山东省青岛二中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷及答案
山东省青岛市2019-2020学年高一上期中数学试卷及答案
当 x 0 时， x x x2 3 x3 x 0 ，此时集合共有 1 个元素，
当 x 0 时， x x x2 3 x3 0 ，此时集合共有 2 个元素，
5
综上所述，此集合最多有 2 个元素.
故选： A .
【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值,其中解答本题的关键是利用 分类讨论思想,对 x 分三种情况进行讨论,是基础题.
B.
a
若
b
，则
a>b
cc
C. 若 a3>b3 且 ab<0，则 1 1 ab
D. 若 a2>b2 且 ab>0，则 1 1 ab
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对 A、B、C、D 四个选项通过举反例进行一一验证．
【详解】A．若 a＞b，则 ac2＞bc2（错），若 c=0，则 A 不成立；
2.由实数 x，﹣x，|x|， x2 ， 3 x3 组成的集合中，元素最多有（ ）
A. 2 个 【答案】A 【解析】
B. 3 个
C. 4 个
【分析】
D. 5 个
根据绝对值的定义和开平方、立方的方法,应对 x 分 x 0, x 0, x 0 三种情况分类讨论,根
据讨论结果可得答案.
【详解】当 x 0 时， x x x2 , 3 x3 x 0 ，此时集合共有 2 个元素，
x2 + y2 > 2
反之 x=-2,y=-1, x2 + y2 > 2 成立不能推出“ x, y 中至少有一个数大于 1”，
因此“ x, y 中至少有一个数大于 1”是“ x2 + y2 > 2 ”成立既非必要又非充分条件，
青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段期中高三模块考试数学试题答案
数学试题 第1页 共3页青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段 期中高三模块考试——（数学）试题答案答案：1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD14.2a 15.1216.16π 17.e18. 【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.所以sin ABC ∠=. 因为角D 与角B 互补，所以sin sin ADC ABC ∠=∠=，1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=.又32AD CD ⋅=， 所以3cos 2AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=，即6AD CD ⋅=，所以1sin 2ACDSAD CD ADC =⋅⋅∠=（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠， 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=，所以AD CD+=所以ACD 的周长为3AD CD AC ++=.19. 【解析】（Ⅰ）证明：在中，又平面平面ABCD平面平面ABCD=AD ，平面PAD ，又（Ⅱ）如图，作于点O ， 则平面ABCD过点O 作于点E ，连接PE ，以O 为坐标原点，以OA,OE,OP 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由（1）知平面DBC 的一个法向量为 设平面PBC 的法向量为则 取设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为 则20. 【解析】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =， 可得120a d +=，151015a d +=，解得11a =-，2d =，ABD ∆2,3AD BD BAD π==∠=AD BD ∴⊥PAD ⊥PAD ⋂ABCD BD 面⊂BD ∴⊥PAD PD 面⊂BD PD ∴⊥PO AD⊥PO ⊥OE BC ⊥()()(()1,0,0,,,D B p C ---()()1,23,3,2,0,0BP BC =-=-()0,0,1(),,n x y z =00n BCn BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即()0,1,2,n =θcos 5θ=数学试题 第2页 共3页则12(1)23n a n n =-+-=-数列{}n b 满足：12b a =，131(2)n n n n n nb a b a b ++++=， 可得11b =，1(21)(61)n n nnb n b n b ++-=-，即为14n nb b +=，所以数列{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列， 可得14n n b -=（Ⅱ）2111111()(5)log 4(1)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++ 11111114223144n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 【解析】（Ⅰ）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2a 2＝34， 4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2．故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．（Ⅱ）由题设可知A (－2，－1)、 B (2， 1) 因此直线l 的斜率为12，设直线l的方程为：y ＝12x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ， x 28＋y 2 2＝1，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0．（Δ＞0） 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4 ∴k PD ＋k PE ＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1 －x 1＋2＝(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)(2＋x 2) (2－x 1)而(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)＝2(y 2－y 1)－(x 1 y 2＋x 2y 1)＋x 1－x 2－4＝x 2－x 1－x 1·x 2－t (x 1＋x 2) ＋x 1－x 2－4＝－x 1·x 2－t (x 1＋x 2)－4 ＝－2t 2＋4＋2t 2－4＝0即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形．22. 【解析】（Ⅰ）依题意，(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=， 故0.032a b +=； 而0.016a b -=，联立两式解得，0.024,0.008a b ==；所求平均数为550.05650.24750.35850.28950.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=；（Ⅱ）（i ）因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+，一款游戏二测被认定需要改进的概率为1223C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以某款游戏被认定需要改进的概率为：2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦ 23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+；（ii ）设每款游戏的评测费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500；123(1500)C (1)P X p p ==-， 123(900)1C (1)P X p p ==--，故1212233()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ；数学试题 第3页 共3页令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ，2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- .当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0g p g p <（），（）在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以g p （）的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案，最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝⎭故所需的最高费用将超过预算.23. 【解析】（Ⅰ）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++，当102a <…时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1mina f x f f a-<==，不成立，102a ∴<…即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅱ）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a >有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211xe ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xx h x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+<。
2020-2021学年山东省青岛二中高一(上)期中数学试卷(附详解)
2020-2021学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={−1,0,1,2,3}，A={0,1}，B={1,2,3}，则(∁U A)∩B=()A. {1}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {−1,0,2,3}2.命题p：∀x∈[0,+∞)，√x>x2的否定形式￢p为()A. ∀x∈[0,+∞)，√x≤x2B. ∃x0∈(−∞,0]，√x0>x02C. ∃x0∈[0,+∞)，√x0>x02D. ∃x0∈[0,+∞)，√x0≤x023.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知a=0.20.3，b=0.30.3，c=0.2−0.2，则()A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. a<c<b5.已知函数的图象如图所示，则函数g(x)=a x+b的图象是()A.B.C.D.．6. 已知函数f(x)=√ax 2−4x −2a +8对任意两个不相等的实数x 1，x 2∈[1,+∞)，都有不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则a 的取值范围是( )A. [2,4]B. [2,+∞)C. (0,2]D. [4,+∞)7. 若函数f(x)={a x−2,x ≥3(2020−a)x +4,x <3(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，实数a 的取值范围为( )A. (1516,2020)B. (1,2020)C. [1516,2020)D. (1,+∞)8. 已知a >0，设函数f(x)=x 5+2x +b ，x ∈[−a,a]，b ∈Z ，若f(x)的最大值为M ，最小值为m ，那么M 和m 的值可能为( )A. 4与3B. 3与1C. 5和2D. 7与4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列各组函数不能表示同一个函数的是( )A. f(x)=√−2x 3与g(x)=x ⋅√−2xB. f(x)=x+1x 2−1与g(x)=1x−1 C. f(x)=x +1与g(x)=x +x 0 D. f(x)=x x 与g(x)=x 010. 下列命题为真命题的是( )A. 函数y=|x−1|既是偶函数又在区间[1,+∞)上是增函数B. 函数f(x)=√x2+9+√x2+9最小值为2C. “x=2”是“x−2=√2−x”的充要条件D. 若a>b>0，则b+1a+1>ba11.若函数f(1−2x)=1−x2x2(x≠0)，则下列结论正确的是()A. f(12)=15B. f(2)=−34C. f(x)=4(x−1)2(x≠1)D. f(1x )=4x2(x−1)2−1(x≠0且x≠1)12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[−3.5]=−4，[2.1]=2，已知函数f(x)=a x1+a x −12(a>1)，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是()A. f(x)是奇函数B. g(x)是偶函数C. f(x)在R上是增函数D. g(x)的值域是{−1,0}三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1在(0,+∞)上是增函数，则m=______ ．14.已知函数f(x)=√8−2x，则y=f(2x−1)x的定义域是______．15.已知x，y>0，且1x+3+1y=12，则x+y的最小值为．16.具有性质：f(1x)=−f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①y=x−1x ；②y=x+1x；③y={x,(0<x<1)0,(x=1)−1x(x>1)中满足“倒负”变换的函数是______ ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知集合A={x|x2−4x−12≤0}，B={x|x2−4x−m2+4≤0}，m>0．(1)求集合A、B；(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18.已知f(x)定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x−1x+a ，且函数的图象经过点(2,13).(1)求f(x)的解析式；(2)若x∈[1,2]，求f(x)的取值范围．19.一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)=f(x)(x+m)，已知f(f(x))=25x+12．(1)求f(x)；(2)当x∈[−1,1]时，g(x)有最大值13，求实数m的值．20.已知函数f(x)=ax+b的定义域为[−1,1]，且满足以下两个条件：①是奇函数；x2+1②f(−1)=−12(1)求常数a，b的值；(2)求证：函数f(x)在[−1,1]上是增函数；(3)若f(t−1)>3，求t的取值范围．1021.某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(途中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个角上铺草坪，造价为80元/m2.受地域影响，AD的长最多能达到2√3m，其余的边长没有限制．(1)设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；(2)当x取何值时，S最小，并求出这个最小值．22.定义：若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0，有f(x0)=x0，则称x0是f(x)的一个不动点．已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b−1(a≠0)．(1)当a=1，b=−2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B的中点C在函数g(x)=−x+a5a2−4a+1的图象上，求b的最小值．(参考公式：A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标为(x1+x22,y1+y22))23.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合A={1,2,3,…,10}，B={1,2,3,4,5}，f是A到B的函数，若满足f(x)=f(y)，则称有序数对(x,y)为“趣对”，求“趣对”个数的最小值并写出“趣对”个数最少时的函数f.(要求写出必要的解答过程)答案和解析1.【答案】B【解析】解：由U={−1,0,1,2,3}，集合A={0,1}，∴∁U A={−1,2,3}，又B={1,2,3}，∴(∁U A)∩B={−1,2,3}∩{1,2,3}={2,3}．故选：B．直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型．2.【答案】D【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题p：∀x∈[0,+∞)，√x>x2的否定形式￢p为：∃x0∈[0,+∞)，√x0≤x02．故选：D．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．解得a的范围，即可判断出结论．【解答】解：由a2>a，解得a<0或a>1，故a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选：A．4.【答案】A【解析】 【分析】由题意根据幂函数、指数函数的单调性和特殊点，求得a 、b 、c 的大小关系． 本题主要考查幂函数、指数函数的单调性和特殊点，属于中档题． 【解答】解：已知a =0.20.3，b =0.30.3，c =0.2−0.2，而y =0.2x 是R 上的减函数，0.3>0>−0.2，∴a <1<c ． ∵y =x 0.3 是R 上的增函数，1>0.3>0.2>0，∴1>b >a ． 综上，c >b >a ， 故选：A ．5.【答案】A【解析】 【分析】先由函数f(x)的图象判断a ，b 的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案． 本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题． 【解答】解：由函数的图象可知，b <−1，0<a <1，则g(x)=a x +b 为减函数，排除CD ， 当x =0时，y =1+b <0，排除B ， 故选：A ．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质．由题意利用复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质，可得{a >02a ≤1a −4−2a +8≥0，由此求得a 的范围． 【解答】解：∵函数f(x)=√ax 2−4x −2a +8对任意两个不相等的实数x 1，x 2∈[1,+∞)， 都有不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，∴当x ≥1时，f(x)为增函数，∴{a >02a ≤1a −4−2a +8≥0，得2≤a ≤4， 故选：A ．7.【答案】C【解析】解：函数f(x)={a x−2,x3(2020−a)x +4,x <3(a >0且a ≠1)为R 上的增函数， 可得：{a >12020−a >0a ≥(2020−a)×3+4，解得1516≤a <2020．则a 的取值范围是：a ∈[1516,2020)． 故选：C ．利用分段函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可．本题考查分段函数的单调性的应用，列出不等式组是解题的关键，是中档题．8.【答案】B【解析】解：令g(x)=x 5+2x ，x ∈[−a,a]， 由g(−x)=−x 5−2x =−g(x)，得g(x)为奇函数， 设g(x)的最大值为t ，则最小值为−t ， ∴M =b +t ，m =b −t ，可得M +m =2b ， ∵b ∈Z ，∴2b 为偶数，即M +m 为偶数， 综合选项可知，M 和m 的值可能为3和1． 故选：B ．令g(x)=x 5+2x ，x ∈[−a,a]，由定义可得函数为奇函数，进一步可得M +m 为偶数，结合选项得答案．本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数奇偶性的判定及应用，是中档题．9.【答案】ABC【解析】解：A.由−2x 3≥0得x ≤0，由−2x ≥0得x ≤0，两个函数的定义域相同，f(x)=|x|√−2x =−x √−2x ，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数， B .f(x)=x+1(x+1)(x−1)=1x−1(x ≠±1)，g(x)=1 x−1(x ≠1)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，C .f(x)的定义域为R ，g(x)=x +1(x ≠0)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，D .f(x)=1(x ≠0)，g(x)=1(x ≠0)，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数， 故选：ABC ．