循环排队，有5！种方式
再把6个女人依次插入男人的循环队列中，要求每两个男人之间插一个女的，那么有6！种 方式 由乘法原理，共有5！×6！种方式 □
解：因为有1个A，2个D，1个R，2个E，个S
9! 个。 2!2!3! 8! 8! 8! 8! 8! 8-排列的个数是 种。 2!2!3! 2!3! 2!2!3! 2!3! 2!2!2!
所以，字母的排列共有
□
—第3页—
种。 □ ⅱ) 将8个车放在 12 12 棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有
12 12 8 8 8 8! 3 种。
□
21、单词ADDRESSES的字母有多少排列？这9个字母有多少8-排列？
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SY0721129 刘佳
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第3章 排列与组合 3.6 练习题
4、下列各数各有多少互异正因子？ ⅰ) 3 5 7 11
4 2 6
ⅱ) 620 ⅲ) 10
组合数学习题答案卢开澄
1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
卢开澄组合数学--第三章习题解答
9. 题目 由推导过程知 解：
ln( G ( x )) 1 1 2
2
x 1 x 1 3
2
(1
1 2
2
2
1 3
2
)
x 1 x
6
2
ln( G ( x ))
6
ln( G ( x )) ln pn n ln ln pn x 1 x x 1 x
an an 1 1 C ,
2 n
a1 2, a0 1
n n 设 an A0 A1n A2 A3 2 3
解得
A0 A 1 A2 A3
1 1 1 1
n n an 1 n 2 3
(1 x x x x x )
2 3 4 5
其中 x 项系数为所求
8
11. 题目 解： 用归纳法可证明： 1）当k=1时命题成立 2）设当k=N时命题成立 即N可唯一表示成不同且不相邻的F 数之和。 则当k=N+1时，明显可以分成N的序列 再加上1（ F2），但这可能会不能满足 “不同且不相邻”的条件。 下面予以讨论
n 1
[(4 2 2 1) ( 4
n n
n 1
22
n 1
1)]
2 )
n
6. 题目 解：
参见第四题解答前半部分。
7. 题目 解：题设中序列的母函数为：
G ( x ) C ( n, n) C ( n 1, n) x C ( n k , n) x
13. 题目 解： 设符合条件的n位二进制数的个数为hn 这些数中一共有a n个0 当n位二进制数最高位为1时,符合条件 的n位二进制数的个数为 hn 1
组合数学第三章答案
3.1题（宗传玉）某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议解:设A i为甲与第i个朋友相遇的会议集，i＝1，…，6．则故甲参加的会议数为:28+5=33.3.2题（宗传玉）求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数.解:设A3：被3整除的数的集合A5：被5整除的数的集合A7：被7整除的数的集合所以3.3.题（宗传玉）n个代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。
解:每个人的朋友数只能取0，1，…，n－1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n－2．故这n个人的朋友数的实际取数只有n－1种可能．，所以至少有２人的朋友数相等．3.4题（宗传玉）试给出下列等式的组合意义.解:(a) 从n 个元素中取k 个元素的组合，总含有指定的m 个元素的组合数为)()(kn m n mk m n --=--。
设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m ,Ai 为不含a i 的组合（子集），i=1,…,m.()∑∑∑==∈⊄==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ml l m l l m i i lj i lk l n k m A k n k n m n k l n l j 01),(),...,(1m1i i i i i 1)1(A A A A 111213.5题（宗传玉）设有三个7位的二进制数：a1a2a3a4a5a6a7，b1b2b3b4b5b6b7，c1c2c3c4c5c6c7．试证存在整数i 和j，1≤i≤j≤7，使得下列之一必定成立：a i=a j=b i=b j，a i=a j=c i=c j，b i=b j=c i=c j．证：显然，每列中必有两数字相同，共有种模式，有０或１两种选择．故共有·2种选择．·2=6．现有7列，．即必有２列在相同的两行选择相同的数字，即有一矩形，四角的数字相等．3.6题（宗传玉）在边长为1的正方形内任取5个点试证其中至少有两点，其间距离小于证：把１×１正方形分成四个(1/2)×(1/2)的正方形．如上图.则这５点中必有两点落在同一个小正方形内．而小正方形内的任两点的距离都小于．3.7题（王星）在边长为1的等边三角形内任取5个点试证其中至少有两点，期间距离小于1/2．证：把边长为１的三角形分成四个边长为1/2的三角形，如上图：则这５点中必有两点落在同一个小三角形中．小三角形中任意两点间的距离都小于1/2．3.8题（王星）任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。
组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页
