第四章组合数学
组合数学(引论)
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第 22 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
第4页
结束
一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
组合数学课件-第四章第三节波利亚(Polya)定理
波利亚定理的重要性
波利亚定理在几何学中有着广泛的应 用，它可以帮助我们解决一些与图形 和空间有关的问题。
例如，在几何图形中，我们可以通过 应用波利亚定理来判断一个点是否在 某个区域内，或者判断一个封闭曲线 是否与某个区域相交。
第二步
根据已知条件和数学原理，推导出与结论 相关的中间结论，这是证明的关键环节。
B
C
第三步
通过逻辑推理和数学推导，逐步推导出最终 结论，这一步需要严谨的逻辑推理和精确的 数学表达。
第四步
对推导出的结论进行验证，确保其正确性和 可靠性，这一步也是证明的重要环节。
D
定理证明的结论
波利亚定理的证明结论是：在一定条件下，一个数学问题可 以通过逐步转化和化简，最终转化为一个更简单或更易于解 决的问题，从而找到问题的解。
03
多变量版本的波利亚定理
该定理将单变量版本的波利亚定理扩展到多变量函数，提供了解决多变
量问题的新工具。
定理在其他数学领域的应用
在几何学中的应用
波利亚定理在几何学中有着广泛的应用，例如在计算几何形状的 面积和体积，解决几何问题等方面。
在组合数学中的应用
波利亚定理在组合数学中有着重要的应用，例如在解决组合问题、 计数问题、排列问题等方面。
B
C
波利亚定理的证明方法有多种，其中最常用 的是数学归纳法。
波利亚定理在数学教育中也具有重要意义， 它有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思 维能力。
D
对波利亚定理的展望
随着数学的发展，波利亚定理的应用范围将不断扩大， 将有更多的数学问题可以通过波利亚定理得到解决。
组合数学第四章
1110004,56
、在与之间不能被和整除的数有多少个？
、求从到的整数中能被和整除，但不能被整除的数的个数。
21500357
{}3,3,5,710S a b c d ∞⋅⋅⋅⋅、求多重集合=的组合数。
1234x x x 、求不定方程++=14的数值不超过8的正整数解的个数。
57、在宴会后，位男士检查他们的帽子，问有多少种方法，使得
（1）没有人接到自己的帽子？
（2）至少有一人接到自己的帽子？
（3）至少有两人接到自己的帽子？
{}
1218,,()1,gcd(,)11()(1).k k i i
n p p p n n k k n k n n n p φφφ==≤≤==-∏、令为正整数，并令作为整数的所有互异的素数因子。
考虑由
定义的欧拉函数。
利用容斥原理证明
12345123451132432542511595,,,,,,,,P P P P P C C C C C P C C P C P C C P C P C P C 、 名旅客,要去5个地方,，其中，不愿意去,；不愿意去；不愿意去；不愿意去不愿意去。
问去的概率有多少？。
组合数学第四章ppt课件
.
9
例1
例1．以下两表格不可能用相邻位置的与0对换
互相转化。
1
2
3
4
15 14 13 12
5
6
7
8
11 10 9
8
9
10 11 12
7
6
5
4
13 14 15
0
3
2
1
0
证明：两个表格的转化相当于对换的乘积
(1 15)(2 14)(3 13)(4 12)(5 11)(6 10)(7 9)(8)(0)，这是
逆元素：p=
1 a1
2 a2
Hale Waihona Puke n an ，p-1= a11
a2 2
an n
.
5
例1
例1．等边三角形三个顶点记为1,2,3,绕中 心逆时针旋转120度,240度,沿三条中线翻 转180度,三角形仍与自身重合,但顶点换了 位群PP26==置。1312.例这1212 如23些33 ,.P变P{2P3换=4P=112P分, 632P.2别13,,P记P34,=为P411,PP3215=23,P11,622}P构533=成，13 一22 13个 ,
.
17
四．Burnside引理
设G={g1, …, gl}, 把gp分解为不相交的循 环乘积，记c1(gp)为gp中1阶循环的个数， 即gp:N→N的不动点个数, 例如G={e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}，c1(e)=4, c1((1 2))=2, c1((3 4))=2, c1((1 2)(3 4))=0。
.
