最新七年级上角平分线练习题及答案教学文案

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数学角平分线答案和解析

数学角平分线答案和解析

答案和解析1.【答案】A【解析】解:∵OD⊥AB,OE⊥BC,OD=OE,∴O在∠B的角平分线上,同理可证:O在∠A的角平分线上,O在∠C的角平分线上,即O是三角形ABC三角的角平分线的交点,故选A.根据角平分线的性质的判定得出O在∠A、∠B、∠C的角平分线上,即可得出答案.本题考查了角平分线的性质,注意:角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答.【解答】解:三角形中,到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.故选C.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是角平分线的性质,熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键.直接根据角平分线的性质进行解答即可.【解答】解:∵角平分线上的点到角两边的距离相等,∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上.故选C.4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质,以及三角形的面积公式,熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键.根据角平分线的性质,可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等,估计三角形的面积公式,即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比.【解答】解:∵AD是△ABC的角平分线,∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1,h2,∴h1=h2,∴△ABD与△ACD的面积之比=AB:AC=4:3,故选A.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.根据角平分线的性质求出DE=DF,根据三角形的面积公式列式计算即可.【解答】解:如图:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF,∴12×AB×DE+12AC×DF=S△ABC=28,即12×20DE+12×8DE=28,解得DE=2.故选C.6.【答案】D【解析】解:∵AC⊥BC,AE为∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴CE=DE,在Rt△ACE和Rt△ADE中,AE=AECE=DE,∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),∴AD=AC,∵AB=7cm,AC=3cm,∴BD=AB−AD=AB−AC=7−3=4cm.故选:D.根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=DE,再利用“HL”证明Rt△ACE和Rt△ADE全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=AC,然后利用BD=AB−AD代入数据进行计算即可得解.本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,是基础题,比较简单,熟记性质是解题的关键.过点P作PE⊥OB于点E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD,从而得解.【解答】解:如图,过点P作PE⊥OB于点E,∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA于D,∴PE=PD,∵PD=6,∴PE=6,即点P到OB的距离是6.故选A.8.【答案】B【解析】解:∵△ABC中,∠C=90°,∴AC⊥CD,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DE=CD,∵BC=9,BE=3,∴△BDE的周长是:BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12.故选B.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线的判定定理:在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.解题时,根据题意:P点到AB,AC的距离相等,且p点在BC边上,因此线段AP是△ABC的角平分线.【解答】解:∵P点到AB,AC的距离相等,且p点在BC边上,∴根据角平分线的判定定理可知线段AP是△ABC的角平分线.故选A.10.【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质,角平分线上点到角的两边相等,由此得出DC=DE,从而DE+BD= CD+BD=BC=AC,得出结论.【解答】解:∵AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,∠C=90°∴DC=DE,∴DE+BD=CD+BD=BC,又∵AC=BC,AC=6cm,∴DE+BD=6cm.故选C.11.【答案】在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,根据题意可得PE=PF,再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上,可得OP平分∠AOB.【解解:如图所示:过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,∵两把完全相同的长方形直尺,∴PE=PF,∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上),故答案为在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上.12.【答案】6m.【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质.RT△ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC三个三角形面积的和列式求出点O到三边的距离,然后乘以3即可.【解答】解:设点O到三边的距离为hm,则SΔABC =12×8×6=12×8+6+10·h,解得h=2,所以O到三条支路的管道总长为3×2=6m.故答案为6m.13.【答案】解:∵AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED,∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=ADCD=ED,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,又∵AC=BC,∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB,∵AB=6cm,∴△DEB的周长=6cm.【解析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,求出△DEB的周长=AB是解题的关键.根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=ED,再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AC,然后求出△DEB的周长=AB,代入数据即可得解.14.【答案】在Rt△DEB和Rt△DFC中BD=DC,BE=CF(HL)则Rt△DEB≌Rt△DFC故DE=DF那么AD是△ABC的角平分线。

角平分线的几种辅助线作法与三种模型教学文案

角平分线的几种辅助线作法与三种模型教学文案

、角平分线的三种“模型”模型一:角平分线+平行线T 等腰三角形如图1,过/ AOB 平分线 OC 上的一点P ,作PE // 0B ,交OA 于点E ,贝U EO=EP.例3 如图6,点P 是厶ABC 的外角/ CAD 的平分线上的一点 •求证:PB+POAB+AC.、角平分线定理使用中的几种辅助线作法、已知角平分线,构造三角形 分线,BE 丄AD 于F 。

2、在厶 ABC 中, AD 平分/ BAC , CE 丄 AD 于E .求证:/ ACE= / B+ / ECD .精品文档精品文档例1 如图2,/ ABC ,/ ACB 的平分线相交于点 F ,过F 作DE // BC ,交AB 于 点D ,交AC于点E.求证:BD+EC=DE.模型二:角平分线+垂线T 等腰三角形如图3,过/ AOB 平分线 0C 上的一点P ,作EF 丄0C ,交0A 于点E ,交0B 于点F , 贝U OE=OF , PE=PF.例2 如图4, BD 是/ ABC 的平分线,AD 丄BD ,垂足为D ,求证:/ BAD= / DAC+ / C.模型三:角平分线+翻折T 全等三角形在厶ABC 中,AD 是/ BAC 的平分线,沿角平分线 AD 将厶ABD 往右边折叠就得到如图 5的图形•此时有:△ ABD ◎△ AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边,或延长一边等于另一边构造出相等的线段 此方法可解决一些不相等的线段和差类问题 •图51、如图所示,在△ ABC 中,/ ABC=3 / C , AD 是/ BAC 的平求证:BE 1(AC AB)OB 图1CA DB / 图6。