组合数学参考答案（卢开澄第四版）60页1.1题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|?5；解决方案：（1）：从| A-B |=5？A-B=5或A-B=5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对序列总数=94+96+5201.2题5个女生，7个男生进行排列，(a)若女生在一起有多少种不同的排列？(b)女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c)两男生a和b之间正好有3个女生的排列是多少？解决方案：（a）五个女孩可以被视为一个单元，总共八个单元可以全部安排。
安排号码是：8！×5！，（b）男孩用X，空缺用y。
把男孩放在第一位。
总共有8个空缺在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数：c（8，5）×7！×5！（c）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6.若a，b之间存在0个男生，a，b之间共有3个人，所有的排列应为p6=c(5,3)*3!*8!*21．若a，b之间存在1个男生，a，b之间共有4个人，所有的排列应为p1=c(5,1)*c(5,3)*4!*7!*22．若a，b之间存在2个男生，a，b之间共有5个人，所有的排列应为p2=c(5,2)*c(5,3)*5!*6!*23．若a，b之间存在3个男生，a，b之间共有6个人，所有的排列应为p3=c(5,3)*c(5,3)*6!*5!*24．若a，b之间存在4个男生，a，b之间共有7个人，所有的排列应为p4=c(5,4)*c(5,3)*7!*4!*25．若a，b之间存在5个男生，a，b之间共有8个人，所有的排列应为p5=c(5,5)*c(5,3)*8!*3!*2因此，排列的总数是上述六种情况的总和。
组合数学习题答案卢开澄
1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
卢开澄组合数学组合数学第三章
n 1
n 1
Ai (1)k 1
Ai An
i 1
k 2
I∈￠(n-1,k) iI
n
(1)k 1
Ai An
k 2
I∈￠(n-1,k-1) iI
n
(1)k 1
Ai
k 1
I∈￠(n,k) iI
此定理也可表示为：
§3.2 容斥原理
定理：设 A1, A2,..., An 是有限集合，则
A1 A 2 ... A n
A500 3 来自166,B500 5
100;
A
B
500 15
33
§3.3 例
被3或5除尽的数的个数为
A BABA B 16610033233
例3 求由a,b,c,d四个字母构成的位
符号串中，a,b,c,d至少出现一次的符号 串数目。
§3.3 例
解：令A、B、C分别为n位符号串中 不出现a，b，c符号的集合。
A1 A2 An A1 A3 An ...
§3.2 容斥原理
An2 An1 An ...(1)n A1 A2 ... An
n1
n1
Ai An Ai Aj An ...
i1
i1 ji
(1)n A1 A2 ... An
§3.2 容斥原理
A1 A 2 ... A n1
n
n
Ai Ai
§3.3 例
例4。求不超过120的素数个数。 因 112 121，故不超过120的合数必 然是2、3、5、7的倍数，而且不超过 120的合数的因子不可能都超过11。
设 为不超过120的数i 的倍数集， i =2，3，5，7。
Ai
§3.3 例
A2
组合数学讲义及答案 3章 递推关系
后两项求和：
m 1 m 1 2m j 2 j r r r ＋ m 1 r j j 0
m2 m 1
＝r
2m 2 j j 0
j j r ＝ r
n 2 2
§3.2 常系数线性递推关系
常系数的线性递推关系：
a n c1 a n1 c 2 a n 2 c k a n k 0,
或
c k
0
(3.2.1)
an c1an 1 c2 an 2 ck an k f n ， （ ck 0 ）
(3.2.2) 分别称为 k 阶齐次递推关系和 k 阶非齐次递推关系。 其中 f(n) 称为自由项。 显 然 ， 式 （ 3.2.1 ） 至 少 有 一 个 平 凡 解 a n 0n 0,1,2, ，而人们更关心的是它的非零解。
n k k k r ，求{an}所满足的递推关 k 0
n n n n - 1 n - 2 2 r r ＋…＋ 2 r 2 n 为偶数： a n ＝ n 0 1 2 2
a n 2a n1 1 , a 1 1
3／75
(3.1.3)
《组合数学》
第三章 递推关系
求解
a n ＝ 2n 1
例3.1.2 （Lancaster 战斗方程）两军打仗，每支军队在每 天战斗结束时都清点人数，用 a0 和 b0 分别表示在战斗打响前 第一支和第二支军队的人数，用 an 和 bn 分别表示第一支和第 二支军队在第 n 天战斗结束时的人数，那么，an－1－an 就表示 第一支军队在第 n 天战斗中损失的人数，同样，bn－1－bn 表示 第二支军队在第 n 天战斗中损失的人数。 假设：一支军队所减少的人数与另一支军队在每天战斗开 始前的人数成比例，则
组合数学习题答案卢开澄
题 n 个相同的球放到 r 个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。 解：如果用“O”表示球，用“|”表示分界线，就相当于用 r-1 个“|”把 n 个“O”分成 r 份，要求是每份至少
列？(c) 两男生 A 和 B 之间正好有 3 个女生的排列是多少？
解：（a）可将 5 个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！，
（b）用 x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有 8 个空缺，
YXYXYXYXYXYXYXY
在其中任取 5 个得到女生两两不相邻的排列数：
解：C（24，5）*13！
题 求 3000 到 8000 之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。
解：根据题意，千位可以从 3，4，5，7，6 中选取，个位可以从 1，3，5，7，9 中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232
