一类含绝对值函数值域的求法
求函数值域的方法
函数值域求法基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。
3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R} 4、指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R函数值域求法观察法对于一些比较简单的函数，其值域可结合不等式的性质、图象通过观察得到。
如利用|x|≥0，2x ≥0，x ≥0等，直接得出它的值域．例1、 求下列函数的值域⑴ y ＝1x ． ⑵ y ＝25x +． 解：⑴ 由x ∈R ，且x ≠0，易知y ∈R 且x ≠0．所以函数的值域为{ y|y ∈R 且y ≠0}．⑵ ∵ x2≥0，∴25x +≥5．∴ 函数的值域为{ y| y ≥5}．例2、求函数x3y -=的值域。
解：∵x≥0 ∴- x ≤0 3—x ≤3。
故函数的值域是：（ —∞，3 ]例3、求函数[]2,1,211∈-=x xy 的值域。
解：由21≤≤x 得1213-≤-≤-x ，312111-≤-≤-x ，故函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,1.例4、求函数111y x =++的值域。
分析：首先由1x +≥0，得1x ++1≥1，然后在求其倒数即得答案。
解：1x +≥0∴1x ++1≥1，∴０＜111x ++≤１，∴函数的值域为（０，１]．例5、求242-+-=x y 的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 例6、求函数y =211x +的值域 解：Θ 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域 例1、求下列函数的值域：⑴ y ＝－2x －4x ＋1，x ∈[－3，3]；⑵y ＝4x ＋41x －1．解：⑴配方，得y ＝－(x ＋2)2＋5，又x ∈[－3，3]，结合图象，知 函数的值域是{ y │－20≤y ＜5}⑵ ∵y ＝4x ＋41x －1＝2221x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1≥1， 当且仅当221x x -＝0，即x ＝±1时取等号，∴ 函数y ＝x4＋41x －1的值域为[1，＋∞)．例2、求函数y=2x —2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
函数求值域的方法
不同函数类型值域求解方法归纳题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1． 求6a )(2+-=x x x f 的值域解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(2222-≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f 所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-，4a 62例2． 求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：函数图像法：423216)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f画出函数的图像可知，6)(2+-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡8423，。
例3． 求6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a-≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f , 此时值域为[]a 7a 7-+，.② 当0a2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a 74a 62，. ③ 当2a0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知，a 7)1(max +=-=f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,所以此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a 74a 62，④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知，a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f所以此时的值域为[]a 7a 7+-，题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法例4． 求()62log )(22+-=x x x f 的值域解答：复合形式用换元：令622+-=x x t，则由例1可知，[)+∞∈,5t根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2例5． 求624)(1++=+x x x f 的值域解答：因为()224x x=，所以，采用换元法，令xt 2=，则()+∞∈,0t则原函数变为622++t t，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6题型三：分式函数的值域分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无限制为R ）; 例6． 求函数132)(++=x x x f 的值域 解法一：分离变量法。