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．本题主要考查同一函数的判断，分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．10.【答案】CD【解析】解：y =|x −1|，当x =1时，y =0，当x =−1时，y =2，所以y =|x −1|不是偶函数，选项A 错误；令t =√t 2+9∈[3,+∞)，g(x)=t +1t .根据对勾函数的单调性可得，g(t)在[3,+∞)是增函数，g(t)的最小值为103，即f(x)的最小值为103，选项B 错误；x −2=√2−x ≥0，∴x ≥2，又∵2−x ≥0，∴x ≤2∴x =2；反之，也成立，选项C 正确；若a >b >0，b+1a+1−ba =ab+a−ab−b a(a+1)=a−b a(a+1)>0，选项D 正确．故选：CD ．对于A ，取特殊值，当x =1时，y =0，当x =−1时，y =2，可判断y =|x −1|不是偶函数；对于B ，令t =√t 2+9∈[3,+∞)，g(x)=t +1t .根据对勾函数的单调性可求得答案；对于C ，利用充要条件的定义，即可判断；对于D ，可用作差法验证即可判断． 本题考查了命题真假的判断，函数奇偶性与单调性，充分必要条件定义，存在量词命题，考查了综合运用知识的能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：根据题意，函数f(1−2x)=1−x2x2(x≠0)，设t=1−2x，变形可得x=1−t2，则有f(t)=1−(1−t2)2(1−t2)2=4(1−t)2−1，故f(x)=4(1−x)2−1，据此分析选项：对于A，f(12)=16−1=15，A正确；对于B，f(2)=4−1=3，B错误，对于C，f(x)=4(1−x)2−1，C错误；对于D，f(1x )=4x2(x−1)2−1，D正确；故选：AD．根据题意，用换元法求出函数的解析式，据此分析选项，即可得答案．本题考查函数解析式的求法，关键是求出f(x)的解析式，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：∵f(x)=a x1+a x −12(a>1)，x∈R，∴f(−x)+f(x)=a−x1+a−x −12+a x1+a x−12=1+a x1+a x−1=0，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，故A正确；又f(x)=a x+1−11+a x−12=12−11+a x为R上的增函数，故C正确；∵a>1，a x1+a x∈(0,1)，∴f(x)=a x1+a x −12∈(−12,12)，∴g(x)=[f(x)]={−1,0}，故D正确；又f(−1)=1a+1−12∈(−12,0)，f(1)=12−1a+1∈(0,12)，∴g(−1)=−1，g(1)=0，g(−1)≠g(1)，∴g(x)不是偶函数，故C错误；故选：ACD．利用奇函数的定义可判断函数f(x)=a x1+a x −12(a>1)为奇函数，再分析其单调性，可判断A、C；利用“高斯函数“的概念及f(x)的值域可判断B、D，从而可得答案．本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查了转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：∵幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1在(0,+∞)上是增函数，∴{m2−m−1=1m2−2m−1>0，解得m=−1．故答案为−1．利用幂函数的定义和单调性即可得出．熟练掌握幂函数的定义和单调性是解题的关键．14.【答案】(−∞,0)∪(0,2]【解析】解：由8−2x≥0，解得x≤3，∴f(x)的定义域为(−∞,3]，由2x−1≤3，得x≤2．∴要使函数y=f(2x−1)x有意义，则x≤2且x≠0．∴y=f(2x−1)x的定义域是(−∞,0)∪(0,2]．故答案为：(−∞,0)∪(0,2]．由根式内部的代数式大于等于0求解f(x)的定义域，进一步求得f(2x−1)的定义域，结合分母不为0可得y=f(2x−1)x的定义域．本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．15.【答案】5【解析】【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题． 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：x ，y >0，且1x+3+1y =12， 则x +y =x +3+y −3， =2[(x +3)+y](1x+3+1y)−3=2(2+y x+3+x+3y)−3，≥2(2+2√yx+3⋅x+3y)−3=5，当且仅当y x+3=x+3y且1x+3+1y =12，即y =4，x =1时取等号，则x +y 的最小值为5． 故答案为：5．16.【答案】①③【解析】解：①设f(x)=x −1x ，∴f(1x )=1x −x =−f(x)，∴y =x −1x 是满足“倒负”变换的函数，②设f(x)=x +1x ，∵f(12)=52，−f(2)=−52，即f(12)≠−f(2)，∴y =x +1x 是不满足“倒负”变换的函数，③设f(x)={x,(0<x <1)0,(x =1)−1x (x >1)，则−f(x)={−x(0<x <1)0(x =1)1x (x >1)， ∵0<x <1时，1x >1，此时f(1x )−x ； x =1时，1x =1，此时f(1x )=0， x >1时，0<1x <1，此时f(1x )=1x ， ∴f(1x)={−x(0<x <1)0(x =1)1x(x >1)=−f(x)，∴y ={x,(0<x <1)0,(x =1)−1x (x >1)是满足“倒负”变换的函数．故答案为：①③利用“倒负”函数定义，分别比较三个函数的f(1x )与−f(x)的解析式，若符合定义，则为满足“倒负”变换的函数，若不符合，则举反例说明函数不符合定义，从而不是满足“倒负”变换的函数．本题考查了对新定义函数的理解，复合函数解析式的求法，分段函数解析式的求法．17.【答案】解(1)由x 2−4x −12≤0，得−2≤x ≤6.故集合A ={x|−2≤x ≤6}由x 2−4x −m 2+4=0，得x 1=2+m ，x 2=2−m ．当m >0时，2−m <2+m ，由x 2−4x −m 2+4≤0得2−m ≤x ≤2+m ， 故集合B ={x|2−m ≤x ≤2+m}．(2)∵x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，所以[−2,6]是[2−m,2+m]的真子集， 则有{2−m <2+m 2−m ≤−22+m ≥6，解得m ≥4，又当m =4时，[2−m,2+m]=[−2,6]，不合题意，所以实数m 的取值范围为(4,+∞)．【解析】(1)由x 2−4x −12≤0，利用一元二次不等式的解法即可得出集合A.由x 2−4x −m 2+4=0，得x 1=2+m ，x 2=2−m.根据m >0时，2−m <2+m ，即可得出x 2−4x −m 2+4≤0解集，可得集合B ．(2)由x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，可得[−2,6]是[2−m,2+m]的真子集，进而得出实数m 的取值范围．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合与元素之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)f (x)定义在R 上的奇函数，可得x =0时，f(0)=0；当x >0时，f(x)=x−1x+a ，且函数的图象经过点(2,13)， 可得f(2)=12+a =13，解得a =1， 即有x >0时，f(x)=x−1x+1；当x <0时，−x >0，f(−x)=−x−1−x+1=x+1x−1=−f(x)， 可得x <0时，f(x)=x+11−x ． 所以f(x)={1+x1−x ,x <00,x =0x−1x+1,x >0；(2)若x ∈[1,2]，则f(x)=x−1x+1=1−2x+1，由y =2x+1在[1,2]递减，可得f(x)=1−2x+1在[1,2]递增， 所以f(x)的最小值为f(1)=0，最大值为f(2)=13， 则f(x)的取值范围是[0,13].【解析】(1)由f(2)=13可得a 的值，由奇函数的性质可得f(0)=0，再由奇函数的定义和已知解析式，可得所求解析式；(2)判断x >0时，f(x)的单调性，可得f(x)在[1,2]的单调性，计算可得所求范围． 本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及函数的单调性的判断和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)一次函数f(x)是R 上的增函数，可设f(x)=ax +b(a >0)；∴f(f(x))=a(ax +b)+b =a 2x +ab +b =25x +12，∴{a 2=25ab +b =12， 解得{a =5b =2或{a =−5b =−3(不合题意舍去)； ∴f(x)=5x +2；(2)g(x)=f(x)(x +m)=(5x +2)(x +m)=5x 2+(5m +2)x +2m ， 是二次函数，开口向上，且对称轴为x =−5m+210，①当−5m+210≤0，即m ≥−25时，由二次函数的性质可得g(x)max =g(1)=7+7m =13，解得m =67，符合题意； ②当−5m+210>0，即m <−25时，由二次函数的性质可得g(x)max =g(−1)=3−3m =13，解得m =−103，符合题意； 综上可得，实数m 的值为67或−103．【解析】(1)根据题意设f(x)=ax +b(a >0)，利用f(f(x))=25x +12求出a 、b 的值即可；(2)求出g(x)解析式，知g(x)是二次函数，开口向上，对称轴为x =−5m+210，讨论−5m+210≤0和−5m+210>0时，求出g(x)max ，即可得出对应m 的值．本题考查了函数解析式的应用，最值的求法，二次函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得，f(0)=b =0，f(−1)=−a 2=−12，故a =1，b =0， (2)由(1)可得f(x)=xx 2+1， 设−1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，因为−1≤x 1<x 2≤1，所以x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，(1+x 12)(1+x 22)>0，故(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)<0，即f(x 1)<f(x 2)，故函数在[−1,1]上单调递增； (3)由f(13)=310，故原不等式可转化为t −1>13，且−1≤t −1≤1， 解可得2≥t >43． 故原不等式的解集(43,2]．【解析】(1)由题意可得，f(0)=b =0，f(−1)=−12，代入即可求解a ，b ； (2)由(1)可求f(x)，然后结合单调性的定义即可判断； (3)由f(13)=310，结合(2)的单调性即可求解．本题主要考查了待定系数求解函数解析式及函数单调性的定义的应用及利用单调性求解不等式，属于函数性质的简单应用．21.【答案】解：(1)设AM =z ，则4zx +x 2=200，则z =200−x 24x；则S =4200x 2+210×(200−x 2)+80×2×200−x 24x×200−x 24x=4000(x2+100x2)+38000，(0<x≤2√3)；(2)∵x2+100x2≥20，(当且仅当x2=100x2，即x=√10时，等号成立)∴当x=√10m时，S最小，最小值为4000×20+38000=118000(元)．【解析】(1)由题意先求出边长AM，从而写出S关于x的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，注意等号是否成立．本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)=x2−x−3，由x2−x−3=x，解得x=3或x=−1，所以所求的不动点为−1或3．(2)令ax2+(b+1)x+b−1=x，则ax2+bx+b−1=0①由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b2−4a(b−1)>0，即b2−4ab+4a>0恒成立，则△′=16a2−16a<0，故0<a<1(3)设A(x1,x1)，B(x2,x2)(x1≠x2)，g(x)=−x+a5a2−4a+1，又AB的中点在该直线上，所以x1+x22=−x1+x22+a5a2−4a+1，∴x1+x2=a5a2−4a+1，而x1、x2应是方程①的两个根，所以x1+x2=−ba ，即−ba=a5a2−4a+1，∴b=−a25a2−4a+1=−1(1a)2−4(1a)+5=−1(1a−2)2+1∴当a=12∈(0,1)时，b min=−1【解析】(I)将a=1，b=−2代入f(x)=ax2+(b+1)x+b−1(a≠0)，求出f(x)，令f(x)=x，解方程求不动点即可；(II)由ax2+(b+1)x+b−1=x有两个不动点，即ax2+bx+b−1=0有两个不等实根，可通过判别式大于0得到关于参数a，b的不等式b2−4ab+4a>0，由于此不等式恒成立，配方可得b2−4ab+4a=(b−2a)2+4a−4a2>0恒成立，将此不等式恒成立转化为4a −4a 2>0即可．(III)由于本小题需要根据两个点A 、B 的坐标转化点关于线的对称这一条件，故可以先设出两点的坐标分别为A(x 1,x 1)，B(x 2,x 2)(x 1≠x 2)，可以得到x 1+x 2=a5a 2−4a+1，由此联想到根与系数的关系，由(II)知，x 1、x 2应是方程ax 2+bx +b −1=0的根，故又可得x 1+x 2=−ba ，至此题设中的条件转化为−ba =a5a 2−4a+1，观察发现参数b 可以表示成参数a 的函数即b =−a 25a 2−4a+1，至此，求参数b 的问题转化为求b 关于a 的函数最小值的问题．本题考点是二次函数的性质，主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识，同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识．23.【答案】解：A 中有10个元素，B 中有5个元素，当A 中元素平规均分配到B 中时，可能组合最少，即B 中每个元素都有2个元素对应，即C 22+C 22+C 22+C 22+C 22，设B 中1，2，3，4，5各对应a ，b ，c ，d ，e 个A 中元素，则a +b +c +d +e =10，个数为C a 2+C b 2+C c 2+C d 2+C e 2，当i <2时，C i 2视作0，当且仅当a =b =c =d =e 时取得最小值5，f(x)不妨取分段函数f(x)={x(x ∈{1,2,3,4,5})x −5(x ∈{6,7,8,9,10})，即可满足要求．【解析】趣对个数最小值为5，f(x)={x(1≤x ≤5)x −5(6≤x ≤10)，即可满足要求．本题考查根据实际情况选择函数模型，属中档题．。
2023-2024学年山东省青岛二中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2）C．{0，1}D．{0，1，2}2．已知命题p：∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0有解，则￢p为（）A．∀m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解B．∀m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解C．∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解D．∃m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．B．C．D．4．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx幂函数y=x ba（x＞0）图象的关系可能为（）A．B．C．D．5．若函数f（2x+1）的定义域为[−32，−1]，则y=f(1x)x+1的定义域为（）A．(−1，−23]B．[−1，−23]C．[−1，−12]D．(−1，−12]6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若b ＞a ＞0，m ＜0，则b−m a−m＞baC ．若a ＞b ，1a＞1b，则ab ＞0D ．若a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则ab ＞ac7．已知定义在R 上的函数f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增，且f （x ﹣2）是偶函数，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．(23，2) B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，2）D ．(−∞，23)∪(2，+∞)8．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆．在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试．若f （x ）是定义在R 上的奇函数，对于任意给定的不等正实数x 1，x 2，不等式[f(x 1)]20232025−[f(x 2)]20232025x 1811−x 2811＜0恒成立，且f （﹣4）＝0，设g （x ）＝[f(x−2)x+2]1925为“立冬函数”，则满足“立冬函数”g （x ）≥0的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）∪[6，+∞） B ．（﹣2，0）∪（2，6] C ．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]D ．[2，6]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列各组函数中，不能表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1B ．f （x ）＝x 2，g(x)=√x 63C ．f(x)=x 2−1x−1，g （x ）＝x ﹣1D ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)210．对任意两个实数a ，b ，定义min {a ，b }={a ，a ≤bb ，a ＞b ，若f （x ）＝2﹣x 2，g （x ）＝|x |，下列关于函数F（x ）＝min {f （x ），g （x ）}的说法正确的是（ ） A ．函数F （x ）是偶函数B ．方程F （x ）＝0有三个解C ．函数F （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增D ．函数F （x ）有4个单调区间 11．关于函数f(x)=√4x 2−x 4|x−2|−2性质描述，正确的是（ ）A ．f （x ）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]B ．f （x ）的值域为[﹣1，1]C ．f （x +1）+1的图象关于（﹣1，1）对称D ．f （x ）在定义域上是增函数12．已知a ≥0，b ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．若a +b ＝ab ，a +4b 的最小值为9 B ．若a +b ＝1，2a +2b +1的最小值为4 C ．若a +b ＝ab ，1a 2+2b2的最小值为23D ．若a +b ＝1，2a a+b 2+ba 2+b 的最大值为2√33+1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设函数f(x)={2x −1，x ≥01x，x ＜0，若f(a)=−14，则实数a ＝ ．14．设集合A ＝{x |x +m ≥0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，全集U ＝R ，且（∁U A ）∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为 ．15．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合B ={x|x 2−5x−32−x ＜1，x ∈N ∗}，则A ∩B 的非空子集个数为 ．16．已知x ＞4，y ≥4，且x +4y ﹣xy ＝0，若不等式x ﹣y +6≤a ≤x +y ﹣1恒成立，则a 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x+3x−1≤0}，B ＝{x |x 2﹣mx ﹣2m 2≤0，m ＞0}．（1）当m ＝2时，求A ∩B 和∁R B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，这样的实数m 是否存在？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．18．（12分）设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）． （1）证明f （x ）是奇函数；（2）关于x 的不等式f （x 2）﹣2f （x ）＜f （ax ）﹣2f （a ）的解集中恰有3个正整数，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知a ∈R ，f （x ）＝ax 2+2x ﹣3．