题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！
解：由序数法公式可知 1!+1=2!
题 证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式: ,0≤ai≤i,i＝1,2,…。
证：对 n 用归纳法。
先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。
假设对小于 n 的非负整数，命题成立。
对于 n,设 k!≤n＜(k+1)!,即 0≤n-k!＜k·k!
由假设对 n-k!,命题成立，设，其中 ak≤k-1,，命题成立。
r 1
(n r)! (n r)! r
p p (b) (n r 1)
组合数学卢开澄答案
组合数学卢开澄答案【篇一：组合数学-卢开澄-习题答案】第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45?5+(4+3+2+1) = 235( 1?2?6, 2?3?7, 3?4?8, …,45?46?50, 46?47?50, 47?48?50, 48?49?50, 49?50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! p(8,5) (c) 2 p(5,3) 8! 3. (a) n!p(n+1, m)(b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 p(24,5) 20!5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为2?5?p(8,2)+3?4?p(8,2). 6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m5n,个数为41?31. 9. 设有素数因子分解n=p1n11p2 n22…pk nkk, 则n2的除数个数为( 2n1+1) (2n2+1) …(2nk+1).10．1）用数学归纳法可证n能表示成题中表达式的形式；2）如果某n可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用c(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 c(n-1,r) 次。
12．考虑?cx?(1?x),求导数后有?kcnkxk?1?n(1?x)n?1,knknk?0k?0nn令x=1, 即知?kcnk?n2n?1.k?0n13. 设此n个不同的数由小到大排列后为a1, a2, …, an 。
当第二组最大数为ak时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k-1种不同的可能。
组合数学第四版卢开澄标准答案-第三章解析
第三章3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。
[解].令：A 1={通过中文考试的学生}A 2={通过英语考试的学生}A 3={通过数学考试的学生}于是 |Z| =100，|A 1|=92，|A 2|=75，|A 3|=65|A 1∩A 2|=65，|A 1∩A 3|=54，|A 2∩A 3|=45此题没有给出：有多少人通过三门中至少一门；有多少人一门都没通过。
但是由 max{ |A 1|,|A 2|,|A 3| }=max{92,75,65}=92故可以认为：至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A 1∪A 2∪A 3|≥92至多有8人没通过一门考试，即0≤|1A ∩2A ∩3A | ≤8于是，根据容斥原理，有|A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)-(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3|即 |A 1∩A 2∩A 3|=|A 1∪A 2∪A 3|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)=|A 1∪A 2∪A 3|-(92+75+65)+(65+54+45)=|A 1∪A 2∪A 3|-232+164=|A 1∪A 2∪A 3|-68从而由 92-68≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤100-68即 24≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤32可得 24≤|A 1∩A 2∩A 3| ≤32故此，通过3门学科考试的学生数在24到32人之间。
也可用容斥原理，即|1A ∩2A ∩3A |=|Z|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)-|A 1∩A 2∩A 3|=100-(92+75+65)+(65+54+45)-|A 1∩A 2∩A 3|=100-232+164-|A 1∩A 2∩A 3|=32－|A 1∩A 2∩A 3|从而有 |A 1∩A 2∩A 3|=32-|1A ∩2A ∩3A |由已知 0≤|1A ∩2A ∩3A |≤8，可得24≤|A 1∩A 2∩A 3|≤32故此，通过3门学科考试的学生数在24到32之间。
组合数学习题答案卢开澄
题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
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可编辑
总的组合数为：
C(n,1) {C(n 1,1) C(n 1, 2) C(n 1, n 1)} C(n, 2) {C(n 2,1) C(n 2, 2) C(n 2, n 2)}
r 1
(n r)! (n r)! r
p p (b) (n r 1)
n
(n r 1) •
n!
