椭圆焦点三角形的面积通径及性质

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椭圆焦点三角形(解析版)

微专题：椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论. 二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF ∆中，（1）. c F F a PF PF 2||,2||||2121==+. （2）. 焦点三角形的周长为.22c a L +=①已知F 1，F 2是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，△ABF 2的周长是________．②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A ，B ，△F AB的周长的最大值是a 4如图所示，设椭圆右焦点为F 1，AB 与x 轴交于点H ，则|AF |＝2a －|AF 1|，△ABF 的周长为2|AF |＋2|AH |＝2(2a －|AF 1|＋|AH |)，∵△AF 1H 为直角三角形，∴|AF 1|＞|AH |，当且仅当|AF 1|＝|AH |，即F 1与H 重合时，△AFB 的周长最大，即最大周长为2(|AF |＋|AF 1|)＝4a ，（3）.21221cos 12||||PF F b PF PF ∠+=. （4）. 焦点三角形的面积为：2tan sin ||||212122121PF F b PF F PF PF S ∠=∠=. ①设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大.②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；（5）. 假设焦点21F PF ∆的内切圆半径为r ，则r c a S )(+=.（6）.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，推导：根据两点间距离公式:2201)(||y c x PF ++=，由于)0(,1220220>>=+b a by a x 代入两点间距离公式可得)1()(||2202201ax b c x PF -++=，整理化简即可得01||ex a PF +=. 同理可证得02||ex a PF -=.①[]22222,a b x e a ∈-=②焦半径的取值范围：ca PF c a +≤≤-1.③ 特别地：过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为a b 22，ab PF 2=(7)设),(00y x P 是椭圆上一点，那么2022221x e c b PF PF +-=⋅→→，由于],0[220a x ∈,故我们有2022221x e c b PF PF +-=⋅→→[]222,b c b -∈（8）若约定椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，21F F 、分别为左、右焦点；顶点),(00y x P 在第一象限；γβαβα=∠>=∠=∠212112),(,PF F F PF F PF ，则对于椭圆，离心率βαβαβαγsin sin )sin(sin sin sin 22++=+===a c a c e（9）.焦点直角三角形:底角为90︒，有四个(四个全等，P 点为通径端点。

椭圆中的重要结论

椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等一•焦点三角形的形状判定及周长、面积计算2 2例1椭圆・ 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2的形状. 16 12 性质一： 2 2已知椭圆方程为笃•爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a bPF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

性质三：h 厶过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2已知椭圆方程为务•每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形a b2PF 1F 2 中 FfF 2- V,则 COST 一1 — 2e . 2 2一x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上a b存在一点P,使得三F 1PF 2二12。

0,求椭圆的离心率e 的取值范围。

二 b 2 tan —。

2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为F 1, F 2,设焦点三角例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| IF1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

椭圆焦点三角形面积公式

求解之答禄夫天创作运用公式设P为椭圆上的任意一点,角F1F2P=α , F2F1P=β, F1PF2=θ,则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ), 焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2).证明方法一设F1P=m , F2P=n , 2a=m+n,由射影定理得2c=mcosβ+ncosα,e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n),由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）.证明方法二对焦点△F1PF2, 设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)例题F1, F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点, PQ是过F1的一条弦, 求三角形PQF2面积的最年夜值【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| *2c=c*|y2-y1|△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c, 之后是联立直线方程与椭圆方程, 利用韦达定理暗示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题, 会对你有所启发的.设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点, 弦AB过椭圆的右焦点, 求三角形F1AB的面积的最年夜值.【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2假设A在x上方, B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)。

