第二章随机变量及其分布
概率论课件第二章
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布
15
例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数 较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概 率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率 各为多少？ 解 每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的 盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘 以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。 分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)
i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似 计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击 中的次数大于等于2的概率。 解 将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中 击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
14
(2) 二项分布 设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个 离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如： 掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～
第二章随机变量及其分布函数
28
例2.2.9 设在时间t分钟内通过某交叉路口的汽车 数服从参数与t成正比的泊松分布. 已知在一分钟内 没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆 车通过的概率.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量 可采用下列方法
X ()
红色 白色
S
1 0R
3
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色, X () 0, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
4
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X () 恒等变换
20
泊松分布是一个非常常用的分布律，它常与 单位时间、单位面积等上的计数过程相联系. 例如一小时内来到某百货公司中顾客数、单位 时间内某电话交换机接到的呼唤次数和布匹 上单位面积的疵点数等随机现象都可以用泊
松分布来描述. 附表 2 给出了不同 值对应的
泊松分布函数的值.
21
泊松分布的取值规律
记 P(k; ) k e ，则
P
1 2
X
5
2
P(X
1 X
2)
P(X 1) P(X 2) 5
9
12
例 2.2.2 一只口袋中有 m 只白球， n m 只黑球.连 续无放回地从这口袋中取球，直到取出黑球为止．设 此时取出了 X 只白球，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 0,1,2,, m ，且事件{X i}意 味着总共取了 i+1 次球，其中最后一次取的是黑球而 前面 i 次取得都是白球.
或 X ~ Bn, p.
二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中事 件A发生的概率均为p，则在n重伯努利试验中A发生 的次数服从参数为n,p的二项分布。
随机变量及其分布
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
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第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
第二章 随机变量及其分布
2. 二项分布的推导过程与说明
3. 举例（ 例2，例3，例4 ）
C. 泊松分布
1. 定义：如果随机变量X的概率密度如下：
P(X k)
λ k k!
e
λ
,
k =0,1,2,… ( >0) ,
(2.4)
则称X服从参数为 的泊松分布，记作：
X ~ ()
2. 说明
3. 举例
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§3 随机变量的分布函数
P{X=4}=0.218 P{X=5}=0.175 P{X=6}=0.109 P{X=7}=0.055
P{X=k} < 0.001 , 当 k ≥ 11时
P{ X=8 }=0.022 P{ X=9 }=0.007 P{X=10}=0.02
例3：
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射 击400次，试求至少击中两次的概率。
解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，
X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律 为：P{X= k}= (1-p)k p , k=0,1,2,3, P{X= 4}= (1-p)4。用表格表示如下：
X
01
2
34
pk
p (1-p) p (1-p)2 p (1-p)3 p (1-p)4
代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布 律两性质。
• 而有的实验结果与数值无直接关系，我们可 以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出 现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。
例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，
在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它 们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样 本空间S={e}={(i,j)} i,j=1,2,3。 i,j分别为第一，第 二次取到球的号码。 以X表示两球号码之 和，得到样本空间 的每一个样本点e， X都有一值与之对 应，如图2-1。
第二章随机变量及其分布
若随机变量X的概率分布为
Pn (k ) P( X k)C p (1 p)
k n k
nk
, k 0,1,, n
其中0<p<1,称X服从参数为n和p的二项分布， 记作 X~B(n,p)
例5：一随机数字序列要有多长才能使0至少出 现一次的概率不小于0.9?
泊松分布
若随机变量X的概率分布为
和 2 都是常数， 任意， >0， 其中 2 则称X服从参数为 和 的正态分布. 2 记作 X ~ N ( , )
正态分布 N ( , )的图形特点
2
正态分布的密度曲线是一条关于 对 称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
设X~ N ( , ) ,
, x
t2 2
( x )
1 ( x) 2
x
e dt
正态分布与标准正态分布的关系 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.
F ( x) (
x
)
正态分布的概率计算
( x ) 1 ( x )
5.P( X x) 0
P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b)
例1 :已知连续型随机变量X有概率密度
k x 1 0 x 2 f ( x) 其它 0 求系数k及分布函数F(x)，并计算P(0.5<X<3).
