名师一号新课标B高中数学必修 综合测试题
【名师一号】高中数学人教b版必修1双基限时练14 二次函数的性质与图象(第二章)(含答案)
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双基限时练(十四)二次函数的性质与图象基础强化1.下列各个函数在(1,2)上单调递减的是()A.f(x)=x2+2x-1B.f(x)=-x2+4x+1C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=-x2+2x-1解析D选项中的二次函数对称轴x=1,且开口向下.故它在(1,2)上单调递减.答案 D2.某校运动会上,某运动员掷铅球时,他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y=-112x 2+23x+53,则该运动员的成绩是()A.6 m B.10 mC.8 m D.12 m解析当y=0时,-112x2+23x+53=0,则x=10.答案 B3.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是()解析当m>0时,函数y=mx+m递增,且与y轴交于正半轴,函数y=-mx2+2x+2开口向下,对称轴在y轴右侧.当m<0时,函数y=mx+m递减,且与y轴交于负半轴,函数y=-mx2+2x+2开口向上,对称轴在y 轴左侧.满足上述条件的只有D 选项.答案 D4.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,有以下结论:①a +b +c <0;②a -b +c >1;③abc >0;④4a -2b +c <0;⑤c -a >1,其中所有正确结论的序号是( )A .①②B .①③④C .①②③⑤D .①②③④⑤解析 由图象可知f (1)<0,f (-1)>1, ∴①②正确.∵-b2a =-1,且a <0,∴b =2a <0. ∵f (0)=c =1,∴③正确.∵f (-2)=f (0)=1,∴f (-2)=4a -2b +c >0, 故④不正确.∵c =1,a <0,∴c -a >1,∴⑤正确. 答案 C5.若二次函数f (x )=ax 2+2ax +1在区间上的最大值为4,则a 的值为( )A .-1B.38C .-1或38D.38或-3解析 f (x )的对称轴为x =-1,当a >0时,f (x )在x =2处取得最大值, ∴f (2)=4a +4a +1=4. ∴a =38.当a <0时,f (x )在x =-1处取得最大值, ∴f (-1)=a -2a +1=4, ∴a =-3. 答案 D6.若二次函数y =x 2-3x -4的定义域为,值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254,-4,则m 的取值范围为( )A .B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,+∞ 解析 y =x 2-3x -4=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322-254, ∵f (0)=f (3)=-4,∴m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,3.答案 C7.抛物线y =-x 2-2x +3与x 轴的两个交点为A ,B ,顶点为C ,则△ABC 的面积为________.解析 由y =-x 2-2x +3=-(x +1)2+4, 得点A (-3,0),B (1,0),C (-1,4),所以|AB |=|1-(-3)|=4,点C 到边AB 的距离为4,所以S△ABC=12×4×4=8.答案88.已知二次函数的图象开口向上,且满足f(2013+x)=f(2013-x),x∈R,则f(2011)与f(2014)的大小关系为________.解析由题意,知二次函数图象的对称轴为x=2013.∵|2011-2013|>|2014-2013|,∴f(2011)>f(2014).答案f(2011)>f(2014)能力提升9.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1),若函数f(x)的定义域和值域为,则实数a的值为________.解析∵f(x)的对称轴x=a,∴f(x)在上单调递减.∴f(a)=1.∴a2-2a2+5=1.∴a2=4.∵a>1,∴a=2.答案 210.已知二次函数y=-x2+4x+3.(1)指出其图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标;(2)说明其图象是由y=-x2的图象经过怎样的平移得到的.解y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7.(1)开口向下;对称轴方程为x=2;顶点坐标为(2,7).(2)先将y=-x2的图象向右平移2个单位,然后向上平移7个单位,即可得到y=-x2+4x+3的图象.11.已知函数f(x)=x2-2ax+3a2-1(a>0,0≤x≤1).(1)求函数f (x )的最大值和最小值;(2)若f (x )的最小值是-78,求此时f (x )的最大值. 解 (1)f (x )=(x -a )2+2a 2-1.当a ≥1时,函数f (x )在区间上是减函数, 故f (x )的最大值为f (0)=3a 2-1, f (x )的最小值为f (1)=3a 2-2a . 当0<a <1时,f (x )的最小值为f (a )=2a 2-1, f (x )的最大值为f (0),f (1)中的较大者. 设f (1)>f (0),即3a 2-2a >3a 2-1⇔a <12.因此,当0<a <12时, f (x )的最大值为3a 2-2a ;当12≤a <1时,f (x )的最大值为3a 2-1. (2)依题意,得⎩⎨⎧a ≥1,3a 2-2a =-78,或⎩⎨⎧0<a <1,2a 2-1=-78.可以解得a =14. 因为0<14<12,故此时f (x )的最大值为3a 2-2a . 当a =14时,为3×⎝ ⎛⎭⎪⎫142-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14=-516. 12.已知函数f (x )=-x 2+(3+k )x +3,其中k 为常数. (1)若f (2)=3,求函数f (x )的解析式;(2)在(1)的条件下,设g (x )=f (x )-mx ,若g (x )在区间上是单调函数,求实数m 的取值范围;(3)是否存在k 使得f (x )在上的最大值是4?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)f (2)=-4+2(3+k )+3=3, ∴k =-1.∴f (x )=-x 2+2x +3.(2)g (x )=-x 2+(2-m )x +3,其对称轴为x =2-m 2, ∵g (x )在上是单调函数, ∴2-m 2≥2,或2-m2≤-2. ∴m ≤-2,或m ≥6. (3)f (x )的对称轴为x =3+k2, ①当3+k2≤-1,即k ≤-5时,f (x )在上单调递减. ∴f (-1)=-1-(3+k )+3=4. ∴k =-5.②当-1<3+k2<4,即-5<k <5时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,3+k 2上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫3+k 2,4上单调递减,∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3+k 2=-(3+k )24+(3+k )22+3=4. ∴k =-1,或k =-5(舍去). ∴k =-1.③当3+k2≥4,即k ≥5,f (x )在上单调递增, ∴f (4)=-16+4 (3+k )+3=4,k =54(舍去). 综上所述,k =-5,或k =-1.品 味 高 考13.若对于一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,使得ax 2-2x +2>0都成立,则a 的取值范围为( )A .a ≥12B .a >12 C .a ≥-4 D .a >4 解析 a >2x -2x 2=-2·1x 2+2x .设1x =t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2, ∴令f (t )=-2t 2+2t . ∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-4,12.∴-2·1x 2+2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的最大值为12. ∴a >12.答案∴-2·1x 2+2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的最大值为12.∴a >12.。
名师一号新课标B高中数学必修 第一章 解三角形 测试题
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第一章测试(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在下列四个选项中,只有一项是符合题意的)1.△ABC 的内角∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,若B =2A ,a =1,b =3,则c =( )A .2 3B .2 C. 2D .1解析 由正弦定理得:a sin A =bsin B ,∴sin B =3sin A ,sin2A =3sin A,2sin A cos A =3sin A ,∵∠A ∈(0,π),∴sin A ≠0,∴cos A =32,∠A =30°,∠B =60°,∴∠C =90°,∴c 2=a 2+b 2=4,∴c =2.故选B 项.答案 B2.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为( )A.518B.34C.32D.78解析 由题意,设底边长为a ,则腰长为2a ,设顶角为θ,由余弦定理,得cos θ=(2a )2+(2a )2-a 22×2a ×2a=78.答案 D3.在△ABC 中,AB =3,∠A =45°,∠C =75°,则BC =( ) A .3- 3 B. 2 C .2D .3+ 3解析 ∵△ABC 中,BC sin A =AB sin C , ∴BC sin45°=3sin75°,∴BC =3- 3. 答案 A4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,∠A =π3,a =3,b =1,则c =( )A .1B .2 C.3-1 D.3在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,若a 2+c 2-b 2=3ac ,则∠B 的正切值为( )A.33B. 3 C .-33D .- 3 解析 ∵cos A =b 2+c 2-a 22bc =1+c 2-32c =12, ∴c =2.答案 B 由a 2+c 2-b 2=3ac ,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =3ac 2ac =32,∴sin B =12,∴tan B =sin B cos B =33,故选A 项.答案 A5.△ABC 的三内角∠A ,∠B ,∠C 所对边的长分别为a ,b ,c .设向量p =(a +c ,b ),q =(b -a ,c -a ).若p ∥q ,则∠C 的大小为( )A.π6 B.π3 C.π2D.2π3解析 ∵p ∥q ,∴(a +c )(c -a )=b (b -a ). ∴c 2-a 2=b 2-ab ,∴ab =b 2+a 2-c 2. 由余弦定理,cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,∴C =π3. 答案 B6.在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这塔吊的高是( )A .20(1+33) mB .20(1+3) mC .10(6+2) mD .20(6+2) m解析 由题意,可知h sin105°=202sin30°,∴h =20(1+3),如图所示.答案 B7.在△ABC 中,AB =7,BC =5,CA =6,则BA →·BC →的值为( ) A .18 B .36 C .19D .38解析 cos B =AB 2+BC 2-CA 22AB ·BC =1935. BA →·BC →=7×5×1935=19. 答案 C8.在△ABC 中,已知b 2-bc -2c 2=0,a =6,cos A =78,则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155D .6 3解析 b 2-bc -2c 2=0,∴b =2c . a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴6=4c 2+c 2-72c 2. ∴c =2,∴b =4.∴S =12bc sin A =12×4×2× 1-4964=152.答案 A9.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边,若c ·cos B =b ·cos C ,且cos A =23,则sin B 等于( )A .±66 B.66 C .±306D.306 解析 ∵sin C ·cos B =sin B ·cos C ,∴sin(B -C )=0. ∴∠B =∠C ,∴2∠B =π-∠A ,cos2B =-cos A =-23. ∴1-2sin 2B =-23,∴sin 2B =56,∴sin B =306. 答案 D10.如图,l 1,l 2,l 3是同一平面内的三条平行直线,l 1与l 2间的距离是1,l 2与l 3间的距离是2,正三角形ABC 的三顶点分别在l 1,l 2,l 3上,则△ABC 的边长是( )A .2 3 B.463 C.3174D.2213解析 如图,设AB =a ,则由已知AD =13a .在△ABD 中,由余弦定理,知cos A =12=AB 2+AD 2-BD22AB ·AD.① 又S △ABC =12BD ·3=34a 2,得BD =3a 26, 代入①式,得a =2321.答案 D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.在△ABC 中,三个角∠A ,∠B ,∠C 的对边边长分别为a =3,b =4,c =6,则bc cos A +ca cos B +ab cos C 的值为________.解析 由余弦定理,可知该式子的值为612. 答案 61212.在△ABC 中,若tan A =13,∠C =150°,BC =1,则AB =________.解析 ∵∠C =150°,tan A =13,∴sin A =1010. ∵BC sin A =AB sin C ,∴AB =102. 答案10213.在△ABC 中,sin A sin B sin C =578,则∠B 的大小为________.解析 sin A sin B sin C =a b c =578,令a =5k ,b =7k ,c =8k ,k>0.则cos B =a 2+c 2-b 22ac =(5k )2+(8k )2-(7k )22×5k ×8k =12.∴∠B =π3. 答案 π314.已知A 船在灯塔C 北偏东80°处,且A 到C 的距离为2 km ,B 船在灯塔C 北偏西40°处,A 、B 两船的距离为3 km ,则B 到C 的距离为________km .解析 由余弦定理得AB 2=BC 2+AC 2-2BC·AC·cos C , ∴9=BC 2+22-2BC·2·cos 120°,∴BC =6-1. 答案6-1三、解答题(本大题共4小题,共50分,其中15、16、17题每题12分,18题14分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(12分)在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A. (1)求AB 的值; (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A -π4的值.解 (1)在△ABC 中,根据正弦定理,AB sin C =BCsin A ,于是AB =sin C BCsin A =2BC =2 5.(2)在△ABC 中,根据余弦定理, 得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB·AC =255. 于是sin A =1-cos 2A =55,从而sin 2A =2sin A cos A =45, cos 2A =cos 2A -sin 2A =35,sin (2A -π4)=sin 2A cos π4-cos 2A sin π4=210.16.(12分)已知△ABC 的∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别是a ,b ,c ,设向量m =(a ,b ),n =(sin B ,sin A ),p =(b -2,a -2).(1)若m ∥n ,求证:△ABC 为等腰三角形;(2)若m ⊥p ,边长c =2,∠C =π3,求△ABC 的面积.解 (1)证明:∵m ∥n ,∴a sin A =b sin B ,即a ·a 2R =b ·b2R ,其中R 是三角形ABC 外接圆半径,a =b ,∴△ABC 为等腰三角形.(2)由题意,可知m ·p =0,即a (b -2)+b (a -2)=0. ∴a +b =ab .由余弦定理,可知4=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab . 即(ab )2-3ab -4=0,∴ab =4(舍去ab =-1). ∴S =12ab sin C =12·4·sin π3= 3.17.(12分)如图所示,已知在四边形ABCD 中,AD ⊥CD ,AD =10,AB =14,∠BDA =60°,∠BCD =135°,求BC 的长.解 在△ADB 中,∠BDA =60°,AB =14,AD =10, 由余弦定理得:AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos60°, 即142=100+BD 2-2×10×12×BD .∴BD 2-10BD -96=0,BD =16或BD =-6(舍).在△DCB 中,∠BDC =90°-∠BDA =90°-60°=30°,∠DCB =135°,∴由正弦定理得:DB sin135°=BCsin30°, ∴BC =16×1222=8 2.18.(14分)在△ABC 中,a ,b ,c 为∠A ,∠B ,∠C 所对的三边,已知b 2+c 2-a 2=bc .(1)求∠A 的值;(2)若a =3,cos C =33,求c 的长.解 (1)b 2+c 2-a 2=bc ,cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.∵0<∠A <π,∴∠A =π3.(2)∵在△ABC 中,∠A =π3,a =3,cos C =33, ∴sin C =1-cos 2C =1-13=63.由正弦定理,知a sin A =csin C . ∴c =a sin C sin A =3×6332=263.。
新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析
![新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/f80559c567ec102de3bd894c.png)
人教B 选择性必修第一册综合测验第一章 空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章 平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章 平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 模块检测试题二(含解析)新人教B版必修2
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(1)求实数m的取值范围;
(2)若直线l:x+2y-4=0与圆C相交于M、N两点,且OM⊥ON,求m的值.
