椭圆标准方程焦点三角形面积公式高三复习

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椭圆标准方程焦点三角形面积公式高三复习

9椭圆焦点三角形面积公式的应用性质1(选填题课直接用，大题需论证):2 2在椭圆笃每典型例题例1若p 是椭圆1002y_ 641上的一点，F 1、F 2是其焦点，且F 1PF 2 60，△ F 1PF 2的面积. 2例2已知P 是椭圆—251上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若PF 1 PF 2一〔，则厶F 1PF 2的面积为()| PF 1 | | PF 2 | 2A. 3 3B. 2 3C. 31 ( a > b >0)中，焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆上任意一点,F 1PF 2，则 SF 1PF2b 2 tan2证明：记|PF i | A ,|PF 2| D ，由椭圆的第一定义得在厶F 1PF 2中，由余弦定理得:2 r12 r22nr 2 cos配方得：(口 r 2)2 2r 1r 2 2r 1 r 2 cos 4c 2.即 4a 2 2r 1r 2(1 cos ) 4c 2. 由任意三角形的面积公式得: F 1PF 21r 1r 2sinb 22 sin1 b2 COS2sin — cos —2 22cos 2 —2b 2 tan —•2同理可证，在椭圆 2y a(a > b > 0)中，公式仍然成立.yO F 2(2c)D.—32 2例3 （04湖北）已知椭圆—仝1的左、右焦点分别是F“ F2，点P在椭16 9圆上.若P、F!、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A. 9B. c. 95 7 4D. 9或□4 7答案：例1 若P是椭圆2 x1002右1上的一点，F’、£是其焦点，且F1PF2 60，求△ F1PF2的面积.2解法一：在椭圆—2y_ 1 中，a 10,b 8,c6,而60 .记| PF1|GIPF2I D.10064点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：A r22a 20.在厶F1PF2中，由余弦定理得： 2 2r1r22r1r2 cos(2c)2.配方，得：（r, r2）23盹144.256400 3r,r2 144.从而r,r2——.32 2解法二：在椭圆—1中，b264，而60 .100 64解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现!2 2例2已知P是椭圆25花1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若PF1 PF21则八F PF的面积为（）| PF1 | | PF2 |? 八J2A. 33B.2.3C. 3D. 33解：设F1PF2，则cosPF1PF2160 . | PF1 ||PF212，故选答案 A.例3（04湖北）2已知椭圆X 2y1的左、右焦点分别是F" F2，点P在椭16 9圆上.若P、F!、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A. 9B. ^7C.-57 4D. 9或口47解：若Fi或F2是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长—9；若Pa 4是直角顶点，设点P到x轴的距离为h，则S侶b2tan— 9tan45 9，又21 —S RPF2 - （2c） h 7h,2i -.7h 9，h 故答案选D.7金指点睛2 21（略）.椭圆L — 1上一点P与椭圆两个焦点R、F2的连线互相垂直，则△49 24F1PF2的面积为（）A. 20B. 22C. 28D. 2422.椭圆x2y1的左右焦点为F1、F2，P是椭圆上占八、当厶F1PF2的面积为41时，PF1PF2的值为（)A. 0B. 1C. 3D. 623.椭圆x2y1的左右焦点为F1、F2，P是椭圆上占八、当厶F1PF2的面积最4大时，PF1PF2的值为（)A. 0B. 2C. 4D. 224 .已知椭圆笃y2 1 （ a > 1）的两个焦点为Fi、F? , P为椭圆上一点，且aF i PF? 60，则|PF i I IPF2 I的值为（）A. 1D.线PF1与PF2倾斜角的差为90，△ F1PF2的面积是20,离心率为—，求椭圆的3 标准方程.6 .已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，且PF—PF2 1，△F1PF2的面积是、3，准线方程为x -―3，求椭圆的标I PF1 I IPF2 | 2 3准方程.答案1.解：F1PF290 ,b2 24，S F1PF2b2ta n— 24ta n45 24 .1 225.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴, F1、F2为焦点，点P在椭圆上，直33故答案选D. 2.解：设 F 1PF 2, S F 1PF2b 2%tan 1 ,22 45,90 ,PF 1 PF 20.故答案选A. 3.解：a 2,b 1,c ,3，设 F 1PF 2SF 1PF2b 2 ta n —2tan —,2当厶F 1PF 2的面积最大时, 为最大, 这时点 P 为椭圆短轴的端点,120 ,PF 1 PF 2 | PF 1 | | PF 2 |cos 故答案选D. a 2 cos120 2.4. 解: F 1PF 260 , b 2b tan tan 302F 1PF 22|P F 1| IPF 2 |sin—| PF 11 4IPF 2I ,-3，从而 | PF 1 | | PF 2 |故答案选C. 5.解: F 1PF 2 ，则90SF 1PF22 2b tan b tan 452b 220,.a 2 b 2 20 ~2 a解得：a 245 所求椭圆的标准方程为 2 x 45 2y 20 2 1或— 45 2x201.6.解：设 F 1PF 2, cos PF 1 PF 2 IPF 1 | | PF 2 | 120 .S F 1PF 2b 2% 2 b tan 60 3b 2c 2 b 2 c 2 1□.33时，点P 的横坐标是O2 2问题1.椭圆亍二1的焦点为Fl 、F2,点P 为其上一点，当 F 1PF 2为直角性质二：有关角的问题PFF ，2-1的焦点为F i 、F 2,点P 为其上一点，当 FfF 2为直角4时，点P 的横坐标是22问题2:椭圆— —1的焦点为F i 、F 2，点P 为其上动点，当FfF 2为钝94角时，点P 横坐标的取值范围是变式.3时, b 2 c 222，这时椭圆的标准方程为71； ,b 2 c 2守，这时椭圆的标准方程为但是, 此时点 P 为椭圆短轴的端点时, 2x4故所求的椭圆的标准方程为为最大, y 2 1. 2 x 360，不合题意. 2已知椭圆方程为笃 a2b 21(a b0）,左右两焦点分别为F 1, F 2,设焦点三角形若 F 1PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