2
2
( x)dx
的 2 值，并称之为 关于的双侧分位点。 X
2.3
离散型随机变量函数的分布
例1 已知X的分布列为 X Pk -2 -1 0 1 2 3
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
第2章 随机变量及其分布
, 解 死亡人数 X ~ B(10000 0.005)
40 (1) P{ X 40} C10000 0.005400.9959960 .
k C10000 0.005k 0.99510000 k . (2) P{ X 70} k 0 70
计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式。
2
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我 们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说， 把试验结果数值化. 例1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况. 显然，该试验有两个可能的结果： H , T
我们引入记号：
1, X X (e ) 0,
eH ， e T
于是我们就可以用 { X 1}表示出现的是正面， 而用 { X 0} 表示出现的是反面。 X就是一个随机变量。
路口1
路口2
路口3
1 P{ X 0} P( A1 ) . 2
10
路口1
路口2
路口3
1 P{ X 1} P ( A1 A2 ) . 4
路口1
路口2
路口3
1 P{ X 2} P ( A1 A2 A3 ) . 8
11
路口1
路口2
路口3
1 P{ X 3} P ( A1 A2 A3 ) . 8
24
定义
若随机变量X的概率分布为
k! 则称X服从参数为 的泊松分布,记为 X ~ ( ) .
验证规范性：
P{ X k }
k
e , k 0,1,2, , ( 0)
k!
k 0
k
e ，
k! e
k 0
重点!!第二章随机变量及其分布
例如：◆ 掷一颗骰子面上出现的点数；
◆ 昆虫的产卵数； ◆五月份北京的最高温度； ◆ 每天进入上海站的旅客数；
（2）在有些试验中，试验结果看来与数值无 关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说，把试验结果数值化。
例如：裁判员在运动场上不叫运动员的名 字而叫号码，名字与号码之间建立了一种
0 X ~ 1 2 1 1 4 2 1 8 3 1 8
即
例2.7 一骰子掷两次，用X表示所得点数之和，求X取可能
值的概率。
解 X的所有可能取值为2，3,4，…，12,其分布律为
二、常用的离散型随机变量及其分布
（1） (0—1)分布
如果随机变量X的分布律为
P X = k = p 1 - p , k = 0,1, 0 < p < 1 .
它是一个随机变量。
事件{收到不少于1次呼叫} {没有收到呼叫} {X= 0}
{ X 1}
三、 随机变量的分类
离散型随机变量 随机变量 非离散型随机变量 混合型随机变量 我们将研究两类随机变量： （1）离散型随机变量 （2）连续型随机变量 连续型随机变量
例2.1 对一均匀硬币抛一次，观察正反面情况。 =>样本空间 {H , T }, 定义随机变量
注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次试 验条件就不同了, 不在是伯努利试验, 只能用古典概型求解。
1 C95 C52 P( X 2) 3 0.00618 C100
定理2.3泊松(Poisson) 设>0，n是正整数，若npn=，则对任
一固定的非负整数k，有
n k k lim C n pn (1 pn ) n k
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
第2章 随机变量及其分布课后习题答案(高教出版社,浙江大学)
第2章 随机变量及其分布1，设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。
解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因此有116.04.0)4.01(4.0}{--⨯=-⨯==k k k Y P ， （ ,3,2,1=k ）上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A 处流至B 处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。
当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X 表示当信号发出时水自A 流至B 的通路条数，求X 的分布律。
设各阀门的工作相互独立。
解：X 只能取值0，1，2。
设以)3,2,1(=i A i记第i个阀门没有打开这一事件。
则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ⋃=⋃==)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P XP ，416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X 表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。
问X 服从什么分布？写出分布律。
并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。
解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为15,2,1,0,8.02.0)(1515 =⨯⨯==-k C k X P k k k。
浙大第二章随机变量及其分布
由上式可得，在 f (x)的连续点，
dF(x) f(x) dx
常见的连续型随机变量 正态分布、均匀分布、指数分布
（I）正态分布
正态分布是应用最广泛的一种连 续型分布.
正态分布在十九世纪前叶由 高 斯(Gauss)加以推广，所以通常 称为高斯分布.
德莫佛
泊松分布的定义及图形特点
p (k;) :P {Xk} e k, k 0 ,1 ,2 , ,
k! 其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的
λ
泊松分布,记作X~P( ).
λ
λ
由泊松定理，n重贝努里试 验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布.
我们把在每次试验中出现概 率很小的事件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪 水、意外事故等等
德莫佛（De Moivre)最早发现了 二项分布的一个近似公式，这一 公式被认为是正态分布的首次露 面.
(1) 正态分布的定义
若r.v. X 的概率密度为 f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
其中 和 都是常数， 任意， >0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.