求函数值域的几种常用方法
求函数值域的几种常用方法函数值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求解函数值域通常有几种常用的方法，下面将对这些方法进行详细的介绍。
1.代入法：代入法是求解函数值域最直接的方法。
通过将定义域内的值代入函数表达式，得到对应的函数值，然后将这些函数值集合起来形成函数的值域。
例如对于函数f(x)=x²+1，我们可以将定义域内的各个数值代入该函数，计算函数值，然后再将函数值组成的集合确定为函数的值域。
2.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来求解函数的值域。
对于一些简单的函数，可以直接绘制函数的图像，然后观察图像来确定函数的值域。
通过观察函数的图像，我们可以看出函数的上界、下界以及其他特征，从而确定函数的值域。
需要注意的是，通过图像法求解函数值域只能获得大致的范围，如果需要准确求解，请使用其他方法。
3.分析法：分析法是通过对函数表达式进行分析，找出函数的特点来求解函数的值域。
例如对于多项式函数，可以通过对其导数进行分析，找出导数的零点，以及函数在这些零点附近的变化情况，进而确定函数的最值和值域。
另外，还可以通过计算函数的极限来确定函数的值域，例如对于有界闭区间上的连续函数，它的值域就是该函数在这个区间内取得的最大值和最小值之间的闭区间。
4.反函数法：反函数法是通过求解函数的反函数来求解函数的值域。
如果函数存在反函数，并且已知反函数的定义域，则函数的值域就等于反函数的定义域。
可以通过求解函数的反函数来确定函数值域的范围。
5.值域的性质法：对于一些特殊的函数，可以利用其性质来求解函数的值域。
例如三角函数和指数函数等，我们可以利用其周期性、奇偶性和单调性等特点来确定函数的值域。
通过分析这些函数的性质，结合函数的定义域，可以直接得出函数的值域。
需要注意的是，对于复杂的函数，可能需要结合多种方法来求解函数的值域。
有时候还需要利用一些数学工具和理论来辅助求解，如极值定理、介值定理等。
最终获得函数的值域需要结合具体情况，并根据函数的定义域和性质来确定。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
求函数值域的几种方法
求函数值域的几种方法函数是中学数学中最重要概念之一, 是中心数学的核心内容, 它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系, 而且作为一种重要的思想方法, 在很多内容当中都能够看到它的作用, 这就决定了它在高考当中的重要地位. 函数的值域就是函数值的取值集合, 它虽然由函数的定义域和对应法则完全确定, 但是确定值域仍是较为困难的. 函数的值域经常穿插于高考的大小试题中, 它所涉及的知识面宽, 用到的数学思想方法多, 从而可供选择的方法也丰富多彩. 研究函数值域, 必须仔细观察函数表达式的结构特征, 采取相应的解法, 灵活机动地变通. 现归纳以下十二种方法: 1、观察法通过对函数定义域、性质的观察, 结合函数的解析式,求得函数的值域. 例1 求下列函数的值域：2(1)y x =; (2)y =(3)y x =; 1(4)y x=.第（1）（3）题，虽然定义域都是R ，但第（1）题是自变量取平方，第（3）题是取绝对值，因此他们的值域都是[0, ∞),观察第（2）题易知定义域为[0, ∞)，值域为[0, ∞)，而第（4）题定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞，从而该函数的值域为(,0)(0,)-∞⋃+∞。
求下列函数（5）2(21)y x =-；（6）y =（7）35y x =-；（8）123y x =-的值域。
此4小题是上4个小题的演变，观察易知其括号内、根号下、绝对值里和分式的分母都用一次式取代了原来的x,但都没有影响其值域。
第（5）（6）（7）题的值域依然是[0,)+∞，第（4）题的值域是(,0)(0,)-∞⋃+∞。
2不等式性质法函数由基本初等函数简单变形而来，可以通过基本函数的值域及不等式的性质逐步求出函数的值域。
例2 求下列函数的值域：（1）22(21)5y x =-+；（2）6y =；（3）352y x =-+；（4）3223y x =--解：（1）中因2(21)0x -≥，由不等式的性质，得22(21)0x -≥，从而22(21)55x -+≥，即得到所求函数的值域为[5,)+∞。
一道值域的求法
一道值域的求法【题目】求函数y x =+学生1给出的方法：方法一：因为刚刚学习了不等式，所以有些同学想到了柯西不等式 2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++从而有22222((11)[](11)42x x x =⋅≤++=⨯所以|8x ≤所以x -≤+≤故函数的值域为[-. （表扬了这个学生，但是没有给他指出错误所在） 学生2给出向量方法：因为推导柯西不等式的时候用到向量方法，所以想到构造向量((1,1)m x n == ，根据||||||m n m n ⋅≤ 即可得出|8x +≤（下同方法一）这里有些学生发现这种方法其实就是第一种方法。
学生3 看到24x -联想到三角代换，令cos x α=2|cos |α==，于是函数变为2cos 2|sin |y αα=+，这里还带着绝对值，还是没法求。