椭圆中焦点三角形面积公式

2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。

椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)

椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程：设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2222122212212222121PF PF PF PF F F c b a aPF PF cF F ⇒)cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=bc a PF PF ）)2tan()2(cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221αb S F PF =∆．二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF cF F ⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ）12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF 即1-2)2tan(21αb S F PF =∆．。

椭圆的焦点三角形公式

椭圆的焦点三角形公式椭圆是我们在数学学习中经常会碰到的一个重要图形，而椭圆的焦点三角形则有着一些独特的公式和有趣的性质。

先来说说啥是椭圆的焦点三角形。

想象一下，椭圆上有一个点 P，然后连接椭圆的两个焦点 F₁和 F₂，这样就形成了一个三角形，这个三角形就叫做焦点三角形。

在焦点三角形中，有几个重要的公式。

比如说，焦点三角形的周长公式是 2a + 2c ，其中 a 是椭圆的长半轴，c 是椭圆的半焦距。

还有一个特别常用的公式是在焦点三角形 PF₁F₂中，设∠F₁PF₂ = θ，那么三角形的面积 S = b² × tan(θ/2) ，这里的 b 是椭圆的短半轴。

那这些公式到底有啥用呢？我给您讲个事儿您就明白了。

记得有一次我给学生们上课，讲完这些公式后，我出了一道题让他们做。

题目是这样的：已知椭圆方程为 x²/25 + y²/16 = 1 ，点 P 在椭圆上，∠F₁PF₂ = 60°，求焦点三角形 PF₁F₂的面积。

大多数同学看到题目就开始埋头苦算，又是设坐标，又是用距离公式的，算得那叫一个费劲。

但有个聪明的同学就不一样啦，他马上想到了我们刚讲的面积公式S = b² × tan(θ/2) 。

这个椭圆里，b² = 16 ，θ = 60°，所以tan(θ/2) = √3/3 ，那面积 S 一下子就算出来是16√3/3 。

这时候其他同学都恍然大悟，原来用对了公式能这么轻松地解决问题。

从那以后，同学们对这些公式的印象可深刻了，遇到类似的题目也不再害怕。

咱们再回到焦点三角形的公式上来。

这些公式的推导其实也挺有意思的。

就拿面积公式来说吧，它是通过余弦定理和一些巧妙的代数变形得到的。

在学习和运用这些公式的时候，一定要注意理解每个字母代表的含义，还要多做一些练习题来巩固。

比如说，给您一个椭圆方程，让您求焦点三角形的周长或者面积，您就得能迅速判断出要用哪个公式，然后准确地代入数值计算。

高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)：椭圆焦点三角形的一个面积公式

1今天我们研究椭圆焦点三角形的一个面积公式。

椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。

椭圆大小确定后，椭圆焦点三角形的面积只和焦半径的夹角有关。

先看例题：例：在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆.证明：如图，记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ2 .cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆ 同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.归纳整理：焦点三角形的面积公式：2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=；2tan 221θb S PF F =∆。

再看一个例题，加深印象例：已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若3 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（） A. 33 B. 32 C.3 D. 33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ 利用整理出的焦点三角形面积公式，直接可得：.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F所以本题选A.总结： 1.椭圆焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有椭圆的定义、余弦定理等.2.椭圆大小确定后，椭圆焦点三角形的面积只和焦半径的夹角有关.练习：1.椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（）A. 20B. 22C. 28D. 242.椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 64答案： 1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ， ∴2445tan 242tan 221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan 2tan 221===∆θθb S PF F ， ∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF . 故答案选A.。

椭圆焦点三角形的面积

综上所述，点 P 到 x 轴的距离 9 或 9
45
课堂总结
椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的焦点三角形的面积为：
S△PF1F2
1 2
PF1
PF2
sin
S△PF1F2
b2
tan
2
S△PF1F2 c y0 .（ y0 为 P 点的纵坐标）
作业：
椭圆的焦点三角形练习（二）
谢谢！
椭圆焦点三角形的面积：
在椭圆
C： x2
a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）中，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
P 是椭圆上任意一点， F1PF2 ，则焦点三角形的面积为
S△PF1F2
b2
tan
2
证明：
记 | PF1 | m, | PF2 | n
m
n
在 F1PF2 中，由余弦定理有：
m2 n2 2mn cos | F1F2 |2 4c2
|
1 2
,求
F1PF2 的面积。
PF1 . PF2 | PF1 | . | PF2
|
cos
1 2
60
,
tan
2
tan 30
3 3
SPF1F2
b2
tan
2
3
3
例 3：已知椭圆 x2 y2 1的左、右焦点分别是
25 9
F1, F2 ，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2 是一个直
角三角形的三个顶点，求点 P 到 x 轴的距离。
椭圆的焦点三角形
(第二课时）
关于椭圆焦点三角形的常见问题：

椭圆焦点三角形的面积

椭圆焦点三角形的面积椭圆焦点三角形的面积是数学中比较复杂的概念，需要一定的几何基础和计算技巧才能理解和运用。

下面将介绍有关椭圆焦点三角形面积的概念、定义、性质及其计算方法。

一、椭圆焦点三角形的定义和性质1. 椭圆焦点三角形是指在椭圆上任取三点，分别作为一个焦点和两个椭圆上的点，连接这两个点与另一个焦点所在的直线的三角形称为椭圆焦点三角形。

2. 椭圆焦点三角形的三条边与椭圆的三条轴互相垂直。

3. 椭圆焦点三角形的三个顶点在椭圆上，其中有一个顶点位于凸部，另外两个顶点位于凹部。

二、椭圆焦点三角形面积的求解方法1. 利用两个焦点和椭圆上的一个点，求出椭圆离心率e的值。

2. 根据椭圆的半长轴a和半短轴b以及离心率e的值，求出椭圆的焦距c和焦点的坐标。

3. 利用椭圆的焦距和焦点的坐标，求出椭圆的方程。

4. 求出椭圆焦点三角形的三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * e。

5. 根据已知的椭圆焦点三角形上的两个点和一个焦点的坐标，求出三角形的边长公式。

6. 利用得到的椭圆焦点三角形的边长和三角形面积公式，求出三角形的面积。

三、椭圆焦点三角形面积计算实例1. 已知椭圆的半长轴a = 3，半短轴b = 2，一个焦点坐标为(-2,0)，另一个焦点坐标为(2,0)，并且椭圆上的一个点坐标为(0,2)。