记作 X~N(,2) (Norm
2 当x→ ∞时，f(x) → 0,
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴 近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
用求导的方法可以证明，
为f (x)的两个拐点的横坐 标。
x=μ σ
这是高等数学的内容，如果 忘记了，课下再复习一下。
X ～ U[a, b]
用X表示n重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数，则
X~B(n,p)
【精品】概率论与数理统计PPT课件第二章 随机变量及其分布
离散型随机变量的定义 定义 2.1
如果随机变量 X 只取有限个值
x1 , x2 , , xn
或可列个值
x1 , x2 ,
则称 X 是离散型随机变量,简称为离散随机 变量
22
离散型随机变量的概率分布 定义 2.2
设X 是离散型随机变量，称
为X 的概率分布; 称 pk 是概率分布列,
34 16 16
7 16
P0.5 X 3 PX 1 PX 2
31 16 16
4
16
29
例4 设随机变量 X 的分布列为
PX
n
c
1 4
n
试求常数c
n 1， 2， L
解: 由分布列的性质，得
该级数为等比级数，故有
1
32
例5 (续) 以 p = 1/2 代入，得
X0
1
2
3
4
pk 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
33
二. 几种常用的离散型随机变量
1.两点分布 (Bernoulli分布) 如果X 只取 0或 1，概率分布是
或
则称随机变量 X 服从参数为 p的两点分布
记作
34
两点分布的概率背景 任何一次试验，当只考虑两个互逆的结果
即
对于实数的集合A,我们用 X A
表示事件
X A
即
12
说明 4、 在许多实际问题中, 一个随机变量X 的 含义是十分清楚的, 所以一般不再关心随机变 量X 在样本空间上是如何定义的. 可以认为X 的所有取值就是我们的样本空间. 只是在必要
2.1随机变量及其分布(1,2)课件
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a )
x a
任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.
X 服从离散均匀分布.
三、分布函数 离散型随机变量的特点是： 其取值范围是有限集
或可列集. 其概率分布可用列表法表示: X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
但有些随机变量是非离散的,它的取值可能是 某一
区间内的一切值.
x x
lim F x 1
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a ) 证（1）0 F ( x ) P{ X x } 1 （2） a b 时, X a
1 P{ X 2 } P{ X 4 } P{ X 6 } ... P{ X 2n } ...
p 2 p 4 p 6 ... p 2 n ... 1 p2 1 2 2 2 1 p p 2p 1 p 2
p2
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1
A x2 xk
p2
pk
则对于集合 xn n 1,2,3,... 的任一子集 A, 事件
“ X 在 A 中取值” 即“X A ” 的概率为
P{ X A } pk
xk A
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
概率论第二章
将 p = 0.5 代入，得
1 0 X ~ 0 .5 0.25 2 0.125 3 0 .0625 0 .0625 4
下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分 布。 （一）0-1分布 分布 若X 的分布律为 k 1− k P { X = k } = p (1 − p ) , k = 0 ,1 或者 0 1 X p pk 1− p 则称随机变量 X 服从参数为 的0-1分布 参数为p的 分布. 参数为 如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成 功的概率为p，则成功的次数 X 服从参数为p的0-1 分布。
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.99) − 20(0.01)(0.99) = 0.0169 设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这 一事件，则有
20 19
P( A) ≥ P{ X ≥ 2} = 0.0169
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.98)
400
− 400(0.02)(0.98)
399
直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算 公式。我们先引入一个重要的分布。
(三) 泊松分布 三 泊松分布(Poisson Distribution) 如果随机变量 X 的分布律为：
例6 社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人 每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1 张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律. 解 设该人购买的次数为X ,则X的可能取值为
1, 2 , L .
{X = 1} 表示第一次购买就中奖,其概率为p.