这时有学生提出把α范围给缩小一下，有学生想到缩小到[0,]π（为什么呢？） 此时，2cos 2sin ,[0,]y αααπ=+∈再用辅助角公式),[0,]4y πααπ=+∈再根据三角函数知识得到函数的值域为[-。
此时有学生发现方法一和方法二的答案不对，范围扩大了，这是为什么呢？这个时候就引导学生注意利用不等式求值域与最值的时候一个非常关键的步骤就是验证等号成立的条件。
那么学生就问，难道不能用柯西不等式吗？我就让学生自己思考。
第二天，有学生提出了问题所在，等号成立条件不能满足((1,1)m x n == ，不等式||||||m n m n ⋅≤ 可以得到||||||||m n m n m n -≤⋅≤ ，那么右边等号成立的条件是两个向量方向相同，而左边等号成立的条件是两个向量方向相反。
向量(m x = 的坐标满足||2m = ，但是纵坐标大于或等于0，于是向量m 在一个半径为2，圆心在原点的上半圆，而向量n 是一个固定的向量，由图形可以看出，当向量 m 在A 点的时候，两个向量共线，取得最大值当向量 m 在B 点的时候，两个向量的夹角最大，从而数量积最小，取得最小值2-.从这道题目学习了那些思想方法？。
函数的值域(最值)的常见求法带解析
【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。
求函数值域的四种方法
求函数值域的四种方法一、观察法。
1.1 这种方法就像是我们用眼睛去打量一个人，直观又简单。
对于一些简单的函数，我们可以直接通过观察函数的性质来确定值域。
比如说一次函数y = 2x + 1，x 可以取任意实数，那随着x的变化，y也会相应地在实数范围内变化，所以这个一次函数的值域就是全体实数。
这就好比我们看一个一目了然的事情，不用费太多周折。
1.2 再看函数y = x²，因为任何实数的平方都大于等于0，所以这个函数的值域就是[0，+∞)。
这就像我们知道太阳总是从东边升起一样确定，一眼就能看出来这个函数值的范围。
二、配方法。
2.1 配方法就像是给函数做个“美容整形”。
拿二次函数y = x² 2x + 3来说，我们可以把它配方成y = (x 1)²+ 2。
因为(x 1)²大于等于0，所以y就大于等于2。
这就好比我们把一个有点杂乱的东西整理得井井有条，然后就能清楚地看到它的价值范围了。
2.2 还有函数y = -x²+ 4x 1，配方后得到y = -(x 2)²+ 3。
由于-(x 2)²小于等于0，所以这个函数的值域就是(-∞，3]。
这就像我们把一个原本模糊不清的东西，通过自己的巧手整理，让它的界限清晰起来。
2.3 配方法就像是一个神奇的魔法，能把复杂的二次函数变得简单易懂，让我们轻松地找出值域这个“宝藏”。
三、换元法。
3.1 换元法有点像“偷梁换柱”。
例如函数y = 2x + √(x 1)，我们可以设t = √(x 1)（t≥0），那么x = t²+ 1。
这样原函数就变成了y = 2(t²+ 1)+ t = 2t²+ t + 2。
这就把原来带根号的复杂函数转化成了一个二次函数，然后我们就可以用配方法或者观察法来求值域了。
这就像我们在一个迷宫里，找到了一条新的通道，一下子豁然开朗。
3.2 再比如函数y = x + √(1 x²)，我们设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），那么原函数就变成了y = sinθ+ cosθ。
含有绝对值函数的取值范围问题
含有绝对值函数的取值范围问题在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一例题：已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m>0.(1)当m＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的值域为[0，4]，求实数m的取值范围．变式1已知函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的值域为[0，4]，求实数a的取值范围．变式2设函数f(x)＝x|x－a|，若对于任意的x1，x2∈[2 ，＋∞)，x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）＞0恒成立，求实数a的取值范围．x1－x2串讲1若函数f(x)＝x 2|x －a|在区间[0，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．串讲2若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________________．(2018·南京二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax －1， x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________________．已知函数f (x )＝e x |x 2－a |(a ≥0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调减区间；(2)若方程f (x )＝m 恰好有一正根和一负根，求实数m 的最大值．答案：(1)f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1]；(2)4e2.解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－1），|x |＞1，e x （1－x 2），|x |≤1.