解(1)配方得(x-1)2+(y-2)2=5-m,
所以5-m>0,即m<5.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为OM⊥ON,
10.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=4 5°,则棱锥S-ABC的体积为()
A.B.C.D.
解析如图,设球心为O,由OS=OA=OC得∠SAC=90°,又∠ASC=45°,所以AS=AC=SC,同理BS=BC=SC,可得SC⊥面AOB,则VS-ABC=S△AOB·SC=××2××4=,故选C.
解过A点作BC边的高AE,交PQ于点F,
∵l∥BC,∴kl=kBC=.
∵=,∴=.
直线BC的方程为2x-3y-1=0,
∴|AE|==.
∴|AF|=,∴|EF|=|AE|-|AF|=.
设直线l的方程为2x-3y+b=0,
∵两条平行线间的距离为,
∴=,解得b=,或b=-(舍去),
∴直线l的方程是6x-9y+13=0.
模块检测试题二
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.空间直角坐标系中,点A(10,4,-2)关于点M(0,3,-5)的对称点的坐标是()
A.(-10,2,8)B.(-10,3,-8)
C.(5,2,-8)D.(-10,2,-8)
答案D
2.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是()
(2)由三视图可知,该平行六面体中,
(人教版B版2017课标)高中数学必修第一册全册综合测试卷二(附答案)
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第一章综合测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U {x Z | 1<x<3},集合A {x Z |0, x<3},则e U A ()A.{ 1}B.{ 1,0}C. { 1,0, 1}D.{x| 1< x< 0}2.已知集合A x| 3Vxv2 , B {x|x< 4或x>1},则AI B ()A. {x| 4VxV 3}B. x| 3< xv 1C. {x|1<x<2}D.{x | x< 城x> 1}3.已知全集U {1,2,3,4,5},集合A {1,5},集合B {2,3,5},则e u B I A ()A. {2}B.{2,3}C.{1}D. {1,4}4.若a, b是实数,则“ a> 2”是“a2> 4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2D. xv0 , x 2x 3< 06.设p :实数x , y满足x> 1且y> 1 ; q :实数x , y满足x y>3,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设A, B是两个非空集合,定义集合A B {x|x A且x B},若A {x N |0麴x 5},5.命题“ x> 0, x2 2x 3> 0”的否定是()2A.x>0 , x 2x 3<02B.x>0 , x 2x 3<02C.xv 0, x 2x 3< 0B {x|(x 2)(x 5)V0},则 A BA. {0,1}B.{1,2}C. {0,1,2}D. {0,1,2,5}8. “(x 1)(x 3)>0” 是“ xv 1” 的()A.充分不必要条件8.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.若命题“x R , x2 mx 2-0”为真命题,则m的取值范围是()A. m>2、2B. 2、. 2VmV2.. 2C. 2,2fm 2 2D. m^U 2「2或m 2 .. 210. “a 1”是“关于x的方程x2 a 2x有实数根”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知命题p : %>0 , x0 a 1 0,若p为假命题,则a的取值范围是()A. a< 1B. a<1C. a>1D. a>112.已知非空集合A, B满足以下两个条件:(1)AU B {1,2,3,4,5,6} , AI B ;(2)若x A ,则x 1 B .则有序集合对(A,B)的个数为()A. 12B.13C. 14D. 15二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案写在题中的横线上)13.已知命题p: X O R , x0>sinx。
名师一号北师大高中数学必修双基限时练 二次函数的性质
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双基限时练(十二) 二次函数的性质基 础 强 化1.函数y =x 2-2x +3在(-1,5)上的最小值为( )A. 2B. 6C. 18D. 22解析 利用二次函数的图像可得.答案 A2.若函数f (x )=2x 2+mx +1满足对于任意实数x ,都有f (1+x )=f (1-x ),则( )A. m =-2B. m =2C. m =-4D. m =4解析 由题可知,对称轴为x =-m 4=1,得m =-4.答案 C3.若函数f (x )=x 2+(a -1)x +a 在区间[2,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是( )A. (-∞,-3)B. [3,+∞)C. (-∞,3]D. [-3,+∞)解析 由题意得-a -12≤2,得a ≥-3.答案 D4.已知f (x )=x 2+bx +c 关于x =1对称,则( )A. f (-2)<f (0)<f (3)B. f (0)<f (-2)<f (3)C. f (0)<f (3)<f (-2)D. f(3)<f(0)<f(-2)解析∵f(x)=x2+bx+c的图像关于x=1对称,又f(x)的图像开口向上,故自变量离对称轴越远,函数值越大,∵|-2-1|>|3-1|>|0-1|,故f(-2)>f(3)>f(0),故选C.答案 C5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售了15辆车,则能获得的最大利润为() A.45.606万元B.45.56万元C.45.6万元D.45.51万元解析设该公司获得的利润为y万元,在甲地销售了x辆,则在乙地销售了(15-x)辆,则y=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0≤x≤15,x ∈N),此二次函数的对称轴为x=10.2,所以当x=10时,y有最大值,为45.6,故所求最大利润为45.6万元.答案 C6.抛物线y=-x2+5x-5在直线y=1上方部分的x的取值范围是()A.2<x<3 B.x>3或x<2C.-3<x<-2 D.不存在解析当y=1时,-x2+5x-5=1,即x 2-5x +6=0,(x -2)(x -3)=0,∴x 1=2,x 2=3.又抛物线开口向下,由图像可知当2<x <3时满足题意,选A.答案 A7.已知二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图像如图所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+2x +m =0的根为________________.解析 由图知二次函数图像的对称轴为直线x =1,与x 轴的一个交点坐标是(3,0),所以二次函数图像与x 轴的另一个交点坐标是(-1,0).所以关于x 的一元二次方程-x 2+2x +m =0的根为x 1=-1,x 2=3.答案 -1,3能 力 提 升8.已知函数y =mx 2-6x +8的定义域为R ,则实数m 的取值范围是________.解析 当m =0时,y =-6x +8,由-6x +8≥0,得x ≤43不合题意;当m ≠0时,由题意得⎩⎨⎧ m >0,Δ=36-4×8×m <0,得m >98.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫98,+∞ 9.若f (x )=x 2+(a +2)x +3,x ∈[a ,b ]的图像关于x =1对称,则b =________.解析 若f (x )=x 2+(a +2)x +3,x ∈[a ,b ]的图像关于x =1对称,则a +b =2,-a +22=1.∴a =-4,b =2-a =6.答案 610.已知f (x )=ax 2-2x +3(a ≠0),写出f (x )的单调区间.解 ∵a ≠0,f (x )=ax 2-2x +3的对称轴为x =1a ,当a >0时,f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞,减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1a ; 当a <0时,f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1a ,减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞. 11.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解 (1)当每辆车的月租金为3600元时,未租出的车辆数为3600-300050=12,所以这时能租出88辆车. (2)设每辆车的月租金为x (x ≥3000)元,则租赁公司的月收益为f (x )=⎝⎛⎭⎪⎪⎫100-x -300050(x -150)-x -300050×50, 整理得f (x )=-x 250+162x -21000=-150(x -4050)2+307050.所以,当x =4050时,f (x )最大,最大值为f (4050)=307050.即当每辆车的月租金为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元.12.已知函数f (x )=x 2+2ax +2,x ∈[-5,5].(1)当a =-1时,求函数f (x )的最大值和最小值;(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-5,5]上是单调函数;(3)求f (x )在[-5,5]上的最小值.解 (1)当a =-1时,f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[-5,5],∴x =1时,f (x )min =1,当x =-5时,f (x )max =37.(2)函数f (x )=(x +a )2+2-a 2,其图像的对称轴为x =-a .∵f (x )在[-5,5]上是单调函数,∴-a ≤-5,或-a ≥5,∴a 的取值范围是a ≤-5,或a ≥5.(3)当-a <-5,即a >5时,f (x )在[-5,5]单调递增,f (x )min =f (-5)=27-10a .当-5≤-a ≤5,即-5≤a ≤5时,f (x )min =f (-a )=2-a 2.当-a >5,即a <-5时,f (x )在[-5,5]上单调递减,∴f (x )min =f (5)=27+10a .∴f (x )的最小值f (a )=⎩⎪⎨⎪⎧ 27-10a (a >5),2-a 2 (-5≤a ≤5),27+10a (a <-5).考 题 速 递13.设f (x )=x 2+4x +3,不等式f (x )≥a 对x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )=x 2+4x +3=(x +2)2-1,由f (x )≥a 恒成立,知f (x )min ≥a ,∴a ≤-1.答案 (-∞,-1]。
2024新教材高中数学本册综合测评新人教B版选择性必修第一册
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时间:120 分钟
满分:150 分
一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出
的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若向量 a=(1,x,2),b=(2,-1,2),a,b 夹角的余弦值为89,则实
数 x 的值为( )
A.2
B.-2
C.-2 或525
32 B. 2 D.3 2
答案
解析 双曲线x42-y22=1 的右焦点坐标为( 6,0),一条渐近线的方程为 y= 22x,不妨设点 P 在第一象限,由于|PO|=|PF|,则点 P 的横坐标为 26, 纵坐标为 22× 26= 23,即△PFO 的底边长为 6,高为 23,所以它的面积 为12× 6× 23=342.故选 A.
解析
11.已知圆 M 与直线 x+y+2=0 相切于点 A(0,-2),圆 M 被 x 轴所 截得的弦长为 2,则下列结论正确的是( )
A.圆 M 的圆心在定直线 x-y-2=0 上 B.圆 M 的面积的最大值为 50π C.圆 M 的半径的最小值为 1 D.满足条件的所有圆 M 的半径之积为 10
∴∠F1BF2=90°.
∴OF2=OB,
∴∠OBF2=∠OF2B.
又∠F1OA=∠BOF2,∠F1OA=∠OF2B,
∴∠BOF2=∠OF2B=∠OBF2,
解析
∴△OBF2 为等边三角形. 如图 1 所示,不妨设 B 的坐标为2c,- 23c. ∵点 B 在直线 y=-bax 上,∴ba= 3, ∴渐近线方程为 y=± 3x, 离心率 e=ac= 1+ba2=2.