6
第三节．循环、奇循环与偶循环
记(a a …a )= 1 2 m
组合数学第四章习题解答
4.19 试说明S5群的不同格式及其个数， • 9.解：5的拆分共有：00005,00014,00023, 00113,00122,01112,11111共七种，根据讲义4.4 节定理1可得S5中： (1)5共轭类有5!/5!=1个置换； (1)1(4)1共轭类有5!/4=30个置换； (2)1(3)1共轭类有5!/(2· 3)=20个置换； (1)2(3)1共轭类有5!/(2!3)=20个置换； (1)1(2)2共轭类有5!/(2!2 )=15个置换； (1)3(2)1共轭类有5!/(3!2)=10个置换； (5)1共轭类有5!/5=24个置换； ∴共有不同格式7种，如上所示。
旋转 12345
12345 13524 14253 15432
5
2
翻转
12534 21345 32415 51423 41235
4
3
c ( a1 ) c(a2 ) 1 c ( ag ) l [m m ... m ] G
4.23 凸多面体中与一个顶点相关的各角之和与2 的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠 角之和为4
证：设V,S,E分别为顶点集，面集，边(棱)集。 由欧拉定理 |V|+|S|－|E|=2. 设aij为与顶点vi， 面Sj为相关的面角，ej为Sj的的边数， 给定Sj则∑aij=(ej－2)π 欠角和为∑(2π－∑aij)=∑2π－∑ ∑aij =2|V|π－∑ ∑aij=2|V|π－∑(ej－2)π =2|V|π－∑ejπ+2|S|π =2|V|π+2|S|π－2|E|π=4π
用4.2和4.8的结论
4.10 若x和y在群G作用下属于同一等价类，则x所 属的等价类Ex，y所属的等价类Ey有|Ex|=|Ey|。 显然
组合数学第四篇
证 (1)C1(2) C…2 (n) C即n
1个 2个
n个
_∧_
_∧_
____∧____
/\
/\
/
\
(·)…(·)(··)…(··)… (·…·)…(·…·)
\______ ______/ \/
C1个
\________ ________/ \/
C2个
\________ ________/ \/
Cn个
令 P={p1,p2,…,pm},(是集合不一定是群.)
令解G)ii=≠Zj,kGpi∩i,i=G1j=,2Φ,…. G,m1+.GG2i包+…含·+G于m·G包(G含·关于于GZ.k的陪集分
-1
另一方面，任意P∈G. k→Paj→Pkj
PPj ∈-1 Zk,
P∈ZkPj=Gj.
4.4 Burnside引理
(2)k不动置换类 设G是[1,n]上的一个置换群。G≤Sn.
K∈[1,n]G中使k保持不变的置换全体，称 为k不动置换类，记做Zk.
4.4 Burnside引理
定理 置换群G的k不动置换类Zk是G的一个
子群。
封闭
性：k→k→k,k P1 P2 k. P1P2 结合性：自
然。
有单位元：G的
单位元属于Zk.
含目标集元素k的在G作用下的等价类也 称为含k的轨道。
4.4 Burnside引理
定理 设G是[1,n]上的一个置换群，Ek是[1,n]在G 的作用下包含k的等价类(轨道)，Zk是k不动置换 类。有|Ek||Zk|=|G|.
证 设|Ek|=m,Ek={a1(=k),a2,…,am},于是存在pi满足 a1→pi ai,i=1,2,…,m.