n! n 等式成立。
1.15 题 求 1 至 1000000 中 0 出现的次数。 解：当第一位为 0 时，后面 6 位组成的数可以从 1-100000，共 100000 个 0； 当第二位为 0 时，当第一位取 0-9 时，后面 5 位可以取 1-9999，此外当第一位取 0 时，后面 5 位还可以取为
10000，这样共有 9999*10+1=99991 个 0； 同理第三位为 0 时，共有 99901 个 0； 第四位为 0 时，共有 99001 个 0；第五位为 0 时，共有 90001 个 0；
P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2
5．若 A，B 之间存在 5 个男生，A，B 之间共有 8 个人，所有的排列应为
P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2
所以总的排列数为上述 6 种情况之和。
1.3 题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中 m,n 都是正整数，若
(a)男生不相邻 (m n 1) ;
分别讨论有多少种方案。
(b)n 个女生形成一个整体； (c)男生 A 和女生 B 排在一起；
解：(a) 可以考虑插空的方法。
n 个女生先排成一排，形成 n+1 个空。因为 m n 1正好 m 个男生可以插在 n+1 个空中，形成不相邻的关系。
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题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对 |所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 $3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
组合数学+卢开澄版++答案第三章
3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。
解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．×3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m -j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n ml n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn m n mk m n --=--。
设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =( (1))1 2 =(1) m m ml n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ （2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k kk l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑（3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i个的方案数。
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第三章3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。
[解].令：A 1={通过中文考试的学生}A 2={通过英语考试的学生}A 3={通过数学考试的学生}于是 |Z| =100，|A 1|=92，|A 2|=75，|A 3|=65|A 1∩A 2|=65，|A 1∩A 3|=54，|A 2∩A 3|=45此题没有给出：有多少人通过三门中至少一门；有多少人一门都没通过。
但是由 max{ |A 1|,|A 2|,|A 3| }=max{92,75,65}=92故可以认为：至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A 1∪A 2∪A 3|≥92至多有8人没通过一门考试，即0≤|1A ∩2A ∩3A | ≤8于是，根据容斥原理，有|A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)-(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3|即 |A 1∩A 2∩A 3|=|A 1∪A 2∪A 3|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)=|A 1∪A 2∪A 3|-(92+75+65)+(65+54+45)=|A 1∪A 2∪A 3|-232+164=|A 1∪A 2∪A 3|-68从而由 92-68≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤100-68即 24≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤32可得 24≤|A 1∩A 2∩A 3| ≤32故此，通过3门学科考试的学生数在24到32人之间。