求椭圆焦点三角形的面积。

解：根据公式，可计算出椭圆的离心率为e = 0.866。

然后，可以求出椭圆的焦距c = 2.449，焦点坐标为(-2.449,0)和(2.449,0)，椭圆的方程为(x^2/9) + (y^2/4) = 1。

接着，可以求出椭圆焦点三角形边长：AB = 5.303，AC = 3.606，BC = 4.043。

最后，利用面积公式S = 1/2 * a * b * e = 2.598 ，可得出椭圆焦点三角形的面积为2.598。

专题12 焦点三角形的面积公式(解析版)

A． 48 5
B． 36 5
C．16
D． 48 或 16 5
【答案】D
【详解】依题意， a 5,b 4, c 3 ，不妨设 F1 3, 0, F 3, 0 ，
对于直角三角形 MF1F2 ，
若 F1MF2
π 2
，
PF1 PF2 2a 10
由
PF1
2
PF2
2
4c
2
36
，整理得
PF1
PF2
7 7 3
3
2
33
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，
在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，SPF1F2
b2 tan
要特别注意记忆
F1PF2 表
2
示的是哪个角.另外利用结论 SPF1F2
b2 求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.
即为 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 4c2
联立可得 PF1 PF2 4c2 4a2 4b2
F1F2P 的面积为
3,
可得 1 2
PF1
PF2
sin 60 1 4b 2 2
3 2
3b2
3
解得
b
1,
a
1 2
，所以双曲线的实轴的长
2a
1.
故选：A
7．（2022
秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆 x2 100
直线 AF 的斜率为（）
A．
1 3
B． 2 3
C．
1 2
D． 2 2
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点为 F2 ，连接 AF2 , BF2 ，由图形的对称性知 AFBF2 为矩形，则有 | AF | AF2 2a ，

