2018-201X学年九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时实物抛物线教
2018-201X学年九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时教案 新人教
22.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的.※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是2=-（0≤t≤6）．小球运动的时h t t305间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值.矩形场地的周长是60m，一边长为l m，则另一边长为,场地的面积S=.化简得S=.当l=时，S 有最大值.探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式.涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出()60x+·-件，销售额为()30010x()-元.因此，所得利润4030010x30010x-元，买进商品需付()()()()60300104030010=+---，即2y x x x=-++，其中，0≤x≤30.101006000y x x根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a=-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）. 2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）. （2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2?2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
2018-2019学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数(第2课
第2课时 实际问题与二次函数（2）※教学目标※【知识与技能】将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用.【过程与方法】通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维.【情感态度】感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】利用二次函数解决有关拱桥问题.【教学难点】建立二次函数的数学模型.※教学过程※一、问题导入问题 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？答案 解：（1）由题意，得()7002045201600y x x =--=-+.（2）P =()()()22402016002024006400020608000x x x x x --+=-+-=--+，∵x ≥45，a =-20＜0，∴当x =60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元.（3）由题意，得()2206080006000x --+=.解得150x =，270x =．∵抛物线()220608000P x =--+的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小.∴当x =58时，y 最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒.二、探索新知探究 图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？提问（1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？（2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？（3）题中“水面下降1m 的含义是什么？”水面下降的同时水面宽度有什么变化？如何求宽度增加多少？解决问题：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为2y ax =.由抛物线经过点（2，-2），可得222a -=⨯，12a =-.这条抛物线表示的二次函数为212y x =. 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为-3.请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度.水面下降1m 三、巩固练习1.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高0.7米的小女孩站在离立柱0.4米处，其头刚好触上绳子，则绳子最低点到地面的距离为多少米？2.如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下4米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度为3.5米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为3.05米，该运动员的身高为1.8米．（1）在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方0.25米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为多少米？（2）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？答案：1.如图所示，以O 为坐标原点，水平方向为x 轴，垂直方向为y 轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为()20y ax a =≠.设A ，B ，D三点坐标依次为（A x ，A y ），（B x ，B y ），（D x ，D y ）.由题意，得AB =1.6，∴0.8A x =-，0.8B x =，又可得1 1.60.42D x ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭=-0.4.∴当0.8x =-时，A y =()2•0.80.64a a -=,当0.4x =-时，()2•0.40.16y D a a =-=.∵2.20.7 1.5A D y y -=-=，∴0.640.16 1.5a a -=.∴258a =.∴抛物线的解析式为2258y x =.当0.4x =-时，()2250.40.58D y =⨯-=，∴0.70.50.2-=（m ）. 2.（1）设抛物线的解析式为2 3.5y ax =+.∵（1.5，3.05）在抛物线上，∴3.05 1.52 3.5a =⨯+.解得0.2a =-.∴20.2 3.5y x =-+.当 2.5x =-时， 2.25y =， ∴运动员离地面的高度为2.250.25 1.80.2--=（m ）.（2）由题意,得 3.3y =，则23.30.2 3.5x =-+.解得11x =，21x =-.∴413-=（m ）.∴乙在运动员甲与篮板之间的距离甲3米范围内能在空中截住球.四、归纳小结1.运用二次函数解决实际问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线解析式；解决实际问题.2.数形结合思想的运用.※布置作业※从教材习题22.3中选取.※教学反思※本课时的教学应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时，教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生互相交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线的解析式，在这一过程中让学生体验探究发现的乐趣，体会数学的最优化思想.。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》22.3实际问题与二次函数第3课时建立适当坐标系解决实际问题试