（1）关于x 的方程f （x ）＝0有两个正根，求实数a 的取值范围； （2）解不等式f （x ）＞0．20．（12分）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本p （x ）万元，当产量不足40万箱时，p （x ）＝x 2+100x ；当产量不小于40万箱时，p(x)=161x +4900x−1100，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润＝销售总价﹣固定成本﹣生产成本）（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 21．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m2−32m+12是其定义域上的增函数．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=x +a ⋅√f(x)3，x ∈[1，9]，是否存在实数a 使得g （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 22．（12分）已知函数f(x)=ax+b1+x 2为定义在R 上的奇函数． （1）求实数b 的值；（2）当a ＞0时，用单调性定义判断函数f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性；（3）当a ＝1时，设g （x ）＝mx 2﹣2x +2﹣m ，若对任意的x 1∈[1，3]，总存在x 2∈[0，1]，使得f(x 1)+12=g(x 2)成立，求m 的取值范围．2023-2024学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2）C．{0，1}D．{0，1，2}解：集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．已知命题p：∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0有解，则￢p为（）A．∀m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解B．∀m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解C．∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解D．∃m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解解：因为特称命题的否定是全称命题，所以￢p为：∀m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解．故选：A．3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．B．C．D．解：A项，集合M中的元素2对应1和3，不符合唯一对应，不是函数；B项，集合M中的元素3在集合N中没有元素与其对应，不是函数；C项，应为从集合N到集合M的函数，不符；D项，符合函数概念，是函数．故选：D．4．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx幂函数y=x ba（x＞0）图象的关系可能为（）A．B．C．D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，二次函数y＝ax2+bx开口向上，则a＞0，其对称轴为x=−b2a＞0，幂函数y=x ba中，ba＜0，为减函数，符合题意，对于B，二次函数y＝ax2+bx开口向下，则a＜0，其对称轴为x=−b2a＞0，幂函数y=x ba中，ba＜0，为减函数，不符合题意，对于C，二次函数y＝ax2+bx开口向上，则a＞0，其对称轴为x=−b2a=−1，幂函数y=x ba中，ba=2，为增函数，且其增加越来越快，不符合题意，对于D，二次函数y＝ax2+bx开口向下，则a＜0，其对称轴为x=−b2a＞−12，幂函数y=x ba中，0＜ba＜1，为增函数，且其增加越来越慢，不符合题意，故选：A．5．若函数f（2x+1）的定义域为[−32，−1]，则y=f(1x)x+1的定义域为（）A．(−1，−23]B．[−1，−23]C．[−1，−12]D．(−1，−12]解：−32≤x≤−1，则﹣2≤x≤﹣1，则y=f(1x)√x+1，则{−2≤1x≤−1x+1＞0，解得﹣1＜x≤−12．故选：D．6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若b＞a＞0，m＜0，则b−ma−m＞baC ．若a ＞b ，1a ＞1b，则ab ＞0 D ．若a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则ab ＞ac解：当c ＝0时，A 显然错误；若b ＞a ＞0，m ＜0，则b ﹣a ＞0，m （b ﹣a ）＜0，a ﹣m ＞0， 则b−m a−m−b a =(b−a)m a(a−m)＜0，即b−ma−m＜ba，B 错误；若a ＞b ，1a ＞1b ，则1a−1b=b−a ba＞0，所以ab ＜0，C 错误；若a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则a ＞0，c ＜0，b 无法确定正负， 故ac ＞bc ，D 正确． 故选：D ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增，且f （x ﹣2）是偶函数，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．(23，2) B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，2）D ．(−∞，23)∪(2，+∞)解：因为f （x ﹣2）是偶函数， 故f （x ）的图象关于x ＝﹣2对称，因为定义在R 上的函数f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减， 由f （2x ）＜f （x +2）可得|2x +2|＜|x +2+2|， 解得﹣2＜x ＜2． 故选：C ．8．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆．在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试．若f （x ）是定义在R 上的奇函数，对于任意给定的不等正实数x 1，x 2，不等式[f(x 1)]20232025−[f(x 2)]20232025x 1811−x 2811＜0恒成立，且f （﹣4）＝0，设g （x ）＝[f(x−2)x+2]1925为“立冬函数”，则满足“立冬函数”g （x ）≥0的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）∪[6，+∞） B ．（﹣2，0）∪（2，6] C ．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]D ．[2，6]解：对于任意给定的不等正实数x 1，x 2，不等式[f(x 1)]20232025−[f(x 2)]20232025x 1811−x 2811＜0恒成立，可得0＜x 1＜x 2，可得f （x 1）＞f （x 2），即f （x ）在（0，+∞）递减，由f （x ）为奇函数，可得f （0）＝0，f （x ）在（﹣∞，0）递减，由f （﹣4）＝﹣f （4）＝0， 可得当﹣4＜x ＜0，或x ＞4时，f （x ）＜0；当x ＜﹣4，或0＜x ＜4时，f （x ）＞0． 由g （x ）＝[f(x−2)x+2]1925≥0，即为f(x−2)x+2≥0， 等价为{x +2＞0f(x −2)≥0，或{x +2＜0f(x −2)≤0，即有{x ＞−2x −2≤−4，或0≤x −2≤4，或{x +2＜0x −2≥4，或−4≤x −2≤0，解得2≤x ≤6，或x ∈∅，综上可得，所求x 的取值范围是[2，6]． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列各组函数中，不能表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1B ．f （x ）＝x 2，g(x)=√x 63C ．f(x)=x 2−1x−1，g （x ）＝x ﹣1 D ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）的定义域为{x |x ＞1}，g （x ）的定义域为{x |x ＞1或x ＜﹣1}，两个函数不是同一个函数；对于B ，f （x ）＝x 2，g （x ）=√x 63=x 2，两个函数定义域都是R ，解析式相同，是同一个函数；对于C ，f （x ）的定义域为{x |x ≠1}，g （x ）的定义域为R ，两个函数不是同一个函数； 对于D ，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），两个函数不是同一个函数． 故选：ACD ．10．对任意两个实数a ，b ，定义min {a ，b }={a ，a ≤b b ，a ＞b ，若f （x ）＝2﹣x 2，g （x ）＝|x |，下列关于函数F（x ）＝min {f （x ），g （x ）}的说法正确的是（ ） A ．函数F （x ）是偶函数B ．方程F （x ）＝0有三个解C ．函数F （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增D ．函数F （x ）有4个单调区间解：令|x |﹣（2﹣x 2）＝x 2+|x |﹣2＝（|x |+2）（|x |﹣1）＜0， 解得﹣1＜x ＜1，所以当﹣1＜x ＜1时，|x |＜2﹣x 2；当x ≤﹣1或x ≥1时，|x |≥2﹣x 2；所以F （x ）＝min {f （x ），g （x ）}={2−x 2，x ≤−1−x ，−1＜x ≤0x ，0＜x ＜12−x 2，x ≥1，作出函数y ＝F （x ）的图象，如图所示：对于A ，由图象可得关于y 轴对称，所以F （x ）为偶函数，故正确；对于B ，因为y ＝F （x ）的图象与x 轴有3个交点，所以方程F （x ）＝0有三个解，故正确； 对于C ，由图象可知函数F （x ）在[﹣1，1]上不单调递增，故错误；对于D ，由图象可知函数F （x ）在（﹣∞，﹣1]和[0，1]上单调递增，在（﹣1，0）和（1，+∞）上单调递减，所以函数F （x ）有4个单调区间，故正确． 故选：ABD ． 11．关于函数f(x)=√4x 2−x 4|x−2|−2性质描述，正确的是（ ）A ．f （x ）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]B ．f （x ）的值域为[﹣1，1]C ．f （x +1）+1的图象关于（﹣1，1）对称D ．f （x ）在定义域上是增函数解：由题意得4x 2﹣x 4≥0，解得﹣2≤x ≤2， 又|x ﹣2|﹣2≠0，则x ≠0且x ≠4， 故﹣2≤x ≤2且x ≠0，A 正确； 此时f(x)=√4x 2−x 4|x−2|−2=√4x 2−x 4x，当0＜x ≤2时，f （x ）=√4x 2−x 4x=√4−x 2∈[0，2），B 显然错误；因为f （x ）=√4x 2−x 4x，所以f （﹣x ）=−√4x 2−x 4x=−f （x ），即f （x ）为奇函数，图象关于（0，0）对称，所以f （x +1）+1的图象关于（﹣1，1）对称，C 正确； f （x ）=√4−x 2在[0，2）上单调递减，D 显然错误． 故选：AC ．12．已知a ≥0，b ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．若a +b ＝ab ，a +4b 的最小值为9 B ．若a +b ＝1，2a +2b +1的最小值为4 C ．若a +b ＝ab ，1a 2+2b2的最小值为23D ．若a +b ＝1，2a a+b 2+b a 2+b 的最大值为2√33+1 解：对于A ，由a +b ＝ab ，得1a+1b=1，所以a +4b ＝（a +4b ）(1a +1b )=5+4ba +ab ≥5+2√4b a ⋅ab =9，当且仅当4a b=ba，即b ＝2a 时等号成立，故A 正确；对于B ，由2a +2b+1≥2√2a+b+1=2√22=4，当且仅当a ＝b +1＝1时等号成立，这与题设矛盾，故B 错误；对于C ，由a +b ＝ab ，可得1a+1b=1，1a 2+2b 2=(1−1b )2+2b 2=3b 2−2b+1，根据0＜1b＜1，可知当1b=13时，即a =32，b =3时，3b 2−2b+1的最小值为3×(13)2−2×13+1=23，故C 正确； 对于D ，2a a+b 2+b a 2+b=2a(a+b)a(a+b)+b 2+b(a+b)a 2+b(a+b)=2a 2+3ab+b 2a 2+ab+b 2=1+a 2+2ab a 2+ab+b 2=1+1+2⋅b a1+b a +(b a)2， 设b a=t ，则2aa+b 2+b a 2+b=1+1+2t 1+t+t 2， 而1+2t 1+t+t 2=1+2t14(1+2t)2+34≤2√14×34(1+2t)=2√33，当且仅当t =√3−12，即b =√3−12a 时，取等号． 所以当b =√3−12a 时，2aa+b 2+b a 2+b取得最大值2√33+1，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数f(x)={2x −1，x ≥01x，x ＜0，若f(a)=−14，则实数a ＝ ﹣4或38．解：函数f(x)={2x −1，x ≥01x，x ＜0，当a ＜0时，1a=−14，解得a ＝﹣4，当a ≥0时，2a ﹣1=−14，解得a =38， 综上所述，实数a 的值为﹣4或38．故答案为：﹣4或38．14．设集合A ＝{x |x +m ≥0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，全集U ＝R ，且（∁U A ）∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为 （﹣∞，1） ．解：集合A ＝{x |x +m ≥0}＝{x |x ≥﹣m }，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，全集U ＝R ， ∴∁U A ＝{x |x ＜﹣m }，∵（∁U A ）∩B ≠∅，∴﹣m ＞﹣1，解得m ＜1， ∴实数m 的取值范围为（﹣∞，1）． 故答案为：（﹣∞，1）．15．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合B ={x|x 2−5x−32−x ＜1，x ∈N ∗}，则A ∩B 的非空子集个数为 31 ．解：依题意，根据“自恋数”的定义可得，所有的一位正整数都是自恋数， 即A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 由不等式x 2−5x−32−x＜1可得，(x+1)(x−5)x−2＞0，即（x +1）（x ﹣5）（x ﹣2）＞0， 解得﹣1＜x ＜2或x ＞5，∴B ＝{x |﹣1＜x ＜2或x ＞5，x ∈N *}， ∴A ∩B ＝{1，6，7，8，9}，∴A ∩B 的非空子集个数为25﹣1＝31．故答案为：31．16．已知x ＞4，y ≥4，且x +4y ﹣xy ＝0，若不等式x ﹣y +6≤a ≤x +y ﹣1恒成立，则a 的取值范围为 [223，253] ．解：因为x ＞4，y ≥4，且x +4y ﹣xy ＝0， 所以y =xx−4=1+4x−4， 又因为y ≥4，即1+4x−4≥4，解得4＜x ≤163， 所以x ﹣y +6＝x ﹣（1+4x−4）+6＝x −4x−4+5＝（x ﹣4）−4x−4+9， 令t ＝x ﹣4，则0＜t ≤43，易知y ＝t −4t +9在t ∈（0，+∞）上单调递增，所以当t =43时，y ＝t −4t +9取最大值，且最大值为：43+6=223；x +y ﹣1＝x +1+4x−4−1＝x +4x−4=（x ﹣4）+4x−4+4， 令m ＝x ﹣4，则0＜m ≤43， 由对勾函数的性质可知y ＝m +4m +4在（0，43]上单调递减， 所以当m =43时，y ＝m +4m +4取最小值，且最小值为：43+7=253； 又因为不等式x ﹣y +6≤a ≤x +y ﹣1恒成立， 所以223≤a ≤253．即a 的取值范围为[223，253]．故答案为：[223，253]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x+3x−1≤0}，B ＝{x |x 2﹣mx ﹣2m 2≤0，m ＞0}．（1）当m ＝2时，求A ∩B 和∁R B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，这样的实数m 是否存在？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解：（1）由x+3x−1≤0 得﹣3≤x ＜1，故集合A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，把m ＝2代入B 得（x +2）（x ﹣4）≤0，解得﹣2≤x ≤4，故集合B ＝{x |﹣2≤x ≤4}， 故A ∩B ＝{x |﹣2≤x ＜1}，∁R B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞4}；（2）解（x +m ）（x ﹣2m ）≤0，且m ＞0，则集合B ＝{x |﹣m ≤x ≤2m }， 因为x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件， 所以集合A 是集合B 的真子集， 则{−m ≤−32m ≥1，解得m ≥3， 故实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．18．（12分）设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）． （1）证明f （x ）是奇函数；（2）关于x 的不等式f （x 2）﹣2f （x ）＜f （ax ）﹣2f （a ）的解集中恰有3个正整数，求实数a 的取值范围．解：（1）证明：∵对于任意x ，y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）， 令x ＝y ＝0，则 f （0+0）＝f （0）+f （0），∴f （0）＝0； 再令y ＝﹣x ，则 f （x ）+f （﹣x ）＝f （x ﹣x ）＝f （0）＝0， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），∴函数f （x ） 是奇函数． （2）令y ＝x ，则 f （2x ）＝2f （x ），∴不等式 f （x 2）﹣2f （x ）＜f （ax ）﹣2f （a ） 可化为 f （x 2）+f （2a ）＜f （2x ）+f （ax ）， 即 f （x 2+2a ）＜f （2x +ax ），又函数f （x ）在R 上是增函数， ∴x 2﹣（a +2）x +2a ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣a ）＜0 又该不等式的解集中恰有3个正整数，∴5＜a ≤6， 故实数a 的取值范围为（5，6]．19．（12分）已知a ∈R ，f （x ）＝ax 2+2x ﹣3．（1）关于x 的方程f （x ）＝0有两个正根，求实数a 的取值范围； （2）解不等式f （x ）＞0．解：（1）∵方程f （x ）＝0有两个正根，a ≠0， 设两个正根为x 1，x 2，则{Δ≥0x 1+x 2＞0x 1⋅x 2＞0，即{ 4+12a ≥0−2a ＞0−3a ＞0，解得−13≤a ＜0，即实数a 的取值范围是[−13，0）；（2）当a ＝0时，不等式可化为2x ﹣3＞0，x ＞32； 当a ≠0时，设方程ax 2+2x ﹣3＝0的两根为x 1，x 2， 则Δ＝4+12a ，x 1=−1−√1+3a a ，x 2=−1+√1+3aa， 若a ＞0，则Δ＞0，x 1＜x 2，∴x ＜x 1或x ＞x 2， 若a ＜0，（i ）当Δ＞0，即−13＜a ＜0时，x 1＞x 2，所以x 2＜x ＜x 1， （ⅱ）当△≤0，即a ≤−13时，不等式无解． 综上所述，当a ≤−13时，不等式解集为∅； 当−13＜a ＜0时，不等式解集为{x |x 2=−1+√1+3a a ＜x ＜−1−√1+3aa}； 当a ＝0时，不等式解集为{x|x ＞32}； 当a ＞0时，不等式解集为{x|x ＜−1−√1+3a a 或x ＞−1+√1+3aa }． 20．（12分）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本p （x ）万元，当产量不足40万箱时，p （x ）＝x 2+100x ；当产量不小于40万箱时，p(x)=161x +4900x−1100，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润＝销售总价﹣固定成本﹣生产成本）（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 解：（1）生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本p （x ）万元， 当产量不足40万箱时，p （x ）＝x 2+100x ； 当产量不小于40万箱时，p(x)=161x +4900x−1100， 当0＜x ＜40时，y ＝160x ﹣（x 2+100x ）﹣400＝﹣x 2+60x ﹣400； 当x ≥40时，y =160x −(161x +4900x −1100)−400=700−(x +4900x)． 