人教版七年级数学知识点试题精选-角平分线的定义

人教版七年级数学知识点试题精选-角平分线的定义

七年级上册角平分线的定义一.选择题(共20小题)1.如图A、O、B三点共线,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE度数为()A.30°B.60°C.90°D.120°2.如图,点O在直线AB上,OD平分∠BOC,若∠BOD=55°,则∠AOC的度数是()A.110°B.70°C.55°D.35°3.如图,如果∠AON=∠BOM,OC平分∠MON,那么图中除∠AON=∠BOM外,相等的角还有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对4.如图,OC是∠AOB的平分线,下列表达式中错误的是()A.∠AOC=∠AOB B.∠AOB=2∠BOC C.∠AOC=∠COB D.∠AOB=2∠O5.如图,OM平分∠AOB,OC是∠AOB内部的一条射线,ON平分∠BOC,有以下说法:①∠AOC=∠BOM②∠CON=∠BON③∠AOC=∠AOM+∠COM④∠AOC=∠BOM+∠COM⑤∠AOC=2∠MOC+∠COB⑥∠AOC=2∠MOC+2∠CON⑦∠AOC=2∠MON其中正确的有()个.A.4 B.5 C.6 D.76.如图,已知∠AOB是直角,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数是()A.60°B.50°C.45°D.30°7.点C在∠AOB的内部,现在五个等式:∠AOB=∠BOC,∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠AOC,∠AOB=2∠AOC,∠AOC+∠BOC=∠AOB,其中能表示OC是∠AOB 平分线的等式有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个8.如图,∠AOB是平角,∠AOC,∠BOC的角平分线分别是OD,OE,则∠DOE 是()A.80°B.90°C.100° D.105°9.如图,射线OC,OD在∠AOB的内部,OC是∠AOD的平分线,若∠AOB=100°,∠COD=15°,则∠BOD的度数为()A.85°B.80°C.70°D.60°10.如图,已知∠AOB=40°,∠AOC=90°,OD平分∠BOC,则∠AOD的度数是()A.20°B.25°C.30°D.35°11.如图,已知OD平分∠AOB,OE平分∠BOD,若=,则的值为()A.B.C.D.12.如图,已知∠BOC=40°,OD平分∠AOC,∠AOD=25°,那么∠AOB的度数是()A.65°B.50°C.40°D.90°13.点M,O,N顺次在同一直线上,射线OC,OD在直线MN同侧,且∠MOC=64°,∠DON=46°,则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是()A.85°B.105°C.125° D.145°14.如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°15.点P在∠MON内部,则四个等式:①∠POM=∠NOP;②∠PON+∠POM=∠MON;③∠MOP=∠MON,④∠MON=2∠NOP,其中能表示OP是角平分线的式子有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个16.已知∠AOB=60°,作射线OC,使∠AOC等于40°,OD是∠BOC的平分线,那么∠BOD的度数是()A.100°B.100°或20°C.50°D.50°或10°17.已知∠AOB=80°,OM是∠AOB的平分线,∠BOC=20°,ON是∠BOC的平分线,则∠MON的度数为()A.30°B.40°C.50°D.30°或50°18.如图,∠AOB是直角,∠AOC=38°,OD平分∠BOC,则∠AOD的度数为()A.52°B.38°C.64°D.26°19.射线OC在∠AOB的内部,下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是()A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC+∠BOC=∠AOBC.∠AOB=2∠AOC D.∠BOC=∠AOB20.如图所示,已知O是直线AB上一点,∠1=68°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是()A.40°B.45°C.44°D.46°二.填空题(共20小题)21.若∠AOB=4∠α,OC为∠AOB的角平分线,则∠AOC=∠α.22.如图,∠AOB=68°,OC平分∠AOB,则∠BOC的度数为.23.如图,∠1=∠2=∠3=∠4.(1)那么OD是的角平分线,OE是是的角平分线,OC是的角平分线;(2)=4∠1,==3∠1;(3)∠BOD=∠BOC=∠AOB;(4)若∠BOE=30°,那么∠AOE=.24.一个角的平分线把这个角分为30°的两个角,则这个角是.25.从一个角的点引出一条线,把这个角分成个,这条线叫做这个角的平分线.如图所示,如果OC是∠AOB的平分线,那么:①∠AOC==;②∠AOB==.26.一条以一个角的为的射线把这个角分成的角,这条射线叫做这个角的.27.如图,∠AOB是直角,∠BOC=50°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数为.28.如图,OC平分∠AOB,若∠BOC=29°34′,则∠AOB=°′.29.如图,已知∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC,∠BOD=14°,则∠AOB=.30.如图,O是直线AB上一点,OC为任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.若∠BOC=66°,则∠EOC=度.31.如图,两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O,下列结论:①∠AOB=∠COD;②∠AOB+∠COD=90°;③若OB平分∠AOC,则OC平分∠BOD;④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线,其中正确的是.(填序号)32.如图直线AB、CD相交于点E,EF是∠BED的角平分线,已知∠DEF=70°,则∠AED的度数是.33.如图,已知A,O,E三点在同一条直线上,OB平分∠AOC,OD平分∠COE,则∠BOC与∠COD的关系为.34.如图所示,已知OE是∠AOC的平分线,OD是∠BOC的平分线.(1)若∠AOC=120°,∠BOC=β,求∠DOE;;(2)若∠AOC=α,∠BOC=β(α>β),求∠BOE..35.已知直线AB上有一点O,射线OC、OD在AB的同侧,∠AOD=24°,∠BOC=46°,则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角的度数为.36.如图,O是直线AB上的一点,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE=度.37.如图,OB在∠AOC内部,且∠BOC=3∠AOB,OD是∠AOB的平分线,∠BOC=3∠COE,则下列结论:①∠EOC=∠AOE;②∠DOE=5∠BOD;③∠BOE=(∠AOE+∠BOC);④∠AOE=(∠BOC﹣∠AOD).其中正确结论有.38.如图所示,∠AOB=85°,∠AOC=10°,OD是∠BOC的平分线,则∠BOD的度数为度.39.如图,OC是∠AOB的平分线,OD是∠AOC的平分线,且∠COD=25°10′,则∠AOB的度数为.40.如图,OC平分∠AOB,若∠AOC=27°30′,则∠AOB=度.三.解答题(共10小题)41.如图,OB是∠AOC的平分线,OD是∠EOC的平分线.(1)如果∠AOD=75°,∠BOC=19°,则∠DOE的度数为;(2)如果∠BOD=56°,求∠AOE的度数.解:如图,因为OB是∠AOC的平分线,所以=2∠BOC.因为OD是∠EOC的平分线,所以=2∠COD.所以∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠BOC+2∠COD=°.42.已知平角AOB及其平分线OC,如果作射线OD,使∠BOD与∠COD的度数之比为7:3,那么∠AOD等于多少度?43.已知,如图,∠AOB=90°,∠EOD=70°,OE、OD分别是∠AOB和∠BOC的角平分线,求∠BOC的度数.44.如图,已知O为直线AF上一点,OE平分∠AOC,(1)若∠AOE=20°,求∠FOC的度数;(2)若OD平分∠BOC,∠AOB=84°,求∠DOE的度数.45.如图所示,BD平分∠ABC,BE分∠ABC成2:5的两部分,∠DBE=27°,求∠ABC的度数.46.如图,O是直线AB上的一点,OC是△BOD的平分线,已知∠AOD=113°24′,求∠COD的度数.47.如图1,OM是∠BOC的角平分线,ON是∠AOC的角平分线,且∠AOB=76°.(1)求∠MON的度数;(2)当OC在∠AOB内另一个位置时,∠MON的值是否发生变化?若不变化,请你在图2中画图加以说明;(3)由(1)、(2)你发现了什么规律?当OC在∠AOB外的某一个位置时,你发现的规律还成立吗?请你在图3中画图加以说明.48.如图,点O为直线AB上一点,∠AOC=50°,OD平分∠AOC.(1)求∠BOD的度数;(2)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数.49.如图,OC是∠AOM的平分线,OD是∠BOM的平分线.(1)如图1,若∠AOB=90°,∠AOM=60°,求∠COD的度数;(2)如图2,若∠AOB=90°,∠AOM=130°,则∠COD=°;(3)如图3,若∠AOB=m°,∠AOM=n°,则∠COD=°.50.如图所示,OC是∠AOD的平分线,OE是∠BOD的平分线.(1)若∠AOB=120°,则∠COE是多少度?(2)若∠EOC=65°,∠DOC=25°,则∠BOE是多少度?七年级上册角平分线的定义参考答案与试题解析一.选择题(共20小题)1.如图A、O、B三点共线,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE度数为()A.30°B.60°C.90°D.120°【分析】根据角平分线的定义可得∠COD=∠AOC,∠COE=∠COB,再根据∴∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠COB=(∠AOC+∠COB)可得答案.【解答】解:∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠COB,∴∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠COB=180°=90°,故选:C.【点评】此题主要考查了角平分线的定义,关键是掌握角平分线的定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.2.如图,点O在直线AB上,OD平分∠BOC,若∠BOD=55°,则∠AOC的度数是()A.110°B.70°C.55°D.35°【分析】先由角平分线的定义得出∠BOC=2∠BOD,再根据邻补角定义即可求解.【解答】解:∵OD平分∠BOC,∠BOD=55°,∴∠BOC=2∠BOD=110°,∵AB是直线,∴∠AOC=180°﹣∠B0C=70°.故选B.【点评】此题考查角平分线与邻补角的定义,属于基础题,比较简单.3.如图,如果∠AON=∠BOM,OC平分∠MON,那么图中除∠AON=∠BOM外,相等的角还有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对【分析】根据角平分线的定义和图中角与角间的和差关系进行计算.【解答】解:∵∠AON=∠BOM,∴∠AON+∠MON=∠BOM+∠MON,即∠AOM=∠BON;又∵OC平分∠MON,∴∠MOC=∠NOC,∴∠AON+∠NOC=∠BOM+∠MOC,即∠AOC=∠BOC.综上所述,图中除∠AON=∠BOM外,相等的角还有∠AOM=∠BON、∠MOC=∠NOC、∠AOC=∠BOC,共有3对.故选:C.【点评】本题考查了角平分线的定义.实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解.4.如图,OC是∠AOB的平分线,下列表达式中错误的是()A.∠AOC=∠AOB B.∠AOB=2∠BOC C.∠AOC=∠COB D.∠AOB=2∠O 【分析】根据角平分线的定义对各选项进行逐一分析即可.【解答】解:A、∵OC是∠AOB的平分线,∴∠AOC=∠AOB,故本选项正确;B、∵OC是∠AOB的平分线,∴∠AOB=2∠BOC,故本选项正确;C、∵OC是∠AOB的平分线,∴∠AOC=∠COB,故本选项正确;D、∵从点O出发由三个角,故不能确定∠AOC的大小,故本选项错误.故选D.【点评】本题考查的是角平分线的定义,熟知从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键.5.如图,OM平分∠AOB,OC是∠AOB内部的一条射线,ON平分∠BOC,有以下说法:①∠AOC=∠BOM②∠CON=∠BON③∠AOC=∠AOM+∠COM④∠AOC=∠BOM+∠COM⑤∠AOC=2∠MOC+∠COB⑥∠AOC=2∠MOC+2∠CON⑦∠AOC=2∠MON其中正确的有()个.A.4 B.5 C.6 D.7【分析】根据角平分线的定义对各小题进行逐一分析即可.【解答】解:∵OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,∴∠AOM=∠BOM,∠BON=∠CON.①∵∠AOM=∠BOM,∴∠AOC≠∠BOM,故本小题错误;②∵ON平分∠BOC,∴∠CON=∠BON,故本小题正确;③由图可知,∠AOC=∠AOM+∠COM,故本小题正确;④∵∠AOC=∠AOM+∠COM,∠AOM=∠BOM,∴∠AOC=∠BOM+∠COM,故本小题正确;⑤∵∠AOC=∠AOM+∠MOC,∠AOM=∠BOM,∠BOC+∠MOC=∠BOM,∴∠AOC=2∠MOC+∠COB,故本小题正确;⑥∵∠AOC=2∠MOC+∠COB,∠COB=2∠CON,∴∠AOC=2∠MOC+2∠CON,故本小题正确;⑦∵∠AOM=∠BOM=2∠CON+∠MOC,∠BOM=2∠CON,∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=2∠CON+∠MOC+∠MOC=2∠MON.故本小题正确.故选C.【点评】本题考查的是角平分线的定义,熟知从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键.6.如图,已知∠AOB是直角,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数是()A.60°B.50°C.45°D.30°【分析】结合图形,根据角的和差,以及角平分线的定义,找到∠MON与∠AOB 的关系,即可求出∠MON的度数.【解答】解:∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,∴∠MOC=∠AOC,∠NOC=∠BOC,∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=(∠AOC﹣∠BOC)=(∠AOB+∠BOC﹣∠BOC)=∠AOB=45°.故选C.【点评】本题考查了角的计算,属于基础题,此类问题,注意结合图形,运用角的和差和角平分线的定义求解.7.点C在∠AOB的内部,现在五个等式:∠AOB=∠BOC,∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠AOC,∠AOB=2∠AOC,∠AOC+∠BOC=∠AOB,其中能表示OC是∠AOB 平分线的等式有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【分析】根据角平分线的定义对各等式进行逐一分析即可.【解答】解:点C在∠AOB的内部时,∠AOB>∠BOC,原等式不能表示OC是∠AOB平分线;∠BOC=∠AOB,原等式能表示OC是∠AOB平分线;∠AOB=∠AOC,原等式不能表示OC是∠AOB平分线;∠AOB=2∠AOC,原等式能表示OC是∠AOB平分线;∠AOC+∠BOC=∠AOB,原等式不能表示OC是∠AOB平分线;故选A.【点评】本题考查的是角平分线的定义,即从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.8.如图,∠AOB是平角,∠AOC,∠BOC的角平分线分别是OD,OE,则∠DOE 是()A.80°B.90°C.100° D.105°【分析】本题比较多的条件是角平分线,OD和OE分别是∠AOC,∠BOC的角平分线,则2∠DOC+2∠EOC=180°,从而可以求解.【解答】解:∵OE平分∠BOC,OD平分∠AOC,∴∠AOC=2∠DOC,∠BOC=2∠COE,∵∠AOC+∠BOC=180°,∴2∠DOC+2∠EOC=180°,∴∠DOE=90°,故选:B.【点评】本题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分.9.如图,射线OC,OD在∠AOB的内部,OC是∠AOD的平分线,若∠AOB=100°,∠COD=15°,则∠BOD的度数为()A.85°B.80°C.70°D.60°【分析】根据角平分线的定义,及角的和差进行计算即可.【解答】解:∵OC是∠AOD的平分线,∴∠AOD=2∠COD,∵∠COD=15°,∴∠AOD=2∠COD=30°,∵∠BOD=∠AOB﹣∠AOD,∠AOB=100°,∴∠BOD=100°﹣30°=70°.故选C.【点评】此题考查了角的平分线的定义,及角的和差计算,解题的关键是:根据角平分线的定义,先求出∠AOD的度数.10.如图,已知∠AOB=40°,∠AOC=90°,OD平分∠BOC,则∠AOD的度数是()A.20°B.25°C.30°D.35°【分析】先求出∠BOC=40°+90°=130°,再根据角平分线的定义求得∠BOD=65°,把对应数值代入∠AOD=∠BOD﹣∠AOB即可求解.【解答】解:∵∠AOB=40°,∠AOC=90°,∴∠BOC=40°+90°=130°,∵OD平分∠BOC,∴∠BOD=65°,∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=65°﹣40°=25°.故选B.【点评】本题主要考查了角平分线的定义和角的运算.要会结合图形找到其中的等量关系:∠BOC=∠AOC+∠AOB,∠AOD=∠BOD﹣∠AOB是解题的关键.11.如图,已知OD平分∠AOB,OE平分∠BOD,若=,则的值为()A.B.C.D.【分析】由=,可设∠AOC=3x,∠BOC=2x,则∠AOB=5x,由OD平分∠AOB,可得∠AOD=∠BOD==,进而可得∠DOC=x,由OE平分∠BOD,可得∠DOE=∠BOE=∠BOD=,进而可得∠COE=∠DOE﹣∠DOC=,将∠COE=,∠BOE=,代入即可.【解答】解:∵=,可∴设∠AOC=3x,∠BOC=2x,则∠AOB=5x,∵OD平分∠AOB,∴∠AOD=∠BOD==,∴∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=x,∵OE平分∠BOD,∴∠DOE=∠BOE=∠BOD=,∴∠COE=∠DOE﹣∠DOC=,∴==故选:C.【点评】本题主要考查了角平分线的定义,解题的关键是利用角平分线的定义找出各角之间的关系.12.如图,已知∠BOC=40°,OD平分∠AOC,∠AOD=25°,那么∠AOB的度数是()A.65°B.50°C.40°D.90°【分析】利用角平分线的定义得出∠COD=25°,进而得出答案.【解答】解:∵OD平分∠AOC,∠AOD=25°,∴∠COD=25°,∴∠AOB的度数是:∠BOC+∠AOD+∠COD=90°.故选:D.【点评】此题主要考查了角平分线的定义,得出∠COD的度数是解题关键.13.点M,O,N顺次在同一直线上,射线OC,OD在直线MN同侧,且∠MOC=64°,∠DON=46°,则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是()A.85°B.105°C.125° D.145°【分析】先画出图形,然后根据角平分线的定义解题.【解答】解:如图,设∠MOC的平分线为OE,∠DON的平分线为OF,∵∠MOC=64°,∠DON=46°,∴∠MOE=∠MOC=×64°=32°,∠NOF=∠DON=×46°=23°,∴∠EOF=180°﹣∠MOE﹣∠NOF=180°﹣32°﹣23°=125°.故选C.【点评】根据题意画出图形是解题的关键.然后根据角平分线的定义进行计算.14.如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°【分析】根据角平分线的定义得到∠MOC=∠AOC,∠NOC=∠BOC,则∠MON=∠MOC﹣∠NOC=(∠AOC﹣∠BOC)=∠AOB,然后把∠AOB的度数代入计算即可.【解答】解:∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,∴∠MOC=∠AOC,∠NOC=∠BOC,∵∠AOC=∠AOB+∠BOC,∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=(∠AOB+∠BOC﹣∠BOC)=∠AOB,∵∠AOB=90°,∴∠MON=×90°=45°.故选B.【点评】本题考查了角平分线的定义,做这类题时学生总会认为条件不够,其实只要把这些等量关系合并化简即可求出角的度数,所以学生做题时有是不要急于计算,而是要先化简后再合并,属于基础题.15.点P在∠MON内部,则四个等式:①∠POM=∠NOP;②∠PON+∠POM=∠MON;③∠MOP=∠MON,④∠MON=2∠NOP,其中能表示OP是角平分线的式子有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】利用角平分线的定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线可得答案.【解答】解;如图:根据角平分线定义可得三个等式:①∠POM=∠NOP,③∠MOP=∠MON,④∠MON=2∠NOP;故选:C.【点评】此题主要考查了角平分线定义,题目比较简单,画出图形分析即可.16.已知∠AOB=60°,作射线OC,使∠AOC等于40°,OD是∠BOC的平分线,那么∠BOD的度数是()A.100°B.100°或20°C.50°D.50°或10°【分析】分为两种情况:①当OC在∠AOB外部时,②当OC在∠AOB内部时,求出∠BOC,根据∠BOD=∠BOC求出即可.【解答】解:分为两种情况:①当OC在∠AOB外部时,∵∠AOB=60°,∠AOC=40°,∴∠BOC=60°+40°=100°,∵OD是∠BOC的平分线,∴∠BOD=∠BOC=50°,②当OC在∠AOB内部时,∵∠AOB=60°,∠AOC=40°,∴∠BOC=60°﹣40°=20°,∵OD是∠BOC的平分线,∴∠BOD=∠BOC=10°,故选D.【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算,解此题的关键是求出符合条件的所有情况.17.已知∠AOB=80°,OM是∠AOB的平分线,∠BOC=20°,ON是∠BOC的平分线,则∠MON的度数为()A.30°B.40°C.50°D.30°或50°【分析】由于OA与∠BOC的位置关系不能确定,故应分OA在∠BOC内和在∠BOC外两种情况进行讨论.【解答】解:当OA与∠BOC的位置关系如图1所示时,∵OM是∠AOB的平分线,ON是∠BOC的平分线,∠AOB=80°,∠COB=20°,∴∠AOM=∠AOB=×80°=40°,∠BON=∠COB=×20°=10°,∴∠MON=∠BON﹣∠AOM=40°﹣10°=30°;当OA与∠BOC的位置关系如图2所示时,∵OM是∠AOB的平分线,ON是∠BOC的平分线,∠AOB=80°,∠COB=20°,∴∠BOM=∠AOB=×80°=40°,∠BON=∠BOC=×20°=10°,∴∠MON=∠BOM+∠BON=10°+40°=50°.故选:D.【点评】本题考查的是角平分线的定义,解答≜此题时要根据OA与∠BOC的位置关系分两种情况进行讨论,不要漏解.18.如图,∠AOB是直角,∠AOC=38°,OD平分∠BOC,则∠AOD的度数为()A.52°B.38°C.64°D.26°【分析】先求得∠BOC的度数,然后由角平分线的定义可求得∠BOD的度数,最后根据∠AOD=∠AOB﹣∠BOD求解即可.【解答】解:∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣38°=52°,∵OD平分∠BOC,∴∠BOD=∠BOC=26°.∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣26°=64°.故选:C.【点评】本题主要考查的是角平分线的定义,掌握角平分线的定义是解题的关键.19.射线OC在∠AOB的内部,下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是()A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC+∠BOC=∠AOBC.∠AOB=2∠AOC D.∠BOC=∠AOB【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.可知B不一定正确.【解答】解:A、正确;B、不一定正确;C、正确;D、正确;故选B.【点评】此题主要考查了从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.20.如图所示,已知O是直线AB上一点,∠1=68°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是()A.40°B.45°C.44°D.46°【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC,再根据邻补角的定义列式计算即可得解.【解答】解:∵OD平分∠BOC,∴∠BOC=2∠1=2×168°=136°,∴∠2=180°﹣∠BOC=180°﹣136°=44°.故选C.【点评】本题考查了角平分线的定义,邻补角的定义,熟记概念并准确识图是解题的关键.二.填空题(共20小题)21.若∠AOB=4∠α,OC为∠AOB的角平分线,则∠AOC=2∠α.【分析】直接根据角平分线的定义即可求解.【解答】解:∵∠AOB=4∠α,OC为∠AOB的角平分线,∴∠AOC=∠AOB=×4∠α=2∠α.故答案为:2.【点评】本题考查了角平分线的性质:从角的顶点引一条射线,把这个角分成相等的两部分,那么这条射线叫这个角的平分线.22.如图,∠AOB=68°,OC 平分∠AOB ,则∠BOC 的度数为 34° .【分析】根据角平分线的定义即可直接求解.【解答】解:∵OC 平分∠AOB ,∴∠BOC=∠AOB=×68=34°.故答案是:34°.【点评】此题主要考查了垂线和角平分线的定义,理解定义是关键.23.如图,∠1=∠2=∠3=∠4.(1)那么OD 是 ∠AOB 和∠COE 的角平分线,OE 是 ∠BOD 是的角平分线,OC 是 ∠AOD 的角平分线;(2) ∠AOB =4∠1, ∠BOC = ∠AOE =3∠1;(3)∠BOD= ∠BOC= ∠AOB ;(4)若∠BOE=30°,那么∠AOE= 90° .【分析】根据角平分线的定义、结合图形进行解答即可.【解答】解:(1)OD 是∠AOB 和∠COE 的角平分线,OE 是∠BOD 是的角平分线,OC是∠AOD的角平分线;(2)∠AOB=4∠1,∠BOC=∠AOE=3∠1;(3)∠BOD=∠BOC=∠AOB;(4)若∠BOE=30°,那么∠AOE=90°,故答案为:(1)∠AOB和∠COE;∠BOD;∠AOD;(2)∠AOB;∠BOC;∠AOE;(3);;(4)90°.【点评】本题考查的是角平分线的定义,掌握角平分线是经过角的顶点把这个角分成相等的两个角的射线是解题的关键.24.一个角的平分线把这个角分为30°的两个角,则这个角是60°.【分析】依据角平分线的定义回答即可.【解答】解:∵一个角的平分线把这个角分为30°的两个角,∴这个角=30°×2=60°.故答案为:60°.【点评】本题主要考查的是角平分线的定义,掌握角平分线的定义是解题的关键.25.从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.如图所示,如果OC是∠AOB的平分线,那么:①∠AOC=∠BOC=∠AOB;②∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.【分析】根据角平分线的定义和性质进行解答即可.【解答】解:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线;①∠AOC=∠BOC=∠AOB;②∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.故答案为:顶;射;两;相等的角;射;①∠BOC;∠AOB;②2∠AOC;2∠BOC.【点评】从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.(2)性质:若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.26.一条以一个角的顶点为端点的射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.【分析】根据角平分线的定义解答.【解答】解:顶点、端点、两个相等.一条以一个角的顶点为端点的射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.【点评】此题考查了角平分线的定义,直接按定义填空即可.27.如图,∠AOB是直角,∠BOC=50°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数为45°.【分析】先根据∠AOB是直角,∠BOC=50°得出∠AOC的度数,再根据OM平分∠AOC,ON平分∠BOC得出∠COM与∠CON的度数,由∠MON=∠COM﹣∠CON 即可得出结论.【解答】解:∵∠AOB是直角,∠BOC=50°,∴∠AOC=90°+50°=140°.∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,∴∠COM=∠AOC=×140°=70°,∠CON=∠BOC=25°,∴∠MON=∠COM﹣∠CON=70°﹣25°=45°.故答案为:45°.【点评】本题考查的是角平分线的定义,熟知从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键.28.如图,OC平分∠AOB,若∠BOC=29°34′,则∠AOB=59°8′.【分析】从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.根据定义求得即可.【解答】解:∠AOB=2×29°34′=59°8′.故答案为59、8.【点评】本题主要考查了角平分线的定义.29.如图,已知∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC,∠BOD=14°,则∠AOB=28°.【分析】设∠AOB=x°,根据已知和角平分线定义得出∠AOD=∠COD=(x+14)°,求出∠AOC=2∠AOD=3∠AOB,得出方程3x=2(x+14),求出方程的解即可.【解答】解:设∠AOB=x°,∵∠BOD=14°,OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD=(x+14)°,∵∠BOC=2∠AOB,∴∠AOC=2∠AOD=3∠AOB,∴3x=2(x+14),解得:x=28,∴∠AOB=28°,故答案为:28°.【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用,解此题的关键是能得出关于x的方程,难度适中.30.如图,O是直线AB上一点,OC为任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.若∠BOC=66°,则∠EOC=57度.【分析】先根据OE平分∠AOC,∠BOC=66°求出∠COD的度数,再由OD平分∠BOC,OE平分∠AOC得出∠EOD的度数,根据∠EOC=∠EOD﹣∠COD即可得出结论.【解答】解:∵OE平分∠AOC,∠BOC=66°,∴∠COD=∠BOC=×66°=33°,∵OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∴∠EOD=∠EOC+∠COD=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°,∴∠EOC=∠EOD﹣∠COD=90°﹣33°=57°.故答案为:57.【点评】本题考考查的是角平分线的定义,熟知从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键.31.如图,两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O,下列结论:①∠AOB=∠COD;②∠AOB+∠COD=90°;③若OB平分∠AOC,则OC平分∠BOD;④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线,其中正确的是①③④.(填序号)【分析】根据角的计算和角平分线性质,对四个结论逐一进行计算即可.【解答】解:①∵∠AOC=∠BOD=90°,∴∠AOB=90°﹣∠BOC,∠COD=90°﹣∠BOC,∴∠AOB=∠COD;故①正确.②只有当OB,OC分别为∠AOC和∠BOD的平分线时,∠AOB+∠COD=90°;故②错误.③∵∠AOC=∠BOD=90°,OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠COB=45°,则∠COD=90°﹣45°=45°∴CB平分∠BOD;故③正确.④∵∠AOC=∠BOD=90°,∠AOB=∠COD(已证);∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线.故④正确.故答案为:①③④.【点评】此题主要考查学生对角的计算,角平分线的理解和掌握,此题难度不大,属于基础题.32.如图直线AB、CD相交于点E,EF是∠BED的角平分线,已知∠DEF=70°,则∠AED的度数是40°.【分析】根据角平分线的定义求出∠DEB的度数,然后根据平角等于180°列式进行计算即可求解.【解答】解:∵EF是∠BED的角平分线,∠DEF=70°,∴∠DEB=2∠DEF=2×70°=140°,∴∠AED=180°﹣∠DEB=180°﹣140°=40°.故答案为:40°.【点评】本题考查了角平分线的定义,平角等于180°,是基础题,需熟练掌握.33.如图,已知A,O,E三点在同一条直线上,OB平分∠AOC,OD平分∠COE,则∠BOC与∠COD的关系为∠BOC+∠DOC=90°.【分析】根据已知得出∠AOC+∠EOC=180°,∠BOC=∠AOC,∠DOC=EOC,求出∠BOC+∠DOC=(∠AOC+∠EOC)=90°,即可得出答案.【解答】解:∠BOC+∠DOC=90°,理由是:∵A,O,E三点在同一条直线上,OB平分∠AOC,OD平分∠COE,∴∠AOC+∠EOC=180°,∠BOC=∠AOC,∠DOC=EOC,∴∠BOC+∠DOC=(∠AOC+∠EOC)=180°=90°,∴∠BOC与∠COD的关系为∠BOC+∠DOC=90°,故答案为:∠BOC+∠DOC=90°.【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用,能识别图形是解此题的关键.34.如图所示,已知OE是∠AOC的平分线,OD是∠BOC的平分线.(1)若∠AOC=120°,∠BOC=β,求∠DOE;60°﹣β;(2)若∠AOC=α,∠BOC=β(α>β),求∠BOE.α﹣β.【分析】根据角平分线的性质计算.【解答】解:(1)∠AOC=120°,∴∠COE=60°(角平分线定义),∵∠BOC=β,∴∠COD=β(角平分线定义),∴∠DOE=60°﹣β;(2)∵∠AOC=α,OE是∠AOC的平分线,且∠BOC=β(α>β),∴∠COE=α(角平分线定义).∴∠BOE=∠COE﹣∠BOC=α﹣β.【点评】此题主要考查了角平分线定义.由角平分线的定义,易求该角的度数.35.已知直线AB上有一点O,射线OC、OD在AB的同侧,∠AOD=24°,∠BOC=46°,则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角的度数为145°.【分析】先根据题意画出图形,然后依据角平分线的定义求得∠AOF和∠EOB的度数,然后依据平角是180°可求得∠EOF的度数.【解答】解:如图所示:∵OF平分∠AOD,∴∠AOF=AOD==12°.同理可知:∠EOB=.∴∠EOF=180°﹣∠AOF﹣∠EOB=180°﹣12°﹣23°=145°.故答案为:145°.【点评】本题主要考查的是角平分线的定义,根据题意画出图形是解题的关键.36.如图,O是直线AB上的一点,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE=90度.【分析】利用角平分线的性质计算.【解答】解:∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE=(∠AOC+∠BOC)=90°.故答案为90.【点评】此题主要考查角平分线的定义和平角的定义.37.如图,OB在∠AOC内部,且∠BOC=3∠AOB,OD是∠AOB的平分线,∠BOC=3∠COE,则下列结论:①∠EOC=∠AOE;②∠DOE=5∠BOD;③∠BOE=(∠AOE+∠BOC);④∠AOE=(∠BOC﹣∠AOD).其中正确结论有①②④.【分析】根据∠BOC=3∠AOB,∠BOC=3∠COE,得∠COE=∠AOB,则∠BOC=∠AOE,设∠AOD=x,则∠AOB=∠COE=2x,∠AOE=∠BOC=6x,得出①②④正确,③不正确.【解答】解:①∵∠BOC=3∠AOB,∠BOC=3∠COE,∴∠COE=∠AOB,∴∠COE+∠BOE=∠AOB+∠BOE,∴∠BOC=∠AOE,∵OD是∠AOB的平分线,∴∠AOD=∠BOD,设∠AOD=x,则∠AOB=∠COE=2x,∠AOE=∠BOC=6x,∴∠COE=∠AOE;所以①正确;②∵∠DOE=∠BOD+∠BOE=x+4x=5x,∠BOD=x,∴∠DOE=5∠BOD,所以②正确;③∵∠BOE=4x,(∠AOE+∠BOC)=(6x+6x)=6x,∴∠BOE≠(∠AOE+∠BOC),所以③不正确;④∵∠AOE=6x,(∠BOC﹣∠AOD)=(6x﹣x)=6x,∴∠AOE=(∠BOC﹣∠AOD),所以④正确.故答案为:①②④.【点评】本题考查了角平分线的性质和角的和差倍分,一般情况下,根据已知条件得出各角之间的关系,设一个最小角为x°,分别表示出各角的关系,得出相应的结论.38.如图所示,∠AOB=85°,∠AOC=10°,OD是∠BOC的平分线,则∠BOD的度数为37.5度.【分析】利用角与角的和差关系及角平分线的性质计算.【解答】解:∵∠AOB=85°,∠AOC=10°∴∠BOC=85°﹣10°=75°又∵OD是∠BOC的平分线,∴∠BOD=∠COD=∠BOC,即∠BOD的度数为×75°=37.5°故∠BOD的度数为37.5度.【点评】本题主要考查角平分线的知识点,比较简单.39.如图,OC是∠AOB的平分线,OD是∠AOC的平分线,且∠COD=25°10′,则∠AOB的度数为100°40′.【分析】直接利用角平分线的性质得出∠AOC的度数,进而得出答案.【解答】解:∵OD是∠AOC的平分线,且∠COD=25°10′,∴∠AOC=2×25°10′=50°20′,∵OC是∠AOB的平分线,∴∠AOB的度数为:50°20′×2=100°40′.故答案为:100°40′.【点评】此题主要考查了角平分线的定义,正确把握定义是解题关键.40.如图,OC平分∠AOB,若∠AOC=27°30′,则∠AOB=55度.【分析】直接利用角平分线的定义得出∠AOC=∠BOC,进而得出答案.【解答】解:∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC,∵∠AOC=27°30′,∴∠AOB=27°30′×2=55°.故答案为:55.【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及度分秒的换算,正确把握角平分线的定义是解题关键.三.解答题(共10小题)41.如图,OB是∠AOC的平分线,OD是∠EOC的平分线.(1)如果∠AOD=75°,∠BOC=19°,则∠DOE的度数为37°;(2)如果∠BOD=56°,求∠AOE的度数.解:如图,因为OB是∠AOC的平分线,所以AOC=2∠BOC.因为OD是∠EOC的平分线,所以COE=2∠COD.所以∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠BOC+2∠COD=112°°.【分析】(1)角平分线的定义求得∠AOC=38°,∠DOE=∠DOC=∠AOD﹣∠AOC=75°﹣38°=37°;(2)根据角平分线的定义易求∠AOE=2∠BOD.【解答】解:(1)∵OB是∠AOC的平分线,∠BOC=19°,∴∠AOC=2∠BOC=38°.∴∠DOC=∠AOD﹣∠AOC=75°﹣38°=37°.又∵OD是∠EOC的平分线,∴∠DOE=∠DOC=37°.故填:37°;(2)如图,因为OB是∠AOC的平分线,所以AOC=2∠BOC.因为OD是∠EOC的平分线,所以COE=2∠COD.所以∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠BOC+2∠COD=112°°.故填:∠AOC,∠COE,112°.【点评】本题考查了角平分线的定义.解题时,实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解.42.已知平角AOB及其平分线OC,如果作射线OD,使∠BOD与∠COD的度数之比为7:3,那么∠AOD等于多少度?【分析】根据题意画出图形,由角平分线的定义得出∠COB的度数,再根据∠BOD 与∠COD的度数之比为7:3求出∠COD的度数,根据∠AOD=∠AOC+∠COD即可得出结论.【解答】解:如图1所示,∵∠AOB=180°,OC是∠AOB的平分线,∴∠COB=×180°=90°.∵∠BOD与∠COD的度数之比为7:3,∴∠COD=∠COB=×90°=27°,∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+27°=117°.如图2所示,∵∠AOD:∠COD=1:3,∴∠AOD=90°×=22.5°.答:∠AOD等于117°或22.5°.【点评】本题考查的是角平分线的定义,熟知从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键.43.已知,如图,∠AOB=90°,∠EOD=70°,OE、OD分别是∠AOB和∠BOC的角平分线,求∠BOC的度数.【分析】先由∠AOB=90°,OE是∠AOB的角平分线,得出∠EOB=∠AOB=45°,那么∠BOD=∠EOD﹣∠EOB=70°﹣45°=25°,再由OD是∠BOC的角平分线,得出∠BOC=∠BOD=50°.【解答】解:∵∠AOB=90°,OE是∠AOB的角平分线,∴∠EOB=∠AOB=45°,∵∠EOD=70°,∴∠BOD=∠EOD﹣∠EOB=70°﹣45°=25°,∵OD是∠BOC的角平分线,∴∠BOC=∠BOD=50°.【点评】本题考查了角的计算及角平分线的定义,首先确定各角之间的关系,利用角平分线的性质来求.44.如图,已知O为直线AF上一点,OE平分∠AOC,(1)若∠AOE=20°,求∠FOC的度数;(2)若OD平分∠BOC,∠AOB=84°,求∠DOE的度数.【分析】①利用角平分线的定义求出∠AOC,∠FOC与∠AOC和是180°.②从图中不难看出∠DOE是由∠AOB与∠BOC半角之和,也就是∠AOB的一半.【解答】解:①∵OE平分∠AOC,∠AOE=20°∴∠AOC=2∠AOE=40°∴∠FOC=180°﹣∠AOC=140°;②∵OE平分∠AOC,OD平分∠BOC,∴∠AOE=∠COE=∠AOC,∠COD=∠BOD=∠BOC,∴∠DOE=∠COE+∠COD=∠AOC+∠BOC=∠AOB,已知∠AOB=84°∴∠DOE=42°.【点评】本题考查了角平分线的定义,解决本题的关键牢记角平分线的定义,注意实际问题中的转化.45.如图所示,BD平分∠ABC,BE分∠ABC成2:5的两部分,∠DBE=27°,求∠ABC的度数.【分析】此题的关键是要先设∠ABC的度数.然后再利用题中的关系求出,∠DBE 的值,让它与27°列成等式.从而求出∠ABC的度数.【解答】解:设∠ABC=α,则∠ABD=,∠ABE=α∵∠DBE=∠ABD﹣∠ABE∴﹣α=27°得α=126°。