2018年秋九年级数学上册第二十二章《二次函数》22.3 实际问题与二次函数第3课时建立适当坐标系解决实际问题试题（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第二十二章《二次函数》22.3 实际问题与二次函数第3课时建立适当坐标系解决实际问题试题（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3课时建立适当坐标系解决实际问题知识要点基础练知识点1“抛物线”型建筑问题1。
某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4 m,涵洞顶点O到水面的距离为1 m，根据图中的平面直角坐标系，你可推断点A的坐标是（2，—1)，点B的坐标为（—2,—1),则涵洞所在的抛物线的解析式为y=-x2.2.如图，一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是15米。
知识点2“抛物线”型运动问题3.小明学习了这节课后，课下竖直向上抛一个小球做实验，小球上升的高度h(m）与运动时间t（s）的函数解析式为h=at2+bt,图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（B）A。
第3秒 B.第3.9秒C.第4.5秒D。
第6。
5秒4。
某市府广场喷泉的喷嘴安装在平地上.有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状,喷出的水流高度y （m）与喷出水流离喷嘴的水平距离x（m）之间满足y=—x2+2x.（1)喷嘴喷出的水流的最大高度是多少？(2)喷嘴喷出水流的最远距离是多少？解:y=—x2+2x=—(x—2）2+2。
九年级数学上册第二十二章22.3实际问题与二次函数22.3.1实际问题与二次函数一备课资料教案新版新人教版2018
第二十二章 22.3.1实际问题与二次函数（一）知识点1:利润最大问题1.在现实生活中常常遇到一类求最大(小)值的问题.如在产品的营销过程中何时获得最大利润;在生产中如何获得最大的产值以及怎样获得最好的效果等.这些问题都可以转化为二次函数问题,利用二次函数的性质加以解决.2.解销售中最大利润问题的步骤:(1)利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.知识点2:面积最大问题1.几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值、用料的最佳方案等.2.利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数解析式,并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积.3.求几何图形面积的常见方法有:利用几何图形的面积公式求出几何图形的面积;利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积;利用相似比求几何图形的面积等.4.解决面积问题的一般步骤:(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.拓展提高：在处理复杂图形面积时常用的方法是:把复杂的几何图形进行分割求和.考点1：利用二次函数求最大利润问题【例1】李经理按市场价格10元/千克在某地收购了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数解析式;(2)李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)由题意得y与x之间的函数解析式为:y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x2+940x+20 000(1≤x≤110,且为整数).(2)由题意得:-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500,解方程得:x1=50,x2=150(不合题意,舍去).答:李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放50天后出售.(3)设最大利润为W元,由题意得W=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=-3(x-100)2+30 000.∵0<100<110,∴当x=100时,W取得最大值,其最大值为30 000.答:存放100天后,出售这批香菇可获得最大利润,最大利润是30 000元.点拨：(1)存放x天后,香菇的市场价格为(10+0.5x)元/千克,此时香菇损坏6x千克,还可出售的香菇有(2 000-6x)千克,因此y=(10+0.5x)(2 000-6x).(2)销售总金额为(10+0.5x)(2 000-6x)元,收购成本为(10×2 000)元,各种费用为340x元,由利润=销售总金额-收购成本-各种费用,可得方程-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500.(3)由二次函数的最大值可得结果.考点2：利用二次函数求面积的最大值【例2】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m,如图所示,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.(1)若平行于墙的一边的长为y m,直接写出y与x之间的函数解析式及其自变量x的取值范围;(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大?并求出这个最大值;(3)当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.解:(1)y=30-2x(6≤x<15).(2)设矩形苗圃园的面积为S m2,则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x.∴S=-2(x-7.5)2+112.5.由(1)知,6≤x<15,∴当x=7.5时,S取得最大值,S最大值=112.5.即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5 m时,这个苗圃园的面积最大,最大值为112.5.(3)函数S=-2(x-7.5)2+112.5(6≤x<15)的图象如图所示,结合图象,当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,x的取值范围是6≤x≤11.点拨：因为0<y≤18,所以0<30-2x≤18,所以6≤x<15,画出函数S=-2(x-7.5)2+112.5(6≤x<15)的图象,当S=88时,-2(x-7.5)2+112.5=88,解得x1=11,x2=4(舍).所以当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,x的取值范围是6≤x≤11.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
九年级数学上册 第二十二章《二次函数》22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的面积问题试题