椭圆焦点三角形面积公式几种推导

椭圆焦点三角形面积公式几种推导说到椭圆焦点三角形面积公式，不得不提它那一段“曲折”的历史。

哈哈，别误会啊，椭圆可不是弯弯的像个弓弦的什么奇怪东西。

它就是那种看起来圆圆的，其实两头被拉长了的形状。

想象一下，咱们常见的篮球，稍微压了一下两边，球的中间依然饱满，圆滚滚的。

但要是你把它再拉长一点，那个形状就变得有点像橄榄球，懂吗？这就是椭圆——拉长了的圆，简直就是“圆的亲戚”。

焦点嘛，你可以理解成椭圆“眼睛”的位置，站在那儿的点，看的都能不偏不倚地收获椭圆的全部信息。

搞清楚了椭圆是啥，接下来就是焦点三角形的事儿了。

这个三角形，不是你随便画个三条边就能搞定的那种；它是椭圆内部的一种特殊几何形状——三个点形成的三角形，这三个点分别就是椭圆的两个焦点，还有椭圆的一个点。

具体来讲呢，焦点分别在椭圆的左右两侧，而第三个点嘛，得是椭圆上任何一个点。

怎么样，这个三角形有点意思吧？好啦，咱们先来说说如何推导椭圆焦点三角形的面积。

这个面积公式怎么来呢？你可能会说，哎，这不就跟常见的三角形面积一样吗？其实不然。

你得知道，椭圆的焦点位置可不是随便找的，它们满足一个条件，就是椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是个常数。

这个常数，咱们叫它“椭圆的长轴”。

这就是椭圆的一个“宝贝”特性，简直是“心机”满满，搞得你总是捉摸不透。

好，既然大家都明白了椭圆的形状与焦点的关系，咱们来聊聊推导公式的步骤。

假设椭圆的长轴是2a，短轴是2b。

你可以把椭圆看作是圆的一个“伸长版”。

焦点之间的距离是2c，c就是个固定值，跟a、b都有关系。

更重要的是，这个c满足这样的关系：c² = a² b²。

也就是说，焦点的位置不是随便“摆”的，它和椭圆的长短轴息息相关。

然后，椭圆的焦点三角形面积公式是怎么来的呢？嘿，数学就是这么个“有趣”的东西，公式看上去简单，实际推导过程一波三折。

首先咱们通过坐标系来搞定它。

设定坐标，假设椭圆的中心在原点，焦点分别位于（c, 0）和（c, 0）这两个位置。

椭圆中焦点三角形面积公式

2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。

焦点三角形的性质(经典!必看)

F2＝120°，求tanF1PF2．
(1)由题设2｜F
F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
2a＝４，又2c＝2，∴b＝3
422yx＝1．
设∠F
PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1e
60sin(
3sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，
5sinθ＝3(1＋cosθ)
1bbPFPFSPFF
),0(1
222ba
yax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角
1FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。
),(
oyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1
1PFF中，
122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF
(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
1 椭圆上一点P到焦点
1,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状.
：由1
1622yx椭圆定义：
||,5||.2||||,8|||
12121PFPFPFPFPFPF.
又4||
1FF，故满足：,||||||2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.
sin)180sin(1221PFPFFFo
sin)sin(2121PFPFFF
sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF
sin)sin(ace。
F
(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
求椭圆的方程；
若点P在第三象限，且∠PF
.
),0(1
222ba

椭圆焦点三角形的性质

椭圆的焦点三角形基础再现：已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为21,F F ，长轴端点为21,A A ，短轴端点为21,B B ，P 为椭圆上任意一点，O 为坐标原点．1. 焦半径1PF 的范围：[]c a c a +-,．类似的：OP 的范围：[]a b ,．2. 焦点三角形的周长：c a L 22+=．3.[]22221,b c b PF PF -∈⋅，当且仅当P 位于短轴端点时取得22c b -，长轴端点时取得2b ． 4. 21PF F ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．类似的：21PA A ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．特别的：过焦点的所有弦中通径通径最短，通径：ab L 22= 5. 焦点三角形的面积： ⅰ．2121sin 21PF F PF PF S ∠⋅⋅=． ⅱ．p y c b b S =⋅=+⋅=2tan cos 1sin 22θθθ，当且仅当点P 位于短轴端点时面积取得最大值bc ． 6.22121cos e PF F -≥∠，其中e 为椭圆离心率． 7. PF F F PF PF F e 212121sin sin sin ∠+∠∠=，其中e 为椭圆离心率．实战演练1．已知椭圆()()221:1,3,0,3,02516x y C A C +=-，B 为椭圆上一点，则在ABC ∆中BC A sin sin sin +的值为．2．已知21,F F 为椭圆221:12516x y C +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A ,，且1222=+B F A F ，则=AB ．3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++= ．4．已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F ₁（-c ，0）、F ₂(c,0)，且椭圆上存在一点P 使得∠F ₁PF ₂ =90°，则椭圆离心率e 的取值范围是：．5．若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 分别是其左右焦点，且︒=∠6021PF F ，则△21PF F 的面积=S ，点P 的坐标为．6．已知椭圆1:222=+y ax C （a ＞1）的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为．7．已知椭圆14:22=+y x C 的左右焦点分别为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为．8．已知椭圆22194x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是．9．已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∆为直角三角形时，12F MF ∆的面积=S ．若将第9题椭圆方程变为2212516x y +=，则12F MF ∆的面积=S ． 10．已知椭圆221259x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，且1260PF F ∠= ，则12F PF ∆的面积=S ．11．已知椭圆221259x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，直线1PF 的斜率为73，则12F PF ∆的面积=S ．。