当|x |＞1时，f ′(x )＝e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋ 2.所以f (x )的单调减区间为[－1－2，－1)，3分 当|x |≤1，f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得x ≤－1－2或x ≥－1＋2， 所以f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，4分综上：f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1].6分 (2)当a ＝0时，f (x )＝e x ·x 2，则f ′(x )＝e x ·x 2＋2x ·e x ＝e x x (x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，所以f (x )有极大值f (－2)＝4e 2，极小值f (0)＝0，当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－a ），|x |＞a ，e x （a －x 2），|x |≤a .同(1)讨论得f (x )在(－∞，－a ＋1－1)上单调递增，在(－a ＋1－1，－a )上单调递减， 在(－a ，a ＋1－1)上单调递增，在(a ＋1－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．且函数y ＝f (x )有两个极大值点，9分f (－a ＋1－1)＝2e －a ＋1－1(a ＋1＋1)＝2e －a ＋1（a ＋1＋1）e.f (a ＋1－1)＝2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝2e a ＋1（a ＋1－1）e.11分且当x ＝a ＋1时，f (a ＋1)＝e a ＋1(a 2＋a ＋1)＞ea ＋1(a ＋1－1)＞2ea ＋1（a ＋1－1）e.所以若方程f (x )＝m 恰好有正根，则m ＞f (a ＋1－1)(否则至少有两个正根)． 又方程f (x )＝m 恰好有一负根，则m ＝f (－a ＋1－1).13分令g (x )＝e －x (x ＋1)，x ≥1，则g ′(x )＝－x e －x ＜0，所以g (x )＝e －x (x ＋1)在[1，＋∞)上单调递减，即g (x )≤g (1)＝2e.等号当且仅当x ＝1时取到.14分所以f (－a ＋1－1)≤⎝⎛⎭⎫2e 2，等号当且仅当a ＝0时取到．且此时f (a ＋1－1)＝ 2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝0，即f (－a ＋1－1)＞f (a ＋1－1)，所以要使方程f (x )＝m 恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为4e2.16分例题1答案：(1)[0，4]；(2)[2，2＋22]．解析：(1)当m ＝2时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，所以f(x)的值域为[0，4]．(2)由函数f(x)＝x|x －4|图象可知，当x>4时，令x|x －4|＝4，即x 2－4x －4＝0，解得x ＝2＋22，若函数f(x)的值域为[0，4]，所以实数m 的取值范围是[2，2＋22]．变式联想变式1答案：a ＝0或a ＝4.解析：(1)当a<0时，f(x)＝x(x －a)，f(2)＝2(2－a)＞4，显然不满足条件；(2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，在[0，2]上的值域为[0，4]，满足条件；(3)当a>0时，①当0<a≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 24－a 22＝a 24≤1，f(x)＝|x 2－ax|，f(0)＝0，f(2)＝|4－2a|＝4－2a ＜4，不满足条件；②当2<a<4时，f(x)＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24≤a24＜4，不满足条件；③当a ＝4时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，满足条件；④当a>4时，f(x)＝－x 2＋ax ，f(2)＝－4＋2a>4，不满足条件． 综上所述，a ＝0或a ＝4. 变式2答案：(－∞，2]． 解析：作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x ＜a ，的图象，当a 变化时，易得a 的取值范围为(－∞，2]． 说明：变式1和2都是抓住形如y ＝x|x －a|函数的图象特征，抓住图象关键，从而解决问题．串讲激活串讲1答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)．解析：(1)当a≤0时，f(x)＝x 3－ax 2，显然在区间[0，2]上是增函数；(2)当a ＞0时，记g(x)＝x 3－ax 2，令g′(x)＝3x 2－2ax ＝0，解得x ＝0，x ＝2a 3，g(x)在(－∞，0)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞上单调递增，又g(0)＝g(a)＝0，所以f(x)＝|g(x)|在(－∞，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使f(x)在区间[0，2]上是增函数，只要2a3≥2，即a≥3.