组合数学（卢开澄）第4章课后习题答案
组合数学（卢开澄）版 第四章答案4.1，若群G 的元素a 均可表示为某一个元素x 的幂，即a=x m，则称这个群为循环群，若群的元素交换律成立。
即a ，b ∈G 满足，a ·b=b ·a证明：令a= x m ，b= x n ，则a ·b= x m ·x n = x n ·x m=b ·a ，因此是阿贝尔群4.2若x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m=e ，则称m 为x 的阶，试证： C={e,x,x 2,…x m-1}是G 的一个子群。
证明：一个群G 的不空集合H 作成G 的一个子群的充分必要条件是：1,a b H ab H a H a H-∈⇒∈∈⇒∈,a b 是H 的任意元素。
由题意知C 中的任意两个元素如,a b C ∈则ab C ∈；a C ∈则1a C -∈。
所以21{,,,,}m C e x x x -= 是G 的一个子群。
4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n 。
证明； 因为G 中每有元素都能生成一个与元素等阶的子群，子群的阶当然不能超过群G 的阶；所以则G 的所有元素的阶都不超过n 。
4.4若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的幂： a 1 ，a 2 。
a n 的元素a 的数目。
证明： 若一个群G 的每一个元都是G 的某一固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群；我们也说，G 是由元a 所生成的，并且用符号()G a =来表示。
所以就有一个这样的a ，即就有一个母元素。
4.5 试证循环群G 的子集也是循环群根据子群的定义，循环群G 的子群应满足循环群G 所满足的所有运算。
所以其子群页应该是循环群。
4.6若H 是G 的子群，x 和y 是G 的元素，试证xH ∩yH 或为空，或为xH=yHx,y ∉G若 xH ⋂yH ≠Φ可知：存在g ∈xH,g ∈yH 由g ∈xH,知存在h 1∈H,有g=xh 1;由g ∈yH,知存在h 2∈H,有g=yh 2; 从而有 xh1=yh2 ⇒x=y(h 2h 11-)------------式1任取z ∈xH,则存在h ∈H,有z=xh-------------------式2将-式1代入-式2： z=y(h 2h 11-)h=y(h 2h 11-h)--------- -式3H 是子群，有h 1，h 2，h ∈H 可推知，h 2h 11-h ∈H从而 y(h 2h 11-h) ∈yH.再由式3知 z ∈yH,这样我们就可推知xH ⊆yH 同理可推得 yH ⊆xH综上知道 yH=xH4.7若H 是G 的子群，H =k ，试证：xH =k ，其中x ∈GH =k设 H={n h h h h 32,1,} 同时对于i,j ∈{k ,3,2,1} 当i ≠j 时，有ah i≠ah j(否则，若有ah i =ah j ，由消去律得h i =h j ，矛盾) 表明{}n h h h h 32,1, 为n 个不同元而aH 恰有这些元组成， 故 aH =k, ∴aH =H4．8有限群G 的阶为n ，H 是G 的子群，则H 的阶必除尽G 的阶。
组合数学第四章反演公式
k 0
k 0
(4.1.6)
证明 记列向量
( x) {k ( x)}nk0, ( x) { k ( x)}nk0
第四章 反演公式
命题1 对于多项式的每个正规族Pn，恰存在一个微分算子。
证明 易证每个n次多项式φn(x)都可以唯一地表示为
n ( x) ak Pk ( x) anPn ( x) an P 1 n1( x) a0P0 ( x)
0k n
其中an, an-1, …, a0是常数。事实上，取an为φn(x)中xn的系数除以 Pn(x)中xn的系数所得的商，则φn-1(x)=φn(x)-anPn(x)至多是n-1次的， 再取an-1为φn-1(x)中xn-1的系数除以Pn-1(x)中xn-1的系数所得的商， 接着考虑
( x n 1)[x]n1 (x 1)[x]n1
n[x]n1
第四章 反演公式
展开多项式φ(x)=［x+y］n，并注意到
k (0) n(n 1)(n k 1)[ y]nk
可得二项式公式：
n n
[ x
y ]n
k 0
k
[x]k [ y]nk
Pn ( x) [x]n x( x 1)( x 2)( x n 1) (Pn(0), n≥1)
的Taylor公式。由
(x) (x) (x 1)
定义的（向后差分）算子 , 就是伴随多项式族Pn(x)=［x］n
的微分算子，因为
[x]n [x]n [x 1]n
第四章 反演公式
使用［x］n的Taylor公式展开φ(x)=［x+y］n， Δkφ(0)=n(n-1) …(n-k+1)［y］n-k
组合数学 第四章2母函数的性质
§4.3 在选优法上的应用
可见做两次试验，至少可把区间缩至原来区
间的2/3，比如
f (，x1)进一f 步(x2在)
(a, x区2 ) 间上找极值点。若继续用三等分法，
将面对着这一实事即其中 点的x1 试验没发挥其
作用。为此设想在 区间(0的,1)两个对称点
分别x做,l 试 x验。
0 lx x 1
§4.3 在选优法上的应用
__________ __________ ____ ) Fn2 Fn(Fn1 Fn1) FnFn1 Fn1Fn
F12 F 22 Fn2 Fn Fn1
§4.3 在选优法上的应用
设函数 y f (x) 在区间 (a,b) 上有一单峰
极值点，假定为极大点。
所谓单峰极值，即只有一个极值点 ，而且
设保留(0, x) 区间，继续在 (0, x) 区间的下面 两个点 x2, (1 x)x 处做试验，若
x2 1 x
则前一次1 x 的点的试验，这一次可继续使
用可节省一次试验。
x2 x 1 0
x 1 5 0.618 2
0 0.382 (0.618)2 0.618
1
§4.3 在选优法上的应用
______________
F2n F2n2
F1 F3 F5 F2n1 F2n
§4.3 若干等式
3） 证明：
F12
F
2 2
F12 F2F1
Fn2 Fn Fn1
F22 F2 (F3 F1) F2F3 F2F1
F32 F3 (F4 F2 ) F3F4 F2F3
§4.2 母函数的性质
例. A(x) sin x x x3 x5 3! 5!