椭圆标准方程焦点三角形面积公式

椭圆焦点三角形面积公式的应用性质 1( 选填题课直接用，大题需论证 ):在椭圆x 2 y 2 1 a b ＞〕中，焦点分别为F 1 、F 2 ，点 P 是椭圆上任意一点，a 2b 2 〔＞ 0F 1 PF 2，那么 S F PF b 2 tan .y212P证明：记 | PF 1 | r 1 ,| PF 2 | r 2 ，由椭圆的第一定义得 Pr 1 r 2 2a,(r 1r 2 ) 24a 2 .F 1 OF 2x在△ F 1 PF 2 中，由余弦定理得： r 1 2r 2 2 2r 1r 2 cos(2c) 2 .配方得： (r 1r 2 )2 2r 1r 22 2 cos 4 c 2 .r 1r即 422 r 1r 2 (1 cos ) 4 c 2 . a r 1r 22( a 2 c 2 )2b 2.1 cos1cos由任意三角形的面积公式得：1r 1r 2 sin sin2sincosSF PF2b 2b 22 2 b 2 tan .121 cos2 cos 222SF PF2b 2 tan .12同理可证，在椭圆 y2x 2 1 〔 a＞ b ＞〕中，公式仍然成立.a 2b 2典型例题22例 1 假设 P 是椭圆xy1上的一点，F 1、 F 2 是其焦点，且 F 1PF 260 ，求10064△ F 1 PF 2 的面积 .例 2已知 P 是椭圆x 2y 2 1 上的点， F 1 、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，假设25 9PF 1 PF 21，那么△ F 1 PF 2 的面积为〔〕| PF 1 | | PF 2 |2A. 3 3B.2 3C.3D.33例 3〔 04 湖北〕椭圆 x2y 2 1的左、右焦点分别是 F 1、 F 2 ，点 P 在椭圆上 . 假设 P 、F 1、16 9F 2 是一个直角三角形的三个顶点，那么点P 到 x 轴的距离为〔〕A. 9B.9 7 C.9 D.9 或 9 757447答案：例 1假设 P 是椭圆x 2y 21上的一点，F 1、 F 2 是其焦点，且 F 1PF 260 ，求10064△ F 1 PF 2 的面积 .x 2y 26, 而60 . 记 | PF 1 | r 1 , | PF 2 | r 2 .解法一：在椭圆 1001 中， a 10, b 8, c64点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：r 1 r 2 2a 20.在△ F 1 PF 22 22r 1r 2 cos(2c) 2 .中，由余弦定理得： r 1 r 2配方，得： ( r 1r 2 )23r 1r 2 144.400 3r 1r 2144. 从而 r 1r 2256 .3SF 1 PF 21r 1r 2 sin1 256 3 64 3 .22 32 3解法二：在椭圆x 2y21 中， b2 64 ，而60 .100 64SF 1PF 2b 2 tan64 tan 30 64 3 .23解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知 P 是椭圆x2 y 21 上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，假设25 9PF1 PF2 1，那么△ F1PF2 的面积为〔〕| PF1 | | PF2 | 2A. 3 3B. 2 3C. 3D.3 3解：设F1 PF2 ，那么 cosPF1 PF2 1，60 . | PF1 | | PF2 | 2S F PF2 b 2 tan 9 tan 303 3.1 2 应选答案 A.例 3〔 04 湖北〕椭圆x2y 2 1的左、右焦点分别是F1、 F2，点P在椭圆上.假设 P、F1、16 9F2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P 到x轴的距离为〔〕A. 9B. 9 7C. 9D. 9 或 9 75 7 4 4 7解：假设 F1或 F2是直角顶点，那么点P 到x轴的距离为半通径的长b2 9；假设 P 是直角顶点，设a 4 点 P 到x轴的距离为 h，那么S FPF2 b2 tan 9 tan 45 9 ，又 S F PF21(2c) h 7h,1 2 1 27h 9 ， h 9 7. 