七年级数学线段角平分线练习题(附答案)

七年级数学线段角平分线练习题(附答案)

七年级数学线段角平分线练习题一、单选题1.点C 在线段AB 上,下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是( )A.AC BC =B.2AB AC =C.AC BC AB +=D.12BC AB = 2.若数a b ,在数轴上的位置如图所示,则( )A.0a b +>B.0ab >C.0a b ->D.0a b -->3.一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°,则这个角的度数为( )A.140°B.130°C.50°D.40°4.有理数34|1|,,45---的大小关系是( ) A.43|1|54-<-<- B.43|1|54-<-<- C. 34|1|45-<-<- D.34|1|45-<-<-5.定义一种新运算22a b a ab *=-,则5(3)*-的值为( )A.40B.45C.50D.556.已知关于x 的方程290x a +-=的解是2x =,则a 的值为( )A .2B .3C .4D .57.现规定一种新的运算:a b ab a b ∆=-+,则()23∆-=( )A. 11B. 11-C. 6D. 6- 8.某文化商场同时卖出两台电子琴,每台均卖960元,以成本计算,第一台盈利20%,另一台亏本20%,则本次出售中,商场( )A. 不赚不赔B. 赚160元C. 赔80元D. 赚80元9.如图,直线AB CD 、相交于点O ,射线OM 平分AOC ∠,90MON ∠=︒若35MOC ∠=︒,则BON ∠的度数为( )A. 35︒B. 45︒C. 55︒D. 64︒10.下列语句正确的是( ) A.23vt -的系数是-2 B.0是代数式C. 手电筒发射出去的光可看作是一条直线D.正方体不是棱柱 11.如图,甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ,乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ,则BAC ∠的度数是( )A.85°B.160°C.125°D.105°二、解答题12.如图,已知点,,A B C 在同一直线上,,M N 分别是,AC BC 的中点.(1)若20,8AB BC ==,求MN 的长;(2)若,8AB a BC ==,求MN 的长;(3)若,AB a BC b ==,求MN 的长;(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么结论?三、填空题13.定义新运算a b ad bc c d =-,则222223112xy x x y xy -+=--+- . 14.如图,将一副三角板的直角顶点重合,摆放在桌面上,若63BOC ∠=︒,则AOD ∠=_______°.参考答案1.答案:C解析:A.AC BC =,则点C 是线段AB 中点;B.2AB AC =,则点C 是线段AB 中点;C.AC BC AB +=,则C 可以是线段AB 上任意一点;D.12BC AB =,则点C 是线段AB 中点. 2.答案:D解析:根据题意得:101a b <-<<<,则0000a b ab a b a b +<<-<-->,,,.故选:D.3.答案:C解析:设这个角为α,则它的余角为90α︒-,补角为180α︒-,根据题意得,1803(90)10αα︒-=︒-+︒,180270310αα︒-=︒-+︒,解得50α=︒.故选:C.4.答案:A 34-<-3445∴->-4354∴-<-解析:根据题中的新定义得:原式=25+30=55,故选:D.6.答案:D解析:解;方程290x a +-=的解是2x =,2290a ∴⨯+-=,解得5a =.故选:D .7.答案:B解析:解:根据题中的新定义得:原式62311=---=-,故选:B .原式利用题中的新定义计算即可求出值.此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.8.答案:C解析:解:设盈利20%的电子琴的成本为x 元,根据题意得:()120960x +=%,解得800x =;设亏本20%的电子琴的成本为y 元,根据题意得:()120960y -=%,解得1200y =;()9602800120080⨯-+=-,赔80元,故选:C .设盈利20%的电子琴的成本为x 元,设亏本20%的电子琴的成本为y 元,再根据(1+利润率)⨯成本=售价列出方程,解方程计算出,x y 的值,进而可得答案.此题主要考查了一元一次方程组的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,设出未知数,列出方程.9.答案:C 解析:解:射线OM 平分AOC ∠,35MOC ∠=︒,35MOA ∴∠=︒,又90MON ∠=︒,55BON ∠=︒,故选:C .根据角平分线的定义求出MOA ∠的度数,根据邻补角的性质计算即可.本题考查的是邻补角的概念以及角平分线的定义,掌握邻补角的性质是邻补角互补是解题的关键.10.答案:B解析:解:(A)该单项式的系数为23-,故A 错误;(C)手电筒发射出去的光可看作是一条射线,故C 错误;(D)正方体是棱柱,故D 错误;故选:B.11.答案:C解析:解:AB 于正东方向的夹角的度数是:907020-=°°°,则209015125BAC ∠︒+︒+︒=︒=.故选:C .12.答案:(1)因为20,8AB BC ==,所以28AC AB BC =+=,因为点,,A B C 在同一直线上,,M N 分别是,AC BC 的中点,所以1114,422MC AC NC BC ====, 所以14410MN MC NC =-=-=.(2)根据(1)得111()222MN AC BC AB a =-==. (3)根据(1)得111()222MN AC BC AB a =-==. (4)从(1)(2)(3)的结果中能得到线段MN 的长度始终等于线段AB 的一半,与C 点的位置无关.解析:13.答案:22721x y --解析:根据题意,得原式222(231)2(2)xy x x y xy =--+--+- 222231422xy x x y xy =-+-+-+22721x y =--.14.答案:117解析:将一副三角板的直角顶点重合,90AOB COD ∴∠=∠=︒,63BOC ∠=︒,27AOC ∴∠=︒,117AOD ∴∠=︒.故答案为:117.。