D.2 或-525
解析 cos〈a,b〉=|aa|·|bb|=3×6-5+x x2=89,解得 x=-2 或 x=525.故选
(人教版B版)高中数学必修第一册 第一章综合测试试卷03及答案
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第一章综合测试一、单选题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}|13A x x =-<<,{}|2B x x =>,则A B =U ( )A .(1,3)-B .(2,3)C .(1,)-+¥D .(2,)+¥2.下列全称量词命题中真命题的个数是( )①2[2,)20x x x "Î+¥--,>;②210x x "Î+R ,…;③所有的梯形都有一组对边平行;④{}{}{},,,,x a b c x a b c "Î,Þ.A .1B .2C .3D .43.设集合{}{}|12|A x x B x x a ==<<,<,若A B Í,则实数a 的取值范围是( )A .{}|2a a ≥B .{}|1a a ≤C .{}|1a a ≥D .{}|2a a ≤4.命题“20,210x x x "-+>>”的否定是( )A .20210x x x $-+>,≤B .20210x x x "-+>,≤C .20210x x x $-+≤,≤D .20210x x x "-+≤,≤5.记全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,52,4,6U M N ===,,,则图中阴影部分所表示的集合是()A .{}4,6,7,8B .{}2C .{}7,8D .{}1,2,3,4,5,66.已知集合{1,1,4}B =-,则满足条件M B ÆÍÞ的集合M 的个数为( )A .3B .6C .7D .87.设集合{(,)|,}{(,)|20}{(,)|0}U x y x y M x y x y m N x y x y n =ÎÎ=-+=+-R R ,>,≤,那么点()()2,3U M N ÎI ð的充要条件是()A .1,5m n -><B .1,5m n -<<C .1,5m n ->>D .1,5m n -<>8.已知全集U =R ,集合{|23}M x x =-≤≤,{|24}N x x x =-<或>,那么集合()()U U M N I ðð等于( )A .{|34}x x <≤B .{|34}x x x ≤或≥C .{|34}x x ≤<D .{|13}x x -≤≤9.已知,M N 为集合I 的非空真子集,且,M N 不相等,若()I N M =ÆI ð,则M N U 等于( )A .MB .NC .ID .Æ二、多选题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)10.已知集合,{|(2)0}A B x x x ==-Z ≤,则下列元素是集和合A B I 中元素的有( )A .1B .0C .2D .2-E .1-11.设全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2,3,4}S =,则U S Êð( )A .{}5B .{}1,2,5C .{2,3,4}D .ÆE .{}3,412.定义集合运算:{|()()}A B z z x y x y x A y B Ä==+´-ÎÎ,,,设{A B ==,,则( )A .当x =y =时,1z =B .x 可取两个值,y 可取两个值,()()z x y x y =+´-对应4个式子C .A B Ä中有4个元素D .A B Ä中所有元素之和为4E .A B Ä的真子集有7个三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.设集合{}2{0,1,2,3}|0U A x U x mx ==Î+=,,若{1,2}U A =ð,则实数m =________.14.设:2p x >或2,:23x q x <>或1x -<,则p Ø是q Ø的________条件.15.已知集合{|260,}{|,}{|5}A x x x B x x a x R C x x =-Î=Î=R >,≥,≤,若(){|45}A B C x x =≤≤I I ,则实数a 的值是________.16.若命题“对于任意实数x ,都有240x ax a +->且2210x ax -+>”是假命题,则实数a 的取值范围是________.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设集合{|4}{|12}{|13}U x x A x x B x x ==-=≤,≤≤,≤≤.求:(1)()U A B Èð;(2)()()U U A B Çðð.18.(12分)已知集合{}223,1,{3,21,+1}{3}A a a B a a a A B =-+=--=-,,I .(1)求实数a 的值;(2)写出集合A 的所有非空真子集.19.(12分)已知集合{|24},{|0}A x x B x x m =-=-<<<.(1)若3m =,全集U A B =U ,试求()U A B I ð;(2)若A B =ÆI ,求实数m 的取值范围;(3)若A B A =I ,求实数m 的取值范围.20.(12分)已知m ÎR ,命题:[0,1]22p x m x "Î-,≥,命题:[1,1]q x m x $Î-,≤.(1)若p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p 与q 一真一假,求实数m 的取值范围.21.(12分)设集合{}{222|280|120}A x x x B x x ax a =--==++-=,,且A B A =U ,求满足条件的a 组成的集合.22.(12分)设,x y ÎR ,求证||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥.第一章综合测试答案解析一、单选题1.【答案】C【解析】Q 集合{13}{|2}A x B x x =-=<<,>,{}|1A B x x \=->U ,故选C .2.【答案】C【解析】①中,2x =时,220x x --=,故220x x -->不成立,为假命题;易知②③④均为真命题.故选C .3.【答案】A【解析】若A B Í,则利用数轴可知2a ≥.故选A .4.【答案】A【解析】含有量词的命题的否定,一改量词:将“"”改为“$”,二否结论将:“>”改为“≤”,条件不变,故选A .5.【答案】C【解析】题图中阴影部分可表示为()U M N U ð,且{1,2,3,4,5,6}M N =U ,所以(){7,8}U M N =U ð.故选C .6.【答案】C【解析】由题意可知集合M 是集合B 的非空子集,集合B 中有3个元素,因此非空子集有7个.故选C .7.【答案】A【解析】()(2,3)U M N ÎQ I ð,(2,3)M \Î,且(2,3)N Ï,则2230230m n ´-+ìí+-î>,>,解得15.m n -ìíî>,<故选A .8.【答案】A【解析】{| 2 3}U M x x x =-Q <或>ð,{|24}U N x x =-≤≤ð,()(){|34}U U M N x x \=<≤I ðð.故选A .9.【答案】A【解析】()U N M =ÆI ð,所以N M Í(如图),所以M N M =U ,故选A .二、多选题10.【答案】ABC【解析】由(2)0x x -≤得02x ≤≤,即{|02}B x x =≤≤,所以{0,1,2}A B =I .故选ABC .11.【答案】AD【解析】易得}S {5U =ð,其子集为{5}和Æ.故选AD .12.【答案】BE【解析】当x y ==0z =´=,A 错误;由于A =,{B =,则()()z x y x y =+-对应1)1)1+´-=,0+´=,1)1)2´=,1´=四个式子,B 正确;由集合中元素的互异性,得集合A B Ä有3个元素,元素之和为3,C 、D 错误;集合A B Ä中的真子集个数为3217-=,E 正确.故选BE .三、填空题13.【答案】3-【解析】{0,1,2,3},{1,2}U U A ==Q ð,{0,3}A \=,即方程20x mx +=的两根为0和3,3m \=-.14.【答案】充分不必要【解析】由题意得2:2,:123p x q x ØØ-≤≤≤≤,p q \ØÞØ,但q p ØØ¿,p \Ø是q Ø的充分不必要条件.15.【答案】4【解析】由题意得集合{}|3A x x =>,{|,}B x x a x =ÎR ≥,而(){|45}A B C x x =≤≤I I ,所以4a =.16.【答案】(,1][0,)-¥-+¥U 【解析】若对于任意实数x ,都有240x ax a +->,则2160a a =+△<,即160a -<<;若对于任意实数x ,都有2210x ax -+>,则2440a =-△<,即11a -<<,故命题“对于任意实数x ,都有240x ax a +->且2210x ax -+>”是真命题时,(1,0)a Î-,而命题“对于任意实数x ,都有240x ax a +->且2210x ax -+>”是假命题,故(,1][0,)a Î-¥-+¥U .四、解答题17.【答案】(1){|4},{|12}U x x A x x ==-Q ≤≤≤,{| 1 24}U A x x x \=-<或<≤ð.{}|13B x x =Q ≤≤()A B {| 1 14}U x x x \=<-或≤≤U ð.(2){|4},{|13}U x x B x x ==Q ≤≤≤,{| 1 34}U B x x x \=<或<≤ð,()(){| 1 34}U U A B x x x \=-<或<≤I ðð18.【答案】(1){3}A B =-Q I ,3B \-Î33a \-=-或213a -=-或213a +=-(无解),解得0a =或1a =-.当0a =时, {3,1,0},{3,1,1}A B =-=--,{3,1}A B =-I ,不合题意,舍去;当1a =-时,{3,0,1}A =-,{4,3,2}B =--,{3}A B =-I ,符合题意.\实数a 的值为1-.(2)由(1)知集合{3,0,1}A =-,\集合A 的所有非空真子集有:{}{}{}{}{}{}3103,13,01,0---,,,,,.19.【答案】当3m =时,由于0x m -<得3x <,{|3}B x x \=<.{|4}U A B x x \==<U ,{|34}U B x x \=≤<ð(){|34}U A B x x \=≤<I ð.(2){|24}A x x =-Q <<,{|}B x x m =<,又A B =ÆI ,2m \-≤,∴实数m 的取值范围是2m -≤.(3){|24},{|}A x x B x x m =-=Q <<<,由A B A =I ,得A B Í,4m \≥∴实数m 的取值范围是4m ≥.20.【答案】(1)[0,1],22x m x "Î-Q ≥,22m x \-≥在[0,1]x Î上恒成立,max (22)0m x \-=≥,即p 为真命题时,实数m 的取值范围是0m ≥.(2)[1,1],,1x m x m $Î-\Q ≤≤,即命题q 为真命题时,1m ≤.Q 命题p 与q 一真一假,∴p 真q 假或p 假q 真.当p 真q 假时,0,1,m m ìíî≥>即1m >;当p 假q 真时,0,1,m m ìíî<≤,即0m <.综上所述,命题p 与q 一真一假时,实数m 的取值范围为0m <或1m >.21.【答案】由题意得{4,2}A =-,A B A =Q U ,B A\ÍB \可能为Æ或{4}或{}2-或{4,2}-.①当B =Æ时,方程22120x ax a ++-=无实数根,()2224123480a a a \=--=-+△<,即2160a ->,4a \-<或4a >;②当{4}B =时,方程22120x ax a ++-=有两个相等的根4,223480164120a a a ì=-+=ï\í++-=ïî△,,无解;③当{2}B =-时,方程22120x ax a ++-=有两个相等的根2-,223480,42120,a a a ì=-+=ï\í-+-=ïî△解得4a =;④当{4,2}B A =-=时,方程22120x ax a ++-=与2280x x --=是同一个方程,22,128,a a =-ìï\í-=-ïî解得2a =-.综上所述,满足条件的a 组成的集合为{|442}a a a a -=-<或≥或.22.【答案】①充分性:若0xy ≥,则有0xy =和0xy >两种情况,当0xy =时,不妨设0x =,则x y y +=,x y y +=,\等式成立.当0xy >时,00x y >,>或00x y <,<,当00x y >,>时,x y x y +=+,x y x y +=+.等式成立.当00x y <,<时,()x y x y +=-+,x y x y +=+,∴.等式成立.综上,当0xy ≥时,x y x y +=+成立.②必要性:若x y x y +=+,且,x y ÎR .则22()x y x y +=+,即222222||x xy y x y x y ++=++×,xy xy \=,xy \≥综上可知,0xy ≥是等式x y x y +=+成立的充要条件.。
2021_2022学年新教材高中数学综合测评B含解析北师大版必修第一册202106042181
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综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x|x2≤1},则下列结论正确的是()A.-2∉AB.-2∈AC.{-2}∈AD.{-2}⊆AA={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},显然-2∉A.故选A.2.函数f(x)=√1-2x+的定义域为()√x+3A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1]解得-3<x≤0,所以f(x)的定义域为(-3,0].{1-2x≥0,x+3>0,3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+1),则f(-3)=()A.-2B.-1C.2D.1f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+1),所以f(-3)=-f(3)=-log2(3+1)=-log24=-2.4.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为()A.一次函数模型B.二次函数模型C.对数函数模型D.指数函数模型0,并且近似f (0)=1,函数是单调递增函数,而且函数值增加的速度越来越快,符合指数函数的类型,近似于y=4x .故选D .5.设a=(57)37,b=(37)57,c=(37)37,则a ,b ,c 的大小关系为()A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<by=(37)x在R 上单调递减,57>37,所以(37)57<(37)37,即b<c.又因为幂函数y=x 37在区间(0,+∞)上单调递增,57>37,所以(57)37>(37)37,即a>c.所以b<c<a.故选A .6.若a<b<c ,则函数f (x )=(x-a )(x-b )+(x-b )(x-c )+(x-c )(x-a )的两个零点分别位于区间() A.(a ,b )和(b ,c )内B.(-∞,a )和(a ,b )内 C.(b ,c )和(c ,+∞)内D.(-∞,a )和(c ,+∞)内当x →-∞时,f (x )>0; 当x →+∞时,f (x )>0.f (a )=(a-b )(a-c )>0,f (b )=(b-c )(b-a )<0,f (c )=(c-a )(c-b )>0, ∴f (a )f (b )<0,f (b )f (c )<0. ∴在区间(a ,b )和(b ,c )内有零点.7.抛掷一枚质地均匀的骰子1次,观察骰子掷出的点数,记事件A 为“掷出的点数是奇数”,事件B 为“掷出的点数是偶数”,事件C 为“掷出的点数是2的倍数”,事件D 为“掷出的点数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是() A.A 与B B.B 与C C.A 与D D.B 与DA 与事件D 互斥,但不对立.故选C .8.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为() A.15B.25C.825D.92510,事件“甲被选中”包含的样本点个数为4,故所求概率为P=25.故选B .9.一个容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:则样本数据落在区间[10,40)内的频率为() A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65[10,40)内的频数为2+3+4=9,样本容量为20,故样本数据落在区间[10,40)内的频率为920=0.45.故选B .10.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是() A.平均数B.极差C.中位数D.方差,只要判断是不是前8名,所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8名的成绩即可.其成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.11.数学建模的一般步骤,下列选项中顺序正确的是() A.提出问题→求解模型→建立模型→检验结果 B.建立模型→求解模型→提出问题→检验结果 C.提出问题→建立模型→求解模型→检验结果 D.求解模型→提出问题→检验结果→建立模型12.不等式2x 2-5x-3<0的一个必要不充分条件是() A.-3<x<12B.-1<x<6 C.-12<x<0D.-12<x<32x 2-5x-3<0的解集是{x |-12<x <3}. 对于A,是2x 2-5x-3<0的既不充分也不必要条件; 对于B,是2x 2-5x-3<0的必要不充分条件; 对于C,是2x 2-5x-3<0的充分不必要条件; 对于D,是2x 2-5x-3<0的充要条件.故选B .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上) 13.一枚硬币连续抛掷三次,样本空间的样本点总数为.解析:画树状图:由树状图得样本点总数是8.14.利用分层随机抽样的方法在学生总数为1 200的年级中抽取30名学生,其中女生人数是14,则该年级男生人数为.分层随机抽样的抽取比例为301200=140.又女生抽到了14人,所以女生人数为560.从而男生人数为1200-560=640.