数学竞赛试卷

⼀、计算题（每⼀题 5 分，满分 20 分）

1.计算的体积.

2.求级数的收敛区间.

3.设，求的值.

⼀、（本题满分10 分）证明曲线

上的任⼀点的法线到原点的距离为常数，并求该常数.

三、（本题满分10 分）将展开成的幂级数，并求

.

四、（本题满分15 分）设在上连续, .

证明：存在，使得.

五、（本题满分15 分）证明：若函数：(1)在区间上有⼀阶导数；

(2) ，则在区间内⼀少存在⼀点，使得

.

六、（本题满分15 分）设变换把⼀程化为

，求.