(2021年整理)圆锥曲线高考真题

圆锥曲线高考真题

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圆锥曲线高考真题

1。平面直角坐标系x Oy 中，过椭圆M ：错误! =1(a 〉b >0)的右焦点的直线x + y 错误!= 0

交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为错误!。 （1）求M 的方程

(2）C ,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值.

2。设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b

+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N 。

（1）若直线MN 的斜率为34

,求C 的离心率；

(2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =,求a ，b .

3。已知椭圆C ：,直线不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为

M 。

（1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；

（2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由。

4。已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点。

(1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ；

（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

5.已知抛物线C ：y 2

=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；

（2）设圆M 过点P (4，-2)，求直线l 与圆M 的方程．

6。已知斜率为k 的直线l 与椭圆22

143

x y C +=：交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >，．

（1）证明：12

k <-；

（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明:FA ，FP ，FB 成等差数列,并求该数列的公差．

7。已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>

(0,1)，圆22221:C x y a b +=+。

（1）求椭圆C 的方程;

(2）直线:(0)l y km m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问是否存在这样的直线l ，使得AM MB =?若存在，求出l 的方程,若不存在,请说明理由。

8.已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ,点F 在x 轴正

半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。 (1)当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时,求1C 及2C 的方程；

（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点，交2C 于M ，N 两点。当36

7

PQ =时,求MN

的值。

9.如图,椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点是F （1，0）,O 为坐标原点．

（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（2）设过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．

恒有2

2

2

OA OB AB +<，求a 的取值范围．

10。设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （1)若6ED DF =,求k 的值;

(2）求四边形AEBF 面积的最大值．

11。已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O,1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。

（1)当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程；

（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点,交2C 于M,N 两点.当36

7

PQ =时，求MN 的值。

12. 如图,在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12

42

2=+y x 的顶点，过坐标原 的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC,并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k

（1）当直线PA 平分线段MN,求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d;

(3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

13.平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线． （1)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；

（2）当1m =-时,对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞,对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是

2C 的两个焦点。试问：在1C 撒谎个，是否存在点N ,使得△1F N 2F 的面积2||S m a =。若存在,

求tan 1F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。

14。如图7，椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率32,x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长

等于C 1的长半轴长. （1）求C 1，C 2的方程；

(2）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交与D ，E ．（i ）证明：MD ⊥ME;（ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得

1217

32

S S =请说明理由. 15.如图,已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x