所以，y ={−x 2+60x −400，0＜x ＜40700−(x +4900x )，x ≥40． （2）当0＜x ＜40时，y ＝﹣x 2+60x ﹣400＝﹣（x ﹣30）2+500， 当 x ＝30时，y 取得最大值，最大值为500万元；当x ≥40时，y =700−(x +4900x )≤700−2√x ⋅4900x=560， 当且仅当 x =4900x时，即x ＝70时，y 取得最大值，最大值为560万元． 综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元． 21．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m2−32m+12是其定义域上的增函数．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=x +a ⋅√f(x)3，x ∈[1，9]，是否存在实数a 使得g （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知，m 2﹣3m +3＝1，解得m ＝2或m ＝1， 当m ＝2时，f(x)=x 32，在（0，+∞）为增函数，符合题意， 当m ＝1时，f(x)=1x，在（0，+∞）为减函数，不符合题意，舍去， 所以f(x)=x 32；（2）g(x)=x +a √f(x)3=x +a √x ， 令t =√x ，因为x ∈[1，9]，所以t ∈[1，3]，令k （t ）＝t 2+at t ∈[1，3]，对称轴为t =−a2，①当−a 2≤1，即a ≥﹣2时，函数k （t ）在[1，3]为增函数， k （t ）min ＝k （1）＝1+a ＝0，解得a ＝﹣1． ②当1＜−a 2＜3，即﹣6＜a ＜﹣2时， k(t)min=k(−a 2)=−a 24=0，解得a ＝0，不符合题意，舍去．③当−a2≥3，即a ≤﹣6时，函数k （t ）在[1，3]为减函数， k （t ）min ＝k （3）＝9+3a ＝0， 解得a ＝﹣3，不符合题意，舍去．综上所述：存在a ＝﹣1使得g （x ）的最小值为0． 22．（12分）已知函数f(x)=ax+b1+x 2为定义在R 上的奇函数． （1）求实数b 的值；（2）当a ＞0时，用单调性定义判断函数f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性；（3）当a＝1时，设g（x）＝mx2﹣2x+2﹣m，若对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)+12= g(x2)成立，求m的取值范围．解：（1）因为函数f(x)=ax+b1+x2为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝b＝0．经检验成立，所以b＝0；（2）由（1）可得f(x)=ax1+x2，下面证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．证明：任取x2＞x1＞1，则有f（x1）﹣f（x2）=ax11+x12−ax21+x22=ax1(1+x22)−ax2(1+x12)(1+x12)(1+x22)=a(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，再根据x2＞x1＞1，可得1+x12＞0，1+x22＞0，x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＜0，又a＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（3）若对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)+12=g(x2)成立，则函数y=f(x)+12在[1，3]上的值域为函数g（x）在[0，1]上的值域的子集，因为函数f（x）在[1，3]上单调递减，则当x∈[1，3]时，f(x)max=f(1)=12，f(x)min=f(3)=310，所以记函数y=f(x)+12在区间[1，3]内的值域为A=[45，1]．①当m＝0时，g（x）＝﹣2x+2在[0，1]上单调递减，则g（x）max＝g（0）＝2，g（x）min＝g（1）＝0，得g（x）在区间[0，1]内的值域为B＝[0，1]，因为A⊆B，所以对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)+12=g(x2)成立；②当m＜0时，g（x）为开口向下的二次函数，对称轴x=1m＜0，∴g（x）在[0，1]上单调递减，g（x）max＝g（0）＝2﹣m＞2，g（x）min＝g（1）＝0，∴g（x）在区间[0，1]内的值域为B＝[0，2﹣m]，因为A⊆B，所以2﹣m≥1，所以m≤1，所以m＜0；③当m＞0时，g（x）为开口向上的二次函数，对称轴x=1m＞0，令mx2﹣2x+2﹣m＝0，则有[mx+（m﹣2）]（x﹣1）＝0，解得x1＝1，x2=−m−2m，（i ）当0＜m ≤1时，1m≥1，g （x ）在[0，1]上单调递减，且2﹣m ∈[1，2），则g （x ）max ＝g （0）＝2﹣m ，g （x ）min ＝g （1）＝0，得g （x ）在区间[0，1]内的值域为B ＝[0，2﹣m ]，因为A ⊆B ，所以对任意的x 1∈[1，3]，总存在x 2∈[0，1]，使得 f(x 1)+12=g(x 2)成立； （ⅱ）当1＜m ≤2时，12≤1m＜1，g （x ）在[0，1m ] 上单调递减，在 [1m ，1] 上单调递增，则g （x ）max ＝g （0）＝2﹣m ，g(x)min =g(1m)=−1m+2−m ，得g （x ）在区间[0，1]内的值域为B =[−1m +2−m ，2−m]， 所以−1m +2﹣m ≤45且2﹣m ≥1，该不等式组无解； （iii ）当m ＞2时，0＜1m ＜12，g （x ）在[0，1m ] 上单调递减，在[1m ，1] 上单调递增， 则g （x ）max ＝g （1）＝0，g(x)min =g(1m)=−1m+2−m ， 得g （x ）在区间[0，1]内的值域为B =[−1m +2−m ，0]，不符合题意． 综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，1]．。
山东省青岛第二中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题及答案
青岛二中2022-2023学年第一学期期中考试高一试题(数学)一、单选题(本题共8小题，每题5分，共40分)1.已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤1},B={-1,1,2,4},那么阴影部分表示的集合为（ ） A.{-1,4} B.{1,2,4} C. {1,4} D.{-1,2,4}2.函数f (x )=xx 2+1的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号：使用，后来英国资学家哈利奥特首次使用“>、”和“<”符号，并逐步被数学界接受志不等号的引入对不等式的发展景响深远.已知a ，b 为非零实数，且a>b ；则下列结论正确的是( ) A ．b a a b>B ．22ab a b > C ．22a b >D ．2211ab a b>4.在R;上定义的函数f(x)是偶函数，且()()4044f x f x =−，若f(x)在区间[2022,2023]上是函数，则()f x ()A.在区间[-2023,-2022]上是增函数,在区间[2021,2022]上是增函数B.在区间[-2023,-2022]上是增函数,在区间[2021,2022]上是减函数C.在区间[-2023,-2022]上是减函数,在区间[2021,2022]上是增函数D.在区间[-2023,-2022]上是减函数,在区间[2021,2022]上是减函数5.已知x>0,y>0,且30x y xy ++−=;则下列结论正确的是( ) A.xy 的最小值是1 B.x+y 的最小值是2C.x+4y 的最小值是8D.x+2y 的最大值是4√2−36.已知a ∈R,函数f (x )={x 2−4,x >2|x −3|+a,x ≤2, 若 f[f(√6)]=3, 则a 的值为( )A.1B.2C.3D.47.已知函数()f x 的定义域为[1,2],设函数()1f x −的定义域为D,若x D ∃∈ ,使得,²1a x x >−+成立，则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,1)B.(-∞,3) c.(1,+∞) D. (3,+∞)8.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,()f x 在[0,+∞)上单调递减,且()30f = ,则不等式()()2510x f x −−<的解集为( )A.(−2,52)∪(4,+∞)B.(4,+∞)C.(−∞,−2)∪[52,4] D.(-∞,-2)二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中；有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分)9.已知命题:p x R ∀∈,²40x ax ++> , 则命题P 成立的一个充分不必要条件可以是( ) A. a ∈[−1,1] B.a ∈(-4,4) C.a ∈[-4,4] D.a ∈{0} 10.下列命题正确的是(A.偶函数()f x 的定义域为[2a-1,a], 则 a =13B.若函数()2123f x x x +=++, 则 ()2 2f x x =+ C.已知定义在[-2022,2022]上的函数 f (x )=x 2+2x+1x 2+1, 设f(x)的最大值为m ，最小值为n ，则1m n +=D.若定义在R 上的函数f(x)满足：,x x R ∀∈₁₂，x x ≠₁₂,都有 f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0, 则当a ∈R 时有f (34)≥f (a 2−a +1)11.设正实数a 、b 满足1a b +=，则下列结论正确的是(A.√ab ≤14 B.a 2+b 2≥12 C.12a +1b ≥3 D.√a +√b ≥√212.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数,例如:[]3.54−=−，[]2.12=,则下列命题正确的是( )A. [][]1,0,1x x ∀∈−=− B.[],1x R x x ∀∈<+ C. 函数[]y x x =−的值域为[)0,1 D.不等式:[][]2230x x −−≥ 的解集为 { x|x<0或x≥2}三、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)13.命题:“2,20x R x x ∀∈−+≥”的否定是14.已知函数 f (x )=1x 2−2x ，则()f x 的值域为15.己知f(x)是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时, ()22f x x x =+, 则当0x <时,()f x = . 16.已知函数 f (x )={x 2,x <0−x 2,x ≥0, 若()()2,4430x R f mx f x ∀∈+−≤恒成立，则实数m 的取值范围为四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知集合. {}22,1|{|2}A x a x a B x x x =−≤≤+=≤−≥或. (1)当3a =时,求,R A B A C B ;(2)若A B R = ,求实数a 的取值范围18.(12分)设函数()()()4,f x x x a a R =−−∈. (1)解关于x 的不等式,()0f x <；(2)当()4,x ∈+∞ 时,不等式()16f x ≥−恒成立,求a 的取值范围.19.(12分)已知00x y >>，,且2222x y x y +=+. (1)求x y + 的最大值; (2)求1x +1y 的最小值.20.(12分)某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y(单位：万元)与年产量x (单位：吨，x>0)之间的函数关系式为y =x 24−70x +10000, 已知该生产线年产量最大为220吨.(1)求当年产量为多少时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本.(2)若每吨产品出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润?最大年利润是多少?21.(12分)已知函数 f (x )=x+mx 2−1(m ∈R )是定义在(-1，1)上的奇函数. (1)求f(x)的解析式;(2).用定义法证明:f(x)在(-1,-1)上是减函数; (3)解关于t 的不等式()()10.f t f t −+<22.(12分)对于定义域为D 的函数()f x ，如果存在区间[],m n D ⊆ ,使得()f x 在区间[],m n 上是单调函数,且函数()[],y f x x m n =∈，的值域是[],m n ,则称区间[],m n 是函数()f x 的一个“黄金区间”.(1)判断函数 y =x (x ∈R )和函数 y =3−4x （x >0）是否存在“黄金区间”，如果存在，请写出符合条件的一个“黄金区间”(直接写出结论，不要求证明)；如果不存在，请说明理由. (2)如果[],m n 是函数 f (x )=(a 2+a )x−1a 2x(a ≠0)的一个“黄金区间”，求n m −的最大值：青岛二中2022-2023学年第一学期期中考试——高一试题（数学）参考答案一、单选题1.D2.C3.D4.D5.B6.B7.C8.A 二、多选题9.AD 10.ABD 11.BD 12.BCD 三、填空题13.2,20x R x x −+∃<∈14.(](),10,−∞−+∞15.22x x −+16.98m ≥四、解答题17.(1)3a =时，{}15A x x =≤≤，所以{}25,A B x x =≤≤因为{}12R C B x x =−<<，所以{}15R AC B x x =−<≤(2)若A B R =，则2122a a −≤−⎧⎨+≥⎩，解得01a ≤≤18.(1)当4a <时，不等式()0f x <的解集为(),4a ， 当4a =时，不等式()0f x <的解集为∅， 当4a >时，不等式()0f x <的解集为()4,a .(2)因为()x ∈+∞4，，所以由()16f x ≥−可得164x a x −−≥−，164a x x ≤+−，因为16164441244x x x x +=−++≥+=−−，当且仅当4146x x −=−，即8x =时等号成立，所以12a ≤.19.（1）方法一：()22212()2x y x y x y +=+≥+第５页，共８页2=,40,4x y t t t t+−≤≤≤令则得0∴()max4x y+=，当且仅当1x y==时取等号方法二：设x y t+=则y t x=−，代入2222x y x y+=+得()222x t x t+−=即()222220x tx t t−+−=令()()222820t t t∆=−−−≥得04t≤≤即04x y≤+≤∴()max4x y+=，当且仅当1x y==时取等号（2）方法一：∵0x y>，，2222x y x y+=+∴22112122x y x y xyx y xy xy xy+++==≥=，当且仅当1x y==时取等∴min112x y⎛⎫+=⎪⎝⎭方法二：∵0x y>，，2222x y x y+=+∴22111122x y x y x yx y xy xy y x⎛⎫+++===+≥=⎪⎝⎭，当且仅当1x y==时取等∴min112x y⎛⎫+=⎪⎝⎭20.（1）每吨平均成本为()0220yxx<≤,由题可知10000707030,4y xx x=+−≥=当且仅当100004xx=，即200x=时取等号.所以当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低平均成本为30万元.（2）设年利润为L万元，第６页，共８页则22505070100001201000044x x L x y x x x =−=−+−=−+−()()21240440002204x x =−−+<≤ 因为利润L 在(]0,220单调递增，所以当220x =时，L 有最大值，为()2122024044004300.4−−+= 所以当年产量为220吨时，可获得最大年利润，最大年利润为4300万元. 21.（1）方法一：由于函数()21x bf x x +=−是定义在()1,1−上的奇函数，所以()()f x f x −=−即()2211x bx bx x −++=−+−+，化简得0b = ，因此，()21x f x x =−. 方法二：由于函数()21x bf x x +=−是定义在()1,1−上的奇函数，所以()00f =，得0b =. 经检验，0b =时()21x f x x =−是奇函数.故()21xf x x =−.（2）()12,1,1x x ∀∈−，且12x x <，即<1211x x −<<<，则()()()()()()()()()()()()2212212121121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x −−−−+−=−==−−−+−+−− 1211x x −<<<，210x x ∴−>，2110x x +>，110x −<,110x +>，210x −<2,10x +>()()()()12120,f x f x f x f x ∴−>>即，因此，函数()y f x =在区间()1,1−上是减函数.（3）由（2）可知，函数()y f x =是定义在()1,1−的减函数，且为奇函数， 有()()10f t f t −+< 得()()()1f t f t f t −<−=− ，所以111111t t t t −>−⎧⎪−<−<⎨⎪−<<⎩，，，解得112t << .因此，不等式()()10f t f t −+<的解集为112（，）第７页，共８页22.（1）220,y x y x =≥=在[)0,+∞上单调递增， 由2x x =得0x =或1，存在黄金区间是[0,1]；()430y x x =−>是增函数，若存在黄金区间[],m n ，则43,43,m mn n ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，无解， 因此，不存在黄金区间. （2）()()2221111a a x f x a xa a x+−==+−在(−∞,0)和(0,+∞)上都是增函数， 因此黄金区间[]()[](),,0,0,m n m n ⊆−∞⊆+∞或 ，由题意()(),,f m m f n n =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以()f x x =有两个同号的不等实根()()222211110.f x x a x a a x a a x=+−=−++=， ∆=(a 2+a )2−4a 2>0，a 2(a +3)(a −1)>0，解得a <−3或a >1,2121210,x x x x a =>，同号，满足题意, 22121a a a x x a a+++==，21n m x x ==−====，因为a <−3或a >1，所以 113a =即a =3时，()3max nm −==第８页，共８页。
高考题库-山东省学年青岛市第二中学上学期高一数学期中试题
2018-2019年青岛2中高一上11月期中考试1、下列四组函数,表示同一函数的是（ ） A 、x x g x x f ==)(,)(2 B 、x e x g x x f ln )(,)(==B 、22)(,)()(x x g x x f == D 、xx x g x x f 2)(,)(==2、已知集合}061|{},1621|{≥--=≤<=x x x B x A x,则=B C A R I A 、}41|{≤<x x B 、}60|{≤<x x C 、}10|{<<x x D 、}64|{≤≤x x 3、半径为3cm,圆心角为1200的扇形的弧长为（ ）A 、3πcm B 、32πcm C 、34πcm D 、35πcm 4、已知函数)(x f y =的定义域为[-2,3],则函数2)12(--=x x f y 的定义域为（ ）A 、)2,21[-B 、]2,21[- C 、]5,5[- D 、]5,2()2,5[Y -5、函数)43(log )(221++-=x x x f 的单调递增区间是（ ）A 、)23,(-∞B 、）+∞,23(C 、)4,23(D 、)23,1(- 6、设4log ,)21(,421421===c b a 则（ ）A 、c b a <<B 、a b c <<C 、a c b <<D 、b a c << 7、函数||1)(2x x x f --=的图像大致为（ ）A 、 B. C. D.8、函数2ln )(-+=x x x f 的零点必定属于区间（ ） A 、)1,21( B 、)23,1( C 、)2,23( D 、)25,2(9、函数)2,1(32)(2-+-=在ax x x f 上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ） A 、)1,(--∞ B 、),2(+∞ C 、),2()1,(+∞--∞Y D 、),2[]1,(+∞--∞Y 10、已知偶函数]2,1[1)(2-++=a bx ax x f 的定义域,则函数)(x f 的值域为（ ） A 、)1,(-∞ B 、]1,(-∞ C 、]1,3[- D 、),1[+∞11、函数R x x x a x a x f a 在⎩⎨⎧≥-<+-=2),1(log 2,)21()(上单调递减,则实数a 的取值范围是（ ）A 、)21,0( B 、]32,21( C 、)32,21( D 、)1,21(12、给出定义：若]21,21(+-∈m m x （其中m 为整数）,则m 叫做与实数x ”亲密的整数”记作m x =}{,在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个说法：①函数)1,0()(在x f y =上是增函数；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数))(21,()(Z k k k x f y ∈+=在上单调递增④当)2,0(∈x 时,函数|212|)()(2--=x x f x g 有两个零点,其中说法正确的序号是（ ）A 、①②③B 、②③④C 、①②④D 、①③④ 二、填空题13、已知对数函数)(x f y =的图像经过点)21,2(,且2)(0=x f ,则0x = 14、若θθθ则角,02sin ,0cos <>的终边在 象限15、定义在)8,0()0,8(Y -上的奇函数)(x f ,在区间)0,8(-上单调递增,则不等式0)2()(22>--+x x f x f 的解集为16、已知x x x g x x x x x f R m x 2)(,2,42|,12|)(,22-=⎩⎨⎧>-<-=∈函数,若函数m x g f y -=))((有6个不同的零点,则实数m 的取值范围是 三解答题17、已知角a 的终边经过点P ）且0,)(3,4(≠∈-t R t t t ,求a a tan sin -的值18、已知集合A=}06|{},01|{22<≤-+=≥---∈x x x B a ax x R x （1）若2=a ,求B A I（2）若a B A C R 求实数,⊆的取值范围19、已知方程02)1(2=+-+-k x k x 的两个实数根21,x x ,满足21021<<<<x x ,求实数k 的取值范围20、定义在R 上一次函数)(x f y =是增函数,且34)]([+=x x f f （1）求一次函数)(x f y =的解析式（2）当)()()(12x f m x x g x •+=≤≤-时，函数有最大值9,求实数m 的值21、函数)(x f 的定义域为),0(+∞,且1)31(,0)(1),()()(-=>>+=f x f x y f x f xy f 时，当 （1）求)9()1(f f 和（2）证明函数)(x f 在),0(+∞上单调递增 （3）求不等式2)8()(<-+x f x f 的解集22、已知定义在R 上的函数ab x f x x+-=+122)(是奇函数（1）求实数b a ,的值（2）若对任意实数x ,不等式0)2()24(12<-+⋅-+k f k f x xx恒成立,求实数k 的取值范围23、附加题：若正实数1311111,-+-=+y x y x y x ，求满足的最小值。