角的平分线的性质同步练习含答案解析

角的平分线的性质同步练习含答案解析

角的平分线的性质同步练习含答案解析一、填空题1.如图,∠B=∠D=90゜,依照角平分线性质填空:(1)若∠1=∠2,则______=______.(2)若∠3=∠4,则______=______.2.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD =36,则S△BCD=______.3.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO :S△BCO:S△CAO等于______.4.如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC.则S△ABD :S△ACD=______.二、选择题5.如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理:①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE;②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE;③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE;其中正确的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个6.如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=()A.3cm B.7.5cm C.6cm D.4.5cm7.在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD:DC=3:2,点D到AB的距离为6,则BC 长为()A.10 B.20 C.15 D.258.如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是()A.OD>OE B.OD<OE C.OD=OE D.不能确定三、解答题9.如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证:(1)DE=DC;(2)BD=DF.10.如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证:PE=PF.11.已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N.试说明:PM=PN.12.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S=90,AB=18,BC=12,求DE的长.△ABC13.如图.已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR ⊥AB于R,AB=7,BC=8,AC=9.(1)求BP、CQ、AR的长.(2)若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证:OE=OF.《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1.如图,∠B=∠D=90゜,依照角平分线性质填空:(1)若∠1=∠2,则BC = DC .(2)若∠3=∠4,则AB = AD .【考点】角平分线的性质.【分析】(1)依照角平分线性质推出即可;(2)依照角平分线性质推出即可.【解答】解:(1)∵∠B=∠D=90°,∴AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠1=∠2,∴BC=CD,故答案为:BC,DC.(2)∵AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠3=∠4,∴AB=AD,故答案为:AB,AD.【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意:角平分线上的点到角两边距离相等.2.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD =36,则S△BCD= 45 .【考点】角平分线的性质.【分析】第一依照△ABD的面积运算出DE的长,再依照角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF,然后运算出DF的长,再利用三角形的面积公式运算出△BCD的面积即可.【解答】解:∵S△ABD=36,∴•AB•ED=36,×12×ED=36,解得:DE=6,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴DE=DF,∴DF=6,∵BC=15,∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45,故答案为:45.【点评】此题要紧考查了角平分线的性质,关键是把握角平分线上的点到角两边的距离相等.3.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO :S△BCO:S△CAO等于2:3:4 .【考点】角平分线的性质;三角形的面积.【专题】常规题型.【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解.【解答】解:过点O 作OD ⊥AC 于D ,OE ⊥AB 于E ,OF ⊥BC 于F ,∵O 是三角形三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF ,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴S △ABO :S △BCO :S △CAO =2:3:4.故答案为:2:3:4.【点评】此题要紧考查角平分线的性质和三角形面积的求法,难度不大,作辅助线专门关键.4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,若AB=2AC .则S △ABD :S △ACD = 2 .【考点】角平分线的性质.【分析】过D 作DM ⊥AC 于M ,DN ⊥AB 于N ,依照角平分线性质得出DM=DN ,依照三角形面积公式求出即可.【解答】解:过D 作DM ⊥AC 于M ,DN ⊥AB 于N ,∵AD 是△ABC 的角平分线,∴DM=DN ,∴S △ABD :S △ACD =(AB ×DN ):(AC ×DM )=AB :AC=2AC :AC=2,故答案为:2.【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.二、选择题5.如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理:①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE;②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE;③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE;其中正确的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个【考点】角平分线的性质.【分析】直截了当依照角平分线的性质进行解答即可.【解答】解:∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.故选B.【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等.6.如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=()A.3cm B.7.5cm C.6cm D.4.5cm【考点】角平分线的性质.【分析】依照角平分线的性质得出CD长,代入BC=BD+DC求出即可.【解答】解:∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴DE=DC=1.5cm,∵BD=3cm,∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm,故选D.【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.7.在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD:DC=3:2,点D到AB的距离为6,则BC 长为()A.10 B.20 C.15 D.25【考点】角平分线的性质.【分析】过点D作DE⊥AB于E,依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE,然后求出BD的长,再依照BC=BD+DE代入数据进行运算即可得解.【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,∵点D到AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,∴DC=DE=6,∵BD:DC=3:2,∴BD=×3=9,∴BC=BD+DE=9+6=15.故选C.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观.8.如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是()A.OD>OE B.OD<OE C.OD=OE D.不能确定【考点】角平分线的性质.【分析】依照三角形的角平分线相交于一点,连接AO,则AO平分∠BAC,然后依照角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.【解答】解:如图,连接AO,∵∠B、∠C的角平分线交于点0,∴AO平分∠BAC,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE.故选C.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,依照三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判定出AO平分∠BAC是解题的关键.三、解答题9.如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证:(1)DE=DC;(2)BD=DF.【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】(1)依照角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可;(2)利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等,再依照全等三角形对应边相等证明即可.【解答】证明:(1)∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DC;(2)在△BDE和△FDC中,,∴△BDE≌△FDC(SAS),∴BD=DF.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.10.如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证:PE=PF.【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.【专题】证明题.【分析】依照“SSS”可得到△ABC≌△ADC,则∠BCA=∠DCA,再利用角平分线的性质即可得到结论.【解答】证明:在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BCA=∠DCA,∵PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,∴PE=PF.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质:三边都对应相等的两三角形全等;全等三角形的对应边相等,对应角相等.角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.11.已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N.试说明:PM=PN.【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】依照角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD(SAS),然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB;再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后依照全等三角形的对应边相等推知PM=PN.【解答】证明:在△ABD和△CBD中,AB=BC(已知),∠ABD=∠CBD(角平分线的性质),BD=BD(公共边),∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB(全等三角形的对应角相等);∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°;又∵PD=PD(公共边),∴△PMD≌△PND(AAS),∴PM=PN(全等三角形的对应边相等).【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质.由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键.12.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S=90,AB=18,BC=12,求DE的长.△ABC【考点】角平分线的性质.【分析】过点D作DF⊥BC于F,依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后依照三角形的面积列出方程求解即可.【解答】解:如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,=AB•DE+BC•DF=90,∴S△ABC即×18•DE+×12•DE=90,解得DE=6.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并作出辅助线是解题的关键.13.如图.已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR ⊥AB于R,AB=7,BC=8,AC=9.(1)求BP、CQ、AR的长.(2)若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证:OE=OF.【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】(1)依照角平分线性质得出OR=OQ=OP,依照勾股定理起床AR=AQ,CQ=CP,BR=BP,得出方程组,求出即可;(2)过O作OM⊥AC于肘,ON⊥AB于N,求出OM=ON,证出△FON≌△EOM即可.【解答】解:连接AO,OB,OC,∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,∴OR=OQ,OR=OP,∴由勾股定理得:AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,∴AR=AQ,同理BR=BP,CQ=CP,即O在∠ACB角平分线上,设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,则x=3,y=5,z=4,∴BP=3,CQ=5,AR=4.(2)过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∵O在∠A的平分线,∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,∵∠A=60°,∴∠NOM=120°,∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,∴∠EBC+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°﹣∠A)=60°,∴∠FON=∠EOM,在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM,∴OE=OF.【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.。

七年级上角平分线练习题及答案

七年级上角平分线练习题及答案

角平分线相关练习题如图,^AOB=6Q°, CD 丄04 于 D , CE1.OB 于 E,且 CD=CE> 则 ZDOC= ___________A3、如图,已知OE. OD 分别平分厶商 和ZBOC,若 厶OEW ,Z^OZ>=70% 求ZBOC 的度数.3. 如图9F 平分ZAOB,PC 丄O £PD 丄O 乩垂足分别是6D.下列结论中错误的是(4、如图 4,在△ABE 中 ZA=90° , 若AD=m, BCn,求△BDC 的面积.5、(2007浙江义乌课改)如图,点F 是£BAC 的平分线上一点,FE 丄理C 于点E.已知FE3 则点戸到川办的距离是(A. 3B. 4C. 5D. 6A. PC=PDC. ZCPO= ZDPO B. OC = OD D ・ OC=PC区(7 分)如图,ZAOB=ZCOD=903J OC平分ZAOB, ZB0D = 3ZD0E 试求ZCOE的度数.B了如图,已知ZAOB = 90% ZBOC=60°, OD是ZAOC的平分线,求ZBOD的度数•鼠如图,已知/DOE=70°, ZDOB=40\OD平分ZA OB 9OE 平分Z" OG 求Z4 OCA答案:1、/DOC=30 °解析:由角平分线定义:到角两边距离相等的点在角平分线上,得知,点C在角平分线上,即OC为/AOB 的角平分线,因为/ AOB=60 °,所以zDOC= ZEOC=30 °2、/BOC=5O °解析:由题知,/ AOE= ZBOE=? Z AOB=45。

,启OD= ZEOD-Z BOE=70。

-45 °25。

,启OC=2 ZBOD=50 °3、D解析:由角平分线定义和性质得知,角平分线上的点到角两边的距离相等,故A、B、C均正确。

4、S^BDC=? mn解析:通过D点向BC边作垂线段,交BC于点E,贝V DE为ABDC的高线,由于DA丄AB且DE丄BC, BD是角平分线,故得知线段AD=DE=m , S4BDC=? BCXDE=? mn5、A解析:由角平分线性质得知,角平分线上的点到角两边的距离相等,故P到AB的距离=PE=36、"OE=75 °解析:Z AOC= ZBOC= ZBOD=? X 90 ° =45 °,因为Z BOD=3 ZDOE,所以Z BOE=? ZBOD= ? X45 °=30 ° , ZCOE= ZBOC+ ZBOE=45 °+30 °757、/BOD=75 °解析:Z COD=Z AOD=?Z AOC=?(Z AOB-Z BOC)=?(90°-60°)=15°,ZBOD= ZBOC+ ZCOD=60 °+15 °758、/AOC=14O °解析:Z AOC= Z AOB+ Z BOC=2 Z BOD+2 Z BOE=2 Z BOD+2 (Z DOE-Z BOD)=2 Z DOE=2 X70 °=140 °。

苏教版七年级数学上册一课一练6.2 角第2课时 角平分线(word版含答案解析)

苏教版七年级数学上册一课一练6.2 角第2课时 角平分线(word版含答案解析)

一课一练6.2 角第2课时角平分线一、选择题(共4小题;共24分)1. 如图,AF是∠BAC的平分线,EF∥AC交AB于点E,若∠1=35∘,则∠BEF的度数为( )A. 35∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘2. 同学小明用一副三角板画出了许多不同度数的角,但下列哪个度数他画不出来( )A. 135∘B. 120∘C. 75∘D. 25∘3. 如图,一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上,若∠AOD=150∘,则∠BOC等于( )A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘4. 已知射线OC在∠AOB的内部,下列关系式①∠AOC=∠BOC;②∠AOC+∠BOC=∠AOB;③∠AOB=2∠AOC;∠AOB.其中,能说明OC为∠AOB的平分线的有( )④∠BOC=12A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(共5小题;共35分)5. 若三条直线交于一点,则共有对顶角(除平角外)对.6. 如图,△ABC沿着直线MN折叠后,与△DEF完全重合.(1)△ABC与△DEF关于直线对称,直线MN 是;(2)点B的对称点是;(3)线段AD被垂直平分,线段BE被垂直平分;(4)PC=,PD=.7. 已知OC平分∠AOB,若∠AOC=28∘12ʹ,则∠AOB=.8. 如图,点O是直线AB上一点,OD平分∠BOC,如果∠AOC=50∘,那么∠COD=.9. 如图,三角形1与成轴对称图形,整个图形中共有条对称轴.三、解答题(共4小题;共60分)10. 如图所示,点O是直线AB上一点,∠1比∠2大80∘,求∠1和∠2的度数.。

初一角平分线模型经典例题

初一角平分线模型经典例题

初一角平分线模型经典例题好呀!今天咱们来聊聊初一的角平分线模型,听起来很学术对吧?其实一点也不复杂,就像吃瓜一样简单。

想象一下,你有一个大三角形,嘿嘿,这个三角形就像是个大蛋糕,真想吃掉它!咱们要做的就是把这个蛋糕一刀切开。

那这刀就是我们的角平分线啦!没错,角平分线可不是随便切的,它可是有讲究的哦,得把角一分为二,像在和朋友分享秘密一样,公平又有趣。

你问我角平分线怎么找?其实很简单,首先我们要画出一个角,这个角就像是你和朋友一起聚会时的欢笑声,角越大,笑声越多。

然后呢,拿个量角器量量,找出这个角的顶点,接下来就是关键了!我们把量角器的中心对准顶点,量出来的数值一分为二,这样就能得到两个小角了。

哇,真是个聪明的小技巧!有点像做一道美味的菜,要先切好材料,才能炒出美味的佳肴。

我们用尺子从顶点开始,往下画一条线,这条线就是我们的角平分线了。

你瞧,这样一来,这个角就被我们完美地分成了两个相等的小角,简直就像是一对好朋友,永远在一起,互相照顾。

很多同学可能会想,这条线到底有什么用呢?嘿,其实用处大得很!不信你看,很多几何题目都是靠这个角平分线来解的,就像是你生活中的指南针,给你指明方向。

角平分线还有个炫酷的特性,咱们可以叫它“万里挑一”。

就是说,角平分线上的每一点到两条边的距离都是相等的。

这个特性就像是平衡木上的小丑,左右摇摆都不会摔倒。

你想象一下,在考试中碰到这样的题目,如果你掌握了这个特性,那简直就像是找到了一张藏宝图,轻松解题,心里美滋滋的。

我们再聊聊实际应用吧。

生活中有很多地方都能见到角平分线的身影,比如在建筑设计中,设计师们常常利用角平分线来确保对称美感。

你看那些漂亮的建筑,简直就像是艺术品一样,都是角平分线的功劳。

而在我们的日常生活中,开车时转弯也有它的身影,角平分线帮我们计算出转弯的最佳角度,避免撞到路边的小狗狗,真是贴心啊!哦,对了,咱们还可以用一些小工具来帮助我们更好地理解角平分线。

比如说,可以用一根细线来模拟角平分线,看看它是怎么把角分开的。

《角平分线》计算题及答案(提高)

《角平分线》计算题及答案(提高)