椭圆上一点与两焦点三角形面积公式

椭圆上三角形的面积公式：S=b²tanθ/2。

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1、F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。

非焦点一侧的旁心在长轴上的射影是同侧端点。

焦点三角形相关信息：
在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫作焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形。

在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴含着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题。

椭圆焦点三角形面积二级结论

椭圆焦点三角形面积二级结论
椭圆焦点三角形面积二级结论是一个数学中的重要定理，也被称为“双焦点三角形面积定理”。

它是由18世纪意大利数学家埃尔米努耳·布朗诺斯费罗于1759年提出的，他发现如果将椭圆的两个焦点连接成一条直线，这条直线将会在椭圆上切割出一个三角形，其面积与椭圆周长之比是固定的，这就是椭圆焦点三角形面积二级结论。

椭圆焦点三角形面积二级结论的公式为：S=2*a*b*π,其中 a 为椭圆的长轴半径，b 为短轴半径，π 为圆周率。

该定理的应用范围也很广泛，对于正常椭圆，其长轴半径a等于短轴半径b，此时定理变为：S=2*a^2*π，这个结论也被称为“平行轴定理”，可以用来计算椭圆的面积。

同时，这个定理也可以用来计算椭圆的周长，根据定理，椭圆周长C=4*a*b*π，其中 a 和 b 是椭圆的长轴半径和短轴半径。

此外，椭圆焦点三角形面积二级结论也可以用来计算椭圆的曲线长度，由定理可知，椭圆的曲线长度
L=2*a*b*π，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴半径和短轴半径。

此外，椭圆焦点三角形面积二级结论还可用于求解椭圆的两个焦点的距离，由定理可知，椭圆的两个焦点的距离d=2*√(a^2-b^2)，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴半径和短轴半径。

椭圆焦点三角形面积二级结论还可以用来计算椭圆的一些几何特征，如椭圆的短轴半径b可以通过长轴半径a、面积S以及椭圆的曲线长度L来求解。

综上所述，椭圆焦点三角形面积二级结论是一个非常重要的数学定理，它不仅可以用来计算椭圆的面积、周长、曲线长度等，还可以用来求解椭圆的两个焦点的距离以及椭圆的一些几何特征，广泛应用于数学和几何学方面。

焦半径的推导公式

1.焦半径公式，P为椭圆上任意一点，则│PF1│= a + eXo
│PF2│= a - eXo
（F1 F2分别为其左，右焦点）
2.通径长= 2b²/a
3.焦点三角形面积公式
S⊿PF1F2 = b²tan（θ/2）（θ为∠F1PF2）
（这个可能有点难理解，不过结合第一定义可以较快的推，双曲线的也是同样方法）
4.（左）准点Q （自己取的名字方便叙述，准线与X轴的焦点）
过左焦点F1的任意一条线与椭圆交与A ，B 那么一定有：X轴平分∠AQB
（在右边也是一样）
二.双曲线
1.通径就不说了
2.焦半径公式（有8个，很难打符号的，不过可以根据极坐标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些）
3.焦点三角形面积公式
S⊿PF1F2 =b²cot（θ/2）（左右支都是它）
三.抛物线
y²=2px （p＞0）过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点
1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin²θ（θ为直线AB的倾斜角）
2. Y1*Y2 = -p²，X1*X2 = p²/4
3.1/│FA│+ 1/│FB│= 2/p
4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切
5.焦半径公式：│FA│= X1 + p/2 = p/（1-cosθ）
四. 通性直线与圆锥曲线y= F（x）相交于A ，B，则
│AB│=√（1+k²）* [√Δ/│a│]。