山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
青岛二中2019-2020学年第一学期期末考试高一数学试题一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合ln1cos ,2A e π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,{}2|20B x Z x x =∈+≤,则A B =U （ ） A. {}0,1 B. {}1,0- C. {}1,0,1- D. {}2,1,0,1--【答案】D 【解析】 【分析】先求出B 集合，注意x 属于整数集合，而集合A 等价于{}0,1A =，求并集运算即可。
【详解】因为cos02π=，0ln11e e ==，所以{}0,1A =；{}2|20B x Z x x =∈+≤解得{}2,1,0B =--所以{}2,1,0,1A B ⋃=-- 故选：D【点睛】此题考查集合的并集运算，解出每个集合的取值即可，属于简单题目。
2.下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（ ）A. 2xy = B. 1y x x=+C. 12y x =D. ln y x x =-【答案】D 【解析】 【分析】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞，依次看选项的定义域是否在(0,)+∞即可。
【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
故选：D【点睛】此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。
3.已知幂函数()y f x =的图象经过点(,则()31log 3f 的值是（ ）A. 13- B. -1 C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】设幂函数是a y x =，代入点(求得 a ，再代入求()31log 3f 即可。
【详解】设幂函数是a y x =，代入点(，即1333a ==所以13a =，13y x=所以()1333f =()1111333333l log 3log og 31313log 3f ==-= 故选：A【点睛】此题考查幂函数和对数函数，注意对数函数换底公式的使用，属于较易题目。
青岛二中高三期中理科数学试题
数学试题 第1页 共7页青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段期中高三模块考试——（数学）试题命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的；第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）1. 设集合2{1213},{log }A x x B x y x =-≤+≤==，则=A B I ( ) A.B.C. D.2．若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为( ) A.1B. 1-C.2D. 2-3. 已知是等差数列的前n 项和，，则2a =( ) A.5B.6C.7D.84. 命题为“”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.B.C. D.4a ≤5．函数（其中e 为自然对数的底数）的图像大致为( )6. 若非零向量,a b r r满足=a b r r ，向量2+a b r r 与b r垂直，则a b r r 与的夹角为( )A ．B ．C ．D ．7．如图，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，点B 在双曲线的右支上，矩形OFBD 与矩形AEGF 相似，且矩形OFBD 与矩形AEGF 的面积之比为 2:1 ，则该双曲线的离心率为( ) B.1+ C.2+D.8． 已知定义在R 上的函数满足，且当时，，则()2020f = ( )A. B. 0 C. 1 D.2 9.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )A. B. C.D.10．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若1266363780S S S S S S ---⋅-=，且正整数,m n 满足31252m n a a a a =， 则18m n+的最小值是（ ） A ．53 B ．95 C ．157D ．7511.（多选题）如图，设的内角所对的边分别为，cos cos )2sin a C c A b B +=，且3C A Bπ∠= .若点是外一点，1,3DC DA == ，下列说法中，正确的命题是（ ）A ．的内角3B π=B ．的内角3C π=[0,1][1,0]-[1,0)-(0,1]n S {}n a 3778,35a a S +==[]21,2,20x x a ∀∈-≥1a ≤2a ≤3a ≤()()11x xe f x x e +=-1501206030()f x ()()()(),11f x f x f x f x -=+=-[]0,1x ∈()()2log 1f x x =+1-()sin f x a x x =-56x π=12()()4f x f x ⋅=-12x x +3π-03π23πABC ∆,,A B C ,,a b c D ABC ∆ABC ∆ABC ∆数学试题 第2页 共7页C ．四边形面积的最大值为+32D ．四边形面积无最大值12. （多选题）下列说法中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量ξ服从正态分布)2(2δ，N ,()40.84P ξ<=，则()24P ξ<<=0.16.B ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3 .C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a =.D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16.13. （多选题） 设函数，若有4个零点，则的可能取值有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上） 14. 若o cos 27a = ,)o o cos72cos18+的值为_______.(用a 表示)15．在中，，其外接圆圆心满足0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r ，则AB AC ⋅uu u r uuu r= .16．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1 ,,则此球的表面积=_________.17.已知函数在上的图像是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式222()()0x x e f e a x f ax -≥ 恒成立，则正数的最大值为_______.三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（本小题满分12分） 如图，在平面四边形ABCD中，1=AB，1=BC ，3CA =，且B ∠与D ∠互补，32⋅=uuu r uu u r AD CD .（Ⅰ）求ACD V 的面积；（Ⅱ）求ACD V 的周长.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥的一个侧面PAD 为等边三角形，且平面平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形,.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2)n n n n n nb a b a b ++++= .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若211(+5)log n n n c a b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．ABCD ABCD 2()ln (0)2ax f x ax a e=->()f x a ABC △1BC =O P ABC -PA ⊥ABC 2,1,60AB AC BAC ==∠=()y f x =R ()f x '0x >()()22x f x xf x '>-x R ∀∈a P ABCD -PAD⊥2,3AD BD BAD π==∠=BD PD ⊥P BC D --数学试题 第3页 共7页21. （本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2,(2,1)P -是椭圆1C 上一点．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设A B Q 、、是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点,平行于AB 的直线l 与椭圆1C 相交于不同于P Q 、的两点C D 、,点C 关于原点的对称点为E . 证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．22. （本小题满分14分）某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中0.016a b -=.（Ⅰ）求这300名玩家测评分数的平均数；（Ⅱ）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为()01p p <<，且每款游戏之间改进与否相互独立. （i ）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；（ii ）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明．(以聘请专家费用的期望为决策依据)23．（本小题满分14分）已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.（Ⅰ）若1b =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<.青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段 期中高三模块考试——（数学）试题答案答案：1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD数学试题 第4页 共7页14.2a 15.1216.16π 17.e18. 【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.所以sin ABC ∠=. 因为角D 与角B 互补，所以sin sin 4ADC ABC ∠=∠=，1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=.又32AD CD ⋅=， 所以3cos 2AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=，即6AD CD ⋅=，所以1sin 2ACDSAD CD ADC =⋅⋅∠=（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠， 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=， 所以AD CD +=所以ACD 的周长为3AD CD AC ++=.19. 【解析】（Ⅰ）证明：在中，又平面平面ABCD平面平面ABCD=AD ，平面PAD ，又（Ⅱ）如图，作于点O ， 则平面ABCD过点O 作于点E ，连接PE ，以O 为坐标原点，以OA,OE,OP 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由（1）知平面DBC 的一个法向量为 设平面PBC 的法向量为则取设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为 则20. 【解析】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =， 可得120a d +=，151015a d +=，解得11a =-，2d =， 则12(1)23n a n n =-+-=-数列{}n b 满足：12b a =，131(2)n n n n n nb a b a b ++++=， 可得11b =，1(21)(61)n n nnb n b n b ++-=-，即为14n nb b +=，ABD ∆2,3AD BD BAD π==∠=AD BD ∴⊥PAD ⊥PAD ⋂ABCD BD 面⊂BD ∴⊥PAD PD 面⊂BD PD ∴⊥PO AD ⊥PO ⊥OE BC ⊥()()(()1,0,0,,,D B p C ---()()1,23,3,2,0,0BP BC =-=-()0,0,1(),,n x y z =00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即()0,1,2,n =θcos θ=数学试题 第5页 共7页所以数列{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列， 可得14n n b -=（Ⅱ）2111111()(5)log 4(1)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++11111114223144n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 【解析】（Ⅰ）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2a 2＝34， 4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2．故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．（Ⅱ）由题设可知A (－2，－1)、 B (2， 1) 因此直线l 的斜率为12，设直线l的方程为：y ＝12x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ， x 28＋y 2 2＝1，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0．（Δ＞0） 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4 ∴k PD ＋k PE ＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1 －x 1＋2＝(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)(2＋x 2) (2－x 1)而(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)＝2(y 2－y 1)－(x 1 y 2＋x 2y 1)＋x 1－x 2－4＝x 2－x 1－x 1·x 2－t (x 1＋x 2) ＋x 1－x 2－4＝－x 1·x 2－t (x 1＋x 2)－4 ＝－2t 2＋4＋2t 2－4＝0即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形．22. 【解析】（Ⅰ）依题意，(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=， 故0.032a b +=； 而0.016a b -=，联立两式解得，0.024,0.008a b ==；所求平均数为550.05650.24750.35850.28950.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=；（Ⅱ）（i ）因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+，一款游戏二测被认定需要改进的概率为1223C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以某款游戏被认定需要改进的概率为：2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦ 23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+；（ii ）设每款游戏的评测费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500；123(1500)C (1)P X p p ==-， 123(900)1C (1)P X p p ==--，故1212233()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ； 令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ，2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- .数学试题 第6页 共7页当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0g p g p <（），（）在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以g p （）的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案，最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝⎭故所需的最高费用将超过预算.23. 【解析】（Ⅰ）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++，当102a <…时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1mina f x f f a-<==，不成立，102a ∴<…即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅱ）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a >有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211xe ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+<数学试题第7页共7页。