故答案为640.15.现有两个数列记作X m,Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为.m的可能取值为1,2,3, (7)n的可能取值为1,2,3, (9)因为是任取m,n,所以当m=1时,n可取1,2,3,…,9,共9种情况.当m取2,3,…,7时,n也各有9种情况.故m,n的取值情况共有7×9=63(种).若m,n都取奇数,则m的可能取值为1,3,5,7,n的可能取值为1,3,5,7,9.因此满足条件的情形有4×5=20(种).故所求概率为2063.16.已知函数f(x)={log2x,x≥1,x2+m2,x<1,若f(f(-1))=2,则实数m=.f(-1)=m2+1≥1,所以f(f(-1))=f(m2+1)=log2(m2+1)=2.因此,m2+1=4,解得m=±√3.故答案为±√3.√3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试,请选择合适的抽样方法,写出抽样过程.,所以可以采用简单随机抽样方法中的抽签法.第一步,将30辆汽车编号,编号为01,02, (30)第二步,将号码分别写在大小、形状、质地相同的纸上,揉成球,制成号签.第三步,把号签放在同一个不透明的容器里,并搅拌均匀.第四步,从容器中依次随机抽出3个号签,并记录其号码.第五步,将记录的号码对应的3辆汽车取出,就得到所要抽取的样本.18.(12分)已知全集U=R,集合A={x|0<log2x<2},B={x|x≤3m-4或x≥8+m}(m<6).(1)若m=2,求A∩∁U B;(2)若A∩(∁U B)=⌀,求实数m的取值范围.当m=2时,B={x|x≤2或x≥10},从而∁U B={x|2<x<10}.由A={x|0<log2x<2},可得A={x|1<x<4}.故A∩(∁U B)={x|1<x<4}∩{x|2<x<10}={x|2<x<4}.(2)由(1)知A={x|1<x<4}.∵m<6,∴∁U B={x|3m-4<x<m+8}.又A∩(∁U B)=⌀,∴3m-4≥4或m+8≤1.∴m≥8或m≤-7.3又m<6,∴实数m的取值范围为m≤-7或8≤m<6.319.(12分)众所周知,大包装商品的成本要比小包装商品的成本高,某种品牌的饼干,其100 g装的售价为1.6元,其200 g装的售价为3元,假定该商品的售价(单位:元)由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干重量成正比,包装成本与饼干重量的算术平方根成正比,利润率为20%,试写出该种饼干1 000 g装的合理售价.(精确到0.1)x g,其售价y 与x 之间的函数关系式为y=(ax+b √x )(1+20%). 由已知得1.6=(a ·100+b √100)×1.2, 即43=100a+10b ;①3=(200a+√200b )×1.2,即2.5≈200a+14.14b.② 联立①②,解得{a ≈0.0105,b ≈0.0285.所以y=(0.0105x+0.0285√x )×1.2. 当x=1000时,y ≈13.7(元).所以估计这种饼干1000g 装的售价为13.7元.20.(12分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过1 h 收费6元,超过1 h 的部分每时收费8元(不足1 h 的部分按1 h 计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过4 h .(1)若甲停车1 h 以上且不超过2 h 的概率为13,停车付费多于14元的概率为512,求甲停车付费恰为6元的概率;(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率.设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A , 则P (A )=1-(13+512)=14. 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是14.(2)设甲停车付费a 元,乙停车付费b 元,其中a ,b=6,14,22,30,则甲、乙二人的停车费用构成的样本空间Ω={(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)},共有16个样本点,由题意知每个样本点出现的可能性相等.事件“甲、乙二人停车付费之和为36元”包含的样本点有(6,30),(14,22),(22,14),(30,6),共4个. 故甲、乙二人停车付费之和为36元的概率P=416=14.21.(12分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层随机抽样方法(按A类,B类分两层)从该工厂的工人中共抽取100名,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).(1)从A类工人和B类工人中各抽取多少人?(2)A类工人的抽查结果和B类工人的抽查结果分别如表①和表②所示.表①表②①先确定x,y,再画出频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),所以从A类工人和B类工人中分别抽查25名和75名.由题意知分层抽样比为110(2)①由4+8+x+5+3=25,得x=5.由6+y+36+18=75,得y=15.频率分布直方图如图所示.A类工人生产能力的频率分布直方图B 类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断,A 类工人中个体间的差异程度更小.②样本中A 类工人的生产能力平均数x A =425×105+825×115+525×125+525×135+325×145=123; 样本中B 类工人的生产能力平均数x B =675×115+1575×125+3675×135+1875×145=133.8;样本中该工厂工人的生产能力平均数x =25100×123+75100×133.8=131.1.故A 类工人生产能力的平均数、B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.22.(12分)国际视力表值(又叫小数视力值,用V 表示,范围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值,由缪天容创立,用L 表示,范围是[4.0,5.2])的换算关系式为L=5.0+lg V. (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整.(2)甲、乙两位同学检查视力,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的2倍,求乙的对数视力值.(所求值均精确到0.1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)因为5.0+lg1.5=5.0+lg 1510=5.0+lg 32=5.0+lg3-lg2=5.0+0.4771-0.3010≈5.2,所以①应填5.2.因为5.0=5.0+lg V ,所以V=1,所以②处应填1.0.因为5.0+lg0.4=5.0+lg 410=5.0+lg4-1=5.0+2lg2-1=5.0+2×0.3010-1≈4.6,所以③处应填4.6. 因为4.0=5.0+lg V ,所以lg V=-1,所以V=0.1,所以④处应填0.1. 对照表补充完整如下:(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值,则有4.5=5.0+lg V 甲,所以V 甲=10-0.5,则V 乙=2×10-0.5,所以乙的对数视力值L 乙=5.0+lg(2×10-0.5)=5.0+lg2-0.5=5.0+0.3010-0.5≈4.8.。
名师一号高一数学人教B必修4双基限时练 正弦型函数y=Ainωx+φ 含解析
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双基限时练(十一)基 础 强 化1.要得到函数y =sin2x 的图象,只需将y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象( )A .向左平移π8个单位长度 B .向右平移π8个单位长度 C .向左平移π4个单位长度 D .向右平移π4个单位长度 答案 B2.已知a 是实数,则函数f (x )=1+a sin ax 的图象不可能是( )解析 当a =0时,f (x )=1,图象为选项C 所示; 当0<a <1时,周期T =2πa >2π,图象为选项A 所示; 当a >1时,周期T =2πa <2π,图象为选项B 所示.答案 D3.函数y =A sin(ωx +φ)在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( )A .y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +2π3 B .y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3 C .y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3D .y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3 解析 由选项可知,A =2,12T =5π12-⎝⎛⎭⎪⎫-π12=π2, T =π,∴ω=2.当x =-π12时,y 取得最大值2,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6+φ=1,∴-π6+φ=π2,∴φ=2π3. 答案 A4.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π4(x ∈R ,ω>0)的最小正周期为π,将y =f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的一个值是( )A.π2B.3π8C.π4D.π8解析 由最小正周期为π得ω=2,于是f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,其图象向左平移|φ|个单位长度后,对应的函数解析式为y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+2|φ|,由于该函数图象关于y 轴对称,所以它是偶函数,所以π4+2|φ|=k π+π2,k ∈Z ,所以|φ|=k π2+π8,k ∈Z ,故选D. 答案 D5.已知函数y =A sin(ωx +φ)+k 的最大值是4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x =π3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )A .y =4sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π6B .y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3+2C .y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π3+2D .y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π6+2解析 由该函数的最小值为0,可知A 不正确,由周期为π2可知B 不正确,将x =π3分别代入选项C 、D 中,易知D 正确.答案 D6.若函数f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象为C ,则下列结论中正确的是( )①图象C 是关于直线x =1112π对称;②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,0对称;③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12,5π12内是增函数;④由y =3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . A .①② B .②③ C. ①②③D .①②③④解析 当x =11π12时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6-π3=-3,此时直线x =11π12经过函数图象的最低点,故直线x =11π12是函数图象的对称轴,结论①正确;f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3-π3=0,图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,0对称,结论②正确;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12,5π12时,2x -π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12,5π12内是增函数,结论③正确;函数y =3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得函数y =3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -2π3的图象,显然结论④不正确.答案 C7.要得到y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π3的图象,需将函数y =sin x2至少向左平移________个单位长度.解析 y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π3=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x +23π,故将y =sin x 2至少向左平移23π个单位长度.答案 23π8.若函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ,是常数,A >0,ω>0)的部分图象如图所示,则f (0)=________.解析 观察图象可知A =2,T 4=7π12-π3=3π12, 所以T =π,从而有ω=2πT =2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12,-2代入函数解析式f (x )=2sin(2x +φ) 得-2=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12+φ, 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6+φ=-1, 不妨令7π6+φ=3π2,得φ=π3,故f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,所以f (0)=2sin π3=62. 答案 62能 力 提 升9.将函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3图象上每一个点横坐标扩大为原来的2倍,所得图象所对应的函数解析式为______________;若将f (x )的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m >0),所得函数图象关于y 轴对称,则m 的最小值为________.解析 函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍,所得图象所对应的函数解析式为f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×12x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3,将函数f (x )的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m >0),所得函数的解析式为y =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x +m )+π3=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +2m +π3,当2m +π3=k π+π2,k ∈Z ,即m =k π2+π12,k ∈Z 时,所得的函数图象关于y 轴对称,此时m 的最小值为π12.答案 y =2sin(x +π3) π1210.已知函数f (x )=sin ωx (ω>0).(1)当ω=1时,写出由y =f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到的图象所对应的函数解析式;(2)若y =f (x )图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,0,且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3上是增函数,求ω的值.解析 (1)当ω=1时,f (x )=sin x ,将f (x )的图象向右平移π6个单位,得到的图象解析式为y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6. (2)由题意可知sin 2π3ω=0,故2π3ω=k π,k ∈Z ,即ω=32k ,k ∈Z .∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3上单调递增.∴14T ≥π3,即π2ω≥π3,∴ω≤32. ∵ω>0,∴ω=32.11.函数y =sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2在同一个周期内,当x =π4时y 取最大值1,当x =7π12时,y 取最小值-1.(1)求函数的解析式y =f (x );(2)函数y =sin x 的图象经过怎样的变换可得到y =f (x )的图象. 解析 (1)∵2πω=2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12-π4,∴ω=3.∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4+φ=1,∴3π4+φ=2k π+π2,k ∈Z .∵|φ|<π2,∴φ=-π4. ∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x -π4.