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．串讲2答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 解析：作出y ＝|x －2a|和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a≤2－2a ，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.新题在线答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)．解析：因为f(0)＝－1，x →＋∞时，f(x)→＋∞，所以，函数f(x)过第一、三象限，①若a ＜0，显然成立；②若a≥0，只需x ＞0时，f(x)min ＜0即可，即存在x ＞0，使得f(x)＜0分离参数，得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＜a ，易求得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＝2，所以，此时a ＞2，综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
高一数学《函数的值域》的求法
高一数学《函数的值域》的求法函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点。
本文介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法：1.直接法：从自变量$x$的范围出发，推出$y$的取值范围；2.二次函数法：利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；3.反函数法：将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；4.判别式法：使用方程思想，依据二次方程有实根，求出$y$的取值范围；5.单调性法：利用函数的单调性求值域；6.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。
例如，对于函数$y=x^2-2x-3$，我们可以通过以下几种方法求其值域：1.直接法：当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=-3$；当$x=1$时，$y=-4$。
因此，所求值域为$\{0,-3,-4\}$。
2.二次函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4$，然后求出最值。
当$y=-3$时，$y_{\max}=12$；当$x=1$时，$y_{\min}=-4$。
因此，所求值域为$[-4,12]$。
3.反函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4\geq -4$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
4.判别式法：将函数转化为$y=-x^2+2x+3$，然后求出判别式的取值范围。
由于判别式为$4-4\times (-1)\times 3=16>0$，因此$y$的取值范围为$(-\infty,-4]\cup [1,+\infty)$。
5.单调性法：当$x1$时，函数单调递增。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
6.图象法：函数$y=x^2-2x-3$的图象是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为$(1,-4)$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
除了以上这些方法，我们还可以通过改变$x$的范围来求函数的值域。
例如，将$x\in R$改为$x\in [-3,2]$或$x\in [-3,+\infty)$等。
高中函数值域的12种求法
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
求函数值域的8种方法带例题
求函数值域的8种方法带例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——求函数值域的8种方法。
你们知道吗，学习数学的时候，我们经常会遇到一些让我们头疼的问题，比如求一个函数的值域。
别着急，我今天就来教你们8种简单易懂的方法，让你轻松搞定这个难题。
我们来看第一种方法：观察法。
这种方法很简单，就是直接观察函数在哪些区间内取值。
比如，我们来看一个例子：求函数f(x) = x^2在区间[-1, 2]内的值域。
我们可以看到，当x = 0时，f(x) = 0;当x = 1时，f(x) = 1;当x = 2时，f(x) = 4。
所以，这个函数在这个区间内的值域是[0, 4]。
接下来，我们来看第二种方法：图像法。
这种方法需要用到一些图形工具，比如Excel或者Python的matplotlib库。
我们可以通过绘制函数的图像来直观地看到函数在哪些区间内取值。
比如，我们还是以f(x) = x^2为例。
我们可以在Excel中输入x和f(x)的值，然后通过“插入”->“散点图”功能绘制出函数图像。
从图像中，我们可以看出函数在[-1, 0]和[2, +\infty)内都单调递增，所以这两个区间都是函数的值域。