22.3实际问题与二次函数第1课时几何图形的面积问题知识要点基础练知识点利用二次函数求图形面积的最值1.用长60 m的篱笆围成一个矩形花园,则围成的花园的最大面积为(D)A.150 m2B.175 m2C.200 m2D.225 m22.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm2,则这个直角三角形的最大面积为(B)A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定3.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为4平方米.4.手工课上,小明准备做个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积为S,随其中一条对角线的长x的变化而变化.(1)求S与x之间的函数解析式.(不要求写出取值范围)(2)当x是多少时,菱形风筝的面积S最大?最大的面积是多少?解:(1)S=x(60-x)=-x2+30x.(2)由(1)得S=-x2+30x=-(x-30)2+450,故当x是30 cm时,菱形风筝的面积S最大,最大的面积是450 cm2.综合能力提升练5.合肥寿春中学劳动课上,老师让学生利用成直角的墙角(墙足够长),用10 m长的栅栏围成一个矩形的小花园,花园的面积S m2与它一边长a m的函数解析式是S=-a2+10a ,面积S 的最大值是25.6.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t为2s.7.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144 m2.8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,若该纸盒侧面积的最大值是 cm2,则a的值为3cm.9.在美化校园的活动中,巢湖一中初三一班的兴趣小组利用如图所示的直角墙角(两边足够长),用32 m长的藤条圈成一个长方形的花圃ABCD(藤条只围AB,BC两边),设AB=x m.(1)若花圃的面积为252 m2,求x的值;(2)正好在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,如果把将这棵桃树围在花圃内(含边界,不考虑树的粗细),老师让学生算一下花圃面积的最大值是多少?解:(1)因为AB=x,则BC=32-x,所以x(32-x)=252,解得x1=14,x2=18,故x的值为14 m或18 m.(2)因为AB=x,所以BC=32-x,所以S=x(32-x)=-x2+32x=-(x-16)2+256,因为在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,所以,所以8≤x≤15,所以当x=15时,S取到最大值为S=-(15-16)2+256=255,故花圃面积S的最大值为255 m2.10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2.(2)设运动开始后第t秒时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.(3)t为何值时S最小?求出S的最小值.解:(1)设x秒后△PBQ的面积等于8 cm2.则AP=x,QB=2x,∴PB=6-x,∴×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4.运动开始后第2秒或第4秒时△PBQ的面积等于8 cm2.(2)第t秒时,AP=t cm,PB=(6-t) cm,BQ=2t cm,∴S△PBQ=·(6-t)·2t=-t2+6t.∵S矩形ABCD=6×12=72,∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0≤t≤6).(3)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,∴当t=3秒时,S有最小值63 cm2.11.工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?解:(1)如图所示:设裁掉的正方形的边长为x dm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),答:裁掉的正方形的边长为2 dm,底面积为12 dm2.(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5,设总费用为w元,由题意可知w=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,所以当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元,答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元.拓展探究突破练12.(安徽中考)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域面积相等.设BC的长度是x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.(1)求y与x之间的函数解析式,并注明自变量x的取值范围;(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?解:(1)设AE=a,由题意得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=a,AB=a.由题意得2x+3a+2·a=80,∴a=20-x.∴y=AB·BC=a·x=x,即y=-x2+30x(0<x<40).(2)∵y=-x2+30x=-(x-20)2+300,∴当x=20时,y有最大值,最大值是300平方米.13.如图,一面利用墙,用篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的面积为S平方米,平行于院墙的一边长为x米.(1)若院墙可利用最大长度为10米,篱笆长为24米,花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形,求S与x之间函数关系.(2)在(1)的条件下,围成的花圃面积为45平方米时,求AB的长.能否围成面积比45平方米更大的花圃?如果能,应该怎么围?如果不能请说明理由.(3)当院墙可利用最大长度为40米,篱笆长为77米,中间建n道篱笆间隔成小矩形,当这些小矩形为正方形,且x为正整数时,请直接写出一组满足条件的x,n的值.解:(1)由题意得:S=x×=-x2+8x(0<x≤10).(2)由S=-x2+8x=45,解得x1=15(舍去),x2=9,所以x=9,AB==5,又S=-x2+8x=-(x-12)2+48,0<x≤10,因为当x≤10时,S随x的增大而增大,所以当x=10米时,S最大,为平方米>45平方米,所以平行于院墙的一边长为10米时,就能围成面积比45平方米更大的花圃.(3)根据题意可得,则n=4,x=35或n=2,x=33.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
九年级数学上册 第22章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数(2)课件上册数学课件
1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m， 涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所 在的抛物线的函数关系式是__y___1_5_x_2___.
4
2.在上题中，若水面下降，宽度变为2米，此时水面离涵洞顶点的
距离为___1_5 ___米。 4
o
（2，0）
x
12/10/2021
（-4，0）
o （0，0） x
合作探究 达成目标
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对 称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为: y ax2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即抛物线过点(2,-2)
2a22
a0.5
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合作探究 达成目标
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x
轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面
直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示
的二次函数的解析式为:
y.5
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
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飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间 t(单位:s)的函数关系式是s=60t-1.5t2 ，飞机着 陆后滑行____6_0_0___m才能停下来.