(2)y =sin x 的图象向右平移π4个单位,得到y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4的图象,再由y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13,纵坐标不变,得到y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π4的图象. 12.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1,它在y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x 0,2)和(x 0+3π,-2).(1)求f (x )的解析式;(2)将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变),然后再将所得图象沿x 轴正方向平移π3个单位长度,得到函数y =g (x )的图象.写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象.解析 (1)由已知,易知 A =2,T2=(x 0+3π)-x 0=3π, 解得T =6π,∴ω=13.把(0,1)代入解析式y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 3+φ,得2sin φ=1.又|φ|<π2, ∴解得φ=π6.∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3+π6.(2)压缩后的函数解析式为y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,再平移,得g (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3+π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6.列表:x π6 2π3 7π6 5π3 13π6 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6 02-2品 味 高 考13.将函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C .0D .-π4解析 利用平移规律求得解析式,验证得出答案. y =sin(2x +φ)――→向左平移π8个单位y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π8+φ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+φ. 当φ=3π4时,y =sin(2x +π)=-sin2x ,为奇函数; 当φ=π4时,y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2=cos2x ,为偶函数; 当φ=0时,y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,为非奇非偶函数;当φ=-π时,y=sin2x,为奇函数,故选B.4答案 B。
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教b版必修1双基限时练13一次函数的性质与图象(第二章)(含答案)
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双基限时练(十三) 一次函数的性质与图象基 础 强 化1.已知一次函数y =kx +b ,若当x 增加3时,y 减小2,则k 的值是( )A .-23B .-32 C.23D.32解析 k =(y -2)-y (x +3)-x =-23,故选A.答案 A2.若点(-4,y 1),(2,y 2)都在直线y =-13x +t 上,则y 1与y 2的大小关系是( )A .y 1>y 2B .y 1=y 2C .y 1<y 2D .无法确定解析 y =-13x +t 单调递减,-4<2,∴y 1>y 2. 答案 A3.一次函数y =(m -1)x +m 2+2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3,则m 的值是( )A .±5B .±1C .-1D .-2 解析⎩⎨⎧m 2+2=3,m ≠1,∴m =-1.故选C.答案 C4.已知f (x )是一次函数且2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )的解析式为( )A .f (x )=3x -2B .f (x )=3x +2C .f (x )=2x -3D .f (x )=2x +3 解析 设f (x )=kx +b (k ≠0),则⎩⎨⎧2(2k +b )-3(k +b )=5,2b -(-k +b )=1,解得⎩⎨⎧k =3,b =-2,∴f (x )=3x -2. 答案 A5.若一次函数y =(m -3)x +m 2-2m -3是奇函数,则实数m 的值为( )A .3B .-1C .3或-1D .-3或1 解析 ∵该函数为奇函数,∴⎩⎨⎧m 2-2m -3=0,m -3≠0.∴m =-1.答案 B6.已知直线y =kx -4与两坐标轴围成的三角形面积为6,则实数k 的值为( )A.34B.43 C .±43D .±34解析 当x =0时,y =-4;当y =0时,x =4k . ∴S =12×4×4|k |=6,∴|k |=43. ∴k =±43. 答案 C7.一次函数y =(m +4)x +2m -3是增函数,且它的图象与y 轴的交点在x 轴的下方,则m 的取值范围是________.解析⎩⎨⎧m +4>0,2m -3<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m >-4,m <32.∴-4<m <32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4,32 8.一次函数y =(-3k +1)x +2k -1在R 上是增函数,则它的图象经过的象限为________.解析 -3k +1>0,∴k <13,∴2k -1<0,∴该一次函数的图象经过一、三、四象限.答案 一、三、四能 力 提 升9.若一次函数f (x )=(1-m )x +2m +3在上总取正值,则m 满足的条件是________.解析 ∵函数f (x )为一次函数, ∴m ≠1,要使f (x )在上总取正值,则需⎩⎨⎧f (-2)>0,f (2)>0,即⎩⎨⎧-2(1-m )+2m +3>0,2(1-m )+2m +3>0,解得m >-14,又m ≠1.∴m 满足的条件为m >-14,且m ≠1. 答案 m >-14,且m ≠110.已知y +5与3x +4成正比例,当x =1时,y =2. (1)求y 与x 的函数解析式; (2)求当x =-1时的函数值;(3)如果y 的取值范围是0≤y ≤5,求x 的取值范围. 解 (1)由题意,设y +5=k (3x +4). 把x =1,y =2代入,得7=k (3+4), ∴k =1,∴y +5=3x +4,即y =3x -1. (2)把x =-1代入函数解析式,得 y =3×(-1)-1=-4.(3)令0≤3x -1≤5,∴1≤3x ≤6, 解得13≤x ≤2.11.画出函数y =2x +1的图象,利用图象求:(1)方程2x +1=0的解; (2)不等式2x +1≥0的解集; (3)当y ≤3时,求x 的取值范围; (4)当-3≤y ≤3时,求x 的取值范围; (5)求图象与坐标轴的两个交点间的距离; (6)求图象与坐标轴围成的三角形的面积. 解 列表:描点A (0,1),B ⎝⎛⎭⎪-12,0,连线,如图所示,直线AB 就是函数y =2x +1的图象.(1)直线AB 与x 轴的交点是B ⎝⎛⎭⎪⎫-12,0.从图象可以看出,当x =-12时,y =0,即2x +1=0,∴x =-12就是方程2x +1=0的解.(2)从图象可以看出,射线BA 在x 轴的上方,它上面的点的纵坐标都不小于零,即y =2x +1≥0.∵射线BA 上点的横坐标满足x ≥-12, ∴不等式2x +1≥0的解集是{x |x ≥-12}.(3)过点(0,3)作平行于x 轴的直线CC ′,交直线AB 于点C ,点C 的坐标为(1,3),直线CC ′上点的纵坐标y 均等于3,直线CC ′下方的点的纵坐标y 均小于3,射线CB 上点的横坐标满足x ≤1,∴当y ≤3时, x 的取值范围为{x |x ≤1}.(4)过点(0,-3)作平行于x 轴的直线,交直线AB 于点D (-2,-3).从图象可以看出,线段DC 上的点的纵坐标满足-3≤y ≤3,而横坐标满足-2≤x ≤1,∴当-3≤y ≤3时,x 的取值范围为{x |-2≤x ≤1}.(5)图象与x 轴的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0,与y 轴的交点为A (0,1),因此|OA |=1,|OB |=12.由勾股定理,得|AB |=|OA |2+|OB |2=12+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=52.∴图象与坐标轴的两个交点间的距离为52. (6)∵△AOB 是直角三角形, ∴S △AOB =12|OB |·|OA |=12×12×1=14. ∴图象与坐标轴围成的三角形的面积为14.12.某块实验田里的农作物每天的需水量y (千克)与生长时间x (天)之间的关系如折线图所示.这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克,在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克.(1)分别求出当0≤x ≤40和x ≥40时,y 与x 之间的关系式; (2)如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时需要进行人工灌溉,那么应从第几天开始进行人工灌溉?解 (1)当x ∈时,设函数解析式为y =k 1x +b 1,由题可知,⎩⎨⎧10k 1+b 1=2000,30k 1+b 1=3000,∴⎩⎨⎧k 1=50,b 1=1500.∴y =50x +1500,x ∈. 当x =40时,y =3500.由题意可知,当x =41时,y =3600.∴当x ∈[40,+∞)时,设函数解析式为y =k 2x +b 2.∴⎩⎨⎧40k 2+b 2=3500,41k 2+b 2=3600.∴k 2=100,b 2=-500.∴y =100x -500,x ∈[40,+∞). (2)令100x -500≥4000,∴x ≥45. ∴从第45天起开始进行人工灌溉.品 味 高 考13.如果直线y =kx +b 经过第一、三、四象限,那么直线y =-bx +k 经过第________象限.解析 ∵直线y =kx +b 过第一、三、四象限, ∴k >0,b <0,∴-b >0,答案 一、二、三。
(人教版B版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷01及答案
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第二章综合测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若23A a ab =+,24B ab b =-,则A ,B 的大小关系是( )A .AB …B .A B …C .A B <或A B >D .A B>2.下列结论正确的是( )A .若ac bc >,则a b>B .若22a b >,则a b>C .若a b >,0c <,则a c b c++<D .若a b<3.下列变形是根据等式的性质的是( )A .由213x -=得24x =B .由2x x =得1x =C .由29x =得x=3D .由213x x -=得51x =-4.实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是( )A .0a b +=B .b a <C .0ab >D .||||b a <5.已知||a b a <<,则( )A .11a b >B .1ab <C .1ab D .22a b >6.若41x -<<,则222()1x x f x x -+=-( )A .有最小值2B .有最大值2C .有最小值2-D .有最大值2-7.已知0a >,0b >,2a b +=,则14y a b =+的最小值是( )A .72B .4C .92D .58.已知1x ,2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根,且满足121234x x x x +-=,那么b 的值为()A .5B .5-C .4D .4-9.不等式22120x ax a --<(其中0a <)的解集为( )A .(3,4)a a -B .(4,3)a a -C .(3,4)-D .(2,6)a a 10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的总利润y (单位:10万元)与营运年数()*x x ÎN 为二次函数的关系(如图),则每辆客车营运_____年,营运的年平均利润最大( )A .3B .4C .5D .611.若正数x ,y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是()A .245B .285C .5D .612.已知a b >,二次三项式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立,又0x $ÎR ,使20020ax x b ++=成立,则22a b a b+-的最小值为( )A .1BC .2D .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.当1x >时,不等式11x a x +-≥恒成立,则实数a 的取值范围为__________.14.若0a b <<,则1a b -与1a 的大小关系为__________.15.若正数a ,b 满足3ab a b =++,则ab 的取值范围是__________.16.已知关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两个不相等的实数根1x 、2x .若1226x x -=,则实数m 的值为__________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解下列不等式(组):(1)2(2)01x x x +ìíî>,<;(2)262318x x x --<….18.(本小题满分12分)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,且1abc =.111a b c++<.19.(本小题满分12分)已知21()1f x x a x a æö=-++ç÷èø.(1)当12a =时,解不等式()0f x …;(2)若0a >,解关于x 的不等式()0f x ….20.(本小题满分12分)某镇计划建造一个室内面积为2800 m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?21.(未小题满分12分)设函数2()3(0)f x ax bx a =++¹.(1)若不等式()0f x >的解集为(1,3)-,求a ,b 的值;(2)若(1)4f =,0a >,0b >,求14a b+的最小值.22.(本小题满分12分)解下列不等式.(1)2560x x --+<;(2)()(2)0a x a x -->.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】()2222334240b A B a ab ab b a b æö-=+--=-+ç÷èø∵…,A B ∴….2.【答案】D【解析】当0c <时,A 选项不正确;当0a <时,B 选项不正确;两边同时加上一个数,不等号方向不改变,故C 选项错误.3.【答案】A【解析】A .根据等式的性质1,在等式213x -=的左右两边同时加上1,可得24x =,故本选项正确;B .在等式2x x =的左右两边同时除以x ,可得1x =,但是当0x =时,不成立,故本选项错误;C .将等式29x =的左右两边开平方,可得3x =±,故本选项错误;D .根据等式的性质1,在等式213x x -=的左右两边同时加上(31)x +,可得561x x =+,故本选项错误.4.【答案】D【解析】根据题图可知,21a --<<,01b <<,所以||||b a <.5.【答案】D【解析】由||a b a <<,可知0||||b a <…,由不等式的性质可知22||||b a <,所以22a b >.6.【答案】D 【解析】2221()(1)11x x f x x x x -+==-+--.又41x -∴<<,10x -∴<,(1)0x --∴>1()(1)2(1)f x x x éù=---+-êú--ëû∴…当且仅当111x x -=-,即0x =时等号成立.7.【答案】C【解析】2a b +=∵,12a b +=∴∴14142a b a b a b +æö+=+×ç÷èø52592222a b b a æö=+++=ç÷èø…(当且仅当22a b b a =,即423b a ==时,等号成立)故14y a b =+的最小值为92.8.【答案】A【解析】12,x x ∵是关于x 的方程230x bx +-=的两根,12x x b +=-∴,123x x =-,121234x x x x +-=∵,94b -+=∴,解得5b =.9.【答案】B【解析】方程22120x ax a --=的两根为4a ,3a -,且43a a -<,43a x a <<-∴.10.【答案】C【解析】求得函数式为2(6)11y x =--+,则营运的年平均利润2512122y x x x æö=-+-=ç÷èø…,当且仅当25x x=时,取“=”号,解得5x =.11.【答案】C【解析】35x y xy +=∵,13155y x+=∴1334(34)1(34)55x y x y x y y x æö+=+´=++ç÷èø∴3941213555555x y y x =++++=…当且仅当31255x y y x =,即1x =,12y =时等号成立.12.【答案】D【解析】a b ∵>,二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,0a ∴>,且440ab D =-…,1ab ³∴.