而在[0, 2]内，函数是先单调递减再单调递增的，所以这个区间也是函数的值域。
因此，这个函数的值域是[0, 4]。
第三种方法：分段法。
这种方法适用于那些在某个区间内单调递增或单调递减的函数。
比如，我们还是以f(x) = x^2为例。
我们可以发现，当x在[-1, 0]和[2, +\infty)内时，函数都是单调递增的；而当x在[0, 2]内时，函数是先单调递减再单调递增的。
所以，我们可以将这个问题分成两个子问题：求f(x)在区间[-1, 0]和[2, +\infty)内的值域；以及求f(x)在区间[0, 2]内的值域。
通过分段法，我们可以分别求出这两个子问题的解，然后将它们合并起来得到原问题的解。
因此，这个函数的值域是[0, 4]。
高中数学：求函数值域的方法十三种
精品资料 欢迎下载高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性八、函数单调性法（☆）九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y =的值域。
，∴11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数x 1y =的值域。
【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时， 故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。
【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t（2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。
函数的值域的求法
函数的值域的求法首先，我们需要了解函数的定义域，即函数的输入值的取值范围。
只有定义域内的输入值才能得到输出值。
然后，我们可以根据函数的定义和特性来推导函数的值域。
以下是一些常见的函数类型和求值域的方法：1.一次函数：一次函数的通常形式为y = ax + b，其中a和b是常数。
由于一次函数是直线，函数的值域是整个实数集合R，除非a为0，则值域只有一个值b。
2.二次函数：二次函数的通常形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
我们可以根据二次函数的开口方向和顶点位置来求值域。
-如果a>0，则二次函数开口向上，顶点是最小值，值域是大于等于顶点纵坐标的所有实数。
-如果a<0，则二次函数开口向下，顶点是最大值，值域是小于等于顶点纵坐标的所有实数。
3.幂函数：幂函数的通常形式为y=x^n，其中n是一个实数。
幂函数的值域取决于幂函数的指数n的奇偶情况：-如果n是偶数，那么值域是大于等于0的所有实数。
-如果n是奇数，那么值域是包含负数的整个实数集合R。
4.指数函数：指数函数的通常形式为y=a^x，其中a是一个正常数且a≠1、值域是大于0的所有正实数。
5.对数函数：对数函数的通常形式为y = loga(x)，其中a是一个正常数且a ≠ 1、值域是整个实数集合R。
6.三角函数：三角函数包括正弦、余弦、正切等函数。
它们的值域取决于函数的周期和振幅，可以使用一些特性来确定取值范围。
以上只是一些常见函数类型的求值域方法，对于更复杂的函数，可能需要使用更高级的数学工具和方法来分析和求解。
特别是对于复合函数或者其他特殊类型的函数，求值域可能需要结合函数的性质和图像来综合确定。
总之，求函数的值域需要根据函数的定义和特性进行分析。
这个过程可能需要使用数学知识和工具，并且可能需要进行一些图像分析和推导。
通过这些方法，我们可以求得函数的值域。
十种求初等函数值域的方法
十种求初等函数值域的方法函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结.一 观察法观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数23+=x y , 显然其值域为),0()0,(+∞⋃-∞∈y .此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得.二 分离常数法此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如dcx b ax y ++=形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.例如对于函数231--=x x y , 利用恒等变形, 得到:)23(31312331)23(31--=---=x x x y ,容易观察得出此函数的值域为),(),(3131+∞⋃-∞∈y . 三 配方法对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域.例1 求函数342-+-=x x ey 的值域.解答: 此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得: 1)2(2+--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u e y =得到y 为增函数且0>y , 故函数342-+-=x xey 的值域为: ],0(e y ∈.四 判别式法此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数0),(=y x f 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题.