故答案选 D. 7金指点睛1( 略 ). 椭圆 y 2 x2 1上一点P与椭圆两个焦点F1、 F2的连线互相垂直，那么△F1 PF2的面积为49 24〔〕A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆x221的左右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，当△ F1 PF2的面积为PF1 PF2 y 1 时，4的值为〔〕A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆 x2 y 2 1的左右焦点为 F 、F ，P 是椭圆上一点，当△F P F 的面积最大时，PF1 PF24 1 2 1 2的值为〔〕A. 0B. 2C. 4D. 24．椭圆x2 y2 1〔 a ＞1〕的两个焦点为F1、 F2，P为椭圆上一点，且F1PF2 60 ，a 2那么 |PF1 | | PF2 |的值为〔〕A．1 B ．1C ．4D ．2 3 3 35. 椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、 F2 为焦点，点 P 在椭圆上，直线PF1与 PF2倾斜角的差为90 ，△ F1PF2的面积是20，离心率为5，求椭圆的标准方程 . 36．椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，且PF1 PF21，△ F1 PF2 | PF1 | | PF 2 | 2的面积是 3 ，准线方程为 x 4 3，求椭圆的标准方程 .3 答案1. 解： F1PF2 90 ,b 2 24 ，S F PF2 b2 tan 24 tan 45 24 .1 2 故答案选 D.2. 解：设F1 PF2 ，S F PF2 b2 tan tan 1 ，45 , 90 ， 1PF 20 .1 2 2 2 PF故答案选 A.3. 解： a 2, b 1,c 3 ，设F1 PF2 ，S F1PF2 b 2 tan tan ，2 2当△ F1 PF2的面积最大时，为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点，120 ，PF1 PF2 | PF1 | | PF2 | cos a 2 cos120 2 .故答案选 D.4．解：F1 PF2 60 ， b 1 ， S F1PF2 b 2 tan tan30 3 ，2 3又SF1PF21| PF1 | | PF2 | sin3| PF1 | | PF2 |，2 43| PF1 | | PF 2 | 3，从而 | PF1 | | PF 2 | 4 .4 3 3 故答案选 C.5. 解：设F1PF2 ，那么90 .SF PF2b 2 tan2b2 tan 45 b 2 20 ，1又 e c a 2 b 2 5 ，a a 31 b2 5，即 1 20 5 .a2 9 a2 9解得： a 2 45 .所求椭圆的标准方程为x 2 y 2 1或 y 2 x2 1.45 20 45 206．解：设F1PF2 ， cos PF1 PF2 1 , 120 .| PF1 | | PF2 | 2SF1PF2 b 2 tan b2 tan 60 3b 2 3 ， b 1 .2又 a 2 4 3 ，即 c2 b2 c 2 1 c 1 4 3 3 3 .c 3 c c c 3 3c 3 或 c 3 .3当 c 3 时，a b 2 c2 2 ，这时椭圆的标准方程为x 2 y 2 1 ；4当 c3时， a b 2 c22 3，这时椭圆的标准方程为x2 y 2 1；3 3 43但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60 ，不合题意 .故所求的椭圆的标准方程为x 2 y2 1.4性质二：有关角的问题椭圆方程为x 2 y 2 1(a b 0), 左右两焦点分别为F 1, F 2 , 设焦点三角形 PF 1F 2 ，a 2b 2若 F 1 PF 2 最大，那么点 P 为椭圆短轴的端点。