组合数学第四章习题解答
4.23 凸多面体中与一个顶点相关的各角之和与2 的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠 角之和为4
证：设V,S,E分别为顶点集，面集，边(棱)集。 由欧拉定理 |V|+|S|－|E|=2. 设aij为与顶点vi， 面Sj为相关的面角，ej为Sj的的边数， 给定Sj则∑aij=(ej－2)π 欠角和为∑(2π－∑aij)=∑2π－∑ ∑aij =2|V|π－∑ ∑aij=2|V|π－∑(ej－2)π =2|V|π－∑ejπ+2|S|π =2|V|π+2|S|π－2|E|π=4π
G×G’的单位元素是(e,e’),试证G×G’是群 (1)封闭性显然 (2)结合律显然 (3)逆元素显然
(4)单位元显然
4.27 一个项链由7颗珠子装饰成的，其中两颗珠 子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿的，问有多少 种装饰方案，试列举之。
G (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (1234567),(1357246), (1473625),(1526374), (1642753),(1765432)
4.24 足球由正五边形与正六边形相嵌而成 (a)一个足球由多少正五边形与正六边形组成 (b)把一个足球所有的正六边形都着以黑色，正五 边形则着以其它各色，每个正五边形着色各不相 同，有多少种方案？
4.25 若G和G是两个群
G G ' {( g ,g ')g G ,g ' G ' }, ( g ,g ')( g ,g ') ( g g ,g 'g '), 1 1 2 2 1 2 1 2
4.21 在正四面体的每个面上都引一条高，有多少 种方案？
解：除了绕顶点-对面的中心轴旋转均不会 产生不变的图象外, 绕其他轴的旋转相当于正 4面体的面3着色。参照讲义4.6例3可得不同的 方案数为 M=[34+3·32]/12=9
卢开澄组合数学--组合数学第四章(共12张PPT)
2021/10/21
第三页，共12页。
4.1 群的概念
= cosacosb-sinasinb sinacosb+cosasinb
-sinacosb-cosasinb cosacosb-sinasinb
= cos(a+b) sin(a+b) =Ta+b
绕中心转动120，不动，
绕对称轴翻转。
2
3
P1=(
1 1
2 2
3 3
),P2=(
1
2
23
31
),P3=(
1
3
2
1
3
2
),P4=(
1
1
2
3
32),
P5=(
1
3
23
21
),P6=(
1
2
23
13
)。
[1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个
群，称为对称群，记做Sn.
• 注意：一般说[1,n]上的一个置换群，不 一定是指Sn.但一定是Sn的某一个子群。
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第六页，共12页。
4.1 群的概念
(e) G有限，a∈G，则存在最小正整数r，使
得ar = e.且a -1= a r-1.