再由0x $ÎR ,使20020ax x b ++=成立,可得0D …,1ab ∴…,又a b >,1a >.2224231101a a b a a a b a a a a +++==---∴2242484243624222211211211222a a a a a a a a a a a a a a a a æö+++ç÷æö+++èø===ç÷-+-æöèø+-+-ç÷èø22222221124412a a a a a a æöæö+-++-ç÷ç÷èøèø=æö+-ç÷èø令22112a a +=>,则24231(2)4(2)44(2)444822a t t t a a t t æö+-+-+==-+++=ç÷---èø…,当且仅当4t =,即a =时取等.故2431a a a æö+ç÷-èø的最小值为8,故22a b a b +-=.二、13.【答案】(,3]-¥【解析】1x ∵>,11(1)11311x x x x +=-+++=--∴….3a ∴….14.【答案】11a b a -<【解析】110()()a ab b a b a a a b a a b -+-==---∵<.11a b a-∴15.【答案】[9,)+¥【解析】33ab a b =+++…,所以1)0-+…,3,所以9ab ….16.【答案】2-【解析】由题意知123x x +=,1226x x -=∵,即12236x x x +-=,2336x -=∴,解得21x =-,代入到方程中,得1320m ++=,解得2m =-.三、17.【答案】(1)原不等式组可化为 2 0,11,x x x -ìí-î<或><<即01x <<,所以原不等式组的解集为{|01}x x <<.(2)原不等式等价于22623,318,x x x x x ì--í-î≤<即2260,3180,x x x x ì--í--î<…因式分解,得(3)(2)0,(6)(3)0,x x x x -+ìí-+î<…所以 2 3,36,x x -ìí-î或<<……所以132x --<≤或36x <….所以不等式的解集为{|3236}x x x --<≤或≤<.18.【答案】证明:因为a ,b ,c 都是正实数,且1abc =,所以112a b +=…11b c +=…11a c +=…以上三个不等式相加,得1112a b c æö++++ç÷èø…,即111a b c+++.因为a ,b ,c 不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不同时成立.111a b c++++<.19.【答案】(1)当12a =时,有不等式25()102f x x x =-+≤,1(2)02x x æö--ç÷èø∴…,122x ∴……,即所求不等式的解集为1,22éùêúëû.(2)1()()0f x x x a a æö=--ç÷èø∵…,0a >且方程1()0x x a a æö--=ç÷èø的两根为1x a =,21x a =,∴当1a a ,即011a <<,不等式的解集为1,a a éùêúëû;当1a a <,即1a >,不等式的解集为1,a a éùêúëû;当1a a=,即1a =,不等式的解集为{1}.20.【答案】设矩形温室的左侧边长为 m a ,后侧边长为 m b ,蔬菜的种植面积为2 m S ,则800ab =.所以(4)(2)4288082(2)808648S a b ab b a a b =--=--+=-+-=…当且仅当2a b =,即40a =,20b =时等号成立,则648S =最大值.故当矩形温室的左侧边长为40 m ,后侧边长为20 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为2648 m .21.【答案】(1)因为不等式()0f x >的解集为(1,3)-,所以1-和3是方程()0f x =的两个实根,从而有(1)30,(3)9330,f a b f a b -=-+=ìí=++=î解得1,2,a b =-ìí=î(2)由(1)4f =,得1a b +=,又0a >,0b >,所以1414()a b a b a b æö+=++ç÷èø4559b a a b =+++=…当且仅当4b a a b =即1,32,3a b ì=ïïíï=ïî时等号成立,所以14a b+的最小值为9.22.【答案】(1)2560x x --+<∵,2560x x +->∴,(1)(6)0x x -+∴>,解得6x -<或1x >,∴不等式2560x x --+<的解集是{| 6 1}x x x -<或>.(2)当0a <时,()(2)y a x a x =--的图象开口向下,与x 轴交点的横坐标为x a =,2x =,且2a <,()(2)0a x a a --∴>的解集为{|2}x a x <<.当0a =时,()(2)0a x a x --=,()(2)0a x a x --∴>无解.当0a >时,抛物线()(2)y a x a x =--的图像开口向上,与x 轴交点的横坐标为x a =,2x =.当2a =时,不等式可化为22(2)0x ->,解得2x ¹.当2a >时,解得2x <或x a >.当2a <时,解得x a <或2x >.综上,当0a <时,不等式的解集是{|2}x a x <<;当0a =时,不等式的解集是Æ;当02a <<时,不等式的解集是{| 2}x x a x <或>;当2a =时,不等式的解集是{|2}x x ¹;当2a >时,不等式的解集是{|2}x x x a <或>.。
名师 人教数学B版必修1 阶段性测试题3 (40)
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第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数 第二课时 指数函数(二)课时跟踪检测[A 组 基础过关]1.设f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |,x ∈R ,那么f (x )是( )A .奇函数且在(0,+∞)上是增函数B .偶函数且在(0,+∞)上是增函数C .奇函数且在(0,+∞)上是减函数D .偶函数且在(0,+∞)上是减函数 解析:f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象如图所示.∴f (x )是偶函数,在(0,+∞)上是减函数,故选D . 答案:D2.函数f (x )=e x +e -x 的图象( ) A .关于x 轴对称 B .关于y 轴对称 C .关于原点对称 D .关于直线y =x 对称解析:x ∈R 且f (-x )=e -x +e x =f (x ), ∴f (x )为偶函数,∴f (x )的图象关于y 轴对称,故选B . 答案:B3.已知函数f (x )=a |x +1|(a >0,a ≠1)的值域为[1,+∞),则f (-4)与f (1)的大小关系是( )A .f (-4)>f (1)B .f (-4)=f (1)C .f (-4)<f (1)D .不能确定解析:若f (x )=a |x +1|的值域为[1,+∞),则a >1,∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x +1,x ≥-1,a-x -1,x <-1,f (x )的图象为∴f (x )的图象关于x =-1对称. ∴f (-4)=f (2)>f (1),故选A . 答案:A4.下列函数中值域为(0,+∞)的是( ) A .y =21x B .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫122-xC .y =2x +1D .y =2x -1解析:y =21x 的值域为(0,1)∪(1,+∞), y =2x +1的值域为(1,+∞), y =2x -1的值域为[0,+∞),y =⎝ ⎛⎭⎪⎫122-x 的值域为(0,+∞).故选B . 答案:B5.函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2+ax 在区间(-∞,-1]上是单调减函数,则实数a 的取值范围是( )A .a ≤-4B .a ≤-2C .a ≥-2D .a >-4解析:由题可知a2≥-1,∴a ≥-2.故选C . 答案:C6.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎨⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)解析:函数f (x )的图象如图所示,观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0,2x <x +1,解得x <0,所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(-∞,0),故选D .答案:D7.已知实数a ,b 满足3a =10b ,下列5个关系式:①0<a <b ;②0<b <a ;③a <b <0;④b <a <0;⑤a =b =0.其中可能成立的关系有________. 解析:当a >b >0时,有3a =10b ,当a =b =0时,有3a =10b , 当a <b <0时,有3a =10b ,∴可能成立的关系有②③⑤. 答案:②③⑤8.已知函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常量且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1)试确定f (x );(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x +⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x -m ≥0在x ∈(-∞,1]上恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)∵f (x )=b ·a x 的图象过点A (1,6),B (3,24), ∴⎩⎨⎧b ·a =6, ①b ·a 3=24, ②②÷①得a 2=4,又a >0且a ≠1,∴a =2,b =3, ∴f (x )=3·2x .(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x +⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x -m ≥0在(-∞,1]上恒成立,化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(-∞,1]上恒成立,令g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,则g (x )在(-∞,1]上单调递减, ∴m ≤g (x )min =g (1)=12+13=56, 故所求实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,56.[B 组 技能提升]1.函数f (x )=e 2x -1e x 的图象关于( ) A .原点对称 B .y 轴对称 C .x 轴对称D .关于x =1对称解析:∵函数的定义域为R ,且f (x )=e 2x -1e x =e x -e -x , ∴f (-x )=e -x -e x =-(e x -e -x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数,∴f (x )的图象关于原点对称,故选A . 答案:A2.若函数f (x ),g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数,且满足f (x )-g (x )=e x ,则有( )A .f (2)<f (3)<g (0)B .g (0)<f (3)<f (2)C .f (2)<g (0)<f (3)D .g (0)<f (2)<f (3)解析:由题意得f (-x )-g (-x )=e -x ,又f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,所以上式可化为-f (x )-g (x )=e -x ,与已知f (x )-g (x )=e x ,联立得f (x )=e x -e -x2,g (x )=e x +e -x-2,而y 1=e x ,y 2=-e -x =-⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 分别为R 上的增函数,所以f (x )在定义域R 上为增函数,所以0=f (0)<f (2)<f (3),又g (0)=-1,所以g (0)<f (2)<f (3).答案:D3.已知g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x >0),而f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x >0时,f (x )=g (x ),则 f (x )的解析式为________.解析:当x ∈(0,+∞)时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,令x ∈(-∞,0),此时-x ∈(0,+∞),∴根据奇函数的性质得f (x )=-f (-x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x=-2x ,∴f (x )=⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x >0),-2x (x <0).答案: f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x >0),-2x (x <0)4.设a =⎝ ⎛⎭⎪⎫3525,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2535,c =⎝ ⎛⎭⎪⎫2525,则a ,b ,c 的大小关系是________. 解析:构造指数函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R ),由该函数在定义域内单调递减可得b <c ;又y =⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论:当x >0时,有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ,故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525,∴a >c ,故a >c >b . 答案:a >c >b5.已知函数f (x )=a 1+x ,g (x )=a 1-x (a >0且a ≠1),设h (x )=f (x )-g (x ). (1)判断h (x )的奇偶性,并说明理由;(2)若f (3)=16,求使h (x )>0成立的x 的集合. 解:(1)h (x )是奇函数.理由如下:由题意得,h (x )的定义域为R ,关于原点对称h (-x )=f (-x )-g (-x )=a 1+(-x )-a 1-(-x )=a 1-x -a 1+x =-(a 1+x -a 1-x )=-h (x ).所以h (x )是奇函数.(2)由f (3)=16,得a 3+1=16,a =2,所以h (x )=21+x -21-x >0,21+x >21-x,1+x >1-x , 解得x >0,所以使h (x )>0成立的x 的集合为{x |x >0}.6.已知定义域为R 的单调函数f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=x3-2x . (1)求f (-1)的值; (2)求f (x )的解析式;(3)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求实数k 的取值范围.解:(1)∵定义域为R 的函数f (x )是奇函数,所以f (-1)=-f (1)=-⎝ ⎛⎭⎪⎫13-2=53.(2)∵定义域为R 的函数f (x )是奇函数,∴f (0)=0. 当x <0时,-x >0,∴f (-x )=-x 3-2-x. 又∵函数f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ). ∴f (x )=x3+2-x .综上所述f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3-2x(x >0),0(x =0),x 3+2-x(x <0).(3)∵f (1)=-53<f (0)=0且f (x )在R 上单调, ∴f (x )在R 上单调递减,由f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0得f (t 2-2t )<-f (2t 2-k ). ∵f (x )是奇函数,∴f (t 2-2t )<f (k -2t 2). 又∵f (x )是减函数,∴t 2-2t >k -2t 2. 即3t 2-2t -k >0对任意t ∈R 恒成立. ∴Δ=4+12k <0得k <-13即为所求.。