《角平分线》计算题及答案(提高)1.已知:如图,∠AOB是直角,∠AOC=40°,ON是∠AOC的平分线,OM是∠BOC的平分线.(1)求∠MON的大小;(2)当锐角∠AOC度数是α,∠MON的大小是否发生改变?为什么?2.如图,OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线.(1)如图①,当∠AOB是直角,∠BOC=60°时,∠MON的度数是多少?(2)如图②,当∠AOB=α,∠BOC=60°时,猜想∠MON与α的数量关系;(3)如图③,当∠AOB=α,∠BOC=β(0°<α+β<180°)时,猜想∠MON与α,β的数量关系,并说明理由.3.如图,BD平分∠ABC,BE把∠ABC分成2:5的两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.4.(1)如图①,∠AOB和∠COD都是直角,请你写出∠AOD和∠BOC之间的数量关系,并说明理由;(2)当∠COD绕点O旋转到如图②所示的位置时,上述结论还成立吗?并说明理由.(3)如图③,当∠AOB=∠COD=β(0°<β<90°)时,请你直接写出∠AOD和∠BOC之间的数量关系.(不用说明理由)5.小丽将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC,BD为折痕,求∠CBD的度数.6.如图,已知∠AOC=60°,∠BOD=90°,∠AOB是∠DOC的3倍,求∠AOB的度数.7.小倩把一副三角板的直角顶点O重叠在一起.(1)如图1,当OB平分∠COD时,∠AOD与∠BOC的和是多少度?(2)如图2,当OB不平分∠COD时,∠AOD和∠BOC的和是多少度?8.如图,点C 为线段AB 上一点, AC ︰CB =3︰2,D 、E 两点分别为AC 、AB 的中点,若线段DE =2cm ,求AB 的长.9.如图,点C 是线段AB 上一点,线段AC =8,BC =20,点N 为AC 的中点,点M 是线段CB 上一点,且CM :BM =1:4,求线段MN 的长.10.如图,点C 是AB 的中点,D ,E 分别是线段AC ,CB 上的点,且AD =23AC ,DE =35AB.若AB =24 cm ,求线段CE 的长.《角平分线》计算题参考答案1.解:(1)∵∠AOB 是直角,∠AOC=40°,∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°,∵OM 是∠BOC 的平分线,ON 是∠AOC 的平分线,∴,.∴∠MON=∠MOC ﹣∠NOC=65°﹣20°=45°,(2)当锐角∠AOC 的大小发生改变时,∠MON 的大小不发生改变.∵=,又∠AOB 是直角,不改变,∴. 2.解:(1)∠MON =∠MOC -∠NOC =12∠AOC -12∠BOC =12(∠AOC -∠BOC)=12∠AOB =45°. (2)∠MON =∠MOC -∠NOC =12∠AOC -12∠BOC =12(∠AOC -∠BOC)=12∠AOB =12α. (3)∠MON =12α.理由:∠MON =∠MOC -∠NOC =12(α+β)-12β=12α.3.解:设∠ABE =2x°,则∠CBE =5x°,∠ABC =7x°.因为BD 为∠ABC 的平分线,所以∠ABD =12∠ABC =72x°, 所以∠DBE =∠ABD -∠ABE =72x°-2x°=32x°=21°. 所以x =14,所以∠ABC =7x°=98°.4.解:(1)∠AOD 与∠BOC 互补.理由:因为∠AOB ,∠COD 都是直角,所以∠AOB =∠COD =90°,所以∠BOD =∠AOD -∠AOB =∠AOD -90°,∠BOD =∠COD -∠BOC =90°-∠BOC ,所以∠AOD -90°=90°-∠BOC ,所以∠AOD +∠BOC =180°,所以∠AOD 与∠BOC 互补.(2)成立.理由:因为∠AOB ,∠COD 都是直角,所以∠AOB =∠COD =90°.因为∠AOB +∠BOC +∠COD +∠AOD =360°,所以∠AOD +∠BOC=180°,所以∠AOD与∠BOC互补.(3)∠AOD+∠BOC=2β.5. 90°6.解:设∠COD=x,∵∠AOC=60°,∠BOD=90°,∴∠AOD=60°﹣x,∴∠AOB=90°+60°﹣x=150°﹣x,∵∠AOB是∠DOC的3倍,∴150°﹣x=3x,解得x=37.5°,∴∠AOB=3×37.5°=112.5°.7.解:(1)∵OB平分∠COD,∴∠COB=∠BOD=45°,∴∠COA=90°﹣45°=45°,∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°,∴∠AOD和∠BOC的和是180°.(2)∵∠AOC+∠BOC=90°,∠BOD+∠BOC=90°,∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC∴∠AOD+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)+(∠BOD+∠BOC)=90°+90°=180°.∴∠AOD和∠BOC的和是180°.8. 8cm9.解:因为点N 是AC 的中点,所以NC =12AC =12×8=4. 因为点M 是线段CB 上一点,且CM :BM =1:4,所以CM =15BC =15×20=4. 所以MN =MC +CN =4+4=8.即线段MN 的长为8.10.解:因为点C 是AB 的中点,所以AC =BC =12AB =12×24=12(cm). 所以AD =23AC =23×12=8(cm).所以CD =AC -AD =12-8=4(cm).因为DE =35AB =35×24=14.4(cm), 所以CE =DE -CD =14.4-4=10.4(cm).。

初一数学角与角平分线含答案

初一数学角与角平分线含答案

初一数学角与角平分线中考要求例题精讲一、角的定义定义1:有公共端点的两条射线组成的图形叫角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关,而与角的边画出部分的长短无关.这是因为角的边是射线而不是线段.定义2:角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形,处于初始位置的那条射线叫做角的始边,终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到,这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到,这样的角叫周角. 注意:由角的定义可知:(1)角的组成部分为:两条边和一个顶点; (2)顶点是这两条边的交点;(3)角的两条边是射线,是无限延伸的.(4)射线旋转时经过的平面部分称为角的内部,平面的其余部分称为角的外部.角平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示,如图1.1.∠AOB图1.1注意:顶点一定要写在中间.也可记为BOA ∠,但不能写成BAO ∠或ABO ∠等. ② 利用一个大写字母来表示,如图1.2.∠A图1.2A注意: 用一个大写字母来表示角的时候,这个大写字母一定要表示角的顶点,而且以它为顶点的角有且只有一个.③ 用数字来表示角,如图2.1.∠1图2.11③用希腊字母来表示角,如图2.2.∠α图2.2α三、单位换算1度=60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")四、角的度量(1)度量角的工具常用量角器用量角器注意:对中(顶点对中心)、重合(角的一边与量角器上的零刻度重合)、读数(读出角的另一边所在线的度数)(2)角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒.把平角分成180等份,每一份就是一度的角,记做1︒.把一度的角60等分,每一份叫做1分的角,记做1'.把一分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记做1''.角度之间的关系1周角=360︒1平角=180︒1直角=90︒1周角=2平角1平角=2直角角的分类:锐角α(090α<<︒),直角α(90α=︒),钝角α(90180α︒<<︒).五、两角的和、差、倍、分(1)两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.(2)从一个角的顶点出发,把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.(3)角平分线的画法:①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角,记为∠PQR,折线使射线QR与射线QP重合,把纸展开,以Q为端点,沿折痕画一条射线,这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR?六、用尺规做已知角的平分线方法作法:(1)以O点为圆心,以任意长为半径,交角的两边于A B、两点;(2)分别以A、B两点为圆心,以大于12AB长为半径画弧,画弧交于C点;(3)过C 点作射线OC 。

七年级三角形的线与角专题三角形的角平分线1(含答案)

七年级三角形的线与角专题三角形的角平分线1(含答案)

七年级三角形的线与角专题三角形的角平分线1一、单选题(共4道,每道25分)1.如图,CD平分∠ACB,DE∥AC且∠1=30°,则∠2=()度.A.30B.45C.60D.75答案:C解题思路:因为CD平分∠ACB,所以∠1=∠DCE=30°,又因为DE∥AC,所以∠1=∠EDC=30°,所以∠2=∠DCE+∠EDC=60°试题难度:三颗星知识点:三角形角平分线2.如图①,PB平分ABC,PC平分ACB;如图②,PB平分ABC,PC平分ACE,如图③,PB平分CBF,PC平分BCE,若∠A=30°,则∠P为()度.A.100,15,60B.105,15,75C.120,30,60D.120,15,75答案:B解题思路:根据公式,图①中,∠BPC=90°+∠A=105°,图②中,∠P=∠A=15°,图③中,∠P=90°-∠A=75°试题难度:二颗星知识点:三角形角平分线3.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD与外角平分线CE的反向延长线相交于点D,若∠A=30°,则∠D=()A.15°B.60°C.25°D.20°答案:A解题思路:延长BC到G,由BD是△ABC的内角∠ABC的平分线,CD是△ABC的外角∠ACG 的外角平分线,则由模型可以得到∠D=∠A,则∠D=15°试题难度:三颗星知识点:三角形角平分线4.如图,在四边形ABCD中,∠DAB的平分线与∠ABC的平分线相交于点E,∠C+∠D=240°,则∠E=()A.150°B.100°C.120°D.135°答案:C解题思路:如图,延长AD,BC到点F,则由∠DAB的平分线与∠ABC的平分线相交于点E,∠E=90°+∠F,∠FDC+∠FCD=360-∠ADC-∠BCD=120°,∠F=60°,所以∠E=120°试题难度:三颗星知识点:三角形角平分线。

角平分线练习

角平分线练习

角平分线(练习)
1、如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立
的是()
A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP
(第1题)(第2题)(第3题)
2、如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P到AB 的距离是______________。

3、如图,△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等;∠A=40°,则∠BOC=________
4、如图:△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线,过D分别作D E⊥AB,DF⊥AC,
求证:DE=DF
5、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=6,AC=4,△ABD的面积等于9.
求:△ADC的面积.
6、已知∠A=∠B=90°,∠BCD、∠ADC的平分线交AB于E.求证:AE=BE.
7、如图,E是∠APB内的一点,CE⊥PA于点C,ED⊥PB于点D,CE=ED,点F在PA上,∠APB=60°,∠PEF=15°.求∠CFE的度数.
如图:某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园,要使公园到三条公路的距离相等,应在何处修建?(使用尺规作图,保留作图痕迹)
数学来源于生活又服务于生活,利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题.李明准备与朋友合伙经营一个超市,经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B,同时又有相交的两条公路,李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上,绘制了如下的居民区和公路的位置图.聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置!请用尺规作图确定超市P的位置.。

角平分线性质定理典型问题综合训练(含解析)

角平分线性质定理典型问题综合训练(含解析)