证
设|G|=g,则a,a ,2…,a
g
,a
g+∈1 G,由鸽巢原理其
中必有相同项。设a =am,1≤ml ＜l≤g+1, e=a
,1≤l-l-mm ≤g，令l-m=r.则有a =a a=e.即r a r=-1a .既 然有-1正r整-1 数r使得a =e,其中必有r最小者，不妨
(完整word版)组合数学第四版卢开澄标准答案-第四章
习题四4。
1。
若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂,即a= x m，则称这个群为循环群.若群的元素交换律成立，即a , b G满足a b = b a则称这个群为阿贝尔(Abel）群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。
［证］.设循环群（G，)的生成元是x0ÎG。
于是,对任何元素a ，b G，m,nÎN，使得a= x0m , b= x0n，从而a b = x0m x0n= x0m +n (指数律)= x0n +m (数的加法交换律)= x0n x0m(指数律)= b a故运算满足交换律；即(G, )是交换群.4.2。
若x是群G的一个元素,存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证：C={e，x，x2, ，x m—1}是G的一个子群。
［证].(1)非空性C ：因为eÎG；（2）包含性C G:因为xÎG，根据群G的封闭性，可知x2, ，x m—1,(x m=)eÎG,故C G；（3)封闭性 a , b C a b C: a , b C，k，lÎN (0k〈m，0l〈m),使a = x k，b = x l，从而a b = x k x l = x(k+l）mod m C(因为0 （k+l) mod m〈m) ；(4)有逆元 a C a —1C： a C，kÎN (0k<m)，使a = x k, 从而a -1= x m—k C（因为0 m-k < m）。
综合（1) (2）(3) (4），可知(C, )是(G, )的一个子群.4.3。
若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。
[证］。
对任一元素xÎG，设其阶为m，并令C={e,x，x2，，x m-1},则由习题4.2.可知（C, )是（G, ）的一个子群，故具有包含性C G。
因此有m = ｜C｜£｜G｜= n所以群G的所有元素的阶都不超过n。
组合数学第4章答案
组合数学第4章答案4.1证明所有的循环群是ABEL 群 证明：nn ,,**×x ,x m nm na b G G a b b a x xa b b a ++∈==∴=mmm 循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意是循环群，有成立，因为循环群中的元素可写成a=x 形式所以等式左边x 等式右边x ＝，，即所有的循环群都是ABEL 群。
4.2x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m =e ，则称m 为x的阶，试证：C=｛e,x,x 2, …,x m-1｝ 证：x 是G 的元素，G 满足封闭性所以，xk 是G 中的元素 C ∈G再证C 是群：1、x i , x j ∈C , x i ·x j = x i+j 若i+j<=m-1,则x i+j ∈C若i+j>m,那么x i+j =x m+k =x m ·x k =x k ∈C 所以C 满足封闭性。
2、存在单位元e.3、显然满足结合性。
4、存在逆元， 设x a ·x b =e=x m x b =x m-ax a ∈C, (x a )-1= x b =x m-a4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n.证明：设G 是阶为n 的有限群，a 是G 中的任意元素，a 的阶素为k ， 则此题要证n k ≤首先考察下列n+1个元素a a a a a n 1432,....,,,+由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G ,，而G 中仅有n 个元素，所以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为aaji i+=（n j ≤≤1）aa ajii*=由群的性质3可知，a j是单位元，即a j=e ，又由元素的阶数的定义可知，当a 为k 阶元素时a k=e ，且k 是满足上诉等式的最小正整数，由此可证n j k ≤≤4.4 若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的幂：a,a2……..an解：设n=p 1a1…….p k ak ，共n 个素数的乘积，所以群G 中每个元素都以用这k 个素数来表示，而这些素数，根据欧拉定理，一共有 Φ(n)=n(1-1/p 1)………(1-1/p k )所以群G 中母元素的数目为n(1-1/p 1)………(1-1/p k )个. 4.5证明循环群的子群也是循环群证明：设H 是G=<a>的子群，若H=<e>,显然H 是循环群，否则取H 中最小的正方幂元m a ，下面证明m a 是H 的生成元,易见m a ⊆H ，只要证明H 中的任何元素都可以表成m a 的整数次方，由除法可知存在q 和r,使得l=qm+r,其中0≤r ≤m-1,因此有r a =qm l a -，因为m a 是H 中最小的正方幂元，必有r=0,这就证明出la=mq a }{m a ∈证明完毕。
组合数学(第4章4.3)
2021/4/9
23
定理4.5.2 令(X, )是一个有限偏序集, 则 存在X上的线性序, 使得(X, )是(X, ) 的一个扩展.
证明：偏序的线性扩展算法，对集合
X={x1,x2,…,xn}的排序问题，满足：若xi xj, 则排序xi先于 xj 。
2021/4/9
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26
例4：X={1,2,3,4,5,6,7,8}, “”定义为整除 关系, 确定(X, )的一个线性扩展.
8
4
6
2
35
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等价关系与划分
定义6: 对于X中每一个元素a, a的等价类 定义为所有与a等价的元素构成的集合.记 为[a]={x x∈X , x~a }.
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4.4 生成r-组合
集合{1,2,3,4}的2-组合： {1，2}； {1，3}; {2，3}; {1，4}; {2， 4}; { 3，4}
字典序：令S={1,2,…,n}, 设A，B是S的两个r组合，若AB\AB中的最小整数属于A，则称 A先于B。
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S的r-组合可写成如下形式：
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字典序r-组合生成算法
初始： a1a2…ar＝12…r 当a1a2…ar (nr+1) (nr+2)…n时，Do
1）确定最大整数k, 使得ak+1 n，且ak+1ai (i=1,2,…,r)
2) 用a1a2…ak-1 (ak+1)…(ak+rk+1)替换a1a2…ar.