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第二章 随机变量及其概率分布§2.1 一维离散型随机变量一、基本概念★知识点精讲1.一维离散型随机变量的分布及分布律（1）离散型随机变量：若随机变量X 只取有限多个或可列无限多个值，则称X 为离散型随机变量。
（2）分布律： ,2,1,}{===k p x X P k k或（3）性质：① ,2,1,0=≥k p k ②∑∞==11k k p2.常用的离散型分布 （1）0-1分布),1(p B分布律 ：X 0 1 P p -1 p 其中 p 为事件A 出现的概率，0<p<1. （2）二项分布),(p n B在n 重伯努利试验中，每次试验事件A 出现的概率为p ，X 表示在n 次试验中事件A 出现的次数，X 的分布律为：n k p p C k X P k n k kn,,2,1,0,)1(}{ =-==- 当n 充足大时，随机变量X 也服从np =λ的泊松分布。
（3）泊松分布)(λP 分布律为： ,2,1,0,!}{===-k e k k X P kλλ3.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为则)(X f Y =的概率分布为：（1）当),2,1)(( ==i x f y i i 的各值i y 互不相等时，Y 的概率分布为：（2）当),2,1)(( ==i x f y i i 的各值i y 不是互不相等时，应把相等的值分别合并，并相对应地将其概率相加。
例如j i y y =，则Y 的概率分布为：★ 题型归纳及解题技巧例1.设随机变量X则k=（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3D.0.4 解：选Ｄ。
因为∑==11k k p ，故11.03.02.0=+++k ，得4.0=k 。
例2．设离散型随机变量X 的分布律为 （关于离散型随机变量概率求法）则P{-1<X ≤1}=（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解：选AP{-1<X ≤1}=P{X=1}=0.3例3.已知随机变量X 的分布律为则A.0.2B.0.7C.0.55D.0.8 解：选Ｂ。
例4A ．P (X =3)=0B ．P (X =0)=0C ．P (X>-1)=lD ．P (X<4)=l 解：选A 。
其他选项准确的结果应为：B ．P (X =0)=0.2；C ．P (X>-1)=0.9 D ．P (X<4)=0.6 例5．掷一枚均匀的骰子，记X 为出现的点数，则P {2<X <5}=________. 解：XP {2<X 例6.将一枚骰子连掷两次，以X 表示两次出现的最小点数，求X 的分布律。
（关于求离散型随机变量的分布律） 解：一枚骰子连掷两次，所有可能情况为：（1,1），（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6） （2,1），（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6） （3,1），（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6） （4,1），（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6） （5,1），（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6） （6,1），（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）以X 表示两次出现的最小点数，X 的所有可能取值为{1,2,3,4,5,6} X例7.抛一枚质地不均匀的硬币，每次出现正面的概率为32，连续抛掷8次，以X 表示出现正面的次数，求X 的分布律。
（关于求离散型随机变量的分布律）解：8次抛硬币，每次出现正面的概率为32，能够看成是8次伯努利试验，X 表示出现正面的次数，则X 服从n=8,p=32二项分布，故X 的分布律为：8,,1,0,)31()32(}{88 ===-k C k X P k k k例8．设随机变量X ～B(3，0.4)，则P{X≥1}=( ) （关于二项分布） A.0.352 B.0.432 C.0.784 D.0.936解：)4.0,3(~B X ，则3.2,1,0,)6.0()4.0(}{33===-k C k X P k k k ，784.0216.01)4.01(1}0{1}1{3=-=--==-=≥X P X P例9.在时间[0，T]内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知P (X =4)=3P (X =3)，则在时间[0，T]内至少有一辆汽车通过的概率为_________. （关于泊松分布）解：若)(~λP X ，则X 的分布律为 ,2,1,0,!}{===-k e k k X P kλλP (X =4)=3P (X =3)，λλ-e!44＝λλ-e !333，则12=λ则在时间[0，T]内至少有一辆汽车通过的概率为12}0{1-==-e X P 。
例10.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则P{X=2}=____（关于泊松分布）解：)3(~P X ，则X 的分布律为 ,2,1,0,!3}{3===-k e k k X P k则33229!23}2{--===e e X P 。
例11.设袋中有依次标着-2,-1,1,2,3,3数字的6个球,现从中任取一球,记随机变量X为取得的球标有的数字,求：(1)X 的概率分布;(2)Y =X 2的概率分布. （关于离散型随机变量函数的分布） 解：(1)X 的分布律为(2)Y 的分布律为例12.设随机变量X记Y =X 2，则P {Y =4}=_________.（关于离散型随机变量函数的分布） 解：P {Y =4}= P {X =-2}+P{X=2}=0.1+0.3=0.4§2.2分布函数★知识点精讲 1.分布函数定义随机变量X 的分布函数+∞<<-∞≤=x x X P x F },{ˆ)( 性质：（1）1)(0≤≤x F（2）)(,)()(2121x x x F x F <≤（3）0)(,1)(=-∞=+∞F F x x （4）)()0(x F x F =+（右连续） 2.用分布函数表示区间上的概率 （1）)(}{b F b X P =≤（2）)()(}{a F b F b X a P -=≤<，其中b a < （3）)(1}{b F b X P -=> 3.