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第二章函数2.1函数2.1.4函数的奇偶性课时跟踪检测[A组基础过关]1.下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的为() A.y=x-1 B.y=-2x2C.y=1x D.y=x3答案:D2.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,那么函数f(x)在区间[-7,-3]上()A.是增函数且最小值为-5B.是增函数且最大值是-5C.是减函数且最小值为-5D.是减函数且最大值是-5解析:奇函数f(x)在[3,7]上是增函数,且最小值是5,则f(x)在区间[-7,-3]上是增函数,最大值是-5,故选B.答案:B3.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则下列不等关系中一定正确的是()A.f(4)>f(-6) B.f(-4)<f(-6)C.f(-4)>f(-6) D.f(4)<f(-6)解析:由题可知f(x)在(-∞,0)上是增函数,所以f(-4)>f(-6),故选C.答案:C4.下列函数中既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=x2B.f(x)=-x3C.f(x)=1x D.f(x)=-x+1解析:f(x)=x2是偶函数;f(x)=-x3是奇函数且是减函数;f(x)=-x+1是非奇非偶函数.f(x)=1x是奇函数,但在定义域内不单调,故选B.答案:B5.已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析:f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),∴f(x)·g(x)是奇函数;|f(x)|·g(x)是偶函数;f(x)|g(x)|是奇函数;|f(x)·g(x)|是偶函数,故选C.答案:C6.如果函数f(x),g(x)在区间[-a,a]上都是奇函数,则下列结论:①f(x)+g(x)在[-a,a]上是奇函数;②f(x)-g(x)在[-a,a]上是奇函数;③f(x)·g(x)在[-a,a]上是偶函数,其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.0解析:定义域相同,由奇(偶)函数的定义便知三个命题均正确.答案:C7.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数中必为奇函数的有________.(要求填写正确答案的序号)①y=-|f(x)|;②y=xf(x2);③y=-f(-x);④y=f(x)-f(-x).解析:由奇函数的定义可知f (-x )=-f (x ),用-x 代替x 逐一验证即可判定其中②④都是奇函数.答案:②④8.设f (x )是定义在R 上的偶函数,当x >0时,f (x )=-x 3+1,则f (-2)·f (5)的值为________.解析:∵f (x )为偶函数,∴f (-2)·f (5)=f (2)·f (5)=(-8+1)(-125+1)=868. 答案:868[B 组 技能提升]1.若偶函数f (x )在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32<f (-1)<f (2)B .f (-1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32<f (2)C .f (2)<f (-1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32D .f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32<f (-1)解析:∵f (x )是偶函数, ∴f (-2)=f (2). 又-2<-32<-1,f (x )在(-∞,-1]上是增函数, ∴f (-2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32<f (-1),故选D .答案:D2.奇函数f (x )在(-∞,0)上的解析式是f (x )=x (1+x ),则f (x )在(0,+∞)上有( )A .最大值-14 B .最大值14 C .最小值-14D .最小值14解析:由f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ),若x >0,则-x <0,f (-x )=-x (1-x ),∴f (x )=-f (-x )=x (1-x )=-x 2+x =-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+14,∴f (x )在(0,+∞)上有最大值14,故选B . 答案:B3.若函数f (x )为奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2+x ,则f (-3)的值为________. 解析:因为函数f (x )为奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2+x ,所以f (-3)=-f (3)=-(32+3)=-12.答案:-124.已知函数f (x )为偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的所有实根之和是________.解析:因为f (x )为偶函数,f (x )=0的实根关于x 轴对称, ∴所有实根之和为0. 答案:05.已知y =f (x )是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1,解不等式-1<f (2x +1)≤0.解:∵f (x )是R 上的奇函数, ∴f (0)=0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-1.由-1<f (2x +1)≤0,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12<f (2x +1)≤f (0).又∵f (x )在[0,+∞)上是增函数,则f (x )在(-∞,0]上也是增函数, ∴-12<2x +1≤0, 得-34<x ≤-12.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-34<x ≤-12 .6.已知定义在(-1,1)上的奇函数f (x )=ax +b x 2+1是增函数,且f⎝ ⎛⎭⎪⎫12=25.(1)求函数f (x )的解析式; (2)解不等式f (t -1)+f (2t )<0. 解:(1)因f (x )=ax +bx 2+1是定义在(-1,1)上的奇函数,则f (0)=0,得b =0. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=25,则12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫122+1=25,∴a =1, 所以f (x )=x x 2+1. (2)因定义在(-1,1)上的奇函数f (x )是增函数, 由f (t -1)+f (2t )<0, 得f (t -1)<-f (2t )=f (-2t ).所以有⎩⎨⎧-1<t -1<1,-1<2t <1,t -1<-2t ,∴⎩⎪⎨⎪⎧0<t <2,-12<t <12,t <13,解得0<t <13.。
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必修1综合测评(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁U A)∪B=() A.{1,2,4} B.{0,2,4}C.{0,2,3,4} D.{2,3,4}解析:(∁U A)∪B={0,4}∪{2,4}={0,2,4},故选B.答案:B2.已知不等式a m<a n(0<a<1),比较m,n的大小()A.m>n B.m<nC.m=n D.不确定解析:若0<a<1,则y=a x是减函数,由a m<a n,得m>n,故选A.答案:A3.若x,y∈R,且f(x+y)=f(x)+f(y),则函数f(x)()A.f(0)=0且f(x)为偶函数B.f(0)=0且f(x)为奇函数C.f(x)为增函数且为奇函数D.f(x)为增函数且为偶函数解析:若x=0,y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),∴f(-x)+f(x)=0,∴f(0)=0,且f(x)为奇函数,故选B.答案:B4.已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=x12.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是( )A .②①③④B .②③①④C .④③①②D .④①③②答案:C5.函数y =|log 2x |-2-x 的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3D .4 解析:y =|log 2x |-2-x 的零点的个数即为y =|log 2x |与y =2-x 的图象的交点个数,在同一坐标系中作出函数y =|log 2x |与y =2-x 的图象.由图象可知,有两个交点,故选B . 答案:B6.已知函数f (x )=⎩⎨⎧3x ,x <1,f (x -1),x ≥1,则f (log 310)=( )A .1021B .1027C .109D .103解析:∵log 39<log 310<log 327,∴2<log 310<3,∴f (log 310)=f (log 310-2)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3109=3log 3109=109,故选C .答案:C7.设f (x )=3x +3x -8,用二分法求方程3x +3x -8=0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0,f (1.5)>0,f (1.25)<0,则方程的根落在区间( )A .(1,1.25)B .(1.25,1.5)C .(1.5,2)D .不能确定解析:由题可知f (1.25)·f (1.5)<0,则方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故选B . 答案:B8.设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +2x +m (m 为常数),则f (-1)=( )A .1B .32C .-32D .-2解析:∵f (x )为R 上的奇函数, ∴f (0)=0即⎝ ⎛⎭⎪⎫120+m =0,解得m =-1.即f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +2x -1.则f (-1)=-f (1)=-⎝ ⎛⎭⎪⎫12+2-1=-32,故选C .答案:C9.定义在R 上的偶函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<0,且f (2)=0,则不等式2f (x )+f (-x )5x <0的解集是( )A .(-∞,-2)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(0,2)C .(-2,0)∪(2,+∞)D .(-2,0)∪(0,2)解析:由题意可知f (x )在(-∞,0]上为减函数,又f (x )为偶函数,所以f (x )在(0,+∞)上为增函数,f (x )的图象如图示:不等式2f(x)+f(-x)5x<0,可化为3f(x)5x<0,∴f(x)与x异号,故选B.答案:B10.若函数y=a x-m-1(a>0,a≠1)图象不经过第二象限,则必有() A.0<a<1,m>0 B.a>1,m≥0C.0<a<1,m<0 D.a>0,m<1解析:由y=a x图象分析.由于y=a x-m-1是y=a x图象上下平移得来的.又因y=a x恒过点(0,1),若0<a<1,通过平移,第二象限总有图象.∴a>1.将点(0,1)平移至点(0,0)或原点下方,就能使y=a x-m-1的图象不经第二象限.即m+1≥1,∴m≥0.综上选B.答案:B11.定义在R上的偶函数f(x)对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有f(x2)-f(x1) x2-x1<0,则()A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(1)<f(3)<f(-2)D.f(-2)<f(3)<f(1)解析:由题意知f(x)在[0,+∞)上是减函数,∴f(3)<f(2)<f(1).又∵f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),故选A.答案:A12.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)≤t2-2at +1对所有的x∈[-1,1]都成立,则当a∈[-1,1]时,t的取值范围是() A.-2≤t≤2B.-12≤t≤12C .t ≥2或t ≤-2或t =0D .t ≥12或t ≤-12或t =0解析:奇函数f (x )在[-1,1]上是增函数,且f (-1)=-1,在[-1,1]上最大值是1,∴1≤t 2-2at +1, 当t =0时显然成立;当t ≠0时,则t 2-2at ≥0成立,又a ∈[-1,1], 令r (a )=-2at +t 2,a ∈[-1,1];当t >0时,r (a )是减函数,故令r (1)≥0,解得t ≥2; 当t <0时,r (a )是增函数,故令r (-1)≥0,解得t ≤-2, 综上知,t ≥2或t ≤-2或t =0, 故选C . 答案:C第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答卷卡的相应位置上)13.函数f (x )=-x +x -1x +4的定义域为________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,x +4≠0,解得x ≥1.∴函数f (x )=-x +x -1x +4的定义域为[1,+∞).答案:[1,+∞)14.已知4a =2,lg x =a ,则x =________.解析:∵4a =2,∴22a =2,∴2a =1,a =12,∴lg x =12,x =10.答案:1015.函数y =log 2(x 2+4x )的单调递减区间为________. 解析:由x 2+4x >0,得x <-4或x >0, 当x <-4时,x 2+4x 为减函数,∴函数y =log 2(x 2+4x )的减区间为(-∞,-4). 答案:(-∞,-4)16.(2018·天津卷)已知a >0,函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+2ax +a ,x ≤0,-x 2+2ax -2a ,x >0.若关于x 的方程f (x )=ax 恰有2个互异的实数解,则实数a 的取值范围是 ________.解析:当x ≤0时,方程f (x )=ax ,即x 2+2ax +a =ax , 整理可得,x 2=-a (x +1),显然x =-1不是方程的实数解,则a =-x 2x +1,当x >0时,方程f (x )=ax ,即-x 2+2ax -2a =ax , 整理可得,x 2=a (x -2),显然x =2不是方程的实数解,则a =x 2x -2,令g (x )=⎩⎨⎧-x 2x +1,x ≤0,x2x -2,x >0,其中-x 2x +1=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1+1x +1-2,x 2x -2=x -2+4x -2+4, 原问题等价于函数g (x )与函数y =a 有两个不同的交点,求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象,同时绘制函数y =a 的图象(图略),结合a >0观察可得,实数a 的取值范围是(4,8). 答案:(4,8)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设全集U =R ,A ={x |1<2x -1<5},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤2x ≤4,求A ∪B ,(∁R A )∩B .解:由1<2x -1<5, ∴2<2x <6,∴1<x <3. ∴A =(1,3). B =[-1,2], ∴A ∪B =[-1,3), (∁R A )∩B =[-1,1].18.(12分)设f (x )=log a (1+x )+log a (2-x )(a >0,a ≠1),且f (1)=2. (1)求a 的值及f (x )的定义域; (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32上的最大值.解:(1)f (1)=2,∴log a 2+log a 1=2, ∴log a 2=2,a = 2.由⎩⎨⎧1+x >0,2-x >0,得-1<x <2,所以函数f (x )的定义域为(-1,2). (2)f (x )=log 2(1+x )+log 2(2-x )=log 2(-x 2+x +2)=log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤-⎝⎛⎭⎪⎫x -122+94, 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32上最大值为当x =12时, f (x )max =log 294=2log 29-4. 19.(12分)(1)计算:lg 2+lg 5-lg 12lg 12+lg 8(lg 32-lg 2);(2)设x =log 23,求23x -2-3x2x -2-x的值.解:(1)原式=1lg 2·4lg 2=4. (2)由x =log 23得2x =3,∴23x -2-3x 2x -2-x =22x +2-2x +1=9+19+1=919. 20.(12分)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1).(1)若函数f (x )在[2,3]上的最大值与最小值的和为2,求a 的值;(2)将函数f (x )图象上所有的点向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得图象不经过第二象限,求a 的取值范围.解:(1)∵函数f (x )在[2,3]上单调,又∵函数f (x )在[2,3]上的最大值与最小值的和为2, ∴log a 2+log a 3=2. 即log a 6=2, 解得a = 6.(2)函数f (x )=log a x ――――――――――――→向左平移2个单位长度y =log a (x +2) ――――――――――――――→向下平移1个单位长度y =log a (x +2)-1. ∵y =log a (x +2)-1的图象不经过第二象限, ∴⎩⎨⎧a >1,log a 2-1≤0, 解得a ≥2.21.(12分)已知函数f (x )=⎩⎨⎧|ln x |,x >0,x 2+4x +1,x ≤0.(1)求函数f (x )的零点;(2)设g (x )=f (x )-a ,若函数g (x )有四个零点,求a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,记g (x )的四个零点从左到右分别为x 1,x 2,x 3,x 4,求x 1+x 2+x 3x 4的值.解:(1)当x >0时,由|ln x |=0,得x =1;当x ≤0时,x 2+4x +1=0,得x =-2-3或x =-2+ 3. 所以f (x )的零点为1,-2+3,-2- 3.(2)f (x )的图象如图所示.若g (x )=f (x )-a 有四个零点,即f (x )与y =a 的图象有4个交点,∴0<a ≤1.(3)由(2)可知x 1与x 2关于x =-2对称, ∴x 1+x 2=-4;ln x 3=-ln x 4, ∴ln x 3+ln x 4=0,∴x 3x 4=1, ∴x 1+x 2+x 3x 4=-4+1=-3.22.(12分)(2018·上海卷)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S 中x %(0<x <100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧30,0<x ≤30,2x +1 800x -90,30<x <100(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式;讨论g (x )的单调性,并说明其实际意义.解:(1)①当0<x ≤30时,自驾群体人均通勤时间为30分钟,公交群体人均通勤时间为40分钟,此时公交群体人均通勤时间大于自驾群体人均通勤时间.②当30<x <100时,令f (x )>40,得2x +1 800x -90>40, 解得0<x <20或45<x <100,所以当45<x <100时,自驾群体的人均通勤时间大于40分钟, 此时公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.综上所述,当45<x <100时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x ≤30时,g (x )=30x %+40(1-x %)=-0.1x +40,当30<x <100时,g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +1 800x -90x %+40(1-x %)=0.02x 2-1.3x +58,所以g (x )=⎩⎨⎧-0.1x +40,0<x ≤30,0.02x 2-1.3x +58,30<x <100,所以当0<x ≤30时,-0.1x +40是减函数,y (x )=0.02x 2-1.3x +58的对称轴是x =32.5,当30<x ≤32.5时,是减函数, 则g (x )在(0,32.5]上单调递减;当32.5<x <100时,则g (x )在(32.5,100)上单调递增,表示当自驾群体的范围在(0,32.5%]时,上班族的人均通勤时间随自驾群体的增加而减少;当自驾群体占比为32.5%时,人均通勤时间为最小值;当自驾群体超过32.5%时,上班族的人均通勤时间随自驾群体的增多而增加.。