2019-2020学年山东省青岛市高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年山东省青岛市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设命题p：∃n∈N∗，2n≤2n+1，则￢p是()A. ∃n∈N∗，2n≤2n+1B. ∀n∈N∗，2n>2n+1C. ∃n∈N∗，2n=2n+1D. ∀n∈N∗，2n≥2n+12.已知集合A是由0,m,m2−3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A. 2B. 0或3C. 3D. 0，2，3均可3.“x=1”是“x2+x−6<0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，则下列正确的是()A. a>bB. ac<bcC. a−c<b−cD. |ac|>|bc|5.不等式x2−3x<0的解集是()A. (−∞,0)B. (0,3)C. (−∞,0)∪(3,+∞)D. (3,+∞)6.函数f(x)=√1−|x|的定义域是()A. [−1,1]B. (−1,1]C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,0)∪(0,1]7.若函数y=x2+2x+2在闭区间[m,1]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是()A. [−1,1]B. [−1,+∞)C. [−3,0]D. [−3,−1]8.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(0)=0，当x≥0时，f(x)+g(x)=x2+2x+x−b(b为常数)，则f(−1)−g(−1)=()A. 3B. 1C. −3D. −19.已知函数f(x)=2x2−ax−1，在[−1,2]上单调，则实数a的取值范围是()．A. [−4,8]B. (−∞,−4]C. [8,+∞]D. (−∞,−4]∪[8,+∞)10.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=−x+1，则f(−4)等于()A. 5B. 3C. −3D. −5.m∈A,n∈A}，则()11.已知集合A={1,2}，B={x|x=mnA. A∩B=BB. A∩B=⌀C. A∪B⊆AD. A⊆B12.如图所示的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象．已知n分别取−1，1，1，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为()2A. 2，1，12，−1B. 2，−1，1，12C. 12，1，2，−1D. −1，1，2，12 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设m >0，p:0<x <m ，q:x(x −1)<0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是_______.(只需填写一个满足条件的m 即可)14. 已知f (x )={2−x,x ≤0x +1,x >0且f(a)=4，则a =_________． 15. 当a >1时，4a−1+a 的最小值为______ ．16. 若f(x)=12(x −1)2+a 的定义域和值域都是[1,b]，则a +b = ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={x|2<x <a},B ={x|b <x <9},若B ⊆A 且A ⊆B ，求a −b 的值．18. 集合A ={y|y =sinx −cos(x +π6)+m,x ∈R}，B ={y|y =−x 2+2x,x ∈[1,2]}，若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且p 是q 必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19. 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2−(2a +1)x +2>0．20. 已知函数f(x)=x 2+ax +3．(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．21.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=4√2a−6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q={14a+2,80⩽a⩽12032,120<a⩽160，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)当投资甲城市98万元时，求此时公司总收益．(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？22.已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，对于任意的x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且满足f(2)=1．(1)求f(1)、f(4)的值；(2)求满足f(x)+f(x−3)>2的x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃n∈N∗，2n≤2n+1，则￢p是：∀n∈N∗，2n>2n+1．故选：B.直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．2.答案：C解析：①m=2时，m2−3m+2=4−6+2=0；由集合元素互异性知，不可取；②m2−3m+2=2时，解得m=0,m=3；由集合元素互异性舍去m=0；综上所述：m的值为3．3.答案：A解析：解：由x2+x−6<0得−3<x<2，则“x=1”是“x2+x−6<0”的充分不必要条件，故选：A根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．4.答案：C解析：【分析】本题考查不等关系与不等式的性质，题目基础．根据题目特点逐项排除．【解答】解：A.因为1a >1b>0，所以a<b，故A错；B.因为1a >1b>0，所以0<a<b，由已知c<0，所以ac>bc，故B错；C.因为1a >1b>0，所以a<b，所以a−c<b−c，故C正确；D.因为1a >1b>0，所以0<a<b，由已知c<0，所以0>ac>bc，所以|ac|<|bc|，故D错．故选C.解析：解：不等式x2−3x<0可化为：x(x−3)<0，故解集为{x|0<x<3}故选：B．原不等式可化为：x(x−3)<0，可得其对应方程的根，进而可得解集．本题考查一元二次不等式的解集，因式分解是解决问题的关键，属基础题．6.答案：A解析：解：要使函数f(x)有意义，则1−|x|≥0，即|x|≤1，解得−1≤x≤1，故函数的定义域为[−1,1]，故选：A根据函数成立的条件建立不等式关系，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．7.答案：D解析：函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1，所以图象开口向上，对称轴是x=−1，最小值为1，要使函数值为5，需x=1或x=−3，所以m的取值范围是[−3,−1]8.答案：C解析：解：∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(0)=0，∴f(0)+g(0)=+20−b=1−b=0，得b=1，则f(1)+g(1)=1+2+1−1=3，f(−1)−g(−1)=−f(1)−g(1)=−[f(1)+g(1)]=−3，故选：C．根据函数奇偶性的性质下先求出b的值，利用奇偶性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质，进行转化是解决本题的关键．9.答案：D解析：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．结合二次函数的图象与性质以及f(x)在区间[−1,2]上单调，可得a的取值范围．【解答】解：∵函数f(x)=2x2−ax−1的图象是开口朝上，且以直线x=a4为对称轴的抛物线，且f(x)在区间[−1,2]上单调，∴a4≤−1或a4≥2，解得：a∈(−∞,−4]∪[8,+∞)，故选D．10.答案：B解析：解：∵当x>0时，f(x)=−x+1，∴f(4)=−4+1=−3又∵函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(−x)=−f(x)则f(−4)=−f(4)=3故选：B．由已知中当x>0时，f(x)=−x+1，可以求出f(4)的值，再由函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，可得f(−x)=−f(x)进而得到答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，其中根据已知中函数为奇函数，将求f(−4)的值转化为求f(4)的值是解答的关键．11.答案：D解析：解：因为集合A={1,2}，B={x|x=mn.m∈A,n∈A}，所以若m=1，n=1或m=2，n=2，此时x=1；若m=2，n=1，此时x=2；若m=1，n=2，此时x=12；故B={1,2，12}，故选：D．先由集合A={1,2}，B={x|x=mn.m∈A,n∈A}求出集合B的元素，然后再判断A、B的关系即可．本题主要考查集合间的关系，属于基础题．解析：【分析】本题考查幂函数，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点(1,1)和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的图象．【解答】解：根据幂函数y=x n的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，递增速度越快，故曲线C1的n=2，曲线C2的n=1，，曲线C3的n=12当n<0时，函数单调递减，故C 4 的n=−1，，−1，故依次填2，1，12故选A．13.答案：12解析：【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑判定方法，属于基础题．q：x(x−1)<0，解得x范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：q：x(x−1)<0，解得0<x<1，∵p是q的充分不必要条件，∴0<m<1，因此m的值可以是1．2．故答案为1214.答案：−2或3解析：【分析】本题考查分段函数，属基础题．按照分段函数的标准对a进行讨论即可求解．【解答】解：当a≤0时，f(a)=2−a=4，a=−2，当a>0时，f(a)=a+1=4，a=3，故答案为−2或3．15.答案：5解析：解：当a>1时，4a−1+a=(a−1)+4a−1+1≥2√(a−1)⋅4a−1+1=5，当且仅当a=3时取等号．故答案为5．变形为4a−1+a=(a−1)+4a−1+1，再利用基本不等式即可．本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．16.答案：4解析：解：因为二次函数f(x)=12(x−1)2+a在x=1时取得最小值为f(1)=12(1−1)2+a=a，又该函数的定义域和值域都是[1,b]，所以a=1，则当x=b时函数f(x)取得最大值f(b)=12(b−1)2+1=b，解得：b=1(舍)或b=3，则a+b=4．故答案为4．根据函数f(x)的定义域和值域都是[1,b]，先把x=1代入函数解析式求出最小值，由最小值等于1求出a的值，再由x=b时函数有最大值b求解b．本题考查了函数定义域及其求法，考查了函数的值域，解答此题的关键是运用函数在[1,b]上是增函数，此题是基础题．17.答案：7解析：∵B⊆A且A⊆B，∴A=B，∴a=9,b=3，∴a−b=7．18.答案：解：∵y=sinx−cos(x+π6)+m=sinx−√32cosx+12sinx+m=32sinx−√32cosx+m=√3sin(x−π6)+m∈[m−√3,m+√3]，∴A=[m−√3,m+√3]；∵y=−x2+2x在x∈[1,2]为减函数，∴B=[0,1]；又∵命题p：x∈A，命题q：x∈B，p是q必要不充分条件，∴B⊊A，∴m−√3≤0且m+√3≥1，∴1−√3≤m≤√3，∴m 的取值范围是{m|1−√3≤m ≤√3}.解析：化简集合A 、B ，由题意知B ⊊A ，即m −√3≤0且m +√3≥1，求出m 的取值范围． 本题通过充分与必要条件的判定考查了集合的运算以及函数的值域问题，是综合性题目． 19.答案：解：当a =0时，原不等式为−x +2>0，∴x <2；当a ≠0时，原不等式为(ax −1)(x −2)>0；∴当0<a <12时，解得x <2，或x >1a ；当a =12时，解得x ≠2；当a >12时，解得x <1a ，或x >2；当a <0时，解得1a <x <2；综上，当a =0时，不等式的解集为{x|x <2}；当0<a <12时，不等式的解集为{x|x <2，或x >1a }；当a =12时，不等式的解集为{x|x ≠2}；当a >12时，不等式的解集为{x|x <1a ，或x >2}；当a <0时，不等式的解集为{x|1a <x <2}．解析：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，求出对应的不等式的解集来，是易错题讨论a =0、a ≠0时，不等式的解集情况，再分0<a <12、a =12、a >12、a <0，求出不等式的解集即可． 20.答案：解：(1)f(x)≥a 恒成立，即x 2+ax +3−a ≥0恒成立，必须且只需Δ=a 2−4(3−a)≤0，即a 2+4a −12≤0，∴−6≤a ≤2．∴a 的取值范围为[−6,2]．(2)f(x)=x 2+ax +3=(x +a 2)2+3−a 24． ①当−a 2<−2，即a >4时，f(x)min =f(−2)=−2a +7，由−2a +7≥a ，得a ≤73，∴a ∈⌀；②当−2≤−a 2≤2，即−4≤a ≤4时，f(x)min =3−a 24，由3−a24≥a，得−6≤a≤2．∴−4≤a≤2；③当−a2>2，即a<−4时，f(x)min=f(2)=2a+7，由2a+7≥a，得a≥−7，∴−7≤a<−4．综上，可得a的取值范围为[−7,2]解析：本题考查二次函数的性质，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)由题意可得x2+ax+3−a≥0恒成立，则Δ=a2−4(3−a)≤0，解不等式即可；(2)通过讨论函数f(x)对称轴所在的位置，求出函数的最值，将恒成立问题转化为函数的最值问题即可求解．21.答案：解：(1)∵当x=98时，此时甲城市投资98万元，乙城市投资142万元，∴总收益f(98)=4√2×98−6+32=82(万元)，答：总收益为82万元．(2)∵由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资(240−x)万元，∴依题意得{x≥80240−x≥80，解得80≤x≤160，∵当80≤x<120时，120<240−x≤160，∴f(x)=4√2x−6+32=4√2x+26<26+16√15，∵当120≤x≤160时，80≤240−x≤120，∴f(x)=4√2x−6+14(240−x)+2=−14x+4√2x+56，令t=√x，则t∈[2√30,4√10]，∴y=−14t2+4√2t+56=−14(t−8√2)2+88，当t=8√2，即x=128万元时，y的最大值为88，∵88−(26+16√15)=2(31−8√15)>0，∴f (x )的最大值为88(万元)，答：当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元．解析：本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．(1)根据收益公式计算即可；(2)得出f(x)的解析式，判断f(x)在定义域上的单调性，从而可得f(x)取得最大值时对应的x 的值，从而得出最佳投资方案，从而得到结果．22.答案：解：(1)取x =y =1，则：f(1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0；取x =y =2，则：f(4)=f(2)+f(2)=2，即f(4)=2．(2)由题意得，f[x(x −3)]>f(4)；∴x 应满足：{x >0x −3>0x(x −3)>4； 解得，x >4．∴满足f(x)+f(x −3)>2的x 的取值范围是(4,+∞)．解析：考查对条件f(xy)=f(x)+f(y)的运用，利用函数的单调性解不等式，注意限制x >0，x −3>0．(1)根据已知条件，只需取x =1，y =1，便可求出f(1)；取x =2，y =2，便可求出f(4)．(2)根据已知条件可以得到：f[x(x −3)]>f(4)，根据已知的条件解这个不等式即可．。
山东青岛二中高一上期中数学试卷及答案解析
第 1 页 共 18 页2019-2020学年山东省青岛二中高一上期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的：第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）1．已知集合A ＝{﹣1，2，3}，B ＝{x ∈Z |﹣1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0，1，3，4}D ．∅2．已知实数0＜a ＜1，则下列正确的是（ ）A ．1a ＞a ＞a 2B ．a ＞a 2＞1a C ．a 2＞1a ＞a D ．1a ＞a 2＞a3．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣6，1]，则函数g （x ）=f(2x+1)x+2的定义域是（） A ．（﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3] B ．[﹣11，3]C ．[−72，﹣2]D ．[−72，﹣2）∪（﹣2，0]4．已知f （x ）={2x ，x ＜12f(x −1)+1，x ≥12，则f （14）+f （76）＝（ ）A ．−16B ．116C ．56D ．−565．“|x ﹣1|＜3”是“x ＜4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）=12的定义域是一切实数，则m 的取值范围是（ ）A ．{m |0＜m ＜16}B ．{m |0＜m ＜4}C ．{m |0≤m ＜16}D ．{m |m ≥16}7．函数f （x ）=1−x 2x 3的图象可能是（ ）A ．B ．。
山东省青岛二中高一上期中数学试卷及答案解析
2019-2020学年山东省青岛二中高一上期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的：第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）1．已知集合A ＝{﹣1，2，3}，B ＝{x ∈Z |﹣1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0，1，3，4}D ．∅2．已知实数0＜a ＜1，则下列正确的是（ ）A ．1a ＞a ＞a 2B ．a ＞a 2＞1a C ．a 2＞1a ＞a D ．1a ＞a 2＞a3．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣6，1]，则函数g （x ）=f(2x+1)x+2的定义域是（）A ．（﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3]B ．[﹣11，3]C ．[−72，﹣2]D ．[−72，﹣2）∪（﹣2，0]4．已知f （x ）={2x ，x ＜12f(x −1)+1，x ≥12，则f （14）+f （76）＝（ ）A ．−16B ．116C ．56D ．−565．“|x ﹣1|＜3”是“x ＜4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）=12的定义域是一切实数，则m 的取值范围是（ ）A ．{m |0＜m ＜16}B ．{m |0＜m ＜4}C ．{m |0≤m ＜16}D ．{m |m ≥16}7．函数f （x ）=1−x 2x 3的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数f （x ）＝x −√x +1的最小值为（ ）A ．−54B ．−12C ．﹣1D ．09．关于x 的不等式x 2﹣（a +1）x +a ＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2，4）B ．[3，4]C ．（3，4]D ．（3，4）10．已知函数f （x ）={−x +1，x ≤0−x 2+2x ，x ＞0，则方程f 2（x ）﹣bf （x ）＝0，b ∈（0，1）根的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．f （x ）＝|x |，g(x)=√x 2B ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2C ．f(x)=x 2−1x−1，g （x ）＝x +1 D ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−112．若关于x 的一元二次方程（x ﹣2）（x ﹣3）＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列结论中正确的有（ ）A ．当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3B ．m ＞−14C ．当m ＞0时，2＜x 1＜x 2＜3D ．二次函数y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）13．已知函数y ＝f （x ）是定义在[0，2]上的增函数，且图象是连续不断的曲线，若f （0）＝M ，f （2）＝N （M ＞0，N ＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（ ）。
2019学年山东省高一上学期期中考试数试卷【含答案及解析】(1)