也可用容斥原理，即|1A ∩2A ∩3A |=|Z|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)-|A 1∩A 2∩A 3|=100-(92+75+65)+(65+54+45)-|A 1∩A 2∩A 3|=100-232+164-|A 1∩A 2∩A 3|=32－|A 1∩A 2∩A 3|从而有 |A 1∩A 2∩A 3|=32-|1A ∩2A ∩3A |由已知 0≤|1A ∩2A ∩3A |≤8，可得24≤|A 1∩A 2∩A 3|≤32故此，通过3门学科考试的学生数在24到32之间。
3.13.试证：(a)|A ∩B|=|B|-|A∩B|(b)|A ∩B ∩C|=|C|-|A∩C|-|B∩C|+|(A∩B∩C )|[证].(a)B =B∩Z (因为B ⊆Z)= B∩(A ∪A ) (零壹律:且有互补律Z=A ∪A )=(B∩A )∪(B∩A ) (分配律)=(A∩B )∪(A ∩B ) (交换律)另外 (A∩B )∩(A ∩B )= (A∩A )∩B (结合律，交换律，幂等律)=∅∩B (互补律A∩A =∅)=∅ (零壹律)所以 |B|=|A∩B|+|A ∩B|因此 |A ∩B|=|B|-|A∩B| (b)|A ∩B ∩C|=|B A ⋃∩C| (de Morgan 律)=|C|-|(A ∪B)∩C| (根据(a)，令A 1=A ∪B)=|C|-|(A∩C )∪(B∩C )| (分配律)=|C|-(|A∩C|+|B∩C|-|(A∩C )∩(B∩C )|)=|C|-|A∩C|-|B∩C|+|(A∩C )∩(B∩C )|=|C|-|A∩C|-|B∩C|+|(A∩B∩C )| (结合律，交换律，幂等律)3.14. N={1,2,…,1000}，求其中不被5和7除尽，但被3除尽的数的数目。
[解].定义： P 1(x ):3|x A 1={x |x ∈N ∧P 1(x )}P 2(x ):5|x A 2={x |x ∈N ∧P 2(x )}P 3(x ):7|x A 3={x |x ∈N ∧P 3(x )}|A 1| =⎣1000/3⎦=333 |A 1∩A 2|=⎣1000/(3×5)⎦=66|A 1∩A 3|=⎣1000/(3×7)⎦=47 |A 1∩A 2∩A 3|=⎣1000/(3×5×7)⎦=9因此 |A 1∩2A ∩3A |=|A 1|-|A 1∩A 2|-|A 1∩A 3|+|A 1∩A 2∩A 3|=333-66-47+9=229因此 ，在1～1000中能被3整除，同时不能被5和7整除的数有229个。
3.15. N={1,2,⋯,120}，求其中被2,3,5,7,m 个数除尽的数的数目，m =0,1,2,3,4 。
求不超过120的素数的数目。
[解].定义 P 1(x ):2|x A 1={x |x ∈N ∩P 1(x )}P 2(x ):3|x A 2={x |x ∈N ∩P 2(x )}P 3(x ):5|x A 3={x |x ∈N ∩P 3(x )}P 4(x ):7|x A 4={x |x ∈N ∩P 4(x )}|A 1|=⌊120/2⌋=60 |A 2|=⌊120/3⌋=40 |A 3|=⌊120/5⌋=24 |A 4|=⌊120/7⌋=17 |A 1∩A 2|=⌊120/(2×3)⌋=20 |A 1∩A 3|=⌊120/(2×5)⌋=12 |A 1∩A 4|=⌊120/(2×7)⌋=8 |A 2∩A 3|=⌊120/(5×7)⌋=8 |A 2∩A 4|=120/(3×7)⌋=5 |A 3∩A 4|=⌊120/(5×7)⌋=3 |A 1∩A 2∩A 3|=⌊120/(2×3×5)⌋=4 |A 1∩A 2∩A 4|=⌊120/(2×3×7)⌋=2|A 1∩A 3∩A 4|=⌊120/(2×5×7)⌋=1 |A 2∩A 3∩A 4|=⌊120/(3×5×7)⌋=1|A 1∩A 2∩A 3∩A 4|=⌊120/(2×3×5×7)⌋=0 |N|=120p 0=|N|=120p 1=|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|=60+40+24+17=141p 2=|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 1∩A 4|+|A 2∩A 3|+|A 2∩A 4|+|A 3∩A 4|=20+12+8+8+5+3=56p 3=|A 1∩A 2∩A 3|+|A 1∩A 2∩A 4|+|A 1∩A 3∩A 4|+|A 2∩A 3∩A 4|=4+2+1+1=8p 4=|A 1∩A 2∩A 3∩A 4|=0① 当m =0时，q 0=p 0-p 1+p 2-p 3+p 4=120-141+56-8+0=27当m =1时，q 