例2 求函数2212+++=x x x y 的值域.解答: 先将此函数化成隐函数的形式得:012)12(2=-+-+y x y yx, (1)这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式0)12(4)12(2≥---=∆y y y ,解得: 2121≤≤-y .故原函数的值域为: ],[2121-∈y . 五 基本不等式法利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件.例3 求函数12++=x x y 的值域.解答: 211112≥++==+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例4 求函数1222+++=x x x y 的值域.解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)将上面等式的左边展开, 有:)()1(2c b x b x ++++,故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数1111)1)(1()1(+++++++==x x x x x y ;ⅰ)当1->x 时, 01>+x ,011>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 011>-+x , 此时有211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=++++=x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y . 六 换元法利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.例5 求函数x x y 21-+=的值域. 分析: 若设x t 21-=, 则)1(212t x -=(其中),0[+∞∈t ). 原函数变为1)1(21)1(2122+--=+-=t t t y .由于),0[+∞∈t , 故]1,(-∞∈y . 七 反函数法对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域.例 6 求函数11+-=x xe e y 的值域.解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题. 先证明11xx e e y -+=有反函数, 为此, 设21x x <且R x x ∈21,,0)1)(1(211112121221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e eee ee ee y y .所以y 为减函数, 存在反函数. 可以求得其反函数为:xx y -+-=111ln. 此函数的定义域为)1,1(-∈x , 故原函数的值域为)1,1(-∈y .其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了. 八 图像法对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.例 7 求函数13y x x =-+-的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数. 24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞.九 利用函数的单调性当函数f 在),(b a 上单调, 譬如f 在),(b a 上递增时, 自然有函数f 在),(b a 上的值域为))0(),0((-+b f a f (其中图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231)(lim )0(),(lim )0(x f b f x f a f bx ax -+→→=-=+,当+→a x 时,±∞→)(x f 也称其存在,记为)0(+a f ); 若f 在),(b a 上递减, 函数f 在),(b a 上的值域为))0(),0((+-a f b f . 在闭区间],[b a 上也有相应的结论.例 8 求函数x x y --+=863 的值域.分析: 此题可以看作v u y +=和63+=x u ,x v --=8的复合函数, 显然函数63+=x u 为单调递增函数, 易验证x v --=8亦是单调递增函数, 故函数x x y --+=863也是单调递增函数. 而此函数的定义域为]8,2[-.当2-=x 时, y 取得最小值10-.当8=x 时, y 取得最大值30. 故而原函数的值域为]30,10[-.十 利用导数求函数的值域若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在a ,b 点的极限值. 从而求得f 的值域.例 9 求函数x x x f 3)(3-=在)1,5(-内的值域.分析:显然f 在)3,5(-可导，且33)(2-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为1,1-==x x .,2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f .所以, 函数f 的值域为)140,2(-.。
一类含绝对值函数值域的求法
２
万方数据
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青海教育２００２・ｌ一２