椭圆焦点三角形面积公式

求解之老阳三干创作运用公式设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ，则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。

证明方法一设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n，由射影定理得2c=mcosβ+ncosα，e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)，由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/(sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。

证明方法二对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)例题F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| *2c=c*|y2-y1|△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理暗示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。

【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)△F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即 |y1|+|y2|最小[1]）∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3)→→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数)∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．。

椭圆焦点三角形的面积

椭圆焦点三角形的面积椭圆焦点三角形是椭圆中的一个重要几何图形，它由椭圆上的一点与椭圆的两个焦点所构成。

而椭圆焦点三角形的面积是一个具有特定计算公式和重要性质的量，理解和掌握它对于解决与椭圆相关的问题具有重要意义。

我们先来明确一下椭圆焦点三角形的定义。

椭圆焦点三角形是指以椭圆的两个焦点以及椭圆上的任意一点为顶点所构成的三角形。

要探讨椭圆焦点三角形的面积，就不得不提到椭圆的基本性质。

对于椭圆标准方程：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴，＼（b\）为椭圆的短半轴，两个焦点之间的距离\（2c\）（＼（c\）为椭圆的半焦距）满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

接下来，我们推导椭圆焦点三角形的面积公式。

假设椭圆上一点\（P\）的坐标为\（（x_0, y_0)＼），两个焦点分别为\（F_1\）、＼（F_2\），且\（＼angle F_1PF_2 ＝＼theta\）。

根据余弦定理，在\（＼triangle F_1PF_2\）中，＼（｜F_1F_2|＾2 ＝｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2 2|PF_1|＼cdot|PF_2|＼cos\theta\）又因为\（｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a\）（椭圆的定义），将其平方可得：＼＼begin{align}｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2 ＋ 2|PF_1|＼cdot|PF_2|＆＝4a^2\＼｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2&＝4a^2 2|PF_1|＼cdot|PF_2|＼end{align}＼将其代入余弦定理的式子中可得：＼＼begin{align}4c^2&＝4a^2 2|PF_1|＼cdot|PF_2| 2|PF_1|＼cdot|PF_2|＼cos\theta\＼2|PF_1|＼cdot|PF_2|（1 ＋＼cos\theta)＆＝4(a^2 c^2)＼＼2|PF_1|＼cdot|PF_2|（1 ＋＼cos\theta)＆＝4b^2\＼｜PF_1|＼cdot|PF_2|＆＝＼frac{2b^2}｛1 ＋＼cos\theta}＼end{align}＼那么椭圆焦点三角形的面积\（S ＝＼frac{1}｛2}｜PF_1|＼cdot|PF_2|＼sin\theta\）＼＼begin{align}S&＝＼frac{1}｛2}＼cdot\frac{2b^2}｛1 ＋＼cos\theta}＼cdot\sin\theta\＼＆＝b^2\cdot\frac{＼sin\theta}｛1 ＋＼cos\theta}＼＼＆＝b^2\cdot\tan\frac{＼theta}｛2}＼end{align}＼这就是椭圆焦点三角形面积的重要公式。

椭圆标准方程及其性质知识点大全

【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2离心率①(01)c e e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。

A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：122tan 2PF F S b θ∆=图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。