角平分线性质定理典型问题综合训练(含解析)一.选择题(共12小题)1.下列各图中,OP 是∠MON 的平分线,点E,F,G 分别在射线OM,ON,OP 上,则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是()A.B.C.D.2.如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是()A.1 B.2 C.D.43.如图,OP是∠AOB的平分线,点P到OA的距离为3,点N是OB上的任意一点,则线段PN的取值范围为()A.PN<3 B.PN>3 C.PN≥3 D.PN≤34.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是()A.15 B.30 C.45 D.605.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于()A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:56.如图,点P是△ABC内一点,且PD=PE=PF,则点P是()A.△ABC三边垂直平分线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三条中线的交点7.如图,直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD,四个结论中成立的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③9.如图,已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC 的平分线上;③在∠EAC的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠EAC三个角的平分线的交点.上述结论中,正确结论的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为60和35,则△EDF的面积为()A.25 B.5.5 C.7.5 D.12.511.如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和PN的大小关系是()A.PM>PN B.PM<PN C.PM=PN D.不能确定12.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P()A.有且只有1个B.有且只有2个C.组成∠E的角平分线D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)二.填空题(共6小题)13.如图,∠A=90°,BC边的中垂线DE分别交BC于点D,交AB于点E,且DE=AE,则∠B=.14.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D,若AC=6cm,则AE+DE=.15.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,点O到BC边的距离为3,且△ABC的周长为20,则△ABC的面积为.16.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE=cm.17.如图,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,∠C=30°,AD=2,AB=2,那么S△ABC=.18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,有下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④DA平分∠CDE;⑤S△ABD:S△ACD=AB:AC.其中,正确的有个.三.解答题(共7小题)19.要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站.如图,按设计要求,加油站到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等,加油站应修建在什么位置?(尺规作图,不写画法,保留作图痕迹)20.如图,有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C 处,AB、AC、BC 是连接三幢公寓楼的三条道路,要修建一超市P,按照设计要求,超市要在△ABC的内部,且到A、C的距离必须相等,到两条道路AC、AB的距离也必须相等,请利用尺规作图确定超市P的位置.(不要求写出作法、证明,但要保留作图痕迹).21.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA.22.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,AE是△ABC的角平分线;ED平分∠AEB,交AB于点D;∠CAE=∠B.(1)求∠B的度数.(2)如果AC=3cm,求AB的长度.(3)猜想:ED与AB的位置关系,并证明你的猜想.23.已知:∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、D,PC和PD有怎样的数量关系,请说明理由.24.(1)如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则有相等关系DE=DF,AE=AF.(2)如图2,在(1)的情况下,如果∠MDN=∠EDF,∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点,其它条件不变,那么又有相等关系AM+ =2AF,请加以证明.(3)如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC=6,AD平分∠BAC交BC于D,∠MDN=120°,ND ∥AB,求四边形AMDN的周长.25.已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,点B、D分别在AN、AM上.(1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系,并证明之;(2)如图2,若∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.角平分线性质定理典型问题综合训练参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.下列各图中,OP 是∠MON 的平分线,点E,F,G 分别在射线OM,ON,OP 上,则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是()A.B.C.D.【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等,这里的距离是指点到角的两边垂线段的长.【解答】解:∵OP是∠MON 的平分线,且GE⊥OM,GF⊥ON,∴GE=GF,(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)故选:D.2.如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是()A.1 B.2 C.D.4【分析】作PE⊥OA于E,根据角平分线的性质解答.【解答】解:作PE⊥OA于E,∵点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=2,故选:B.3.如图,OP是∠AOB的平分线,点P到OA的距离为3,点N是OB上的任意一点,则线段PN的取值范围为()A.PN<3 B.PN>3 C.PN≥3 D.PN≤3【分析】作PM⊥OB于M,根据角平分线的性质得到PM=PE,得到答案.【解答】解:作PM⊥OB于M,∵OP是∠AOB的平分线,PE⊥OA,PM⊥OB,∴PM=PE=3,∴PN≥3,故选:C.4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是()A.15 B.30 C.45 D.60【分析】判断出AP是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.【解答】解:由题意得AP是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB于E,又∵∠C=90°,∴DE=CD,∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30.故选B.5.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于()A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质,可知三个三角形高相等,底分别是20,30,40,所以面积之比就是2:3:4.【解答】解:利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C.6.如图,点P是△ABC内一点,且PD=PE=PF,则点P是()A.△ABC三边垂直平分线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三条中线的交点【分析】根据角平分线的性质即可得出结论.【解答】解:∵点P是△ABC内一点,且PD=PE=PF,∴点P是△ABC三条角平分线的交点.故选B.7.如图,直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.一处B.二处C.三处D.四处【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解.【解答】解:如图所示,加油站站的地址有四处.故选D.8.如图,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD,四个结论中成立的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③【分析】过E作EF⊥AD于F,易证得Rt△AEF≌Rt△AEB,得到BE=EF,AB=AF,∠AEF=∠AEB;而点E是BC的中点,得到EC=EF=BE,则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD,得到DC=DF,∠FDE=∠CDE,也可得到AD=AF+FD=AB+DC,∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°,即可判断出正确的结论.【解答】解:过E作EF⊥AD于F,如图,∵AB⊥BC,AE平分∠BAD,∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF,AB=AF,∠AEF=∠AEB;而点E是BC的中点,∴EC=EF=BE,所以③错误;∴Rt△EFD≌Rt△ECD,∴DC=DF,∠FDE=∠CDE,所以②正确;∴AD=AF+FD=AB+DC,所以④正确;∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°,所以①正确.故选A.9.如图,已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC 的平分线上;③在∠EAC的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠EAC三个角的平分线的交点.上述结论中,正确结论的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】利用平分线性质的逆定理分析.由已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等进行思考,首先到到两边距离相等,得出结论,然后另外两边再得结论,如此这样,答案可得.【解答】解:由角平分线性质的逆定理,可得①②③④都正确.故选D.10.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为60和35,则△EDF的面积为()A.25 B.5.5 C.7.5 D.12.5【分析】过点D作DH⊥AC于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH,再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等,Rt△DEF和Rt△DGH全等,然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可【解答】解:如图,过点D作DH⊥AC于H,∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,∴DF=DH,在Rt△ADF和Rt△ADH中,,∴Rt△ADF≌Rt△ADH(HL),∴S Rt△ADF=S Rt△ADH,在Rt△DEF和Rt△DGH中,∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),∴S Rt△DEF=S Rt△DGH,∵△ADG和△AED的面积分别为60和35,∴35+S Rt△DEF=60﹣S Rt△DGH,∴S Rt△DEF=.故选D.11.如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和PN的大小关系是()A.PM>PN B.PM<PN C.PM=PN D.不能确定【分析】作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,根据角平分线的性质定理证明PE=PF,根据三角形全等的判定定理证明△PFN≌△PEM,得到答案.【解答】解:作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,∵OQ平分∠AOB,∴PE=PF,∵∠PNO+∠PNA=180°,∠PNO+∠PMO=180°,∴∠PNA=∠PMO,在△PFN和△PEM中,,∴△PFN≌△PEM,∴PM=PN.故选:C.12.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P()A.有且只有1个B.有且只有2个C.组成∠E的角平分线D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)【分析】根据角平分线的性质分析,作∠E的平分线,点P到AB和CD的距离相等,即可得到S△PAB=S△PCD.【解答】解:作∠E的平分线,可得点P到AB和CD的距离相等,因为AB=CD,所以此时点P满足S△PAB=S△PCD.故选D.二.填空题(共6小题)13.如图,∠A=90°,BC边的中垂线DE分别交BC于点D,交AB于点E,且DE=AE,则∠B=30°.【分析】由于∠A=90°,ED⊥DC,DE=AE,根据角平分线的判定可得到EC平分∠ACD,即∠DCE=∠ACE,再根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC,则∠B=∠ECB,所以∠B=∠ACB,然后根据三角形内角和定理可计算出∠B.【解答】解:连结CE,如图,∵∠A=90°,∴EA⊥AC,∵ED⊥DC,而DE=AE,∴EC平分∠ACD,即∠DCE=∠ACE,∵DE为BC边的中垂线,∴EB=EC,∴∠B=∠ECB,∴∠B=∠ACB,∴∠B=30°.故答案为30°.14.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D,若AC=6cm,则AE+DE=6cm.【分析】根据角平分线的性质得到DE=CE,结合图形计算即可.【解答】解:∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,∠C=90°,∴DE=CE,∴AE+DE=AE+CE=AC=6cm.故答案为:6cm.15.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,点O到BC边的距离为3,且△ABC的周长为20,则△ABC的面积为30.【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3,根据三角形面积公式计算即可.【解答】解:作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,∵OB是∠ABC的平分线,OD⊥BC,OE⊥AB,∴OE=OD=3,同理OF=OD=3,△ABC的面积=×AB×3+×AC×3+×BC×3=30.故答案为:30.16.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE= 2.4cm.【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F,由BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,根据角平分线的性质,可得DE=DF,然后由S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB•DE+BC•DF,求得答案.【解答】解:过点D作DF⊥BC于点F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∵AB=18cm,BC=12cm,∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB•DE+BC•DF=DE•(AB+BC)=36cm2,∴DE=2.4(cm).故答案为:2.4.17.如图,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,∠C=30°,AD=2,AB=2,那么S△ABC=6.【分析】作DE⊥BC于E,根据角平分线的性质得到DE=DA=2,根据直角三角形的性质得到BC=2AB=4,根据三角形的面积公式计算即可.【解答】解:作DE⊥BC于E,∵BD平分∠ABC,∠A=90°,DE⊥BC,∴DE=DA=2,∵∠A=90°,∠C=30°,∴BC=2AB=4,∴S△ABC=S△ABD+S△DBC=×AB×AD+×BC×DE=6,故答案为:6.18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,有下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④DA平分∠CDE;⑤S△ABD:S△ACD=AB:AC.其中,正确的有5个.【分析】由在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.可得CD=DE,继而可得∠ADC=∠ADE,又由角平分线的性质,证得AE=AD,由等角的余角相等,可证得∠BDE=∠BAC,由三角形的面积公式,可证得S△ABD:S△ACD=AB:AC.【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,∴CD=ED,故①正确;∴∠CDE=90°﹣∠BAD,∠ADC=90°﹣∠CAD,∴∠ADE=∠ADC,即AD平分∠CDE,故④正确;∴AE=AC,∴AB=AE+BE=AC+BE,故②正确;∵∠BDE+∠B=90°,∠B+∠BAC=90°,∴∠BDE=∠BAC,故③正确;∵S△ABD=AB•DE,S△ACD=A C•CD,∵CD=ED,∴S△ABD:S△ACD=AB:AC,故⑤正确.故答案为:①②③④⑤.三.解答题(共7小题)19.要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站.如图,按设计要求,加油站到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等,加油站应修建在什么位置?(尺规作图,不写画法,保留作图痕迹)【分析】分别作出线段AB的中垂线;作角分线OP,进而得出其交点P即为所求.【解答】解:如图所示,P点即为所求.20.如图,有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C 处,AB、AC、BC 是连接三幢公寓楼的三条道路,要修建一超市P,按照设计要求,超市要在△ABC的内部,且到A、C的距离必须相等,到两条道路AC、AB的距离也必须相等,请利用尺规作图确定超市P的位置.(不要求写出作法、证明,但要保留作图痕迹).【分析】如图,由于P按照设计要求,在△ABC的内部,且到A、C的距离必须相等,因此确定P在线段AC的垂直平分线上,又P到两条道路AC、AB的距离也必须相等,由此确定P在∠CAB的平分线上,所以P是线段AC的垂直平分线和∠CAB的平分线的交点.【解答】解:如图所示21.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA.【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM,然后利用“HL”证明Rt△AOM和Rt△BOM全等,根据全等三角形对应边相等可得OA=OB,再根据等边对等角的性质即可得证.【解答】证明:∵OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,∴AM=BM,在Rt△AOM和Rt△BOM中,,∴Rt△AOM≌Rt△BOM(HL),∴OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.22.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,AE是△ABC的角平分线;ED平分∠AEB,交AB于点D;∠CAE=∠B.(1)求∠B的度数.(2)如果AC=3cm,求AB的长度.(3)猜想:ED与AB的位置关系,并证明你的猜想.【分析】(1)先由角平分线的定义及已知条件得出∠CAE=∠EAB=∠B,再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°,那么∠B=30°;(2)根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=2AC=6cm;(3)先由∠EAB=∠B,根据等角对等边得出EB=EA,又ED平分∠AEB,根据等腰三角形三线合一的性质得到ED⊥AB.【解答】解:(1)∵AE是△ABC的角平分线,∴∠CAE=∠EAB,∵∠CAE=∠B,∴∠CAE=∠EAB=∠B.∵在△ABC中,∠C=90°,∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°,∴∠B=30°;(2)∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3cm,∴AB=2AC=6cm;(3)猜想:ED⊥AB.理由如下:∵∠EAB=∠B,∴EB=EA,∵ED平分∠AEB,∴ED⊥AB.23.已知:∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、D,PC和PD有怎样的数量关系,请说明理由.【分析】过P分别作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,由角平分线的性质易得PE=PF,然后由同角的余角相等证明∠1=∠2,即可由ASA证明△CFP≌△DEP,从而得证.【解答】答:PC=PD.证明:过P分别作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,∴∠CFP=∠DEP=90°,∵OM是∠AOB的平分线,∴PE=PF,∵∠1+∠FPD=90°,∠AOB=90°,∴∠FPE=90°,∴∠2+∠FPD=90°,∴∠1=∠2,在△CFP和△DEP中,,∴△CFP≌△DEP(ASA),∴PC=PD.24.(1)如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则有相等关系DE=DF,AE=AF.(2)如图2,在(1)的情况下,如果∠MDN=∠EDF,∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点,其它条件不变,那么又有相等关系AM+ AN=2AF,请加以证明.(3)如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC=6,AD平分∠BAC交BC于D,∠MDN=120°,ND ∥AB,求四边形AMDN的周长.【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD,然后利用“角角边”证明△ADE和△ADF全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;(2)由(1)得DE=DF,再求出∠MDE=∠NDF,然后利用“角边角”证明△MDE和△NDF全等,根据全等三角形对应边相等可得ME=NF,然后求AM+AN=AE+AF,再求解即可;(3)根据(2)求出AM+AN=2AC,根据角平分线的定义求出∠BAD=∠CAD=30°,根据两直线平行,内错角相等可得∠ADN=∠BAD=30°,从而得到∠CAD=∠ADN,再根据等角对等边可得AN=DN,根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得DN=2CN,然后求出DN,【解答】(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,在△ADE和△ADF中,,∴△ADE≌△ADF(AAS),∴DE=DF,AE=AF;(2)解:AM+AN=2AF;证明如下:由(1)得DE=DF,∵∠MDN=∠EDF,∴∠MDE=∠NDF,在△MDE和△NDF中,,∴△MDE≌△NDF(ASA),∴ME=NF,∴AM+AN=(AE+ME)+(AF﹣NF)=AE+AF=2AF;(3)由(2)可知AM+AN=2AC=2×6=12,∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于D,∴∠BAD=∠CAD=30°,∵ND∥AB,∴∠ADN=∠BAD=30°,∴∠CAD=∠ADN,∴AN=DN,在Rt△CDN中,DN=2CN,∵AC=6,∴DN=AN=×6=4,∵∠BAC=60°,∠MDN=120°,∴∠CDE=∠MDN,∴DM=DN=4,∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20.25.已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,点B、D分别在AN、AM上.(1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系,并证明之;(2)如图2,若∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.【分析】(1)得到∠ACD=∠ACB=30°后再可以证得AD=AB=AC从而,证得结论;(2)过点C分别作AM、AN的垂线,垂足分别为E、F,证得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF,从而证得结论.【解答】(1)关系是:AD+AB=AC(1分)证明:∵AC平分∠MAN,∠MAN=120°∴∠CAD=∠CAB=60°又∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ACD=∠ACB=30°(2分)则AD=AB=AC(直角三角形一锐角为30°,则它所对直角边为斜边一半)(4分)∴AD+AB=AC(5分);(2)仍成立.证明:过点C分别作AM、AN的垂线,垂足分别为E、F(6分)∵AC平分∠MAN ∴CE=CF(角平分线上点到角两边距离相等)(7分)∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC又∠CED=∠CFB=90°,∴△CED≌△CFB(AAS)(10分)∵ED=FB,∴AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF(11分)由(1)知AE+AF=AC(12分)∴AD+AB=AC(13分)。