一类含绝对值函数值域的求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 张洁
青海教育 QINGHAI EDUCATION 2002(1)
本文链接：/Periodical_qhjy200201054.aspx
解：可求得ｆ（ｘ）＝｛÷｝的值域为
ｆ（ｘ）∈（一ｃｏ，１）Ｕ（１，＋。ｏ），但因为ｆ（ｘ）可以取～１ 于是ｙ可以取１。因此ｙＥ［０．＋ｏｏ）
Ｉ可以取一切非负实数，而源自１只能取不小于１的实数。２．即使Ｉ ｆ（ｘ）ｌ，Ｉ ｇ（ｘ）Ｉ都能取一切非负实数， 『ｆ（ｘ）ｆ＋｜ｇ（ｘ）Ｊ也不一定能取一切非负实数。 如Ｉ ｘ＋２ Ｉ，『２ｘ一３ ｌ都能取一切非负实数，其和却 不能为零。因为要使其和为零。必须ｌ
ＺＸＬＫＪＸ
一类含绝对值
’
若一２≤ｘ＜Ｔ３，则ｙ＝ｘ＋２＋（３－２ｘ）＝一ｘ＋５ 由一２≤ｘ＜丁３，得ｉ７＜一ｘ＋５≤７
若ｘ＜一２，则Ｙ＝（一ｘ一２）＋３—２ｘ＝一３ｘ＋１ 由ｘ＜一２，得一３ｘ＋１＞７
ｅ冯
数值域白匀求法
口张
洁
因此ｙ∈［丁７，＋ｏｏ）Ｕ（Ｔ７，７］Ｕ（７，＋。ｏ）＝［７２
＋ｏｏ）
在高中数学＜函数＞一章中涉及到求下列函数 的值域：（１）ｙ＝Ｉ ｘ一２ ｌ；（２）Ｙ＝『ｘ ２＋１ Ｉ；（３）Ｙ＝
２ｘ一３ ｌ同时为零，这是不可能的。
ｘ＋２ １，
下面举例说明此类问题的一般解法。
例１．求函数Ｙ＝Ｉ—Ｘ２＋２ｘ一４ Ｉ的值域。 解：ｆ（ｘ）＝一ｘ２＋２ｘ一４＝一（ｘ一１）２—３≤三一３ 所以ｌ ｆ（ｘ）Ｉ≥３，因此Ｙ∈［３，＋ｏｏ） 例２．求函数ｙ＝Ｊ ｘ＋２
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ｘ＋２ １，
下面举例说明此类问题的一般解法。
例１．求函数Ｙ＝Ｉ—Ｘ２＋２ｘ一４ Ｉ的值域。 解：ｆ（ｘ）＝一ｘ２＋２ｘ一４＝一（ｘ一１）２—３≤三一３ 所以ｌ ｆ（ｘ）Ｉ≥３，因此Ｙ∈［３，＋ｏｏ） 例２．求函数ｙ＝Ｊ ｘ＋２
Ｉ＋ｌ
例５．求函数ｙ＝Ｉ鲁旧值域。 解：ｆ（ｘ）＝罢＝ｘ（ｘ≠±１）
解：可求得ｆ（ｘ）＝｛÷｝的值域为
ｆ（ｘ）∈（一ｃｏ，１）Ｕ（１，＋。ｏ），但因为ｆ（ｘ）可以取～１ 于是ｙ可以取１。因此ｙＥ［０．＋ｏｏ）
Ｉ可以取一切非负实数，而
１只能取不小于１的实数。
２．即使Ｉ ｆ（ｘ）ｌ，Ｉ ｇ（ｘ）Ｉ都能取一切非负实数， 『ｆ（ｘ）ｆ＋｜ｇ（ｘ）Ｊ也不一定能取一切非负实数。 如Ｉ ｘ＋２ Ｉ，『２ｘ一３ ｌ都能取一切非负实数，其和却 不能为零。因为要使其和为零。必须ｌ
不难解决。 演员，属排列问题，共有Ｐｉ种指导方法，最后依乘法原理，共有
ｒ、。ｒｐ２ｒ：
１
例３．六名歌唱演员分成四组，每组人数分别为１人，１人，
有多少种不同的配合方法？ 解：歌唱演员分组属均匀不编号分组，分组方法为
２人，２人，－ｆ５声乐教师分成两组，一组教师指导一组演员，问±｛薹善；：竺ｃ℃≯２＿１６２０种配合方法。
Ｘ一１
所以Ｉ ｆ（ｘ）Ｉ≠１。因此，ｙ∈［０，１）【Ｊ（１．４－ｏ。）
例６．求函数ｙ＝Ｉ普
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可求得ｆ（ｘ）＝
ｘ一１
的值域。
２ｘ一３
Ｉ的值域。
ｘ２一ｘ＋１
的值域为
解：若ｘ≥二｝，贝４
ｙ＝ｘ＋２＋２ｘ一３＝３ｘ一１
ｆ（ｘ）∈（一ＣＯ，一１］Ｕ［３，＋ｏｏ），若ｆ（Ｘ）≥３，贝４
ｆ（ｘ）ｆ≥３，若ｆ（Ｘ）≤一１，则Ｊ ｆ（ｘ）Ｊ≥１。因此，ｙ∈
４
２
万方数据
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青海教育２００２・ｌ一２
一类含绝对值函数值域的求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 张洁
青海教育 QINGHAI EDUCATION 2002(1)
本文链接：/Periodical_qhjy200201054.aspx
ＺＸＬＫＪＸ
一类含绝对值
’
若一２≤ｘ＜Ｔ３，则ｙ＝ｘ＋２＋（３－２ｘ）＝一ｘ＋５ 由一２≤ｘ＜丁３，得ｉ７＜一ｘ＋５≤７
若ｘ＜一２，则Ｙ＝（一ｘ一２）＋３—２ｘ＝一３ｘ＋１ 由ｘ＜一２，得一３ｘ＋１＞７
ｅ冯
数值域白匀求法
口张
洁
因此ｙ∈［丁７，＋ｏｏ）Ｕ（Ｔ７，７］Ｕ（７，＋。ｏ）＝［７２
＋ｏｏ）
在高中数学＜函数＞一章中涉及到求下列函数 的值域：（１）ｙ＝Ｉ ｘ一２ ｌ；（２）Ｙ＝『ｘ ２＋１ Ｉ；（３）Ｙ＝
ｘ２＋１ ｘ２—１
解：仿例２解法，可得
ｆ ｘ一３（当２≤ｘ≤３时），此时一１≤ｘ一３≤０； —ｘ＋１（当ｏ≤ｘ＜２时），此时一１＜一ｘ＋１≤１； 一Ｊ ７一‘１ —３ｘ＋１（当一ｌ≤ｘ＜ｏ时），此时１＜一３ｘ＋１≤４； Ｌ—ｘ＋３（当一２≤三ｘ＜一１时），此时４＜一ｘ＋３≤５ 因此ｙＥ［一１，５］
例４．求函数ｙ＝ｆ鲁旧值域。
例３．若Ｘ∈［～２，３］，求函数ｙ＝Ｉ
ｘ＋１ Ｉ的值域。
Ｘ一２
Ｉ＋Ｉ
ｘ
｜ｘ＋２｜＋『２ｘ＿３…４）ｙ－Ｉ并ｌ。许多学
生都不假思索地说是非负实数集。理由是：绝对值
是非负数，非负数的和也是非负数。可是只答对了 第一题，其余都错了，错误的原因在于忽视了： １．如果ｆ（ｘ）不能取一切实数，那么ｌ ｆ（ｘ）ｌ就不 一定能取一切非负实数。如ｘ２—１和ｘ２＋１都不能 取一切实数，ｌ
由ｘ≥丁３，得３Ｘ－１≥÷
［１，＋ｏｏ）
ｒ、ｌ，’ｌ，、４，、ｌ，、ｌ，、Ｚ，、２
去挑选，又有Ｐ；种，故总的分法数为÷菩丢；｝Ｐ；＝９０（种）±专；善；翌种，声乐教师分组属非均匀不编号分组，分组方法为
掌握了分组方法后，只要善于正确归类，许多分组问题便ＣｌＣｊ种。一组教师指导一组演员，相当于２组教师去指导４组