2019学年山东省高一上学期期中考试数试卷【含答案及解析】姓名 _________________ 班级 ____________________ 分数 ________________ 题号-二二 三 总分得分一、选择题1. 设集合 皿=«卫=片｝ , N = 策WO ｝，贝【J MU N =() A ■ [0.1 ] ____________________________________ B - (0.1] ---------------------------------------------------------- C - I 1__________________________________ D - | --4. 函数I ，（门11且T 匸）图象一定过点 A .B•一 一： CD . '[</）：. 5.已知」为奇函数，当 赵4] 时，「|「，那么当()(2-0)2. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）_2 ,•： - |时，汀丫：.的最大值为（）A . - 5_______________________________________B . 1 C_____________________________________ D -6. 若I「，•—：•，- 一，则（）A •、、: ------------------------------B -片毗；:：贰g-------------------------------- C •• •：• h ---------------------------- D -匸 < ■： t7. 若方程：，一.在区间I .■ I （』，，-二，且，■- ）上有根，则,■的值为（）A - ' ___________________________________________B -_____________________________________ C •、D ■8. 以边长为'的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A . ____________________________________B .氏_______________________________________ C•-_____________________________________ D •-9.已知函数r(x)=?+曲4加-8，且/(-2)= 10 , 则f(2)=(A—26B26 C—10D.IS10 .已知函数bl-，则“+曲3）的值为（）/（x讥耳今11A B .-____________________________________ C?414. 图中的三个直角三角形是一个体积为■的几何体的三视图，贝V-*11. 函数： ___________ 的图象大致是（ ）设函数/ （工）二加-一，则使得 f （x ）＞ （2.V ~ 1）成立的工 的取值 1 4- X-范围是 （）、填空题13. 函数 屮 I | 的定义域是12. -<X T - jU ； 13A. B. C. D.15. 已知函数/⑴=「吧(小)2°,若函数= m有M个零点,[-X2 _2羽$ W 0则实数用的取值范围是 ____________________________________ .16. 给出下列五种说法：(1)函数】.(.，| , 一丁，)与函数| 的定义域相同；(2)函数| 「与函数■, 的值域相同；(3)函数的单调增区间是il. J |(4)函数. 有两个零点；(5)记函数- -(注：卜表示不超过.•■；的最大整数，例如：[3J] = 3，[—工习=—3 )，贝V /(x)的值域是[0.1) •其中所有正确的序号是___________________________________ .三、解答题17. 已知集合A = ?：: !■： <工y F卡，応# ]匸:■: ■■■■： 13 :,=卜卡芝憑｝(1) 求！J ； QA)| B ；(2 )若 | | ，求」的取值范围.18.求值： (1)&汇斗宀彳里F ；' ’ I ⑹…丄"丿…(2 ) - - - ■ ( J ) ■ I - | )(1 )求「一丨的值；(2 )若y(6)= 1，解不等式 亍卜220.设'1 --（1 ）若X * ' ，判断并证明函数 ¥=住（丫 ｝的奇偶性；lx-lj（2）令-■■ ■ I ■,'■ ） ■ ■-，当 取何值时 丨・ 取得最小值，最小值为多少？21. 某种商品在 ，天内每件的销售价格 （元）与时间，（天）的函数关系用如图表示，该商品在 -,天内日销售量 ：.（件）与时间「（天）之间的关 系如下表：P 夭5 10 20 304B403020d 70 *510 d1刊元二蠡1 : » 1 i ■ 4.25 30彳天 （1 ）根据提供的图象（如图），写出该商品每件的销售价格 I ；与时间•的函数关系式;（2） 根据表 ' 提供的数据，写出日销售量 ；与时间•的一次函数关系式；19. 若 /(A ) 是定义在I ■ I 上的增函数，且对一切I ； >■ I ：，满足/C v )_/O)（3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是■ I天中的第几天•（日销售金额=每件的销售价格日销售量）22. 已知指数函数】“丨-满足：.T .，定义域为 ' 的函数f ■1-■'' 是奇函数.亦边（工）（1 ）确定，I和| - | ",的解析式；（2）判断函数「「的单调性，并用定义证明；（3）若对于任意H 7訂，都有：_丨「一一成立，求的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】，I【解析】魄分析；M = {r|r ; = > }={04}. N = {v|lgx 0}= {x |0 <1}..\ M UN = [0,1]第2题【答案】A【解析】试題分析：沖函埶不,因此既不是奇函数又不是偶函叛B 中 的数满足/(t).是奇固轨 沖画数满足丁⑴，是偶函数,沖圈数浦足 /H ) = /(x) ?是偶函数，故选A第3题【答案】【解析】趣井析：^/(x)= /Qy{2)=—/-2n / (^r) = Y 3 ■ ■ / (^ ) =；故选E2第4题【答案】【解析】试题分析：令大一1二0 ,则产二1」此时严3 ,所決过定点(L3),故选B第5题【答案】C【解析】陡SB分析：当-4冬囂£—1时1 —X 4 .'. f (―.T )= (―y J + 4r + 5 = x= + 4x + 5 f由函数是奇匡黴得y(-T) = -y(x)/,-y(x)=r +4,\ -«-5:./0<>-^-4^-5 ,函数对称轴九yl •所以最大值为心叶1 ,故选c第6题【答案】【解析】试题分析？as V = Log. V的单调性可^CT=log. 7€(h2).由H二F单调性可知“少心2 ,由My=0.8r MW性可亦丸-卯€ (QI),所扶有c<a<b ,故选E第7题【答案】【解析】试謹分析：谡f (工卜lnx + x-4 ,在定义域TMiSii増Q/(l)<0,/(2) = ln2-2<0./(i)=ln3-l>0所以函埶在区间0 3)上有一个毎:点，艮昉稈1«.T + X-4 =0在区间(2-3)上有一根|故选B第8题【答案】【解析】试题分析：宙题意可知圆柱的高为1,底面圆的半所咲侧面积为$ = 2时"2宀2]=2兀,散选上第9题【答案】A【解析】趣分析’ /(-2)-L0 ;.(-2y + n(-2y +^(-2)-8 = 10/.(-2/ + 0(-2)5 +&(-2)= 1«十边时2办二-1& ；./(2)=-18-8 = ^26、故选A第10题【答案】j【解析】试題分析：直2 *1。
2019-2020学年山东省青岛二中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 下列函数完全相同的是( )A. f(x)=|x|，g(x)=(√x)2 B. f(x)=x 2−9x−3，g(x)=x +3 C. f(x)=|x|，g(x)=x 2xD. f(x)=|x|，g(x)=√x 22. 已知集合A ={x|x 2−3x −4>0}，B ={x|x >1}，则∁R A ∩B =( )A. φB. (0,4]C. (1,4]D. (4,+∞) 3. 已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r =20cm ，则扇形的弧长为( )A. 1080cmB. 3πcmC. 6πcmD. 540cm 4. 若函数f(x)的定义域是[−1,4]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52] B. [−1,4]C. [−5,5]D. [−3,7]5. 函数f(x)=ln(4+3x −x 2)的单调递减区间是( )A. (−∞,32]B. [32,+∞) C. (−1,32] D. [32,4)6. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a7. 已知f(x)=ax 2−x −c ，不等式f(x)>0的解集为{x|−2<x <1}，则函数y =f(−x)的图象为( )A.B.C.D.8. 若函数f(x)=log 3x −1x+1的零点为x 0，则x 0属于( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,52) D. (52,3)9. 已知函数f(x)=2x 2−ax −1，在[−1,2]上单调，则实数a 的取值范围是( )．A. [−4,8]B. (−∞,−4]C. [8,+∞]D. (−∞,−4]∪[8,+∞)10. 设f(x)=ax 2+bx +2是定义在[1+a,1]上的偶函数，则a +2b =( )A. 0B. 2C. −2D. 1211. 已知函数f(x)=x −2−x ，且f(m 2)<f(m)，则实数m 的取值范围是( )A.B.C. (0,1)D.12. 下列函数满足“对∀x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2时恒有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0”的是( )A. f(x)=1x B. f(x)=(x −1)2 C. f(x)=e xD. f(x)=ln(x +1)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 若函数f(x)=log a x 的图像经过点(2,1)，则f (12)=_______________． 14. 已知角θ满足sinθtanθ>0且cosθ⋅tanθ<0，则角θ的终边在第______象限．15. 若f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，且在(−1,1)上是增函数，则不等式f(1−x)+f(1−2x)<0的解集为______ ．16. 若函数f(x)={2x −a ,x ≤0lnx, x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知角θ的终边经过点P(3t,−4t)，t ≠0，求sinθ，cosθ，tanθ18. 已知集合A ={x|−3≤x ≤3}，B ={x|x >2}．(1)求(∁R B)∩A ；(2)设集合M ={x|x ≤a +6}，且A ⊆M ，求实数a 的取值范围．19. 已知函数f (x )=2(m +1)x 2+4mx +2m −1．(1)如果函数f(x)的一个零点为0，求m的值．(2)当函数f(x)有两个零点时，求m的取值范围．(3)当函数f(x)有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，求m的取值范围．20.已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]=9x+4，求函数f(x)的解析式．)=1；21.已知函数y=f(x)(x>0)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，当x<1时f(x)>0，且f(12(1)证明：y=f(x)是(x>0)上的减函数；)−2．(2)解不等式f(x−3)>f(1x22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b是奇函数．2x+1+a(1)求a，b的值；(2)证明：函数f(x)在R上是减函数；(3)若对任意的θ∈[0,π2]，f(cos2θ+λsinθ+2)+16<0恒成立，求实数λ的取值范围23.(1)已知x>3，求y=x+4x−3的最小值，并求取到最小值时x的值；(2)已知x>0，y>0，x2+y3=2，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查函数的相等关系．正确掌握判断函数相等的方法是解题关键．函数相等，必须三要素相同．属于基础题．判断两个函数是否相同，看它们的三要素是否相同即可．【解答】解：A．g(x)=(√x)2=x，x≥0，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．=x+3，x≠3，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．B.f(x)=x2−9x−3=x，x≠0，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数．C.g(x)=x2xD.g(x)=√x2=|x|，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数，故选D．2.答案：C解析：解：A={x|x<−1，或x>4}；∴∁R A={x|−1≤x≤4}；∴∁R A∩B=(1,4]．故选：C．可求出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查求扇形弧长的知识，属于基础题．由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l的值．【解答】解：∵一扇形的弧所对的圆心角为54∘，半径r=20cm，π⋅20=6π(cm)，则扇形的弧长l=α⋅r=54180故选C．解析：∵函数f(x)的定义域是[−1,4]，∴函数y =f(2x −1)的定义域满足−1≤2x −1≤4，∴0≤x ≤52， ∴y =f(2x −1)的定义域是[0,52]．5.答案：D解析：解：要使函数有意义，则4+3x −x 2>0，即x 2−3x −4<0解得−1<x <4， 设t =4+3x −x 2，则函数t 在(−1,32]上单调递增，在[32,4)上单调递减． 因为函数y =lnt ，在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是[32,4)． 故选：D求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．6.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：【分析】 本题考查二次函数的性质，属于基础题．根据不等式f(x)>0的解法，利用根与系数的关系求得a ，c ，从而可得f(−x)，利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：由根与系数的关系知1a =−2+1，−ca =−2， 得a =−1，c =−2，所以f(−x)=−x 2+x +2=−(x −12)2+94，图象开口向下，顶点坐标为(12,94)，故选B ．解析：【分析】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．根据函数的零点存在性定理判断即可．【解答】解：因为函数f(x)=log3x−1x+1，所以f(x)是增函数，f(1)=−12<0，，f(1)f(2)<0，则x0属于(1,2)．故选B．9.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．结合二次函数的图象与性质以及f(x)在区间[−1,2]上单调，可得a的取值范围．【解答】解：∵函数f(x)=2x2−ax−1的图象是开口朝上，且以直线x=a4为对称轴的抛物线，且f(x)在区间[−1,2]上单调，∴a4≤−1或a4≥2，解得：a∈(−∞,−4]∪[8,+∞)，故选D．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据定义建立方程关系是解决本题的关键．根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可．比较基础．【解答】解：∵f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,1]上的偶函数，∴f(−x)=f(x)且1+a+1=0，∴ax2−bx+2=ax2+bx+2，且a=−2，则得b=0，a=−2，∴a+2b=−2．故选：C．11.答案：C解析：【分析】本题考查复合函数的单调性，属于基础题．根据题意得出函数f(x)=x−2−x在R上单调递增是解题的关键．【解答】解：由题意，∵函数y=x和函数y=−2−x在R上单调递增，根据复合函数单调性的性质可知，函数函数f(x)=x−2−x在R上单调递增，∴f(m2)<f(m)⇔m2<m⇔m(m−1)<0，解得0<m<1．故选C．12.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的单调性，根据已知条件可以得到函数f(x)在区间(0,+∞)上为减函数，故根据函数性质逐项判断即可．【解答】解：A中函数在(0,+∞)上为减函数，符合，B中函数在(0,1)上为减函数，(1,+∞)上为增函数，不符合，C中函数在(0,+∞)上为增函数，不符合，D中函数在(0,+∞)上为增函数，不符合，故选A．13.答案：−1解析：【分析】本题考查对数函数及其性质．将点(2,1)代入解a ，再求f (12)即可． 【解答】解：因为log a 2=1， 所以a =2，所以f (12)=log212=−1． 故答案为−1．14.答案：四解析： 【分析】本题考查三角函数在象限内的符号，属于基础题． 【解答】解：角θ满足sinθtanθ>0，即同号，所以角θ的终边在一，四象限， cosθ⋅tanθ<0，即异号，所以角θ的终边在三，四象限，综上得角θ的终边在四象限． 故答案为四．15.答案：(23,1)解析： 【分析】利用函数为奇函数，f(1−x)+f(1−2x)<0等价于f(1−x)<f(−1+2x)，根据f(x)在(−1,1)上是增函数，可得不等式组，由此即可求得结论．本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查学生的计算能力，属于中档题． 【解答】解：∵f(x)是奇函数，∴−f(x)=f(−x)，∴f(1−x)+f(1−2x)<0等价于f(1−x)<f(−1+2x)， ∵f(x)在(−1,1)上是增函数， ∴{−1<1−x <1−1<1−2x <11−x <−1+2x ， ∴23<x <1，∴不等式f(1−x)+f(1−2x)<0的解集为(23,1)， 故答案为(23,1).16.答案：(0,1]解析：解：当x>0时，由f(x)=lnx=0，得x=1．∵函数f(x)有两个不同的零点，∴当x≤0时，函数f(x)=2x−a还有一个零点，令f(x)=0得a=2x，∵0<2x≤20=1，∴0<a≤1，∴实数a的取值范围是0<a≤1．故答案为：(0,1]．由f(x)=lnx=0，得x=1.由题意得，当x≤0时，函数f(x)=2x−a还有一个零点，运用指数函数的单调性，即可求出a的取值范围．本题考查指数函数的单调性和运用，考查对数的性质及应用，函数的零点问题，属于基础题．17.答案：解：由题意可得x=3t，y=4t，得r=√(3t)2+(4t)2=5|t|．当t>0时，r=5t.因此sinθ=−45,cosθ=35,tanθ=−43；当t<0时，r=−5t.因此sinθ=45,cosθ=−35,tanθ=−43．解析：由题意可得x=3t，y=4t，得r=√(3t)2+(4t)2=5|t|，再利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得sinθ，cosθ，tanθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．18.答案：解：(1)∵B={x|x>2}，∴∁R B={x|x≤2}，∵集合A={x|−3≤x≤3}，∴(∁R B)∩A={x|−3≤x≤2}，(2)∵集合M={x|x≤a+6}，且A⊆M，∴a+6≥3，解得a≥−3，∴实数a的取值范围是[−3,+∞)．解析：(1)由题意和补集的运算求出∁R B，由交集的运算求出(∁R B)∩A；(2)由题意和子集的定义列出不等式，求出实数a的取值范围．本题考查交、并、补集的混合运算，以及子集的定义，属于基础题．19.答案：解：(1)由f(0)=2m−1=0，得m=12．(2)因为函数f(x)有两个零点，所以方程f(x)=0有两个不相等的实数根，所以2(m+1)≠0，Δ=16m2−4×2(m+1)(2m−1)>0．解得m ≠−1且m <1．故m 的取值范围为{m|m <1且m ≠1}．(3)当f (x )有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，有{2(m +1)>0,f (1)<0或{2(m +1)<0,f (1)>0, 解得−1<m <−18．故m 的取值范围为{m |−1<m <−18}．解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系．由条件利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得m 的范围．20.答案：解：设f(x)=ax +b ，a 、b ∈R ，则f[f(x)]=f[ax +b]=a(ax +b)+b即a 2x +ab +b =9x +4，∴{a 2=9ab +b =4； 解得{a =3b =1，或{a =−3b =−2； ∴f(x)=3x +1或f(x)=−3x −2．解析：根据题意，设f(x)=ax +b ，代入f[f(x)]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a 、b 的值即可．本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是基础题．21.答案：(1)证明：设0<x 1<x 2，则0<x 1x 2<1，由题意f(x 1)−f(x 2)=f(x 1x 2⋅x 2)−f(x 2)=f(x 1x 2)+f(x 2)−f(x 2)=f(x1x 2)>0， 则f(x 1)>f(x 2)，∴y =f(x)是(x >0)上的减函数；(2)由函数的定义域知：{x −3>01x>0，解得x >3；又∵f(12)=1，∴f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=1+1=2，由f(x −3)>f(1x )−2.