焦点三角形的性质(经典!必看)

椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状.解：由1121622=+y x 椭圆定义：3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF .又4||21=F F ，故满足：,||||||2122122PF F F PF =+故21F PF ∆为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。

θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 2tan cos 1sin 21222121θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆ 性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0 22a x o≤∴性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。

椭圆焦点三角形(解析版)

椭圆焦点三角形(解析版)椭圆焦点三角形(解析版)在数学几何学中，椭圆焦点三角形是一个有趣且有着独特性质的三角形。

本文将介绍椭圆焦点三角形的定义、性质以及相关定理证明。

定义椭圆焦点三角形是指一个三角形的三个顶点分别位于给定椭圆的两个焦点和一个点上的三角形。

性质1. 椭圆焦点三角形的三边和三个内角有特定的关系设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，三角形的三个顶点分别为A、B、C。

那么有以下性质成立：① AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2②∠F1AF2 + ∠F1BF2 + ∠F1CF2 = 360°2. 椭圆焦点三角形的内角和有一定范围设椭圆的离心率为e，且e < 1。

那么椭圆焦点三角形的内角和满足以下条件：π / 2 < ∠A + ∠B + ∠C < 3π / 2定理证明定理1：椭圆焦点三角形的三边与三个内角的关系假设AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = 2a，并且AF1 < AF2 < BF1 < BF2 < CF1 < CF2。

由于椭圆的几何性质可知，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2a + 2a + 2a = 6a。

根据三角形内角和的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = π，其中∠A = ∠F1AF2，∠B = ∠F1BF2，∠C = ∠F1CF2。

由于∠A、∠B、∠C都在同一个三角形内，所以∠A + ∠B + ∠C = π。

因此，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 6a = 2π。

得到结论：AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2π，即AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2。

定理2：椭圆焦点三角形的内角和的范围由于e < 1，所以根据椭圆的性质可知，AF1 + AF2 > 2a， BF1 + BF2 > 2a， CF1 + CF2 > 2a。

圆锥曲线必备公式(经典)

圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a 2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ，0 ，A 2a ，0 ，B 10，-b ，B 20，bA 10，-a ，A 20，a ，B 1-b ，0 ，B 2b ，0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ，0 、F 2c ，0F 10，-c 、F 20，c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =ca=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2c y =±a 2c 切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0x b 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c(2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tanθ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之差为常数（大于F 1F 2 ）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yx F 1F2b c 虚轴实轴ayxF 1F 2实轴虚轴标准方程x 2a 2-y 2b 2=1a >0，b >0 y 2a 2-x 2b 2=1a >0，b >0 范围x ≤-a 或x ≥a ，y ∈R y ≤-a 或y ≥a ，x ∈R 顶点A 1-a ，0 、A 2a ，0 A 10，-a 、A 20，a 轴长虚轴长=2b ，实轴长=2a ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2+b 2焦点F 1-c ，0 、F 2c ，0F 10，-c 、F 20，c焦半径|PF 1|=a +e x 0，|PF 2|=-a +e x 0左支添“-”离心率e =ca=1+b 2a2e >1 准线方程x =±a 2c y =±a 2c 渐近线y =±b a xy =±a b x切线方程x 0x a 2-y 0y b 2=1x 0x b 2-y 0y a 2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|-|PF 2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2÷tan θ2=c ∙y(4)离心率：e =F 1F 2 PF 1 -PF 2=sin θsin α-sin β =sin (α+β)sin α-sin βyxF 1F 2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2，0 F -p 2，0 F 0，p 2 F 0，-p2准线方程x =-p 2x =p 2y =-p2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ，(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2p (4)AB =2p sin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ，0)则设直线：x =my +a ，可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ，y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ，韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 23、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn，可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2，x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2，代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法（可以拓展为第三定义）：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0，y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中，有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中，有k MN ⋅y 0=p .。