角平分线专项练习30题(有答案)ok

角平分线专项练习30题(有答案)ok

角平分线专项练习30题(有答案)1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,AD平分∠BAC,求证:点D在AB的垂直平分线上.2.如图,在△ABC中,PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF,求证:∠BPC=90°+∠BAC.3.如图已知:BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别是D、E,BD、CE交于F,且CF=FB,求证:AF平分∠BAC.4.如图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若AB=AC.求证:AD平分∠BAC.5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,DE⊥BC于D,DE=DC.求证:BC=AB+AE.6.已知:如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.(1)求证:AM平分∠BAD;(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系?(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果.7.如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F.(1)求证:△ACF∽△ABE;(2)若AC=6cm,AF=3cm,AB=10cm,求出AE的长度.8.如图,CD∥AB,∠ABC,∠BCD的角平分线交于E点,且E在AD上,CE交BA的延长线于F点.(1)BE与CF互相垂直吗?若垂直,请说明理由;(2)若CD=3,AB=4,求BC的长.9.如图,直线MN分别交直线AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF,若∠1=50°,∠2=65°,(1)求证:AB∥CD;(2)在(1)的条件下,求∠AEM的度数.10.如图,AD平分∠MAN,BD⊥AM,CD⊥AN,垂足分别为B、C,E为线段AB上一点,(1)用尺规在射线AN上找一点F,使△CDF与△BDE全等(保留作图痕迹);(2)若BE=3,请写出此时线段AE与AF的数量关系,并说明理由.11.如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,(1)分别作出D到BA、BC的距离DE、DF;(2)求证:∠A+∠C=180°.12.已知:如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于D,AE平分∠BAC,EF∥DC,交BC于F,求证:BE=FC.13.如图,四边形AOBC中,AC=BC,∠A+∠OBC=180°,CD⊥OA于D.(1)求证:OC平分∠AOB;(2)若OD=3DA=6,求OB的长.14.如图,点D、B分别在∠A的两边上,C是∠DAB内一点,AB=AD,BC=CD,CE⊥AD于E,CF⊥AF于F,求证:CE=CF.15.如图,已知:在四边形ABCD中,过C作CE⊥AB于E,并且CD=CB,∠ABC+∠ADC=180°,(1)求证:AC平分∠BAD;(2)若AE=3BE=9,求AD的长;(3)△ABC和△ACD的面积分别为36和24,求△BCE的面积.16.如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证:BF=CG.17.如图,AE平分∠BAC,BD=DC,DE⊥BC,EM⊥AB,EN⊥AC.求证:BM=CN.18.如图,△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点,PD⊥AC于D,PH⊥BA于H,求证:AP平分∠HAD.19.如图,△ABC中,若AD平分∠BAC,过D点作DE⊥AB,DF⊥AC,分别交AB、AC于E、F两点.求证:AD⊥EF.(2)若∠MON=80°,求∠PAB的度数.21.如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC.(1)求证:∠PCB+∠BAP=180°;(2)若BC=12cm,AB=6cm,PA=5cm,求BP的长.22.如图,△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE∥AB交BC与E,PF∥AC交BC与F.求证:D 到PE的距离与D到PF的距离相等.23.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC于点G,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.证明:BE=CF;(提示:连接线段BD、CD)25.如图,已知∠ABC=40°,∠ACB=60°,BO,CO平分∠ABC和∠ACB,DE过O点,且DE∥BC,求∠BOC的度数.26.四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°求证:2AE=AB+AD.27.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.(2)ED=BC+BD.29.如图,在△ABC中,∠C=90°,M为AB的中点,DM⊥AB,CD平分∠ACB,求证:MD=AM.30.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,M为OP上任一点,连接CM、DM,则有CM与DM相等,试说明你的理由.参考答案:1.证明:如图,过点D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴CD=DE,在△ADC和△ADE中,,∴△ADC≌△ADE(HL),∴AE=AC,∵AB=2AC,∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE,∴点D在AB的垂直平分线上.2.证明:连接AP,且延长至G,∵PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF,∴点P是△ABC三角平分线的交点,∴AP平分∠BAC,∴∠CAG=∠BAG=∠BAC,∵CP平分∠ACB,BP平分∠ABC,∴∠ACP=∠ACB,∠ABP=∠ABC,∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=(∠BAC+∠ACB),∠BPG=∠BAG+∠ABP=(∠BAC+∠BC),∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=(∠BAC+∠ACB)+(∠BAC+∠ABC)=∠BAC+(180°﹣∠BAC)=90°+∠BAC.3.证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,∠CDF=∠BEF=90°,在△CDF与△BEF中,,∴DF=EF,又∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴AF平分∠BAC(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)4.解:方法一:连接BC,∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∴∠CFB=∠BEC=90°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE(AAS),∴BF=CE,在△BFD和△CED中∵,∴△BFD≌△CED(AAS),∴DF=DE,∴AD平分∠BAC.方法二:先证△AFC≌△AEB,得到AE=AF,再用(HL)证△AFD≌△三AED,得到∠FAD=∠EAD,所以AD平分∠BAC.5.解:∵∠BAC=90°,BE平分∠ABC,DE⊥BC于D,∴AE=DE,∵BE是公共边,∴△BDE≌△BAE(HL),∴BD=BA,AE=DE=DC,∴BC=BD+DC=AB+AE6.(1)证明:作ME⊥AD于E,∵MC⊥DC,ME⊥DA,MD平分∠ADC,∴ME=MC,∵M为BC中点,∴MB=MC,又∵ME=MC,∴ME=MB,又∵ME⊥AD,MB⊥AB,∴AM平分∠DAB.(2)解:DM⊥AM,理由是:∵DM平分∠CDA,AM平分∠DAB,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠3=90°,∴∠DMA=180°﹣(∠1+∠3)=90°,即DM⊥AM.(3)解:CD+AB=AD,理由是:∵ME⊥AD,MC⊥CD,∴∠C=∠DEM=90°,在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM(HL),∴CD=DE,同理AE=AB,∵AE+DE=AD,∴CD+AB=AD.7.(1)证明:∵∠ACB=90°,∠CDB=90°,∴∠ACD=90°﹣∠DCB,∠B=90°﹣∠DCB,∴∠ACD=∠B,(2分)∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠EAB,(3分)∴△ACF∽△ABE;(7分)(2)解:∵△ACF∽△ABE,∴,(9分)∴AE===5cm8.解:(1)垂直.∵CD∥AB,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠ABC,∠BCD的角平分线交于E点,∴∠ABE=∠EBC,∠DCE=∠ECB,∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=(∠ABC+∠BCD)=90°,∴∠CEB=90°,∴BE与CF互相垂直.(2)∵∠CEB=90°,∴∠FEB=90°,在△FBE和△CBE中,∵,∴△FBE≌△CBE(ASA),∴BF=BC,EF=EC,∵CD∥AB,∴∠DCE=∠AFE,∵∠FEA=∠CED,∴△DCE≌△AFE,∴DC=AF,∵CD=3,AB=4,BF=AF+AB,∴BF=BC=7.9.(1)证明:∵∠1+∠2+∠FEG=180°,∵∠1=50°,∠2=65°,∴∠FEG=65°,∵EG平分∠BEF,∴∠BEF=2∠FEG=130°,∴∠BEF+∠1=180°,∴AB∥CD.(2)∵∠AEM=∠BEF,∵∠BEF=130°,∴∠AEM=130°,答:∠AEM的度数是130°10.解:(1)以D为圆心,DE为半径交AN于F1或F2,如图,∵AD平分∠MAN,BD⊥AM,CD⊥AN,∴DB=DC,∵DE=DF,∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL);(2)∵DB=DC,DA=DA,∴Rt△DBA≌Rt△DCA(HL);∴AB=AC,∵Rt△CDF≌Rt△BDE,∴BE=CF,∴当F点在F1时,AF=AE;当F点在F2时,AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE,∴AF﹣AE=2BE=6.11.解:(1)如图所示:.(2)证明:∵BD平分∠ABC,DE⊥BA,DF⊥BC,∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°,∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC(HL),∴∠C=∠EAD,∵∠BAD+∠EAD=180°,∴∠BAD+∠C=180°12.证明:过点E作EG⊥AB于点G,过F点作FH⊥AC于点H,∵△ABC中,∠ABC=90°,∴∠C+∠BAC=90°,∵BD⊥AC于D,∴∠ADB=90°,∴∠BAC+∠ABD=90°,∴∠C=∠ABD,∵点E在∠BAC的平分线上,∴GE=DE,∵EF∥DC且BD⊥AC于D,FH⊥AC于D∴ED=FH,∴GE=FH,在△BEG与△CFH中,,∴△BEG≌△CFH(AAS),∴BE=CF.13.证:(1)作CE⊥OB于E,∵∠A+∠OBC=180°,∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(AAS),∴CD=CE,∴OC平分∠AOB.(2)∵OD=3DA=6,∴AD=BE=2,在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC(HL),∴OE=OD=6,∴OB=OE﹣BE=4.14.证明:在△ADC和△ABC中,,∴△ADC≌△ABC(SSS),∴∠DAC=∠BAC,∵CE⊥AD于E,CF⊥AF于F,∴CE=CF15.解:(1)作CF⊥AD的延长线于F,∴∠F=90°.∵CE⊥AB,∴∠CEA=∠CEB=90°,∴∠F=∠CEA=∠CEB.∵∠ADC+∠CDF=180°,且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B.在△CDF和△CEB中,∴△CDF≌△CEB(AAS),∴CF=CE.∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴AC平分∠BAD;(2)在Rt△CAF和Rt△CAE中,∴Rt△CAF≌Rt△CAE(HL),∴AF=AE.∵△CDF≌△CEB,∴DF=EB.∵3BE=9,∴BE=3,∴DF=3.∵AD=AF﹣DF,∴AD=AE﹣DF.∵AE=9,∴AD=9﹣3=6;(3)∵△CAF≌△CAE,△CDF≌△CEB,∴S△CAF=S△CAE,S△CDF=S△CEB..设△BCE的面积为x,则△CDF的面积为x,由题意,得24+x=36﹣x,∴x=6,答:△BCE的面积为6.16.证明:延长FE至Q,使EQ=EF,连接CQ,∵E为BC边的中点,∴BE=CE,∵在△BEF和CEQ中,∴△BEF≌△CEQ,∴BF=CQ,∠BFE=∠Q,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,∵EF∥AD,∴∠CAD=∠G,∠BAD=∠GFA,∴∠G=∠GFA,∴∠GFA=∠BFE,∵∠BFE=∠Q(已证),∴∠G=∠Q,∴CQ=CG,∵CQ=BF,∴BF=CG.17.证明:连接BE、EC,∵BD=DC,DE⊥BC∵BE=EC.∵AE平分∠BAC,EM⊥AB,EN⊥AC,EM=EN,∠EMB=∠ENC=90°.在Rt△BME和Rt△CNE中,∵BE=EC,EM=EN,∴Rt△BME≌Rt△CNE(HL)∴BM=CN.18.证明:过P作PF⊥BE于F,∵BP平分∠ABC,PH⊥BA于H,PF⊥BE于F,∴PH=PF(角平分线上的点到角的两边距离相等).又∵CP平分∠ACE,PD⊥AC于D,PF⊥BE于F,∴PF=PD(角平分线上的点到角的两边距离相等).∴PD=PH(等量代换).∴AP平分∠HAD(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).19.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°,∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°,∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°,∴∠EDA=∠FDA,∵DE=DF,∴AD⊥EF三线合一)20.(1)证明:∵∠PAB=∠PBA,∴PA=PB,∵PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,∴OP平分∠MON(到角的两边距离相等的点在角的平分线上);(2)解:∵∠MON=80°,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°,∵∠PAB=∠PBA,∴∠PAB=(180°﹣100°)=40°21.证明:(1)如图,过点P作PE⊥AB于E,∵∠1=∠2,PF⊥BC,∴PE=PF,在△APE和△CPF中,,∴△APE≌△CPF(HL),∴∠PAE=∠PCB,∵∠PAE+∠PAB=180°,∴∠PCB+∠BAP=180°;(2)∵△APE≌△CPF,∴AE=FC,∵BC=12cm,AB=6cm,∴AE=×(12﹣6)=3cm,BE=AB+AE=6+3=9cm,在Rt△PAE中,PE==4cm,在Rt△PBE中,PB==cm.22.证明:∵PE∥AB,PF∥AC,∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD,∵△ABC中,AD是它的角平分线,∴∠BAD=∠CAD,∴∠EPD=∠DPF,即DP平分∠EPF,∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23.证明:连接BD,CD,∵AD平分∠BAC,且DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,∵DG⊥BC且平分BC,∴BD=CD,在Rt△BED与Rt△CFD中,,∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.24.证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE与△CDE是直角三角形,∵,∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF,∴AD是∠BAC的平分线25.解:∵∠ABC=40°,∠ACB=60°,BO,CO平分∠ABC和∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=(∠ACB+∠ABC)=50°;∴∠BOC=180°﹣50°=130°26.证明:过C作CF⊥AD于F,∵AC平分∠BAD,∴∠FAC=∠EAC,∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠DFC=∠CEB=90°,∴△AFC≌△AEC,∴AF=AE,CF=CE,∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC,∴△FDC≌△EBC∴DF=EB,∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27.(1)证明:连接BD,CD,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,∵DG⊥BC且平分BC,∴BD=CD,在Rt△BED与Rt△CFD中,,∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF;(2)解:在△AED和△AFD中,,∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,设BE=x,则CF=x,∵AB=5,AC=3,AE=AB﹣BE,AF=AC+CF,∴5﹣x=3+x,解得:x=1,∴BE=1,AE=AB﹣BE=5﹣1=4.28.证明:(1)由三角形的外角性质,∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC,∵∠1=90°﹣∠EDC,∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC,∴∠BAD=∠EDC,延长DB至F,使BF=BD,则AB垂直平分DF,∴∠BAD=∠DAF,AD=AF,∴∠DAF=∠EDC,∠2=∠F,在△ADF中,∠F+∠DAF=∠1+∠EDC,∴∠1=∠F,∴∠1=∠2;(2)在△AED和△ACF中,,∴△AED≌△ACF(ASA),∴ED=CF,∵CF=BC+BF=BC+DB,∴ED=BC+BD.29.证明:如图,连接CM,设AB、CD相交于点E,则CM是斜边上的中线,MC=MB=AM,∴∠MCB=∠B,∵CD平分∠ACB,∠C=90°,∴∠BCD=×90°=45°,∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°,又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B,∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°,∴∠D=∠MCD,∴MD=MC,∴MD=AM.30.解:∵OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,∴PC=PD,∵OM是公共边,∴△POC≌△POD(HL),∴OC=OD,∴△COM≌△DOM(SAS),∴CM=DM。

北师大版(2024新版)七年级数学上册第四章习题练课件:与角平分线有关的常考题型

北师大版(2024新版)七年级数学上册第四章习题练课件:与角平分线有关的常考题型
。理由如下:因为,平分 ,所以 ,又因为 ,所以 。
专项 与角平分线有关的常考题型
阶段强化专项训练
类型1 利用分类讨论思想求角度
1.[2024重庆一中开学考试]已知 , , 平分,则 的度数为( )

A. B. C. 或 D. 或
【解析】 分两种情况:①射线 在的外部,如图1, ,因为平分 ,所以 ;②射线 在 的内部,如图2,
,因为平分 ,所以 。
2.[2024绵阳期末]已知 ,,平分 ,平分,则 的度数是( )
C
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【解析】 分两种情况:如图1,当在 内部时,因为 , ,所以 ,因为平分,
平分,所以 , ,所以 ;如图2,当在 外部时, 。
类型2 利用整体思想求角度
3.[2023石家庄期末]如图,已知是直角, 是锐角,平分,平分,则 的大小等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为平分,平分,所以 , ,所以
4.[2024南通期末]已知,射线在 的内部,射线是内靠近 的三等分线,射线是内靠近 的三等分线。
(1)如图,若 ,平分 ,
①补全图形;
解:补全图形如图所示。
②填空: 的度数为_____。
【解析】 因为平分, ,所以 ,由题意知 , ,所以 。
6.[2024岳阳期末]点是直线 上一点,是直角,平分 。
(1)①如图1,若 ,求 的度数;
解:因为 , ,所以 ,又因为平分,所以 ,所以 。
②如图2,若 ,直接写出的度数。(用含 的式子表示)
因为 , ,所以 ,又因为平分,所以 ,所以 。
(2)将图1中的绕点 按顺时针方向旋转至如图2所示的位置。探究与 的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由。