离散型随机变量的分布函数∑≤=xx kk px F )(★ 题型归纳及解题技巧例1.下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）（分布函数的性质）A ．⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(1其他x x FB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<-=.1,1;10,;0,1)(2x x x x x FC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(3x x x x x FD ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,2;10,;00,0)(4x x x x F解：选C 。
可用排除法。
由分布函数的取值范围，可排除B ，D 。
由分布函数的单调不减性质，可排除A 。
例2.设随机变量X~B （1，0.8）（二项分布），则X 的分布函数为___________. （离散型随机变量的分布函数） 解：)8.0,1(~B X ，X 的分布律为X 0 1P 0.2 0.8则X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,2.00,0)(x x x x F例3. 设随机变量X 的分布律为求X 的分布函数。
（离散型随机变量的分布函数）解： X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,5.021,2.01,0)(x x x x x F例4.设随机变量X 的分布函数为F (x )，已知F (2)=0.5，F （-3）=0.1，则P{X ≤-3}= P {-3<X ≤2}=_____，P{X>2}= （利用分布函数求概率）解：P{X ≤-3}= F(-3)=0.1P {-3<X ≤2}=F(2)-F(-3)=0.4 P{X>2} =1- F(2)=0.5例5.设随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x b a x F ,arctan )(求：(1)常数a,b;(2)P {-1<X ≤1} (求分布函数所含未知数) 解：(1)利用分布函数的性质0)(,1)(=-∞=+∞F F12arctan lim )(=⋅+=+=+∞+∞→πb a x b a F x 02arctan lim )(=⋅-=+=-∞-∞→πb a x b a F x可得21=a ,π1=b ，+∞<<∞-+=x x x F ,arctan 121)(π (2) P {-1<X ≤1}=F(1)-F(-1)=21§2.3 一维连续型随机变量一、基本概念1.连续型随机变量的分布及概率密度 ★知识点精讲（1）概率密度)(,)(+∞<<-∞x x f （2）性质①0)(≥x f ②1)(=⎰+∞∞-dx x f③}{}{)(}{21212121x x x P x x x P dx x f x x x P x x <<=≤≤==≤<⎰（对于任意的x ，0}{==x X P ）④x x f x F ),()(='为)(x f 的连续点， 其中分布函数⎰∞-=≤=xdx x f x X P x F )(}{)(1x 2x★ 题型归纳及解题技巧例1.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) （密度函数性质） A. f (x )=-e -x B. f (x )=e -x C. f (x )=||-e 21x D. f (x )=||-e x解： 选Ｃ。
A ．0<--x e 不满足密度函数性质 因为1)(=⎰+∞∞-dx x f ，B 选项∞=-=+∞∞--+∞∞--⎰xx e dx eＣ选项121221000||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰x x x x e dx e dx e dx eＤ选项2220||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰xx x x e dx e dx e dx e例2.设X 是连续型随机变量，则P {X =5}=_________.（密度函数性质） 解因为X 连续型随机变量，在任意点的概率都为0，故P {X =5}=0.例3.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎩⎨⎧≤≤,,0,c x 0,x 242其他则常数c=___________.（求连续型随机变量密度函数中的未知数） 解：因为1)(=⎰+∞∞-dx x f2118824)(30302=⇒====⎰⎰+∞∞-c c xdx x dx x f c c： 例4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+, ,0 ,01,21其他x cx 则常数c =( ) （求连续型随机变量密度函数中的未知数） 解：因为1)(=⎰+∞∞-dx x f112121212121)(01201=⇒=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=--∞+∞-⎰⎰c c x cx dx cx dx x f例5.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤,,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21=( )（连续型随机变量的概率计算）解： }210{≤≤X P412)(2102210210====⎰⎰x xdx dx x f例6. 设某种晶体管的寿命X （以小时计）的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>.100x ,0,100x ,x 1002（1）若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间不到200小时的概率是多少？（2）若一个电子仪器中装有3个独立工作的这种晶体管，在使用150小时内恰有一个晶体管损坏的概率是多少？（连续型随机变量的概率计算） 解：设A={晶体管使用时间超过150小时} B={晶体管使用时间不到200小时}AB={晶体管使用时间超过150小时不到200小时} （1）所求概率为P{B|A}。