椭圆焦点三角形面积公式

求解之老阳三干创作运用公式设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ，则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。

证明方法一设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n，由射影定理得2c=mcosβ+ncosα，e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)，由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/(sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。

证明方法二对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)例题F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| *2c=c*|y2-y1|△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理暗示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。

【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)△F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即 |y1|+|y2|最小[1]）∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3)→→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数)∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．。

椭圆焦点三角形的面积

椭圆焦点三角形的面积椭圆焦点三角形是椭圆中的一个重要几何图形，它由椭圆上的一点与椭圆的两个焦点所构成。

而椭圆焦点三角形的面积是一个具有特定计算公式和重要性质的量，理解和掌握它对于解决与椭圆相关的问题具有重要意义。

我们先来明确一下椭圆焦点三角形的定义。

椭圆焦点三角形是指以椭圆的两个焦点以及椭圆上的任意一点为顶点所构成的三角形。

要探讨椭圆焦点三角形的面积，就不得不提到椭圆的基本性质。

对于椭圆标准方程：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴，＼（b\）为椭圆的短半轴，两个焦点之间的距离\（2c\）（＼（c\）为椭圆的半焦距）满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

接下来，我们推导椭圆焦点三角形的面积公式。

假设椭圆上一点\（P\）的坐标为\（（x_0, y_0)＼），两个焦点分别为\（F_1\）、＼（F_2\），且\（＼angle F_1PF_2 ＝＼theta\）。

根据余弦定理，在\（＼triangle F_1PF_2\）中，＼（｜F_1F_2|＾2 ＝｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2 2|PF_1|＼cdot|PF_2|＼cos\theta\）又因为\（｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a\）（椭圆的定义），将其平方可得：＼＼begin{align}｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2 ＋ 2|PF_1|＼cdot|PF_2|＆＝4a^2\＼｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2&＝4a^2 2|PF_1|＼cdot|PF_2|＼end{align}＼将其代入余弦定理的式子中可得：＼＼begin{align}4c^2&＝4a^2 2|PF_1|＼cdot|PF_2| 2|PF_1|＼cdot|PF_2|＼cos\theta\＼2|PF_1|＼cdot|PF_2|（1 ＋＼cos\theta)＆＝4(a^2 c^2)＼＼2|PF_1|＼cdot|PF_2|（1 ＋＼cos\theta)＆＝4b^2\＼｜PF_1|＼cdot|PF_2|＆＝＼frac{2b^2}｛1 ＋＼cos\theta}＼end{align}＼那么椭圆焦点三角形的面积\（S ＝＼frac{1}｛2}｜PF_1|＼cdot|PF_2|＼sin\theta\）＼＼begin{align}S&＝＼frac{1}｛2}＼cdot\frac{2b^2}｛1 ＋＼cos\theta}＼cdot\sin\theta\＼＆＝b^2\cdot\frac{＼sin\theta}｛1 ＋＼cos\theta}＼＼＆＝b^2\cdot\tan\frac{＼theta}｛2}＼end{align}＼这就是椭圆焦点三角形面积的重要公式。

焦点三角形面积公式

椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F .同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == Θ点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ F 2解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为（） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ 故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A. 59B.779 C. 49D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D. 金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（）A. 20B. 22C. 28D.242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF ⋅的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF ⋅的值为（）A. 0B. 2C. 4D.2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（） A ．1B ．31C ．34D ．325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程. 答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ，Θ 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ，Θ 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ. 故答案选D.4．解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ，又Θ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. Θ 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又Θ3522=-==a b a ac e ， ∴95122=-a b ，即952012=-a.解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-==120,21cos 2121θθ.3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又Θ3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。