得f(x −3)+2>f(1x )，即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即f(x−34)>f(1x)， 由(2)得x−34<1x ， 解得−1<x <4，综上知3<x <4为所求．解析：(1)根据函数单调性的定义即可证明y =f(x)是(x >0)上的减函数；(2)根据抽象函数的关系将不等式进行转化，结合函数的单调性即可解不等式f(x −3)>f(1x )−2． 本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性的定义以及根据函数单调性的关系是解决本题的关键． 22.答案：解：(1)由题意，定义域为R 的函数f(x)=−2x +b 2x+1+a 是奇函数．得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，∴b =1，a =2，那么f(x)=1−2x 2x+1+2， 由f(−x)=1−12x21−x +2=2x −12x22x +2=2x −12+2x+1=−f(x)，故得b =1，a =2；(2)由(1)可得f(x)=1−2x 2x+1+2=1−2x 2(2x +1)=−(2x +1)+22(2x +1)=−12+12x +1， 设x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=12x 2+1−12x 1+1=2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，∵x 1<x 2，∴2x 1−2x 2<0则f(x 2)−f(x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1)；∴函数f(x)在R 上是减函数；(3)由f(cos 2θ+λsinθ+2)+16<0，即f(cos 2θ+λsinθ+2)<−16，∵f(1)=−16，f(x)在R 上是减函数； ∴cos 2θ+λsinθ+2>1，θ∈[0,π2]，即2−sin 2θ+λsinθ>0，θ∈[0,π2]恒成立，设sinθ=t ，(0≤t ≤1)，∴2−t 2+λt >0，当t =0时，2>0恒成立，当0<t≤1时，转化为λ≥t−2t，∵函数y=t−2t在(0,1]递增，∴λ≥1−21，即λ≥−1；故得实数λ的取值范围[−1,+∞)．解析：本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．(1)根据f(0)=0，f(−1)=−f(1)即可求解a，b的值；(2)分离常数，利用定义即可证明(3)利用奇函数和减函数；脱去“f”，即可求解；23.答案：(1)解：已知x>3，则：x−3>0，故：y=x+4x−3=x−3+4x−3+3≥2√(x−3)4(x−3)+3=7，当且仅当：x−3=4x−3，解得：x=5，即：当x=5时，y的最小值为7;(2)解：已知x>0，y>0，x2+y3=2，则：x2+y3≥2√xy6，解得：xy≤6，当且仅当x2=y3=1，即x=2，y=3时，xy的最大值为6．解析：(1)本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果;(2)本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．。
【40套试卷合集】山东省青岛第二中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}1,0,1M =-，集合{}0,1,2N =，则M N 等于( )A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．下列图象中表示函数图象的是( )ABCD3．若函数1(),10,4()4,01,xx x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩则4(log 3)f ＝( )A ．13B ．3C ．14D ．44．已知函数3()3f x x x=-(0)x ≠，则函数( ) A ．是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 B ．是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数 D ．是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数5．已知集合2{|2,}M y y x x ==-+∈R ，集合}{|2,02xN y y x ==≤≤,则()M N =R ð( )A ．[]1,2B ．(]2,4C ．[)1,2D ．[)2,46．已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20.3b -=，12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>7．函数31()()2xf x x =-的零点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个8．若函数2()lg 21f x x a x =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数a 的取值范围是( )A ．010a <<B ．110a <<C ．01a <<D ．01110a a <<<<或9．下列四个命题：(1)函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3)函数f x ()在(0,)+∞上是增函数，在(,0)-∞上也是增函数，所以函数)(x f 在定义域上是增函数；(4)若x ∈R 且0x ≠，则222log 2log x x =．其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数22()(2)()f x x x x =-⊗-，x ∈R ，若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．3(,2](1,)2-∞-- B ．3(,2](1,)4-∞--- C ．11(1,)(,)44-+∞ D ．31(1,)[,)44--+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．m n ∈R ，，集合,1m P n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{},0Q n =，若P Q =，则m n +的值等于_______．12．函数y =___________．13．函数212log (6)y x x =--的单调递增区间是__________．14．计算21363212)(6)3334-++＝_______．15．已知函数1()log (2)()n f n n n +=+∈*Ν，定义：使(1)(2)()f f f k ⋅⋅⋅为整数的数k ()k ∈*N 叫作企盼数，则在区间[]1,10内这样的企盼数共有_________个．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)设{}{}22320,20A x x x B x x ax =-+==-+=，B A ⊆． (1)写出集合A 的所有子集； (2)若B 非空，求a 的值．17．(本小题满分12分)已知函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数，求函数2()23f x x ax =-+在12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．18．(本小题满分12分)已知函数()lg(12)f x x =+，()()()F x f x f x =--． (1)求函数()F x 的定义域； (2)当102x ≤<时，总有()F x m ≥成立，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数1()231xf x a =-+(a ∈R )． (1)若函数)(x f 为奇函数，求a 的值； (2)判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明．20．(本小题满分13分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)． (1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？21．(本小题满分14分)已知函数()f x 的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ①12x x 、、12x x -是定义域中的数时，有121221()()1()()()f x f x f x x f x f x +-=-；②()1(0,f a a =->a 是定义域中的一个数)； ③当02x a <<时，()0f x <．(1)判断12()f x x -与21()f x x -之间的关系，并推断函数()f x 的奇偶性； (2)判断函数()f x 在(0,2)a 上的单调性，并证明； (3)当函数()f x 的定义域为(4,0)(0,4)a a -时，①求(2)f a 的值；②求不等式(4)0f x -<的解集．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合{|20142015}A x x =≤≤，{|}B x x a =<，若A B ≠⊂,则实数a 的取值范围是（ ）A.2014a >B.2015a >C. 2014a ≥D.2015a ≥ 2.函数1()f x x x=-的图象关于 （ ） A.坐标原点对称 B.x 轴对称 C. y 轴对称 D.直线y x =对称3.若0.52a =，log 3b π=，2log 0.3c =，则 （ ）A.b c a >>B. b a c >>C. c a b >>D. a b c >> 4.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．2)(|,|)(x x g x x f == B ．22)()(,)(x x g x x f ==C ．1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D ．1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5.定义在R 上的函数⎩⎨⎧>---≤-=)0)(2()1()0)(4(log )(2x x f x f x x x f 则)3(f 的值为 （ ）A.1-B.2-C.1D.26．若2lg(2)lg lg (,)x y x y x y R -=+∈，则yx的值为 （ ） A.4 B.1或14 C. 1或4 D.147.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则)1(-f 等于 （ ）A ．2-B ．0C ．1D ．28.函数212()log (12)f x x x =+-的值域为是 （ ）A.[1,0)-B. [1,)-+∞C. (0,1)D. [1,)+∞ 9.函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是 （ ） A.(0,1) B. (1,2) C.(2,)e D. (3,4)10.函数1()2y = （ ）A. 1[1,]2-B. (,1]-∞-C. [2,)+∞D. 1[,2]211.已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3()0()(x a x a x a x f x 满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的范围是 （ ） A.1(0,]4 B.(0,1) C.1[,1)4D.(0,3)12.若函数52(20)()log (02)x x f x g x x x ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩（）（是奇函数，当02x ≤<时，()g x 的最大值为（ ） A.14 B. 34- C. 34 D. 14- 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．函数43)1ln(2+--+=x x x y 的定义域为__________．14.若()f x 是幂函数，且满足3)2()4(=f f ，则=)21(f __________. 15.如果xxx f -=1)1(，则当0≠x 且1≠x 时，=)(x f __________ 16.函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数.例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数.下列命题： ①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠；③若B A f →:为单函数，则对于任意B b ∈,A 中至多有一个元素与之对应； ④函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是单函数. 其中的正确的是______.(写出所有正确的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本题满分10分）计算：（1）23202151********--+--.)(.)( （2）323396415932455---+-)(log log log18.（本题满分12分）（1）当3=a 时，求B A ，)(B C A U ; （2）若φ=B A ，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分） 已知)()(a x ax xx f ≠-=． （1）若2-=a ，试证)(x f 在)2,(-∞内单调递增；（2）若0>a 且)(x f 在),1(+∞内单调递减，求a 的取值范围．20.（本题满分12分）设)3(log )1(log )(x x x f a a -++=（0>a 且1≠a ），且2)1(=f .（1）求a 的值及)(x f 的定义域． （2）求)(x f 在区间]23,0[上的最大值．21.（本题满分12分）集合A 是由具备下列性质的函数)(x f 组成的： ①函数)(x f 的定义域是),0[+∞； ②函数)(x f 的值域是)4,2[-；③函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，试分别探究下列两小题： （1）判断函数)0(2)(1≥-=x x x f 及)0()21(64)(2≥⋅-=x x f x 是否属于集合A ？并简要说明理由；（2）对于(1)中你认为属于集合A 的函数)(x f ，不等式)1(2)2()(+<++x f x f x f 是否对于任意的0≥x 恒成立？请说明理由．22.（本题满分12分）定义：已知函数)(x f 在)](,[n m m n <上的最小值为t ,若m t ≤恒成立，则称函数)(x f 在)](,[n m m n <上具有“DK ”性质.（1）判断函数222+-=x x x f )(在],[21上是否具有“DK ”性质，说明理由. （2）若22+-=ax x x f )(在],[1+a a 上具有“DK ”性质，求a 的取值范围.一、选择题 BADABD ABBDAC 二、填空题13．(-1,1) 14.31 15.11-x 16.(2)(3) 三、解答题17、（1）1/2 (2)-21 18.（本题满分12分）17.(1)A ∩B={x|-1≤x ≤1或4≤x ≤5}, A ∪(ðU B)={x|-1≤x ≤5}.(2)当a ＜0时，A=Ø，显然A ∩B=Ø,合乎题意. 当a ≥0时，A ≠Ø，A={x|2-a ≤x ≤2+a}, B={x|x 2-5x+4≥0}={x|x ≤1或x ≥4}. 由A ∩B=Ø，得2a 12a 4-⎧⎨+⎩＞＜，解得0≤a ＜1. 故实数a 的取值范围是(-∞,1). 19．（本题满分12分）(1)证明 任取x 1<x 2<－2， 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a. ∵a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]． 20.（本题满分12分）（1）2=a ,)(x f 的定义域为（-1,3）（2）)32(log )(22++-=x x x f ，1=x 取最大值2．22.（本题满分12分） (1)∵f(x)=x 2-2x+2,x ∈［1,2］, ∴f(x)min =1≤1,∴函数f(x)在［1,2］上具有“D ”性质. (2)f(x)=x 2-ax+2,x ∈［a,a+1］， 其对称轴为x= a 2. ①当a 2≤a ，即a ≥0时，函数f(x)min =f(a)=a 2-a 2+2=2. 若函数f(x)具有“D ”性质，则有2≤a 总成立，即a ≥2.②当a<a 2<a+1，即-2<a<0时，f(x)min =f(a2)=-2a 4+2. 若函数f(x)具有“D ”性质，则有- 2a 4+2≤a 总成立，解得a ∈Ø.③当a2≥a+1,即a ≤-2时，函数f(x)的最小值为f(a+1)=a+3. 若函数f(x)具有“D ”性质，则有a+3≤a,解得a ∈Ø.综上所述，若f(x)在［a,a+1］上具有“D ”性质，则a 的取值范围为［2,+∞).2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案衡阳市八中2011年上期结业考试试卷考生注意：本卷共21道大题，满分100分，考试时间120分钟．一、选择题(每小题3分，共30分，请将答案涂在答题卡的区域内)．1．设全集{}5,4,3,2,1=U ，{}5,3,1=A ，{}5,2=B ，则)(B C A u ⋃为( ) A ．{}2B ．{}3,1C ．{}3D ．{}5,4,3,1 2．计算21log 32的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．15- D ．153．已知集合2{1,}M t t x x R ==-∈，2{log 0}N t t =<，则M N ＝( ) A ．{11}t t -<<B ．{01}t t <<C ．{1}t t >D ．{1}t t >- 4．函数y =( ) A ．(1,)-+? B ．(,1)-?C ．(1,1)-D ．(1,1]- 5．直线x a =()a R ∈和函数21y x =+的图象的交点个数( )A ．至多一个B ．至少一个C ．有且仅有一个D ．有一个或多个6．下列函数中，值域为（0，+∞）的是( )A ．2x y =B ．12-=x yC ．12+=x yD ．x y 12=7．设2,1()(2),1x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩，则(1)f -＝( )A ．2B ．12C ．2-D ．12- 8．设125211(),2,log 55a b c ===，则( ) A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c << 9．已知集合2{320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是( )A ．98a ≥ B ．98a ≥或0a = C ．98a <或0a = D ．98a < 10．用{}min ,a b 表示,a b 两个数中的较小值．设1()min{21,}(0)f x x x x=->，则()f x 的最大值为( )A ．1-B ．1C ．0D ．不存在 二、填空题(每小题3分，共18分)11．log (1) (01)a y x a a =->?且过定点___________．12．1()()f x g x x ==的交点为_________．132log 5＝______．14．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是__________．15．若函数121)(++=x a x f 是奇函数，则实数a 的值为________． 16．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3)223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4)1y x =+和y =其中正确命题的个数是_________．三、解答题17．(本题满分8分) 已知32121=+-aa ，求下列各式的值： (1)1-+a a ；(2)22-+a a ；18．(本题满分10分)定义在实数R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，()2483f x x x =-+-． (1)求()f x 在R 上的表达式；(2)求()y f x =的最大值，并写出()f x 在R 上的单调区间(不必证明)．19．(本题满分10分)求函数1()(3f x =20．(本题满分12分)已知定义在R 上恒不为0的函数y ＝f (x )，当x ＞0时，满足f (x )＞1，且对于任意的实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )f (y )．(1)求f (0)的值；(2)证明)(1)(x f x f -=-； (3)证明函数y ＝f (x )是R 上的增函数21．(本题满分12分)医学上为研究规定某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天)？(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(精确到天)(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题（每小题3分，共36分。