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…
r)在始a，1a第2…r个ar后元面素存大在于an r1。ar 个组合，从a1a2…ar-1开
Richard组合数学第5版-第4章课后习题答案(英文版)
7365 412
73658412
8. (a) For a permutation of {1, 2, 3, 4, 5, 6} the corresponding inversion sequence
(b1, b2, b3, b4, b5, b6) satisfies 0 ≤ bi ≤ 6 − i for 1 ≤ i ≤ 6. The total number of inversions is
←− ←− ←− ←− ←− 12534 ←− ←− →− ←− ←− 12543 ←− ←− ←− ←− ←− 14523 ←−4 ←−1 →−5 ←−2 ←−3 →−4 ←−1 ←−5 ←−3 ←−2 ←−1 →−4 →−5 ←−3 ←−2 ←− ←− ←− →− ←− 13542 ←− ←− →− ←− →− 13524 ←− ←− ←− ←− ←− 31524 ←−3 ←−1 →−5 ←−4 ←−2
(c) The set {x6} corresponds to coordinate 7 6 5 4 3 2 1 0 entry 0 1 0 0 0 0 0 0
组合数学课件(第四章二项式系数)
难点：一些组合恒等式证明方法，非降路径问题组合意
义及应用。
§4.1二项式定理
1.二项式系数
( ) 组合数C(n,k)或者
n k
也叫二项式系数.
2. 组合数的定义
n k
0, n!
k!(n
, k )!
0
k n, k n.
3.组合数的一些恒等式
（1）对称式
剩下的n-1个元素中选择k-1个，组合数为C(n-1,k-1)。选出的k个
元素都有可能被第一次选中，因是组合，故重复度为k。得证。
) ) 或通过计算证明： 若k n,
n k
n k
n1 k 1
0
若1 k n, 有
)n
k
n(n 1)...(n k 1) k(k 1)...1
) n (n 1)(n 2)...(n k 1) n
恒等式(4.12)：如n,r∈N，有C(n+r+1,r) = C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+…+C(n+1,1)+C(n,0)
证明I：反复利用Pascal公式，即可证明。 或利用组合分析法，在集合A={an+r+1}的n+r+1个不同元素选出r 个元素的组合可分为以下多种情况：如r个元素中不包含a1，相 当于从除去a1的n+r个元素中选出r个元素的组合，组合数为 C(n+r,r)；如r个元素中包含a1但不包含a2，相当于从除去a1,a2的 n+r-1个元素中选出r-1个元素的组合，再加上a1而得到，组合数 为C(n+r-1,r-1), …,同理如r个元素中包含a1,a2,…,ar-1，但不包含ar ，相当于从剩下的n+1个元素中选出1个元素的组合，再加上 a1,a2,…,ar-1而得到，组合数为C(n+1,1)；如r个元素中包含 a1,a2,…,ar，相当于从剩下的n个元素中选出0个元素的组合，组 合数为C(n,0) 。由加法法则得
组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件
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§4.2 生成组合
生成组合
4.2.1 基2算法 若S是n个元素的集合，元素为{xn-1,...,x1,x0}， 则生成组合就是生成S的所有2n个子集。 任一子集可以描述成：
(an-1,...,a1,a0)=an-1...a1a0 其中，ai为1或0，表示xi在或不在子集中。
于是S的全部子集可以用0~2n-1的整数来描 述，只要生成这些整数，也就得到了所有组合。
其中，0表示空集，2n-1表示S本身。
全排列生 成算法
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3. 直接生成全排列的算法
全排列生 成算法
[定义]对排列中的每个元素k，赋予其一
个方向：k 或 k 。如果一个整数k的箭头 指向一个与其相邻但比它小的整数，则
称k是活动的。
例如，对于：263154
只有6、3、5是活动的。
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显然：
全排列生 成算法
a1+a2+...+an 度量了排列的无序程度。
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全排列生
[例]31524的逆序列是1,2,0,1,0。 成算法
[结论]对于逆序列，显然有0≤ak≤n-k。且 任何一个排列都可确定一个逆序列。
[定理]若b1,b2,...,bn是满足0≤bk≤n-k的整数 序列，则存在{1,2,...,n}的唯一的一个排 列，其逆序列为b1,b2,...,bn 。
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{1,2,3}的排列
全排列生
1 2 3 成算法 2 31 31 2 32 1 13 2 2 13
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4.3循环、奇循环与偶循环
a1a2…am-1am (a1a2…am)=( a2 a3…am a1 ) 称为置换的循环 表示。
12345 12345 于是( 43152 )=(14523), (31254 )=(132)(45), 12345 (52314 )=(154)(2)(3).