角平分线练习题99666

角平分线练习题99666

角平分线练习题一.选择题(共22小题)1.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长度是()A.2 B.3 C.4 D.62.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( )A.30°B.35°C.45°D.60°3.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A.OE是∠AOB的平分线B.OC=ODC.点C、D到OE的距离不相等D.∠AOE=∠BOE4.如图,OP是∠AOC的平分线,点B在OP上,BD⊥OC于D,∠A=45°,若BD=2,则AB长为()A.2 B.2 C.2D.35.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,若CD=2,AB=8,则△ABD的面积是()A.6 B.8 C.10 D.126.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,CD=3,AB=10,则△ABD 的面积等于()A.30 B.24 C.15 D.107.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为()A.3 B.4 C.5 D.68.如图,BP为∠ABC的平分线,过点D作BC、BA的垂线,垂足分别为E、F,则下列结论中错误的是( )A.∠DBE=∠DBF B.DE=DF C.2DF=DB D.∠BDE=∠BDF9.如图,OA是∠BAC的平分线,OM⊥AC于点M,ON⊥AB于点N,若ON=8cm,则OM长为()A.4cm B.5cm C.8cm D.20cm10.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A.M点B.N点C.P点D.Q点11.如图,直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )A.一处B.二处C.三处D.四处12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若CD=BD,点D到边AB的距离为6,则BC的长是( )A.6 B.12 C.18 D.2413.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,有下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④AD平分∠CDE;其中正确的是()个.A.1 B.2 C.3 D.414.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域,如果在这个区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,那么这个集贸市场应建的位置是( )A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点15.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,且PD=PE,则△APD与△APE 全等的理由是()A.SAS B.AAA C.SSS D.HL16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D.若BC=4cm,CD=3cm,则点D到AB的距离是()A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm17.如图,OC是∠AOB的平分线,PD⊥DA于点D,PD=2,则P点到OB的距离是()A.1 B.2 C.3 D.418.如图,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD,四个结论中成立的是( )A.①②④B.①②③C.②③④D.①③19.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三边的中垂线的交点20.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB,其中正确的有()A.2个B.3个 C.4个D.1个21.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AB=12,CD=3,则△DAB的面积为()A.12 B.18 C.20 D.2422.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=10,DE=2,AB=4,则AC长是()A.9 B.8 C.7 D.6评卷人得分二.填空题(共13小题)23.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,若AB=5,BC=6,S△ABC=9,则DE的长为.24.如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为.25.如图,已知△ABC的周长是32,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC 于D,且OD=6,△ABC的面积是.26.如图,已知△ABC的周长是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4,△ABC的面积是.27.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD是△ABC的角平分线,BC=10cm,BD:DC=3:2,则点D到AB的距离为.28.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,CD=16,则D到AB 边的距离是.29.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,若AD=6,DE⊥AB,则DE 的长为.30.如图,直线a、b、c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有处.31.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠A=60°,则∠BOC= .32.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,CD是∠ACD的平分线,若BD=2,AC=8,则△ACD的面积为.33.如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= .34.把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…,那么…、”的形式:如果,那么.35.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若BC=32,且BD:CD=9:7,则D到AB的距离为.评卷人得分三.解答题(共5小题)36.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.37.如图已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.求证:(1)∠ECD=∠EDC;(2)OE是CD的垂直平分线.38.如图,四边形ABCD中,AC为∠BAD的角平分线,AB=AD,E、F两点分别在AB、AD上,且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.39.△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作一直线交AB、AC 于E、F.且BE=EO.(1)说明OF与CF的大小关系;(2)若BC=12cm,点O到AB的距离为4cm,求△OBC的面积.40.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE ⊥AB于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.2018年09月23日tcq372的初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共22小题)1.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长度是( )A.2 B.3 C.4 D.6【解答】解:∵BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF=6,故选:D.2.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( )A.30°B.35°C.45°D.60°【解答】解:作MN⊥AD于N,∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°,∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,∴MN=MC,∵M是BC的中点,∴MC=MB,∴MN=MB,又MN⊥AD,MB⊥AB,∴∠MAB=∠DAB=35°,故选:B.3.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A.OE是∠AOB的平分线B.OC=ODC.点C、D到OE的距离不相等D.∠AOE=∠BOE【解答】解:根据尺规作图的画法可知:OE是∠AOB的角平分线.A、OE是∠AOB的平分线,A正确;B、OC=OD,B正确;C、点C、D到OE的距离相等,C不正确;D、∠AOE=∠BOE,D正确.故选:C.4.如图,OP是∠AOC的平分线,点B在OP上,BD⊥OC于D,∠A=45°,若BD=2,则AB长为( )A.2 B.2 C.2D.3【解答】解:如图,过B点作BE⊥OA于E,∵OP是∠AOC的平分线,点B在OP上,BD⊥OC于D,BD=2,∴BE=BD=2,在直角△ABE中,∵∠AEB=90°,∠A=45°,∴AB=BE=2.故选:C.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,若CD=2,AB=8,则△ABD的面积是()A.6 B.8 C.10 D.12【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,∵AB=8,CD=2,∵AD是∠BAC的角平分线,∠C=90°,∴DE=CD=2,∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8.故选:B.6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,CD=3,AB=10,则△ABD的面积等于()A.30 B.24 C.15 D.10【解答】解:如图,过D作DE⊥AB于E,∵AD平分∠BAC,∠C=90°,∴DE=DC=3,∵AB=10,∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15.故选:C.7.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为()A.3 B.4 C.5 D.6【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴DE=CD,∴S△ABD=AB•DE=×10•DE=15,解得DE=3.故选:A.8.如图,BP为∠ABC的平分线,过点D作BC、BA的垂线,垂足分别为E、F,则下列结论中错误的是( )A.∠DBE=∠DBF B.DE=DF C.2DF=DB D.∠BDE=∠BDF【解答】解:∵BP为∠ABC的平分线,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF,B正确,不符合题意;在Rt△DBE和Rt△DBF中,,∴Rt△DBE≌Rt△DBF,∴∠DBE=∠DBF,∠BDE=∠BDF,A、D正确,不符合题意,2DF不一定等于DB,C错误,符合题意,故选:C.9.如图,OA是∠BAC的平分线,OM⊥AC于点M,ON⊥AB于点N,若ON=8cm,则OM长为()A.4cm B.5cm C.8cm D.20cm【解答】解:∵OA是∠BAC的平分线,OM⊥AC,ON⊥AB,∴OM=ON=8cm,故选:C.10.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A.M点B.N点C.P点D.Q点【解答】解:从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上,其它三点不在∠AOB 的平分线上.所以点M到∠AOB两边的距离相等.故选A.11.如图,直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.一处B.二处C.三处D.四处【解答】解:如图所示,加油站站的地址有四处.故选:D.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若CD=BD,点D到边AB的距离为6,则BC的长是( )A.6 B.12 C.18 D.24【解答】解:过D作DE⊥AB于E,∵点D到边AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴CD=DE=6,∵CD=DB,∴DB=12,∴BC=6+12=18,故选:C.13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,有下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④AD平分∠CDE;其中正确的是()个.A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴CD=DE,故①正确;在Rt△ACD和Rt△AED中,,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,∠ADC=∠ADE,∴AC+BE=AE+BE=AB,故②正确;AD平分∠CDE,故④正确;∵∠B+∠BAC=90°,∠B+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠BAC,故③正确;综上所述,结论正确的是①②③④共4个.故选:D.14.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域,如果在这个区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,那么这个集贸市场应建的位置是()A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点【解答】解:在这个区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,根据角平分线的性质,集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处.故选:C.15.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,且PD=PE,则△APD与△APE全等的理由是()A.SAS B.AAA C.SSS D.HL【解答】解:∵PD⊥AB,PE⊥AC,∴∠ADP=∠AEP=90°,在Rt△ADP和△AEP中,∴Rt△ADP≌△AEP(HL),故选:D.16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D.若BC=4cm,CD=3cm,则点D到AB的距离是( )A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm【解答】解:过D作DE⊥AB于E,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,∴DE=DC=3cm,故选:B.17.如图,OC是∠AOB的平分线,PD⊥DA于点D,PD=2,则P点到OB的距离是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:如图,过点P作PE⊥OB,∵OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,且PD⊥OA,PE⊥OB,∴PE=PD,又PD=2,∴PE=PD=2.故选:B.18.如图,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD,四个结论中成立的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③【解答】解:过E作EF⊥AD于F,如图,∵AB⊥BC,AE平分∠BAD,∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF,AB=AF,∠AEF=∠AEB;而点E是BC的中点,∴EC=EF=BE,所以③错误;∴Rt△EFD≌Rt△ECD,∴DC=DF,∠FDE=∠CDE,所以②正确;∴AD=AF+FD=AB+DC,所以④正确;∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°,所以①正确.故选:A.19.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三边的中垂线的交点【解答】解:∵凉亭到草坪三条边的距离相等,∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点.故选:B.20.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB,其中正确的有()A.2个B.3个 C.4个D.1个【解答】解:∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAE∵∠C=90°,DE⊥AB∴∠C=∠E=90°∵AD=AD∴△DAC≌△DAE∴∠CDA=∠EDA∴①AD平分∠CDE正确;无法证明∠BDE=60°,∴③DE平分∠ADB错误;∵BE+AE=AB,AE=AC∴BE+AC=AB∴④BE+AC=AB正确;∵∠BDE=90°﹣∠B,∠BAC=90°﹣∠B∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确.故选:B.21.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AB=12,CD=3,则△DAB的面积为( )A.12 B.18 C.20 D.24【解答】解:过D作DE⊥AB,∵Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,∴DE=DC=3,∴△DAB的面积=,故选:B.22.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=10,DE=2,AB=4,则AC长是()A.9 B.8 C.7 D.6【解答】解:过D作DF⊥AC于F,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DF=2,∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4,∵△ABC的面积为10,∴△ADC的面积为10﹣4=6,∴AC×DF=6,∴AC×2=6,∴AC=6故选:D.二.填空题(共13小题)23.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,若AB=5,BC=6,S△ABC=9,则DE的长为.【解答】解:作DF⊥AB于F,∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,∴DE=DF,∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC,即×5×DE+×6×DE=9,解得,DE=,故答案为:.24.如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为 3 .【解答】解:过C作CF⊥AO,∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,∴CM=CF,∵OC=5,OM=4,∴CM=3,∴CF=3,故答案为:3.25.如图,已知△ABC的周长是32,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=6,△ABC的面积是96 .【解答】解:过O作OM⊥AB,ON⊥AC,连接AO,∵OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,∴OM=ON=OD=6,∴△ABC的面积为:×AB×OM+BC×DO+NO=(AB+BC+AC)×DO=32×6=96.故答案为:96.26.如图,已知△ABC的周长是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4,△ABC的面积是42 .【解答】解:过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,∵OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,∴OE=OD,OD=OF,即OE=OF=OD=4,∴△ABC的面积是:S△AOB+S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×(AB+AC+BC)=×4×21=42,故答案为:42.27.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD是△ABC的角平分线,BC=10cm,BD:DC=3:2,则点D到AB的距离为4cm .【解答】解:∵BC=10cm,BD:DC=3:2,∴DC=4cm,∵AD是△ABC的角平分线,∠ACB=90°,∴点D到AB的距离等于DC,即点D到AB的距离等于4cm.故答案为4cm.28.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,CD=16,则D到AB边的距离是16 .【解答】解:过D作DE⊥AB于E,则DE的长度就是D到AB边的距离.∵AD平分∠CAB,∠ACD=90°,DE⊥AB,∴DC=DE=16(角平分线性质),故答案为:16.29.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,若AD=6,DE⊥AB,则DE 的长为 3 .【解答】解:∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠BAC=30°.在Rt△ADE中,DE⊥AB,∠DAE=30°,∴DE=AD=3.故答案为:3.30.如图,直线a、b、c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 4 处.【解答】解:∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,∴△ABC内角平分线的交点满足条件;如图:点P是△ABC两条外角平分线的交点,过点P作PE⊥AB,PD⊥BC,PF⊥AC,∴PE=PF,PF=PD,∴PE=PF=PD,∴点P到△ABC的三边的距离相等,∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等,满足这条件的点有3个;综上,到三条公路的距离相等的点有4个,∴可供选择的地址有4个.故答案为:4.31.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠A=60°,则∠BOC= 120°.【解答】解:∵点O在△ABC内,且到三边的距离相等,∴点O是三个角的平分线的交点,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=(180°﹣60°)=60°,在△BCO中,∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣60°=120°.故答案为:120°.32.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,CD是∠ACD的平分线,若BD=2,AC=8,则△ACD的面积为8 .【解答】解:作DH⊥AC于H,∵CD是∠ACD的平分线,∠B=90°,DH⊥AC,∴DH=DB=2,∴△ACD的面积=×AC×DH=×8×2=8,故答案为:8.33.如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= 150°.【解答】解:∵BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DB=DC,∴AD是∠BAC的平分线,∵∠BAC=40°,∴∠CAD=∠BAC=20°,∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.故答案为:150°34.把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…,那么…、”的形式:如果一个点在角的平分线上,那么它到这个角两边的距离相等.【解答】解:如果一个点在角平分线上,那么它到角两边的距离相等.35.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若BC=32,且BD:CD=9:7,则D到AB的距离为14 .【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,∵BC=32,BD:CD=9:7,∴CD=32×=14,∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴DE=CD=14,即D到AB的距离为14.故答案为:14.三.解答题(共5小题)36.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.【解答】(1)证明:∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴∠E=∠DFC=90°,∴△BDE与△CDE均为直角三角形,∵∴△BDE≌△CDF,∴DE=DF,即AD平分∠BAC;(2)AB+AC=2AE.证明:∵BE=CF,AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD,∵∠E=∠AFD=90°,∴∠ADE=∠ADF,在△AED与△AFD中,∵,∴△AED≌△AFD,∴AE=AF,∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE.37.如图已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.求证:(1)∠ECD=∠EDC;(2)OE是CD的垂直平分线.【解答】证明:(1)∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,∴EC=DE,∴∠ECD=∠EDC;(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中,,∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL),∴OC=OD,又∵OE是∠AOB的平分线,∴OE是CD的垂直平分线.38.如图,四边形ABCD中,AC为∠BAD的角平分线,AB=AD,E、F两点分别在AB、AD上,且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD 的一半.【解答】解:分别作CG⊥AB与G,CH⊥AD与H,∵AC为∠BAD的角平分线,∴CG=CH,∵AB=AD,∴△ABC面积=△ACD面积,又∵AE=DF,∴△AEC面积=△CDF面积,∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积,△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积,∴△BCE面积=△ACF面积,∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积,四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积,∴四边形AECF面积=△ABC面积,又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积,又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积,∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半.39.△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作一直线交AB、AC 于E、F.且BE=EO.(1)说明OF与CF的大小关系;(2)若BC=12cm,点O到AB的距离为4cm,求△OBC的面积.【解答】解:(1)OF=CF.理由:∵BE=EO,∴∠EBO=∠EOB,∵△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,∴∠EBO=∠OBC,∴∠EOB=∠OBC,∴EF∥BC,∴∠FOC=∠OCB=∠OCF,∴OF=CF;(2)过点O作OM⊥BC于M,作ON⊥AB于N,∵△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,点O到AB的距离为4cm,∴ON=OM=4cm,∴S△OBC=BC•OM=×12×4=24(cm2).40.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.【解答】(1)证明:∵在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴CD=DE,∠AED=∠C=90°,∠CAD=∠EAD,在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED,∴AC=AE;(2)解:∵DE⊥AB,点E为AB的中点,∴AD=BD,∴∠B=∠DAB=∠CAD,∵∠C=90°,∴3∠B=90°,∴∠B=30°,∵CD=DE=4,∠DEB=90°,∴BD=2DE=8,由勾股定理得:BE==4.。

七年级数学上册 中点及角平分线习题 (新版)新人教版

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中点及角平分线(习题)巩固练习1. 已知线段 AB =2 cm ,延长 AB 到 C ,使 BC =2AB ,若点 D 为AB 的中点,则线段 C D 的长为 .2. 已知点 C 为线段 AB 的中点,点 D 为线段 BC 的中点,若 AB =10 cm ,则线段 A D 的长是 .3.已知:如图,线段 A B 的中点是 C ,BC 的中点是 D ,AD 的中点是 E ,若 A B =24 cm ,则 A E = .AE CD4. 已知两根木条分别长 60 cm ,100 cm ,将它们的一端重合,放在同一条直线上,此时两根木条的中点间的距离是 cm .5.如图,B ,O ,C 在同一条直线上,OE 平分∠AOB ,OD 平分∠AOC ,则∠EOD = . E ADBOC6.若点 C 在线段 AB 上,则下列等式:① AC = 1AB ;②AC =CB ;2③AB =2AC ;④AC +CB =AB ,其中能说明点 C 是线段 A B 中点的是 (填序号). 7.点 C 是线段 A B 的中点,点 D 是线段 B C 上一点,下列说法错误的是( )A . C D = AC - BDC . CD = AD - BCB .CD = 1AB - BD 2 D . C D = 1BC 28.如图,点 D 为∠BAC 内一点,则下列等式:① BAD = 1 ∠BAC2② CAD = ∠BAC - ∠BAD ;③ BAC = 1∠BAC + ∠BAD ;2 ④ BAC = ∠BAD + ∠DAC .其中能说明射线AD 是∠BAC 平分线的有 (填序号).9.已知:如图,线段BC=6 cm,点C 是线段AB 的中点,求AC的长.A10.如图,点C,D 是线段AB 上两点,点D 是AC 的中点,若BC=6cm,BD=10 cm,求AB 的长.A D C B11.已知:如图,线段AD=8 cm,线段BC=4 cm,点E,F 分别是AB,CD 的中点,求EF 的长.D CBD12. 已知:如图,∠AOB =68°,OC 平分∠AOB ,求∠BOC 的度数.AO13. 已知:如图,∠AOE =140°,OB 是∠AOC 的平分线,OD 是∠COE 的平分线,∠COD =30°,求∠AOB 的度数.EOA14. 如图,AB ,CO 相交于点 O ,∠AOC =90°,∠BOD =30°,ON平分∠COD ,OM 平分∠AOD ,求∠MON 的度数.M CNC思考小结1.如图,若OC 为∠AOB 的平分线,则角平分线的六种表示是.ACB (1)已知∠AOC=30°,求∠AOB,则表示方法为:.(2)已知∠AOB=60°,求∠BOC,则表示方法为:.2.按要求回答问题:(1)请借助一副三角板进行拼摆,画出一个 75°的角.(2)借助这副三角板,你还能做出哪些角?答:.这些角有什么共同特征?答:.【参考答案】巩固练习1. 5 cm2. 7.5 cm3. 9 cm4. 80 或205. 90°6. ①②③7. D8. ①③9. 6 cm10.14 cm11.6 cm12. 34°13. 40°14. 45°思考小结1. ∠AOC=∠BOC,∠BOC=∠AOC∠AOC= 1∠AOB,∠BOC=1∠AOB2 2∠AOB=2∠AOC,∠AOB=2∠BOC (1)∠AOB=2∠AOC(2)∠BOC= 1∠AOB22. (1)略(2)15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,165°它们都是 15°的倍数。

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角平分线相关练习题
答案:
1、∠DOC=30°
解析:由角平分线定义:到角两边距离相等的点在角平分线上,得知,点C在角平分线上,即OC为∠AOB
的角平分线,因为∠AOB=60°,所以∠DOC=∠EOC=30°
2、∠BOC=50°
解析:由题知,∠AOE=∠BOE=½∠AOB=45°,∠BOD=∠EOD-∠BOE=70°-45°=25°,∠BOC=2∠BOD=50°
3、D
解析:由角平分线定义和性质得知,角平分线上的点到角两边的距离相等,故A、B、C均正确。

4、S△BDC=½mn
解析:通过D点向BC边作垂线段,交BC于点E,则DE为△BDC的高线,由于DA⊥AB且DE⊥BC,BD是
角平分线,故得知线段AD=DE=m,S△BDC=½BC×DE=½mn
5、A
解析:由角平分线性质得知,角平分线上的点到角两边的距离相等,故P到AB的距离=PE=3
6、∠COE=75°
解析:∠AOC=∠BOC=∠BOD=½×90°=45°,因为∠BOD=3∠DOE,所以∠BOE=⅔∠BOD=⅔×45°=30°,
∠COE=∠BOC+∠BOE=45°+30°=75°
7、∠BOD=75°
解析:∠COD=∠AOD=½∠AOC=½(∠AOB-∠BOC)=½(90°-60°)=15°,
∠BOD=∠BOC+∠COD=60°+15°=75°
8、∠AOC=140°
解析:∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOD+2∠BOE=2∠BOD+2(∠DOE-∠BOD)=2∠DOE=2×70°=140°
it 6 Science and Technolo t I Warming
escript.
Thai silk is known for its beauty and elegance. But a research team has found a new use for it. A bulletproof vest made of si s put to the test at a shooting range in Thailand. After several rounds of gunfire, the vest was examined. The bullets were stu he first layer of fifteen pieces of silk. A member of the research team says while silk threads may be soft, they can be used duce a stronger yarn than copper threads, the material used in regular bulletproof ves American and Japanese researchers say they are a step closer to predicting severe weather in and around the Indian Ocea earchers have analyzed weather data from the region over the past 40 years and they've discovered a strong connecti ween extreme weather and conditions in the ocean. A BBC science correspondent says the findings could make it easier dict droughts or, indeed, periods of heavy rainfa The world chess champion Garry Kasparov began a match against the rest of the world on the Internet. Kasparov made his fi ve with a meter-high pawn before an audience of chess fans at a park in New York. The move was immediately posted on cial website set up by the Microsoft corporation. Visitors to the site have 24 hours to vote on their counter move helped by
m of young chess experts who will suggest strategie Few scientific advances of this or any millennium can rival in significance the discovery of the structure of DNA, the bas lecule of life. Knowledge of the structure of DNA helps explains many things, including genetic mutation and , through lution. Understanding its code has helped to unlock the mechanics of inherited disease, as well as beneficial biological tra h as intelligence and body strength. The discovery of the DNA molecule also paved the way for many of today’s cutting-ed ences, including genetic engineering, a controversial branch of knowledge that raises new ethical and moral questions that a ain to be with us far into the next millennium.
Some say it's hard to find good help these days, but a Japanese electronics firm thinks it's found the answer. It's a robot th s and understands orders. The robot from NEC can record and send video mail through the Internet and switch on TVs a Rs. And if it's becoming a bit warm for you, one simple command and the robot will switch on the air conditioner. escript:
. Yes, you see, it's the force of attraction between any two objects. The strength of the force depends on the mass of the objec the distance between them. Er... the most obvious effect is the way objects on the surface of the earth are attracted towards t ter of the earth . as it comes down it goes relatively slowly 100 to 1,000 miles per hour and you can't see it, but the return stroke goes up fro earth to the cloud and it goes at over 87,000 miles per hour and that's the one you can see, you see, the one that goes back u really just a very large, powerful spark. The distance in miles you are away from it is the time in seconds between it and t nd you hea .. Well, they were first discovered in 1895 and they can penetrate matter that is opaque to light. Some matter is mo nsparent to them than others, which means you can see inside somebody. They are actually quite dangerous and people w rk with them wear special protective clothing . ordinary light consists of electromagnetic waves of different frequencies and phase(s). This is a。

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