1=p 1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛12p 2+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23p 3-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34p 4=141-2×56+3×8-4×0=53 当m =2时，q 2= p 2-⎪⎪⎭⎫⎝⎛13p 3+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24p 4=56-3×8+6×0=32 当m =3时，q 3= p 3-⎪⎪⎭⎫⎝⎛14p 4=8-4×0=8 当m =4时，q 4= p 4=0② 由于120<121=11，所以不超过120的合数一定有不超过10的因子，因而一定有2,3,5,7的素因子(因为10以内的素数只用2,3,5,7)，所以不超过120的素数一定是那些不能被2,3,5,7除尽的数(当然还要去掉非素数的数1)，故此不超过120的素数的数目=q 0-1=27-1=26个。
3.16.求正整数n 的数目，n 除尽1040,2030中的至少一个数。
[解]. 定义：P 1(x ):x |1040 A 1={x|x ∈N ∩P 1(x )}P 2(x ):x |2030 A 2={x|x ∈N ∩P 2(x )}由于 1040=(2×5)40=240×540 2030=(22×5)30=260×530故此 |A 1|=(40+1)(40+1)=1681|A 2|=(60+1)(30+1)=1891 (参见第一章第九题)|A 1∩A 2|=(40+1)(30+1)=1271于是 |A 1∪A 2|=|A 1|+|A 2|-|A 1∪A 2|=1681+1891-1271=2301因此，能至少除尽1040和2030之一的正整数的数目是2301 。
3.17.n 是除尽1060,2050,3040中至少一个数的除数，求n 的数目。
[解]. 定义： P 1(x ):x |1060 A 1={x|x ∈N ∩P 1(x )}P 2(x ):x |2050 A 2={x|x ∈N ∩P 2(x )}P 3(x ):x |3040 A 3={x|x ∈N ∩P 3(x )}由于 1060=(2×5)60=260×560 2050=(22×5)50=2100×550 3040=(2×3×5)40=240×340×540 故此： |A 1|=(60+1)(60+1)=3721|A 2|=(100+1)(50+1)=5151|A3|=(40+1)(40+1)(40+1)=68921|A 1∩A 2|=(60+1)(50+1)=3111|A 1∩A 3|=(40+1)(40+1)=1681|A 2∩A 3|=(40+1)(40+1)=1681|A 1∩A 2∩A 3|=(40+1)(40+1)=1681根据容斥原理，有|A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)- (|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3|=(3721+5151+68921)-(3111+1681+1681)+1681=73001所以，至少能整除1060,2050,3040之一的正整数n 有73001个 。
3.18 求下列集合中不是2n ，3n 形式的数的数目，n ∈N 。
（a ）{1，2，……，410} （=N1）（b ）{310，310+1，……，410} （=N2）【解】：（a ）定义：P1（x ）:x=2n （n ∈N ） A1=｛x|x ∈N1∩P1(x)｝ P2（x ）:x=3n （n ∈N ） A1=｛x|x ∈N2∩P2(x)｝A1={21，22，……，22)10(}1N ⊆ 故|A1|=210=100A2={31，32，……，321}1N ⊆ 故|A2|=21（因为321=9261＜410＜10648=322）A1∩A2={61，62，63，64}1N ⊆，故|A1∩A2|=4（因为64=4096＜410＜15625=65）因此，根据容斥原理，有 |1A ∩2A |=|N1|-（|A1|+|A2|）+|A1∩A2|= 410－（100+21）+4 =9883（b ）定义：P1（x ）:x=2n （n ∈N ） A1=｛x|x ∈N1∩P1(x)｝P2（x ）:x=3n （n ∈N ） A1=｛x|x ∈N2∩P2(x)｝A1={231，……，22)10(}2N ⊆ 故|A1|=100-30=70（因为231=961＜310＜1024=232）A2={310，……，321}2N ⊆ 故|A2|=21-9=12A1∩A2={64}2N ⊆ 故|A1∩A2|=1（因为63=729＜310＜64=4096＝因此，根据容斥原理，有 |1A ∩2A |=|N1|-（|A1|+|A2|）+|A1∩A2|= 9001－（70+12）+1= 89203.19 {1000，1001，……，3000}，求其中是4的倍数但不是100的倍数的数的数目。