(a1a2…am)=(a2a3…ama1)=…=(ama1…am-1)有m 种表示方法。
4.2 置换群
置换群是最重要的有限群，所有的有限 群都可以用之表示。 置换：[1,n]到自身的1-1变换。n阶置换。 n [1,n]目标集。( a1 a22 … an ), a1a2…an是[1,n]中 1 … 元的一个排列。n阶置换共有n!个，同一 置换用这样的表示可有n!个表示法。例 1234 3142 如 p1=( 3 1 2 4 )=( 2 3 4 1 )，n阶置换又可看 作[1,n]上的一元运算，一元函数。
4.3循环、奇循环与偶循环
定理 Sn中所有偶置换构成一阶为(n!)/2的 子群称为交错群，记做An. 证 (1)封闭性
(2)单位元 -1 (3)逆元 (i k) = (i k)
设 p = (i1 j1)(i2 j2)…(ii ji),则p = (ii ji)…(i1 j1) 令Bn=Sn-An, |Bn|+|An|=n!, 则(i j) Bn包含于An |Bn|≤|An|， (i j) Bn包含于An |An|≤|Bn| ∴|An|=|Bn|=(n!)/2
第四章 Pólya定理
群的概念 置换群 循环、奇循环与偶循环 Burnside引理 Pólya定理 例 母函数型的Pólya定理 图的计数
4.1 群的概念
(1)群 群 定义 给定集合G和G上的二元运算 ，满足 下列条件称为群。 (a)封闭性：若a,b∈G,则存在c∈G,使得ab=c. (b)结合律成立：任意a,b,c∈G,有(ab)c=a(bc). (c)有单位元：存在e∈G,任意a∈G.ae=ea=a. -1 (d)有逆元：任意a∈G,存在b∈G, ab=ba=e. b=a. 由于结合律成立，(ab)c=a(bc)可记做abc. 例 证明对于a1,a2,…,an的乘积，结合律成立.
4.4 Burnside引理
(1)共轭类 先观察S3,A3,S4,A4,以增加感性认识。
S3={(1)(2)(3),(23),(13),(123)(132)}. A3={(1)(2)(3),(123),(132)}. S4={(1)(2)(3)(4),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}. A4={(1)(2)(3)(4),(123),(124),(132),(134),(142), (143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.
1 2 3 k 1 2 k 1 k4.3循环、奇循环与偶循环
了[1,n]的所有文字，则命题成立。否则在 余下的文字中选一个，继续搜索,又得一循 环。直到所有文字都属于某一循环为止。 因不相交循环可交换，故除了各个循环的 顺序外，任一置换都有唯一的循环表示。 例 一副扑克牌，一分为二，交错互相插入 (洗牌)，这样操作一次相当于一个置换p。 p (i+1)/2,i=1,3,5,…,51. p=( i p),第i个位置 p i = p i/2+26,i=2,4,6,…,52. 被i 号牌占据.
1234 P1=( 3 1 2 4 ),P2=( 1234 )( 3 1 2 4 )=( 3124 2431 1234 4321 1234 2431
) )
P2P1=(
1234 4321
)(
4321 4213
)=(
1234 4 2 3 1 )≠P1P2.