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必修5综合测试(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在下列四个选项中,只有一项是符合题意的)1.已知集合M={x|x(x-1)3≥0},N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N 等于()A.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|x≥1或x<0}D.∅解析∵M=(-∞,0]∪(1,+∞),N=[1,+∞),∴M∩N=(1,+∞).答案 A2.已知数列{a n}中,a1=1,2na n+1=(n+1)a n,则数列{a n}的通项公式为()A.n2n B.n2n-1C.n2n-1D.n+12n解析2a2=2a1,2×2a3=3a2,2×3a4=4a3,…,2(n-1)a n=na n-1.上述式子相乘,2n-1a n=na1,∵a1=1,∴a n=n2n-1.3.设x ∈R ,记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ],则⎩⎨⎧⎭⎬⎫5+12,⎣⎢⎡⎦⎥⎤5+12,5+12( ) A .是等差数列但不是等比数列 B .是等比数列但不是等差数列 C .既是等差数列又是等比数列 D .既不是等差数列也不是等比数列解析 可分别求得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5+12=1,⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5+12=5-12,则等比数列性质易得三者构成等比数列.答案 B4.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( )A .33B .72C .84D .189解析 ∵a 1+a 2+a 3=21,a 1=3,∴q =2,或q =-3. ∵a n >0,∴q =2,a 3+a 4+a 5=(a 1+a 2+a 3)q 2=21×4=84. 答案 C5.已知a ,b 为非零实数,且a <b ,则下列命题成立的是( ) A .a 2<b 2 B .a 2b <ab 2 C .2a-2b<0 D.1a >1b解析 ∵y =2x 在R 上单调递增,a <b ,∴2a <2b . ∴2a -2b <0.6.二次方程x 2+(a 2+1)x +a -2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小,则a 的取值范围是( )A .-3<a <1B .-2<a <0C .-1<a <0D .0<a <2解析 令f (x )=x 2+(a 2+1)x +a -2,由题意,可知f (1)<0,f (-1)<0,∴a ∈(-1,0).答案 C7.已知O 为直角坐标系原点,P ,Q 的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x +3y -25≤0,x -2y +2≤0,x -1≥0,则cos ∠POQ 的最小值为( )A.22 B.32 C.12D .0解析 画出可行域如图阴影部分,若P ,Q 在可行域内,则∠POQ ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,结合余弦函数单调性,可知当P ,Q 位于可行域的边界点时,cos ∠POQ 最小,由⎩⎨⎧x -1=0,4x +3y -25=0,得P (1,7);由⎩⎨⎧x -2y +2=0,4x +3y -25=0,得Q (4,3).所以(cos ∠POQ )min =1×4+3×712+7242+32=22.答案 A8.对每一个正整数n ,抛物线y =(n 2+n )x 2-(2n +1)x +1与x 轴相交于A n ,B n 两点,|A n B n |表示该两点间的距离,则|A 1B 1| +|A 2B 2|+…+|A 2009B 2009|=( )A.20062007B.20072008C.20082009D.20092010解析 ∵|A n B n |=1n -1n +1,∴|A 1B 1|+|A 2B 2|+…+|A n B n |=11-12+12-13+…+1n -1n +1=nn +1,∴|A 1B 1|+|A 2B 2|+…+|A 2009B 2009|=20092010. 答案 D9.已知函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若0<c <1,则a 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,2)C .[2,3)D .[1,3]解析∵⎩⎨⎧a -b +c =3,a +b +c =1,∴a +c =2,c =2-a .∵0<c <1,∴0<2-a <1,∴1<a <2.答案 B10.在△ABC 中,已知∠A <∠B (∠B ≠90°),那么下列结论一定成立的是( )A .cot A <cotB B .tan A <tan BC .cos A <cos BD .sin A <sin B解析 ∵∠A <∠B ,∴a <b , ∵a sin A =bsin B ,∴sin A <sin B . 答案 D11.如图,D ,C ,B 三点在地面同一直线上,DC =a ,从C ,D 两点测得A 点的仰角分别为β,α(α<β),则A 点离地面的高度AB =( )A.a sin αsin βsin (β-α)B.a sin αsin βcos (α-β)C.a sin αcos βsin (β-α)D.a cos αsin βcos (α-β)解析 在△ADC 中,∠DAC =β-α,∴a sin (β-α)=ACsin α,∴AC =a sin αsin (β-α),∴AB =AC ·sin β=a sin αsin βsin (β-α),故选A.答案 A12.已知a ,b ,a +b 成等差数列,a ,b ,ab 成等比数列,且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是( )A .(0,1)B .(1,+∞)C .(0,8)D .(8,+∞)解析 ∵a ,b ,a +b 成等差数列, ∴2b =2a +b ,b =2a . ∵a ,b ,ab 成等比数列, ∴a ≠0,b ≠0,b 2=a 2b ,∴b =a 2. ∴a 2=2a ,a =2,∴b =4,∴ab =8. ∵0<log m (ab )<1,∴m >8. 答案 D二、填空题(每题5分,共4个小题,共20分) 13.函数y =3x x 2+x +1(x <0)的值域是________.解析 y =3x +1x +1,∵x <0,∴x +1x ≤-2.∴x +1x +1≤-1,∴y ∈[-3,0). 答案 y ∈[-3,0)14.已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z=ax +y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a 的取值范围为________.解析 作出该不等式组表示的可行域,∵a >0,且仅在点(3,0)处取得最大值,∴a >12.答案 a >1215.已知△ABC 中,三个内角∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ,且2S =(a +b )2-c 2,则tan C 的值为________.解析 ∵2S =ab sin C =(a +b )2-c 2, c 2=a 2+b 2+2ab -ab sin C , ∴2ab -ab sin C =-2ab cos C . ∴sin C -2cos C =2.∴sin 2C +4cos 2C -4sin C cos C =4. ∴tan 2C +4-4tan C =4tan 2C +4. ∴3tan 2C +4tan C =0.∴tan C =0(舍),或tan C =-43.答案 -4316.①数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+2n (n ∈N *),则1a n +1+1a n +2+…+1a 2n≥15;②数列{a n }满足a 1=2,a n +1=2a n -1(n ∈N *),则a 11=1023; ③数列{a n }满足a n +1=1-14a n,b n =22a n -1(n ∈N *),则数列{b n }是从第二项开始的等比数列;④已知a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -1)a n =2n +1(n ∈N *),则a n =2n -1. 以上命题正确的有________. 解析 ∵S n =n 2+2n ,∴a n =2n +1, 1a n +1+1a n +2+…+1a 2n=12n +3+12n +5+…+14n +1≥n 4n +1=14+1n≥15,当且仅当n =1时等号成立,故①正确;∵a n +1=2a n -1,∴a n +1-1=2(a n -1).∴a n +1-1a n -1=2.∴{a n -1}是等比数列,a n -1=2n -1.∴a n =2n -1+1, a 11=210+1=1025,故②错误;b n +1=22a n +1-1=22⎝⎛⎭⎪⎫1-14a n -1=22a n -1+2 =b n +2,∴{b n }是公差为2的等差数列,故③错误;④中当n =1时,a 1=22=4,不满足a n =2n -1,∴④错误. 答案 ①三、解答题(本题共6小题,共70分,其中17题10分,18、19、20、21、22题每题12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =3,b 2+c 2-2bc =3.(1)求∠A ;(2)设cos B =45,求边c 的大小. 解 (1)∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A , ∴b 2+c 2-2bc cos A =3.∴2bc =2bc cos A ,∴cos A =22,∴∠A =π4.(2)∵cos B =45,∴sin B =35,∴sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =22×45+22×35=7210.a sin A =c sin C ,∴c =a sin C sin A =3·721022=735. 18.(12分)在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 所对的边,且3a =2c sin A .(1)确定∠C 的大小;(2)若c =7,△ABC 的面积为332,求a +b 的值. 解 (1)由3a =2c sin A 及正弦定理,得a c =2sin A 3=sin Asin C ,∵sin A ≠0,∴sin C =32.∴△ABC 是锐角三角形,∴∠C =π3. (2)解法1:∵c =7,∠C =π3.由面积公式得 12ab sin π3=332,即ab =6.① 由余弦定理,得a 2+b 2-2ab cos π3=7,即a 2+b 2-ab =7.②由②变形得(a +b )2=25,故a +b =5. 解法2:前同解法1,联立①、②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2+b 2-ab =7,ab =6,⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=13,ab =6, 消去b 并整理,得a 4-13a 2+36=0,解得a 2=4,或a 2=9.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =3,或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =2,故a +b =5.19.(12分)解关于x 的不等式ax +1x +a >1(其中|a |≠1).解 ax +1-x -a x +a>0⇔(x +a )[(a -1)x +1-a ]>0.当a -1>0时,原不等式变为(x +a )(x -1)>0,其解集为{x |x >1,或x <-a }.当-1<a <1时,原不等式变为(x +a )(x -1)<0,其解集为{x |-a <x <1}.当a <-1时,原不等式变为(x +a )(x -1)<0,其解集为{x |1<x <-a }. 20.(12分)已知函数f (x )=2x-12|x |.(1)若f (x )=2,求x 的值;(2)若2t f (2t )+mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围. 解 (1)当x <0时,f (x )=0;当x ≥0时,f (x )=2x-12x . 由条件可知,2x -12x =2,即22x -2·2x -1=0,解得2x =1±2.∵2x >0,∴x =log 2(1+2).(2)当t ∈[1,2]时,2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t-122t +m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t -12t ≥0, 即m (22t -1)≥-(24t -1).∵22t -1>0,∴m ≥-(22t +1).∵t ∈[1,2],∴-(1+22t )∈[-17,-5].故m 的取值范围是[-5,+∞).21.(12分)已知数列{a n }中,已知a 1=1,a n +1=2n +2n a n (n =3ax 2).(1)证明:数列{a n n }是等比数列;(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)∵a n +1=2n +2n a n =2(n +1)n a n ,∴a 2=2×21a 1,a 3=2×32a 2,a 4=2×43a 3,…,a n =2×n n -1a n -1. 上述式子相乘,a n =2n -1·na 1,∴a n =n ·2n -1.(2)S n =1×20+2×2+3×22+…+n ×2n -1,2S n =1×21+2×22+…+(n -1)×2n -1+n ×2n ,两式相减,-S n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n ,∴-S n =1-2n1-2-n ×2n . ∴S n =(n -1)·2n +1.22.(12分)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 6=55,a 2+a 7=16.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式:a n =b 12+b 222+b 323+…+b n 2n (n 为正整数),求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则依题设d >0, 由a 2+a 7=16,得2a 1+7d =16.①由a 3·a 6=55,得(a 1+2d )(a 1+5d )=55.② 由①得2a 1=16-7d ,将其代入②得(16-3d )(16+3d )=220,即256-9d 2=220.∴d 2=4,又d >0,∴d =2,代入①得a 1=1. ∴a n =1+(n -1)·2=2n -1.(2)令c n =b n 2n ,则有a n =c 1+c 2+…+c n ,a n +1=c 1+c 2+…+c n +1.两式相减,得a n +1-a n =c n +1.由(1)得a 1=1,a n +1-a n =2.∴c n +1=2,c n =2(n ≥2),即当n ≥2时,b n =2n +1.又当n =1时,b 1=2a 1=2,∴b n =⎩⎪⎨⎪⎧2 (n =1),2n +1 (n ≥2). 于是S n =b 1+b 2+b 3…+b n =2+23+24+…+2n +1=2+22+23+24+…+2n +1-4=2(2n +1-1)2-1-4=2n +2-6,即S n =2n +2-6.。