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总结梳理 内化目标
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y0.5(x2)22
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合作探究 达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
九年级数学上册 22.3实际问题与二次函数11_1-5
是___x__=__−__2_b_a___,顶点坐标是__−__2_b_a_,__4_a_c_4_a−__b_2__. 3.二次函数y=2(x-3)²+5的对称轴是 x=3 ,顶点坐标是（3,5）. 4.二次函数y=x²-4x+9的对称轴是 x=2 ,顶点坐标是__（__2__,5__）___.
3，
h
=
4ac − b2 4a
=
4 −（30−25）=
45．
小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 小球运动中的最大高度是 45 m．
0
6
吊网
探究点一 构建二次函数模型，解决几何最值类应用题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小
球最高？小球运动中的最大高度是多少？06来自t=−
b 2a
=
−
30 2 （−
5）=
第22章 二次函数
22.3实际问题与二次函数（1）
1、通过探究几何图形的长度和面积之间的关系， 列出函数关系式；并确定自变量的取值范围。
2、会用二次函数顶点公式求实际问题中的极值。
会列出二次函数关系式，并解决几何图形的最大（小）值。
二、新课引入
1.二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一 条___抛__物__线____,它的对称轴是 ______x__=_h_____,顶点坐标是 （h,k）.
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第3课时 实物抛物线
01 教学目标
1．会利用二次函数知识解决实物抛物线问题． 2．能根据实际问题构建二次函数模型．
02 预习反馈
阅读教材P 51(探究3)，完成下列问题．
1．有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数解析式为y ＝－125x 2＋8
5
x ．
2．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y ＝－1
8x 2＋2，一辆车高3 m ，宽4 m ，该
车不能(填“能”或“不能”)通过该隧道．
03 新课讲授
例1 (教材P51探究3)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？
【思路点拨】 将实际问题转化为数学问题，先建立适当的坐标系求出这条抛物线表示的二次函数，再根据二次函数的图象进行解题．其中以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系最为简便(如图)．
【解答】设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.
由抛物线经过点(2，－2)，可得 －2＝a ×22，解得a ＝－1
2
.
∴这条抛物线表示的二次函数为y ＝－12
x 2
.
当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为y ＝－3，这时有－3＝－1
2x 2，解得x ＝± 6.
∴这时水面宽度为2 6 m.
答：当水面下降1 m 时，水面宽度增加(26－4)m.
【点拨】 利用二次函数知识解决实物抛物线问题的一般步骤：
(1)建立适当的平面直角坐标坐标系，并将已知条件转化为点的坐标；(2)合理地设出所求的函数的解析式，并代入已知条件或点的坐标，求出解析式；(3)利用解析式求解实际问题．
【跟踪训练1】 (22.3第3课时习题)如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为26米．
例2 (教材变式例题)某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管(如图)做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．
(1)求此抛物线的解析式； (2)计算所需不锈钢管的总长度．
【解答】 (1)由题意得，B (0，0.5)，C (1，0)．
设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，代入得a ＝－0.5，c ＝0.5. 故解析式为y ＝－0.5x 2＋0.5. (2)如图所示：
当x ＝0.2时，y ＝0.48. 当x ＝0.6时，y ＝0.32.
∴B 1C 1＋B 2C 2＋B 3C 3＋B 4C 4＝2×(0.48＋0.32)＝1.6(米)． ∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50＝80(米)．
【点拨】 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【跟踪训练2】 如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线的解析式是y ＝－1
9(x
＋6)2＋4．
04 巩固训练
1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－1
25
x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面宽度AB 为(C )
A ．－20 m
B ．10 m
C ．20 m
D ．－10 m
2．某铅球运动员在一次推铅球时，铅球行进高度y(m )与水平距离x(m )之间的关系为y ＝－1
12
(x －4)2＋3，由此可知他铅球推出的距离是(A ) A ．10 m B ．9.5 m C ．9 m D ．8 m
3．如图所示，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意
图放在直角坐标系中，则此抛物线的函数关系式为
y＝－1
25
(x－20)2＋16．
05 课堂小结
对具有抛物线形状的实际问题，要能根据图形的特征建立恰当的平面直角坐标系，这样就能更快地解决问题．
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