4.2 置换群
(1)置换群 [1,n]上的所有n阶置换在上面的乘法定 义下是一个群。 1 2 … n a1 a2 … an 2 n (a)封闭性 ( a1 a2 … an )( b1 b2 … bn )=( 11 b2 … bn ) b … 1b … b (b)可结合性 ((11 a2 … an )( a1 a22 … ann))( b1 c22 … cnn) a 2 … n b1 b … b c a1 a2 … an b1 b2 … bn =( 11 c2 … cn )=( 11 a2 … an )(( b1 b2 … bn)( c1 c2 … cn )) a 2… n c 2… n (c) 有单位元 e=(1 2 … n ) 12…n -1 a1 a2 … an (d) ( 11 a2 … an ) =( 1 2 … n ) a 2… n
4.1 群的概念
基本性质 (a)单位元唯一 e1e2=e2=e1 (b)消去律成立 ab=ac → b=c, ba=ca → b=c -1 -1 (c)每个元的逆元唯一 aa =a a = e, ab = ba = e , aa-1 = ab , a-1 = b -1 -1 -1 -1 (d)(ab….c) =c …b a . -1 -1 -1 c …b a ab…c = e
4.2 置换群
任一n阶群同构于一个n个文字的置换群。 设G={a1,a2,…,an}，指定G中任一元ai, 任意aj∈G，Pi：aj → aj ai ，则Pi是G上的 一个置换，即以G为目标集。 a1 a2 … an Pi=( a1ai a2ai … anai )， G的右正则表示f： ai )=Pi。f是单射：ai≠aj，则Pi≠Pj ai→( aai a1 a2 … an f(aiaj) = ( a1(aiaj) a2(aiaj) … an(aiaj) ) a1 a2 … an a1 a2 … an =( a1ai a2ai … anai )((a1ai)aj (a2ai)aj … (anai)aj )=f(ai)f(aj) a 令P={Pi=( aaii )|a,ai∈G},则P≈G
4.3循环、奇循环与偶循环
例 0表示空格，任一变动都是与0做相邻 的对换。
p=(0)(1 15)(2 14)(3 13)(4 12)(5 11)(6 10)(7 9)(8) 奇置换。0从右下角出发回到右下角，水平方 向上，垂直方向上都做了偶数次对换。一个奇 置换不会等于一个偶置换。
1 5 9 13 2 3 4 6 7 8 10 11 12 14 15 0 15 11 7 3 14 13 12 10 9 8 6 5 4 2 1 0
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4.2 置换群
例2.设图Cn为长度是n的圈，即其顶点集 V=[1, n]，边集E={(12),(23),…,(n1)}。 则Cn到自身的所有一一映射在映射乘 法下构成一个群—二面体群Dn 例3. 设是图G=(V, E)的顶点集V到自身的 一个一一映射，且满足： (uv)∈E( (u) (v))∈E 则称是图G的一个自同构. 易见图G的全体自同构做成了上的一个置 换群，称为图G的自同构群，记为Γ(G)。 由例2可知Γ(Cn)= Dn
4.1 群的概念
(e) G有限，a∈G，则存在最小正整数r，使 r -1 得a = e.且a = a r-1 . g g+1 2 证 设|G|=g,则a,a ,…,a ,a ∈G,由鸽巢原理 m l 其中必有相同项。设a =a ,1≤m＜l≤g+1, r e=a l-m,1≤l-m≤g，令l-m=r.则有a =a r-1 a=e.即a -1 r-1 r =a .既然有正整数r使得a =e,其中必有最小 者，不妨仍设为r. r称为a的阶。易见 r-1 r 2 H={a,a ,…a ,a =e}在原有运算下也是一个 群。
4.2 置换群
(2)例1 等边三角形的运动群。 绕中心转动120，不动， 2 3 绕对称轴翻转。 123 123 123 123 P1=( 1 2 3 ),P2=( 2 3 1 ),P3=( 3 1 2 ),P4=( 1 3 2 ), P5=( 1 2 3 ),P6=( 1 2 3 )。 321 213 [1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个 群，称为对称群，记做Sn. 注意：一般说[1,n]上的一个置换群，不 一定是指Sn.但一定是Sn的某一个子群。
4.3循环、奇循环与偶循环
51 26 . 5 3 1
. .
52 52 . 29 6 28 4 27 2
. .
3 2 1
p = (2 27 14 33 17 9 5 3)(4 28 40 46 49 25 13 7)
(6 29 15 8 30 41 21 11)(10 31 16 34 43 22 37 19) (12 32 42 47 24 38 45 23)(18 35) (20 36 44 48 50 51 26 39)(52)
aa…a=a (共n个a相乘).
n
4.1 群的概念
(2) 简单例子 例 G={1,-1}在普通乘法下是群。 例 G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群. 例 二维欧氏空间所有刚体旋转T={Ta}构 成群。其中Ta = cosa sina -sina cosa TbTa= cosb sinb cosa sina -sinb cosb -sina cosa
4.1 群的概念
= cosacosb-sinasinb sinacosb+cosasinb -sinacosb-cosasinb cosacosb-sinasinb = cos(a+b) sin(a+b) =Ta+b -sin(a+b) cos(a+b) 从而有(a)封闭性; (b)结合律成立： (TαTβ)Tγ = Tα(TβTγ) = TαTβTγ ; (c)有单位元： 0 T0 = ; 1 (d)有逆元：Ta =T-a